《概率统计》练习题及参考答案

习题一 （A ）1.写出下列随机试验的样本空间： （1）一枚硬币连抛三次；（2）两枚骰子的点数和；（3）100粒种子的出苗数；（4）一只灯泡的寿命。

2. 记三事件为C B A ,,。

试表示下列事件：（1）C B A ,,都发生或都不发生；（2）C B A ,,中不多于一个发生；（3）C B A ,,中只有一个发生；（4）C B A ,,中至少有一个发生； （5）C B A ,,中不多于两个发生；（6）C B A ,,中恰有两个发生；（7）C B A ,,中至少有两个发生。

3.指出下列事件A 与B 之间的关系：（1）检查两件产品，事件A =“至少有一件合格品”，B =“两件都是合格品”； （2）设T 表示某电子管的寿命，事件A ={T >2000h }，B ={T >2500h }。

4.请叙述下列事件的互逆事件：（1）A =“抛掷一枚骰子两次，点数之和大于7”； （2）B =“数学考试中全班至少有3名同学没通过”； （3）C =“射击三次，至少中一次”；（4）D =“加工四个零件，至少有两个合格品”。

5.从一批由47件正品,3件次品组成的产品中,任取一件产品,求取得正品的概率。

6.电话号码由7个数字组成,每个数字可以是9,,1,0 中的任一个,求：（1）电话号码由完全不相同的数字组成的概率；（2）电话号码中不含数字0和2的概率；（3）电话号码中4至少出现两次的概率。

7.从0,1,2,3这四个数字中任取三个进行排列,求“取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数”的概率。

8.从一箱装有40个合格品,10个次品的苹果中任意抽取10个,试求：（1）所抽取的10个苹果中恰有2个次品的概率；（2）所抽取的10个苹果中没有次品的概率。

9.设A ,B 为任意二事件,且知4.0)()(==B p A p ,28.0)(=B A p ,求)(B A p ⋃；)(A B p 。

10.已知41)(=A p ，31)(=AB p ，21)(=B A p ，求)(B A p ⋃。

11.一批产品共有10个正品和4个次品,每次抽取一个,抽取后不放回,任意抽取两次,求第二次抽出的是次品的概率。

12.已知一批玉米种子的出苗率为0.9,现每穴种两粒,问一粒出苗一粒不出苗的概率是多少？13.一批零件共100个,次品率为10%,每次从中任取一个零件,取出的零件不再放回,求第三次才取得正品的概率。

14.10个考签中有4个难签,3人参加抽签（不放回）,甲先、乙次,丙最后。

求: (1)甲抽到难签；（2）甲、乙都抽到难签；（3）甲没抽到难签而乙抽到难签；（4）甲、乙、丙都抽到难签的概率。

15.设A ，B 为两事件，且7.0)(,6.0)(==B p A p ，问（1）在什么条件下)(AB p 取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下)(AB p 取到最小值，最小值是多少？16.设事件A 与B 互不相容，且1)(0<<B p ，试证明)(1)()(B p A p B A p -=。

17.假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处,当任一河流泛滥时,该地区被淹没。

设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1,乙河流泛滥的概率为0.2,当甲河流泛滥时乙河流泛滥的概率为0.3,求（1）该时期内这个地区被淹没的概率？（2）当乙河流泛滥时甲河流泛滥的概率是多少？18.12个乒乓球都是新球,每次比赛时取出3个用完后放回去,求第三次比赛时取到的3个球中有2个是新球的概率。

19.某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求:（1）全厂的次品率；（2）如果抽出的产品是次品，此产品是哪个车间生产的可能性大？20.设一仓库中有12箱同种规格的产品,其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、4箱、3箱,三厂产品的废品率依次为0.1,0.15,0.18,从这12箱产品中任取一箱,再从这箱中任取一件,求取得合格品的概率；若取得合格品,问该产品为哪个厂生产的可能性大？21.设患乙肝的人经过检查,被查出患乙肝的人概率为0.95,而未患乙肝的人经过检查,被误认为有乙肝的概率为0.002；又设全城居民中患有乙肝的概率为0.001。

若从居民中随机抽一人检查,诊断为有乙肝,求这个人确实有乙肝的概率。

22.据统计男性有5%是患色盲的，女性有0.25%的是患色盲的，今从男女人数相等的人群中随机挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？23.两射手彼此独立地向一目标射击,设甲击中的概率为0.8,乙击中的概率为0.7,则目标被击中的概率是多少？24.某射手的命中率为0.95,他独立重复地向目标射击5次,求:（1）恰好命中4次的概率；（2）至少命中3次的概率。

25.事件C B A ,,相互独立，证明C B A ,,也相互独立。

26.高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），设每发炮弹击中敌机的概率均为0.3。

又知若敌机中一弹，其坠落的概率为0.2；若敌机中两弹，其坠落的概率为0.6；若敌机中三弹则必然坠落。

（1）求敌机被击落的概率；（2）若敌机被击落，求它中两弹的概率。

27.袋中有10个乒乓球，其中7个黄的，3 个白的，不放回地依次从袋中随机取一球。

试求第一次和第二次都取到黄球的概率。

（B ）1.已知某家庭有3个小孩,且至少有一个是女孩,求该家庭至少有一个男孩的概率。

2.甲、乙、丙3部机床独立工作，由一个工人照管,某段时间内它们不需要工人照管的概率分别为0.9,0.8及0.85。

求:（1）在这段时间内有机床需要工人照管的概率；（2）机床因无人照管而停工的概率；（3）若3部机床不需要工人照管的概率均为0.8，这段时间内恰有一部机床需要人照管的概率。

3.设b B p a A p ==)(,)(，则bb a B A p 1)(-+≥。

4.若)()(A p B A p ≥，则)()(B p A B p ≥。

5.已知三事件321,,A A A 都满足)3,2,1(=⊂i A A i ，证明：2)()()()(321-++≥A p A p A p A p 。

6.酒店一楼有三部电梯，今有5位客人要乘电梯.假定选择哪部电梯是随机的，求每部电梯内至少有一位旅客的概率。

7.有6匹赛马，编号为1,2,3,4,5,6.比赛时，它们越过终点的顺序是等可能的，记A =1号马跑在前三位，B =2号马跑在第二位，求)(A p ，)(B p 和)(AB p 。

8.设C B A ,,是两两独立且不能同时发生的随机事件，且x C p B p A p ===)()()(，求x 的最大值。

9.带活动门的小盒子中有采自同一巢的20只工蜂和10只雄峰，现随机地放出5只做实验，求其中有3只工蜂的概率。

习题二 （A ）1.下列函数中哪些可以作为某个随机变量的分布函数，并说明理由。

(1))(,21)(22R x e x F x ∈=-π；(2)x x F sin )(=； (3) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=1,11,11)(2x x x x F ；(4) ⎪⎩⎪⎨⎧>=≤=0,10,6.00,0)(x x x x F 。

2.设离散型随机变量X 的分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=1,110,7.001,2.01,0)(x x x x x F求X 的分布列。

3.设离散型随机变量X 的分布列为求：（1）X 的分布函数；（2）}5.0{>X p ；（3）}31{≤≤-X p 。

4.设随机变量X 的概率函数为：n k nak X p ,,1,0,}{ ===，试确定常数a 。

5. 设随机变量X 服从泊松分布，且}2{}1{===X p X p ，求}4{=X p 及}1{>X p 。

6.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号.（1）进行了5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率； （2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率. 7.设随机变量X 的密度函数为（1）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它,021,)11(2)(2x xx f ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤=其它,021,210,)(x x x x x f ， 求X 的分布函数)(x F .8.设随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧≤<+=其它,010,)(x bx a x f ， 且83}21{=≤X p ，试求出 a ，b 。

9.设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧->=-其它,01,)(2x ce x f x ，求:（1）c ；（2）}21{<<X p ；（3）X 的分布函数。

10.设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-,0,0;0,)(x x Ae x f x ，求:（1）A ；（2）}40{≤<X p ；（3）X 的分布函数。

11.在长度为t 的时间间隔内到达某港口的轮船数X 服从参数为3/t 的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）。

某天12至15时至少有一艘轮船到达该港口的概率为多少？12.若随机变量X 在]6,1[上服从均匀分布，试求方程012=++Xx x 有实根的概率。

13.设随机变量),2(~2σN X ，且3.0}42{=<<X p ，求概率}0{<X p 。

14.设)25,4(~N X ，求}80{<<X p 。

15.由某机器生产的螺柱的长度（c m ）服从正态分布)06.0,05.10(2N ，规定长度在范围 10.05±0.12内为合格品，求一螺柱为合格品的概率。

16.某种型号器件的寿命X （以小时计）具有密度函数⎪⎩⎪⎨⎧>=.,0,1000,1000)(2其它x x x f现有大批此种器件（设各器件损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？17.设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0)(2x x ax x x F ，求：（1）系数a ；（2）}7.03.0{<<X p ；（3）密度函数)(x f 。

18.设),(Y X 的联合分布为下表（1）求Y X ,的边缘分布；（2）判别Y X ,是否独立。

19.设二维随机变量),(Y X 只能取数组()()10,0,1,1,1,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭(),2,0的值，且取这些组值的概率依次为111,,,6312512，写出),(Y X 的联合分布列并求出Y X ,的边缘分布。

20.已知随机变量Y X ,的分布列分别为且1}0{==XY p ，求（1）Y X ,的联合分布列；（2）Y X ,是否独立？为什么？21.已知二维随机变量),(Y X 的联合联合分布列为问当βα,为何值时，Y X ,相互独立？22.设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧>>=+-其它,00,0,),()(2y x ce y x f y x ，试求常数c ，并判别Y X ,是否独立。