2020-2021学年新教材人教A版高一数学必修第一册 第五章 三角函数 单元测试
2020-2021学年新教材高一数学人教A 版必修第一册
第五章 三角函数 单元测试题
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知扇形的圆心角为2 rad ，弧长为4 cm ，则这个扇形的面积是( )
A ．4 cm 2
B ．2 cm 2
C ．4π cm 2
D ．1 cm 2
2．已知a ＝tan 5π12，b ＝cos 3π
5，c ＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－17π4，则( )
A ．b >a >c
B ．a >b >c
C ．b >c >a
D ．a >c >b
3．要得到函数y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象( )
A ．向左平移π
3个单位长度
B ．向左平移π
6个单位长度
C ．向右平移π
6个单位长度
D ．向右平移π
3个单位长度
4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝35，则cos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x ＋7π6等于( ) A.35 B.45
C ．－35
D ．－45
5．函数f (x )＝x sin x 的图象大致是( )
6．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫1
sin α＋1tan α(1－cos α)的结果是( )
A ．sin α
B ．cos α
C ．1＋sin α
D ．1＋cos α
7．如图所示，某摩天轮设施，其旋转半径为50米，最高点距离地面110米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮的座舱，并开始计时，则第7分钟时他距离地面的高度大约为( )
A ．75米
B ．85米
C ．(50＋253)米
D ．(60＋253)米
8．已知函数f (x )＝sin x －sin 3x ，x ∈[0,2π]，则函数f (x )的所有零点之和等于( )
A ．4π
B ．5π
C ．6π
D ．7π
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列函数中，最小正周期为π，且为偶函数的有( )
A ．y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3
B ．y ＝sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －π2
C ．y ＝sin|2x |
D ．y ＝|sin x |
10．已知sin θ＝－2
3，且cos θ>0，则( )
A ．tan θ<0
B ．tan 2
θ>49
C ．sin 2θ>cos 2θ
D ．sin 2θ>0
11．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π4，则下列结论正确的是( )
A ．函数f (x )的最小正周期为π
B ．函数f (x )在[0，π]上有三个零点
C ．当x ＝π
8时，函数f (x )取得最大值
D ．为了得到函数f (x )的图象，只要把函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)
12．若函数f (x )＝1＋4sin x －t 在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，2π上有2个零点，则t 的可能取值为( )
A ．－2
B ．0
C ．3
D ．4
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．tan 15°＝________.
14．如图，某港口一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足
函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．
15．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，则A ＝________.
16．已知函数f (x )＝3sin 3x －a cos 3x ＋a ，且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
29π＝3，则实数
a ＝________，函数f (x )的单调递增区间为________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，锐角α的顶点在坐标原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点A ，且点A 的纵
坐标为45.
(1)求cos α和sin α； (2)求tan 2α的值．
18．(12分)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛
⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象
关于直线x ＝π
3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6<α<2π3，求cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋3π2的值．
19．(12分)(1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α－π2，求sin 2(π－α)＋2sin
αsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2－α＋1的值； (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝13，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
5π3－θ的值．
20．(12分)在①tan α＝43，②7sin 2α＝2sin α，③cos α2＝27
7这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题．
已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2，cos(α＋β)＝－1
3，________，求cos
β.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
21．(12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π3＋1.
(1)求f (x )的单调递增区间；
(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π4，π4上的最值，并求出取最值时x 的值；
(3)求不等式f (x )≥2的解集．
22．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛
⎭
⎪⎫A >0，ω>0，|φ|≤π2的部
分图象如图所示．
(1)求函数y ＝f (x )的表达式；
(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π
6个单位长度得到函数g (x )的图象，若关于x 的方程f (x )＋g (x )－a ＝0在⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2上有实数解，求实数a
的取值范围．
三角函数单元测试参考答案
1．解析：设半径为R ，由弧长公式得4＝2R ，即R ＝2 cm ，则S ＝1
2×2×4＝4 (cm 2)，故选A.
答案：A
2．解析：a ＝tan 5π12>1，b ＝cos 3π
5<0,1>c ＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－17π4＝cos
π
4>0.∴a ＞c ＞b .
则12<t －1
4<1或－1<t －14<0，
解得3<t <5或－3<t <1，故选ABD. 答案：ABD
13．解析：tan 15°＝tan(45°－30°)＝1－tan 30°
1＋tan 30°＝1－33
1＋3
3
＝2－ 3.
答案：2－ 3
14．解析：由图象可知：当sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6x ＋φ＝－1时，y min ＝k －3＝2，
∴k ＝5，当sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6x ＋φ＝1时，y max ＝5＋3＝8. 答案：8 15．解析：由sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，得sin A ＝2sin B ①. 由3cos A ＝－2cos(π－B )，得3cos A ＝2cos B ②. 由①2＋②2得：sin 2A ＋3cos 2A ＝2，即2cos 2A ＝1.
由②和A ，B 为三角形的内角，可知角A ，B 均为锐角，则
cos A ＝2
2.
所以A ＝π
4.
答案：π4
16．解析：①因为f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
29π＝3，
所以f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π9＝3sin 2π3－a cos 2π
3＋a ＝3，
解得：a ＝1；
②将a ＝1代入，得f (x )＝3sin 3x －cos 3x ＋1，
化简得f (x )＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫3x －π6＋1，
故－π2＋2k π≤3x －π6≤π
2＋2k π，k ∈Z。
2020-2021学年数学新教材人教A版必修第一册：5.2.3 同角三角函数的基本关系(2)
为( C )
A．－
3 2
B．±
3 2
C．－
5 2
D．±
5 2
解析：∵A为三角形的一个内角，且sinAcosA＝－18，
∴A为钝角．∴cosA－sinA<0.
∴cosA－sinA＝－ cosA－sinA2
＝－ sin2A＋cos2A－2sinAcosA＝－
1＋14＝－
5 2.
8．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝
16 5
.
解析：tan2xsin2x＝tan2x(1－cos2x)＝tan2x－tan2xcos2x＝tan2x－ sin2x＝156.
11．若0<α<π2，则 α
果是 2cos2 .
1－2sinα2cosα2＋
1＋2sinα2cosα2的化简结
解析：由0<α<2π，得0<α2<4π，
所以0<sinα2<cosα2.
故原式＝ sinα2－cosα22＋ ＝cosα2－sinα2＋sinα2＋cosα2
sinα2＋cosα22
＝2cosα2.
三、解答题(共25分) 12．(12分)已知tanα＝3，求下列各式的值： (1)34ssiinnαα＋－5ccoossαα； (2)sin2α－4co2ss2inαα－co3ssαin－2αcos2α； (3)34sin2α＋12cos2α.
－
sinα＋cosα sin2α－cos2α
＝
sin2α sinα－cosα
－
cos2αsinα＋cosα sin2α－cos2α
＝
sin2α sinα－cosα
－
cos2α
sinαco－s2cαosα＝ssinin2αα－－ccoossα2α＝sinα＋cosα＝右边，∴原式成立．
2020-2021学年数学新教材人教A版必修第一册：5.2.2 同角三角函数的基本关系(1)
1 A.2
B．－12
C．2
D．－2
解析：由sin2x＋cos2x＝1得cos2x＝1－sin2x，得cos2x＝(1－ sinx)(1＋sinx)，得1＋cossixnx＝1－cossixnx，所以sicnoxs－x 1＝－1－cossixnx＝－ －12＝12.故选A.
6．若α为第三象限角，则 1c－ossαin2α＋ 12－sicnoαs2α的值为( B ) A．3 B．－3 C．1 D．－1
解析：∵α为第三象限角，∴cosα<0，sinα<0， ∴原式＝－ccoossαα－2ssiinnαα＝－3.
7．已知ssiinnθθ＋ －ccoossθθ＝2，则sinθcosθ的值是( C )
3 A.4
B．±130
3 C.10
D．－130
解析：由条件得sinθ＋cosθ＝2sinθ－2cosθ，即3cosθ＝sinθ， ∴tanθ＝3，∴sinθcosθ＝sins2inθθ＋cocsoθs2θ＝1＋tatnaθn2θ＝1＋3 32＝130.
13．(13分)证明下列三角恒等式：tatnanαα－sisniαnα＝tatnaαnα＋sisninαα.
sin2α 证明：左边＝csoinsααco－sαsinα＝sinα－sisni2nααcosα ＝sin1α－1c－osc2oαsα＝1＋sicnoαsα＝si1nα＋csoinsαα＝si1nα＋ta1nα ＝tatnaαnα＋sisninαα＝右边，所以原等式成立．
解析：原式＝cosα 1＋csoins22αα＋sinα 1＋csoins22αα ＝cosα co1s2α＋sinα sin12α＝cosα－c1osα＋sinαsi1nα＝0.
三、解答题(共25分)
5.2.1三角函数的概念课件高一数学(人教A版必修第一册)
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角 的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =
=
3
，cos
2
tan =
=
3
−1
3
2
所以sin =
=
=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.
（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，
= − , −
（4）在角 的终边上取一点
则 −
则 =
,
=−
=
,
−
= −；
−, ，即 = −, = , = ，
当 = 或
时，点的坐标是(, )和(− ， )
一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作 ，
即 = .
π
转 3 弧度，滚珠 按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠 ， 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
新教材人教A版高一数学必修一知识点与题型方法总结 第五章三角函数
新教材人教A版高一数学必修一知识点与题型方法总结第五章三角函数【考纲要求】序号考点课标要求1角与弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性。
了解2三角函数的概念和性质①借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值。
借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（的正弦、余弦、正切）。
理解②借助图象理解正弦函数、余弦函数在上，正切函数在上的性质。
理解③结合具体实例，了解的实际意义，能借助图象理解的意义，了解参数的变化对函数图象的影响。
理解3同角三角函数的基本关系理解同角三角函数的基本关系：理解4三角恒等变换①经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦的意义理解②能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
理解③能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）掌握5三角函数应用会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型掌握5.1 任意角和弧度制知识点总结5.1 任意角和弧度制1.角的有关概念（1）定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
（2）角的表示：如图射线为始边，射线为终边，点为角的顶点，图中角可以记为“角”或“”，也可以简记为“”。
（3）角的分类提示：（1）角的概念的推广重在“旋转”，理解“旋转”二字应明确以下三个方面：①旋转的方向②旋转角的大小③射线未作任何旋转时的位置。
（2）角的范围不再限于2.终边相同的角：一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。
3.角的单位制4.弧长公式及扇形面积公式5.常用角之间的换算6.象限角和轴线角（1）象限角：在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5.2三角函数的概念一课一练含解析第一册
第五章三角函数5.2三角函数的概念第1课时任意角的三角函数的定义考点1有关任意角的三角函数的定义的问题1。
(2019·河南商丘九校高一上期末联考)若角α的终边上一点的坐标为（1，—1），则cos α等于（ )。
A.1 B.—1 C .√22 D.-√22 答案：C解析:∵角α的终边上一点的坐标为(1,—1)，此点与原点的距离r =√12+(-1)2=√2,∴cos α=x r =√2=√22. 2。
(2019·青岛二中月考)已知角α的终边过点P （—4,3），则2sin α+tan α的值是（ ）。
A 。
—920B 。
920 C.—25 D.25答案:B解析：∵角α的终边经过点P （-4,3),∴r =|OP ｜=5。
∴sin α=35,cos α=—45，tan α=—34。
∴2sin α+tan α=2×35+(-34)=920。
故选B 。
3.(2019·陕西山阳中学高一上期末考试)点A （x ，y )是60°角的终边与单位圆的交点，则y x 的值为（ )。
A.√3 B.—√3 C.√33 D.—√33 答案:A解析：因为tan60°=√3,所以y x=√3,故选A 。
4。
（2019·山西太原外国语学校高一上第三次月考)若角α的终边过点P (2sin30°，—2cos30°)，则sin α的值为( ）。
A 。
12B 。
-12 C.-√32 D 。
-√33答案：C解析:由题意得P (1，-√3）,它与原点的距离r =√12+(-√3)2=2，所以sin α=—√32。
5。
（2019·新疆兵团二中高三上第二次月考）已知点M (13,a)在函数y =log 3x 的图像上，且角θ的终边所在的直线过点M ，则tan θ=( )。
A.—13 B 。
±13C 。
—3 D.±3答案:C解析：因为点M (13,a)在函数y =log 3x 的图像上，所以a =log 313=—1,即M (13,-1)，所以tan θ=-113=-3,故选C 。
2021年新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 教学课件
{α|α=k·90°，k∈Z}
即时巩固
【1】锐角是第几象限角？直角呢？钝角呢？
【解】锐角是第一象限角；直角是轴线角；钝角是第二象限角.
【2】第一象限角一定是锐角吗？轴线角一定是直角吗？第二象限角一定是钝角吗？
【解】第一象限角不一定是锐角，如390°；
轴线角不一定是直角，如180°；
第二象限角不一定是钝角，如-210°.
与30°终边相同的这些角都可以表示成30°角与k个(k∈Z)周角的和.
390°=30°+360°(k=1) -330°=30°-360°(k=-1)
一般地，所有与α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合
S={β|β=α+k·360°，k∈Z}
即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
5.5三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 P178
5.5.2 简单的三角恒等变换 P200
5.6函数y＝Asin（ωx+φ） P219
5.7三角函数的应用 P241
学习目标
1.了解任意角、相反角的概念，能正确区分正角、负角和零角.
2.理解象限角、轴线角、终边相同的角的概念，会判断已知角的终边所在的象限以及几个已知角
5.1任意角和弧度制
5.1.1
任意角
5.1.2
弧度制 P25
5.2三角函数的概念
5.2.1
三角函数的概念 P43
5.2.2
同角三角函数的基本关系 P63
5.3诱导公式 P86
5.4三角函数的图象和性质
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 P111
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 P134
新教材人教A版高中数学必修第一册 第五章 三角函数 精品教学课件(共412页)
5.5.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
5.5.2 简单的三角恒等变换
5．6 函数y＝Asin(ωx＋φ)
5.7 三角函数的应用
5.1.1 任意角
[教材要点] 要点一 任意角 一条射线绕其端点按__逆__时__针__方向旋转形成的角叫做正角，按
___顺__时__针_方向旋转形成的角叫负角．如果一条射线没有做任何旋转， 就称它形成了一个零角．零角的始边与终边重合．这样，我们就把角 的概念推广到了任意角．
第五章三角函数
5.1.1 5.2.1
5.3.1 5.4.1 5.4.2
任意角
5.1.2 弧度制
三角函数的概念
5.2.2 同角三角函数的基本关系
诱 导公式(一)
5.3.2 诱 导公式(二)
正弦函数、余弦函数的图象 正弦、余弦函数的单调性与最值
5.4.3 正切函数的性质与图象
5.5.1.1 两角差的余弦公式 5.5.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
解析：①0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不属于任何象限，所以① 不正确．
②120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然 390°>120°，所以② 不正确．
③钝角的范围是(90°，180°)，显然是第二象限角，所以③正确． ④锐角的范围是(0°，90°)，小于 90°的角也可以是零角或负角，所以 ④不正确． 答案：①②④
)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第一或第二象限角
D．第一或第三象限角
(2)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．
解析：(1)∵k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z， ∴k·180°<α2<45°＋k·180°，k∈Z. 当 k＝2n，n∈Z 时，n·360°<α2<45°＋n·360°，n∈Z， ∴α2是第一象限角． 当 k＝2n＋1，n∈Z 时，180°＋n·360°<α2<45°＋180°＋n·360°(n∈Z)， ∴α2在第三象限． (2)若角 α 的终边落在 OA 上，则 α＝30°＋k·360°，k∈Z. 若角 α 的终边落在 OB 上，则 α＝135°＋k·360°，k∈Z. 所以，角 α 的终边落在图中阴影区域内时， 30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z. 故角 α 的取值集合为{α|30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}． 答案：(1)D (2)见解析
2020-2021学年高一数学必修第一册(人教A版(2019))(试卷+答案)
2020-2021学年高一数学必修一单元测试卷第5章 三角函数（一）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、在平面直角坐标系xOy 中，角与均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若=αsin 54，则=βsin (A ．53B ．54C ．53-D ．-54 2.（2020全国 Ⅱ卷）若α为第四象限角，则（ ） A ．cos 20α> B ．cos 20α< C ．sin 20α>D ．sin 20α<3..设α是第二象限角，P(x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( ) A ．43B ．34C ．－34D ．－434. 一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ） A ．2π B ．3π C 2 D 35.若4sin cos 3θθ-=，且3π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin(π)cos(π)θθ---=（ ） A ．23- B ．23C ．43-D ．436.（2020全国III 卷）已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan θ=（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．27.若2cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()cos 2πα-=（ ）A ． 29- B ．29 C ． 59- D ． 598 （2020海南卷改编）右图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图像，则sin()x ωϕ+=（ ）A ．sin()3x π+B ．sin(2)3x π-C ．)62cos(π-xD ．5cos(2)6x π-9. （2020全国卷I ）已知(0,)απ∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ）A ．5B ．23C ．13D 510. 设函数()sin()3)f x x x ωϕωϕ=++（0,2πωϕ><）的最小正周期为π，且()f x 为偶函数，则（ ）A ．()f x 在(0,)2π单调递减B ．()f x 在3(,)44ππ单调递减C ．()f x 在(0,)2π单调递增D ．()f x 在3(,)44ππ单调递增11. 若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )A ．33B ．－33C ．539D ．－69 12. 设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8，若方程f (x )＝a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，则2x 1＋3x 2＋x 3的值为( )A ．πB ．3π4C ．3π2D ．7π4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13. （2020江苏卷）将函数3sin(2)4y x π=+的图象向右平移6π个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 .14. （2020北京） 若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．15. （2020江苏卷）已知22sin ()43πα+=，则sin2α的值是________.16．(2020天津卷改编）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π；②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是________三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.（10分）已知π02α<<，4sin 5α=． （1）求tan α及sin 2α的值；（2）求πcos 2sin()2αα++的值．18.（12分）已知f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝，且<α<，求cosα－sinα的值；(3)若α＝－，求f(α)的值．19. （12分）（2020·湖北武汉高一期末）一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间.（1）以水轮所在平面与水面的交线为x 轴，以过点O 且与水面垂直的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P 距离水面的高度h （单位：米）表示为时间t （单位：秒）的函数； （2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P 距水面的高度超过2米？20．（12分）【2020·天津高三二模】已知函数()()21cos 3sin cos 2f x x x x x =+-∈R （1）求()f x 的最小正周期；（2）讨论()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性；21. （12分）(本小题满分12分)已知α，β为锐角，sin α＝17，cos(α＋β)＝35. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值； (2)求cos β的值．22.（12分） 已知函数f(x)＝sin2x －2sin2x.(1)求函数f(x)的最大值； (2)求函数f(x)的零点的集合．2020-2020学年高一数学必修一第一册提优卷 第5章 三角函数（一）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、在平面直角坐标系xOy 中，角与均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若=αsin 54，则=βsin (A ．53B ．54C ．53-D ．-54 答案D【解析】角与均以Ox 为始边，且它们的终边关于x 轴对称，=αsin βsin ， 又=αsin 54，∴=βsin -54． 故选：D ．2.（2020全国 Ⅱ卷）若α为第四象限角，则（ ） A ．cos 20α> B ．cos 20α<C ．sin 20α>D ．sin 20α<答案:D 【解析】∵22()2k k k Z ππαπ-+<<∈，∴424()k k k Z ππαπ-+<<∈，∴2α是第三象限角或第四象限角，∴sin 20α<故选D ．3..设α是第二象限角，P(x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( ) A ．43 B ．34C ．－34D ．－43答案:D【解析】：α是第二象限角，所以x<0，r ＝x 2＋16， 所以cos α＝x x 2＋16＝15x ，所以x 2＝9，所以x ＝－3， 所以tan α＝－43. 故选D ．4. 一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ） A ．2π B ．3π CD【答案】C【解析】：设圆内接正方形的边长为a ，所以弧长等于a的圆弧所对的圆心角为l rα===，故选C ． 5.若4sin cos 3θθ-=，且3π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin(π)cos(π)θθ---=（） A ．3-B ．3C ．43-D ．43【答案】A【解析】由题意，416sin cos 12sin cos 39θθθθ-=⇒-=， 则72sin cos 09θθ=-<，由于3π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 22sin(π)cos(π)sin cos (sin cos )12sin cos 3θθθθθθθθ---=+=-+=-+=-故选A ．6.（2020全国III 卷）已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan θ=（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2答案：D【解析】由题可知1tan 2tan 71tan θθθ+-=-，化解得：22tan 2tan 1tan 77tan θθθθ---=-，解得tan 2θ=.故选D ．7.若2cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()cos 2πα-=（ ）A ． 29-B ．29C ． 59-D ．59【答案】C【解析】2cos sin 23παα⎛⎫-== ⎪⎝⎭， ()2225cos 2cos22sin 12139πααα⎛⎫-=-=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭.选C ． 8 （2020海南卷改编）右图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图像，则sin()x ωϕ+=（ ）A ．sin()3x π+B ．sin(2)3x π-C ．)62cos(π-x D ．5cos(2)6x π- 【答案】：B 、 【解析】由图易知22362T πππ=-=，则T π=，22T πω==，由题意结合图像知，26πϕπ⨯+=，故23πϕ=，则2sin(2)sin(2)sin(2)333y x x x ππππ=+=+-=- sin(2)cos(2)266x x πππ=++=+.故选B ．9. （2020全国卷I ）已知(0,)απ∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ）A ．B ．23 C ．13D 【答案】：A【解析】由3cos28cos 5αα-=，得23(2cos 1)8cos 5αα--=， 得23cos 4cos 40αα--=，化为(3cos 2)(cos 2)0αα+-=，得2cos 3α=-，那么sin 3α=．故选A ．10. 设函数()sin())f x x x ωϕωϕ=++（0,2πωϕ><）的最小正周期为π，且()f x 为偶函数，则（ ）A ．()f x 在(0,)2π单调递减B ．()f x 在3(,)44ππ单调递减C ．()f x 在(0,)2π单调递增D ．()f x 在3(,)44ππ单调递增【答案】C【解析】()2sin 3f x x πωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，周期为2,2T ππωω===，函数为偶函数，故,326πππϕϕ-=-=-，故()cos2f x x =-，所以函数在(0,)2π上单调递增. 故选C ．11. 若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )A ．33 B ．－33 C ．539 D ．－69【答案】C【解析】：根据条件可得α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，34π，π4－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539.故选C ．12. 设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8，若方程f (x )＝a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，则2x 1＋3x 2＋x 3的值为( )A ．πB ．3π4C ．3π2D ．7π4【答案】D【解析】：由题意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8，则2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π2， 画出函数的大致图象，如图所示．由图可得，当22≤a <1时，方程f (x )＝a 恰有三个根． 由2x ＋π4＝π2得x ＝π8； 由2x ＋π4＝3π2得x ＝5π8.由图可知，点(x 1，a )与点(x 2，a )关于直线x ＝π8对称；点(x 2，a )和点(x 3，a )关于x ＝5π8对称，所以x 1＋x 2＝π4，x 2＋x 3＝5π4，所以2x 1＋3x 2＋x 3＝2(x 1＋x 2)＋(x 2＋x 3)＝7π4，故选D ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13. （2020江苏卷）将函数3sin(2)4y x π=+的图象向右平移6π个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 . 【答案】524x π=- 【解析】因为()3sin(2)4f x x π=+，将函数()3sin(2)4f x x π=+的图象向右平移6π个单位长度得()()3sin(2)3sin(2)63412g x f x x x ππππ=-=-+=-，则()y g x =的对称轴为2122x k πππ-=+，k Z ∈，即7242k x ππ=+，k Z ∈，0k =时，724x π=，1k =-时，524x π=-，所以平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是524x π=-. 14. （2020北京）若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．【答案】2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【解析】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=. 15. （江苏卷）已知22sin ()43πα+=，则sin2α的值是________.【答案】：13【解析】因为22sin ()43πα+=，由2112sin ()(1cos(2))(1sin2)42223ππααα+=-+=+=，解得1sin 23α=16．(2020天津卷改编）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π；②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是________【答案】①③【解析】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确； 51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确； 将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象， 故③正确.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.（10分）已知π02α<<，4sin 5α=． （1）求tan α及sin 2α的值；（2）求πcos 2sin()2αα++的值．【答案】（1）4tan 3α=，24sin 225α=；（2）825．【解析】（1）因为π02α<<，4sin 5α=，所以3cos 4α=，所以sin 4tan cos 3ααα==，4324sin 22sin cos 25525ααα=⋅=⋅⋅=．（2）原式223382cos 1cos 2()15525αα=-+=⋅-+=．18.（12分）已知f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝，且<α<，求cosα－sinα的值；(3)若α＝－，求f(α)的值．【答案】（1）f(α)＝sinα·cosα.（2）cosα－sinα＝－.(3)－【解析】(1)f(α)＝＝sinα·cosα.(2)由f(α)＝sinαcosα＝可知(cosα－sinα)2＝cos 2α－2sinαcosα＋sin 2α＝1－2sinαcosα＝1－2×＝.又∵<α<，∴cosα<sinα，即cosα－sinα<0.∴cosα－sinα＝－.(3)∵α＝－＝－6×2π＋，∴f(-)＝cos(-)·sin(-)＝cos(-6)·sin(-6)＝cos ·sin ＝cos(2π－)·sin(2π－)＝cos ·＝·(-)＝－. 19. （12分）（2020·湖北武汉高一期末）一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间.（1）以水轮所在平面与水面的交线为x 轴，以过点O 且与水面垂直的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P 距离水面的高度h （单位：米）表示为时间t （单位：秒）的函数； （2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P 距水面的高度超过2米？【答案】（1）()22sin 1036t h t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭；（2）有1s 时间点P 距水面的高度超过2米. 【解析】（1）设水轮上圆心O 正右侧点为A ，y 轴与水面交点为B ，如图所示：设()sin h a t b ωϕ=++，由1OB =，2OP =，可得03BOP π∠=，所以06AOP π∠=.2a ∴=，1b =，6πϕ=-，由题意可知，函数2sin 16h t πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小正周期为3T =，223T ππω∴==， 所以点P 距离水面的高度h 关于时间t 的函数为()22sin 1036t h t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭； （2）由22sin 1236t h ππ⎛⎫=-+>⎪⎝⎭，得21sin 362t ππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭， 令[]0,3t ∈，则211,3666t ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 由256366t ππππ<-<，解得1322<<t ，又31122-=，所以在水轮转动的任意一圈内，有1s 时间点P 距水面的高度超过2米.20．（12分）【2020·天津高三二模】已知函数()()21cos 3cos 2f x x x x x =-∈R （1）求()f x 的最小正周期；（2）讨论()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性；【答案】（1）π；（2）()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.【解析】（1）依题意，()211cos 231cos 3sin cos 2sin 222226x f x x x x x x +π⎛⎫=+-=+-=+ ⎪⎝⎭所以2T ωπ==π.（2）依题意，令222262k x k πππ-+π≤+≤+π，k ∈Z ， 解得36k x k ππ-+π≤≤+π，所以()f x 的单调递增区间为,36k k ππ⎡⎤-+π+π⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .设,44A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，,36B k k ππ⎡⎤=-+π+π⎢⎥⎣⎦，易知,46A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，所以当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.21. （12分）(本小题满分12分)已知α，β为锐角，sin α＝17，cos(α＋β)＝35. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值； (2)求cos β的值．【答案】（1）5314（2）4＋12335 【解析】 (1)∵α为锐角，sin α＝17， ∴cos α＝1－sin 2α＝437，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin αcos π6＋cos αsin π6 ＝17×32＋437×12＝5314.(2)∵α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π)，由cos(α＋β)＝35得，sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝45，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝35×437＋45×17＝4＋12335.22.（12分）已知函数f(x)＝sin2x－2sin2x.(1)求函数f(x)的最大值；(2)求函数f(x)的零点的集合．【答案】（1）1 （2）{x|x＝kπ或x＝kπ＋，k∈Z}【解析】(1)因为f(x)＝sin 2x－(1－cos 2x)＝2sin(2x＋)－1，所以，当2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z时，函数f(x)取得最大值1.(2)法一：由(1)及f(x)＝0得sin(2x＋)＝，所以2x＋＝2kπ＋或2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ或x＝kπ＋，k∈Z.故函数f(x)的零点的集合为{x|x＝kπ或x＝kπ＋，k∈Z}．法二：由f(x)＝0得2sin xcos x＝2sin2x，于是sin x＝0或cos x＝sin x即tan x＝. 由sin x＝0可知x＝kπ；由tan x＝可知x＝kπ＋.故函数f(x)的零点的集合为{x|x＝kπ或x＝kπ＋，k∈Z}．。
2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册：5-2-2 同角三角函数的基本关系
[解] (1)原式
＝
sin2130°－2sin130°cos130°＋cos2130° sin130°＋ cos2130°
＝|ssiinn113300°°＋－|ccooss113300°°||＝ssiinn113300°°－－ccooss113300°°＝1.
(2)原式＝sin2α·csoinsαα＋2sinαcosα＋cos2α·csoinsαα
[变式训练 2] 已知 tanα＝3，求下列各式的值： (1)ccoossαα－＋ssiinnαα＋ccoossαα＋－ssiinnαα； (2)sinα1cosα； (3)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α.
解：(1)ccoossαα－＋ssiinnαα＋ccoossαα＋－ssiinnαα＝11－＋ttaannαα＋11－＋ttaannαα＝11－＋33＋
[变式训练 3] 化简下列各式： (1)12－sin22cαo－s21α； (2) sin2α－sin4α(其中 α 是第二象限角)．
解
：
(1)
2sin2α－1 1－2cos2α
＝
2ssiinn22αα＋－cossin2α2α－＋2ccoos2sα2α ＝
sin2α－cos2α sin2α－cos2α
第五章
三角函数
5.2 三角函数的概念
5.2.2 同角三角函数的基本关系
[目标] 1.记住并能推导同角三角函数基本关系式；2.能够利 用同角三角函数基本关系式进行求值、化简和证明．
[重点] 同角三角函数关系式的应用． [难点] 同角三角函数关系式的推导及应用．
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
D [答案] (2)见解析
[解析] (1)∵sin2α＋cos2α＝1，sinα＝－153， ∴cosα＝± 1－sin2α＝± 1－－1532＝±1123. 又∵α 是第四象限角，∴cosα>0，∴cosα＝1123， ∴tanα＝csoinsαα＝－152.
第5章 三角函数(一)-2020-2021学年高一数学必修第一册单元提优卷(人教A版(2019))(含答案)
＝
3，则
cos
α＋β 2
＝(
)
22
3
3
A． 3 3
B．－ 3 3
C．5 3 9
D．－ 6 9
【答案】C
【解析】：根据条件可得α＋π∈
π，3π 44
，π－β∈
π，π 42
，所以
sin
α＋π 4
＝2
2，sin
π－β 42
＝
6，
4
42
3
3
α＋β 所以 cos 2 ＝cos
π＋α π－β 4 －4 2
π＋α π－β ＝cos 4 cos 4 2 ＋
4
A． 2
B． 1
C．1
4
D．
3
）
D． 2
7.若
cos
2
2 ，则 cos 2 （
3
）
A． 2 9
C． 5 9
2
B．
9 5
D．
9
8 （2020 海南卷改编）右图是函数 y sin( x ) 的部分图像，则 sin( x ) （
）
A． sin(x ) 3
C． cos(2x ) 6
2020-2020 学年高一数学必修一第一册提优卷
第 5 章 三角函数（一）
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的)
1、在平面直角坐标系 xOy 中，角
与
均以 Ox 为始边，它们的终边关于 x 轴对称，若 sin
4
，则
5
2020-2020 学年高一数学必修一第一册提优卷
第 5 章 三角函数（一）