卓越联盟2021届新高考省份高三年级9月份检测数学试题
卓越联盟2020-2021学年新高考省份高三年级9月份检测数学试题
且函数 在 上为增函数，由 ，可得 ，
，即 ，解得 .
因此，不等式 的解集为 .
故选：A.
【点睛】
6．股票价格上涨10%称为“涨停”，下跌10%称为“跌停”．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，这只股票先经历了3次跌停，又经历了3次涨停，则该股民在这只股票上的盈亏情况（不考虑其他费用）为（）
A．略有盈利B．略有亏损
C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况
7．已知 ， 是圆 上的点，点 在双曲线 的右支上，则 的最小值为（）
4．D
【分析】
由向量的坐标运算法则计算出 ，再判断 与 的关系.
【详解】
，所以向量 芳与 平行且反向.
故选：D.
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算及向量垂直、共线的判断，属于简单题.
5．A
【分析】
利用函数 为偶函数将所求不等式变形为 ，利用该函数在区间 上的单调性可得出 ，解此不等式即可得解.
【详解】
（1）求这300名同学作文得分的平均数和中位数；
（2）由于去年的成功举办，今年吸引了更多的参赛者，累计达1000人，为提高评选效率和公平性，结合去年的得分情况，组委会将在校外邀请评委老师进行评分，其评分规则为：评分分两个阶段，第一阶段，每篇作文由3个评委老师依次来打分，但是一旦出现有2个评分没有达到76分，则该作文停止评审且淘汰；若3个评分都达到76分，则将三个分数的平均值作为该作文的最终得分，该作文停止评审；若3个评分中恰有1个评分没有达到76分，则该作文进入下一阶段评分，由另外指定的2个评委老师依次打分，一旦出现有1个评分没有达到76分，则该作文也停止评审且淘汰；若2个老师的评分都达到76分，则将四个达标分数的平均值作为该作文的最终得分．最后，组委会将按照最终得分的高低来评奖．己知每位老师对每篇作文的打分是相互独立的，使用了相同的评分方法和评分标准（以频率作为概率）．若每篇作文批改一次的费用为1元，学校预计拨款3000元给大赛组委会用于此次比赛的批改费用，试判断这1000篇作文的批改费用是否会超过预算？通过计算说明．
高三数学上学期九月联考试题文含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校百校联盟2021届高三数学上学期九月联考试题文〔含解析〕第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.,，那么的真子集个数为〔〕A.9个B.7个C.3个D.1个【答案】C【解析】【详解】依题意：，∴故，的真子集个数为3个.应选：C点睛：1.用描绘法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进展集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】.应选：B3.分层抽样是将总体分成互不穿插的层，然后按照一定的比例，从各层HY地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法；在九章算术第三章“衰分〞中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱多少衰出之，问各几何？〞其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税一共100钱，要按照各人带钱多少的比例进展交税，问三人各应付多少税？那么以下说法错误的选项是〔〕A.甲应付钱B.乙应付钱C.丙应付钱D.三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少【答案】B【解析】依题意：由分层抽样知识可知，，那么甲应付：钱；乙应付：钱；丙应付：钱.应选：B的首项，，，成等比数列，那么〔〕A.238B.C.D.【答案】D【解析】∵，，，成等比数列，∴，即，由此得到，或者，∴，.应选：D5.运行如下列图的程序框图，假设输入的〔〕分别为、、、、、、、、、7.0，那么输出的值是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，该程序框图的作用是计算大于等于的数字的比例，故输出的的值是.应选:C点睛：算法与流程图的考察，侧重于对流程图循环构造的考察.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序构造、条件构造、循环构造，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，该几何体由一个四棱锥和一个圆锥拼接而成，故所求体积为.应选：A点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的局部用实线表示，不能看到的局部用虚线表示．(2)由几何体的局部视图画出剩余的局部视图．先根据的一局部三视图，复原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下局部三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的局部三视图是否符合．(3)由几何体的三视图复原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图复原为实物图．7.，且，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得：，又，∴，那么.应选：D函数，那么以下说法错误的选项是〔〕A.假设，那么函数无零点B.假设，那么函数有零点C.假设，那么函数有一个零点D.假设，那么函数有两个零点【答案】A【解析】作出函数的图象如下列图：观察可知：当时，函数有一个零点，故A错误.应选：A：的左、右焦点分别为，，直线过点且与双曲线的一条渐进线垂直，直线与两条渐进线分别交于，两点，假设，那么双曲线的渐进线方程为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，∴为的中点，又∵，∴，又∵，∴，∴双曲线的渐进线的斜率为=，即双曲线的渐进线方程为.应选：B与的夹角为,向量与的夹角为，那么〔〕A. B. C.或者 D.【答案】B【解析】依题意可得：，同理：，而，又向量与的夹角为，可知：，由此解得：或者，又,∴.应选：B11.如图,点是正方形外的一点,过点作直线,记直线与直线，的夹角分别为，，假设，那么满足条件的直线〔〕A.有1条B.有2条C.有3条D.有4条【答案】D【解析】∵故可知；由于平移不改变两直线的夹角，故题目可以转化为过点的直线与直线，的夹角为的直线有多少条；记直线，的夹角为，可以求得，故,故，即，故，，故过点的直线与直线，的夹角为的直线有4条，分别在这两直线夹角及补角的平分面上应选：D的不等式有唯一整数解，那么实数的最小值为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得：,令，∴，得到减区间为；得到增区间为，∴，，，且,∴要使不等式有唯一整数解，实数m应满足,∴实数的最小值为.应选：A点睛：不等式有唯一整数解问题可以转化为两个图像的位置关系问题，观察与的图象的上下关系，只要保证上方只有一个整数满足即可.第二卷〔一共90分〕二、填空题〔每一小题5分，总分值是20分，将答案填在答题纸上〕的一条直径为线段，为圆上一点，，，那么向圆中任意投掷一点，该点落在阴影区域内的概率为__________．【答案】【解析】不妨设，那么所求的概率故答案为：〔，〕的图象如下列图，其中，，那么函数__________．【答案】【解析】依题意，，解得：，故，将点A带入，得：，解得：.故答案为：，满足那么的取值范围为__________．【答案】【解析】作出可行域:观察可知：，易得：,故，故答案为：点睛：此题考察的是线性规划问题，解决线性规划问题的本质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目的函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进展比较，防止出错;三，一般情况下，目的函数的最大值或者最小值会在可行域的端点或者边界上获得.为数列的前项和，，假设〔〕，那么__________．【答案】【解析】当为奇数时，，那么，，，，当为偶数时，，那么，，，，又，∴故答案为：三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕中，的面积为，角，，所对的边分别是，，，且，．〔1〕求的值；〔2〕假设，求的值．【答案】(1);(2).【解析】试题分析：〔1〕由，可得：，再利用同角关系易得，又，故；〔2〕由，得，由正弦定理，得，可得,联立二者可得的值.试题解析：〔1〕因为，得，得，即，所以，又，所以，故，又∵，故，即，所以，故，故．〔2〕，所以，得①，又，所以，在中，由正弦定理，得，即，得②，联立①②，解得．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合条件灵敏转化边和角之间的关系，从而到达解决问题的目的.其根本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，施行边角之间的互化.第三步：求结果.18.如下列图，四棱锥中，平面平面，，，.〔1〕证明：在线段上存在一点，使得平面；〔2〕假设，在〔1〕的条件下，求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析：〔1〕取的中点，易得：四边形是平行四边形，从而，所以平面；〔2〕∵是的中点，∴到平面的间隔等于到平面的间隔的一半从而易得三棱锥的体积.试题解析：〔1〕如图，取的中点，的中点，连接，，∵是的中位线，∴，依题意得，，那么有，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面．〔2〕∵平面平面，平面平面，，平面，故平面，∵是的中点，∴到平面的间隔等于到平面的间隔的一半，且平面，，∴三棱锥的高是2，，在等腰中，，，边上的高为，，∴到的间隔为，∴，∴．点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.①割补法：求一些不规那么几何体的体积时，常用割补法转化成体积公式的几何体进展解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或者几何体)的面积(或者体积)通过条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或者几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过详细作图得到三角形(或者三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．19.某产品的历史收益率的频率分布直方图如下列图：〔1〕试计算该产品收益率的中位数；〔2〕假设该产品的售价〔元〕与销量〔万件〕之间有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如表5组与的对应数据：售价〔元〕25 30 38 45 52销量〔万份〕据此计算出的回归方程为，求的值；〔3〕假设从上述五组销量中随机抽取两组，求两组销量中恰有一组超过6万件的概率．【答案】(1);(2)；〔3〕.【解析】试题分析：〔1〕利用频率分布直方图求出该产品收益率的中位数；〔2〕由表格易得：，，利用回归直线经过样本中心点，求出的值;(3)利用古典概型公式求出两组销量中恰有一组超过6万件的概率.试题解析：解：〔1〕依题意，所求中位数为．〔2〕，，∴．〔3〕依题意，所有销量情况为，，，，，，，，，，恰有一组超过6万件的情况为，，，，，，故所求概率．的前项和为，假设，，〔，且〕．〔1〕求数列的通项；〔2〕求数列的前项和．【答案】(1);(2).【解析】试题分析：〔1〕利用等差数列有关公式求得根本量，，从而得到数列的通项；〔2〕利用错位相减法求数列的前项和.试题解析：〔1〕由得，且，设数列的公差为，那么由，∴，由，得，即，∴，∴，故．〔2〕；下面先求的前项和，①；②；两式相减得，∴〔〕．故的前项和为．点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要擅长识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n〞与“qS n〞的表达式时应特别注意将两式“错项对齐〞以便下一步准确写出“S n－qS n〞的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，假设等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.：过点，点，是椭圆上异于长轴端点的两个点．〔1〕求椭圆的离心率；〔2〕直线：，且，垂足为，，垂足为，假设且，求中点的轨迹方程．【答案】(1);(2)点的轨迹方程为〔〕.【解析】试题分析：〔1〕点带入椭圆方程，解得，易得椭圆的离心率；〔2〕由，且，易得：.分类讨论直线AB的斜率情况，联立椭圆方程，易得：，借助韦达定理，易得〔〕.试题解析：〔1〕依题意，，解得，故椭圆的方程为，那么其离心率为．〔2〕设直线与轴相交于点，，，由于，即，且，得，〔舍去〕或者，即直线经过点，设，，的中点，①直线垂直于轴时，那么的重担为；②直线与轴不垂直时，设的方程为，那么整理得，，，，消去，整理得〔〕．经检验，点也满足此方程．综上所述，点的轨迹方程为〔〕．，．求函数的单调递增区间；假设，，且，，，务实数a的取值范围．【答案】(1)函数的单调递增区间为;(2).【解析】试题分析：〔1〕,解得,从而得到增区间；〔2〕，，等价于对恒成立，或者对恒成立，而，只需研究的符号情况即可.试题解析：〔1〕依题意，，令，解得，故函数的单调递增区间为．〔2〕当，对任意的，都有；当时，对任意的，都有；故对恒成立，或者对恒成立，而，设函数，．那么对恒成立，或者对恒成立，，①当时，∵,∴，∴恒成立，∴在上单调递增，，故在上恒成立，符合题意．②当时，令，得，令，得，故在上单调递减，所以，而，设函数，，那么，令，那么〔〕恒成立，∴在上单调递增，∴恒成立，∴在上单调递增，∴恒成立，即，而，不合题意．综上，故实数的取值范围为.。
2021届全国卓越联盟新高考模拟试卷(九)理科数学试题
2021届全国卓越联盟新高考模拟试卷（九）理科数学试卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2|A x x x =≤，1|1B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A. (,1]-∞B. [0,1]C. (0,1]D. (,1](0,1]-∞⋃【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式和分式不等式的解法可求得集合,A B ，根据交集定义可求得结果. 【详解】{}[]2|0,10A x x x -=≤=，(]11|0|00,1x x B x x x x --⎧⎫⎧⎫=≥=≤=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， (]0,1A B ∴=.故选：C .【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，涉及到一元二次不等式和分式不等式的求解，属于基础题. 2.已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)2z i i +=，则z =（ ）A. 2B. 1i +C. 1i -+D. 1i - 【答案】B【解析】【分析】将(1)2z i i +=化为21i z i=+，再利用复数的代数形式的乘除法运算化简，即可得到答案． 【详解】因为(1)2z i i +=，所以22(1)2211(1)(1)2i i i i z i i i i -+====+++-． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查复数的除法运算，属于基础题．3.“01x <<”是“2sin sin x x <”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先将2sin sin x x <化简可得0sin 1x <<，然后根据充分条件和必要条件即可得到答案【详解】由2sin sin x x <得0sin 1x <<， 因为sin y x =在(0,1)上单调递增，所以0sin sin1x <<，而sin11<，所以0sin 1x <<，故充分性成立；而当0sin 1x <<时，22k x k πππ<<+且2,2πx k πk Z ≠+∈， 故必要性不成立．故选：A ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，属于基础题．4.运行如图所示的程序框图，设输出的数据构成集合A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数a y x =在(0,)+∞上是增函数的概率为（ ）A. 12B. 35C. 45D. 34【答案】A【解析】【分析】按照程序框图运行程序即可得到集合A ，根据幂函数单调性可确定满足条件的a 的所有可能的取值，根据古典概型概率公式计算可得结果.【详解】按照程序框图运行程序，输入1i =-，满足3i <，则1y =-，0i =，满足3i <；则0y =，1i =，满足3i <；则3y =，2i =，满足3i <；则8y =，3i =，不满足3i <，框图运行结束，{}1,0,3,8A ∴=-.当3a =或8时，a y x =在()0,∞+上是增函数，∴所求概率2142p ==. 故选：A .【点睛】本题以程序框图和幂函数单调性为载体，考查了古典概型概率问题的求解；关键是能够熟练掌握幂函数的解析式与该函数在第一象限内图象单调性之间的关系.5.已知向量()3,1a =，()b 0,1=-，(),3c k =，若()2c a b -⊥，则k 等于 A. 23 B. 2 C. -3D. 1 【答案】C【解析】【分析】根据向量垂直坐标表示得方程，解得k .【详解】因为()2a b c -⊥，233a b -=，，所以3?330k 3k ，+==-,选C.【点睛】向量平行：1221//a y b x y x ⇒=，向量垂直：121200a b x x y y ⋅=⇒+=，向量加减： 1212(,).a b x x y y ±=±±6.已知斜率为2的直线l 过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则p ＝（ ）A. 1B. 2C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】 设直线l 的方程为x ＝12y 2p +，与抛物线联立利用韦达定理可得p ． 【详解】由已知得F （2p ，0），设直线l 的方程为x ＝12y 2p +，并与y 2＝2px 联立得y 2﹣py ﹣p 2＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 的中点C （x 0，y 0），∴y 1+y 2＝p ，又线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则y 012=（y 1+y 2）＝12p =，所以p=2, 故选C ．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题． 7.我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑．在一座宫殿中，有一件特别的“柱脚”的三视图如图所示，则其体积为（ ）A. 843π+B. 883π+C. 84π+D. 88π+【答案】C【解析】【分析】根据“柱脚”的三视图可知，该“柱脚”是由半圆柱和一个三棱柱组合而成，结合三视图求出相应的长度，利用柱体和椎体的体积公式，即可得到答案．【详解】根据“柱脚”的三视图可知，该“柱脚”是由半圆柱和一个三棱柱组合而成，半圆柱的底面半圆的直径为4，高为2，故半圆柱的体积为212242ππ⨯⨯⨯=， 三棱柱的底面三角形的一边长为4，该边上的高为2，该三棱柱的高为2， 故该三棱柱体积为142282⨯⨯⨯=， 所以该“柱脚”的体积为84π+．故选：C ．【点睛】本题主要考查对三视图所表达的空间几何体的识别及几何体体积的计算．由三视图还原几何体，要弄清楚几何体的特征，把三视图中的数据、图形特点准确地转化为对应几何体中的线段长度、图形特点，再进行计算．8.将函数()sin 22f x x x =+的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位，再向上平移1个单位，所得图象经过点,18π⎛⎫⎪⎝⎭，则ϕ的最小值为（ ） A. 512π B. 712π C. 524π D. 724π 【答案】D【解析】【分析】 先逆用两角和的正弦公式化简可得()2sin(2)3f x x π=+，再根据sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，可得变换后的解析式为2sin(22)13πy x φ=+-+，将点,18π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解方程并结合0ϕ>，即可求出ϕ的最小值．【详解】()sin 22f x x x =+12(sin 22)2x x =+ 2(sin 2cos cos 2sin )33ππx x =+2sin(2)3x π=+ 所以将函数()f x 的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位，得到的函数图象对应的函数解析式为2sin 2()2sin(22)33ππy x φx φ⎡⎤=-+=+-⎢⎥⎣⎦， 再向上平移1个单位，得到的函数图象对应的函数解析式为2sin(22)13πy x φ=+-+， 因为所得图象经过点,18π⎛⎫⎪⎝⎭，所以2sin(22)1183ππφ⨯+-+=， 所以7sin(2)012πφ-=， 所以72,12=πφk πk Z -∈， 所以7,224k ππφk Z =-+∈，又0ϕ>， 所以当0k =时，ϕ取得最小值724π． 故选：D ．【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式的逆用，三角函数图象的平移变换及三角方程的解法．9.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的在、右焦点分别12,F F ，过1F 作222x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，若1245F MF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）A. 2B. 3 【答案】D【解析】【分析】设切线与圆222x y a +=切于点N ，连结ON ，则1ON F M ⊥，过2F 作21F A F M ⊥，垂足为A ，又O 为12F F的中点，所以ON 为12F AF ∆的中位线，结合图形可求得1||22MF b a =+，2||MF =，再由双曲线的定义列出方程，即可求出双曲线的离心率．【详解】设切线与圆222x y a +=切于点N ，连结ON ，则1ON F M ⊥，过2F 作21F A F M ⊥，垂足为A ，因为1ON F M ⊥，21F A F M ⊥，所以2//ON AF ，又O 为12F F 的中点，所以ON 为12F AF ∆的中位线，又||ON a =，所以2||2AF a =，在2AMF ∆中，1245F MF ∠=︒，所以2||22MF a =，||2AM a =，在1Rt F NO ∆中，1||OF c =，||ON a =，所以2211||||||F N OF ON b =-=，所以1||2AF b =，所以11||||||22MF AF AM b a =+=+，由双曲线的定义可得12||||2MF MF a -=，即22222b a a a +-=， 所以2b a =，所以222223c a b a a a +=+=， 所以33c a e a === 故选：D ．【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质中的离心率的求解，关键是利用平面几何的知识求出12||||MF MF ，，再利用双曲线的定义找到问题解决的切入点．10.有一个长方形木块，三个侧面积分别为8，12，24，现将其削成一个正四面体模型，则该正四面体模型棱长的最大值为（ ）A. 2B. 22C. 4D. 42【答案】B【解析】【分析】先求长方体从同一顶点出发的三条棱的长度，从而可得正四面体模型棱长的最大值.【详解】设长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为,,a b c ，则81224ab ac bc =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故246a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，若能从该长方体削得一个棱长最长的正四面体模型，则该四面体的顶点必在长方体的面内，过正四面体的顶点作垂直于长方体的棱的垂面切割长方体，含正四面体的几何体必为正方体， 故正四面体的棱长为正方体的面对角线的长，而从长方体切割出一个正方体，使得面对角线的长最大，需以最小棱长2为切割后的正方体的棱长切割才可，故所求的正四面体模型棱长的最大值故选：B.【点睛】本题考查正四面体的外接，注意根据外接的要求确定出顶点在长方体的侧面内，从而得到正四面体的各顶点为某个正方体的顶点，从而得到切割的方法，本题属于中档题.11.已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()0,2A ，2220OB OA +=，若平面内点P 满足3PB PA =，则PO 的最大值为（ ）A. 7B. 6C. 5D. 4 【答案】C【解析】【分析】 设(),P x y ，(),B m n ，根据3PB PA =可得262m x n y =-⎧⎨=-⎩，再根据2220OB OA +=可得点P 的轨迹，它一个圆，从而可求PO 的最大值.【详解】设(),P x y ，(),B m n ，故(),PB m x n y =--，(),2PA x y =--.由3PB PA =可得363m x x n y y -=-⎧⎨-=-⎩，故262m x n y =-⎧⎨=-⎩， 因为2220OB OA +=，故()22443420x y +-+=，整理得到()2234x y +-=，故点P 的轨迹为圆，其圆心为()0,3，半径为2， 故PO 的最大值为325+=，故选：C.【点睛】本题考查坐标平面中动点的轨迹以及圆中与距离有关的最值问题，一般地，求轨迹方程，可以动点转移法，也可以用几何法，而圆外定点与圆上动点的连线段长的最值问题，常转化为定点到圆心的距离与半径的和或差，本题属于中档题.12.已知,A B 是函数2,(),x a x e x a f x e x a --⎧≥=⎨<⎩（其中0a >）图象上的两个动点，点(,0)P a ，若PA PB ⋅的最小值为0，则函数()f x 的最小值为（ ） A. 21e - B. 1e - C. 21e D. 1e【答案】D【解析】【分析】由指数函数单调性可确定()()min f x f a =，当PA PB ⋅最小时，可确定,A B 分别为过P 作()f x 两段图象的切线，利用过某一点曲线切线的求解方法可构造方程组求得a ，进而得到所求最小值.【详解】由解析式可知：()f x 在(),a -∞上单调递减，在[),a +∞上单调递增，()()min a f x f a e -∴==.设过点(),0P a 的直线()1y k x a =-与()f x 在(),a -∞上的图象相切，设切点坐标为()11,M x y ，则()1111111x x k e y e y k x a --⎧=-⎪=⎨⎪=-⎩，解得：11x a =-，11a y e -=， 设过点(),0P a 的直线()2y k x a =-与()f x 在(),a +∞上的图象相切，设切点坐标为()22,N x y ，同理可求得：21x a =+，12a y e -=，,A B 是()f x 图象上的点，且PA PB ⋅的最小值为0，0PM PN ∴⋅=，又()11,a PM e -=-，()11,a PN e -=，2210a PM PN e -∴⋅=-+=，解得：1a =，()1min 1f x e e-∴==. 故选：D .【点睛】本题考查函数最值的求解问题，涉及到导数几何意义的应用；关键是能够通过平面向量数量积的定义将问题转化为过某一点的曲线切线方程的求解问题，充分体现了转化与化归思想在考试中的应用.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数,x y 满足约束条件2060230x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则23z x y =-的最小值是_____．【答案】8-.【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，23z x y =-表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最值即可． 【详解】实数,x y 满足约束条件2060230x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩的可行域如图：目标函数23z x y =-，点()24A ，，z 在点A 处有最小值：22348z =⨯-⨯=-，故答案为-8．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解，是常用的一种方法．14.已知向量,a b 的夹角为45︒，若(1,1)a =，||2b =，则|2|a b +=______． 【答案】5【解析】【分析】 根据向量数量积运算公式可知222|2|(2)44a b a b a a b b +==+⋅++，只需根据已知求出a b ⋅，即可求出|2|a b +的值．【详解】因为(1,1)a =，所以22||112a =+=,a b 的夹角为45︒，所以||||cos 452222a b a b ⋅==⨯=，所以222|2|(2)44=42+4a b a b a a b b +=+=+⋅+⨯故答案为：【点睛】本题主要考查向量模的求法，属于基础题 15.记7270127(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++++，则126a a a ++⋯+=______.【答案】126 【解析】 【分析】分别令0x =、1x =-，可求得各项系数和与常数项；利用()()77211x x +=++，得到展开式通项公式，求得7a ，进而求得结果.【详解】令0x =得：701272a a a a +++⋅⋅⋅+=；令1x =-得：7011a ==；()()77211x x +=++，∴展开式通项为()71r rC x +，令7r =，则71a =，7126211126a a a ∴++⋅⋅⋅+=--=.故答案为：126.【点睛】本题考查二项式定理中与各项系数和、指定项系数有关的问题的求解；在求解与各项系数和有关的问题时，通常采用赋值法来快速求得结果.16.已知ABC ∆的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且3cos cos 5a C c Ab -=，则tan()A C -的最大值为______． 【答案】34【解析】 【分析】利用正弦定理将3cos cos 5a C c A b -=化为3sin cos sin cos sin 5A C C AB -=，然后利用三角形内角和定理将B 用()πAC -+代换，再利用两角和的正弦公式展开整理可得2sin cos 8cos sin A C A C =，再由同角三角函数关系可得tan 4tan A C =，将其代入tan()A C -展开式消去tan A ，结合基本不等式即可求出tan()A C -的最大值．【详解】因为3cos cos 5a C c A b -=，由正弦定理得3sin cos sin cos sin 5A C C AB -=， 又()B AC π=-+，所以3sin cos sin cos sin[()]5A C C A A C -=-+π， 即3sin cos sin cos sin()5A C C A A C -=+， 所以5sin cos 5sin cos 3sin cos 3cos sin A C C A A C A C -=+， 所以2sin cos 8cos sin A C A C =，当cos 0C ≤或cos 0A ≤时，等式不成立，所以,(0,)2A C π∈，所以tan 4tan A C =， 所以2tan tan 3tan 3tan()11tan tan 14tan 4tan tan A C CA C A C CC C--===+++又tan 0C >，所以14tan tan C C +≥， 当且仅当14tan tan C C =，即1tan 2C =时，等号成立， 所以33tan()144tan tan A C C C-=≤+，所以tan()A C -的最大值为34． 故答案为：34【点睛】本题主要考查正弦定理，两角差的正切公式及基本不等式的应用，需要注意的是在利用基本不等式时，要根据条件确定tan 0C >．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：（共60分）17.设等比数列{}n a 的公比为q ，n S 是{}n a 的前n 项和，已知12a +，22a ，31a +成等差数列，且3241S a =-，1q >.（1）求{}n a 的通项公式； （2）记数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，试问是否存在*n ∈N 使得3n T <？如果存在，请求出n 的值：如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）12n n a （2）存在；当1,2,3n =时，3n T <【解析】 【分析】（1）根据等差中项的性质和等比数列通项公式可构造出方程组求得1a 和q ，进而得到所求通项公式； （2）采用错位相减法可求得n T ，可证得{}n T 为递增数列，结合31134T =<，41334T =>可确定结果. 【详解】（1）12a +，22a ，31a +成等差数列，213134213a a a a a ∴=+++=++，即211143a q a a q =++…①，由3241S a =-可得：2111141a a q a q a q ++=-，即2111310a a q a q -++=…②，联立①②及1q >可解得：11a =，2q，12n na .（2）由（1）知：12n n nb -=， 则01211232222n n nT -=+++⋅⋅⋅+，123111*********n n n n n T --=+++++⋅⋅⋅， 两式作差得：012111111222222n n n n T -=++++-⋅⋅⋅1122212212n n n n n -+=-=--， 1242n n n T -+∴=-.当2n ≥时，112121440222n n n n n n n nT T ----++-=--+=>， {}()*n T n N ∴∈单调递增.而113T =<，223T =<，31134T =<，41334T =>，∴当1,2,3n =时，3n T <.【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解、错位相减法求解数列的前n 项和、利用数列的单调性求解参数值的问题；关键是能够通过n T 的形式确定数列{}n T 的单调性，进而避免将问题变为解不等式的问题. 18.某少儿游泳队需对队员进行限时的仰卧起坐达标测试.已知队员的测试分数y 与仰卧起坐个数x 之间的关系如下：0,03060,304080,4050100,50x x y x x ≤<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩；测试规则：每位队员最多进行三组测试，每组限时1分钟，当一组测完，测试成绩达到60分或以上时，就以此组测试成绩作为该队员的成绩，无需再进行后续的测试，最多进行三组；根据以往的训练统计，队员“喵儿”在一分钟内限时测试的频率分布直方图如下：（1）计算a 值；（2）以此样本的频率作为概率，求①在本次达标测试中，“喵儿”得分等于80的概率； ②“喵儿”在本次达标测试中可能得分的分布列及数学期望. 【答案】（1）0.03a =；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）频率分布直方图中所有频率之和为1，由此可求得a ；（2）①由频率分布直方图可得一次测试得分的分布列，三组测试中，“喵儿”得80分为事件A ，则“喵儿”可能第一组得80分，或者第二组得80分，或者第三组得80分，由于三组相互独立，从而可计算概率，②仿照①可计算出三组测试其得分的概率，得分布列，再由期望公式计算出期望．【详解】（1）0.010.010.05)101,0.03a a +++⨯=∴=（ （2）由直方图可知，“喵儿”的得分ξ情况如下：ξ0 60 80 100p0.10.30.5 0.1①在本次的三组测试中，“喵儿”得80分为事件A ，则“喵儿”可能第一组得80分，或者第二组得80分，或者第三组得80分，则()0.50.10.50.10.10.50.555P A =+⨯+⨯⨯=（6分） ②(0)0.10.10.10.001P δ==⨯⨯=，(60)P δ=0.30.10.30.10.10.30.333+⨯+⨯⨯=，(100)10.0010.3330.5550.111P δ==---=，分布列如下：δ0 60 80 100p0.0010.333 0.5550.111数学期望()00.001600.333800.5551000.11175.48E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查频率分布直方图，考查相互独立事件的概率，考查随机变量的分布列和期望．解题时依据概率公式计算出概率是解题关键. 19.如图，在三棱柱ADE BCF 中，侧面ABCD 是为菱形，E 在平面ABCD 内的射影O 恰为线段BD 的中点.（1）求证：AC CF ⊥；（2）若60BAD ∠=︒，AE AB =，求二面角E BC F --的平面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）17【解析】 【分析】（1）连接AC ，由线面垂直的判定方法可证得AC ⊥面BED ，从而得到AC ED ⊥，根据平行关系可证得结论；（2）以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量求法可求得结果. 【详解】（1）证明：如图，连接AC ，易知ACBD O =.∵侧面ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥.由射影定义可知：EO ⊥面ABCD ，又AC ⊂面ABCD ，∴EO AC ⊥， 而EOBD O =，且EO ，BD ⊂面BED ，∴AC ⊥面BED ，ED ⊂平面BED ，∴AC ED ⊥.∵//CF ED ，∴AC CF ⊥.（2）由（1）知：AO BO ⊥，OE AO ⊥，OE BO ⊥，，于是以O 为坐标原点，OA ，OB ，OE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：不妨设2AB AE ==.∵在菱形ABCD 中，60BAD ∠=，∴3AO =1BO =. 在Rt EAO △中，221EO EA AO =-=.于是()0,0,0O，)3,0,0A ，()0,1,0B ，()0,0,1E ，()3,0,0C -，∴()3,1,0AB =-，()0,1,1BE =-，()3,1,0BC =--. 又由EF AB =，可解得：()3,1,1F ，()3,0,1BF ∴=-. 设平面BCE 的法向量为()1111,,n x y z =，则由10n BE ⋅=，10n BC ⋅=得1111030y z x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令11y =，则13x =-，11z =，即13n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.同理可得平面BCF 的法向量231,1n ⎛⎫=-⎪⎝⎭. ∴1212121cos ,7n n n n n n ⋅<>==-⋅，二面角E BC F --的平面角为锐角，∴所求的余弦值为17. 【点睛】本题考查立体几何中线线垂直关系证明、空间向量法求解二面角的问题；立体几何需要证明线线垂直时，通常采用证明线面垂直的方式，利用线面垂直的性质得到线线垂直结论.20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>A B 、分别为E 的左顶点和上顶点，若AB 的中点的纵坐标为12.12,F F 分别为E 的左、右焦点. （1）求椭圆E 的方程；（2）设直线2:2m L x my =+与E 交于,M N 两点，12MF F △，12NF F △的重心分别为,G H .若原点O 在以GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2214x y +=；（2）()2,2- 【解析】 【分析】（1）根据离心率、中点坐标和椭圆,,a b c 关系可构造方程组求得,,a b c ，进而得到椭圆方程；（2）将L 方程与椭圆方程联立，得到韦达定理的形式；根据重心的坐标表示和点与圆的位置关系可得到0OG OH ⋅<，代入韦达定理的结论可构造不等式求得m 的范围，验证后确定满足>0∆即可.【详解】（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意有(),0A a -，()0,B b ，c e a ∴==，且122b =，结合222a b c =+，解得：2a =，1b =， ∴椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程222214m x my x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 得：()42234404m m y m y +++-=，由>0∆可得：424160m m --<，解得：22m <+则31224m y y m -+=+，()41221644m y y m -=+，由题意得：12MF F ∆，12NF F ∆的重心11,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，22,33x y H ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵原点O 在以GH 为直径的圆内，∴0OG OH ⋅<，即121209x x y y +<.∵()()34212121212124m mx x y y m y y y y +=++++()()4334222161024444m m m m m m m ⎛⎫--=+++< ⎪++⎝⎭，()4221616044m m m --∴<+， 变形为()()225440m m +-<，解得：24m <，满足22m <+22m ∴-<<， 即实数m 的取值范围为()2,2-.【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、点与圆的位置关系的应用等知识；解决直线与椭圆的应用问题常常将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理来表示出已知中的等量或不等关系，进而构造关于参数的等式或不等式求得结果.21.已知函数2()(1)ln ()f x a x x a =-+∈R ，且()f x 在(0,)+∞上满足()0f x ≤恒成立. （1）求实数a 的值； （2）令()()f x axg x x x a+=⋅-在(,)a +∞上的最小值为m ，求证：11()10f m -<<-.【答案】（1）2a =（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分别在0a ≤和0a >两种情况下讨论导函数的正负，得到原函数单调性，由此可知0a ≤时不合题意，并求出0a >时，()()max f x f a =，则只需()max 0f x ≤即可，令()22ln 22ln a a a ϕ=-+-，利用导数可求得()0a ϕ≥，结合()20ϕ=，由此可确定仅有2a =满足条件；（2）利用导数和零点存在性定理可确定函数()g x 的单调性，得到()()0min g x g x =，由()08,9x ∈可化简得到0m x =，代入()f x 解析式即可证得结论.【详解】（1）当0x >时，原函数可化为：()()12ln f x a x x =-+，则()22axf x a x x-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，()10f =，∴当1x >时，()()10f x f >=，不合题意；当0a >时，()2a x a f x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=， ∴当20x a<<时，()0f x '>；当2x a >时，()0f x '<，()f x ∴在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()f x 在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，即()max 222ln 22ln f x f a a a ⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭.∴要使()0f x ≤在()0,∞+时恒成立，则只需()max 0f x ≤，即22ln22ln 0a a -+-≤.令()22ln 22ln a a a ϕ=-+-，则()221a a a aϕ-'=-=， ∴当02a <<时，()0a ϕ'<；当2a >时，()0a ϕ'>， 即()a ϕ在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增. 又()20ϕ=，∴满足条件的a 只有2，即2a =. （2）由（1）知：2a =，()222ln f x x x ∴=-+，()()()22ln 22f x ax x x xg x x x x a x ++∴=⋅=>--，()()()222ln 42x x g x x --'∴=-. 令()2ln 4s x x x =--，则()221x s x x x-'=-=， 2x >，()0s x ∴'>，即()s x 在()2,+∞上单调递增；又()846ln 20s =-<，()954ln30s =->，()08,9x ∴∃∈，使得()00s x =，即0042ln x x =-，且当02x x <<时，()0s x <；当0x x >时，()0s x >， 即()g x 在()02,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增，()()20000000min0022ln 222x x x x x g x g x x x x +-∴====--，即0m x =，()()()0000222ln 211,10f m f x x x x ∴==-+=--∈--，即()1110f m -<<-.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数解决恒成立问题、证明不等式；在证明不等式的过程中，由于无法确定方程准确的根，此时常采用零点存在定理锁定零点所在区间，进而得到所需的等量关系.（二）选考题：共10分.请考生在第2、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系xOy ，(2,0)P ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2ρ=，点(,)(0)Q ρθθπ为C 上的动点，M 为PQ 的中点．（1）请求出M 点轨迹1C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(1,)A π若直线l 经过点A 且与曲线1C 交于点,E F ，弦EF 的中点为D ，求||||||AD AE AF ⋅的取值范围．【答案】(1)22(1)1(0)x y y -+=≥；(2)233⎛⎤⎥ ⎝⎦【解析】 【分析】(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为224x y +=，可得点()00,Q x y 满足224(0)x y y +=≥．利用相关点法即可得出M 点轨迹1C 的直角坐标方程；(2)根据已知条件求出直线l 的参数方程，把直线l 的参数方程代入1C ，利用根与系数关系求出1212,t t t t +，由直线l 的参数方程中t 的几何意义可将||||||AD AE AF ⋅用12,t t 表示，再将1212,t t t t +代入即可求出||||||AD AE AF ⋅的取值范围． 【详解】(1)因为C 的直角坐标方程为224x y +=，所以点()00,Q x y 满足224(0)x y y +=≥． 设(,)M x y ，因为M 为PQ 的中点，(2,0)P 所以022x x +=，02y y =，所以022x x =-，02y y =， 所以22(22)(2)4(0)x y y -+=≥，整理得1C 的轨迹方程为22(1)1(0)x y y -+=≥．(2)因为直线l 过点(1,0)A -， 所以直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数，θ为倾斜角，0,6πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭) 代入1C 得24cos 30t t -+=θ，所以124cos t t +=θ，123t t =，所以1212||2cos 22,||||333t t AD AM AN t t θ+⎛⎤==∈ ⎥⋅⋅⎝⎦． 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线l 的参数方程中参数t 的几何意义，本题中求||||||AD AE AF ⋅的关键是联立直线的参数方程与1C 的直角坐标方程的基础上，利用直线的参数方程的几何意义并结合根与系数关系求解．23.已知0a >，0b >．(1)若关于x 的不等式2|3||1|3x x a a +---对任意实数x 都成立，求实数a 的最小值；(2)a b ++【答案】(1)最小值为4；(2)见解析【解析】【分析】(1) 不等式2|3||1|3x x a a +---对任意实数x 都成立，只需()2max |3||1|3x x a a +---即可，将|3||1|x x +--化为|3||1|x x +--利用绝对值不等式即可求出()max |3||1|4x x +--=，再解不等式234a a -≥，即可求出实数a 的最小值；(2)作差后通分并因式分解，即可确定差式的符号，从而证得结论．【详解】(1)因为|3||1||3||1||(3)(1)|4x x x x x x +--=+--≤++-=，所以234a a -≥，解得4a ≥或1a ≤-，又0a >，所以4a ≥，所以a 的最小值为4．(2)===20=≥+≥． 【点睛】本题主要考查恒成立问题处理方法，绝对值不等式的应用，一元二次不等式的解法及作差法证明不等式．作差法证明不等式关键是将差式进行因式分解变形为几个因式积的形式，以便好判断差式的符号．。
2021年高三上学期9月质检考试数学试题 含答案
2021年高三上学期9月质检考试数学试题含答案注意事项：1.本卷分第I卷和第II卷，满分150分，考试时间150分钟。
2.考生答题前注意答题要求（文理合卷），填写好自己的姓名、班级、考号等信息，条形码应贴在方框内，并将答案正确填写在答题卡上。
一、选择题：在每题所给的A、B、C、D四个选项中，只有一个选项最符合题意。
1、已知集合，，则＝( )A．B．C．D．2、已知函数y=f（2x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．2 B．3 C．4 D．53、已知函数f（x）的定义域为，且为偶函数，则实数a的值是( )A． B．2 C．4 D．6 4、已知函数若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.5、若正四面体ABCD的棱长为1，则它的外接球体积为（）A．π B．π C．π D．π6、两圆与的公共切线有( )A．1条B．2条C．3条 D．4条7、在一次案件中，公民D谋杀致死。
嫌疑犯A、B、C对簿公堂。
嫌疑犯A说：“我没有去D 家，我和C去了B家”；嫌疑犯B说：“C去了A家，也去了D家”；嫌疑犯C说：“我没去D 家”。
由此推断嫌疑最大的是（）A.AB.BC.CD.A和C8、函数的图象大致为（）9、已知函数满足，且当时，，则的大小关系是（）A． B．C． D．10、《九章算术》是我国古代最具影响力的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问积及委米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（米堆形状为圆锥的四分之一状），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出米堆的米约有（）斛.A.14B.22C.36D.6611、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的值为（）A. B. C.或 D. 或12、过椭圆+y2=1的左焦点F作斜率为k（k≠0）的直线交椭圆于A，B两点，使得AB的中点M在直线x+2y=0上，则k的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2二、填空题：每题5分，共20分.13.设f是从集合A={1，2}到集合B={1，2，3，4}的映射，则满足f(1)+f(2)=4的所有映射的个数为 _____．14.用二分法求函数y=f(x)在区间上零点的近似解，经验证有f(2)•f(4)＜0．取区间的中点为x1=3，计算得f(2)•f(x1)＜0，则此时零点x0∈_____.(填区间)16. 平面直角坐标系中，过原点O的直线l与曲线y=e x-1交于不同的A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线，与曲线y=lnx交于点C，D，则直线CD的斜率是_____．三、解答题：70分，作答时应给出相关解题步骤、文字说明和公式过程。
2021年高三上学期9月调研数学(文)试卷含解析
2021年高三上学期9月调研数学（文）试卷含解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合A={x|x≤0}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=__________．2．命题：“∀x∈R，3x＞0”的否定是__________．3．已知复数z=（1﹣i）i（i为虚数单位），则|z|=__________．4．计算÷=__________．5．“α=”是“tanα=1”的__________条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）6．正弦曲线y=sinx在处的切线的斜率为__________．7．设函数，则f（x）≤2时x的取值范围是__________．8．曲线y=和y=x2在它们的交点处的两条切线互相垂直，则a的值是__________．9．设数列{a n}满足a1=3，a n+1=a n2﹣2na n+2，n=1，2，3，…，通过计算a2，a3，a4，试归纳出这个数列的通项公式a n=__________．10．已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为__________时，log2a•log2（2b）取得最大值．11．已知集合A={（x，y）|y≤x}，集合B={（x，y）|（x﹣a）2+y2≤3}，若A∩B=B，则实数a 的取值范围为__________．12．已知点P是函数y=lnx的图象上一点，在点P处的切线为l1，l1交x轴于点M，过点P 作l1的垂线l2，l2交x轴于点N，MN的中点为Q，则点Q的横坐标的最大值为__________．13．已知函数f（x）=．若存在x1，x2，当1≤x1＜x2＜3时，f（x1）=f（x2），则的取值范围是__________．14．设函数f（x）=若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围__________．二、解答题：15．（14分）函数f（x）=lg（x2﹣2x﹣3）的定义域为集合A，函数g（x）=2x﹣a（x≤2）的值域为集合B．（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）若集合A，B满足A∩B=B，求实数a的取值范围．16．（14分）设命题p：函数f（x）=lg（x2+ax+1）的定义域为R；命题q：函数f（x）=x2﹣2ax﹣1在（﹣∞，﹣1]上单调递减．（1）若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围；（2）若关于x的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题p为真命题时，a的取值集合为N．当M∪N=M时，求实数m的取值范围．17．设a为实数，记函数的最大值为g（a）．（1）设t=，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；（2）求g（a）．18．如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？19．（16分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x ﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．20．（16分）已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．xx学年江苏省泰州市兴化一中高三（上）9月调研数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合A={x|x≤0}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B={﹣1，0}．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由A与B，求出两集合的交集即可．解答：解：∵A={x|x≤0}，B={﹣1，0，1，2}，∴A∩B={﹣1，0}，故答案为：{﹣1，0}．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．命题：“∀x∈R，3x＞0”的否定是∃x0∈R，使得≤0．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题，直接写出该命题的否定即可．解答：解：根据全称命题的否定是特称命题，得；命题：“∀x∈R，3x＞0”的“”的否定是：“∃x0∈R，使得≤0”．故答案为：∃x0∈R，使得≤0．点评：本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，解题时应熟记全称命题与特称命题的关系是什么，是基础题．3．已知复数z=（1﹣i）i（i为虚数单位），则|z|=．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数模的计算公式即可求得复数z的模．解答：解：z=（1﹣i）i=1+i，∴|z|==，故答案为：．点评：本题考查复数求模，属于基础题．4．计算÷=﹣20．考点：有理数指数幂的化简求值；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：计算题．分析：利用对数的商的运算法则及幂的运算法则求出值．解答：解：=lg=﹣20故答案为：﹣20点评：本题考查对数的四则运算法则、考查分数指数幂的运算法则．5．“α=”是“tanα=1”的充分不必要条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件、必要条件的概念，以及tanα=1时α的取值情况即可判断是tanα=1的什么条件．解答：解：时，tanα=1；tanα=1时，，所以不一定得到；∴是tanα=1的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．点评：考查充分条件、必要条件以及充分不必要条件的概念，以及根据tanα=1能求α．6．正弦曲线y=sinx在处的切线的斜率为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求出y=sinx的导数，将代入，由特殊角的三角函数值，即可得到所求．解答：解：y=sinx的导数为y′=cosx，即有曲线在处的切线的斜率为k=cos=．故答案为：．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率，主要考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键．7．设函数，则f（x）≤2时x的取值范围是[0，+∞）．考点：对数函数的单调性与特殊点；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据分段函数的表达式，解不等式即可，注意要对x进行分类讨论．解答：解：由分段函数可知，若x≤1，由f（x）≤2得，21﹣x≤2，即1﹣x≤1，∴x≥0，此时0≤x≤1，若x＞1，由f（x）≤2得1﹣log2x≤2，即log2x≥﹣1，即x，此时x＞1，综上：x≥0，故答案为：[0，+∞）．点评：本题主要考查分段函数的应用，利用分段函数的表达式讨论x的取值范围，解不等式即可．8．曲线y=和y=x2在它们的交点处的两条切线互相垂直，则a的值是a=．考点：曲线与方程；两条直线垂直的判定．专题：计算题．分析：先求出它们交点的横坐标，再求出它们的斜率表达式，由两条切线互相垂直、斜率之积等于﹣1，解出a的值．解答：解：曲线y=和y=x2的交点的横坐标是，它们的斜率分别是=﹣和2x=2，∵切线互相垂直，∴﹣•2=﹣1，∴a=±，故答案为a=±．点评：本题考查曲线与方程、两条直线垂直的条件．9．设数列{a n}满足a1=3，a n+1=a n2﹣2na n+2，n=1，2，3，…，通过计算a2，a3，a4，试归纳出这个数列的通项公式a n=2n+1．考点：数列的概念及简单表示法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：先由递推公式求a2，a3，a4，再猜想通项公式；解答：解：∵a1=3，a n+1=a n2﹣2na n+2，∴a2=a12﹣2a1+2=9﹣6+2=5，a3=a22﹣2×2a2+2=25﹣20+2=7，a4=a32﹣2×3a3+2=49﹣42+2=9，即a2=5，a3=7，a4=9，由归纳推理猜想an=2n+1．故答案为：2n+1．点评：本题主要考查数列的通项公式的猜想，根据数列的递推关系求出a2，a3，a4是解决本题的关键．10．已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为4时，log2a•log2（2b）取得最大值．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：由条件可得a＞1，再利用基本不等式，求得当a=4时，log2a•log2（2b）取得最大值，从而得出结论．解答：解：由题意可得当log2a•log2（2b）最大时，log2a和log2（2b）都是正数，故有a＞1．再利用基本不等式可得log2a•log2（2b）≤===4，当且仅当a=2b=4时，取等号，即当a=4时，log2a•log2（2b）取得最大值，故答案为：4．点评：本题主要考查基本不等式的应用，注意检查等号成立条件以及不等式的使用条件，属于中档题．11．已知集合A={（x，y）|y≤x}，集合B={（x，y）|（x﹣a）2+y2≤3}，若A∩B=B，则实数a 的取值范围为[2，+∞）．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：先根据集合A、B的关系，画出满足条件的平面区域，结合点到直线的距离从而求出a 的范围．解答：解：集合B={（x，y）|（x﹣a）2+y2≤3}，∴集合B是以（a，0）为圆心，以为半径的圆，若A∩B=B，画出图象，如图示：，显然，直线和圆相切时是临界值，∴圆心（a，0）到直线的距离d==，解得：a=2，∴a≥2，故答案为：[2，+∞）．点评：本题考查了集合之间的关系，考查点到直线的距离公式，数形结合思想，是一道中档题．12．已知点P是函数y=lnx的图象上一点，在点P处的切线为l1，l1交x轴于点M，过点P 作l1的垂线l2，l2交x轴于点N，MN的中点为Q，则点Q的横坐标的最大值为．考点：对数函数的图像与性质．专题：导数的综合应用．分析：设切点为（a，b），利用导数求出直线PM的方程，继而求出M点的横坐标，再根据直线PM⊥直线PN，求出直线PN的方程，继而求出N点的横坐标，根据中点坐标公式，求出Q点的横坐标，再利用导数求出最值，问题得以解决．解答：解：设P点的坐标为（a，b），如图所示，∵f（x）=lnx，∴f′（x）=，∴直线PM的斜率k PM=f′（a）=，∴直线PM的方程为y﹣b=（x﹣a），令y=0，解得x M=a﹣ab，∵直线PM⊥直线PN，∴k PN=﹣=﹣a，直线PN的方程为y﹣b=﹣a（x﹣a），令y=0，解得x N=a+，∵MN的中点为Q，∴x Q=（x M+x N=）=（a﹣ab+a+），又b=lna，∴x Q=（a﹣alna+a+），令g（a）=a﹣alna+a+，∴g′（a）=1﹣（lna+1）+1+=（1﹣lna）（1+），令g′（a）=0，解的a=e，当0＜a＜e时，g′（a）＞0，g（a）单调递增；当a＞e时，g'（a）＜0，g（a）单调递减，当a=e时取得极大值，即为最大值，最大值为g（e）=e﹣e+e+=，故点Q的横坐标的最大值为故答案为：点评：本题主要考查了曲线的切线方程和导数与最值得关系，关键是把点的坐标问题转化为求函数的最值问题，培养了学生的转化能力，属于中档题．13．已知函数f（x）=．若存在x1，x2，当1≤x1＜x2＜3时，f（x1）=f（x2），则的取值范围是（，]．考点：分段函数的应用．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：作函数f（x）的图象，结合图象可得+≤x1＜；化简==1+；从而求取值范围．解答：解：作函数f（x）=的图象如下，f（）=+1=1+；故令x+=1+得，x=+；故+≤x1＜；又∵==1+；＜≤=﹣1；＜1+≤；故答案为：（，]．点评：本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用，属于中档题．14．设函数f（x）=若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围或a≥2．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a 的范围．解答：解：设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），若在x＜1时，h（x）=2x﹣a与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2故答案为：或a≥2．点评：本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．二、解答题：15．（14分）函数f（x）=lg（x2﹣2x﹣3）的定义域为集合A，函数g（x）=2x﹣a（x≤2）的值域为集合B．（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）若集合A，B满足A∩B=B，求实数a的取值范围．考点：交集及其运算；函数的定义域及其求法；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：（I）对数的真数＞0求解函数f（x）=lg（x2﹣2x﹣3）的定义域得到集合A，再根据指数函数的值域求解B即可；（II）由题意A，B满足A∩B=B得B是A的子集，建立关于a的不等关系，可解出实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）A={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|（x﹣3）（x+1）＞0}={x|x＜﹣1，或x＞3}，..…..…B={y|y=2x﹣a，x≤2}={y|﹣a＜y≤4﹣a}．…..…..（Ⅱ）∵A∩B=B，∴B⊆A，..…．∴4﹣a＜﹣1或﹣a≥3，…∴a≤﹣3或a＞5，即a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪（5，+∞）．…．（13分）点评：本题考查集合的求法，对数函数的定义域、值域的求解是解题的关键，考查计算能力．16．（14分）设命题p：函数f（x）=lg（x2+ax+1）的定义域为R；命题q：函数f（x）=x2﹣2ax﹣1在（﹣∞，﹣1]上单调递减．（1）若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围；（2）若关于x的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题p为真命题时，a的取值集合为N．当M∪N=M时，求实数m的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：（1）先分别求出p真，q真时的x的范围，再通过讨论p真q假或p假q真的情况，从而求出a的范围；（2）根据M、N的关系，得到不等式组，解出即可．解答：解：（1）若p真：即函数f（x）的定义域为R∴x2+ax+1＞0对∀x∈R恒成立，∴△=a2﹣4＜0，解得：﹣2＜a＜2，若q真，则a≥﹣1，∵命题“p∨q”为真，“p∧q”为假∴p真q假或p假q真∵或，解得：﹣2＜a＜﹣1或a≥2．（2）∵M∪N=M∴N⊆M，∵M=（m﹣5，m），N=（﹣2，2）∴，解得：2≤m≤3．点评：本题考查了集合之间的关系，考查复合命题的性质，本题是一道中档题．17．设a为实数，记函数的最大值为g（a）．（1）设t=，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；（2）求g（a）．考点：二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；分类讨论．分析：（1）令，由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，再由，且t≥0…①，可得t的取值范围是，进而得m（t）的解析式．（2）由题意知g（a）即为函数m（t）=，的最大值，直线是抛物线m（t）=的对称轴，分a ＞0、a=0、a＜0三种情况利用函数的单调性求出函数f（x）的最大值为g（a）．解答：解：（1）∵，∴要使t有意义，必须1+x≥0且1﹣x≥0，即﹣1≤x≤1．∵，且t≥0…①，∴t的取值范围是．由①得：，∴=，．（2）由题意知g（a）即为函数m（t）=，的最大值，∵直线是抛物线m（t）=的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：1）当a＞0时，函数y=m（t），的图象是开口向上的抛物线的一段，由知m（t）在上单调递增，故g（a）=m（2）=a+2；2）当a=0时，m（t）=t，在上单调递增，有g（a）=2；3）当a＜0时，函数y=m（t），的图象是开口向下的抛物线的一段，若即时，g（a）=，若即时，g（a）=，若∈（2，+∞）即时，g（a）=m（2）=a+2．综上所述，有g（a）=．点评：本题主要考查二次函数在闭区间上的最值的求法，函数解析式求解的方法，体现了分类讨论的数学思想．18．如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？考点：基本不等式；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：（Ⅰ）求当t=时，直路l所在的直线方程，即求抛物线y=﹣x2+2（0≤x≤）在x=时的切线方程，利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；（Ⅱ）求出x=t时的抛物线y=﹣x2+2（0≤x≤）的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0＜t＜）上的极大值，也就是最大值．解答：解：（I）∵y=﹣x2+2，∴y′=﹣2x，∴过点M（t，﹣t2+2）的切线的斜率为﹣2t，所以，过点M的切线方程为y﹣（﹣t2+2）=﹣2t（x﹣t），即y=﹣2tx+t2+2，当t=时，切线l的方程为y=﹣x+，即当t=时，直路l所在的直线方程为12x+9y﹣22=0；（Ⅱ）由（I）知，切线l的方程为y=﹣2tx+t2+2，令y=2，得x=，故切线l与线段AB交点为F（），令y=0，得x=，故切线l与线段OC交点为（）．地块OABC在切线l右上部分为三角形FBG，如图，则地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积为S=（2﹣）×2=4﹣t﹣=4﹣（t+）≤2．当且仅当t=1时，取等号．∴当t=100米时，地块OABC在直路l不含游泳池那侧的面积最大，最大值为xx0平方米．点评：本题考查了函数模型的选择与应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，在实际问题中，函数在定义域内仅含一个极值，该极值往往就是最值．属中档题型．19．（16分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x ﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g（x）min，h（x）max；解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx+，∵f（x）＞1，∴e x lnx+＞1，∴lnx＞﹣，∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．设函数h（x）=xe﹣x﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．点评：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．20．（16分）已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数的定义域及其求法；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由1+x≥0且1﹣x≥0可求得定义域，先求[f（x）]2的值域，再求f（x）的值域；（2）F（x）=a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，由此可转化为关于t的二次函数，按照对称轴t=﹣与t的范围[，2]的位置关系分三种情况讨论，借助单调性即可求得其最大值；（3）先由（2）求出函数g（x）的最小值，﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）恒成立，从而转化为关于t的一次不等式，再根据一次函数的单调性可得不等式组，解出即可．解答：解：（1）由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，所以函数的定义域为[﹣1，1]，又[f（x）]2=2+2∈[2，4]，由f（x）≥0，得f（x）∈[，2]，所以函数值域为[，2]；（2）因为F（x）==a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，∴F（x）=m（t）=a（﹣1）+t=，t∈[，2]，由题意知g（a）即为函数m（t）=，t∈[，2]的最大值．注意到直线t=﹣是抛物线m（t）=的对称轴．因为a＜0时，函数y=m（t），t∈[，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，①若t=﹣∈（0，]，即a≤﹣，则g（a）=m（）=；②若t=﹣∈（，2]，即﹣＜a≤﹣，则g（a）=m（﹣）=﹣a﹣；③若t=﹣∈（2，+∞），即﹣＜a＜0，则g（a）=m（2）=a+2，综上有g（a）=，（3）易得，由﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）=恒成立，⇒m2﹣2tm≥0，令h（t）=﹣2mt+m2，对所有的t∈[﹣1，1]，h（t）≥0成立，只需，解得m的取值范围是m≤﹣2或m=0，或m≥2．点评：本题考查函数恒成立问题，考查函数定义域、值域的求法，考查学生对问题的转化能力，恒成立问题往往转化为函数最值问题解决．24565 5FF5 念26435 6743 权)39299 9983 馃X32324 7E44 繄737513 9289 銉q227775 6C7F 汿733495 82D7 苗H40277 9D55 鵕。
高三数学上学期9月第一次教学质量检查试题理含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学上学期9月第一次教学质量检查试题理〔含解析〕本卷须知：2.答复选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答复非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在套本套试卷上无效。
一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。
1.i 为虚数单位，复数z 满足(12i)2i z +=-+，那么z =〔〕B.1D.5【答案】B 【解析】 【分析】令za bi =+，得出,ab ,再计算z =，即可求出答案．【详解】解：令z a bi =+，那么(12)(12)()2(2)2i z i a bi a b b a i i +=++=-++=-+，∴2221a b b a -=-⎧⎨+=⎩解得01a b =⎧⎨=⎩，∴1z ==，应选B.【点睛】此题考察复数模的运算，属于根底题．{}2|log (1)A x y x ==-，{|(1)(2)0}B x x x =+-，那么A B =〔〕A.(]0,2B.()0,1C.(]1,2D.[)+2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】分别化简集合A 和B ,再求交集即可． 【详解】解：{}|1)A x x =>，{}|12B x x =-≤≤,∴{}|12A B x x ⋂=<≤,应选C.【点睛】此题考察集合的交集运算，属于根底题．3.01a b <<<，那么在a a ，b a ，a b ，b b 中，最大的是〔〕 A.a a B.b aC.a bD.b b【答案】C 【解析】 【分析】用做商法，两两比较大小，最后得出最大值． 【详解】解：∵01,0a a b <<-<，∴1a a b ba a a-=>，即a b a a >，同理可得，a b b b >， 又∵1aa aa ab b ⎛⎫=< ⎪⎝⎭∴aa b a >，即a b 最大．应选C ．【点睛】考察了有理数大小比较，在比较较为复杂的式子时，对于选择题最好的方法是举出详细的数值，利用特殊值进展比较即准确又快捷．kx y ce =拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，其变换后得到线性回归方程0.32z x =+，那么c =〔〕A.2eB.4eC.2D.4【答案】A 【解析】 【分析】通过对数函数的运算性质，求得ln 2c =，即可得出答案． 【详解】解：2ln ln ln()ln ln 0.3kx kx ce c e z y kx c x =+====++，∴ln 2c =即2c e =应选A.【点睛】此题考察对数函数的运算性质，属于根底题． 5.,m n ∈R ，那么“10mn->〞是“0m n ->〞的〔〕 A.既不充分也不必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】此题只需解出条件和结论对应的,m n 的取值范围，再从集合的角度，即可得出答案． 【详解】解：前者：1010m mm n n n->⇒>⇒>>或者0m n <<， 后者：0m n m n ->⇒>； 所以“10mn->〞是“0m n ->〞的既不充分也不必要条件 【点睛】此题结合解不等式，考察充分必要条件，属于根底题．6.执行如程序框图所示的程序，假设输入的x 的值是2，那么输出的x 的值是〔〕A.3B.5C.7D.9【答案】D 【解析】 【分析】直接利用程序框图的循环构造的应用求出结果． 【详解】解：执行程序框图，输入x ， 当i =1时，得到2x -1；当i =2时，得到2〔2x -1〕-1=4x -3， 当i =3时，得到4〔2x -1〕-3=8x -7，当i =4时，退出循环，输出8x -7=82-7=9⨯， 应选D ．【点睛】此题考察循环构造的程序框图的输出结果的计算问题，着重考察推理与运算才能，属于根底题．:21l y kx k =-+将不等式组2010220x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩表示平面区域的面积分为1：2两局部，那么实数k 的值是〔〕 A.1或者14B.14或者34C.13或者23D.14或者13【答案】A 【解析】 【分析】根据线性约束条件，画出可行域，根据直线l 过定点，通过数形结合，即可求解． 【详解】如下列图，∵直线l 恒过点()2,1B，故当直线l 过AB 的三等分点2241,,,3333D E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时,此时可行域的面积被分为1:2的两局部，此时1k =或者14. 应选A.【点睛】此题考察线性规划问题，属于根底题．)232sin x x dx -+⎰的值是〔〕A.πB.2πC.2π+2cos2D.π+2cos2【答案】B 【解析】 【分析】根据定积分的性质，将定积分)232sin x x dx-+⎰可以展开为：222322(sin )x dx x dx ---+-+⎰⎰⎰，利用定积分的运算，分别求出定积分值．【详解】解：利用定积分的运算法那么，将定积分)232sin x x dx-+⎰展开为：222322(sin )x dx x dx ---+-+⎰⎰⎰，∴2-⎰表示以()0,0为圆心，2为半径12圆的面积，∴21422ππ-=⨯=⎰∴)232sin 2x x dx π-+=⎰应选B ．【点睛】此题考察定积分的性质，学生应纯熟掌握定积分的运算法那么和几何意义，属于中档题．P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，假设三棱锥P ABC -O 的外表积为〔〕A.16πB.20πC.28πD.32π【答案】B【分析】一条棱垂直底面的三棱锥和与其同底等高的三棱柱的外接球是同一个，再结合正弦定理求出底面三角形外接圆半径r ，最后即可求出外接球半径R =h 为三棱柱垂直底面的棱长〕，再结合球的外表积公式2=4S R π球,即可求解． 【详解】解：如下列图，三棱锥P ABC -的外接球就是三棱柱''PB C ABC -的外接球，∵三棱锥P ABC -的体积为11123sin1203323ABC S PA AB AC PA ∆==，∴2PA =由正弦定理得：ABC ∆外接圆的直径24sin sin 30AB crACB ===∠∴三棱锥P ABC -的外接球的半径R ==∴球O 的外表积为20π，应选B.【点睛】此题考察三棱锥的外接球外表积，确定三棱锥的外接球的半径是关键．2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为C 与圆22(16x y ++=交于M ，N 两点，且4MN =，那么椭圆C 的方程为〔〕A.2211512x y += B.221129x y += C.22163x y +=D.22196x y += 【答案】D 【解析】先画出草图，通过计算，便可得到MN 的中点即为椭圆的另一个焦点，再利用椭圆的几何性质，即可求出． 【详解】解：如下列图： ∵2,4MD MC ==,∴CD ==,∴点D 就是椭圆的另一个焦点，∴26a MC MD =+=,即3a =,又∵c=，∴2226b a c =-=，∴椭圆的HY 方程为：22196x y +=，应选D ．【点睛】此题考察求椭圆的HY 方程和作图才能，充分利用题目所给条件，挖掘根本量,,a b c 的关系，即可求解．()sin cos f x a x x =+，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，假设12x x ∃≠，使得()()12f x f x =，那么实数a 的取值范围是〔〕A.⎛ ⎝⎭B.(C.⎝D.⎛ ⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】此题可转化为函数()f x 在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭不单调，即对称轴要落在,6πϕϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上，即可求解．【详解】解：依题意得1()sin cos )(tan )f x a x x x a ϕϕ=++=在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，即2()62k k Z k πϕπππϕπ⎧<+⎪⎪∈⎨⎪+>+⎪⎩化简得：()32k k k Z πππϕπ+<<+∈，tan ϕ<1a <，解得0,3a ⎛∈ ⎝⎭，应选D. 【点睛】此题考察辅助角公式和正弦函数的根本性质，属于中档题．1111ABCD A B C D -，点P 是四边形11BB D D 内〔含边界〕任意一点，Q 是11B C 中点，有以下四个结论：①=0ACBP ；②当P 点为11B D 中点时，二面角P AD C --的余弦值12；③AQ 与BC 所成角的正切值为CQ AP ⊥时，点P 的轨迹长为32. 其中所有正确的结论序号是〔〕 A.①②③ B.①③④C.②③④D.①②④【答案】B 【解析】 【分析】①利用线面平行，得到线线平行．②要求二面角的余弦值，转化为求二面角的平面角余弦值．③要求线线角，将其平移至一个三角形中，即可求解．④证明CQ ⊥平面AHB ，那么HB 即为点P 的运动途径，通过计算即可求解． 【详解】解：如下列图， ①根据正方体的几何性质，易得AC ⊥平面11BB D D ,又因为BP ⊆平面11BB D D ,故AC BP ⊥，即=0AC BP ，故①对．②当P 点为11B D 中点时，PA PD=,且OA OD =,所以二面角P AD C --的平面角为OFP ∠,连接OP ,又90POF∠=，故所求二面角的余弦值为cos 5OF OFPFP∠==.故②错．③因为AD BC ∥,所以AQ 与BC 所成角即为AQ 与AD 所成角，即为DAC ∠,连接,QD QF ,在等腰三角形AQD 中，F 为底边中点，所以90AFQ ∠=，所以AQ 与BC 所成角的正切值为tan 12FQ DAC AF∠===故③对．④点H 为1DD 中点，所以CQ AH ⊥，又因为,CQ AB ⊥所以CQ ⊥平面AHB ,即点P 在线段HB上运动时，CQ AP ⊥，所以点P 的轨迹长为32HB =，故④对． 应选B .【点睛】此题考察直线与平面位置关系的断定、二面角〔范围[]0,π〕以及异面直线的夹角〔范围0,2π⎛⎤⎥⎝⎦〕．属于中档题． 二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分。
2021年高三上学期9月月考数学试卷含解析
2021年高三上学期9月月考数学试卷含解析一、填空题：（每题5分，共计70分）1．已知A={﹣1，0，2}，B={﹣1，1}，则A∪B= ．2．已知复数z=，（i为虚数单位）则复数z的实部为．3．写出命题：“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题：．4．一位篮球运动员在最近的5场比赛中得分的茎叶图如图，则他在这5场比赛中得分的方差是．5．如图所示的流程图，输出的n= ．6．已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为．7．若实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最大值为．8．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为．9．在等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，若a3=8，S3=20，则S5= ．10．将y=sin2x的图象向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图象仍过点（），则φ的最小值为．11．若直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，则a= ．12．已知函数f（x）=，为奇函数，则不等式f（x）＜4的解集为．13．在三角形ABC中，已知AB=3，A=120°，△ABC的面积为，则•的值= ．14．设点P，M，N分别在函数y=2x+2，y=，y=x+3的图象上，且=2，则点P横坐标的取值范围为．二、解答题：（满分90分，作答请写出必要的解答过程）15．已知f（x）=sinx+acosx，（1）若a=，求f（x）的最大值及对应的x的值．（2）若f（）=0，f（x）=（0＜x＜π），求tanx的值．16．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D为PB中点，E为PC的中点，（1）求证：BC∥平面ADE；（2）求证：平面AED⊥平面PAB．17．小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若点B在椭圆上，点D在y轴上，且=2，求直线AB方程．19．已知数列{a n}满足a1=1，a2=a＞0，数列{b n}满足b n=a n•a n+1（1）若{a n}为等比数列，求{b n}的前n项的和s n；（2）若b n=3n，求数列{a n}的通项公式；（3）若b n=n+2，求证：++…+＞2﹣3．20．已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx，（1）求证：f（x）≥x+1；（2）设x0＞1，求证：存在唯一的x0使得g（x）图象在点A（x0，g（x0））处的切线l与y=f（x）图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a，总存在正数x，使得|﹣1|＜a成立．xx学年江苏省淮安市淮阴中学高三（上）9月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每题5分，共计70分）1．已知A={﹣1，0，2}，B={﹣1，1}，则A∪B= {﹣1，0，1，2} ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：利用并集的性质求解．解答：解：∵A={﹣1，0，2}，B={﹣1，1}，∴A∪B{﹣1，0，1，2}，故答案为：{﹣1，0，1，2}．点评：本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题．2．已知复数z=，（i为虚数单位）则复数z的实部为 1 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．解答：解：∵复数z===i+1．∴复数z的实部为1．故答案为：1．点评：本题考查了复数的运算法则、实部的定义，属于基础题．3．写出命题：“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题：“若x≠3则x2﹣2x﹣3≠0”．考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：若原命题的形式是“若p，则q”，它的否命题是“若非p，则非q”，然后再通过方程根的有关结论，验证它们的真假即可．解答：解：原命题的形式是“若p，则q”，它的否命题是“若非p，则非q”，∴命题：“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3则x2﹣2x﹣3≠0”．故答案为：“若x≠3则x2﹣2x﹣3≠0”．点评：写四种命题时应先分清原命题的题设和结论，在写出原命题的否命题、逆命题、逆否命题，属于基础知识．4．一位篮球运动员在最近的5场比赛中得分的茎叶图如图，则他在这5场比赛中得分的方差是 2 ．考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：先求得数据的平均数，再利用方差计算公式计算．解答：解：==10，∴方差Dx=×（4+1+0+1+4）=2．故答案为：2．点评：本题考查了由茎叶图求数据的方差，熟练掌握方差的计算公式是解题的关键．5．如图所示的流程图，输出的n= 4 ．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：当n=1时，S=1，不满足退出循环的条件，故n=2，S=4；当S=4，不满足退出循环的条件，故n=3，S=9；当S=9，不满足退出循环的条件，故n=4，S=16；当S=16，满足退出循环的条件，故输出的n值为4，故答案为：4点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．6．已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程，算出它的焦点为F（2，0），即为双曲线的右焦点，由此建立关于a的等式并解出a值，进而可得此双曲线的渐近线方程．解答：解：∵抛物线方程为y2=8x，∴2p=8，=2，可得抛物线的焦点为F（2，0）．∵抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，∴双曲线的右焦点为（2，0），可得c==2，解得a2=1，因此双曲线的方程为，可得a=1且b=，∴双曲线的渐近线方程为y=x，即．故答案为：点评：本题给出双曲线的右焦点与已知抛物线的焦点相同，求双曲线的渐近线方程．着重考查了抛物线的简单性质、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．7．若实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最大值为 6 ．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组对应的平面区域如图，将直线l：z=x+2y进行平移，并观察它在轴上截距的变化，可得当l经过区域的右上顶点A时，z达到最大值．由此求出A点坐标，不难得到本题的答案．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如右图，是位于△ABO及其内部的阴影部分．将直线l：z=x+2y进行平移，可知越向上平移，z的值越大，当l经过区域的右上顶点A时，z达到最大值由解得A（2，2）∴z max=F（2，2）=2+2×2=6故答案为：6点评：本题给出线性约束条件，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单线性规划等知识点，属于基础题．8．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为6π．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由圆柱的轴截面是边长为2的正方形可得圆柱底面圆的直径长为2，高为2．解答：解：∵圆柱的轴截面是边长为2的正方形，∴圆柱底面圆的直径长为2，高为2．则圆柱的表面积S=2•π•2+2•π•12=6π．故答案为6π．点评：考查了学生的空间想象力．9．在等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，若a3=8，S3=20，则S5= 40 ．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等差数列的首项和公差，由已知列式求出首项和公差，则答案可求．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由若a3=8，S3=20，得，解得：．∴．故答案为：40．点评：本题考查了等差数列的前n项和，考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题．10．将y=sin2x的图象向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图象仍过点（），则φ的最小值为．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：利用正弦函数的函数值相等，结合三角函数的图象的平移，判断平移的最小值即可．解答：解：因为y=sin2×=sin=，所以函数y=sin2x的图象向右平移单位，得到的图象仍过点（），所以φ的最小值为．故答案为：．点评：本题考查三角函数的值与函数的图象的平移，考查计算能力．11．若直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，则a= ﹣2 ．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：由圆的方程，得到圆心与半径，根据直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，可得直线l：y=x+a过圆心，即可求出a的值．解答：解：∵圆（x﹣2）2+y2=1，∴圆心为：（2，0），半径为：1∵直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，∴直线l：y=x+a过圆心，∴a=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题主要考查直与圆的位置关系及其方程的应用，是常考题型，属中档题．12．已知函数f（x）=，为奇函数，则不等式f（x）＜4的解集为（﹣∞，4）．考点：其他不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的定义，求出a，b，即可得到结论．解答：解：若x＞0，则﹣x＜0，则f（﹣x）=bx2+3x，∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即bx2+3x=﹣x2﹣ax，则b=﹣1，a=﹣3，即f（x）=，若x≥0，则不等式f（x）＜4等价x2﹣3x＜4，即x2﹣3x﹣4＜0，解得﹣1＜x＜4，此时0≤x＜4，若x＜0，不等式f（x）＜4等价﹣x2﹣3x＜4，即x2+3x+4＞0，此时不等式恒成立，综上x＜4．即不等式的解集为（﹣∞，4）．点评：本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．13．在三角形ABC中，已知AB=3，A=120°，△ABC的面积为，则•的值= ．考点：平面向量数量积的运算．专题：解三角形．分析：利用三角形面积公式列出关系式，将c，sinA及已知面积代入求出b的值，再利用余弦定理列出关系式，把b，c，cosA的值代入计算即可求出a的值，然后利用余弦定理求cosB，结合数量积的定义求•的值．解答：解：∵AB=c=3，A=120°，△ABC的面积为，∴S△ABC=bcsinA=b=，即b=5，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=25+9+15=49，则BC=a=7．由余弦定理得cosB=•=accosB=7×3×=．点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式以及向量的数量积的运算，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．14．设点P，M，N分别在函数y=2x+2，y=，y=x+3的图象上，且=2，则点P横坐标的取值范围为．．考点：向量数乘的运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，由=2，可得点P是线段MN的中点．设M（x1，y1），P（x，y），N（x2，y2）．可得，，，（0≤x1≤4），y2=x2+3，y=2x+2．化为2x=﹣1﹣x1（0≤x1≤4）．令f（t）=（0≤t≤4）．利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出．解答：解：如图所示，∵=2，∴点P是线段MN的中点．设M（x1，y1），P（x，y），N（x2，y2）．∴，，，（0≤x1≤4），y2=x2+3，y=2x+2．化为2x=﹣1﹣x1（0≤x1≤4）．令f（t）=（0≤t≤4）．f′（t）=﹣1，当2≤t≤4时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减．当0≤t＜2时，f′（t）=0，解得，则当时，函数f（t）单调递增；当时，函数f（t）单调递减．而极大值即最大值=﹣3，又f（0）=﹣1，f（4）=﹣5．∴点P横坐标的取值范围为．故答案为：．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、向量的共线、分类讨论思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、解答题：（满分90分，作答请写出必要的解答过程）15．（14分）（xx秋•泗洪县校级期中）已知f（x）=sinx+acosx，（1）若a=，求f（x）的最大值及对应的x的值．（2）若f（）=0，f（x）=（0＜x＜π），求tanx的值．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数线．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）a=时，利用两角和的正弦值化简f（x），求出x取何值时f（x）有最大值；（2）由f（）=0求出a的值，再由f（x）=，求出cosx、sinx的值，从而求出tanx的值．解答：解：（1）a=时，f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），…（2分）当sin（x+）=1，即x+=+2kπ（k∈Z），∴x=+2kπ（k∈Z）时，f（x）有最大值2；…（6分）（2）∵f（）=sin+acos=+a=0，∴a=﹣1；…（8分）∴f（x）=sinx﹣cosx=，∴，∴，即（cosx+）cosx=；整理得，25cos2x+5cosx﹣12=0，解得，cosx=，或cosx=﹣；当cosx=时，sinx=，当cosx=﹣时，sinx=﹣；又∵x∈（0，π）∴取；∴tanx=．…（14分）点评：本题考查了三角恒等变换的应用问题以及三角函数求值的问题，也考查了一定的计算能力，是较基础题．16．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D为PB中点，E为PC的中点，（1）求证：BC∥平面ADE；（2）求证：平面AED⊥平面PAB．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）由中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（2）由线面垂直的性质和判定定理，以及通过面面垂直的判定定理，即可得证．解答：（1）证明：∵PE=EC，PD=DB，∴DE∥BC，∵DE⊂平面ADE，BC⊄平面ADE，∴BC∥平面ADE；（2）证明：∵PA⊥平面PAC，BC⊂平面PAC，∴PA⊥CB，∵AB⊥CB，AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAB，∵DE∥BC∴DE⊥平面PAB，又∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面PAB．点评：本题考查线面平行的判定定理和线面垂直的判定和性质，以及面面垂直的判定定理，注意定理的条件的全面，属于基础题．17．小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）求出第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论；（2）利用利润=累计收入+销售收入﹣总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论．解答：解：（1）设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，则y=25x﹣[6x+x（x﹣1）]﹣50=﹣x2+20x﹣50（0＜x≤10，x∈N）由﹣x2+20x﹣50＞0，可得10﹣5＜x＜10+5∵2＜10﹣5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）∵利润=累计收入+销售收入﹣总支出，∴二手车出售后，小张的年平均利润为=19﹣（x+）≤19﹣10=9当且仅当x=5时，等号成立∴小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．点评：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若点B在椭圆上，点D在y轴上，且=2，求直线AB方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知得，，由此能求出椭圆方程．（2）设B（x0，y0），D（0，m），则，，由此能求出直线方程．解答：解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（1，），∴，∴a=2c，…（2分）∴b2=a2﹣c2=3c2设椭圆方程为：，∴∴椭圆方程为：…（7分）（2）设B（x0，y0），D（0，m），则，，∴﹣x0=2，m﹣y0=3﹣2m，即x0=﹣2，y0=3m﹣3，代入椭圆方程得m=1，∴D（0，1），…（14分）∴．…（16分）点评：本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线与椭圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．19．已知数列{a n}满足a1=1，a2=a＞0，数列{b n}满足b n=a n•a n+1（1）若{a n}为等比数列，求{b n}的前n项的和s n；（2）若b n=3n，求数列{a n}的通项公式；（3）若b n=n+2，求证：++…+＞2﹣3．考点：数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（1）分a=1和a≠1求出等比数列{a n}的通项公式，进一步求得{b n}是等比数列，则其前n项和s n可求；（2）把b n=3n代入b n=a n•a n+1，然后分n为奇数和偶数得到数列{a n}的偶数项和奇数项为等比数列，由等比数列的通项公式得答案；（3）由b n=n+2得到a n a n+1=n+2，进一步得到，代入++…+整理后利用基本不等式证得结论．解答：（1）解：由a1=1，a2=a＞0，若{a n}为等比数列，则，∴．当a=1时，b n=1，则s n=n；当a≠1时，．（2）解：∵3n=a n•a n+1，∴3n﹣1=a n﹣1•a n（n≥2，n∈N），∴．当n=2k+1（k∈N*）时，∴；当n=2k，（k∈N*）时，∴．∴．（3）证明：∵a n a n+1=n+2 ①，∴a n﹣1a n=n+1（n≥2）②，①﹣②得∴=（a3﹣a1）+（a4﹣a2）+…+（a n+1﹣a n﹣1）=a n+a n+1﹣a1﹣a2∴=．∵，∴＞﹣3．点评：本题是数列与不等式综合题，考查了等比关系的确定，考查了首项转化思想方法，训练了放缩法证明数列不等式，是压轴题．20．已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx，（1）求证：f（x）≥x+1；（2）设x0＞1，求证：存在唯一的x0使得g（x）图象在点A（x0，g（x0））处的切线l与y=f（x）图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a，总存在正数x，使得|﹣1|＜a成立．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．分析：（1）构造函数F（x）=e x﹣x﹣1，求函数的导数即可证明f（x）≥x+1；（2）求函数的导数，利用导数的几何意义即可证明存在唯一的x0使得g（x）图象在点A （x0，g（x0））处的切线l与y=f（x）图象也相切；（3）求函数的导数，利用导数和不等式之间的关系即可证明对任意给定的正数a，总存在正数x，使得|﹣1|＜a成立．解答：解：（1）令F（x）=e x﹣x﹣1，x∈R，∵F'（x）=e x﹣1=0得x=0，∴当x＞0时F'（x）＞0，F（x）递增；当x＜0时F'（x）＜0，F（x）递减；∴F（x）min=F（0）=0，由最小值定义得F（x）≥F（x）min=0即e x≥x+1．（2）g（x）在x=x0处切线方程为①设直线l与y=e x图象相切于点，则l：②，由①②得，∴⑤下证x0在（1，+∞）上存在且唯一．令，，∴G（x）在（1，+∞）上递增．又，G（x）图象连续，∴存在唯一x0∈（1，+∞）使⑤式成立，从而由③④可确立x1．故得证．（1）由（1）知即证当a＞0时不等式e x﹣1﹣x＜ax即e x﹣ax﹣x﹣1＜0在（0，+∞）上有解．令H（x）=e x﹣ax﹣x﹣1，即证H（x）min＜0，由H'（x）=e x﹣a﹣1=0得x=ln（a+1）＞0．当0＜x＜ln（a+1）时，H'（x）＜0，H（x）递减，当x＞ln（a+1）时，H'（x）＞0，H（x）递增．∴H（x）min=H（ln（a+1））=a+1﹣aln（a+1）﹣ln（a+1）﹣1．令V（x）=x﹣xlnx﹣1，其中x=a+1＞1则V'（x）=1﹣（1+lnx）=﹣lnx＜0，∴V（x）递减，∴V（x）＜V（1）=0．综上得证．点评：本题主要考查导数的综合应用，综合性较强，运算量较大．25479 6387 掇36279 8DB7 趷h31814 7C46 籆31899 7C9B 粛c>37172 9134 鄴638874 97DA 韚21629 547D 命Q23777 5CE1 峡。
2021届高考9月份联考试题理科数学试卷附答案解析
2021届普通高中教育教学质量监测考试全国卷理科数学注意事项：1 .本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
2 .答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3 .全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4 .本试卷满分150分，测试时间120分钟。
5 .考试范画：必修1〜5,选修2 — 1, 2-2, 2—3。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
1.若 z=2—L 则区一zl= A3 B.2 C. VTO D.V262,若集合 A={xly=k )g3(x2—3x-18)}, B={-5, -2, 2, 5, 7),则 AAB = A.{—2, 2, 5}B.{-5, 7}C.{-5, -2, 7}D.{-5, 5, 7)3.我国古代的宫殿金碧辉煌，设计巧夺天工，下图(1)为北京某宫殿建筑，图(2)为该宫殿某一 “柱脚”的三视图，其中小正方形的边长为1,则根据三视图可知，该“柱脚”的表面积为94•已知抛物线G ： y2=6x 上的点M 到焦点F 的距离为一,若点N 在Cz ： (x+2)2+y 2=l ・ 2则点M 到点N 距离的最小值为A.A /26-1B.>/43-1C.V33-1D.25.根据散点图可知，变量x, y 呈现非线性关系。
为了进行线性回归分析，设u=21ny, v=(2x -3)2,利用最小二乘法，得到线性回归方程u=-1v+2,则3B.变量y 的估计值的最小值为eA.变量y 的估计值的最大值为e图⑴ 图⑵A.9TT +9+9 B.18 兀+18 点 +9 C.18 兀+18& +18D.18TT +91 + 18C 变量y 的估计值的最大值为e 2 D.变量y 的估计值的最小值为e 26,函数f(x)=h]2x —x3的图象在点(1, f(L))处的切线方程为 2 25 3 5 c — 1 1 、1 A. y = — x--B. y = — —x + 2C. y = —x--D. y = --x44 44447,已知函数 f(x)=3cos(sx+<p)(3>0),若 f (一二)=3, f( —)=0,则 3 的最小值为3 31 3 A.-B.-C.2D.3248 .(3x-2)2(x-2)6的展开式中，X”的系数为 A.O B.4320C.480D.38409 .已知圆C 过点(1, 3), (0, 2), (7, -5),直线/： 12x-5y —1=0与圆C 交于M, N 两点, 则 IMNI = A.3B.4C.6D.8 10・已知角a 的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(1, m),其中m>0：若tan2a12 rll—,则 cos(2a+ni7i) = 6「 口A.— —B.— —131311 .已知三棱锥S-ABC 中，ZiSBC 为等腰直角三角形，ZBSC=ZABC = 90°, ZBAC=2Z BCA, D, E, F 分别为线段AB, BC, AC 的中点，则直线SA, SB, AC, SD 中，与平面SEF 所成角为定值的有A.1条B.2条 C3条 D.4条e x212.已知函数f(x)= — —m(h]x+x+ —)恰有两个极值点，则实数m 的取值范围为 x x11 1 c c 1 eA.(-8, _] B,(一，+8) C.(一，-)U (- , 4-oo)D .(—8, —]U(—，+8)222 332 3第n 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
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注意事项：
新高考省份高三年级9月份检测试题
数学试卷
（本试卷满分150分，考试时间： 120分钟）
1.答卷前：先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条码粘贴在答题卡上指定位置。
2.选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
3.非选择题，用0.5mm黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域，写在非答题区域无效。
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分）1.若全集U= {1, 2, 3, 4}, M = {1, 2}
, N = {2, 3} , 则(CuM )n
(CuN ) =A. {4} B. {1, 2, 3} C. {2} D. {1, 3, 4}l+2i 2.已知i为虚数单位，若(a E R)为纯虚数，则实数a的值为A.2a+i 1 B -2 C. — D.-_!_ . 2 2 3.将函数y = 2sin(2x -巴）图象上的点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保待不变，则所得函数3图象的解析式为2冗A. y = 2sin(4x-—) 3 冗B. y = 2sin(4x-—)3 冗冗C. y = 2sin (x -—) D. y = 2sin (x -—)6 3 ''4. 已知点A(0,3), B(3,2) , 向量m= (-6,2), 则向量AB与m A 垂直 B. 不垂直也不平行C. 平行且同向 D. 平行且反向5.若J(x )是偶函数且在[O,+oo)上为增函数，又八-2)=1.则不等式八x -1)<1的解集为A. {斗-1< x < 3} B. {xi x < -1或x>3}C. {xi x < -1或0< x < 3} D. {xi x > 1或-3<x<0}
6.股票价格上涨10%称为＂涨停”，下跌10%称为“跌停＂。
某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，这只股票先经历了3次跌停，又经历了3次涨停，则该股民在这只股票．上的盈亏情况（不考虑其他费用）为
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