高中数学_椭圆,知识题型总结

陈氏优学教学课题椭圆知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.讲练结合一.椭圆的定义1．若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是 知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。

讲练结合二．利用标准方程确定参数1．椭圆2214x y m+=的焦距为2，则m = 。

2．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。

知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆的的简单几何性质（1）对称性对于椭圆标准方程，把x 换成―x ，或把y 换成―y ，或把x 、y 同时换成―x 、―y ，方程都不变，所以椭圆是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

（2）范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a 和y=±b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a ，|y|≤b 。

（3）顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。

③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。

a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

（4）离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。

②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。

e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。

当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。

椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：（1），，；（2），，；（3）,，；知识点四：椭圆与（a＞b＞0）的区别和联系标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点，，轴长轴长=，短轴长=离心率准线方程焦半径，，注意：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a ＞b ＞0和，a 2=b 2+c 2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。

题型一 椭圆焦点三角形面积公式的应用定理 在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2tan221θb S PF F =∆.证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ.cos 12cos 1)(222221θθ+=+-=∴b c a r r由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F ..2tan 221θb S PF F =∴∆典题妙解例1 若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积.解法一：在椭圆16410022=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ记.||,||2211r PF r PF == Py F 1 O F 2 xPA x yB x y x x x x k k k ()()()11221212228241，、，，则、是方程的两个根，于是，+=-+又为的中点，∴，解之得，故所求直线方M AB x x k k k k 122224241212+=-+==-() 程为x y +-=240法二 设直线与椭圆的交点为，、，，，为的中点，A x y B x y M AB ()()()112221∴，，又、两点在椭圆上，则，x x y y A B x y x y 121212122222424164+=+=+=+ =-+-=164012221222，两式相减得()()x x y y∴y y x x x x y y 12121212412--=-++=-()即，故所求直线为k x y AB =-+-=12240 点差法1.过点(1，0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为22的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线y =21x 过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l 与椭圆C 的方程.命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强，属★★★★★级题目.知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题. 错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键.技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A 、B 两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB 斜率的等式.解法二，用韦达定理.以下同解法一.题型三 弦长公式与焦半径公式1、一般弦长公式弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB＝2121k x x +-，（若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB＝21211y y k -+），若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB ＝2121k y y +-。

2、焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

1. 第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数e cae M =<<()01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为 椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。

注意：①对对应于右焦点，的准线称为右准线，x a y b a b F c 22222100+=>>()()方程是，对应于左焦点，的准线为左准线x a c F c x a c=-=-2120()②e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。

时，点P 横坐标的取值范围是_______________。

（2000年全国高考题） 分析：可先求∠F 1PF 2＝90°时，P 点的横坐标。

解：法一 在椭圆中，，，，依焦半径公式知，a b c PF x ====+3253531|| ||||||||PF x F PF PF PF F F 2121222122353=-⇔+<⇔，由余弦定理知∠为钝角 ()()()353353259535352222++-<⇔<-<<x x x x ，应填 法二 设，，则当∠°时，点的轨迹方程为，P x y F PF P x y ()1222905=+=由此可得点的横坐标±，点在轴上时，∠；点在轴上P x P x F PF P y ==35012 时，∠为钝角，由此可得点横坐标的取值范围是F PF P x 123535-<<题型四 参数方程3. 椭圆参数方程问题：如图以原点为圆心，分别以a 、b （a>b>0）为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BN ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕O 旋转时点M 的轨迹的参数方程。

解：设点的坐标是，，是以为始边，为终边的正角，取为M x y()ϕϕOx OA参数。

那么∴x ON OAy NM OBx ay b======⎧⎨⎩||cos||sincossin()ϕϕϕϕ1这就是椭圆参数方程：为参数时，称为“离心角”ϕϕ说明：<1> 对上述方程（1）消参即xaybxayb==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒+=cossinϕϕ22221普通方程<2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。

直线与椭圆位置关系：xayby kx b22221+==+②求椭圆上动点P（x，y）到直线距离的最大值和最小值，（法一，参数方程法；法二，数形结合，求平行线间距离，作l'∥l且l'与椭圆相切）例4. 已知椭圆，在椭圆上求一点，使到直线：x y P P l x y228840+=-+=的距离最小并求出距离的最小值（或最大值）？解：法一设，由参数方程得P(cos sin)()22θθ则d=-+=--|cos sin||sin()|2242342θθθϕ其中，当时，tanminϕθϕπ=-===2221222d此时，cos sin sin cosθϕθϕ=-=-==22313即点坐标为，P P()-8313法二因与椭圆相离，故把直线平移至，使与椭圆相切，则与的距离，l l l l l l'''即为所求的最小值，切点为所求点最大('')l→设：，则由消得l x y m x y mx yx'-+=-+=+=⎧⎨⎩88229280449802222y my m m m-+-==--=，令×∆()解之得±，为最大，由图得m m=-=-333()此时，，由平行线间距离得P l()min-=8313222222000210310123x ya b e A Ba bAB x PAB C x y xF AF BF+=>>=+=椭圆（）的离心率，、是椭圆上关于坐标不对称的两点，线段的中垂线与轴交于点（，）。

（）设中点为（，），求的值。

（）若是椭圆的右焦点，且，求椭圆的方程。

5.在ABC △中，3,2||,300===∠∆ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．讲练结合六.最值问题1.椭圆2214x y +=两焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，则|PF 1|·|PF 2|的最大值为_____，最小值为_____2、椭圆2212516x y +=两焦点为F 1、F 2，A(3，1)点P 在椭圆上，则|PF 1|+|PA|的最大值为_____，最小值为 ___3、已知椭圆2214x y +=，A(1，0)，P 为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值 最小值 。