高二数学人教选修1-2同步练习：2.1.1 合情推理(一) word版含解析
2019年高三数学选修1-2同步课堂精练：2.1.1合情推理 Word版含答案
1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如图所示，则第七个三角形数是________．2．我们把1,4,9,16,25，…这些数称为正方形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正方形，如下图所示，则第n 个正方形数是________．3．如图所示，观察图形规律，在其右下角的空格处画上合适的图形，应为__________．4．有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是__________．5．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式2S ⨯=底高，可推知扇形面积公式S 扇＝________.6．已知f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝f ′1(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，f 4(x )＝f ′3(x )，…，f n (x )＝f ′n －1(x )，n ≥2，且n ∈N *，则f 2 011(x )＝__________.7．下图所示为一串黑白相间排列的珠子，第36颗珠子应是__________颜色的．8．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第五个等式为________________．9．已知函数1133()5x x f x --=，1133()5x x g x -+=.分别计算f (4)－5f (2)g (2)和f (9)－5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及f(x)和g(x)对所有不等于零的实数x都成立的一个等式．10．类比等差数列的定义，给出等和数列的概念，并利用等和数列的性质解题：已知数列{a n}是等和数列，a1＝2，公和为5，求a18和S21.参考答案1答案：28 解析：第n 个三角形数比前一个多n .故答案为28.2答案：n 2解析：1,4,9,16,25分别为序号的平方，所以第n 个正方形数为n 2. 3答案：解析：观察图中每一行，每一列的规律，从形状和是否有阴影入手.每一行，每一列中三种图形都有，故填长方形.又每一行，每一列中的图形的颜色应有二黑一白.故填.4答案：31 解析：有菱形纹的正六边形个数如下表：由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.5答案：12lr 解析：类比方法：扇形→三角形，弧长→底边长，半径→高，猜想S 扇＝12lr . 6答案：－cos x 解析：f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝f ′1(x )＝－sin x ，f ′3(x )＝f ′2(x )＝－cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝sin x ，f 5(x )＝f ′4(x )＝cos x ，…，再继续下去会重复出现，周期为4，∴f 2 011(x )＝f 3(x )＝－cos x .7答案：白 解析：5个珠子为一个周期，第36颗与第1颗颜色一致.8答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212解析：观察等式，发现等式左边各加数的底数之和等于右边数的底数，右边数的指数均为2，故猜想第五个等式应为13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.9答案：解：f (4)－5f (2)g (2)＝1111113333334422225555-----+-⨯⨯＝11113333113322224455---⎛⎫⎛⎫-⨯+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-＝222233332222055-----=.同理可得：f (9)－5f (3)g (3)＝0，∴对任意x∈R，x≠0，有f(x2)－5f(x)g(x)＝0. 证明：f(x2)－5f(x)g(x)＝111111 223333335555x x x x x x---()-()-+-⨯⨯＝11113333 223355x x x xx x---⎛⎫⎛⎫-+⎪⎪-⎝⎭⎝⎭-＝222233330 55x x x x-----=，∴结论得证.10答案：解：等和数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和.由题意可知a1＋a2＝5，又a1＝2，∴a2＝3，又a2＋a3＝5，∴a3＝2.故数列{a n}的形式为：2,3,2,3,2,3，…，。
高二数学人教选修1-2第2单元2-1-1合情推理课后练习及解析
高二数学人教选修1-2课后练习第2章推理与证明2.1.1 合情推理一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·潍坊高二检测)已知a1=1,a2=,a3=,a4=,则数列{a n}的一个通项公式为a n= ( )A. B.C. D.【解析】选B.a1=1=,a2==,a3==,a4==,故猜想a n=.2.平面内平行于同一直线的两条直线平行,由此类比到空间中可以得到( )A.空间中平行于同一直线的两条直线平行B.空间中平行于同一平面的两条直线平行C.空间中平行于同一直线的两个平面平行D.空间中平行于同一平面的两个平面平行【解析】选D.利用类比推理,平面中的直线和空间中的平面类比.3.(2016·石家庄高二检测)如图所示的是一串黑白相间排列的珠子,若按这种规律排下去,那么第36颗珠子的颜色是( )A.白色B.黑色C.白色的可能较大D.黑色的可能性较大【解析】选A.由题图可知,这串珠子的排列规律是:每5个一组(前3个是白色珠子,后2个是黑色珠子)周期性排列,而36=5×7+1,即第36颗珠子正好是第8组中的第一颗珠子,其颜色为白色.4.(2016·郑州高二检测)下面使用类比推理,得出的结论正确的是( )A.若“a·3=b·3,则a=b”类比推出“若a·0=b·0,则a=b”B.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“(a·b)c=ac·bc”C.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“=+(c≠0)”D.“(ab)n=a n b n”类比出“(a+b)n=a n+b n”【解析】选C.A中,3与0两个数的性质不同,故类比中把3换成0,其结论不成立;B中,乘法满足对加法的分配律,但乘法不满足对乘法的分配律;C是正确的;D中,令n=2显然不成立.5.(2016·天津高二检测)在等差数列{a n}中,a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立,类比上述性质,相应地在等比数列{b n}中,若b9=1,则成立的等式是( )A.b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)B.b1b2…b n=b1b2…b18-n(n<18,n∈N*)C.b1+b2+…+b n=b1+b2+…+b17-n(n<17,n∈N*)D.b1+b2+…+b n=b1+b2-1+…+b18-n(n<18,n∈N*)【解析】选A.由b9=1得b8b9b10=1……①b7b8b9b10b11=1……②由①得b1b2......b7=b1b2 (10)由②得b1b2…b6=b1b2…b11,因此选A.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·陕西高考)观察下列等式:1-=1-+-=+1-+-+-=++…据此规律,第n个等式可为________.【解析】由已知可得:第n个等式左边含有2n项,其中奇数项为,偶数项为-.其等式右边为后n项的绝对值之和.所以第n个等式为:1-+-+…+-=++…+.答案:1-+-+…+-=++…+7.观察式子:1+<;1++<,1+++<,…则可归纳出第n-1个式子为_________________.【解题指南】分析左边式子结构及项数,与右端分子分母之间的关系.【解析】观察已知三个式子可得第n-1个式子左边有n项,为1+++…+.右边为. 答案:1+++…+<8.(2016·淄博高二检测)已知△ABC的边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,用S△ABC表示△ABC的面积,则S△ABC =r(a+b+c).类比这一结论有:若三棱锥A-BCD的内切球半径为R,则三棱锥的体积V A -BCD=________.【解析】内切圆半径r内切球半径R,三角的周长a+b+c三棱锥的全面积S△ABC+S△ACD+S△ABD+S△BCD,三角形面积公式中系数三棱锥体积公式中系数,故类比得V A-BCD =R答案:R三、解答题(每小题10分,共20分)9.圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合;球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合.这两个定义很相似.于是我们猜想圆与球会有某些相似的性质.试将平面上的圆与空间中的球进行类比.【解析】圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性.据此,在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系:弦↔截面圆,直径↔大圆,周长↔表面积,圆面积↔球体积,等.于是,根据圆的性质,可以猜测球的性质如下表所示:V=10.(2016·烟台高二检测)已知椭圆具有如下性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两点,点P是椭圆上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN,那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值,试对双曲线-=1,写出具有类似的性质,并加以证明.【解析】类似的性质为:若M,N是双曲线-=1上关于原点对称的两点,点P是双曲线上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN,那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值.证明如下:设M(m,n),P(x,y),则N(-m,-n),因为点M(m,n)在双曲线上,所以n2=m2-b2.同理,y2=x2-b2.则k PM·k PN=·==·=(定值).一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知“平面内,过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条”,类比这一结论可得出以下结论:①空间内,过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条;②空间内,过一点与已知平面垂直的直线有且仅有一条;③空间内,过一条直线与已知直线垂直的平面有且仅有一个;④空间内,过一条直线与已知平面垂直的平面有且仅有一个.其中,正确结论的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.本题是由平面点与线的位置关系类比到空间点线面的位置关系.可借助长方体这一模型排除①③④,仅有②正确.2.(2016·烟台高二检测)将正整数排成下表:12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16…则在表中的数字2016出现在( )A.第44行第81列B.第45行第81列C.第44行第80列D.第45行第80列【解析】选D.第n行有2n-1个数,前n行共有n2个数.因为442=1936,452=2025,而1936<2016<2025,故2016在第45行.又2025-2016=9,且第45行共有89个数字,所以2016在89-9=80列.故选D.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·石家庄高二检测)设n是正整数:f(n)=1++++…+,计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3.观察上述结果,可推测一般的结论是__________.【解析】由已知前四个式子可得第n个式子左边应为f(2n),右边应为,即一般结论为f(2n)≥.答案:f(2n)≥4.(2016·青岛高二检测)如图所示,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,A为右顶点,B为上顶点,当⊥时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于________.【解析】设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).则左焦点F(-c,0),B(0,b),A(a,0).所以=(c,b),=(-a,b),因为⊥,所以·=b2-ac=0,即c2-a2-ac=0,两边同除a2得e2-e-1=0,解得e=或e=(舍去)答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·广州高二检测)已知a,b为正整数,设两直线l1:y=b-x与l2:y=x的交点P1(x1,y1),对于n≥2的自然数,两点(0,b),(x n-1,0)的连线与直线y=x交于点P n(x n,y n).(1)求P1,P2的坐标.(2)猜想P n的坐标.【解析】(1)由方程组得P1.过(0,b),两点的直线方程为+=1与y=x联立解得P2.(2)由(1)可猜想P n.6.(2016·海淀高二检测)如图,已知O是△ABC内任意一点,连接AO,BO,CO并延长交对边分别于A′,B′,C′,则++=1.这是平面几何中的一道题,其证明常采用“面积法”.++=++==1.请运用类比思想,对于空间中的四面体V-BCD,存在什么类似的结论?并用“体积法”证明.【解题指南】考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角形的三个顶点连接,把三角形分成三个三角形,利用面积来证明相应的结论.在证明四面体中类似结论时,可考虑利用体积来证明相应的结论.【解析】在四面体V-BCD中,任取一点O,连接VO,DO,BO,CO并延长分别交四个面于E,F,G,H 点,则+++=1.证明:在四面体O-BCD与V-BCD中,设底面BCD上的高分别为h1,h,则===.同理有:=;=;=,所以+++==1.一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·潍坊高二检测)已知a1=1,a2=,a3=,a4=,则数列{a n}的一个通项公式为a n= ( )A. B.C. D.【解析】选B.a1=1=,a2==,a3==,a4==,故猜想a n=.2.平面内平行于同一直线的两条直线平行,由此类比到空间中可以得到( )A.空间中平行于同一直线的两条直线平行B.空间中平行于同一平面的两条直线平行C.空间中平行于同一直线的两个平面平行D.空间中平行于同一平面的两个平面平行【解析】选D.利用类比推理,平面中的直线和空间中的平面类比.3.(2016·石家庄高二检测)如图所示的是一串黑白相间排列的珠子,若按这种规律排下去,那么第36颗珠子的颜色是( )A.白色B.黑色C.白色的可能较大D.黑色的可能性较大【解析】选A.由题图可知,这串珠子的排列规律是:每5个一组(前3个是白色珠子,后2个是黑色珠子)周期性排列,而36=5×7+1,即第36颗珠子正好是第8组中的第一颗珠子,其颜色为白色.4.(2016·郑州高二检测)下面使用类比推理,得出的结论正确的是( )A.若“a·3=b·3,则a=b”类比推出“若a·0=b·0,则a=b”B.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“(a·b)c=ac·bc”C.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“=+(c≠0)”D.“(ab)n=a n b n”类比出“(a+b)n=a n+b n”【解析】选C.A中,3与0两个数的性质不同,故类比中把3换成0,其结论不成立;B中,乘法满足对加法的分配律,但乘法不满足对乘法的分配律;C是正确的;D中,令n=2显然不成立.5.(2016·天津高二检测)在等差数列{a n}中,a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立,类比上述性质,相应地在等比数列{b n}中,若b9=1,则成立的等式是( )A.b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)B.b1b2…b n=b1b2…b18-n(n<18,n∈N*)C.b1+b2+…+b n=b1+b2+…+b17-n(n<17,n∈N*)D.b1+b2+…+b n=b1+b2-1+…+b18-n(n<18,n∈N*)【解析】选A.由b9=1得b8b9b10=1……①b7b8b9b10b11=1……②由①得b1b2......b7=b1b2 (10)由②得b1b2…b6=b1b2…b11,因此选A.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·陕西高考)观察下列等式:1-=1-+-=+1-+-+-=++…据此规律,第n个等式可为________.【解析】由已知可得:第n个等式左边含有2n项,其中奇数项为,偶数项为-.其等式右边为后n项的绝对值之和.所以第n个等式为:1-+-+…+-=++…+.答案:1-+-+…+-=++…+7.观察式子:1+<;1++<,1+++<,…则可归纳出第n-1个式子为_________________.【解题指南】分析左边式子结构及项数,与右端分子分母之间的关系.【解析】观察已知三个式子可得第n-1个式子左边有n项,为1+++…+.右边为. 答案:1+++…+<8.(2016·淄博高二检测)已知△ABC的边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,用S△ABC表示△ABC的面积,则S△ABC=r(a+b+c).类比这一结论有:若三棱锥A-BCD的内切球半径为R,则三棱锥的体积V A -BCD=________.【解析】内切圆半径r内切球半径R,三角的周长a+b+c三棱锥的全面积S△ABC+S△ACD+S△ABD+S△BCD,三角形面积公式中系数三棱锥体积公式中系数,故类比得V A-BCD =R答案:R三、解答题(每小题10分,共20分)9.圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合;球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合.这两个定义很相似.于是我们猜想圆与球会有某些相似的性质.试将平面上的圆与空间中的球进行类比.【解析】圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性.据此,在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系:弦↔截面圆,直径↔大圆,周长↔表面积,圆面积↔球体积,等.于是,根据圆的性质,可以猜测球的性质如下表所示:V=10.(2016·烟台高二检测)已知椭圆具有如下性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两点,点P是椭圆上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN,那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值,试对双曲线-=1,写出具有类似的性质,并加以证明.【解析】类似的性质为:若M,N是双曲线-=1上关于原点对称的两点,点P是双曲线上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN,那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值.证明如下:设M(m,n),P(x,y),则N(-m,-n),因为点M(m,n)在双曲线上,所以n2=m2-b2.同理,y2=x2-b2.则k PM·k PN=·==·=(定值).一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知“平面内,过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条”,类比这一结论可得出以下结论:①空间内,过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条;②空间内,过一点与已知平面垂直的直线有且仅有一条;③空间内,过一条直线与已知直线垂直的平面有且仅有一个;④空间内,过一条直线与已知平面垂直的平面有且仅有一个.其中,正确结论的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.本题是由平面点与线的位置关系类比到空间点线面的位置关系.可借助长方体这一模型排除①③④,仅有②正确.2.(2016·烟台高二检测)将正整数排成下表:12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16…则在表中的数字2016出现在( )A.第44行第81列B.第45行第81列C.第44行第80列D.第45行第80列【解析】选D.第n行有2n-1个数,前n行共有n2个数.因为442=1936,452=2025,而1936<2016<2025,故2016在第45行.又2025-2016=9,且第45行共有89个数字,所以2016在89-9=80列.故选D.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·石家庄高二检测)设n是正整数:f(n)=1++++…+,计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3.观察上述结果,可推测一般的结论是__________.【解析】由已知前四个式子可得第n个式子左边应为f(2n),右边应为,即一般结论为f(2n)≥.答案:f(2n)≥4.(2016·青岛高二检测)如图所示,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,A为右顶点,B为上顶点,当⊥时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于________.【解析】设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).则左焦点F(-c,0),B(0,b),A(a,0).所以=(c,b),=(-a,b),因为⊥,所以·=b2-ac=0,即c2-a2-ac=0,两边同除a2得e2-e-1=0,解得e=或e=(舍去)答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·广州高二检测)已知a,b为正整数,设两直线l1:y=b-x与l2:y=x的交点P1(x1,y1),对于n≥2的自然数,两点(0,b),(x n-1,0)的连线与直线y=x交于点P n(x n,y n).(1)求P1,P2的坐标.(2)猜想P n的坐标.【解析】(1)由方程组得P1.过(0,b),两点的直线方程为+=1与y=x联立解得P2.(2)由(1)可猜想P n.6.(2016·海淀高二检测)如图,已知O是△ABC内任意一点,连接AO,BO,CO并延长交对边分别于A′,B′,C′,则++=1.这是平面几何中的一道题,其证明常采用“面积法”.++=++==1.请运用类比思想,对于空间中的四面体V-BCD,存在什么类似的结论?并用“体积法”证明.【解题指南】考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角形的三个顶点连接,把三角形分成三个三角形,利用面积来证明相应的结论.在证明四面体中类似结论时,可考虑利用体积来证明相应的结论.【解析】在四面体V-BCD中,任取一点O,连接VO,DO,BO,CO并延长分别交四个面于E,F,G,H 点,则+++=1.证明:在四面体O-BCD与V-BCD中,设底面BCD上的高分别为h1,h,则===.同理有:=;=;=,所以+++==1.(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015·厦门高二检测)定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下图中的(1)，(2)，(3)，(4)，那么下图中的 (A)，(B)所对应的运算结果可能是( )A.B*D，A*DB.B*D，A*CC.B*C，A*DD.C*D，A*D【解析】选B.由(1)(2)(3)(4)图得A表示|，B表示□，C表示—，D表示○，故图(A)(B)表示B*D和A*C.2.给出下列三个类比结论：①类比a x·a y=a x+y，则有a x÷a y=a x-y；②类比log a(xy)=log a x+log a y，则有sin(α+β)=sinαsinβ；③类比(a+b)2=a2+2ab+b2，则有(a+b)2=a2+2a·b+b2.其中结论正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选C.根据指数的运算法则知a x÷a y=a x-y，故①正确；根据三角函数的运算法则知：sin(α+β)≠sinαsinβ，②不正确；根据向量的运算法则知：(a+b)2=a2+2a·b+b2，③正确.【补偿训练】若数列{a n}(n∈N*)是等差数列，则有数列b n=(n∈N*)也是等差数列.类比上述性质，相应地有，若数列{c n}(n∈N*)是等比数列，且c n>0，则数列d n= (n∈N*)也是等比数列.【解析】由等差、等比数列的性质易知，等差数列、等比数列在运算上具有相似性.等差与等比类比是和与积、倍与乘方、商与开方的类比.由此猜想d n=.答案：3.设n棱柱有f(n)个对角面，则(n+1)棱柱的对角面的个数f(n+1)等于( )A.f(n)+n+1B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-2【解析】选C.因为过不相邻两条侧棱的截面为对角面，过每一条侧棱与它不相邻的一条侧棱都能作对角面，可作(n-3)个对角面，n条侧棱可作n(n-3)个对角面，由于这些对角面是相互之间重复计算了，所以共有n(n-3)÷2个对角面，所以可得f(n+1)-f(n)=(n+1)(n+1-3)÷2-n(n-3)÷2=n-1，故f(n+1)=f(n)+n-1.4.(2015·北京高二检测)设0<θ<，已知a1=2cosθ，a n+1=，猜想a n=( )A.2cosB.2cosC.2cosD.2sin【解析】选B.因为a1=2cosθ，a2==2=2cos，a3==2=2cos，…，猜想a n=2cos.【一题多解】验n=1时，排除A，C，D.5.(2015·吉林高二检测)设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=；类比这个结论可知：四面体P-ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，四面体P-ABC的体积为V，则r=( )A. B.C. D.【解析】选C.△ABC的三条边长a，b，c类比到四面体P-ABC的四个面面积S1，S2，S3，S4，将三角形面积公式中系数类比到三棱锥体积公式中系数，从而可知选C.【补偿训练】在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，则△ABC外接圆半径r=.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R= .【解题指南】解题时题设条件若是三条线两两互相垂直，就要考虑到构造正方体或长方体. 【解析】(构造法)通过类比可得R=.证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为a，b，c的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是，故这个长方体的外接球的半径是，这也是所求的三棱锥的外接球的半径.答案：二、填空题(每小题5分，共15分)6.下面是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“连线”表示化学键，按图中结构第n个图中有个原子，有个化学键.【解析】第1，2，3个图中分别有原子：6个、6×2-2个、6×3-2×2个，所以第n个图中有6n-(n-1)×2=4n+2个原子；第1，2，3个图中分别有化学键：6个，6×2-1个，6×3-2个，所以第n个图中有6n-(n-1)=5n+1个化学键.答案：4n+2 5n+17.类比“等差数列”的定义，写出“等和数列”的定义，并解答下列问题：已知数列{a n}是等和数列，且a1=2，公和为5，那么a18= ，这个数列的前n项和S n 的计算公式为.【解析】定义“等和数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.由上述定义，得a n=故a18=3.从而S n=答案：3 S n=8.如图1，小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1，再把正方形A1B1C1D1的各边延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图2)，如此进行下去，正方形A n B n C n D n 的面积为.(用含有n的式子表示，n为正整数)【解题指南】根据三角形的面积公式，知每一次延长一倍后，得到的一个直角三角形的面积和延长前的正方形的面积相等，即每一次延长一倍后，得到的图形是延长前的正方形的面积的5倍，从而解答.【解析】如题干图1，已知小正方形ABCD的面积为1，则把它的各边延长一倍后，△AA1B1的面积是1，新正方形A1B1C1D1的面积是5，从而正方形A2B2C2D2的面积为5×5=25=52，…正方形A n B n C n D n的面积为5n.答案：5n三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42，…根据以上等式的结构特点，请你归纳一般结论.【解析】注意到各等号左边为若干项奇数的和，且最后一项分别为1=2×1-1；3=2×2-1；5=2×3-1；7=2×4-1，…又等号右边相应结果分别为：12；22；32；42；…由此总结出一般结论：1+3+5+7+…+(2n-1)=n2.10.如图1，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2=BD·BC；若类比该命题，如图2，三棱锥A-BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则可以得到什么命题？命题是否是真命题并加以证明.【解析】命题是：三棱锥A-BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有=S△BCM·S△BCD，是一个真命题.证明如下：在图2中，连接DM，并延长交BC于E，连接AE，则有DE⊥BC.因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AE.又AM⊥DE，所以AE2=EM·ED.于是==·=S△BCM·S△BCD.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成.通过观察可以发现第10个图形中火柴棒的根数是( )A.30B.31C.32D.34【解析】选B.第1个图形中有4根火柴棒；第2个图形中有4+3=7根火柴棒；第3个图形中有4+3×2=10根火柴棒；…第10个图形中有4+3×9=31根火柴棒.2.已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个数对是( )A.(7，5)B.(5，7)C.(2，10)D.(10，1)【解析】选B.依题意，由和相同的“整数对”分为一组不难得知，第n组“整数对”的和为n+1，且有n个“整数对”.这样前n组一共有个“整数对”.注意到<60<.因此第60个“整数对”处于第11组的第5个位置，可得为(5，7).二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015·西安高二检测)对于命题：如果O是线段AB上一点，则||·+||·=0；将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·+S△OCA·+S△OBA·=0；将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有.【解题指南】根据线性几何中的线段长度、平面几何中平面图形的面积中有关等式的共性，将这个共性引申到立体几何中得到相应的等式或结论.【解析】根据线性几何中的长度、平面几何中平面图形的面积以及立体几何中相应几何体体积的类比特点以及题中等式的特点，得到在立体几何中：若O是四面体ABCD内一点，则有V O-BCD·+V O-ACD·+V O-ABD·+V O-ABC·=0.答案：V O-BCD·+V O-ACD·+V O-ABD·+V O-ABC·=0【拓展延伸】类比推理的常见类型及解题思路类比推理主要是找出两类事物的共性，一般的类比有以下几种：①线段的长度——平面几何中平面图形的面积——立体几何中立体图形的体积的类比；②等差数列与等比数列的类比，等差数列中两数相加类比到等比数列中两数相乘，等差数列中两数的差类比到等比数列中两数相除.在类比的时候还需注意，有些时候不能将式子的结构改变，只需将相应的量进行替换.4.根据给出的数塔猜测123456×9+7等于.1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=1111112345×9+6=111111……【解析】由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1111111.答案：1111111三、解答题(每小题10分，共20分)5.在平面几何中研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a，类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明.【解题指南】利用类比推理时，正三角形可类比成正四面体，归纳出结论再给予证明. 【解析】类比所得的真命题是：棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值a.证明：设M是正四面体P-ABC内任一点，M到面ABC，面PAB，面PAC，面PBC的距离分别为d1，d2，d3，d4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：V P-ABC=V M-ABC+V M-PAB+V M-PAC+V M-PBC=·S△ABC·(d1+d2+d3+d4)，而S△ABC=a2，V P-ABC=a3，故d1+d2+d3+d4=a(定值).【拓展延伸】类比法的可靠性(1)类比法所获得的结论是对两个研究对象的观察比较、分析联想直到形成猜想来完成的，是一种由特殊到特殊的推理方法，其结论的可靠程度，依赖于两个研究对象的共有属性.(2)一般说来，共有属性越多，结论的可靠程度就越大；共有属性越是本质的，结论的可靠程度就越高.尽管类比法结论的真实性不一定得到保证，但它在人们的认识活动中仍有着重要意义.6.设{a n}是集合{2t+2s|0≤s<t，且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列的数列，即a1=3，a2=5，a3=6，a4=9，a5=10，a6=12，….将数列{a n}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如图所示的三角形数表：(1)写出这个三角形数表中的第4行、第5行各数.(2)求a100.【解析】(1)将前三行各数分别写成2t+2s的形式：第1行：3=21+20；第2行：5=22+20，6=22+21；第3行：9=23+20，10=23+21，12=23+22；由此归纳猜想：第4行：24+20，24+21，24+22，24+23；第5行：25+20，25+21，25+22，25+23，25+24.经计算可得第4行各数依次是：17，18，20，24；第5行各数依次是：33，34，36，40，48.(2)由每行数的个数与所在行数相同，即第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，…故前13行共有1+2+3+…+13=91个数.因此，a100应当是第14行中的第9个数.所以a100=214+28=16640.。
高中数学 选修1-2 同步练习 专题2.1 合情推理与演绎推理(解析版)
第二章 推理与证明2.1 合情推理与演绎推理一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列13521,,n -,,,,则23是这个数列的A ．第10项B ．第11项C ．第12项D ．第21项【答案】C【解析】令2123n -=，解得12n =，故23是这个数列的第12项．故选C ． 2．某演绎推理的“三段”分解如下：①函数()13xf x =是减函数；②指数函数是减函数；③函数()13x f x =是指数函数，则按照演绎推理的三段论模式，排序正确的是 A ．①→②→③ B ．③→②→① C ．②→①→③ D ．②→③→①【答案】D3．下列推理是类比推理的是A ．A ，B 为定点，动点P 满足|P A |+|PB |＝2a ＞|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1=1，31n a n =-，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2+y 2=r 2的面积2πr ，猜想出椭圆22221x ya b+=的面积为πS ab =D ．以上均不正确 【答案】C【解析】A 是演绎推理，B 是归纳推理，C 是类比推理．故选C ． 4．“因为偶函数的图象关于轴对称，而函数是偶函数，所以的图象关于轴对称”.在上述演绎推理中，所得结论错误的原因是 A ．大前提错误 B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．大前提与推理形式都错误【答案】B5．设0()sin x f x =，10()()f f x x '=，21()()f f x x '=，…，1()(),n n f f n x x +='∈N ，则2017()f x = A ．cos x - B ．sin x - C ．cos x D ．sin x【答案】C【解析】1()cos f x x =，2()(cos )sin ,f x x 'x ==-，3()cos ,f x x =-，4()sin f x x =， 故2017450411()()()cos f x f x f x x ⨯+===．故选C ．6．在平面几何中有如下结论：设正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214SS =，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V = A ．18 B ．19 C ．164D ．127【答案】D【解析】如图，连接AE ，7．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为 1 3 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31……A ．811B ．809C ．807D ．805【答案】B【解析】由题意知前20行共有正奇数21353920400++++==个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是24051809⨯-=．故选B ．8．有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有灰色的正六边形的个数是……A．26 B．31 C．32 D．36 【答案】B【解析】有灰色的正六边形个数如下表：图案123…个数61116…由表可以看出有灰色的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，5为公差的等差数列，所以第6个图案中有灰色的正六边形的个数是65(61)31+⨯-=．故选B．9．有三个人，甲说：“我不是班长”，乙说：“甲是班长”，丙说：“我不是班长”.已知三个人中只有一个说的是真话，则班长是A．甲B．乙C．丙D．无法确定【答案】C二、填空题：请将答案填在题中横线上．10．设等差数列{}n a的前n项和为n S，则4S，84S S-，128S S-成等差数列；类比以上结论有：设等比数列{}n b的前n项积为n T，则4T，______________，128TT成等比数列．【答案】84TT【解析】由题意，等差数列{}n a的前n项和为n S，则4S，84S S-，128S S-成等差数列，运用类比思想，只需要将差改为比即可，故有4T，84TT，128TT成等比数列．11．用演绎推理证明2)0(,,y x x=∈-∞是减函数时，大前提是______________．【答案】减函数的定义【解析】大前提：减函数的定义，在x I ∈内，若有12x x >，则有12()()f x f x <，小前提：2)0(,,y x x =∈-∞时12x x >，有12()()f x f x <， 结论：2)0(,,y x x =∈-∞是减函数．12．已知下列等式：，，，，……则根据以上四个等式，猜想第个等式是__________()*n ∈N ． 【答案】13．在下列类比推理中，正确的有_____________．①把()a b c +与(log )a x y +类比，则有log )l g og (o l a a a x y x y +=+； ②把()a b c +与sin()x y +类比，则有sin()sin sin x y x y +=+；③把实数,a b 满足：“若0,0ab b =≠，则0a =”，类比平面向量的数量积，“若·0=a b ，≠0b ，则=0a ”；④平面内，“在ABC △中，ACB ∠的平分线CE 将三角形分成两部分的面积比=AEC BEC SACS BC△△”，将这个结论类比到空间中，有“在三棱锥A BCD －中，平面DEC 平分二面角A CD B --，且与AB 交于点E ，则平面DEC 将三棱锥分成两部分的体积比A CDE ACDB CDE BDCV S V S --=△△．【答案】④三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14．把下列演绎推理写成三段论的形式．（1）在标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾； （2）一切奇数都不能被2整除，20(2)1+是奇数，所以20(2)1+不能被2整除； （3）三角函数都是周期函数，cos y α=是三角函数，因此cos y α=是周期函数． 【解析】（1）在标准大气压下，水的沸点是100℃，………………大前提 在标准大气压下把水加热到100℃，…………………………………小前提 水会沸腾．………………………………………………………………结论 （2）一切奇数都不能被2整除， ……………………………………大前提20(2)1+是奇数， ……………………………………………………小前提 20(2)1+不能被2整除． ……………………………………………结论（3）三角函数都是周期函数，………………………………………大前提cos y α=是三角函数，………………………………………………小前提 cos y α=是周期函数．………………………………………………结论15．已知()33xf x =+，分别求()0)(1f f +，()12()f f -+，()23()f f -+的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论．【解析】由1()33xf x=+，得01113()()313333f f=+=+++，12113()()3333123f f-=+=++-+，23113()()3333233f f-=+=++-+，归纳猜想一般性结论为3()(1)3f fx x-++=，证明如下：111131()(1)333313333xx x x xf f xx-++-++=+=++++⋅+1113313313313=33333333(133)x x xx x x x+++⋅⋅+⋅++===++++⋅．16．（1）在平面上，若两个正方形的边长的比为，则它们的面积比为.类似地，在空间中，对应的结论是什么？（2）已知数列满足11212,4nnnaa aa+-==+，求，并由此归纳得出的通项公式（无需证明）.17．如图1，已知PAB△中，，点在斜边上的射影为点.（1）求证：222111PH PA PB =+； （2）如图2，已知三棱锥中，侧棱，，两两互相垂直，点在底面内的射影为点.类比（1）中的结论，猜想三棱锥中与，，的关系，并证明.因为，，，所以平面，。
2020学年高中数学2.1.1合情推理(1)(含解析)新人教A版选修1-2(2021-2022学年)
课时作业3合情推理(1)知识点一数列中的归纳推理1。
数列２，５,11，２0,ｘ,47中的x等于( )A.28 B．32 C.33D．27答案Ｂ解析由前几个数字可归纳出此列数字为：２，5,１1，20,32,４7,∴答案为B．2．观察下列各等式：错误!+错误!=2,错误!＋错误!未定义书签。
=2,错误!未定义书签。
＋错误!未定义书签。
=２,错误!未定义书签。
+错误!未定义书签。
=2,依照以上各式成立的规律,得到一般性的等式为( ）A。
错误!未定义书签。
+错误!未定义书签。
=２B.错误!＋错误!未定义书签。
=2C.错误!＋错误!未定义书签。
=2D．错误!未定义书签。
+错误!＝2答案A解析观察发现：每个等式的右边均为2,左边是两个分数相加,分子之和等于8，分母中被减数与分子相同,减数都是４,因此只有Ａ正确。
知识点二几何中的归纳推理3。
如图所示,着色的三角形的个数依次构成数列{ａn｝的前4项，则这个数列的一个通项公式为（)A.a n＝3n－1B.ａn＝3ｎC.ａn=3n－2nﻩＤ．aｎ＝3n－1+2n－3答案A解析∵a１=1，a2＝3，a３=9,a4＝27，猜想a n=3ｎ－１.4．如图所示,图１是棱长为1的小正方体，图2、图３是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层,第2层，…,第n层,第n层的小正方体的个数记为S n。
解答下列问题：（1)按照要求填表:(2）Ｓ10＝_＿__＿__答案（１）10(2)５５解析S１=1,Ｓ2=3＝1＋2,Ｓ3=６=1+2+3,推测Ｓ4=1+２＋3+4=１0，…Ｓ10=1+2＋3+…＋10=55。
知识点三归纳推理的应用５.在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有５条对角线,凸六边形有9条对角线，…,由此猜想凸n边形有几条对角线？解因为凸四边形有２条对角线,凸五边形有５条对角线,比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条,…,于是猜想凸ｎ边形的对角线条数比凸(ｎ－1)边形多（n-２)条对角线,由此凸n边形的对角线条数为2+3＋4＋5+…＋(n-2),由等差数列求和公式可得错误!未定义书签。
人教版选修【1-2】2.1.1《合情推理》习题及答案
数学·选修1－2(人教A版)2．1 合情推理与演绎推理2．1.1 合情推理►达标训练1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )A．28 B．32C．33 D．27答案：B2．已知三角形的三边长分别是a，b，c，其内切圆的半径为r，则三角形的面积为：S＝12(a＋b＋c)r，利用类比推理，可以得出四面体的体积为( )A．V＝13 abcB．V＝13 ShC．V＝13(S1＋S2＋S3＋S4)·r(其中S1，S2，S3，S4分别是四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径)D．V＝13(ab＋bc＋ca)h(h为四面体的高)解析：根据类比的一般原理，三角形的边长和面积分别类比于四面体的面积和体积，因而可以得出答案C.答案：C3．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113解析：由数塔呈现的规律知，结果是各位都是1的7位数． 答案：B 4．等比数列{}a n 满足：m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n＝a p ·a q .由此类推可得，在等差数列{}a n 中，若有m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则有( )A ．a m ·a n ＝a p ·a qB ．a m ＋a n ＝a p ＋a qC.a m a n ＝a pa qD ．a m －a n ＝a p －a q答案：B5．下面使用类比推理正确的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c＝a c ＋bc (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”答案：C6．如右图所示，面积为S 的凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i＝ 1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为h i(i＝1,2,3,4)，若a11＝a22＝a33＝a44＝k，则∑i＝14(a i h i)＝2Sk.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S i(i＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i 个面的距离记为H i(i＝ 1,2,3,4)，若S1 1＝S22＝S33＝S44＝K，则∑i＝14(S i H i)＝( )A.4VKB.3VKC.2VKD.VK解析：从平面类比到空间，通常是边长类比为面积，面积类比为体积，又凸四边形中，面积为S＝12(a1h1＋a2h2＋a3h3＋a4h4)，而在三棱锥中，体积为V＝13(S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4)，即存在系数差异，所以，上述性质类比为B.答案：B►素能提高1．下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖________块(用含n的代数式表示)．解析：第(1)，(2)，(3)，…个图案黑色瓷砖数依次为：15－3＝12,24－8＝16,35－15＝20，…由此可猜测第n个图案黑色瓷砖数为：12＋(n －1)×4＝4n ＋8.答案：4n ＋82．图1是一个边长为1的正三角形，分别连接这个三角形三边中点，将原三角形剖分成4个三角形(如图2)，再分别连接图2中一个小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7个三角形(如图3)，…，依此类推，设第n 个图中三角形被剖分成a n 个三角形，则第4个图中最小三角形的边长为________；a 100＝________.…图1 图2 图3答案：182983．观察下列不等式：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…照此规律，第五个不等式为_____________________________．解析：观察不等式的左边发现，第n 个不等式的左边＝1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2，右边＝2(n ＋1)－1n ＋1，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116. 答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<1164．(2013·广州二模)数列{a n }的项是由1或2构成，且首项为1，在第k 个1和第k ＋1个1之间有2k －1个2，即数列{a n }为：1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1，…，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 20＝______；S 2013＝______.答案：36 39815．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr .①①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)的变量，请你写出类似于①的式子②：_______________________________________.②式可以用语言叙述为：_______________________________.解析：V (R )＝43πR 3，又⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2，故②式可填＝4πR 2，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数”．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数6．(2013·江门佛山二模)将集合{2s ＋2t |0≤s ＜t 且s ，t ∈Z}中的元素按上小下大，左小右大的原则排成如图的三角形数表，将数表中位于第i 行第j 列的数记为b ij (i ≥j ＞0)，则b 43＝________.答案：207．在等差数列{}a n 中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立．类比上述性质，在等比数列{}b n 中，若b 9＝1，则有等式______________________成立．解析：a 10是等差数列{}a n 的前19项的中间项，而b 9是等比数列{}b n 的前17项的中间项．所以答案应为：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)．答案：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)8．在平面内观察发现：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…，由此猜测凸n 边形有几条对角线．解析：凸四边形有2条对角线；凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条对角线； 凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条对角线；…归纳猜测：凸n 边形的对角线条数，比凸n －1边形多对角线，于是得到凸n 边形的对角线条数为2＋3＋4＋…＋(n －2)＝12n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)．►品味高考1．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过下图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项； (2)b 2k －1＝________(用k 表示)．解析：由以上规律可知三角形数1,3,6,10，…的一个通项公式为a n ＝n (n ＋1)2，写出其若干项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120，发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120，故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15. 从而由上述规律可猜想：b 2k ＝a 5k +＝5k (5k ＋1)2(k 为正整数)，b 2k －1＝a 5k －1＝(5k －1)(5k －1＋1)2＝5k (5k －1)2，故b 2 012＝b 2×1 006＝a 5 030，即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项．答案：(1)5 030 (2)5k (5k －1)2点评：本题考查归纳推理，猜想的能力．归纳推理题型重在猜想，不一定要证明，但猜想需要有一定的经验与能力，不能凭空猜想．2．(2013·陕西卷)观察下列等式： (1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 …照此规律，第n 个等式可为______________________________．答案：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×5×…×(2n －1) 3．(2013·湖北卷)在平面直角坐标系中，若点P (x ，y )的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L .例如图中△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4.(1)图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L 分别是________； (2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝aN ＋bL ＋c ，其中a ，b ，c 为常数．若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝________(用数值作答)．解析：(1)四边形DEFG是一个直角梯形，观察图形可知：S＝(2＋22)×2×12＝3，N＝1，L＝6.(2)由(1)知，S四边形DEFG＝a＋6b＋c＝3.S△ABC＝4b＋c＝1.在平面直角坐标系中，取一“田”字型四边形，构成边长为2的正方形，该正方形中S＝4，N＝1，L＝8.则S＝a＋8b＋c＝4.联立解得a＝1，b＝12，c＝－1.∴S＝N＋12L－1，∴若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝71＋12×18－1＝79. 答案：(1)3,1,6(2)79。
人教版高中数学选修1-2练习：合情推理练习：
第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．1.1合情推理1．认识合情推理的含．2．能利用和比等行的推理，领会并合情推理在数学中的作用．基梳理1．推理．由某事物的部分象拥有某些特色，推出事物的所有象都拥有些特色的推理，或许由个事归纳出一般的推理称推理 (称 )．言之，推理是由部分到整体、由个到一般的推理．2．比推理．由两象拥有某些似特色和此中一象的某些已知特色，推出另一象也拥有些特色的推理称比推理 (称比 )．言之，比推理是由特别到特别的推理．3．合情推理．推理和比推理都是依据已有的事，察、剖析、比、想，再行、比，而后提出猜想的推理，我把它称合情推理．平常地，合情推理是指“符合情理”的推理．基自1．已知扇形的弧 l，半径 r，比三角形的面公式S＝底×高，可推知扇形面2公式 S 扇等于 (C)r2l 2A. 2B.2lrC.2D．不行比分析：由扇形的弧与半径比于三角形的底与高可得 C.故 C.2．从 1＝ 12， 2＋ 3＋4＝ 32， 3＋ 4＋ 5＋ 6＋7＝ 52，⋯，可得一般律___________________________________________________ ．分析：猜想：第 n 个等式的左是 2n－1 个整数的和，第 1 个数 n，等式的右是整数个数的平方，即一般律n＋ (n＋ 1) ＋(n＋ 2)＋⋯＋ (3n－2)＝ (2n－ 1)2.答案： n＋ (n＋ 1)＋ (n＋ 2)＋⋯＋ (3n－ 2)＝ (2n－ 1)23 ．根据下列 5 个形及相点的个数的化律，猜想第 n个形中有______________个点．分析：第 n 个图有 n 个分支，每个分支上有(n－ 1)个点 (不含中心点 )，再加上中心 1 个点，则有 n(n－1)＋ 1＝ n2－ n＋1 个点．答案： n2－n＋ 1AE AC 4．在平面几何中，△ABC 的内角均分线CE 分 AB 所成线段的比为EB＝BC，把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD 中 (以下图 )，平面 DEC 均分二面角 ACDB 且与 AB 相交于点 E，则获得的类比结论是 ________．分析：把线段比类比到面积比，得AE＝S△ACD. EB S△BCD答案： AE ＝ S△ACDEB S△BCD（一）解读合情推理数学研究中，获得一个新结论以前，合情推理经常能帮助我们猜想和发现结论；证明一个数学结论以前，合情推理经常能为我们供给证明的思路和方向．合情推理的一般过程为：（二）解读归纳推理(1)归纳推理的分类．①完整归纳推理：由某类事物的全体对象推出结论．②不完整归纳推理：由某类事物的部分对象推出结论．需要注意的是，由完整归纳推理获得的结论是正确的，由不完整归纳推理获得的结论不必定正确．(2)归纳推理的特色．因为归纳是依据部分已知的特别现象推测未知的一般现象，因此归纳推理拥有以下特点：①所得结论超越了前提所包括的范围；②所得结论拥有猜想性质，正确性需要证明；③归纳的基础在于察看、实验或经验．(3)归纳推理的一般步骤．①经过察看、剖析个别状况，发现某些同样特色；②将发现的同样特色进行归纳，推出一个明确表达的一般性命题(猜想 )．（三）解读类比推理(1)类比推理的特色．①类比是从一种事物的特别属性推测另一种事物的特别属性；②类比是以原有知识为基础，猜想新结论；③类比能发现新结论，但结论拥有猜想性，正确性需要证明．(2)类比推理的一般步骤．①明确两类对象；②找出两类对象之间的相像性或许一致性；③用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，获得一个明确的结论．1．归纳推理的一般步骤：(1)经过察看个别状况发现某些同样性质．(2)从已知的同样性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想 )．2．归纳推理的思想进度．实验、察看→ 归纳、推行→ 猜想一般性结论．即对有限的资料进行察看、剖析、归纳、整理，提出带有规律性的结论，而后对该猜想的正确性加以查验．3．一般地，归纳的个别状况越多，越拥有代表性，推行的一般性命题就越靠谱．4．运用类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物之间的相像性或一致性．(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．5．类比推理常有的几种题型．(1)类比定义：本类题型解决的重点在于弄清两个观点的相像性和相异性以及运用新观点的正确性．(2)类比性质 (定理 )：本类题型解决的重点在于要理解已知性质 ( 定理 ) 的内涵、应用环境及使用方法，经过研究已知性质 (定理 )，刻画新性质 (定理 )的“相貌”．(3)类比方法 (公式 ) ：本类题型解决的重点在于解题方法．1．下一串白黑相摆列的珠子，按种律往下摆列起来，那么第 36 珠子的色是 (A)○○○●●○○○●●○○○●●○○⋯⋯A ．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大2．数列 2， 5，11， 20， x， 47，⋯中的x 等于 (B)A．28 B．32C．33 D． 273．已知三角形的三分a， b， c，其内切的半径r ，三角形的面：S 1＝2(a＋ b＋ c)r，利用比推理，能够得出四周体的体(C)1A．V＝3abc1B．V＝3Sh1分是四周体四个面的面，r 四周C．V＝ (S1＋ S2＋ S3＋ S4) ·r(此中 S1， S2， S3， S43体内切球的半径)1D． V＝3(ab＋bc＋ ca)h(h 四周体的高)4．等差数列 { a n} 中，有2a n＝ a n－1＋ a n＋1(n≥2，且 n∈ N* )，比以上，在等比数列{ b n} 中似的是________．答案： b2n＝ b n－1· b n＋1( n≥2，且 n∈ N* )1．以下对于推理的法中的是(A)A．推理是由一般到一般的一种推理程B．推理是一种由特别到一般的推理程C．推理得出的拥有有时性，不必定正确D．推理拥有由详细到抽象的功能2．由数列1， 10， 100，1 000，⋯猜数列的第n 可能是 (B)A ． 10nB ．10n－1C． 10n＋1D． 11n3．依据出的数塔猜123 456 ×9＋ 7 等于 (B)1× 9＋ 2＝ 11 12× 9＋3＝ 111 123× 9＋ 4＝ 1 1111 234× 9＋ 5＝11 11112 345 ×9＋ 6＝ 111 111A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113分析：由数塔体现的规律知，结果是各位都是1的 7位数．4．下边使用类比推理正确的选项是 (C)A ．“若 a ·3＝ b ·3，则 a ＝ b ”类推出 “a ·0＝ b ·0，则 a ＝ b ”B ．“(a ＋ b)c ＝ ac ＋ bc ”类推出 “(a ·b)c ＝ ac ·bc ”a ＋ba bC ．“(a ＋ b)c ＝ ac ＋ bc ”类推出 “c ＝ ＋ ( c ≠ 0) ”c cD ．“ (ab)n ＝ a n b n ”类推出 “(a ＋ b)n ＝ a n ＋ b n ” 5． n 个连续自然数按规律摆列以下：依据规律，从 2010 到 2012，箭头的方式挨次是 (C)A ．↓→B ．→↑C ．↑→D ．→↓4 为公差的等差数列，由分析：察看特例的规律知：地点同样的数字是以 11→ 12可知从 2010 到2012为 ↑→. ↑106．以下图，面积为 S 的凸四边形的第 i 条边的边长为 a i (i ＝ 1， 2， 3， 4)，此四边形内任一点 P 到第 i 条边的距离记为 h i (i ＝1，2，3，4)，若a 1 a 2 a 3 a 4＝k ，则 4 2S＝ ＝ ＝ 4(a i h i )＝k .1 2 3i ＝1类比以上性质，体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 S i (i ＝ 1，2，3，4)，此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距离为H i (i ＝1， 2， 3，4)，若 S 1＝ S 2＝ S 3 ＝K ，则4(S i H i )＝(B)1 2 3i ＝14V 3V 2V VA. KB. KC. KD.K分析：从平面类比到空间，往常是边长类比为面积，面积类比为体积，又凸四边形中，11 面积为 S ＝ ( a 1h 1＋ a 2h 2＋ a 3h 3＋ a 4h 4)，而在三棱锥中， 体积为 V ＝ (S 1H 1＋ S 2H 2＋S 3H 3＋ S 4H 4)，23即存在系数差别，因此，上述性质类比为B.7．察以下不等式：1 31＋22<2，1 1 51＋22＋32<3，1 1 1 71＋22＋32＋42 <4，⋯照此律，第五个不等式 _______________________________ ．n 个不等式的左＝1＋111分析：察不等式的左，第22＋32＋⋯＋（n＋1） 2，右＝ 2（ n＋1）－ 1，n＋ 1因此第五个不等式11111111＋22＋32＋42 ＋52＋62< 6.8．下是用同格的黑、白两色正方形瓷的若干案，按此律，第n 个案中需用黑色瓷________ (用含 n 的代数式表示 )．分析：第 (1) ，(2) ，(3) ，⋯个案黑色瓷数挨次：15－ 3＝ 12， 24－ 8＝ 16，35－ 15＝20，⋯由此可猜第n 个案黑色瓷数：12＋ (n－ 1) ×4＝ 4n＋ 8.答案： 4n＋ 89． 1 是一个 1 的正三角形，分接个三角形三中点，将原三角形剖分成 4个三角形 (如 2)，再分接 2 中一个小三角形三的中点，又可将原三角形剖分成 7个三角形 (如 3)，⋯，依此推，第 n 个中三角形被剖分红a n个三角形，第 4个中最小三角形的__________ ；a100＝ __________．1答案：29810．的面 S＝π r2，周 c＝ 2π r，二者足 c＝ S′(r)，比此关系写出球的公式的一个是：________．分析：的面、周分与的体和表面比可得，球的体 V＝43π R3，表面S＝ 4πR2，足 S＝V′(R)．432答案： V 球 ＝ π R ，S 球＝ 4π R ， 足 S ＝ V ′(R)．11．在等差数列 { a n } 中，若 a 10＝ 0， 有等式 a 1＋ a 2＋ ⋯＋ a n ＝ a 1＋ a 2＋ ⋯ ＋a 19－n (n ＜ 19， n ∈ N * )建立． 比上述性 ，在等比数列 { b n } 中，若 b 9 ＝1， 有等式 __________________ 建立．分析： a 10 是等差数列 { a n } 的前 19 的中 ，而 b 9 是等比数列 { b n } 的前 17 的中*．因此答案 ：b 1 b 2 ⋯b n ＝ b 1b 2 ⋯b 17－ n ( n ＜ 17， n ∈ N )．答案： b 1b 2⋯b n ＝ b 1b 2⋯b 17－n (n ＜ 17， n ∈N * )．2212． a n 是首 1 的正 数列，且 (n ＋ 1)a n ＋ 1－ na n ＋ a n ＋ 1·a n ＝0(n ≥1， n ∈ N) ， 出 个数列的一个通 公式．分析：当 n ＝ 1 ， a 1＝ 1，且 2a 22－ a 21＋ a 2· a 1＝ 0，即 2a 22 ＋ a 2 － 1＝ 0 解得 a 2＝ 12；21 21当 n ＝2 ，由 3a 3－ 2 2 ＋2a 3＝ 0，即 6a 23 ＋ a 3 － 1＝ 0，解得 a 3＝ 13，⋯1由此猜想； a n ＝ n .13．在 x2＋ y 2＝ r 2 中， AB 直径， C 上异于 AB 的随意一点， 有 k AC · k BC ＝－ 1，你能用 比的方法得出 x 2 y 22＋ 2＝ 1(a ＞ b ＞0) 中有什么 的 ？a b分析： A(x 0 ，y 0 ) 上的随意一点， A 点对于中心的 称点 B 的坐 (－ x 0， －y 0)，点 P(x ， y) 上异于 A ， B 两点的随意一点，·k ＝ y － y 0 y ＋ y 0 y 2－ y 20k AP · ＝ x 2 2BP x － x 0 x ＋ x 0 － x 0.因为 A ， B ，P 三点都在 上．x 2 y 22＋ 2＝ 1，x 2－ x 02y 2－y 20∴a b两式相减有2 2 a 2 ＋b 2 ＝0，x 0y 0＝ 1，a 2 ＋b 22－ y 222.∴ y220＝－ b2，即 k AP · k BP ＝－ b 2x － x 0aa故 x 2 y 2a 2＋b 2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)中 中心的一条弦的两个端点 A ， B ，P 上异于A ， B2的随意一点， 有 k · k BP ＝－ b 2APa .?品尝高考1．(2014 ·西卷 )已知 f(x)＝x ，x ≥ 0，若 f 1(x)＝ f(x)，f n ＋ 1(x)＝ f( f n (x)) ，n ∈ N ＋， f 2 014(x)1＋ x的表达式 ________．xx分析：由 f 1(x)＝ x? f 2(x)＝ fx＝ 1＋ x ＝ x ；又可得 f 3 (x)＝ f(f 2(x)) ＝1＋ x1＋ x x x1＋ x1＋2x1＋1＋ x1＋1＋ 2x＝ x ，故可猜想1＋ 3xxf 2 014(x)＝ 1＋ 2 014x.答案：x1＋ 2 014x2． (2013 ·西卷 ) 察以下等式：(1＋ 1)＝ 2×12(2＋ 1)(2＋ 2)＝ 2 × 1×3(3＋ 1)(3＋ 2)(3＋ 3)＝ 23× 1×3× 5 ⋯照此 律，第 n 个等式可 _______________________________ ． 答案： (n ＋1)( n ＋ 2) ·⋯·(n ＋n)＝ 2n × 1× 3× 5×⋯× (2n － 1)3． (2013 湖·北卷 )在平面直角坐 系中，若点 P(x ，y)的坐 x ， y 格点． 若一个多 形的 点所有是格点， 称 多 形 格点多 形． S ，其内部的格点数 N ， 界上的格点数 L .比如 中 △ ABC的 S ＝ 1，N ＝ 0， L ＝ 4.均 整数， 称点 P 格点多 形的面 是格点三角形，(1) 中格点四 形 DEFG 的 S ， N ， L 分 是 ________； (2)已知格点多 形的面 可表示 S ＝ aN ＋ bL ＋ c ，此中 a ，b ， c 常数．若某格点多形 的 N ＝ 71， L ＝ 18， S ＝ ________(用数 作答 )．分析： (1)四 形 DEFG 是一个直角梯形， 察 形可知：S ＝( 2＋2 2)× 2× 1＝3，N2＝1，L ＝6.(2)由 (1) 知， S 四边形 DEFG ＝a ＋ 6b ＋ c ＝ 3.S △ ABC ＝ 4b ＋c ＝ 1.2 的正方形， 正方形中S ＝在平面直角坐 系中，取一“田 ”字型四 形，组成4， N ＝ 1， L ＝ 8.S ＝a ＋ 8b ＋ c ＝4.立解得 a ＝ 1， b ＝ 1， c ＝－ 1.2∴ S ＝N ＋ 1L － 1，2N ＝ 71， L ＝ 18， ∴若某格点多 形 的S ＝71＋ 1× 18－ 1＝79. 2答案： (1)3，1， 6 (2)794． 古希腊 达拉斯学派的数学家 常在沙 上画点或用小石子表示数．他 研究 下 所示的三角形数：将三角形数1， 3， 6， 10，⋯数列 { a n} ，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的序成一个新数列{ b n} ，能够推：(1)b2 012是数列 { a n} 中的第 ________；(2)b2 k－1＝ ________(用 k 表示 )．分析：由以上律可知三角形数1， 3， 6，10，⋯的一个通公式a＝ n（ n＋1），n2写出其若干有：1， 3，6， 10， 15， 21， 28， 36，45， 55，66， 78， 91， 105， 120，此中能被 5 整除的 10， 15，45， 55， 105， 120 ，故 b1＝ a4， b2＝a5，b3＝ a9， b4＝ a10， b5＝ a14， b6＝ a15.进而由上述律可猜想：5k（ 5k－ 1）b2k＝ a5k＝(k 正整数 )，b2k－1＝a5k－1＝（ 5k－ 1）（ 5k－ 1＋1）＝5k（ 5k－ 1），22故 b2 012＝ b2×1 006＝ a5 030，即 b2 012是数列 { a n} 中的第 5 030 ．5k（ 5k－ 1）答案： (1)5 030(2)2点：本考推理，猜想的能力，推理型重在猜想，不必定要明，但猜想需要有必定的和能力，不可以凭空猜想．。
2020-2021学年高二数学人教A版选修1-2配套作业：2.1.1 合情推理 课堂 Word版
第二章 2.1 2.1.11．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇＝( C )A ．r 22B ．l 22C ．lr2D ．不可类比[解析] 类比方法：扇形→三角形，弧长→底边长，半径→高，推知S 扇形＝lr2．2．已知a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110，则数列{a n }的一个通项公式为a n ＝( B )A ．2(n ＋1)2B ．2n (n ＋1)C ．22n －1D ．22n －1[解析] 解法一：当n ＝1时，2(n ＋1)2＝12，22n －1＝2，22n －1＝2，排除A 、C 、D ，只有选项B 满足a 1＝1，故选B ．解法二：a 1＝1＝21×2， a 2＝13＝22×3，a 3＝16＝23×4，a 4＝110＝24×5，…，∴a n ＝2n (n ＋1)，故选B ．3．类比平面正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，在正四面体的下列性质中，你认为比较恰当的是( C )①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；②各面都是全等的正三角形，任意相邻的两个面所成的二面角都相等； ③各面都是全等的正三角形． A ．① B ．①② C ．①②③D ．③[解析] 由平面几何与立体几何的类比特点可知，三条性质都是恰当的．4．观察下列各式：9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示为__(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4(n ∈N *)__．[解析] 由已知四个式子可分析规律(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4．5．在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也是等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应的在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明．[解析] 结论：S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列且公差为300． 此结论是正确的，证明如下： 因为数列{a n }的公差d ＝3．所以(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20) ＝10d ＋10d ＋10d ＋…＋10d 10个 ＝100d ＝300．同理：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列且公差为300．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
高二数学人教选修1-2同步练习：2.1.1 合情推理(一)
第二章 推理与证明 §2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理(一)一、基础过关1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于( )A ．47B ．65C ．63D ．1282．已知a 1＝3，a 2＝6且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33为( )A ．3B ．－3C ．6D ．－63．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 1134．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如图)．试求第n 个正方形数是( )A ．n (n －1)B ．n (n ＋1)C ．n 2D ．(n ＋1)25．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，推测当n ≥2时，有________． 二、能力提升6．设x∈R，且x≠0，若x＋x－1＝3，猜想x2n＋x－2n(n∈R*)的个位数字是________．7．如图，观察图形规律，在其右下角的空格处画上合适的图形，应为________．8．如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________．9．如图所示，图(a)是棱长为1的小正方体，图(b)、图(c)是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n层．第n层的小正方体的个数记为S n.解答下列问题．(1)按照要求填表：n 1234…S n136…(2)S10＝________.(3)S n10．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：(1)b2 012是数列{a n}中的第______项；(2)b2k－1＝________.(用k表示)11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n＋2＝0(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．12．一条直线将平面分成2个部分，两条直线最多将平面分成4个部分． (1)3条直线最多将平面分成多少部分？(2)设n 条直线最多将平面分成f (n )部分，归纳出f (n ＋1)与f (n )的关系； (3)求出f (n )．三、探究与拓展13．在一容器内装有浓度r %的溶液a 升，注入浓度为p %的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n ，计算b 1、b 2、b 3，并归纳出计算公式．答案1．B 2．A 3．B 4．C5．f (2n )>n ＋226．7 7．①8．a n ＝3n －1(n ∈N *) 9．(1)10 (2)55 (3)n (n ＋1)210．(1)5 030 (2)5k (5k －1)211．解 当n ＝1时，S 1＝a 1＝1； 当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53，∴S 3＝－35；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57.猜想：S n ＝－2n －32n －1(n ∈N *)．12．解 (1)3条直线最多将平面分成7个部分． (2)f (n ＋1)＝f (n )＋n ＋1.(3)f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋2＝n 2＋n ＋22.13．解 b 1＝a ·r 100＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100(45r ＋15p )；b 2＝ab 1＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100[(45)2r ＋15p ＋452p ]；b 3＝ab 2＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100[(45)3r ＋15p ＋452p ＋4253p ]；归纳得b n ＝1100[(45)n r ＋15p ＋452p ＋…＋4n －15n p ]．小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
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第二章 推理与证明 §2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理(一)
一、基础过关
1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于
( )
A ．47
B ．65
C ．63
D ．128
2．已知a 1＝3，a 2＝6且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33为
( )
A ．3
B ．－3
C ．6
D ．－6
3．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于
( )
1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111
A ．1 111 110
B ．1 111 111
C ．1 111 112
D ．1 111 113
4．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如图)．
试求第n 个正方形数是
( )
A ．n (n －1)
B ．n (n ＋1)
C ．n 2
D ．(n ＋1)2
5．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>7
2，推测
当n ≥2时，有________． 二、能力提升
6．设x∈R，且x≠0，若x＋x－1＝3，猜想x2n＋x－2n(n∈R*)的个位数字是________．7．如图，观察图形规律，在其右下角的空格处画上合适的图形，应为________．
8．如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________．
9．如图所示，图(a)是棱长为1的小正方体，图(b)、图(c)是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n层．第n层的小正方体的个数记为S n.解答下列问题．
(1)按照要求填表：
(2)S10＝________.(3)S n
10．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：
(1)b2 012是数列{a n}中的第______项；
(2)b2k－1＝________.(用k表示)
11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1
S n
＋2＝0(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，
并猜想S n 的表达式．
12．一条直线将平面分成2个部分，两条直线最多将平面分成4个部分． (1)3条直线最多将平面分成多少部分？
(2)设n 条直线最多将平面分成f (n )部分，归纳出f (n ＋1)与f (n )的关系； (3)求出f (n )．
三、探究与拓展
13．在一容器内装有浓度r %的溶液a 升，注入浓度为p %的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶液
1
4a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n ，计算b 1、b 2、b 3，并归纳出计算公式．
答案
1．B 2．A 3．B 4．C
5．f (2n )>n ＋2
2
6．7 7．①
8．a n ＝3n －
1(n ∈N *)
9．(1)10 (2)55 (3)n (n ＋1)
2
10．(1)5 030 (2)5k (5k －1)
2
11．解 当n ＝1时，S 1＝a 1＝1； 当n ＝2时，1
S 2＝－2－S 1＝－3，
∴S 2＝－1
3
；
当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－5
3，
∴S 3＝－3
5
；
当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－7
5，
∴S 4＝－5
7
.
猜想：S n ＝－2n －3
2n －1
(n ∈N *)．
12．解 (1)3条直线最多将平面分成7个部分． (2)f (n ＋1)＝f (n )＋n ＋1.
(3)f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋2＝n 2＋n ＋2
2
.
13．解 b 1＝a ·r 100＋a 4·
p 100a ＋a 4＝1100(45r ＋1
5p )；
b 2＝ab 1＋a 4·
p 100a ＋a 4
＝1100[(45)2r ＋15p ＋4
52p ]；
b 3＝ab 2＋a 4·
p 100a ＋a 4＝1100[(45)3r ＋15p ＋452p ＋42
53p ]；
归纳得b n ＝1100[(45)n r ＋15p ＋4
52p ＋…＋4n －
15
n p ]．。