平面向量基本定理练习试题整理(最新整理)
高中数学6.3.1《平面向量基本定理》基础过关练习题
第六章 6.3 6.3.1A 级——基础过关练1．设e 1，e 2是平面内两个向量，则有( ) A ．e 1，e 2一定平行 B ．e 1，e 2的模一定相等C ．对于平面内的任一向量a ，都有a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )D ．若e 1，e 2不共线，则对平面内的任一向量a 都有a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ) 【答案】D 【解析】由平面向量基本定理知D 正确．2．(2020年武汉模拟)如图，在△ABC 中，AD →＝3DB →，点P 为CD 上一点，且AP →＝mAC →＋12AB →，则m 的值为( )A ．12B ．13C ．44D ．15【答案】B 【解析】∵A D →＝3D B →，∴AB ＝43A D →.又A P →＝mA C →＋12A B →，∴A P →＝mA C→＋23A D →，且C ，P ，D 三点共线．∴m ＋23＝1.解得m ＝13. 3．(2020年南通期末)设e 1，e 2是平面内的一组基底，则下面的四组向量不能作为基底的是( )A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．e 1和e 1＋e 2C ．e 1＋3e 2和e 2＋3e 1D ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1【答案】D 【解析】∵e 1，e 2是平面内的一组基底，∴e 1，e 2不共线．而4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，则根据向量共线定理可得，(4e 2－6e 1)∥(3e 1－2e 2)，根据基底的条件，选项D 不符合题意．故选D ．4．(2020年丹东月考)设D 为△ABC 所在平面内一点，若BC →＝2CD →，则AD →＝( )A ．43AB →＋13AC →B ．32AB →－12AC →C ．－12AB →＋32AC →D ．13AB →＋23AC →【答案】C 【解析】由于BC →＝2CD →，所以AC →－AB →＝2(AD →－AC →)，所以AD →＝32AC →－12AB →.故选C ．5．如图，在正方形ABCD 中，点E 满足AE →＝ED →，点F 满足CF →＝2FB →，那么EF →＝( )A ．12AB →－13AD →B ．13AB →＋12AD →C ．AB →－16AD →D ．AB →＋16AD →【答案】C 【解析】EF →＝EA →＋AB →＋BF →＝－12AD →＋AB →＋13AD →＝－16AD →＋AB →.故选C ．6．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( ) A ．165B ．125C ．85D ．45【答案】C 【解析】因为CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，所以CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →.所以r ＝45，s ＝－45.所以3r ＋s ＝125－45＝85.7．设{e 1，e 2}是平面内的一个基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝______a ＋______b .【答案】23 ⎝⎛⎭⎫－13 【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎨⎧e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b.故e 1＋e 2＝⎝⎛⎭⎫13a －23b ＋⎝⎛⎭⎫13a ＋13b ＝23a ＋⎝⎛⎭⎫－13b.8．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点，若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝______.【答案】34 【解析】因为BE →＝BO →＋OE →＝12BD →＋EA →＝12BD →＋EB →＋BA →，所以BE →＝12BA →＋14BD →.所以λ＝12，μ＝14，λ＋μ＝34. 9．如图所示，D 是BC 边的一个四等分点．试用基底AB →，AC →表示AD →.解：因为D 是BC 边的四等分点， 所以BD →＝14BC →＝14(AC →－AB →)．所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋14(AC →－AB →)＝34AB →＋14AC →.10．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：{a ，b }可以作为一个基底； (2)以{a ，b }为基底表示向量c ＝3e 1－e 2.解：(1)证明：假设a ＝λb (λ∈R )，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2，所以λ不存在．故a 与b 不共线，{a ，b }可以作为一个基底．(2)设c ＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，则3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.所以c ＝2a ＋b .B 级——能力提升练11．如果e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，那么( ) A ．若实数m ，n 使得m e 1＋n e 2＝0，则m ＝n ＝0B ．空间任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2为实数C ．对于实数m ，n ，m e 1＋n e 2不一定在此平面上D ．对于平面内的某一向量a ，存在两对以上的实数，m ，n ，使a ＝m e 1＋n e 2 【答案】A 【解析】选项B 中应为“平面内任一向量”，C 中m e 1＋n e 2一定在此平面上，选项D 中，m ，n 应是唯一的，只有A 正确．12．如图，已知△ABC 中，D 为AB 的中点，AE →＝13AC →，若DE →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝( )A ．56B ．－16C ．16D ．56【答案】C 【解析】∵DE →＝DA →＋AE →＝12BA →＋13AC →＝12BA →＋13(BC →－BA →)＝16BA →＋13BC →＝－16AB →＋13BC →，∴λ＝－16，μ＝13.∴λ＋μ＝16.故选C ． 13．(2020年遂宁模拟)如图，在△ABC 中，AD →＝58AC →，BP →＝25PD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则μλ的值为( )A ．1112B ．34C ．14D ．79【答案】C 【解析】由BP →＝25PD →，可知BP →＝27BD →.AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋27BD →＝AB →＋27(AD→－AB →)＝AB →＋27⎝⎛⎭⎫58AC →－AB →＝57AB →＋528AC →，∴λ＝57，μ＝528，μλ＝14.故选C ． 14．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→，则OP →＝( ) A ．a ＋λbB ．λa ＋bC ．λa ＋(1＋λ)bD ．a ＋λb 1＋λ【答案】D 【解析】∵P 1P →＝λPP 2→，∴OP →－OP 1→＝λ(OP 2→－OP →)，(1＋λ)OP →＝λOP 2→＋OP 1→.OP →＝λb ＋a 1＋λ. 15．△ABC 中，D 为AC 上的一点，满足AD →＝13DC →.若P 为BD 上的一点，满足AP →＝mAB→＋nAC →(m >0，n >0)，则mn 的最大值为________；4m ＋1n的最小值为________．【答案】116 16 【解析】因为AD →＝13DC →，所以AD →＝14AC →.所以AP →＝mAB →＋nAC →＝mAB→＋4nAD →.因为B ，P ，D 三点共线，所以m ＋4n ＝1，则4mn ≤(m ＋4n )24＝14.则mn ≤116，即mn最大值为116，当且仅当m ＝4n 时取等号；4m ＋1n ＝(m ＋4n )⎝⎛⎭⎫4m ＋1n ＝16n m ＋m n ＋8≥216＋8＝16，当且仅当m ＝4n 时取等号．故答案为116，16.16．已知平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，AP →＝yAD →，AQ →＝xAB →，其中x ，y ∈R ，且均不为0.若PQ →∥BE →，则x y＝________.【答案】12 【解析】因为PQ →＝AQ →－AP →＝xAB →－yAD →，由PQ →∥BE →，可设PQ →＝λBE →，即xAB→－yAD →＝λ(CE →－CB →)＝λ⎝⎛⎭⎫－12AB →＋AD →＝－λ2AB →＋λAD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12λ，y ＝－λ，则x y ＝12.17．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝2e 1－3e 2，试用a ，b 表示c .解：设c ＝x a ＋y b ，则2e 1－3e 2＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2)，即(3x －2y )e 1＋(y －2x )e 2＝2e 1－3e 2.又e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2y ＝2，y －2x ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5.所以c ＝4a ＋5b .18．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DC AB＝k (k ≠1)．设AD→＝e 1，AB →＝e 2，选择基底{e 1，e 2}，试写出下列向量在此基底下的分解式：DC →，BC →，MN →.解：如图所示，∵AB →＝e 2，且DC AB ＝k ，∴DC →＝kAB →＝k e 2.又AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，∴BC→＝－AB →－CD →－DA →＝－AB →＋DC →＋AD →＝－e 2＋k e 2＋e 1＝e 1＋(k －1)e 2.而MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0，∴MN →＝－NB →－BA →－AM →＝BN →＋AB →－AM →＝12BC →＋e 2－12AD →＝12[ e 1＋(k －1)e 2]＋e 2－12 e 1＝k ＋12e 2. C 级——探索创新练19．(2020年岳阳模拟)在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ的值为( )A ．14B ．15C ．45D ．54【答案】C 【解析】(方法一)连接AC (图略)，由AB →＝λAM →＋μAN →，得AB →＝λ·12(AD →＋AC →)＋μ·12(AC →＋AB →)，则⎝⎛⎭⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2AC →＝0，得⎝⎛⎭⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2⎝⎛⎭⎫AD →＋12AB →＝0，得⎝⎛⎭⎫14λ＋34μ－1AB →＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2AD →＝0.又AB →，AD →不共线，所以由平面向量基本定理得 ⎩⎨⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45.(方法二)根据题意作出图形如图所示，连接MN 并延长，交AB 的延长线于点T ，由已知易得AB ＝45AT ，所以45AT →＝AB →＝λAM →＋μAN →.因为T ，M ，N 三点共线，所以λ＋μ＝45.20．如图，在△ABC 中，设AB →＝a ，AC →＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若AP →＝m a ＋n b ，则m ＝________，n ＝________.【答案】27 47 【解析】根据已知条件，得BQ →＝AQ →－AB →＝12AP →－AB →＝12(m a ＋n b )－a ＝⎝⎛⎭⎫m 2－1a ＋n 2b ，CR →＝BR →－BC →＝12BQ →－AC →＋AB →＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫m 2－1a ＋n 2b －b ＋a ＝⎝⎛⎭⎫m 4＋12a ＋⎝⎛⎭⎫n 4－1b ，∴QP →＝m 2a ＋n 2b ，RQ →＝⎝⎛⎭⎫m 4－12a ＋n 4b ，RP →＝－⎝⎛⎭⎫m 8＋14a ＋⎝⎛⎭⎫12－n 8b .∵RQ →＋QP →＝RP →，∴⎝⎛⎭⎫3m 4－12a ＋3n4b ＝⎝⎛⎭⎫－m 8－14a ＋⎝⎛⎭⎫12－n 8b ，∴⎩⎨⎧3m 4－12＝－m 8－14，3n 4＝12－n8，解得⎩⎨⎧m ＝27，n ＝47.。
（完整版）平面向量基本概念练习题
（完整版）平面向量基本概念练习题第二章平面向量§2.1 平面向量的实际背景及基本概念班级___________姓名____________学号____________得分____________一、选择题1．下列物理量中，不能称为向量的是（）A ．质量B ．速度C ．位移D ．力 2．设O 是正方形ABCD 的中心，向量AO OB CO OD u u u r u u u r u u u r u u u r 、、、是（）A ．平行向量B ．有相同终点的向量C ．相等向量D ．模相等的向量3．下列命题中，正确的是（）A ．|a | = |b |?a = bB ．|a |> |b |?a > bC ．a = b ?a 与b 共线D ．|a | = 0?a = 04．在下列说法中，正确的是（）A ．两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同;B ．模为0的向量与任一非零向量平行;C ．向量就是有向线段;D ．若|a |=|b |，则a =b5．下列各说法中，其中错误的个数为（）（1）向量AB u u u r 的长度与向量BA u u u r 的长度相等;（2）两个非零向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反;（3）两个有公共终点的向量一定是共线向量;（4）共线向量是可以移动到同一条直线上的向量;（5）平行向量就是向量所在直线平行A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 *6．△ABC 中，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 的中点，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段所表示的向量中，与EF u u u r 共线的向量有（）A ．2个B ．3个C ．6个D ．7个二、填空题7．在(1)平行向量一定相等；(2)不相等的向量一定不平行；(3)共线向量一定相等；(4)相等向量一定共线；(5)长度相等的向量是相等向量；(6)平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，说法错误的是_______________________．8．如图，O 是正方形ABCD 的对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 是正方形，在图中所示的向量中，（1）与AO u u u r 相等的向量有_________________________；（2）与AO u u u r 共线的向量有_________________________；（3）与AO u u u r 模相等的向量有_______________________；（4）向量AO u u u r 与CO u u u r 是否相等？答：_______________．9．O 是正六边形ABCDEF 的中心，且AO =u u u r a ，OB =u u u r b ，AB =u u u r c ，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 为端点的向量中：（1）与a 相等的向量有；（2）与b 相等的向量有；（3）与c 相等的向量有．*10．下列说法中正确是_______________（写序号）（1）若a 与b 是平行向量，则a 与b 方向相同或相反；（2）若AB u u u r 与CD u u u r 共线，则点A 、B 、C 、D 共线；（3）四边形ABCD 为平行四边形，则AB u u u r =CD u u u r ；（4）若a = b ，b = c ，则a = c ；（5）四边形ABCD 中，AB DC =u u u r u u u r 且||||AB AD =u u u r u u u r ，则四边形ABCD 为正方形；（6）a 与b 方向相同且|a | = |b |与a = b 是一致的；三、解答题11．如图，以1×3方格纸中两个不同的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？O A B C D E F12．在如图所示的向量a 、b 、c 、d 、e 中（小正方形边长为1）是否存在共线向量？相等向量？模相等的向量？若存在，请一一举出．13．某人从A 点出发向西走了200m 达到B 点，然后改变方向向西偏北600走了450m 到达C 点，最后又改变方向向东走了200m 到达D 点（1）作出向量AB u u u r 、BC u u u r 、CD u u u r （1cm 表示200m ）；（2）求DA u u u r 的模．*14．如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时它位于A 点，这只“马”第一步有几种可能的走法？试在图中画出来；若它位于图中的P 点，则这只“马”第一步有几种可能的走法？它能否走若干步从A 点走到与它相邻的B 点处？。
平面向量专题练习(带答案详解)
平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。
3 B。
2 C。
1 D。
02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。
-4 B。
-1 C。
1 D。
43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。
1 B。
5/3 C。
3/5 D。
7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。
-4 B。
-2 C。
2 D。
45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。
充分必要条件 B。
必要不充分条件 C。
充分不必要条件 D。
既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。
$\frac{8}{3}$ B。
$\frac{26}{9}$ C。
$\frac{2}{3}$ D。
$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{6}$ B。
$\frac{\pi}{4}$ C。
$\frac{\pi}{3}$ D。
$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。
18 B。
高中数学必修二 6 平面向量的基本定理及坐标表示(精练)(含答案)
6.3 平面向量的基本定理及坐标表示(精练)【题组一 向量基底的选择】1．(2021·全国·高一课时练习)下列说法错误的是( )A ．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示B ．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示C ．平面上向量的基底不唯一D ．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一【答案】B【解析】由共线向量的性质可知选项A 正确；根据平面向量基本定理可知：平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个不共线的向量表示，所以选项B 不正确；根据平面向量基本定理可知中：选项C 、D 都正确，故选：B2．(2021·浙江·宁波咸祥中学高一期中)(多选)下列两个向量，不能作为基底向量的是( )A ．12(0,0),(1,2)e e ==B ．12(2,1),(1,2)e e =-=C ．12(1,2),(1,2)e e =--=D ．12(1,1),(1,2)e e ==【答案】AC【解析】A 选项，零向量和任意向量平行，所以12,e e 不能作为基底.B 选项，12,e e 不平行，可以作为基底.C 选项，12e e =-，所以12,e e 平行，不能作为基底.D 选项，12,e e 不平行，可以作为基底.故选：AC3．(2021·福建省德化第一中学高一月考)(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．12(0,0),(1,2)e e ==-B ．12(1,2),(5,7)e e =-=C ．12(3,5),(6,10)e e ==D ．1213(2,3),,24e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 【答案】BD【解析】A ．由于10e =，因为零向量与任意向量共线，因此12,e e 共线，不能作基底，B ．因为1725-⨯≠⨯，所以两向量不共线，可以作基底，C ．因为212e e =，所以两向量共线，不能作基底，D ．因为312342⎛⎫⨯≠⨯- ⎪⎝⎭，所以两向量不共线，可以作基底， 故选：BD.4．(2021·湖北孝感·高一期中)(多选)在下列各组向量中，不能作为基底的是( )A ．()1e 0,0→=，()2e 1,2→=-B ．()1e 1,2→=-，()2e 5,7→=C ．()1e 3,5→=，()2e 6,10→=D ．()1e 2,3→=-，()2e 3,2→= 【答案】AC【解析】对A ，1e →∥2e →，不能作为基底；对B ，17250-⨯-⨯≠，1e →与2e →不平行，可以作为基底；对C ，21e 2e →→=，1e →∥2e →，不能作为基底；对D ，22+330⨯⨯≠，1e →与2e →不平行，可以作为基底.故选：AC.5．(2021·全国·高一课时练习)已知1e 与2e 不共线，12122,a e e b e e λ=+=+，且a 与b 是一组基，则实数λ的取值范围是___________. 【答案】11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】因为1e 与2e 不共线，12122,a e e b e e λ=+=+，若a 与b 共线，则a b μ=，即()12122a e e e e μλ=+=+， 所以12λμμ=⎧⎨=⎩，解得122λμ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 因为a 与b 是一组基底，所以若a 与b 不共线，所以实数λ的取值范围是11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【题组二 向量的基本定理】1．(2021·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高一月考)已知△ABC 的边BC 上有一点D 满足3BD DC =，则AD 可表示为( )A ．1344AD AB AC =+ B ．3144AD AB AC =+ C ．2133AD AB AC =+ D ．1233AD AB AC =+ 【答案】A【解析】由3BD DC =，可得3()AD AB AC AD -=-，整理可得43AD AB AC =+， 所以1344AD AB AC =+， 故选：A2．(2021·四川·成都外国语学校高一月考(文))我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC a =，BA b =，3BE EF =，则BF =( )A ．1292525a b +B ．16122525a b + C ．4355a b + D ．3455a b + 【答案】B【解析】因为此图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且BC a =，BA b =，3BE EF =， 所以34BF BC CF BC EA =+=+3()4BC EB BA =++ 33()44BC BF BA =+-+ 93164BC BF BA =-+， 解得16122525BF BC BA =+，即16122525BF a b =+， 故选：B3．(2021·陕西·西安电子科技大学附中高一月考)平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中OAOB ，的夹角为120，,OA OC 的夹角为30，且32,,2OA OB ==23OC =,(R)OC OA OB λμλμ=+∈，则( ) A ．42λμ==，B ．322λμ==，C ．423λμ==， D ．3423λμ==， 【答案】C 【解析】如图所示：过点C 作//CD OB ，交直线OA 于点D ，因为OAOB ，的夹角为120，,OA OC 的夹角为30，所以90OCD =∠，在Rt OCD △中，tan 30232DC OC ===，24sin 30OD ==， 由OC OA OB OD DC λμ=+=+， 可得OD OA λ=，DC OB μ= 所以OD OA λ=，DC OB μ=，所以42λ=，322μ=，所以42,3λμ==. 故选：C.4．(2021·全国·高一课时练习)若1(3,0)e =，2(0,1)e =-，12a e e =-，(1,)b x y =-，且a b =，则实数x ，y 的值分别是( )A ．1x =，4y =B ．2x =，1y =-C ．4x =，1y =D ．1x =-，2y =【答案】C 【解析】由题意，12(3,1)a e e =-=，又a b =13411x x y y -==⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩故选：C5．(2021·江苏南京·高一期末)在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，1AB =，2AC =，D 是ABC 内一点，且45DAB ∠=︒设(,)AD AB AC R λμλμ=+∈，则( )A ．20λμ+=B ．20λμ-=C ．2λμ=D ．2μλ= 【答案】B【解析】如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系则B 点的坐标为(1，0)，C 点的坐标为(0，2)∵∠DAB ＝45°，所以设D 点的坐标为(m ， m )(m ≠0)(,)(1,0)(0,2)(,2)AD m m AB AC λμλμλμ==+=+=则λ＝m ，且μ＝12m ， ∴2λμ=，即20λμ-= 故选：B6．(2021·山西临汾·高一期末)在ABC 中，已知AB AC ⊥，2AB =，3AC =，D 是ABC 内一点，且45DAB ∠=，若(),AD AB AC λμλμ=+∈R ，则λμ=( ) A ．32B ．23C ．34D ．43 【答案】A 【解析】以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()2,0B 、()0,3C ，由于45DAB ∠=，可设(),D m m ，因为AD AB AC λμ=+，所以()()(),2,00,3m m λμ=+，所以23m λμ==， 因此，32λμ=. 故选：A.7．(2021·安徽宣城·高一期中)如图，在长方形ABCD 中，2AB AD =，点M 在线段BD 上运动，若AM x AB y AC =+，则2x y +=( )A ．1B ．32C ．2D ．43【答案】A 【解析】解：由题可得，设22AB AD ==，因为ABCD 是长方形，所以以点A 为坐标原点，AB 方向为x 轴正方向，AD 方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系，则()2,0B 、()0,1D ，则()()2,0,2,1AB AC ==，()2,1BD =-，因为AM x AB y AC =+，所以()22,AM x y y =+，所以()()()222,222,,0y B A x y y x y M B AM =+==-+++-，因为点M 在BD 上运动，所以有//BM BD ，所以()12222x y y ⨯+-=-，整理得21x y +=，故选：A.8(2021·上海·高一课时练习)已知点G 为△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，求11x y+的值为________． 【答案】3 【解析】根据条件：11,==AC AN AB AM y x，如图设D 为BC 的中点，则1122AD AB AC =+ 因为G 是ABC ∆的重心，211333AG AD AB AC ==+， 1133AG AM AN x y∴=+， 又M ，G ，N 三点共线，11=133x y ∴+，即113x y+=. 故答案为：3.9．(2021·黑龙江·大庆中学高一月考)如图，经过OAB 的重心G 的直线与,OA OB 分别交于点P ，Q ，设,OP mOA OQ nOB →→→→==，,m n R ∈，则11n m+的值为________．【答案】3【解析】设,OA a OB b →→→→==，由题意知211()()323OG OA OB a b →→→→→=⨯+=+， 11,33PQ OQ OP n b m a PG OG OP m a b →→→→→→→→→→⎛⎫=-=-=-=-+ ⎪⎝⎭， 由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ PG λ→→=， 即1133n b m a m a b λλ→→→→⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 从而1,31,3m m n λλ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩消去λ，得113n m +=． 故答案为：310．(2021·河北大名·高一期中)已知平面内三个向量()7,5a =，()3,4b =-，()1,2c =．(1)求23a b c -+； (2)求满足a mb nc =-的实数m ，n ；(3)若()()//ka c b c -+，求实数k ．【答案】(2)943,1010m n =-=-；(3)526k =. 【解析】(1)∵()()()()237,523,431,216,3a b c -+=--+=，∴22316a b c -+=+=(2)由a mb nc =-得()()7,53,42m n m n =---，∴3,42 5.7m m n n ⎧⎨-=--=⎩解得9,1043.10m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(3)()71,52ka c k k -=--，()2,6b c +=-．∵()()//ka c b c -+，∴()()6712520k k -+-=，解得526k =． 11．(2021·福建·莆田第七中学高一期中)已知两向量()2,0a =，()3,2b =.(1)当k 为何值时，ka b -与2a b +共线？(2)若23AB a b =+，BC a mb =+且A ，B ，C 三点共线，求m 的值.【答案】(1)12k =-；(2)32m =. 【解析】(1)()()()2,03,223,2ka b k k -=-=--，()()()22,06,48,4a b +=+=.当ka b -与2a b +共线时，()()423280k ---⨯=， 解得12k =-. (2)由已知可得()()()234,09,613,6AB a b =+=+=，()()()2,03,232,2BC a mb m m m m =+=+=+. 因为A ，B ，C 三点共线，所以//AB BC ，所以()266320m m -+=.解得32m =. 12．(2021·安徽宿州·高一期中)已知(1,0)a =-，(2,1)b =--.(1)当k 为何值时，ka b -与2a b +平行.(2)若23AB a b =+，BC a mb =+且A ，B ，C 三点共线，求m 的值.【答案】(1)12k =-；(2)32m =. 【解析】(1)(1,0)(2,1)(2,1)ka b k k -=----=-，2(1,0)2(2,1)(5,2)a b +=-+--=--.因为ka b -与2a b +共线，所以2(2)(5)10k ----⨯=，解得12k =-. (2)因为A ，B ，C 三点共线，所以()AB BC R λλ=∈，即23()a b a mb λ+=+，又因为a 与b 不共线，a 与b 可作为平面内所有向量的一组基底，所以23m λλ=⎧⎨=⎩， 解得32m =.【题组三 线性运算的坐标表示】1．(2021·天津红桥·高一学业考试)若向量(1,2),(1,1)a b ==-，则a b +的坐标为( )A ．(2，3)B ．(0，3)C ．(0，1)D ．(3，5)【答案】B【解析】解：因为(1,2),(1,1)a b ==-，所以()()()1,21,10,3a b +=+-=故选：B2．(2021·山东邹城·高一期中)已知向量()1,0a =，()2,4b =，则a b +=( )A B ．5 C ．7 D ．25【答案】B【解析】根据题意，向量()1,0a =，()2,4b =，则()3,4a b +=，故9165a b +=+.故选：B ．3．(2021·全国·高一专题练习)已知向量(1,1)a =，()2,2b x x =+，若a ，b 共线，则实数x 的值为( )A ．-1B ．2C ．1或-2D ．-1或2【答案】D【解析】因为向量(1,1)a =，()2,2b x x =+，且a ，b 共线，所以22x x =+，解得1x =-或2x =，故选：D4．(2021·全国·高一单元测试)已知(2,1cos )a θ=--，11cos ,4b θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，且//a b ，则锐角θ等于( )A ．45°B ．30°C ．60°D ．30°或60°【答案】A【解析】因为//a b ，所以()()()121cos 1cos 04θθ⎛⎫-⨯---+= ⎪⎝⎭，得211cos 02θ-+=，即21cos 2θ=，因为θ为锐角，所以cos θ=45θ=.故选：A5．(2021·云南省永善县第一中学高一月考)已知点()2,2,1A ，()1,4,3B ，()4,,C x y 三点共线，则x y -=( )A ．0B ．1C ．1-D ．2-【答案】B【解析】因为A ，B ，C 三点共线，所以可设AB AC λ=，因为(1,2,2)AB =-，()2,2,1AC x y =--，所以()()122221x y λλλ⎧-=⎪=-⎨⎪=-⎩，解得1223x y λ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩， 所以1x y -=.故选：B.6．(2021·广东·佛山市超盈实验中学高一月考)(多选)已知()1,3a =，()2,1b =-，下列计算正确的是( )A ．()1,4a b +=-B ．()3,2a b -=C ．()1,2b a -=D ．()1,2a b --=【答案】AB【解析】因为()1,3a =，()2,1b =-，所以()1,4a b +=-，故A 正确； ()3,2a b -=，故B 正确；()3,2b a -=--，故C 错误；()1,4a b --=-，故D 错误.故选：AB.7．(2021·湖南·永州市第一中学高一期中)(多选)已知向量()1,2a =-，()1,b m =-，则( )A ．若a 与b 垂直，则1m =-B ．若//a b ，则2m =C ．若1m =，则13a b -=D ．若2m =-，则a 与b 的夹角为60︒ 【答案】BC【解析】A ：a 与b 垂直，则120m --=，可得12m =-，故错误； B ：//a b ，则20m -=，可得2m =，故正确；C ：1m =有()1,1b =-，则(2,3)a b -=-，可得13a b -=，故正确；D ：2m =-时，有()1,2b =--，所以33cos ,5||||5a b a b a b ⋅<>===⨯，即a 与b 的夹角不为60︒，故错误. 故选：BC8．(2021·全国·高一课时练习)(多选)已知(4,2),(,2)AB AC k ==-，若ABC 为直角三角形，则k 可取的值是( )A ．1B ．2C ．4D ．6 【答案】AD【解析】因为()()4,2,,2AB AC k ==-，所以()4,4BC k =--，当A ∠为直角时，0AB AC ⋅=，所以440k -=，所以1k =，当B 为直角时，0AB BC ⋅=，所以4240k -=，所以6k =，当C ∠为直角时，0AC BC ⋅=，所以2480k k -+=，此时无解，故选：AD.9．(2021·河北·正定中学高一月考)(多选)已知向量(2,1)a =，(3,1)b =-，则( )A ．()a b a +⊥B ．|2|6a b +=C ．向量a 在向量b 上的投影向量是62(,)55-D ．是向量a 的单位向量 【答案】AD【解析】对于A ，()1,2a b +=-，则()220a b a +⋅=-+=，所以()a b a +⊥，故A 正确；对于B ，()24,3a b +=-，则|2|5a b +=，故B 错误；对于C ，向量a 在向量b 上的投影向量为531cos ,,1022b a b b b a a b b b b ⋅-⎛⎫⋅⋅=⋅==- ⎪⎝⎭， 故C 错误；对于D ，因为向量的模等于1，120-=，所以向量与向量a 共线，故是向量a 的单位向量，故D 正确. 故选：AD. 10．(2021·全国·高一课时练习)已知平面向量a =(2，1)，b =(m ，2)，且a ∥b ，则3a +2b =_______.【答案】(14，7)【解析】因为向量a =(2，1)，b =(m ，2)，且//a b ，所以1·m-2×2=0，解得m=4.所以b =(4，2).故3a +2b =(6，3)+(8，4)=(14，7).故答案为：(14，7)11．(2021·全国·高一课时练习)已知向量a ＝(m ，3)，b ＝(2，﹣1)，若向量//a b ，则实数m 为____．【答案】6-【解析】∵//a b ，∴﹣m ﹣6＝0，∴6m =-．故答案为：6-.12．(2021·全国·高一课时练习)已知(2,4)A -，(2,3)B -，(3,)C y ，若A ，B ，C 三点共线，则y =___________. 【答案】234- 【解析】解：(2,4)A -，(2,3)B -，(3,)C y ，则()4,7AB =-，()5,3BC y =-，若A ，B ，C 三点共线，则向量AB 与向量BC 共线，则有()4335y --=，解得：234y =-. 故答案为：234-. 13．(2021·全国·高一课时练习)已知向量(2,4)a =-，(1,3)b =-，若2a b +与a kb -+平行，则k =___________. 【答案】-2【解析】因为向量(2,4)a =-，(1,3)b =-，所以()202a b +=-，，()2,43a kb k k -+=+--， 又因为2a b +与a kb -+平行，所以()220k -+=，解得2k =-，故答案为：-2【题组四 数量积的坐标表示】1．(2021·全国·高一单元测试)已知矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，E 为AB 上的点，且BE ＝2EA ，F 为BC 的中点，则AF DE ⋅＝( )A ．﹣2B ．﹣5C ．﹣6D ．﹣8【答案】B【解析】以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，距离如图所示的直角坐标系， 则()0,0B ，()0,3A ，()4,3D ，()0,2E ，()2,0F ， ()2,3AF =-，()4,1DE =--，则()()()24315AF DE ⋅=⨯-+-⨯-=-．故选：B ．2．(2021·吉林·延边二中高一期中)在ABC 中， AB AC AB AC +=-， 4, 2AB AC =＝，, E F 为线段BC 的三等分点，则AE AF ⋅＝( )A ．109 B ．4 C ．409D ．569 【答案】C【解析】ABC 中，|AB AC +|＝|AB AC -|，∴2AB +2AB ⋅22AC AC AB +=-2AB ⋅2AC AC +， ∴AB ⋅AC =0，∴AB ⊥AC ，建立如图所示的平面直角坐标系，由E ，F 为BC 边的三等分点，则A (0，0)，B (0，4)，C (2，0)，E (23，83)，F (43，43)， ∴AE =(23，83)，AF =(43，43)， ∴AE 2433AF ⋅=⨯+3398440⨯=．故选：C3．(2021·福建省宁化第一中学高一月考)在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，AC =102BM CB →→→+=，DC DN λ→→=，若29AM AN →→⋅=，则λ=( )A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】D 【解析】作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设(,)N x y ，因为120,1,AC ABC BO =∠=∴= 因为102BM CB →→→+=，所以12BM BC →→=,即M 是BC 的中点，所以1(),(0,1),2A M D C -所以1),(,1)2AM DC DN x y λλ→→→====+，由题知0λ≠.故1511),429,.5N AM AN λλλ→→-∴⋅=+=∴= 故选：D4．(2021·广东·东莞市新世纪英才学校高一月考)(多选)已知向量 (2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是( )A ．若a b ⊥，则tan θ=B ．若b 在a 上的投影向量为，则向量a 与b 的夹角为23πC ．存在θ，使得a b a b +=+D ．a b ⋅【答案】BCD【解析】对A ，若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ⋅+==，则tan θ=A 错误；对B ，若b 在a 上的投影向量为，3a =，且||1b =， ,co 3s 6a b a b a a ∴>⋅=-⋅<，则1cos 2a b 〈〉=-，，2π,3a b ∴〈〉=，故B 正确； 对C ，若2()2a b a b a b =+⋅22++，222(||||)||||2||||a b a b a b +=++，若|||||a b a b =+|+，则||||cos ||||a b a b a b a b ⋅⋅〈〉=，=，即cos ,1a b 〈〉=，故0a,b <>=︒，|||||a b a b =+|+，故C 正确；对D ，2cos sin a b θθ⋅+==)θϕ+，因为0πθ≤≤，π02ϕ<<，则当π2θϕ+=时，a b ⋅故D 正确.故选：BCD.5．(2021·上海·高一课时练习)已知点A (-1，1)､B (1，2)､C (-2，-1)､D (3，4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为___________.【解析】()()2,1,5,5AB CD ==，所以向量AB 在CD 方向上的投影为2AB CDCD ⋅==.6(2021·上海·高一课时练习)设a =(2，x )，b =(-4，5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是___________.【答案】85x <且 【解析】∵θ为钝角，∴0a b ⋅<且两向量不共线，即850a b x ⋅=-+<，解得85x <， 当//a b 时，1040x +=，解得52x =-， 又因,a b 不共线，所以52x ≠-， 所以x 的取值范围是85x <且52x ≠-.故答案为：85x <且52x ≠-.7．(2021·北京·大峪中学高一期中)如图，在矩形ABCD 中，2AB =，BC E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若1AB AF ⋅=，则AE AF ⋅的值是___________.【答案】2【解析】如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，(C ，2,2E ⎛ ⎝⎭，(F x ；∴(2,0)AB =，(,AF x =，AE ⎛= ⎝⎭； ∴1212AB AF x x ⋅==⇒=， ∴21112AE AF x ⋅=+=+=.故答案为：2.8．(2021·河北张家口·高一期末)在ABC 中，1AC =，2BC =，60ACB ∠=︒，点P 是线段BC 上一动点，则PA PC ⋅的最小值是______.【答案】116- 【解析】在ABC 中，由余弦定理得AB =ABC 是直角三角形，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，设点P 坐标为(,)a b ，B ，(0,1)C ，(,)PA a b =--，(,1)PC a b =--，直线BC 对应一次函数为1y =，所以1b =，)a b =-，222222(1))]473PA PC a b b a b b b b b b b ⋅=--=-+=--+=-+，[0,1]b ∈，对称轴7[0,1]8b =∈，当78b =时， PA PC ⋅取得最小值116-. 故答案为：116- 9．(2021·山西·平遥县第二中学校高一月考)向量()1,3a =-，()4,2b =-且a b λ+与a 垂直，则λ=___________.【答案】1-【解析】由题意，向量()1,3a =-，()4,2b =-，可得10,10a a b =⋅=，因为a b λ+与a 垂直，可得2()10100a b a a a b λλλ+⋅=+⋅=⨯+=，解得1λ=-.故答案为：1-.10．(2021·上海·高一课时练习)已知a ＝(1，2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角． 【答案】(1)λ＝－12；(2)1(,)2-∞-；(3)(,)122-∪(2，＋∞)． 【解析】设a 与b 的夹角为θ，则a b ⋅＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ．(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos 0θ=，所以0a b ⋅=，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12．(2)因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos 0θ<且cos 1θ≠-，所以0a b ⋅<且a 与b 不反向．由0a b ⋅<得1＋2λ<0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向．所以λ的取值范围为1(,)2-∞-．(3)因为a 与b 的夹角为锐角，所以cos 0θ>，且cos 1θ≠，所以a b ⋅>0且a 与b 不同向． 由a b ⋅>0，得λ>－12，由a 与b 同向得λ＝2．所以λ的取值范围为(,)122-∪(2，＋∞)． 11．(2021·江西·九江一中高一期中)在ABC 中，底边BC 上的中线2AD =，若动点P 满足()22sin cos BP BA BD R θθθ=⋅+⋅∈．(1)求()PB PC AP +⋅的最大值；(2)若=AB AC =PB PC ⋅的范围．【答案】(1)2；(2)[1,3]-．【解析】∵()22sin cos BP BA BD R θθθ=⋅+⋅∈，22sin cos 1θθ+= ∴A 、P 、D 三点共线又∵[]22sin ,cos 0,1θθ∈，∴P 在线段AD 上.∵D 为BC 中点，设PD x =，则2AP x =-，[]0,2x ∈，∴()PB PC AP +⋅=2PD AP ⋅=()22x x -=224x x -+=()2212x --+， ∴()PB PC AP +⋅的最大值为2(2)如图，以D 为原点，BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立坐标系，∵=AB AC =，2AD =，∴()()1,0,1,0B C -，设()0,P y 02y ，则()()1,,1,PB y PC y =--=-∴PB PC ⋅=21y -+，∵02y ≤≤，∴[]1,3PB PC ⋅∈-12．(2021·江苏省丹阳高级中学高一月考)已知()1,1a =--，()0,1b =.在①()()//ta b a tb ++；②()()ta b a tb +⊥+；③ta b a tb +=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.(1)若________，求实数t 的值；(2)若向量(),c x y =，且()1c ya x b =-+-，求c .【答案】(1)选①：1t =±，选②：t =1t =±；【解析】因为()()1,1,0,1a b =--=，所以()()()1,10,1,1ta b t t t +=--+=--，()()()1,10,11,1a tb t t +=--+=--，选①：(1)因为()()//ta b a tb ++，所以()()11t t t --=--；即21t =，解得1t =±；(2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+= 选②：(1)因为()()ta b a tb +⊥+，所以()()110t t t +--=；即2310t t -+=，解得：t = (2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+= 选③：(1)因为ta b a tb +=+，=即21t =，解得：1t =±；(2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+=13．(2021·河南·高一期末)已知向量()2,1a =.(1)若向量()11b =-,，且ma b -与2a b -垂直，求实数m 的值； (2)若向量()2,c λ=-，且c 与a 的夹角为钝角，求2c a -的取值范围.【答案】(1)57-；(2)(3)5,⎡⎣+∞.【解析】(1)因为()21,1ma b m m -=+-，()24,1a b -=-，结合ma b -与2a b -垂直，得到()()42110m m +--=，解得57m =-，所以实数m 的值为57-. (2)因为c 与a 的夹角为钝角，所以()2240a c λλ⋅=⨯-+=-<，4λ<. 又当1λ=-时，//c a ，所以4λ<且1λ≠-. 因为()26,2c a λ-=--，所以()226c a -=-由于当4λ<且1λ≠-时，[)223636,45()(45,)λ-+∈+∞.所以2c a -的取值范围为(3)5,⎡⎣+∞.【题组五 向量与三角函数的综合运用】1．(2021·全国·高三专题练习)已知向量ππ2sin ,sin 44a x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭，πsin ,sin 4b x m x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)若0m =，试研究函数()π3π,84f x a b x ⎛⎫⎡⎤=⋅∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭在区间上的单调性；(2)若tan 2x =，且//a b ，试求m 的值．【答案】(1)π3π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增，3π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减；(2) 2m =.【解析】(1)当0m =时，()()2πsin sin sin cos sin sin cos 4f x x x x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭1cos 2sin 2π122242x x x -⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，由π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得π5π20,44x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦．当ππ20,42x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即π3π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增；当ππ5π2,424x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即3π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减．(2)由//a b πππsin sin sin sin 444x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由tan 2x =，可得πsin 04x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭(若πsin 04x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =-(k Z ∈)，此时tan 1x =-，与条件矛盾)．πsin sin 4x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即()sin cos sin m x x x -=，两边同除以cos x ，可得()tan 1tan 2m x x -==，∴2m =．2．(2021·江苏·金陵中学高一期中)设向量(3cos ,sin ),(sin ,3cos ),(cos ,3sin )a b c ααββββ===-． (1)若a 与b c -垂直，求tan()αβ+的值； (2)求||b c -的最小值．【答案】(1)tan()1αβ+=；.【解析】(1)因为a 与b c -垂直，所以()0a b c ⋅-=，即0a b a c ⋅-⋅=， 所以()()3cos sin cos sin 3cos cos sin sin 0αββααββα+--=， 所以()()3sin 3cos 0βααβ+-+=，所以tan()1αβ+=； (2)因为()sin cos ,3cos 3sin b c ββββ-=-+ ()()()2222||sin cos 3cos 3sin b c b cββββ-=-=-++1016sin cos 108sin 2βββ=+=+， 所以当222k k Z πβπ=-+∈，，即4k k Z πβπ=-+∈，时2||b c -取最小值2，所以||b c -.3．(2021·江苏铜山·高一期中)已知向量(2sin ,sin cos )a θθθ+=，(cos ,2)m b θ-=，函数()f a b θ=⋅， (1)当0m =时，求函数π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.求实数m 的范围.【答案】(1)1+；(2)(,-∞ 【解析】(1)因为向量(2sin ,sin cos )a θθθ+=，(cos ,2)m b θ-=， ()()()()()2sin cos 2sin cos sin 22sin cos f a b m m θθθθθθθθ=⋅=+-+=+-+，当0m =时， ()()()2sin cos 2sin cos sin 22sin cos f a b θθθθθθθθ=⋅=++=++，ππππ1sin 2sin cos 2163662f ⎛⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (2)不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 即()()4sin 22sin cos 230sin cos m m θθθθθ+-++-+>+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令πsin cos 4t θθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，可得21sin 2t θ=+，所以2sin 21t θ=-，因为π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ3π444,θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()πsin 14,θ⎤+∈⎥⎣⎦，所以π4t θ⎛⎫⎡=+∈ ⎪⎣⎝⎭所以()2412230t m t m t -+-+-+>对于t ⎡∈⎣恒成立， 即()24222t t m t t+++>+对于t ⎡∈⎣恒成立， 因为20t +>，所以24222t t t m t +++<+对于t ⎡∈⎣恒成立， 令()24222t t t g t t +++=+，t ⎡∈⎣，只需()min m g t <， 因为()()2422222222t t t t t t t t t t t ++++++==+≥++当且仅当2t t=即t ()g t取得最小值所以m <所以实数m的范围为(,-∞.4．(2021·江苏宜兴·高一期中)已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(6cos β，6sin β)，且()a b a ⋅-＝2． (1)求向量a 与b 的夹角；(2)若33ta b -=，求实数t 的值． 【答案】(1)3π；(2)32． 【解析】(1)由a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(6cos β，6sin β)，得24cos 2a =，36cos 6b ==，又()2a b a ⋅-=，∴22a b a ⋅-=，则2226a b ⋅=+=， 设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝61262a b a b⋅==⨯， 又θ∈[0，π]，∴3πθ=；(2)由33ta b -=，得2()27ta b -=， 即222227t a ta b b -⋅+=， ∴4t 2﹣12t +36＝27， ∴4t 2﹣12t +9＝0，解得t ＝32． 5．(2021·河北安平中学高一期末)在①255a b -=，②8()5+⋅=a b b ，③a b ⊥，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=， ，若02πα<<，02πβ-<<，且5sin 13β=-，求sin α． 【答案】答案见解析.【解析】因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，所以||||1a b ==， 选择方案①：因为255a b -=，所以24()5-=a b ，即22425+-⋅=b a b a ， 所以35a b ⋅=，因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，所以3cos cos sin sin 5αβαβ⋅=+=a b ，即3cos()5αβ-=， 因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<.所以4sin()5αβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以4123533sin sin[()]sin()cos cos()sin =51351365ααββαββαββ⎛⎫=-+=-+-=⨯+⨯- ⎪⎝⎭．选择方案②： 因为8()5+⋅=a b b ，所以285⋅+=a b b ，所以35a b ⋅=， 因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=， 所以3cos cos sin sin 5αβαβ⋅=+=a b ，即3cos()5αβ-=， 因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<，所以4sin()5αβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以4123533sin sin[()]sin()cos cos()sin =51351365ααββαββαββ⎛⎫=-+=-+-=⨯+⨯- ⎪⎝⎭．选择方案③：因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，且a b ⊥， 所以cos cos sin sin 0αβαβ⋅=+=a b ，即cos()0αβ-=， 因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<，所以2παβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以12sin sin cos 213παββ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭．6．(2021·重庆复旦中学高一期中)在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=. (1)求角A ；(2)若()0,1m =-，()2cos ,2cos 2Cn B =，试求m n +的取值范围.【答案】(1)3π；(2)54⎫⎪⎪⎝⎭. 【解析】(1)tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B CB b B A B+=⇒+=， 即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B CB A B +=，()sin 2sin sin cos sin A BC B A B +∴=，1cos 2A ∴=.0πA <<，3A π∴=. (2)()2cos ,2cos1cos ,cos 2C m n B B C ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭， 2222221cos cos cos cos 1sin 2326m n B C B B B ππ⎛⎫⎛⎫∴+=+=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3A π=，23π∴+=B C ， 20,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，从而72666B πππ-<-<，∴当sin 216B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即3B π=时，m n +取得最小值，1sin 262B π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，时，m n +取得最大值54，故2524m n ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭.。
平面向量基本定理习题
平面向量根本定理习题课类型一：平面向量根本定理的应用 1．下面四种说法中，正确的选项是()①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a 和一组基底12,e e 使12a e e λμ=+成立的实数对一定是唯一的． A ．②④B ．②③④C ．①③D ．①③④例2、梯形ABCD 中，N M DC AB ,|,|2||=分别是DC ，AB 的中点，假设,1e AB =,2e AD =用21,e e ，表示MN BC DC ,,变式1如图，平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为DC 、BC 的中点，,AM c AN d ==，试用,c d 表示,AB AD 。
NMDCBA类型二：直线的向量参数方程的应用例3、设1e 、2e 是平面内的一组基底，如果1232AB e e =-，124BC e e =+，1289CD e e =-，求证：A ，B ，D 三点共线。
变式1、在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，求证：ABCD 是梯形。
变式2、非零向量12,e e 不共线，欲使12ke e +和12e ke +共线，试确定实数k 的值。
A CB DOCBA例4、如图，,,OA a OB b OC c ===且向量,,a b c 满足(),,c a b R λμλμ=+∈，证明：〔1〕假设A 、B 、C 三点共线，那么1λμ+=； 〔2〕假设1λμ+=，那么A 、B 、C 三点共线。
课后练习：1、 设O 是菱形ABCD 的两对角线的交点，以下各组向量：①,AD AB ； ②,DA BC ；③,CA DC ；④,OD OB ，其中可作为这个菱形所在平面表 示它的所有向量基底的是 〔 〕A 、①②B 、③④C 、①③D 、①④ 2、假设12,e e 是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作 为一组基底的是 〔 〕 A 、12e e +和12e e - B 、1232e e -和2146e e - C 、123e e +和213e e + D 、2e 和12e e +3、如果12,e e 是平面α内两个不共线向量，那么在以下各命题中是假命题 的有 〔 〕 ①12e e λμ+(),R λμ∈可表示平面α内的所有向量；②对于平面α内的任一向量,a 使12a e e λμ=+的实数,λμ可以有许多对； ③假设向量1112e e λμ+和2122e e λμ+共线，那么有且只有一个实数λ，使 2122e e λμ+=λ〔1112e e λμ+〕； ④假设实数,λμ使12e e λμ+=0，那么0λμ==。
高考数学专题训练：平面向量基本定理含详解
高考数学专题训练：平面向量基本定理一、单选题1．在ABCD 中，点N 为对角线AC 上靠近A 点的三等分点，连结BN 并延长交AD 于M ，则MN = （）A ．1136AB AD -+ B ．1136AB AD -C ．1344AB AD-D ．3144AB AD-2．如图，在66⨯的方格中，已知向量,,a b c的起点和终点均在格点，且满足向量(),a xb yc x y R =+∈r r r，那么x y -=（）．A ．0B ．2-C ．1D ．23．如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=-，则λμ+=（）A ．43B ．53C ．1D ．24．若a ，b 是两个不共线的向量，已知2MN a b =- ，2PN a kb =+ ，3PQ a b =-，若M ，N ，Q 三点共线，则k =（）A ．1-B ．1C ．32D ．25．如图所示，M ，N 分别是ABC 的边AB ，AC 上的点，且2AM MB = ，2NC AN =，则向量MN =（）．A ．1233AB AC - B ．1233AB AC +C ．1233AC AB-D ．1233AC AB+6．如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M 、N ，若12AB AM = ，AC nAN =，则n =（）A ．1B ．32C ．2D ．37．如图所示，在ABC 中，2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AD 为BC 边上的高，25AM AD = ；若AM AB BC λμ=+，则λμ+的值为（）A ．43B ．815C ．23D ．4158．如图，在ABC 中，点M 是AB 上的点且满足3AM MB =，P 是CM 上的点，且15MP MC = ，设,AB a AC b == ，则AP = （）A ．1124a b+ B ．3155a b+ C ．1142a b+ D ．33105a b + 9．如图，ABC 中，D 为AB 上靠近B 的三等分点，点F 在线段CD 上，设AB a = ，AC b =，AF xa yb =+ ，则21x y+的最小值为（）A ．6B ．7C ．4+D ．4+10．在ABC 中，90ACB ∠= ，CB a = ，CA b =，点D 是ABC 的外心，E 是AC 的中点，则CD ＋BE＝（）A ．1122a b- B ．12a b -- C ．123a b- D ．12a b-+ 11．在等边△ABC 中，D 为BC 的中点，点P 为△ACD 内一点（含边界），若14AP AB AC λ→→→=+，则λ的取值（）A ．13,44⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题12．在下列向量组中，可以把向量()3,2a →=表示出来的是（）A ．()()120,0,1,2e e →→==B ．()()121,2,5,2e e →→=-=-C ．()()123,5,6,10e e →→==D ．()()122,3,2,3e e →→=-=13．四边形ABCD 中，//AB CD ，90A ∠=︒，22AB AD DC ==，3BC EC = ，2AE AF =，则下列表示错误的是（）A ．12CB AB AD=-+B ．1133AF AB AD=+C ．1263CF AB AD =- D ．2133BF AB AD =-+ 14．如图，在OACB 中，E 是AC 的中点，F 是BC 上的一点，且4BC BF =，若OC mOE nOF =+uuu r uu u r uu u r，其中m ，n R ∈，则（）A ．107m n +=B ．2-7m n =C ．23m n =D ．32m n=15．如图所示的各个向量中，下列结论不正确的是（）A ．3322PQ a b=+ B ．3322PT a b=--C ．3122PS a b =- D ．32PR a b =+ 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、双空题16．如图，在OCB 中，点A 是BC 的中点，点D 是靠近点B 将OB 分成2:1的一个分点，DC 和OA 交于点E ，设OA a =，OB b= （1）用a ，b表示向量DC =u u u r __________；（2）若OE OA λ=，则λ=__________17．如图，在ABC 中，13BD BC =，点E 在线段AD 上移动（不含端点），若AE AB AC λμ=+ ，则λμ=___________，2λμ-的最小值为___________.18．如图，3AB AD = ，4AC AE = ，BE 与CD 交于P 点，若AP m AB n AC =+，则m =______，n =______．四、填空题19．如图，在ABC 中，13AN NC →→=，P 是BN 上的一点，若311AP AB AC m →→→=+，则实数m 的值为________.20．如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC AE AF λμ=+，其中,R λμ∈，则λμ+=________.五、解答题21．如图，ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，设,BA a BC c ==.（1）用a ，c 表示向量A E；（2）若点F 在AC 上，且1455BF a c =+，求:AF CF .22．如图，在平行四边形ABCD 中，2BE EC = ，3CF FD =，BF 与DE 交于点G ．(1)用AB ，AD 表示EF ；(2)用AB ，AD 表示AG ．23．如图所示，ABC 中，AB a = ，AC b =，D 为AB 的中点，E 为CD 上的一点，且4DC EC =，AE 的延长线与BC 的交点为F .(1)用向量a ，b 表示A E；(2)用向量a ，b 表示AF，并求出:AE EF 和:BF FC 的值.参考答案：1．B 【解析】【分析】把向量,AB AD作为基底，根据题意可得M 为AD 的中点，然后根据向量的加减法法则和平面向量基本定理求解即可【详解】解：因为点N 为对角线AC 上靠近A 点的三等分点，所以2CN AN =，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，所以2BC CNAM AN ==，所以12AM BC =，所以12AM AD =，MN AN AM=- 1132AC AD =- 11()32AB AD AD =+-1136AB AD =-,故选：B2．A 【解析】【分析】先设出水平向右的单位向量m 和水平向上的单位向量n，用单位向量表示题中的,,a b c ，结合(),a xb yc x y R =+∈r r r代入化简后联立方程组求解得到,x y 的值相减即可.【详解】设m 为水平向右的单位向量，n为水平向上的单位向量.则2a m n =- ，22b m n =+ ，24c m n =- .因为a xb yc =+ ，所以()()22224m n x m n y m n -=++- ，即()()22224m n x y m x y n -=++- .所以222241x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以11022x y -=-=.故选:A 3．C 【解析】【分析】根据向量的线性运算和平面向量基本定理得到()1 2AC AB AD λμλμ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭,再与AC AB AD =+对比,得到λμ+=1即可.【详解】因为AC AB AD =+ ，12AM AB BM AB AD =+=+ ， BD AD AB=-所以()()1122AC AM BD AB AD AD AB AB AD λμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫=-=+--=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以λμ+=1.故选:C.4．B 【解析】【分析】利用向量的减法以及向量共线定理即可求解.【详解】由题意知，()1NQ PQ PN a k b =-=-+，因为M ，N ，Q 三点共线，故MN NQ λ=，即()21a b λa k b ⎡⎤-=-+⎣⎦ ，解得1λ=，1k =，5．C 【解析】根据平面向量基本定理，由平面向量的线性运算，利用题中条件直接计算，即可得出结果.【详解】因为2AM MB = ，2NC AN =，所以1233MN AN AM AC AB =-=- .故选：C.6．B 【解析】【分析】根据向量的共线定理可得解.【详解】连接AO ，由点O 是BC 的中点，则1122AO AB AC =+，又12AB AM = ，AC nAN = ，则1112242n AO AB AC AM =+=+ ，又O ，M ，N 三点共线，则1142n+=，解得32n =，故选：B.7．B【分析】根据题意求得1BD =，化简得到22515AM AB BC =+ ，结合AM AB BC λμ=+，求得,λμ的值，即可求解.【详解】在ABC 中，2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AD 为BC 边上的高，可得cos 601BD AB == ，由222122()()5553515AM AD AB BD AB BC AB BC==+=+=+又因为AM AB BC λμ=+ ，所以22,515λμ==，所以815λμ+=.故选：B.8．B 【解析】【分析】先将AP 用AM ，MP 表示，然后AM ，MP 再用,a b表示即可.【详解】3313133()445455AM MB AM AB AP AM MP AB MC AB AC AM AB =⇒==+=+=+-=+，131555AC a b =+.故选：B 9．D 【解析】【分析】由题意,用向量,AD AC 表示出向量AF ,根据点F 在线段CD 上可得到312x y +=，再根据基本不等式即可求得答案.【详解】由于D 为AB 上靠近B 的三等分点，故23AD AB = ,所以32x AF xa yb x AB y AC AD y AC =+=+=+ ,又因为点F 在线段CD 上，所以312x y +=，故2121332()()422x x yy x y x y y x+=++=++，由题意可知0,0x y >>，故2132442x yx y y x+=++≥+当且仅当322x y y x =时，即1132x y -=-=时，等号取得，故选：D.10．D 【解析】【分析】根据题意得点D 是Rt ACB 的斜边AB 的中点，进而根据向量加减法运算求解即可.【详解】解：因为点D 是ABC 的外心，且90ACB ∠= ，所以点D 是Rt ACB 的斜边AB 的中点，所以()111222CD CB CA a b =+=+.又E 是AC 的中点，所以12BE BC CE a b =+=-+，所以12CD BE a b +=-+ .故选：D.11．D 【解析】【分析】过AB 靠近A 的四等分点作AC 的平行线分别交AD ，BC 于点E ，F ，过E ，F 分别作AB 的平行线交AC 于M ，N ，求出min 14λ=，max 34λ=，即得解.【详解】解；过AB 靠近A 的四等分点作AC 的平行线分别交AD ，BC 于点E ，F ，由题意知，点P 在线段EF 上，过E ，F 分别作AB 的平行线交AC 于M ，N （如图所示），由题得13,44AM AC AN AC →→→→==，即min 14λ=，max 34λ=.所以1344λ≤≤.故选：D.12．BD 【解析】【分析】根据12a e e λμ→→→=+，选项A ：无解，故选项A 不能；选项B ：解得2λ=，1μ=，故选项B 能．选项C ：无解，故选项C 不能．选项D ：解得513==1212λμ，，故选项D 能．【详解】解：根据12a e e λμ→→→=+，选项A ：(3，2)(0λ=，0)(1μ+，2)，则3μ=，22μ=，无解，故选项A 不能；选项B ：(3，2)(1λ=-，2)(5μ+，2)-，则35λμ=-+，222λμ=-，解得，2λ=，1μ=，故选项B 能．选项C ：(3，2)(3λ=，5)(6μ+，10)，则336λμ=+，2510λμ=+，无解，故选项C 不能．选项D ：(3，2)(2λ=，3)(2μ-+，3)，则322λμ=+，233λμ=-+，解得513==1212λμ，，故选项D 能．故选：BD 13．AC 【解析】【分析】利用向量的线性运算将CB ,,,AF CF BF 用基底AB 和AD表示，与选项比较即可得正确选项.【详解】对于选项A ：1122CB CD DA AB AB DA AB AB DA =++=-++=+，故选项A 不正确；()11121122112223223333AF AE AB BE AB AB DA AB DA AB AD ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=-+=-=+ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选项B 正确；1111223363CF CD DA AF AB AD AB AD AB AD =++=--++=--，故选项C 不正确，11213333BF AF AB AB AD AB AB AD =-=+-=-+，故选项D 正确；故选：AC.14．ABC 【解析】【分析】根据向量的线性运算法则及平面向量的基本定理，可得12OE OA OB =+ ，14OF OB OA =+，又OC OA OB =+，根据题意，化简计算，可得m ，n 的值，逐一分析选项，即可得答案.【详解】在平行四边形中OA BC = ，OB AC = ，OC OA OB =+，因为E 是AC 中点，所以1122AE AC OB ==，所以12OE OA AE OA OB =+=+ ，因为4BC BF =，所以11 44BF BC OA == ，所以14OF OB BF OB OA =+=+ ，因为OC mOE nOF =+uuu r uu u r uuu r ，所以1142OC m n OA m n OB ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以114112m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得6747m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以107m n +=，27m n -=，23m n =，故选：ABC ．15．BD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，可得向量(1,1),(1,1)a b ==- ,由此以向量(1,1),(1,1)a b ==-为基底分别表示PQ ，,,PT PS PR，由向量的坐标运算判断选项A,B,C,D,可得正确答案.【详解】如图，建立空间直角坐标系：则(1,1),(1,1)a b ==-，故3333(0,3)(1,1)(1,1)2222PQ a b ==+-=+，A 选项正确，3333(3,0)(1,1)(1,1)2222PT a b ==--=-，B 选项错误，3131(2,1)(1,1)(1,1)2222PS a b ==--=-，C 选项正确，3131(1,2)(1,1)(1,1)2222PR a b ==+-=+，D 选项错误，故选：BD.16．523a b-r r 45【解析】（1）由22=-=- OC OA OB a b ，2233OD ==，再结合DC OC OD =- ，即可得出答案；（2）由C ，E ，D 三点共线，可知存在实数μ，使得EC DC μ=，进而由又()2EC OC OE a b a λ=-=-- ，523=- DC a b ，可建立等式关系，从而得22513λμμ-=⎧⎪⎨=⎪⎩，求解即可.【详解】（1）因为点A 是BC 的中点，所以()12OA OB OC =+，所以22=-=- OC OA OB a b ，又点D 是靠近点B 将OB 分成2:1的一个分点，所以23OD OB = ，所以()252233DC OC OD a b b a b =-=--=- .（2）因为C ，E ，D 三点共线，所以存在实数μ，使得EC DC μ=，又()()22EC OC OE a b a a b λλ=-=--=-- ，523=-DC a b ，所以()5223a b a b λμ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭ ，又a ，b不共线，则22513λμμ-=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得45λ=.故答案为：（1）523a b -r r ；（2）45.【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，考查数学转化思想和计算能力，属于基础题.17．2116-【解析】【分析】先得出2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，设出(01)AE x AD x =<<得出233x x AE AB AC =+ ，则2=,33x xλμ=，两问分别代入计算即可.【详解】因为在ABC 中，13BD BC =，所以1121()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+,即2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r .因为点E 在线段AD 上移动（不含端点），所以设(01)AE x AD x =<<.所以233x x AE AB AC =+ ，对比AE AB AC λμ=+ 可得2=,33x x λμ=.代入2=,33x x λμ=，得2323xx λμ==；代入2=,33x x λμ=可得22224=33(0931)x x x x x λμ⎛⎫--=- <⎝<⎪⎭，根据二次函数性质知当1334829x -=-=⨯时，()22min 43131=983816λμ⎛⎫--⨯=- ⎪⎝⎭.故答案为：12;16-18．311211【解析】【分析】通过向量三点共线定理，以及基底转化的方法，将AP 用,AB AC表示，根据平面向量基本定理，可以得到,m n 的值【详解】设1BP BE λ= ，2CP CD λ= ，可得()1114AP AB AC λλ=-+ ，()2213AP AC AB λλ=-+，所以2113λλ-=且2214λλ=-，可得1811λ=，2911λ=，代入上式从而可得()13111m λ=-=，12411n λ==．另外，也可用梅涅劳斯定理．由梅涅劳斯定理可知1CE AB DP EA BD PC⋅⋅=，因为3CE EA =，32=AB BD ，所以，29DP PC =，则923211111111AP AD AC AB AC =+=+ ，故311m =，211n =．故答案为;311，211．19．211【解析】【分析】解法1：先根据13AN NC →→=得到4AC AN →→=，从而可得3411AP AB N m A →→→=+，再根据三点共线定理，即可得到m 的值.解法2：根据图形和向量的转化用同一组基底AB AC →→，去表示AP →，根据图形可得：AP AB BP →→→=+，设BP BN λ→→=，通过向量线性运算可得：()14AP AB AC λλ→→→=-+，从而根据平面向量基本定理列方程组，解方程组得m 的值.【详解】解法1：因为13AN NC →→=，所以4AC AN →→=，又311AP AB AC m →→→=+，所以3411AP AB N m A →→→=+因为点,,P B N 三点共线，所以3+4111m =，解得：211m =.解法2：因为AP AB BP →→→=+，设BP BN λ→→=，所以AP AB BN λ→→→=+，因为13AN NC →→=，所以14AN AC →→=，又BN AN AB →→→=-，所以14BN AC AB →→→=-，所以()=4141AP AB AC AB AB AC λλλ→→→→→→⎛⎫=+-+ ⎝-⎪⎭，又311AP AB AC m →→→=+，所以31114m λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得：8=11211m λ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以211m =.故答案为：211.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算、三点共线定理，平面向量基本定理的运用，属于基础题.20．43【解析】【分析】设,AB a AD b ==，根据题意得到11,22AE a b AF a b =+=+ ，得到2()3AC AE AF =+ ，进而得到23λμ==，即可求解.【详解】设,AB a AD b ==，因为E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，可得11,22AE a b AF a b =+=+,又因为AC a b =+，所以2()3AC AE AF =+ ，因为AC AE AF λμ=+ ，所以23λμ==，所以43λμ+=.故答案为：43.21．（1）1344AE c a =-；（2）:4:1AF CF =.【解析】【分析】（1）由于点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，所以12AD AC = ，1()2AE AB AD =+，而AC BC BA c a =-=-，从而可求得结果，（2）设AF AC λ= ，从而可得BF BA AF BA AC λ=+=+ ，再用a ，c表示，然后结合1455BF a c =+，可求得λ的值，从而可求得:AF CF 的值【详解】（1）因为AC BC BA c a =-=-，点D 是AC 的中点，所以11()22AD AC c a ==- ，因为点E 是BD 的中点，所以1111113()()2222444AE AB AD AB AD a c a c a =+=+=-+-=-.（2）设AF AC λ=，所以()(1)BF BA AF BA AC a c a a c λλλλ=+=+=+-=-+ .又1455BF a c =+ ，所以45λ=，所以45AF AC =，所以:4:1AF CF =.22．(1)3143EF AB AD =-+ (2)1839AG AB AD=+ 【解析】【分析】（1）利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可，（2）过E 作EH ∥BF ，交CD 于H ，则由平行线分线段成比例结合已知条件可得3FB HE =，13FG HE = ，从而可得83GB HE = ，再将HE 用AB ，AD表示，代入化简可得结果(1)因为在平行四边形ABCD 中，2BE EC = ，3CF FD =，所以1133CE CB AD ==- ，3344CF CD AB ==- ，所以3143EF CF CE AB AD=-=-+(2)过E 作EH ∥BF ，交CD 于H ，因为2BE EC = ，所以12CH FH =，因为3CF FD = ，所以3CFFD=,所以::1:2:1DF FH HC =,因为EH ∥BF ，2BE EC =，所以13EH CE FB CB ==，所以3FB HE = 因为12DF FH =,EH ∥BF ，所以13FG DF HE DH ==，所以13FG HE = ，所以18333GB FB FG HE HE HE =-=-= ,因为11113434HE CE CH CB CD AD AB =-=-=-+ ，所以8118233493GB AD AB AD AB ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ ，所以28183939AG AB BG AB GB AB AB AD AB AD=+=-=-+=+ 23．(1)1384AE a b=+(2)1677AF a b =+，7，6【解析】【分析】（1）由已知得()4AC AD AC AE -=- ，3144AE AC AD =+，D 为AB 的中点，可得答案；（2）设BF t BC =，得()1AF tb t a =+- ，设AF AE λ= ，可得1384AE a b =+ ，即384AF a b λλ=+ ，由a ，b不共线和平面向量基本定理求得λ、t ，可得答案.(1)答案第15页，共15页根据题意因为：4DC EC = ，所以()4AC AD AC AE -=- ，所以3144AE AC AD =+ ，D 为AB 的中点，AB a = ，AC b = ，所以12AD a = ，1384AE a b =+ .(2)因为B ，F ，C 三点共线，设BF t BC = ，所以()1AF t AB t AC =-+ ，即()1AF tb t a =+- ，A ，F ，E 三点共线，设AF AE λ=，由（1）可知1384AE a b =+ ，即384AF a b λλ=+ ，a ，b 不共线，由平面向量基本定理，所以1834t t λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以87λ=，67t =，所以87AF AE = ，67BF BC = ，则:AE EF 的值为7，:BF FC 的值为6.。
平面向量基本定理基础训练题(含详解)
平面向量基本定理基础训练题（含详解)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在ABC 中，E 是AC 的中点，3BC BF =，若AB a =，AC b =，则EF =（ ）A ．2136a b - B ．1133a b +C ．1124a b D ．1133a b -2．如图，已知AB a =，AC b =，3BD DC =，用a 、b 表示AD ，则AD 等于（ ）A ．34a b + B ．3144a b + C ．1144a b +D ．1344a b +3．已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足0OA OB OC ++=，则下列结论正确的是( ) A ．1233OA AB BC =+ B ．2133OA AB BC =+ C ．1233OA AB BC =- D ．2133OA AB BC =-- 4．在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是 A ．9 B ．10 C ．11D ．125．在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，2AB DC =，E 为BC 的中点，则（ ）A ．3142AE AB AD →→→=+B ．3122AE AB AD →→→=+C ．1142AE AB AD →→→=+D ．3144AE AB AD →→→=+6．在平行四边形ABCD 中，若4CE ED =，则BE =（ ）A ．45AB AD -+ B ．45AB AD - C ．45AB AD -+D ．34AB AD -+二、填空题7．在正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM AN λμ=+，则实数λμ+=_______.8．已知ABC ，若点D 满足34AB ACAD +=，且()BD CD λλ=∈R ，则λ=________．参考答案1．A 【解析】 【分析】根据向量的运算法则计算得到答案. 【详解】1223EF EC CF AC CB =+=+()12212336AC AB AC AB AC =+-=-2136a b =-. 故选：A . 【点睛】本题考查了向量的基本定理，意在考查学生的计算能力和转化能力. 2．D 【解析】分析：用向量的加法法则表示出AD ，再由数乘与减法运算可得． 详解：由题意34AD AB BD a BC =+=+3()4a AC AB =+-3()4a b a =+-1344a b =+， 故选D ．点睛：本题考查平面向量基本定理，考查平面向量的线性运算，解题时抓住向量线性运算的运算法则（加法、减法、数乘等）就可以把任一向量用基底表示出来． 3．D 【解析】 【分析】由0OA OB OC ++=可知，所以O 为ABC ∆的重心，运用向量的加法运算，21()32OA AB AC →→→=-⨯+,整理后可求结果.【详解】因为0OA OB OC ++=，所以O 为ABC ∆的重心，所以211121()()()323333OA AB AC AB AC AB AB BC AB BC →→→→→→→→→→=-⨯+=-+=-++=--.故选:D. 【点睛】本题考查了向量加法的运算,考查了向量的线性表示,考查了平面向量的基本定理,属于基础题. 4．D 【解析】 【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定,m n 的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可知：3AP mAB nAC mAB nAE =+=+，,,A B E 三点共线，则：31m n +=，据此有：()3131936612n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当11,26m n ==时等号成立. 综上可得：31m n+的最小值是12.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5．A 【解析】 【分析】根据题意，选基底AB →，AD →表示向量AE →即可求解. 【详解】由等腰梯形ABCD 中，2AB DC =，E 为BC 的中点可知，AE AB BE →→→=+,①12AE AD DC CE AD AB CE→→→→→→→=++=++②①+②得：322AE AD AB →→→=+,即3142AE AB AD →→→=+，故选：A 【点睛】本题主要考查了向量的加法，向量的基底，属于容易题. 6．A 【解析】 【分析】由4,CE ED =得45CE CD =，在BEC △中，利用向量加法可得. 【详解】44,,5CE ED CE CD =∴=4455BE BC CE AD CD AB AD ∴=+=+=-+故选：A. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算. 用已知向量表示某一向量的两个关键点:(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． 7．43【解析】 【分析】由题意结合平面向量线性运算法则可得22AC AB AB A A D D μλλμ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝+⎭⎝⎭，由平面向量基本定理可得1212μλλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即可得解.【详解】由题意画出图形，如图所示：由题意可得()()AC AB BM A AM AN D DN λμλμ=++++=11112222AB BC AD DC AB AD AB AD λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22AB AD μλλμ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又AC AB AD =+，所以1212μλλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，从而3()22λμ+=，即43λμ+=. 故答案为：43.【点睛】本题考查了平面向量线性运算法则、平面向量基本定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 8．13-【解析】【分析】根据题意，利用平面向量的基本定理，化简即可得到结论. 【详解】由34AB ACAD+=，可得43AD AB AC=+，所以，33AD AD AB AC+=+，即()3AD AB AC AD-=-，所以，3BD DC=，故13BD CD=-．故答案为：1 3 -.【点睛】本题考查平面向量的基本定理，属于基础题．。
平面向量基本定理练习题
专题八平面向量的基本定理（A 卷）（测试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( )A. (7,4)--B.(7,4)C.(1,4)-D.(1,4) 【答案】A【解析】∵AB OB OA =-=（3,1），∴BC =AC AB -=(-7,-4)，故选A.2.【2018届湖北省黄石市第三中学（稳派教育）高三阶段性检测】若()1,3MA =-， ()1,7MB =，则12AB = ( ) A. ()0,5 B. ()1,2 C. ()0,10 D. ()2,4 【答案】B 【解析】()()()111,3,1,7,22MA MB AB MB MA =-=∴=- ()()()1111,732,41,222=+-==，故选B.3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 【答案】A【解析】因为2(4,8)a =r ，所以2(4,8)(1,1)a b -=--r r=()5,7，故选A.4.【2018届重庆市第一中学高三上学期期中】已知直角坐标系中点，向量，，则点的坐标为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】∵向量，，∴，又∴∴点的坐标为故选：C.5.在ABC ∆中，D 为AB 边上一点，12AD DB = ，23CD CA CB λ=+，则λ=（ ） A ．13- B.13C.1D.2【答案】B【解析】由已知得，13AD AB =，故13C D C A A D C A A B =+=+1()3CA CB CA =+-2133CA CB =+,故13λ=． 6. 已知平面向量(1,2)a =，(2,)a k =-，若a 与b 共线，则|3|a b +=( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．5 【答案】C.【解析】∵a 与b 共线，∴⇒=-⨯-⨯0)2(21k 4-=k ，∴3(1,2)a b +=，|3|5a b +=. 7.已知向量(,),(1,2)a x y b ==-，且(1,3)a b +=，则|2|a b -等于（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】D 【解析】因(1,3)a b +=,(1,2)b =-,故(2,1)a =,所以2(4,3)a b -=-,故2|2|435a b -=+=,故应选D.8.【2018届湖北省襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）高三上期中联考】点G 为ABC ∆的重心（三边中线的交点）．设,GB a GC b ==，则12AB 等于 （ ） A.3122a b - B. 12a b + C. 2a b- D. 2a b + 【答案】B 【解析】如图，∵点G 为ABC ∆的重心，∴0GA GB GC GA a b ++=++=， ∴GA a b =--， ∴()()11112222AB GB GA a a b a b ⎡⎤=-=++=+⎣⎦.选B.9.已知向量()()2,3,cos ,sin a b θθ==，且//a b ，则tan θ=（ ） A ．32 B ．32- C ．23 D ．23- 【答案】A 【解析】由//a b ，可知2sin 3cos 0θθ-=，解得tan θ=32，故选A. 10.向量()1,tan cos ,1,3a b αα⎛⎫== ⎪⎝⎭，且//a b ，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13-B ．13C ．D ．【答案】A11.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ）A.1142+a b B. 1124+a b C. 2133+a b D. 1233+a b 【答案】C 【解析】,AC a BD b ==，11112222AD AO OD AC BD a b ∴=+=+=+ 因为E 是OD 的中点,||1||3DE EB ∴=,所以，13DF AB =()1111133322DF AB OB OA BD AC ⎛⎫⎛⎫∴==-=⨯--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1166AC BD -=1166a b - ，11112266AF AD DF a b a b =+=++-＝2133a b +,故选C.12. ABC ∆中，点E 为AB 边的中点，点F 为AC 边的中点，BF 交CE 于点G ，若A G x A E y A F =+，则x y +等于（ ） A.32B.43C.1D.23【答案】B ．B第II 卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
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3cos
0 ，解得 tan
3
，故选 A.
2
10.向量
a
1 3
,
tan
，b
cos ,1 ,
且
a
/
/b
，则
cos
2
（
A． 1 3
B． 1 3
C． 2 3
【答案】A
） D． 2 2
3
11.在平行四边形 ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点， AE 的延长线与 CD 交于点
3 = 0, lAC :
3x + y -
3 =0，
则三角形 PAC 与 PAB 的高分别为 hAC =
3 l , hAB =
3 1+l
l
，由两个三角形面积比得
1+l
= 1 ，解 3
得 l = 1 或 l = - 1 ，经 检验当 l = - 1 时，点 P 在三角形 ABC 外，不合题意，所以 l = 1 .
2
4
4
2
21.（本小题 12 分）如图，M、N、P 分别是三角形 ABC 三边 BC、CA、AB 上的点，且满足 AP BM CN 1 ， AB BC CA 4
设 AB a ， AC b
（1）用 a, b 表示 MN ；
（2）若点 G 是三角形 MNP 的重心，用 a, b 表示 AG .
7.已知向量 a (x, y),b (1, 2) ，且 a b (1,3) ，则|a 2b | 等于（ ）
A．1
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【解析】
因 a b (1,3) , b (1, 2) ,故 a (2,1) ,所以 a 2b (4, 3) ,故| a 2b | 42 32 5 ,故应选 D.
三边围成的
区域（含边界）上，若 PG PL PN
0
，求 OP ；
（2）在平行四边形 ABCD 中， AE EB ， CF 2FB ，连接 CE 、 DF 相交于点 M ，若 AM AB AD ，求实数 与 的乘积.
【答案】(1) 2 2 (2) 3 8
________(用向量 a 和 b 表示)．
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【答案】 2 a 1 b
33
【解析】∵ AB ＝ 2
DC
，∴
△DOC∽△BOA
，且
OC
1
，∴
AO
＝
2
AC
＝2
( AD ＋ DC )
OA 2
3
3
＝
2 3
a
1 2
b
＝
2 3
a
1 3
b
.
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
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专题八平面向量的基本定理
（A 卷）
（测试时间：120 分钟 满分：150 分）
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大 题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1.已知点 A(0,1), B(3, 2) ，向量 AC (4, 3) ，则向量 BC ( )
（1） k a b 与 a 3b 垂直？（2） k a b 与 a 3 b 平行？
【答案】(1) k 19 (2) k 1 3
【解析】
根据已知有 k a b (k 3,2k 2) , a 3b (1,2) (9,6) (10,4)
（1）
ka
b
与
a
3b
垂直时，
2
CA
1 CB
,
3
3
3
33
故 1．
3
6. 已知平面向量 a (1, 2) ， a (2, k) ，若 a 与 b 共线，则| 3a b | (
)
A．3
B．4 C． 5
D．5
【答案】C.
【解析】∵ a 与 b 共线，∴1 k 2 (2) 0 k 4 ，∴ 3a b (1, 2) ，| 3a b | 5 .
8.【2018 届湖北省襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）高三上期中联考】点 G 为
ABC
的重心（三边中线的交点）．设
GB
a,
GC
b
，则 1
AB 等于
（
）
2
A.
3
a
1
b
B.
a
1
b
C.
2a
b
D.
2a
b
22
2
【答案】B
【解析】如图，
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∵点 G 为 ABC 的重心，
【答案】
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【解析】（1） MN
MC
CN
3
BC
1
AC
3
(b
a)
1
b
3
a
1
b
4
4
4
4 42
（2）由 GP GM GN 0 ，得 ( AP AG) ( AM AG) ( AN AG) 0
故
AG
1
( AP
AM
AN )
值.
【答案】 5 1 2
【解析】D 是 ABC 的边 AB 上的一点，设 DB k AB （1 k 1），则 AD (1 k) AB ，又
CD CA AD,CD CB BD ，2CD CA CB (1 2k)(CB CA) ，CD kCA (1 k)CB
，
CD CA 2 CB ，所以 k,1 k 2 ，解得 5 1 ，因为 0 1，故 5 -1
A. (7, 4)
B. (7, 4)
C. (1, 4)
D. (1, 4)
【答案】A
【解析】∵ AB OB OA =（3,1），∴ BC AC AB =(-7,-4)，故选 A.
2.【2018
届湖北省黄石市第三中学（
稳派教育）高三阶段性检测】若
MA
1,
3
，
MB
1,
7
，则
1
AB
(
)
B. 5,9
C. 3, 7
D. 3,9
【答案】A
r
rr
【解析】因为 2a (4,8) ，所以 2a b (4,8) (1,1) = 5, 7 ，故选 A.
4.【2018 届重庆市第一中学高三上学期期中】已知直角坐标系中点
，向量
，
，则点 的坐标为（
A.
B.
C.
【答案】C
） D.
【解析】∵向量
，
3
又
AP
1
a
,
AM
AB
BM
AB
1
BC
a
1
(b
a)
3
a
1
b
，
AN
3
b
4
4
4
44
4
代入得：
AG
1
a
1
b
33
22.（本小题 12 分）【2018 届宁夏大学附属中学高三上学期第三次月考】（1）在直角坐标系 xOy 中，已
知点 G 1,1, L 2,3, N 3, 2 ，点 P x, y 在 GLN
2
2
20.（本小题 12 分）已知 P 为等边三角形 ABC 内一点,且满足 PA PB (1 )PC 0 ,若三 角形
1 PAC 与三角形 PAB 的面积之比为 3 ,求实数 的值.
【答案】 1 2
【解析】不妨设等边三角形 ABC 的边长为 2 ，以 BC 中点 O 为原点、 BC 为 x 轴，中线 AO 为 y 轴，建
17.（本小题 10 分）在 ABC 中, BD 2DC ,若 AD 1 AB 2 AC ,求 12 的值 .
【答案】 3
4
【解析】由题可得,如图
AD
AB
BD
AB
3
BC
AB
3
AC AB
1
AB
3
AC
,则,所以
2
2
22
12
3 4
,故填
3 4
.
A
B
D
C
18.（本小题 12 分）已知 a (1, 2) , b (3,2) ,当 k 为何值时，
，
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∴
，又
∴
∴点 的坐标为
故选：C.
5.在
ABC
中，
D
为
AB
边上一点，
AD
1
DB
，
CD
2
CA
CB
，则
=（
）
2
3
A． 3 1
B. 1 3
C.2 3 1
D. 2
【答案】B
【解析】由已知得，
AD
1
AB
，故 CD
CA
AD
CA
1
AB
CA
1
(CB
CA)
( )
( ) 立平面直角坐标系，设点 P x, y ，则 PA = x, y - 3 , PB = ( x +1, y) , PC = ( x - 1, y) ，代入等式
( )
PA +l PB + 1+l
PC = 0 ，得 x =
1
2 +2l
,y= 3 2 +2l
，又 lAB :
3x - y +
因为 E 是 OD 的中点, | DE | 1 ,所以， DF 1 AB