用关于点直线对称的直线方程ppt课件
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点 ,线关于直线对称问题
13 13
13
A(33 , 9 ) ； 13 13
例 2 已知点 A(x0 , y0 ) ，（1）求 A 关于直线 x y c 0 的对称点坐标；（2）求 A 关
于直线 x y c 0 的对称点坐标；
解（1）设对称点 B(x1, y1) ，则由求对称点公式得：
x1 x0 1 2(x0 y0 c) y0 c ， y1 y0 1 2(x0 y0 c) x0 c ，
2
2
2
2
所以对称点是 ( y0 c,x0 c) ；
（2） x1 x0 1 2(x0 y0 c) y0 c ， y1 y0 1 2(x0 y0 c) x0 c
2
2
2
2
即对称点是： ( y0 c, x0 c) ；
二 圆锥曲线中存在点关于直线对称问题
对于此类问题有第一种通法，即抓住两点对称中体现的两要点：垂直（斜率之积为－1） 和两点连线中点在对称直线上，至于参数的范围则是由联立后方程的△产生，下面举例说明：
产生的垂直及中点问题，不过在有关范围关系式的产生上有差别.
上有不同两点关于这条直线对称.
解：设存在两点 A（x1,y1）、B(x2,y2)关于 l 对称，中点为 C（x,y），则
3x12＋4y12=12,
3x22＋4y22=12,
得
y1－y2 x1－x2
=－
3(x1＋x2) 4(y1＋y2)
=－
3x 4y
=－
1 4
,
∴ y=3x.
联立 y=4x＋m,解的 x=－m,y=－3m,
一 点关于直线的对称点的一种公式求法
结论：设直线 l : ax by c 0 ，（ a 、 b 至少有一个不为 0），点 A(x0 , y0 ) 关于直线 l 的
点与线的四种对称关系
点与线的四种对称关系直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。
下面谈谈各类对称问题的具体求解方法。
1、点关于点的对称 例1 已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （00y ,x ）。
分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。
解：设点A （－2，3）关于点P （1，1）的对称点为B （00y ,x ），则由中点坐标公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-,12y 3,12x 200解得⎩⎨⎧-==1y ,4x 00所以点A 关于点P （1，1）的对称点为B （4，－1）。
评注：利用中点坐标公式求解完之后，要返回去验证，以确保答案的准确性。
2、直线关于点的对称例2 求直线04y x 3=--关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程。
分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为0b y x 3=+-。
解：由直线l 与04y x 3=--平行，故设直线l 方程为0b y x 3=+-。
由已知可得，点P 到两条直线距离相等，得.13|b 16|13|416|22+++=+-+解得10b -=，或4b -=（舍）。
则直线l 的方程为.010y x 3=--评注：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点P 到两条直线的距离相等。
几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。
此题还可在直线04y x 3=--上取两个特殊点，并分别求其关于点P （2，－1）的对称点，这两个对称点的连线即为所求直线。
3、点关于直线的对称例3 求点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。
利用点关于直线对称的性质求解。
解法1（利用中点转移法）：设点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点为A ′（00y ,x ），则直线AA ′与已知直线垂直，故可设直线AA ′方程为0c y 2x 4=++，把A （2，2）坐标代入，可求得12c -=。
点直线的对称问题课件
点直线的对称问题课件
contents
目录
• 对称问题概述 • 点关于直线的对称点 • 线关于点的对称直线 • 点直线对称问题的综合应用
01
对称问题概述
对称的定义与性质
对称定义
如果一个图形关于某一直线（称 轴）对称，那么它被称为轴对称 图形，这条直线叫做对称轴。
对称性质
对称具有传递性、反身性、结合 性和不可分解性。
求点直线的对称点及对称直线方程
求对称点
设$PP^{\prime}$的中点为$M(x_{0},y_{0})$，则$M$点坐标为$(x+x^{\prime})/2， (y+y^{\prime})/2$，代入直线$l$的方程可得$Ax_{0}+By_{0}+C=0$，又因为$M$是 $PP^{\prime}$的中点，所以有$(x-x_{0})/2=(y-y_{0})/2$，解得$x=x^{\prime}$， $y=y^{\prime}$
距离问题
利用对称性可以找到两点 之间的最短距离或某点到 直线的最短距离。
角度问题
利用对称性可以找到两个 角之间的补角或余角。
02
点关于直线的对称点
定义
若点P(x0,y0)关于直线L的对称点为P'(x1,y1)，则PP'垂直于L ，且PP'的中点在L上。
性质
点P(x0,y0)关于直线x=a的对称点为P'(2a-x0,y0)； 点P(x0,y0)关于直线y=b的对称点为P'(x0,2b-y0)。
方法二
利用截距式方程求解。首先确定原直线的截距，然后根据对 称点的坐标求出新直线的截距，再根据截距式方程求出新直 线的方程。
线关于点的对称直线在实际问题中的应用
contents
目录
• 对称问题概述 • 点关于直线的对称点 • 线关于点的对称直线 • 点直线对称问题的综合应用
01
对称问题概述
对称的定义与性质
对称定义
如果一个图形关于某一直线（称 轴）对称，那么它被称为轴对称 图形，这条直线叫做对称轴。
对称性质
对称具有传递性、反身性、结合 性和不可分解性。
求点直线的对称点及对称直线方程
求对称点
设$PP^{\prime}$的中点为$M(x_{0},y_{0})$，则$M$点坐标为$(x+x^{\prime})/2， (y+y^{\prime})/2$，代入直线$l$的方程可得$Ax_{0}+By_{0}+C=0$，又因为$M$是 $PP^{\prime}$的中点，所以有$(x-x_{0})/2=(y-y_{0})/2$，解得$x=x^{\prime}$， $y=y^{\prime}$
距离问题
利用对称性可以找到两点 之间的最短距离或某点到 直线的最短距离。
角度问题
利用对称性可以找到两个 角之间的补角或余角。
02
点关于直线的对称点
定义
若点P(x0,y0)关于直线L的对称点为P'(x1,y1)，则PP'垂直于L ，且PP'的中点在L上。
性质
点P(x0,y0)关于直线x=a的对称点为P'(2a-x0,y0)； 点P(x0,y0)关于直线y=b的对称点为P'(x0,2b-y0)。
方法二
利用截距式方程求解。首先确定原直线的截距，然后根据对 称点的坐标求出新直线的截距，再根据截距式方程求出新直 线的方程。
线关于点的对称直线在实际问题中的应用
直线的方程-2两点式、截距式)PPT课件
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在交通领域，例如在道路规划中，可 以使用这两种方程形式来表示道路的 走向和交点。
在物理学中，例如在电场分析中，可 以使用这两种方程形式来描述电场线 的分布和方向。
04 练习与巩固
基础练习题
01
02
03
题目1
已知两点$P_1(x_1, y_1)$ 和$P_2(x_2, y_2)$，求直 线方程的两点式。
直线的方程。
截距式方程
截距式方程是另一种形式的直线方 程，它表示直线在x轴和y轴上的截 距。
直线方程的应用
了解直线方程在实际问题中的应用， 如几何、物理和工程问题。
学习心得体会
通过学习本章，我掌握了直线方程的两种形式，即两点式和截距式，并 了解了它们在实际问题中的应用。
学习过程中，我遇到了一些困难，如理解截距式方程的推导过程和如何 应用直线方程解决实际问题。但通过反复阅读教材和与同学讨论，我逐
在实际生活中，例如道路修建、桥梁设计等工程领域，常常需要使用到截距式直线 方程来描述道路或桥梁的走向。
在解析几何中，截距式直线方程也是一种重要的直线方程形式，用于解决一些特定 的问题。
03 两种直线方程的比较
异同点比较
相同点
两点式和截距式都是用来表示直线方 程的方法，它们都可以表示直线上的 点。
渐克服了这些困难。
学习本章后，我意识到数学在实际问题中的重要性，并计划在未来的学 习中更加注重数学知识的应用。
下一步学习计划
深入学习直线的其他方程形式， 如点斜式和斜截式。
学习如何利用直线方程解决更复 杂的实际问题，如解析几何和物
理问题。
复习和巩固已学过的直线方程知 识，确保自己能够熟练掌握和应
高中理科数学第一轮复习：解析几何对称问题精选课件
真正的爱情，不论贫富，不论远近。千般情怀，万般眷恋。红尘陌上，心系悠长。约言迢迢千里，只因情怀而来；邈路遥遥朝暮到洛阳出差一周了。 下午忙完，我便决定回趟老家。夕阳余光游走在城市楼房的轮廓中，呆板大街上车来人往。我不喜欢城里的热闹，会吓跑夕阳，家里这时候，风是轻的，田野是静的，夕阳是害羞的。 大巴车只到镇上，离老家还有十里路。一下车就听到有人喊我，是父亲。父亲一手接过我行李，一手拿着手机说话：“接到了，接到了，我们就回来。”说罢把电话递给我。电话里母亲问我晚饭想吃什么，我说：“妈，我想吃你擀的捞面条。”
xy0 直线对称都要熟练掌握。2.解决最值
问题最常用的方法是目标函数法和几何法。3.求对 称曲线的常用思想方法：代入转移法
【布置作业】
优化设计P108
世间有一种相互的情愿、一种情感的眷恋、一种情怀的着落，一种甜情密意的爱。 爱情在彼此之间、难得珍贵。需要包容和蔼，需要俩情相续。人生没有任何情感能抵得上爱情来的强烈。真爱从心底滋生，滋润着的爱；能让岁月变得丰满幸福。 爱情经历过静默欢喜的心跳，心潮澎湃的悸动，小心翼翼的呵护。挚爱灵魂的降临，柔情蜜意的体会，爱情的情愫引诱着彼此之间的情怀。爱情就像一团火焰，热情奔放在彼此之间燃烧；爱就像颜丽的山花，烂漫开放在彼此之间芬芳的岁月里。 爱情在彼此之间是愉悦、是幸福的向往，有一种渴念，一种欲望。一个人如果没有了爱情的支撑，剩下的只有精神空虚，孤独寂寞。无论多么痛苦，爱情只是人生的一个部分。在现实面前，只有理顺思路，忘掉不愉，打点精神生活，才能继续愉悦自己的人生。 当然爱情很美好，但有时也会不如意。人生本来就在旅途中，有阳光与暗淡的一面，难免会经历过低谷，不必过于焦虑不安。如果一方有离去的企图，千万不得挽留，留下的人也留不住心。人走了茶也就凉了，再温了也没了芳香。在拥有时好好地珍惜，爱情本来就需要真情来相待。 做人要懂得思考，一个愚痴的人，一旦跳进了失恋的漩涡、难以挣脱。忧忧寂寞、郁郁寡欢、心劳意攘不可自拔。一个明智的人，通情达理，一切顺其自然，不会执着于曾经的美好。既然她执意要走，爱情就已经失去了光泽。那么，何必再度留念她的光彩。 情感确实曼妙。有时机遇恰巧会眷顾了爱情。在擦肩而过的人群中谁能与你并肩同行；谁能理会同你一道上船、驶往爱的彼岸。在滚滚红尘中，只有俩厢情愿，情投意合，才能算是一见钟情，顺理成章。 在这世界上有一种爱情叫着缘分。在谈笑中相遇、在不经意中发生。爱情在几度转角处相识，最终还是选择初恋的那个好。这不要说偶尔、也不能说凑巧，他们在冥冥之间自然的形成。那是一种力量的无形缠绕，在偶遇中滋生存在着相遇的机会与可能。 树靠营养吸收生长，开花结果。人也需要吸收养分，也需要茁壮成长。特别在爱恋之间那微妙的时刻，得像春花一样灿烂，滋润着培育成绚丽多姿让人羡慕，让人欣赏。人靠衣装马靠鞍，一个人的内涵显示在品位上，整洁大方是对对方的尊重。
xy0 直线对称都要熟练掌握。2.解决最值
问题最常用的方法是目标函数法和几何法。3.求对 称曲线的常用思想方法：代入转移法
【布置作业】
优化设计P108
世间有一种相互的情愿、一种情感的眷恋、一种情怀的着落，一种甜情密意的爱。 爱情在彼此之间、难得珍贵。需要包容和蔼，需要俩情相续。人生没有任何情感能抵得上爱情来的强烈。真爱从心底滋生，滋润着的爱；能让岁月变得丰满幸福。 爱情经历过静默欢喜的心跳，心潮澎湃的悸动，小心翼翼的呵护。挚爱灵魂的降临，柔情蜜意的体会，爱情的情愫引诱着彼此之间的情怀。爱情就像一团火焰，热情奔放在彼此之间燃烧；爱就像颜丽的山花，烂漫开放在彼此之间芬芳的岁月里。 爱情在彼此之间是愉悦、是幸福的向往，有一种渴念，一种欲望。一个人如果没有了爱情的支撑，剩下的只有精神空虚，孤独寂寞。无论多么痛苦，爱情只是人生的一个部分。在现实面前，只有理顺思路，忘掉不愉，打点精神生活，才能继续愉悦自己的人生。 当然爱情很美好，但有时也会不如意。人生本来就在旅途中，有阳光与暗淡的一面，难免会经历过低谷，不必过于焦虑不安。如果一方有离去的企图，千万不得挽留，留下的人也留不住心。人走了茶也就凉了，再温了也没了芳香。在拥有时好好地珍惜，爱情本来就需要真情来相待。 做人要懂得思考，一个愚痴的人，一旦跳进了失恋的漩涡、难以挣脱。忧忧寂寞、郁郁寡欢、心劳意攘不可自拔。一个明智的人，通情达理，一切顺其自然，不会执着于曾经的美好。既然她执意要走，爱情就已经失去了光泽。那么，何必再度留念她的光彩。 情感确实曼妙。有时机遇恰巧会眷顾了爱情。在擦肩而过的人群中谁能与你并肩同行；谁能理会同你一道上船、驶往爱的彼岸。在滚滚红尘中，只有俩厢情愿，情投意合，才能算是一见钟情，顺理成章。 在这世界上有一种爱情叫着缘分。在谈笑中相遇、在不经意中发生。爱情在几度转角处相识，最终还是选择初恋的那个好。这不要说偶尔、也不能说凑巧，他们在冥冥之间自然的形成。那是一种力量的无形缠绕，在偶遇中滋生存在着相遇的机会与可能。 树靠营养吸收生长，开花结果。人也需要吸收养分，也需要茁壮成长。特别在爱恋之间那微妙的时刻，得像春花一样灿烂，滋润着培育成绚丽多姿让人羡慕，让人欣赏。人靠衣装马靠鞍，一个人的内涵显示在品位上，整洁大方是对对方的尊重。
轴对称ppt课件
对于轴对称的函数图像，其面积在沿 对称轴翻转后保持不变。
轴对称的拓扑性质
连通性
轴对称的图形在拓扑上具有连通 性，即可以通过连续变换从一个
部分到达另一个部分。
闭包
轴对称的图形在拓扑上的闭包也 是轴对称的。
分离性
轴对称的图形在拓扑上具有分离 性，即可以将图形分成互不相交
的两个部分。
轴对称的代数几何性质
轴对称ppt课件
目录
• 轴对称概述 • 轴对称的几何性质 • 轴对称的代数性质 • 轴对称的物理性质 • 轴对称的数学性质 • 轴对称的应用实例
01
轴对称概述
定义与性质
定义
轴对称是指一个平面图形沿着一条直 线折叠后，直线两旁的部分能够互相 重合，那么这个图形叫做轴对称图形 ，这条直线叫做对称轴。
性质
轴对称图形具有对称轴，并且沿着对 称轴折叠后两旁的部分能够完全重合 。
轴对称的应用
01
02
03
美学
轴对称在建筑、雕塑、绘 画等领域有着广泛的应用 ，能够给人以美的感受。
工程
在工程设计中，轴对称图 形可以简化计算和设计过 程，提高效率。
数学
在数学中，轴对称是研究 几何图形的重要性质之一 ，对于图形的分类和性质 研究具有重要意义。
天坛
天坛的圜丘坛和祈年殿也采用了轴对称设计 ，体现了古代建筑的美学和哲学思想。
自然界中的轴对称现象
要点一
蝴蝶
蝴蝶的翅膀具有明显的轴对称特征，这种对称性不仅美观 ，还有助于飞行。
要点二
雪花
雪花的形状也具有轴对称性，这种对称性在自然界中广泛 存在。
工程中的轴对称应用
桥梁
桥梁的梁体设计往往采用轴对称结构，以提高桥梁的稳定性和承载能力。
点关于直线对称ppt课件
2
点关于直线对称
点A (x0 , y0 ) 关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为
B（x，y）
A(x0,y0)
l
kAB kl 1 AB中点在l上
P
B(x,y)
3
点关于直线对称
点A (x0 , y0 ) 关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为
B（x，y）
A(x0,y0)
l
8
课堂小结
点A (x0 , y0 ) 关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为 B（x，y）
垂直 平分
y x
y0 x0
(
A) B
1
A(x0,y0)
A
x
x0 2
B
y
y0 2
C
0
P
l
B(x,y)
9
10
y x
y0 x0
(
A) B
1 ຫໍສະໝຸດ Ax x0 2
B
y
y0 2
C
0
P
B(x,y)
4
例：求点A（2,1）关于直线l： x+y+1=0的对称点B的坐标.
5
练习1：求点A（2,-1）关于直线l： x-y+1=0的对称点B的坐标.
6
练习2：课本P144 A组第七题.
7
规律总结
例：点A（2,1）关于直线l：x+y+1=0的对称 点B的坐标为（-2，-3）.
练习1：点A（2,-1）关于直线l：x-y+1=0的对 称点B的坐标为（-2,3）.
点关于直线对称
点A (x0 , y0 ) 关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为
B（x，y）
A(x0,y0)
l
kAB kl 1 AB中点在l上
P
B(x,y)
3
点关于直线对称
点A (x0 , y0 ) 关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为
B（x，y）
A(x0,y0)
l
8
课堂小结
点A (x0 , y0 ) 关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为 B（x，y）
垂直 平分
y x
y0 x0
(
A) B
1
A(x0,y0)
A
x
x0 2
B
y
y0 2
C
0
P
l
B(x,y)
9
10
y x
y0 x0
(
A) B
1 ຫໍສະໝຸດ Ax x0 2
B
y
y0 2
C
0
P
B(x,y)
4
例：求点A（2,1）关于直线l： x+y+1=0的对称点B的坐标.
5
练习1：求点A（2,-1）关于直线l： x-y+1=0的对称点B的坐标.
6
练习2：课本P144 A组第七题.
7
规律总结
例：点A（2,1）关于直线l：x+y+1=0的对称 点B的坐标为（-2，-3）.
练习1：点A（2,-1）关于直线l：x-y+1=0的对 称点B的坐标为（-2,3）.
直线的方程- 直线的两点式方程 课件(共48张PPT)(2024)人教A版高中数学选择性必修一
=
−0
，即
3−0
2
3
= .
课中探究
［素养小结］
（1）由两点式求直线方程的步骤：
①设出直线所经过的两点的坐标;
②根据题中的条件，列出相关方程，解出点的坐标;
③由直线的两点式写出直线方程.
（2）当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式
方程的适用条件（两点的连线不平行于坐标轴），若满足，则考虑用两点式求
（1）已知直线过两点1 1 , 1 ,2 2 , 2 ，则直线一定存在两点式方程.( × )
[解析]
−1
直线的两点式方程是
2 −1
=
−1
，只有当1
2 −1
≠ 2 且1 ≠ 2 时，才存在
两点式方程.
（2）经过两点1 1 , 1 ,2 2 , 2 1 ≠ 2 , 1 ≠ 2 的直线方程可以是
探究点一 利用两点式求直线方程
例1
在△ 中，已知 −3,2 ， 5, −4 ， 0, −2 .
（1）求边所在直线的方程；
解：因为边所在的直线过两点 5, −4 ， 0, −2 ，所以边所在直线的方
− −4
程为
−2− −4
=
−5
，即2
0−5
+ 5 + 10 = 0.
+ =1
−0
−
点 , 0 , 0, 的坐标代入两点式，得
=
,即__________.此方程由直线
−0
0−
在两条坐标轴上的截距与确定，我们把此方程叫作直线的截距式方程，简称
截距式.
课前预习
【诊断分析】判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
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练习
1.直线x-4y+2=0关于直线x=-2对称的直线方程是 x+4y+2=0 .
2. (2012•贵阳模拟)直线x-2y+1=0关于直线x=3对称的直线方程为 x+2y-8=．0 解：∵直线x-2y+1=0关于直线x=3对称， 所以对称直线的斜率为-2， 再由直线x-2y+1=0与直线x=3的交点为（3，2）， ∴对称直线的方程为 y-2=-2（x-3）， 即 2x+y-8=0， 故答案为 2x-y-8=0．.
∵直线l 1 与直线l关于点A(1,2)对称，
∴点Q(2-x,4-y)在直线l上， ∴ 2(2-x)+(4-y)+3=0 ，
求谁设谁
此方法为 通法，求
即： 2x + y -11=0
方法总结： ①“求谁设谁”是解决数学问题的一种方法； ②解题步骤是：
对称的直 （曲）线 方程都用 此方法。
第一步,设出所求直线上任意一点P的坐标(x,y)； 第二步, 求出P点关于已知点的对称点Q的坐标; 第三步,将点Q的坐标代入已知直线方程，整理得出所求直线的方程.
练习 1.直线x+2y-3=0关于直线x+y-1=0的对称直线方程为
2x+y=0 .
2.直线3x+4y=2关于直线y=x的对称直线的方程是 4x+3y=2 .
第二步,在已知直线上找一点(一般令x=0或y=0)，求出这点关于已知点的对称点; 第三步,利用点斜式写出对称直线的方程.
题型一、两直线关于点对称
例 已知直线l :2x+y+3=0,求l关于点A(1,2)对称的直线l 1的方程.
解法三：设点P(x,y)为直线l 1 上的任意一点， 则其关于点A(1,2)对称的对称点Q为(2-x,4-y)，
题型三、两线关于直线对称问题 例直线3x-y+3=0关于x-y-2=0对称的直线方程为
x-2y-9．=0
方法总结：求已知直线关于某直线的对称对称直线，若直线的斜率为1或-1， 则可简化运算，利用以上方法解答即可。
注意：此方法对于斜率不是±1的情况不适用。 求已知直线关于某直线的对称对称直线，斜率不是±1的情况，一般不予考查.
例 已知直线l :2x+y+3=0,求l关于点A(1,2)对称的直线l 1的方程. 解法二：∵直线l 1 与l关于点A(1,2)对称，∴ l ∥l
∴l 与l 1的斜率相同， ∴ kl1=-2
∵当x=0时，y=3.点(0,-3)在直线l上,关于(1,2)的对称点为(2,7).
∴点(2,7)在直线l1上. ∴直线l1的点斜式方程为：y-7=-2(x-2) 化简得： 2x + y -11=0 方法总结： ①若两条直线关于某点对称，则这两条直线平行； ②解题步骤是： 第一步,由两线对称求出所求直线的斜率；
用关于点直线对称的直线方程
题型一、两直线关于点对称
例 已知直线l :2x+y+3=0,求l关于点A(1,2)对称的直线l 1的方程. 解法一：当x=0时，y=-3.点(0,-3)在直线l上,关于(1,2)的对称点为(2,7).
当x=-2时,y=1.点(-2,1)在直线l上,关于(1,2)的对称点为(4,3).
2.直线y=3x-4关于点P（2，-1）对称的直线l的方程是 3x-y-10=0 。
3.与直线2x+y-1=0关于点（1，0）对称的直线的方程是
2x+y-3。=0
4.直线y=2x+1关于坐标原点对称的直线方程是 y=2x-1 。
题型二、两点关于直线对称问题
（-2，2）
例 若点A（2，0）关于直线y=2x+1对称的对称点为点B，则点B的坐标
.
方法总结：求已知点关于直线的对称点的步骤：
第一步，设出所求点的坐标(m，n)—求谁设谁; 第二步，利用以下条件列出方程组：
①两点的连线的斜率与已知直线垂直斜率之积为-1; ②两点连线段的中点在已知直线上. 第三步，解方程组即可得到m、n的值，从而得到所 求点的坐标。
练习
1.点A（0，1）关于直线2x+y=0的对称点坐标是
.
2.点（3，9）关于直线x+3y-10=0对称的点的坐标为 （-1，-3） .
题型二、两点关于直线对称问题 例 求点（2，5）关于直线x+y+、两点关于直线对称问题 例 求点（2，5）关于直线x+y+1=0的对称点的坐标.
解法二：由x+y+1=0得到x=-y-1，将y=5代入，可得x=-6； 再由x+y+1=0得到y=-x-1，将x=2代入，可得y=-3； ∴点（2，5）关于直线x+y+1=0的对称点的坐标（-6，-3）.
4.点（2，2）关于直线x-y+3=0的对称点坐标是 （-1，5）．
练习 1.点（2，5）关于直线x=1的对称点的坐标为 （0，5）. 2.点P（1，2）关于直线y=1对称的点的坐标是 （1，0）.
题型三、两线关于直线对称问题 例 求直线x+2y-3=0关于直线x=1对称的直线的方程.
解：
∵
方法：若两直线关于直线x=a对称，则这两直线的斜率互为相反数.
那么,点 (2,7) ,(4,3)在l 1上.
因此,直线l 1的方程为： y7 x2 37 42
化简得: 2x + y -11=0
方法总结： 第一步，在已知直线上找两点（整数点），一般令x=0和y=0， 第二步，求出这两点关于已知点的对称点， 第三步，利用两点式写出对称直线的方程.
题型一、两直线关于点对称
方法总结：求已知点关于某直线的对称点，若直线的斜率为1或-1，则可简 化运算，利用以上方法解答即可。 注意：此方法对于斜率不是±1的情况不适用。
练习 1.点（1，0）关于直线x+y+1=0的对称点是 （-1，-2）. 2.点M（3，-1）关于直线y=x的对称点的坐标是 （-1，3）.
3.点（-1，1）关于直线x-y-1=0的对称点的坐标是 （2，-2） .
练 1.直线y=3x+3关于点M（3，2）对称的直线l的方程是 3x-y-17=0 。 习 解：设所求直线上的任意点坐标(x，y)关于点M(3，2)对称点（6-x、4-y）， ∵对称点在已知直线上， ∴将y=3x+3中的x、y分别代以（6-x）、（4-y），得4-y=3（6-x）+3， 即3x-y-17=0 ． ∴所求直线方程为3x-y-17=0 ．