工程力学-第三章
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工程力学I-第3章 力矩与平面力偶系
D
x
§3-2 关于力偶的概念
力偶：一对等值、反向而不共线的平行力，用 符号（F ,F′）表示。
力偶臂：两个力作用
线之间的垂直距离d。
F’
F
力偶的作用面：两个 力作用线所决定的平 面
§3-2 关于力偶的概念
F F
d
d
F
d
F
F
F
转动游戏方向盘
拧水龙头
扳手拧螺母
§3-2 关于力偶的概念
Q AABD AABC 显然， 并注意到力偶矩的转向也相同， 则有M ( F , F ) M ( P, P) P
M (P 1, P 1 ) M ( P, P ) 显然， 1, P 1) 从而有M ，( F , F ) M ( P
P1
力偶等效
M ( F , F ) M ( P 1, P 1)
（1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。
（2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。 *（3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。 （4）互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。
Mo(F)＝±Fd
§3-1 关于力矩的概念及其计算
合力矩定理：
y Fy
(3)将力P和P’沿各自的作用 线移至任意点A’，B’，根 据力的可传性原理，有 (P,P’) =(P1,P1’) 。
§3-2 关于力偶的概念
(4) A′
P1′ b F′ A A F B Q′ D P′ B′ C
M (F , F ) AB BD 2 AABD ,
M（P, P'） AB BC 2 AABC
工程力学 第3章 力偶系
M 2 F2 , F2'
M F1'
r1
F F1 F2 F ' F1' F2'
F2' MR F, F '
F2
F1 F
M2
MR r F ' r (F1'F2 ') r F1'r F2 '
M1 M2
结论：两个力偶的合成仍然为力偶，且
第三章 力偶系
§1 力对点之矩矢 一、 平面力对点之矩（回顾）
力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。 例如扳手旋转螺母。
BF
dA L
O
力F对O点之矩定义为： Mo(F)＝±Fd
通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩 为正，反之为负。
第三章 力偶系
二、力对点之矩矢量 1、空间力矩三个要素：
一、力偶 在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、 方向相反，但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如
第三章 力偶系
B d
F’
F A
M
B
F
rBA
F’ d A
1. 定义：在力学中把这样一对等值、反向而不共线的平行力 称为力偶，用符号 ( F , F′)表示。
两个力作用线之间的垂直距离 d 称为力偶臂， 两个力作用线所决定的平面称为力偶的作用面。
x (F ) y (F )
yFz zFx
zFy xFz
M
z
(F
)
xFy
yFx
力对点之矩在各坐标轴上的投影
MO z
O xr
《工程力学》第三章 平面一般力系
• 运用解析法：在力系所在平面上取坐标系 O -xy(图3-3(a))，应用合力投影定理， 则由(3-2)式得
• 故主矢R′的模为
• 主矢R′的方向从图3-3(b)中可知
图3-3
• 2.对点O的主矩 • 从图3-3(b)中可知，MO应是该平面一般力偶
系m1，m2，…，mn的合力偶矩。由平面力偶 系的合成定理可知，
• 由于Fd也等于力F对B点的矩，mB(F)=Fd，于 是得
• §3-2 平面一般力系向一点的简化 • 一、平面一般力系向一点的简化 • 在力系的作用平面内，被任选的一点O称为简
化中心。将力系中诸力平移至简化中心，同时 附加一个力偶系的过程，称为力系向给定点的 简化。
图3-2
•经 简 化 后 的 平 面 共 点 力 系 合成为一个合力R′，该合力作用点在简化 中心上；把简化后的附加力偶系m1， m2，…，mn合成得一力偶MO(图32(c))。自然，依据力的平移定理，可将 力R′和MO合成为一个力R(图3-2(d))， 这个力R就是原力系F1，F2，…，Fn的合 力。
• 二、截面法求桁架内力
• 截面法一般采用如下步骤：
• (1)先求出桁架支承约束反力。
• (2)如需求某杆的内力，可通过该杆作一 假想截面，将桁架截为两段(只截杆件， 不能截在节点上)。注意被截杆件一般不 能多于三根。任选半边桁架考虑平衡，在 杆件被截处，画出杆件内力，其指向假定 沿杆件而背离杆件被截处。
图3-5
• 二、平面一般力系向一点简化结果分析
• 1.平面一般力系向一点的简化结果
• 平面一般力系向简化中心简化，其结果可能出现 四种情况：
• (1)R′=0，MO=0
• 主矢和主矩均等于零。它表明简化后的平面汇交 力
• 故主矢R′的模为
• 主矢R′的方向从图3-3(b)中可知
图3-3
• 2.对点O的主矩 • 从图3-3(b)中可知，MO应是该平面一般力偶
系m1，m2，…，mn的合力偶矩。由平面力偶 系的合成定理可知，
• 由于Fd也等于力F对B点的矩，mB(F)=Fd，于 是得
• §3-2 平面一般力系向一点的简化 • 一、平面一般力系向一点的简化 • 在力系的作用平面内，被任选的一点O称为简
化中心。将力系中诸力平移至简化中心，同时 附加一个力偶系的过程，称为力系向给定点的 简化。
图3-2
•经 简 化 后 的 平 面 共 点 力 系 合成为一个合力R′，该合力作用点在简化 中心上；把简化后的附加力偶系m1， m2，…，mn合成得一力偶MO(图32(c))。自然，依据力的平移定理，可将 力R′和MO合成为一个力R(图3-2(d))， 这个力R就是原力系F1，F2，…，Fn的合 力。
• 二、截面法求桁架内力
• 截面法一般采用如下步骤：
• (1)先求出桁架支承约束反力。
• (2)如需求某杆的内力，可通过该杆作一 假想截面，将桁架截为两段(只截杆件， 不能截在节点上)。注意被截杆件一般不 能多于三根。任选半边桁架考虑平衡，在 杆件被截处，画出杆件内力，其指向假定 沿杆件而背离杆件被截处。
图3-5
• 二、平面一般力系向一点简化结果分析
• 1.平面一般力系向一点的简化结果
• 平面一般力系向简化中心简化，其结果可能出现 四种情况：
• (1)R′=0，MO=0
• 主矢和主矩均等于零。它表明简化后的平面汇交 力
工程力学(第三章)
MR
y
MR Mz cos MR
§3-6
力偶系的平衡条件
M 0
平衡： 力偶系平衡的充要条件是 其合力偶矩矢为零。
即：力偶系平衡
一、平面力偶系的平衡条件
M R M（代数和） i
M 0
平面力偶系的平衡方程
§3-6
力偶系的平衡条件
M 0
平衡： 力偶系平衡的充要条件是 其合力偶矩矢为零。
力对点之矩矢
作用： 用来度量力使物体绕某点转动效应的量。
（代数量） 一、平面中力对点之矩（力矩）
F
O
h
定义：M O
F Fh
正负号规定： 力使物体绕矩心逆转为正，顺转为负。
作用： 用来度量力使物体绕某点转动效应的量。 1、平面问题
（代数量） 力矩作用面
矩心 O h
力臂
定义： M O F Fh
A
O x
y
Fx
z
y
Fy
x
A x, y, z ,
F Fx , Fy , Fz
（一）、力对点的矩
1、平面问题
MO
F Fh
MO F
O
h
z
F
F
2、空间问题
MO F r F
x
（二）、力对轴的矩
空间： 力偶对空间任一点的矩矢恒等于力偶矩矢， 而与矩心位置无关。
性质二 力偶可在其作用面内任意移转，或移到另
一平行平面，而不改变对刚体的作用效应。
= =
F
F
F
F
《工程力学：第三章-力系的平衡条件和平衡方程》解析
工程力学 1. 选择研究对象。以吊车大梁 AB为研究对象，进行受力分析 （如图所示） 2.建立平衡方程
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
FAX FTB cos 0 Fy 0
F
x
0
： （1）
M
FAy FQ FP FTB sin 0
A
(F ) 0
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
§3.3 考虑摩擦时的平衡问题
3.3.1 滑动摩擦定律
概念：
静摩擦力：F 最大静摩擦力：Fmax 滑动摩擦力： Fd
静摩擦因数：
水平拉力： Fp
Fmax f s FN
fs
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
3.3.2 考虑摩擦时构件的平衡问题
考虑摩擦力时与不考虑摩擦力时的平衡 解题方法和过程基本相同， 但是要注意摩擦力的方向与运动趋势方向相反；且在滑动之前摩擦 力不是一个定值，而是在一定范围内取值。
l l sin 0
（3）
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
• 联立方程（1）（2）（3）得：
FAX
FQ FP 3 l x 2
（2）由FTB结果可以看出，当x=L时，即当电动机移动到大梁右 端B点时，钢索所受的拉力最大，最大值为
非静定问题：未知数的数目多于等于独立的平衡方程的数目，不能 解出所有未知量。相应的结构为非静定结构或超静定结构。
会判断静定问题和非静定问题
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
3.2.2 刚体系统平衡问题的特点与解法
1.整体平衡与局部平衡的概念 系统如果整体是平衡的，则组成系统的每一个局部以及每一个 2.研究对象有多种选择 刚体也必然是平衡的。
工程力学第三章力矩与平面力偶系
位置无关，因此力偶对刚体的效
应用力偶 矩度量。
F
A B
d
F'
x
O
mO ( F ) mO ( F ') F ( x d ) F 'x F d
4.力偶的表示方法
用力和力偶臂表示，或用带箭头的弧线表示，箭头表示 力偶的转向，M表示力偶的大小。
第三章力矩与平面力偶系
湖南工业大学土木工程学院
y
Fx
x
则
r cos x, r sin y
mo ( F ) xFy yFx
湖南工业大学土木工程学院
( )
a
第三章力矩与平面力偶系
§3-1力矩的概念和计算
mo (F ) xFy yFx
若作用在
( )
a
y
Fy
F
F2 、 A 点上的是一个汇交力系（ F1 、 则可将每个力对 o 点之矩相加，有 Fn ）， o
r
d
，
x
A
y
Fx
m (F ) x F
o
y
y Fx
(b)
x
由式（ a ），该汇交力系的合力 R 它对矩心的矩
F
m0 (R) xRy yRx x Fy y Fx ( c )
比较（ b ）、（ c ）两式有
mo (R) M o (F )
第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院
l
A
o
第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院
d
F
力矩计算
简支刚架如图所示，荷载F=15kN，α=45 ,尺寸如图。试分别计 算F对A、B两点之矩。
工程力学：第三章 空间问题的受力分析
。CDB平面与水平
面间的夹角
，物重
。如起重杆的重量不计，试求
起重杆所受的压力和绳子的拉力。
解：取起重杆AB与 重物为研究对象。
取坐标轴如图所示。 由已知条件知：
列平衡方程 解得
§3-3 力对轴的矩 力F对z轴的矩就是分力Fxy 对点O的矩， 即
力对轴的矩是力使刚体绕该 轴转动效果的度量、是一个 代数量。
空间力偶系平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合力偶矩等 于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零，即
由上式，有 欲使上式成立，必须同时满足
空间力偶系未知量）
空间力偶系平衡的必要和充分条件为：该力偶系中所有各力偶 矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
§3-5 空间任意力系的平衡方程
可将上述条件写成空间任意力系的平衡方程
注：1.与平面力系相同，空间力系的平衡方程也有其它的形式。 2.六个独立的平衡方程，求解六个未知量。 3.可以从空间任意力系的普遍平衡规律中导出特殊情况的 平衡规律，例如空间平行力系、空间汇交力系和平面任意 力系等平衡方程。
例：设物体受一空间平行力系作用。 令z轴与这些力平行，则
绝对值： 该力在垂直于该轴的平面上的投影对于 这个平面与该轴的交点的矩的大小。
正负号： 从z轴正端来看，若力的这个投影使物体绕该轴 按逆时针转向转动，则取正号，反之取负号。
也可按右手螺旋规则来确定其正负号，如图所 示，姆指指向与z轴一致为正，反之为负。
当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零：
(1)当力与轴相交时 (此时h＝0)；
（三个方程，可 求解三个未知量）
空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系中所有各力 在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。
工程力学第3章(力偶系)
工程力学
Engineering Mechanics
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
第三章 力偶系 §3-1 力对点之矩矢
力偶臂d 力偶臂 1=200mm， ，
，力偶臂d ， F2 = F2' = 120N，力偶臂 2=300mm ， F3 = F3' = 80 N，
M 1 = 100 × 0.2 = 20
N.m N.m
M 2 = 120 × 0.3 = 36
M 3 = 80 × 0.18 = 14.4 N.m
M Rx M Ry = ∑ M y = M 1 = 20 N.m
二、力对轴之矩的 解析表达式
M x ( F ) = M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = -zFy + yFz M y ( F ) = M y ( Fz ) + M y ( Fx ) = -xFz + zFx M z ( F ) = M z ( Fx ) + M z ( Fy ) = -yFx + xFy
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
合力偶矩矢的大小 M R = ( ∑ M x ) 2 + ( ∑ M y )2 + ( ∑ M z )2 合力偶矩矢的方向
R
∑M cos( M ，i ) =
cos( M R，j ) = MR
Engineering Mechanics
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
第三章 力偶系 §3-1 力对点之矩矢
力偶臂d 力偶臂 1=200mm， ，
，力偶臂d ， F2 = F2' = 120N，力偶臂 2=300mm ， F3 = F3' = 80 N，
M 1 = 100 × 0.2 = 20
N.m N.m
M 2 = 120 × 0.3 = 36
M 3 = 80 × 0.18 = 14.4 N.m
M Rx M Ry = ∑ M y = M 1 = 20 N.m
二、力对轴之矩的 解析表达式
M x ( F ) = M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = -zFy + yFz M y ( F ) = M y ( Fz ) + M y ( Fx ) = -xFz + zFx M z ( F ) = M z ( Fx ) + M z ( Fy ) = -yFx + xFy
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
合力偶矩矢的大小 M R = ( ∑ M x ) 2 + ( ∑ M y )2 + ( ∑ M z )2 合力偶矩矢的方向
R
∑M cos( M ，i ) =
cos( M R，j ) = MR
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MB' ( F ) = 0 : FCx´l+M = 0
FCx´= FBx´= -FP
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工程力学-第三章
平面力系的平衡条件与平衡方程
最后的受力图
l
l
FP
A
l
C
B
D FP A
B
D
M=FP l
FP B'
FP
M=FP l
C
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工程力学-第三章
平面力系的平衡条件与平衡方 程
关于平衡对象的选择
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工程力学-第三章
第3章 力系的平衡条件与平衡方程
简单的刚体系统平衡问题
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工程力学-第三章
简单的刚体系统平衡问题
实际工程结构大都由两个或两个以上构件通过一定约束 方式连接起来的系统，因为在工程静力学中构件的模型都是 刚 体 ， 所 以 ， 这 种 系 统 称 为 刚 体 系 统 (system of rigidity bodies)。
过A、B点的一个合力FR。同
样如果第二、三式也同时被满 足，则这一合力也必须通过B、 C两点。
但是由于A、B、C三点不 共线，所以力系也不可能简化 为一合力。因此，满足上述方 程的平面力系只可能是一平衡 力系。
工程力学-第三章
平面力系的平衡条件与平衡方程
例题5
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A
l
C
l
l
B
D
M=FP l
平面力系的平衡条件与平衡方程
于是，平面力系平衡
方程的一般形式为：
O
y
z
Fx = 0,
Fy = 0,
MO= 0
其中矩心O为力系作用面 内的任意点。 通常将上述平衡方程中的第1、2两式称为力的平衡 方程；第3式称为力矩平衡方程。 上述平衡方程表明，平面力系平衡的必要与充分条
件是：力系中所有的力在直角坐标系Oxy的各坐标轴上
C
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工程力学-第三章
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平面力系的平衡条件与平衡方程
建立平衡方程求解未知量
FAy
FAx A
l
B
ld
FBC
C
l FP MB ( F ) = 0 :
D FAy l - FP l = 0 FAy= - FP
工程力学-第三章
平面力系的平衡条件与平衡方程
建立平衡方程求解未知量
代替，但所选的投影轴与取矩点之间
应满足一定的条件。于是，可以得到
平面力系平衡方程的其他形式。
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工程力学-第三章
平面力系的平衡条件与平衡方程
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Fx = 0 , MA = 0 , MB = 0 。
B
FR
A
x
A、B 连线
不垂直于x 轴
这是因为，当上述3个方程中 的第二式和第三式同时满足时，力 系不可能简化为一力偶，只可能简 化为通过AB两点的一合力或者是平 衡力系。
但是，当第一式同时成立时， 而且AB与x轴不垂直，力系便不可 能简化为一合力FR，否则，力系中 所有的力在x轴上投影的代数和不可 能等于零。因此原力系必然为平衡 力系。
工程力学-第三章
平面力系的平衡条件与平衡方
程
例题3
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l
l FP
A
B
l
C
图示结构 ，若 F P 和 l 已知，确定A、B、C
FAy
FAx A
l
B
ld
FBC
C
l FP Fx = 0 :
D FAx+FBCcos = 0
FAx=-2FP
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工程力学-第三章
平面力系的平衡条件与平衡方程 例题4
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l
l
A
l
C
B
D
M=FP l
图示结构 ，若 F P 和 l 已知，确定A、B、C
三处约束力
工程力学-第三章
平面力系的平衡条件与平衡方程
的投影的代数和以及所有的力对任意点之矩的代数和同
时等于零。
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工程力学-第三章
平面力系的平衡条件与平衡方程
例题1
悬臂式吊车结构中AB为吊 车 大 梁 ， BC 为 钢 索 ， A 处 为 固 定铰链支座，B处为铰链约束。 已知起重电动机E与重物的总重 力为FP(因为两滑轮之间的距离 很小，FP可视为集中力作用在 大梁上)，梁的重力为FQ。已知 角度θ=30º。
对于平面力系，根据第2章中所得到 的主矢和主矩的表达式，力系的平衡条 件可以写成
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FR—主矢； MO —对任意点的主矩
工程力学-第三章
平面力系的平衡条件与平衡方 程
对于作用在刚体或刚体系统上的 任意力系，平衡条件的投影形式为
z F2
M2 F1
M1
O
y
Mn
x
Fn
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工程力学-第三章
第三章 力系的平衡条件与平衡方程
“平衡”不仅是本章的重要概念。 对于一个系统，如果整体是平衡的，则 组成这一系统的每一个构件也平衡的。 对于单个构件，如果是平衡的，则构件 的每一个局部也是平衡的。这就是整体 平衡与局部平衡的概念。
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工程力学-第三章
第三章 力系的平衡条件与平衡方程
FBx= -FAx
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工程力学-第三章
平面力系的平衡条件与平衡方程
考察BC杆 的平衡
FBx´ B'
FCy´ FCx´ C
FBy´
M=FP l
Fx = 0 : FBx´- FCx´=0 FCx´= FBx´= FBx
Fy = 0 : FBy´- FCy´=0 FCy´= FBy´ =FBy=0
Байду номын сангаас
MA ( F ) = 0 :
FA A
l
l
l FP
FCx l -FP 2l = 0
B
D
MC ( F ) = 0 : -FA l - FP 2l = 0
C FCx
FCy
E
ME ( F ) = 0 : -FCy 2l -FA l = 0
FCx= 2FP , FCy= FP , FA= -2FP
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工程力学-第三章
平面力系的平衡条件与平衡方 程
因此，力系平衡的必要与充分条件是力 系的主矢和对任意一点的主矩同时等于零。 这一条件简称为平衡条件。
满足平衡条件的力系称为平衡力系。 本章主要介绍构件在平面力系作用下的 平衡问题。
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工程力学-第三章
平面力系的平衡条件与平衡方 程
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平面力系的平衡条件与平衡方程
例题6
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l
l FP
A
l
C
B
D
图示结构 ，若 F P 和 l 已知，确定A、
C二处约束力
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平面力系的平衡条件与平衡方程
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l
FA
l FP
A
l
B
D
C
FCx FCy
工程力学-第三章
平面力系的平衡条件与平衡方程
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2020/11/12
工程力学-第三章
第三章 力系的平衡条件与平衡方程
受力分析的最终的任务是确定作用在构 件上的所有未知力，作为对工程构件进行强 度设计、刚度设计与稳定性设计的基础。
本章将在平面力系简化的基础上，建立 平衡力系的平衡条件和平衡方程。并应用平 衡条件和平衡方程求解单个构件以及由几个 构件所组成的系统的平衡问题，确定作用在 构件上的全部未知力。
图示结构 ，若 F P 和 l 已知，确定A、
C二处约束力
工程力学-第三章
平面力系的平衡条件与平衡方程
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FA A
l
FC C
l
l
B
D
M=FP l
工程力学-第三章
平面力系的平衡条件与平衡方程
FA A
l
FC C
l
l
B
D
M=FP l
MC(F) = 0 : FA×l +M=0 FA= FC = FP
平面力系的平衡条件与平衡方 程
解： 2．建立平衡方程：
因 为 A 点 是 力 FAx 和 FAy 的汇交点，故先以A点为
矩心，建立力矩平衡方程，
由此求出一个未知力FTB 。
然后，再应用力的平衡方
程投影形式求出约束力FAx 和FAy 。
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工程力学-第三章
平面力系的平衡条件与平衡方 程
解： 2．建立平衡方程
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工程力学-第三章
平面力系的平衡条件与平衡方程
解： 3．讨论 由结果可以看出，当x＝l，即电动机
移动到吊车大梁右端B点处时，钢索所受 拉力最大。钢索拉力最大值为
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工程力学-第三章
平面力系的平衡条件与平衡方程
例题2
A端固定的悬臂梁AB受力如图示。梁的全 长上作用有集度为q的均布载荷；自由端B处承
受一集中力和一力偶M的作用。已知FP＝ql，
M=ql2；l为梁的长度。试求固定端处的约束力。
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工程力学-第三章
平面力系的平衡条件与平衡方程
ql
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解： 1．研究对象、隔离体与受力图 本例中只有梁一个构件，以梁AB为研究对象，解
FCx´= FBx´= -FP
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工程力学-第三章
平面力系的平衡条件与平衡方程
最后的受力图
l
l
FP
A
l
C
B
D FP A
B
D
M=FP l
FP B'
FP
M=FP l
C
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平面力系的平衡条件与平衡方 程
关于平衡对象的选择
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第3章 力系的平衡条件与平衡方程
简单的刚体系统平衡问题
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工程力学-第三章
简单的刚体系统平衡问题
实际工程结构大都由两个或两个以上构件通过一定约束 方式连接起来的系统，因为在工程静力学中构件的模型都是 刚 体 ， 所 以 ， 这 种 系 统 称 为 刚 体 系 统 (system of rigidity bodies)。
过A、B点的一个合力FR。同
样如果第二、三式也同时被满 足，则这一合力也必须通过B、 C两点。
但是由于A、B、C三点不 共线，所以力系也不可能简化 为一合力。因此，满足上述方 程的平面力系只可能是一平衡 力系。
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平面力系的平衡条件与平衡方程
例题5
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A
l
C
l
l
B
D
M=FP l
平面力系的平衡条件与平衡方程
于是，平面力系平衡
方程的一般形式为：
O
y
z
Fx = 0,
Fy = 0,
MO= 0
其中矩心O为力系作用面 内的任意点。 通常将上述平衡方程中的第1、2两式称为力的平衡 方程；第3式称为力矩平衡方程。 上述平衡方程表明，平面力系平衡的必要与充分条
件是：力系中所有的力在直角坐标系Oxy的各坐标轴上
C
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平面力系的平衡条件与平衡方程
建立平衡方程求解未知量
FAy
FAx A
l
B
ld
FBC
C
l FP MB ( F ) = 0 :
D FAy l - FP l = 0 FAy= - FP
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平面力系的平衡条件与平衡方程
建立平衡方程求解未知量
代替，但所选的投影轴与取矩点之间
应满足一定的条件。于是，可以得到
平面力系平衡方程的其他形式。
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平面力系的平衡条件与平衡方程
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Fx = 0 , MA = 0 , MB = 0 。
B
FR
A
x
A、B 连线
不垂直于x 轴
这是因为，当上述3个方程中 的第二式和第三式同时满足时，力 系不可能简化为一力偶，只可能简 化为通过AB两点的一合力或者是平 衡力系。
但是，当第一式同时成立时， 而且AB与x轴不垂直，力系便不可 能简化为一合力FR，否则，力系中 所有的力在x轴上投影的代数和不可 能等于零。因此原力系必然为平衡 力系。
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平面力系的平衡条件与平衡方
程
例题3
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l
l FP
A
B
l
C
图示结构 ，若 F P 和 l 已知，确定A、B、C
FAy
FAx A
l
B
ld
FBC
C
l FP Fx = 0 :
D FAx+FBCcos = 0
FAx=-2FP
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平面力系的平衡条件与平衡方程 例题4
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l
l
A
l
C
B
D
M=FP l
图示结构 ，若 F P 和 l 已知，确定A、B、C
三处约束力
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平面力系的平衡条件与平衡方程
的投影的代数和以及所有的力对任意点之矩的代数和同
时等于零。
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平面力系的平衡条件与平衡方程
例题1
悬臂式吊车结构中AB为吊 车 大 梁 ， BC 为 钢 索 ， A 处 为 固 定铰链支座，B处为铰链约束。 已知起重电动机E与重物的总重 力为FP(因为两滑轮之间的距离 很小，FP可视为集中力作用在 大梁上)，梁的重力为FQ。已知 角度θ=30º。
对于平面力系，根据第2章中所得到 的主矢和主矩的表达式，力系的平衡条 件可以写成
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FR—主矢； MO —对任意点的主矩
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平面力系的平衡条件与平衡方 程
对于作用在刚体或刚体系统上的 任意力系，平衡条件的投影形式为
z F2
M2 F1
M1
O
y
Mn
x
Fn
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第三章 力系的平衡条件与平衡方程
“平衡”不仅是本章的重要概念。 对于一个系统，如果整体是平衡的，则 组成这一系统的每一个构件也平衡的。 对于单个构件，如果是平衡的，则构件 的每一个局部也是平衡的。这就是整体 平衡与局部平衡的概念。
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第三章 力系的平衡条件与平衡方程
FBx= -FAx
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平面力系的平衡条件与平衡方程
考察BC杆 的平衡
FBx´ B'
FCy´ FCx´ C
FBy´
M=FP l
Fx = 0 : FBx´- FCx´=0 FCx´= FBx´= FBx
Fy = 0 : FBy´- FCy´=0 FCy´= FBy´ =FBy=0
Байду номын сангаас
MA ( F ) = 0 :
FA A
l
l
l FP
FCx l -FP 2l = 0
B
D
MC ( F ) = 0 : -FA l - FP 2l = 0
C FCx
FCy
E
ME ( F ) = 0 : -FCy 2l -FA l = 0
FCx= 2FP , FCy= FP , FA= -2FP
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平面力系的平衡条件与平衡方 程
因此，力系平衡的必要与充分条件是力 系的主矢和对任意一点的主矩同时等于零。 这一条件简称为平衡条件。
满足平衡条件的力系称为平衡力系。 本章主要介绍构件在平面力系作用下的 平衡问题。
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平面力系的平衡条件与平衡方 程
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平面力系的平衡条件与平衡方程
例题6
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l
l FP
A
l
C
B
D
图示结构 ，若 F P 和 l 已知，确定A、
C二处约束力
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平面力系的平衡条件与平衡方程
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l
FA
l FP
A
l
B
D
C
FCx FCy
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平面力系的平衡条件与平衡方程
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2020/11/12
工程力学-第三章
第三章 力系的平衡条件与平衡方程
受力分析的最终的任务是确定作用在构 件上的所有未知力，作为对工程构件进行强 度设计、刚度设计与稳定性设计的基础。
本章将在平面力系简化的基础上，建立 平衡力系的平衡条件和平衡方程。并应用平 衡条件和平衡方程求解单个构件以及由几个 构件所组成的系统的平衡问题，确定作用在 构件上的全部未知力。
图示结构 ，若 F P 和 l 已知，确定A、
C二处约束力
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平面力系的平衡条件与平衡方程
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FA A
l
FC C
l
l
B
D
M=FP l
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平面力系的平衡条件与平衡方程
FA A
l
FC C
l
l
B
D
M=FP l
MC(F) = 0 : FA×l +M=0 FA= FC = FP
平面力系的平衡条件与平衡方 程
解： 2．建立平衡方程：
因 为 A 点 是 力 FAx 和 FAy 的汇交点，故先以A点为
矩心，建立力矩平衡方程，
由此求出一个未知力FTB 。
然后，再应用力的平衡方
程投影形式求出约束力FAx 和FAy 。
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平面力系的平衡条件与平衡方 程
解： 2．建立平衡方程
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平面力系的平衡条件与平衡方程
解： 3．讨论 由结果可以看出，当x＝l，即电动机
移动到吊车大梁右端B点处时，钢索所受 拉力最大。钢索拉力最大值为
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平面力系的平衡条件与平衡方程
例题2
A端固定的悬臂梁AB受力如图示。梁的全 长上作用有集度为q的均布载荷；自由端B处承
受一集中力和一力偶M的作用。已知FP＝ql，
M=ql2；l为梁的长度。试求固定端处的约束力。
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平面力系的平衡条件与平衡方程
ql
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解： 1．研究对象、隔离体与受力图 本例中只有梁一个构件，以梁AB为研究对象，解