组合数学 第二章 容斥原理
组合数学中的容斥原理及其应用实例
技术创新33组合数学申的容斥原理及其应用实例◊宝鸡文理学院数学与信息科学学院李海侠容斥原理是组合数学中的一个重要计数工具，在集合论、概率论和初等数论等学科中占有非常重要的地位。
本文讨论容斥原理的思想以及在计数问题中的若干应用，帮助大家更方便的利用容斥原理解决相关问题。
容斥原理冋是组合数学中的基本计数原理，是解决计数问题的一个重要工具。
掌握容斥原理的主要思想可以大大简化计数问题的计算，给解决相关问题带来方便，具有非常重要的研究意义。
但纵观容斥原理的已有研究成果，目前对容斥原理在圆排列（非夫妻围坐问题）、多重集排列和与棋盘多项式有关的禁区排列等方面的应用很少。
因此，本文在容斥原理相关定理的基础上探析容斥原理的主要思想以及若干应用,并通过举例进行详细说明，从而使大家更好地理解并灵活应用容斥原理。
1预备知识为了后面讨论的需要，下面给出容斥原理的相关定理和思想。
定理1（容斥原理）呦设有限集S,P=｛片，马,…，好｝是与S中元素有关的性质集合，4,&，…,4,是分别具有性质£，妁，…上的元素构成的s的子集，贝U：|4U4U-U^…|»,,,,（1）=ZW-Z|4-n^|+s l4.n4.nAl—■+（-ir1l4n^n-n4.li=l l<i<j<n l<i<j<k<n|4A4n-n4；|⑵=l^|-il4l+Z|4A4|-z|4n4n^|+-+（-ir|4n4n-n4.li=l l<i<j<k<n运用容斥原理和组合販易得定理2如果有限集s的子集4,4,…,4.具有对称性，即|4|=^（1<«<«）,|4-C1勺| =J R2（i<i</<»）,-）|4n4n-AA|=^,”则14u U•••U Al=ex-CX+•-+（-1）"_1CX=（3）冈n瓦n…n可=国-c：x+c江-…+（-i）”c：&=同-x（-i）/_I c火（4）利用容斥原理解题的思想和步骤：J（1）根据题意,找出全集s并构造出s中具有性质P t的元素组成的s的子集4（i= 1,2,•••,»）,这里4（21,2,…，”）的寻找非常关键，目标是既能用容斥原理又使得⑷，|4ri24y|,---,|4/容易求出。
组合数学中的容斥原理及其应用实例
组合数学中的容斥原理及其应用实例容斥原理又称为包含排斥原理，是组合数学中一个重要的计数技巧。
其思想是在计数过程中，先将需要计算的几个集合的元素个数求出，再减去它们的交集元素个数，最后加上它们的交集的交集元素个数。
用数学符号表示为：A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n = \sum_{i} A_i - \sum_{i<j} A_i\cap A_j + \sum_{i<j<k} A_i\cap A_j\cap A_k - \cdots + (-1)^{n-1}A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n其中，A_i 表示集合A_i中元素的个数。
容斥原理在计数问题中的应用是十分广泛的。
下面以几个实例来说明其具体应用。
例1：10个人围坐在一张圆桌周围，问将他们分成若干组，每组至少有3个人，共有多少种分法？解：我们可以以每个小组首位的编号来考虑不重不漏地表示方案数，设小组数量为k，则总方案数为\sum_{k=1}^{5} \binom{10}{k} (k-1)!，其中\binom{10}{k}表示从10个人中选k个人分成小组，(k-1)!表示考虑首位编号的排列数。
但是，这样计算会重复计算某些情况，比如将10个人随便分成3组时，第一组有4个人，第二组有3个人，第三组有3个人，这个方案在计算k=3和k=4时都会被算一次，因此需要使用容斥原理去除重复。
根据容斥原理，减去既有一个人被分在恰好一组的情况，又有两个人被分在恰好一组的情况，再加上既有一个人被分在恰好两组的情况，有：\sum_{k=1}^5 (-1)^{k-1} \binom{10}{k} (k-1)! +\binom{10}{1}\binom{9}{3}2! + \binom{10}{2}\binom{8}{3}\binom{5}{3}1!即：151200 - 19,008 + 1,680 = 134,592因此，共有134,592种分法。
组合数学之容斥原理
对个人学习建议
01
深入理解容斥原理的 基本概念
要学好容斥原理，首先要深入理解其 基本概念和公式，掌握其基本原理和 思想。
02
多做练习题
通过大量的练习题，可以加深对容斥 原理的理解和掌握，提高解题能力和 思维水平。
03
拓展相关数学知识
容斥原理涉及到许多相关的数学知识 ，如集合论、概率论等。为了更好地 理解和应用容斥原理，建议学习者拓 展相关数学知识，建立完整的知识体 系。
THANK YOU
感谢聆听
有限制的排列问题
在n个元素中取出m个元素进行排列，要求某些元素必须相邻或某些元素不能相邻。可以 利用容斥原理，通过计算不满足条件的排列数，进而求得满足条件的排列数。
棋盘多项式问题
在n×n的棋盘上放置k个棋子，要求任意两个棋子不在同一行或同一列上。可以利用容斥原理， 通过计算至少有两对棋子在同一行或同一列上的放置方式数，进而求得满足条件的放置方式 数。
图论基本概念
01
图
02
顶点
03 边
04
度
路径
05
由顶点集和边集构成的一种数据结构，表示对象及其之间的 关系。 图中的基本元素，表示对象。
连接两个顶点的线段，表示对象之间的关系。
与顶点相关联的边的数目。
从一个顶点到另一个顶点的一条边的序列。
容斥原理在图论中应用
计算图的着色数
利用容斥原理，通过计算不同 颜色着色的子图个数，进而求 得图的着色数。
当某些元素不能同时选取或某些选取 方式不符合要求时，可以通过容斥原 理来求解符合条件的排列组合数。
典型问题解析
错排问题
n个元素进行排列，要求每个元素都不在原来的 位置，求这样的排列有多少种。
容斥原理及其应用
容斥原理及其应用容斥原理是组合数学中一种重要的计数技巧，被广泛运用于排列组合、概率统计等领域。
它的核心思想是通过求出多个集合的交集和并集来计算所需的数量，从而避免重复计数，确保准确性和全面性。
本文将介绍容斥原理的基本概念、推导过程以及其在实际问题中的应用。
一、容斥原理的基本概念容斥原理是根据集合的性质和运算规则推导出的一种计数方法。
在给定一组集合时，容斥原理可以帮助我们计算这些集合的交集和并集的元素个数。
在具体运用中，我们将问题转化成求解几个集合的元素个数之和的问题。
容斥原理表达式如下：∣A1∪A2∪⋯∪An∣=∣A1∣+∣A2∣+⋯+∣An∣−∣A1∩A2∣−∣A1∩A3∣−⋯−∣An−1∩An∣+⋯+（−1）^n−1∣An−1∩An∣其中，∣A∣表示集合A的元素个数，∪表示集合的并集，∩表示集合的交集，n表示集合的数量。
二、容斥原理的推导过程容斥原理的推导过程可以通过数学归纳法来实现，下面简要介绍：首先，我们给定两个集合A和B，我们用∣A∣表示集合A的元素个数，用∣B∣表示集合B的元素个数。
如果我们要计算A和B的并集∣A∪B∣，那么可以采取如下步骤：1. 首先，我们直接将∣A∣和∣B∣相加，得到∣A∣+∣B∣。
2. 然后，我们需要减去重复计算的部分，即集合A和B的交集∣A∩B∣。
因为∣A∩B∣这部分元素已经在∣A∣和∣B∣中被计算了一次，所以需要减去∣A∩B∣。
通过以上步骤，我们得到了∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣。
这就是容斥原理的基本推导过程。
接下来，我们将容斥原理推广到更多集合的情况。
假设我们有三个集合A、B和C，我们想要计算它们的并集∣A∪B∪C∣，我们可以按照以下步骤进行：1. 首先，我们将∣A∣、∣B∣和∣C∣相加，得到∣A∣+∣B∣+∣C∣。
2. 然后，我们需要减去两两集合的交集部分，即∣A∩B∣、∣A∩C∣和∣B∩C∣。
这是因为这些部分元素在∣A∣、∣B∣和∣C∣中都被计算了一次，所以需要减去。
组合数学 —— 容斥定理
即：A∪B∪C = A+B+C - AB - BC - AC + ABC
当被计数的种类被推到 n 类时，其统计规则即遵循奇加偶减。
容斥定理最常用于求 [a,b] 区间与 n 互质的数的个数，该问题可视为求 [1,b] 区间与 n 互质的个数减去 [1,a-1] 区间内与 n 互质的个数，故而可先对 n 进行因子分解，然后从 [1,b]、[1,a-1] 区间中减去存在 n 的因子的个数， 再根据容斥定理，奇加偶减，对 n 的因子的最小公倍数的个数进行处理即可。
2.求[1,n]中能/不能被m个数整除的个数
对于任意一个数 a[i] 来说，我们能知道在 1-n 中有 n/a[i] 个数是 a[i] 的倍数，但这样将 m 个数扫一遍一定会用重
复的数，因此需要用到容斥原理
根据容斥定理的奇加偶减，对于 m 个数来说，其中的任意 2、4、...Байду номын сангаас2k 个数就要减去他们最小公倍数能组成的 数，1、3、...、2k+1 个数就要加上他们的最小公倍数，因此 m 个数就有 2^m 种情况，对于每种状态，依次判
cnt=0; memset(bprime,false,sizeof(bprime)); for(LL i=2; i<N; i++) {
if(!bprime[i]) { prime[cnt++]=i; for(LL j=i*i; j<N; j+=i) bprime[i]=true;
} } } void getFactor(int n){ num=0; for(LL i=0; prime[i]*prime[i]<=n&&i<cnt; i++) {
什么是容斥原理
什么是容斥原理容斥原理是组合数学中的一种重要方法，它常常被用来解决计算某种特定情况下的元素个数的问题。
容斥原理的核心思想是通过排除重复计数的方法，来计算不同集合的交集和并集的元素个数。
在实际应用中，容斥原理常常被用来解决排列组合、概率统计等问题，具有广泛的应用价值。
首先，我们来看一个简单的例子来理解容斥原理的基本思想。
假设有三个集合A、B、C，我们需要计算它们的并集的元素个数。
根据容斥原理，我们可以通过如下的公式来计算，|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| |A∩B| |A∩C| |B∩C| + |A∩B∩C|。
这个公式的意义是，先将A、B、C三个集合的元素个数相加，然后减去它们两两交集的元素个数，最后再加上它们三个集合的交集的元素个数。
这样计算得到的结果，就是A、B、C三个集合并集的元素个数。
通过这个简单的例子，我们可以看到容斥原理的核心思想是通过加减交替的方式，来排除重复计数，最终得到不重复的元素个数。
在实际应用中，容斥原理常常被用来解决各种组合数学问题。
例如，在排列组合中，我们常常需要计算满足某种条件的排列或组合的个数，这时就可以运用容斥原理来进行计算。
在概率统计中，容斥原理也常常被用来计算事件的概率，特别是在计算事件的互斥和独立性方面，容斥原理能够提供简洁而有效的计算方法。
除了上面提到的例子，容斥原理还可以应用于更加复杂的情况。
例如，在计算某个集合的补集元素个数时，容斥原理同样可以提供便利的计算方法。
在实际问题中，我们常常需要计算满足一定条件的集合的补集的元素个数，这时就可以利用容斥原理来简化计算过程，提高计算效率。
总的来说，容斥原理是组合数学中一种非常重要的计数方法，它通过排除重复计数的方式，来计算不同集合的交集和并集的元素个数。
在实际应用中，容斥原理常常被用来解决排列组合、概率统计等问题，具有广泛的应用价值。
通过深入理解和灵活运用容斥原理，我们可以更加高效地解决各种计数问题，提高数学问题的解决能力。
容斥原理的三大公式
容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle）是概率论和组合数学中常用的一种技巧，用于解决计数问题。
它通过对各种情况的交集和并集进行适当的计算，避免了重复计数或漏计的问题。
容斥原理的三大公式是指在应用容斥原理时常用的三个公式：
1.二项式容斥原理：
对于给定的事件A和B，二项式容斥原理可以表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
这个公式表示，两个事件的联合概率等于它们各自的概率之和减去它们的交集概率。
2.三个事件的容斥原理：
对于给定的事件A、B和C，三个事件的容斥原理可以表示为：P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)。
这个公式表示，三个事件的联合概率等于它们各自的概率之和减去它们两两交集的概率之和，再加上它们的三个事件的交集概率。
3.n个事件的容斥原理：
对于给定的n个事件Ai（1≤i≤n），n个事件的容斥原理可以表示为：
P(A1∪A2∪...∪An) = ΣP(Ai) -ΣP(Ai∩Aj) + ΣP(Ai∩Aj∩Ak) - ... + (-1)^(n-1) * P(A1∩A2∩...∩An)。
这个公式表示，n个事件的联合概率等于它们各自的概率之和减去它们两两交集的概率之和，再加上它们三个事件的交集概率之和，依此类推，最后加上或减去n 个事件的交集概率。
这些容斥原理的公式可以帮助我们在计算概率或解决组合数学问题时进行正确的计数，避免了重复计数或漏计的错误。
容斥原理组合恒等式
容斥原理组合恒等式
容斥原理是组合数学中一个重要的计数方法，它可以用来解决一些复杂的计数问题。
在这个原理中，我们通过计算不重叠的事件的数量来计算整个事件的数量。
为了更好地理解容斥原理，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设有一个班级，里面有5个男生和4个女生。
我们现在想要从这个班级中选择出3个学生组成一个小组。
我们可以使用容斥原理来计算有多少种不同的组合方式。
我们可以计算出选择3个学生的总数。
根据组合数的定义，可以得到：C(9,3) = 84。
这表示我们从9个学生中选择3个学生的不同组合方式总共有84种。
接下来，我们需要计算出只选择男生或者只选择女生的组合方式数量。
只选择男生的组合方式数量为C(5,3) = 10，只选择女生的组合方式数量为C(4,3) = 4。
但是我们注意到，我们同时计算了既选择男生又选择女生的组合方式数量。
为了避免重复计算，我们需要从总数中减去这部分重复的组合方式数量。
根据容斥原理，我们得到最终的计算公式为：C(9,3) - C(5,3) - C(4,3) = 84 - 10 - 4 = 70。
所以，从这个班级中选择出3个学生组成一个小组的不同组合方式总共有70种。
通过这个简单的例子，我们可以看到容斥原理在解决组合问题中的作用。
它可以帮助我们避免重复计算，从而得到准确的计数结果。
在实际应用中，容斥原理经常被用来解决各种计数问题，尤其是在组合数学和概率论中。
无论是求解组合数，还是计算事件的概率，容斥原理都是一个非常有用的工具。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
500 5
100,|A
B|
500 15
33
根据容斥原理，从1到500的整数中被3或5除尽的数的个数为
|A B| |A|+|B||A B| 233
§2.1 容斥原§理2例.41 容斥原理
2.1.3 容斥原理
例题
例4、求有a,b,c,d四个字符构成的n位符 号串中，a,b,c至少出现一次的符号串的 数目。
A BA B
A BA B
注：De Morgan定律可推广到n个有限子集。
S
A
S AB
§§22..11容容斥原斥理原定理理1-1
2.1.2 计数定理
定理 2.1
|A B| |A||B||A B|
可用Venn图说明该定理的正确性。 或通过组合分析法，若A代表具有性质a的元素集合，B代表具有 性质b的元素集合，等式左端表示至少具有性质a、b之一的元素 个数，|A|表示具有性质a的元素个数，|B|表示具有性质b的元素个 数，但二者相加时，同时具有性质a、b的元素计数重复加了一次， 故需要减去重复的数|A∩B|。 注：加法法则相当于该等式A∩B=Φ的一个特例。
解：设S为26个字母的全排列集，令Ai分别为出现dog, god, gum, depth, thing的排列集，i=1,2,3,4,5。出现dog的排列，可把dog作 为一个元素看，|A1|=24!，同理|A2|=|A3|=24!，|A4|=|A5|= 22!。因 dog, god不可能同时出现，故|A1∩A2|=0，同理|A2∩A3|=|A1∩A4|= |A1∩A5|= 0，gum, dog可以在dogum中同时出现，故|A3∩A1|=22!， 同理|A2∩A4|=|A3∩A4|=|A5∩A2|=|A5∩A3|=20!, |A4∩A5|=19!。同理 |A1∩A2∩A3|=|A1∩A2∩A4|=|A1∩A2∩A5| =|A2∩A3∩A4|=|A2∩A3∩A5|=|A1∩A4∩A5|=|A1∩A3∩A4| =|A1∩A3∩A5|=|A2∩A4∩A5|= 0，|A3∩A4∩A5|=17!，其他4个、5 个子集的交集均为空集。 根据容斥原理，所求的排列数为
定理 2.4
素的子集，则S中至少具有性质pi (i=1,2,…,nn)的一 个性质的元素个数为：|A1 A2 ... An| |Ai |
i 1
|Ai Aj | |Ai Aj Ak | ... (1)n1|A1 A2 ... An|
i j
i jk
证性明质：元素由所于组集成合的A1子集A2，所...以有An 是S中至少具有n个性质中一个
26!-3×24!-22!+4×20!+19!-17!
§2.1 容斥原§理2例.71 容斥原理
2.1.3 容斥原理
例题
例7、欧拉函数(n)是求小于n且与n互
素的自然数的个数。 (n∈N) 求欧拉函数表达式。
解：对任一大于1的正整数n都可惟一地分解为
n
p1 1
p2 2
...
pk k
其中p1＜p2＜…＜pk都是不超过n的素数，且α1,α2,…,αk都是正整
解：设S为60名学生的集合，令M为喜欢数学课的学生集合，P为 喜欢物理课的学生集合，C为喜欢化学课的学生集合。 根据题意有|S|=60，|M|=24，|P|=28，|C|=26，|M∩P|=10， |P∩C|=14， |C∩M|=8， |M∩P∩C |=6 ，根据容斥原理，则该班级 三门学科都不喜欢的学生数为
§2.1 容斥原理§定理2.31 容斥原理
2.1.3 容斥原理 若Ai (i=1,2,…,n) S，且Ai是S中具有性质pi的元
定理 2.3
素的子集，则S中不具有性质pi
(i=1,2,…,n)的元 n
素的个数为：|A1 A2 ... An| |S| |Ai |
i 1
|Ai Aj | |Ai Aj Ak | ... (1)n|A1 A2 ... An|
数。设S={1,2,…, n}， Ai为S中能被pk整除的子集，i=1,2,…,k。显 然有|S|=n, |Ai|=n/pi, (i=1,2,…,k), |Ai∩Aj|=n/(pi pj), (i,j=1,2,…,k; i≠j),…,|A1∩A2 ∩…∩Ak|=n/(p1p2…pk)k，根据容斥原理，有
§2.1 容斥原§理2例.51 容斥原理
2.1.3 容斥原理
例题
例5、求不超过120的素数个数。
解：设S={1,2,…,120}，因为102＜120＜112，故120以内的合数必 然是2,3,5,7的倍数，令Ai为120以内数i的倍数集，i=2,3,5,7，有
|S| 120,|A2| 120 2 60,|A3| 120 3 40, |A5| 120 5 24,|A7| 120 7 17, |A2 A3| 120 6 20,|A2 A5| 120 10 12,|A2 A7| 120 14 8, |A3 A5| 120 15 8,|A3 A7| 120 21 5,|A5 A7| 120 35 3, |A2 A3 A5| 120 30 4,|A2 A5 A7| 120 70 1, |A2 A3 A7| 120 42 2,|A3 A5 A7| 120 105 1, |A2 A3 A5 A7| 120 210 0
解：令M为修数学课的学生集合，P为修物理课的学生集合，C为 修化学课的学生集合。
据题意有|M|=170，|P|=120，|C|=130，|M∩P|=45，|P∩C|=22， |C∩M|=20，|M∩P∩C|=3 ， 则该学校的学生数为
|M∪P∪C|=|M|+|P|+|C|-|M∩P|-|P∩C|-|C∩M|+|M∩P∩C|=336
C(m,k)=0，有C(m,0)-C(m,1)+C(m,2)+…+(-1)nC(m,n)= C(m,0)-
C(m,1)+C(m,2)+…+(-1)mC(m,m)=0。因此y具有n个性质中至少一个
性质时，被计算的次数净值为0。 定理得证。
§2.1 容斥原理§定理2.41 容斥原理
2.1.3 容斥原理 若Ai (i=1,2,…,n) S，且Ai是S中具有性质pi的元
§§22..11 容容斥斥原原理理定理2
2.1.2 计数定理 |A B C| |A||B||C||A B|
定理 2.2
|B C||C A||A B C|
|A B C| |S|-(|A||B||C|)+(|A B|
|B C|+|C A|)|A B C|
证明： |A B C| |( A B) C| |A B||C||( A B) C| |A||B||C||A B||( A C ) (B C )| |A||B||C||A B||A C||B C||A B C|
证明： |A B C|=|A B C|=|S||A B C| =|S| (|A||B||C|) (|A B||A C||B C|)|A B C|
§§2.21.1 容容斥斥原原理理例1
2.1.2 计数定理
例题
例1、一个学校只有三门课程：数学、 物理、化学。已知修这三门科的学生分
别 有 170 、 130 、 120 人 ； 同 时 修 数 学 物 理两门课的学生有45人；同时修数学、 化学的20人；同时修物理、化学的22人； 同时修三门科的学生3人。问这学校有 多少学生？
|A1 A2 ... An| |S||A1 A2 ... An|
|S||A1 A2 ... An| 代入上述定理，即可得证。
§2.1 容斥原§理2例.21 容斥原理
2.1.3 容斥原理
例题
例2、求a,b,c,d,e,f六个字母的全排列中不 允许出现ace和df图像的排列数。
解：令S为这六个字母的全排列集合，A为ace作为一个元素出现 的排列集合，B为df作为一个元素出现的排列集合。 根据题意有|S|=6!，|A|=4!，|B|=5!，|A∩B|=3!，根据容斥原理， 不允许出现ace和df的排列数为
但该计算过程排除了素数2,3,5,7，又包含1这个非合数，故所求 120以内的素数数目为
27+4-1=30
§2.1 容斥原§理2例.61 容斥原理
2.1.3 容斥原理
例题
例6、用26个英文字母做不允许重复的全 排 列 ， 要 求 排 除 dog, god, gum, depth, thing字样的出现，求满足这些条件的排列 数。
根据容斥原理，有
|A2 A3 A5 A7| |S| (|A2||A3| A5||A7|) (|A2 A3||A2 A5| |A2 A7||A3 A5||A3 A7||A5 A7|) (|A2 A3 A5||A2 A5 A7| |A2 A3 A7||A3 A5 A7|)|A2 A3 A5 A7| 27
§§22.1.1容容斥斥原理原定理理1-2
2.1.2 计数定理
定理 2.1
|A B| |A||B||A B| |A B| |S||A||B||A B|
同样可用Venn图说明该定理的正确性。 该等式表示同时不具有性质a、b的元素个数的计数方法。同时不 具有性质a、b的元素个数应该在全集S中去掉|A|和|B|，但此时同 时具有性质a、b的元素计数重复减了一次，故需要加上重复的数 |A∩B|。
解：令S为四个字符的所有n位符号串集合，A,B,C分别为n位符号 串中不出现a,b,c的集合。 根据题意有
|S| 4n |A| |B| |C| 3n
|A B| |B C| |C |A B C| 1
A| 2n
根据容斥原理， a,b,c至少出现一次的符号串数目为
|A B C| |S| ( A||B||C|) (|A B||B C||C A|)|A B C| 4n 3 3n 3 2n 1
i j
i jk
证明：可以利用数学归纳法证明。或用组合分析方法如下：