《概率统计》练习题及参考答案
习题一
（A ）
1.写出下列随机试验的样本空间：
（1）一枚硬币连抛三次；（2）两枚骰子的点数和；（3）100粒种子的出苗数；（4）一只灯泡的寿命。
2. 记三事件为C B A ,,。试表示下列事件：
（1）C B A ,,都发生或都不发生；（2）C B A ,,中不多于一个发生；（3）C B A ,,中只有一个发生；（4）C B A ,,中至少有一个发生； （5）C B A ,,中不多于两个发生；（6）C B A ,,中恰有两个发生；（7）C B A ,,中至少有两个发生。
3.指出下列事件A 与B 之间的关系：
（1）检查两件产品，事件A =“至少有一件合格品”，B =“两件都是合格品”；
（2）设T 表示某电子管的寿命，事件A ={T >2000h }，B ={T >2500h }。
4.请叙述下列事件的互逆事件：
（1）A =“抛掷一枚骰子两次，点数之和大于7”；
（2）B =“数学考试中全班至少有3名同学没通过”；
（3）C =“射击三次，至少中一次”；
（4）D =“加工四个零件，至少有两个合格品”。
5.从一批由47件正品,3件次品组成的产品中,任取一件产品,求取得正品的概率。
6.电话号码由7个数字组成,每个数字可以是9,,1,0 中的任一个,求：（1）电话号码由完全不相同的数字组成的概率；（2）电话号码中不含数字0和2的概率；（3）电话号码中4至少出现两次的概率。
7.从0,1,2,3这四个数字中任取三个进行排列,求“取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数”的概率。
8.从一箱装有40个合格品,10个次品的苹果中任意抽取10个,试求：（1）所抽取的10个苹果中恰有2个次品的概率；（2）所抽取的10个苹果中没有次品的概率。
9.设A ,B 为任意二事件,且知4.0)()(==B p A p ,28.0)(=B A p ,求)(B A p ?；)(A B p 。
10.已知41)(=A p ，31)(=A B p ，2
1)(=B A p ，求)(B A p ?。 11.一批产品共有10个正品和4个次品,每次抽取一个,抽取后不放回,任意抽取两次,求第二次抽出的是次品的概率。
12.已知一批玉米种子的出苗率为0.9,现每穴种两粒,问一粒出苗一粒不出苗的概率是多少？
13.一批零件共100个,次品率为10%,每次从中任取一个零件,取出的零件不再放回,求第三次才取得正品的概率。
14.10个考签中有4个难签,3人参加抽签（不放回）,甲先、乙次,丙最后。求:
(1)甲抽到难签；（2）甲、乙都抽到难签；（3）甲没抽到难签而乙抽到难签；（4）甲、乙、丙都抽到难签的概率。
15.设A ，B 为两事件，且7.0)(,6.0)(==B p A p ，问（1）在什么条件下)(AB p 取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下)(AB p 取到最小值，最小值是多少？
16.设事件A 与B 互不相容，且1)(0<
(1)()(B p A p B A p -= 。 17.假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处,当任一河流泛滥时,该地区被淹没。设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1,乙河流泛滥的概率为0.2,当甲河流泛滥时乙河流泛滥的概率为0.3,求（1）该时期内这个地区被淹没的概率？（2）当乙河流泛滥时甲河流泛滥的概率是多少？
18.12个乒乓球都是新球,每次比赛时取出3个用完后放回去,求第三次比赛时取到的3个球中有2个是新球的概率。
19.某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求:（1）全厂的次品率；（2）如果抽出的产品是次品，此产品是哪个车间生产的可能性大？
20.设一仓库中有12箱同种规格的产品,其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、4箱、3箱,三厂产品的废品率依次为0.1,0.15,0.18,从这12箱产品中任取一箱,再从这箱中任取一件,求取得合格品的概率；若取得合格品,问该产品为哪个厂生产的可能性大？
21.设患乙肝的人经过检查,被查出患乙肝的人概率为0.95,而未患乙肝的人经过检查,被误认为有乙肝的概率为0.002；又设全城居民中患有乙肝的概率为0.001。若从居民中随机抽一人检查,诊断为有乙肝,求这个人确实有乙肝的概率。
22.据统计男性有5%是患色盲的，女性有0.25%的是患色盲的，今从男女人数相等的人群中随机挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
23.两射手彼此独立地向一目标射击,设甲击中的概率为0.8,乙击中的概率为0.7,则目标被击中的概率是多少？
24.某射手的命中率为0.95,他独立重复地向目标射击5次,求:（1）恰好命中4次的概率；（2）至少命中3次的概率。
25.事件C B A ,,相互独立，证明C B A ,,也相互独立。
26.高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），设每发炮弹击中敌机的概率均为0.3。又知若敌机中一弹，其坠落的概率为0.2；若敌机中两弹，其坠落的概率为0.6；若敌机中三弹则必然坠落。（1）求敌机被击落的概率；（2）若敌机被击落，求它中两弹的概率。
27.袋中有10个乒乓球，其中7个黄的，3 个白的，不放回地依次从袋中随机取一球。试求第一次和第二次都取到黄球的概率。
（B ）
1.已知某家庭有3个小孩,且至少有一个是女孩,求该家庭至少有一个男孩的概率。
2.甲、乙、丙3部机床独立工作，由一个工人照管,某段时间内它们不需要工人照管的概
率分别为0.9,0.8及0.85。求:（1）在这段时间内有机床需要工人照管的概率；（2）机床因无人照管而停工的概率；（3）若3部机床不需要工人照管的概率均为0.8，这段时间内恰有一部机床需要人照管的概率。
3.设b B p a A p ==)(,)(，则b
b a B A p 1)(-+≥。 4.若)()(A p B A p ≥，则)()(B p A B p ≥。
5.已知三事件321,,A A A 都满足)3,2,1(=?i A A i ，证明：
2)()()()(321-++≥A p A p A p A p 。
6.酒店一楼有三部电梯，今有5位客人要乘电梯.假定选择哪部电梯是随机的，求每部电梯内至少有一位旅客的概率。
7.有6匹赛马，编号为1,2,3,4,5,6.比赛时，它们越过终点的顺序是等可能的，记A =1号马跑在前三位，B =2号马跑在第二位，求)(A p ，)(B p 和)(AB p 。
8.设C B A ,,是两两独立且不能同时发生的随机事件，且x C p B p A p ===)()()(，求x 的最大值。
9.带活动门的小盒子中有采自同一巢的20只工蜂和10只雄峰，现随机地放出5只做实验，求其中有3只工蜂的概率。
习题二
（A ）
1.下列函数中哪些可以作为某个随机变量的分布函数，并说明理由。
(1))(,21)(22R x e x F x
∈=-π
；(2)x x F sin )(=； (3) ?????≥<+=1,11,11)(2x x x x F ；(4) ??
???>=≤=0,10,6.00,0)(x x x x F 。
2.设离散型随机变量X 的分布函数
???????≥<≤<≤--<=1,
110,7.001,2.01,0)(x x x x x F 求X 的分布列。
3.设离散型随机变量X 的分布列为
求：（1）X 的分布函数；（2）}5.0{>X p ；（3）}31{≤≤-X p 。
4.设随机变量X 的概率函数为：n k n
a k X p ,,1,0,}{ ===，试确定常数a 。 5. 设随机变量X 服从泊松分布，且}2{}1{===X p X p ，求}4{=X p 及}1{>X p 。
6.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号.
（1）进行了5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；
（2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率.
7.设随机变量X 的密度函数为
（1）?????≤≤-=其它,021,)11(2)(2x x x f ；（2）??
???≤≤-≤≤=其它,021,210,)(x x x x x f ， 求X 的分布函数)(x F .
8.设随机变量X 的密度函数
?
??≤<+=其它,010,)(x bx a x f ， 且8
3}2
1{=≤X p ，试求出 a ，b 。 9.设随机变量X 的密度函数为 ?
??->=-其它,01,)(2x ce x f x ， 求:（1）c ；（2）}21{< 10.设随机变量X 的概率密度为 ???<≥=-,0,0;0,)(x x Ae x f x ， 求:（1）A ；（2）}40{≤ 11.在长度为t 的时间间隔内到达某港口的轮船数X 服从参数为3/t 的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）。某天12至15时至少有一艘轮船到达该港口的概率为多少？ 12.若随机变量X 在]6,1[上服从均匀分布，试求方程012=++Xx x 有实根的概率。 13.设随机变量),2(~2σN X ，且3.0}42{=< 14.设)25,4(~N X ，求}80{< 15.由某机器生产的螺柱的长度（c m ）服从正态分布)06.0,05.10(2 N ，规定长度在范围 10.05±0.12内为合格品，求一螺柱为合格品的概率。 16.某种型号器件的寿命X （以小时计）具有密度函数 ?????>=., 0,1000,1000)(2其它x x x f 现有大批此种器件（设各器件损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？ 17.设连续型随机变量X 的分布函数为?? ???≥<≤<=1,110,0,0)(2x x ax x x F ，求：（1）系数a ；（2） }7.03.0{< （3）密度函数)(x f 。 18.设),(Y X 的联合分布为下表 （1）求Y X ,的边缘分布；（2）判别Y X ,是否独立。 19.设二维随机变量),(Y X 只能取数组()()10,0,1,1,1,3? ?-- ??? (),2,0的值，且取这些组值的概率依次为111,,,6312512 ，写出),(Y X 的联合分布列并求出Y X ,的边缘分布。 20.已知随机变量Y X ,的分布列分别为 且1}0{==XY p ，求（1）Y X ,的联合分布列；（2）Y X ,是否独立？为什么？ 21.已知二维随机变量),(Y X 的联合联合分布列为 问当βα,为何值时，Y X ,相互独立？ 22.设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为???>>=+-其它, 00,0,),()(2y x ce y x f y x ，试求常数c ，并判别Y X ,是否独立。 23.设),(Y X 的联合密度函数为? ??>>=+-其它,00,0,),()(y x e y x f y x ， （1）试求联合分布函数),(y x F ；（2）求概率}),{(G y x p ∈，其中区域G 由x 轴，y 轴以及直线1=+y x 所围成。 24.设),(Y X 的联合密度函数为? ??<<<-=其它,010,)1(),(x y x k y x f ，求常数k 及边缘概率密度，并讨论随机变量X 与Y 的相互独立性。 25. 已知随机变量X 的分布列如下： 求12+=X Y ，12 -=X Z 的分布。 26.设),(Y X 的联合概率分布如下表所示， 求Y X Z +=1，XY Z =2的 27.设随机变量X 的密度函数为???<≥=-0 ,00,)(x x e x f x ，求2X Y =的概率密度。 28.设随机变量X 的密度函数为?? ?<<=其它,010,2)(x x x f ，求X Y 2=；1+-=X Z 的密度函数。 29.设二维随机变量),(Y X 在矩形}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x G 上服从均匀分布， 试求边长分别为X 和Y 的矩形面积Z 的分布函数与密度函数。 30.设X 与Y 分别服从参数为 21与3 1的指数分布，并且二者相 互独立，求Y X Z +=的密度函数。 31.设),(Y X 的联合密度函数为 ?? ?≤≤≤≤=其它, 00,10,3),(x y x x y x f 求Y X Z -=的分布函数与密度函数。 （B ） 1.设随机变量X 与Y 相互独立，且)(~),(~21λλp Y p X ，在已知n Y X =+的条件下，求X 的条件分布。 2.设二维连续型随机变量),(Y X 的联合密度函数为 ?????≤≤=其它, 01,421),(22y x y x y x f ， 求条件概率)(x y f ，并求}5.075.0{=≥X Y p 。 3.某商场经统计发现顾客对某商品的日需求量40),(~2=μσμN X ，且日平均需求量 40=μ（件） ，销售在30~50（件）之间的概率为0.5.若进货不足每件损失利润70元，进货过量每件损失100元，求日最优进货量。 4. 设二维随机变量),(Y X 服从}20,10),{(≤≤≤≤=y x y x G 上的均匀分布。求（1）}3{Y X p ≥；（2）},min{Y X Z =的密度函数。 5.设随机变量X 与Y 相互独立，试在以下情况下求Y X Z +=的密度函数： （1）)1,0(~U X ，)1,0(~U Y ；（2）)1,0(~U X ，)1(~e Y . 6.设随机变量X 与Y 独立同分布于标准正态分布，试求22Y X Z +=的分布。 7.设随机变量X 与Y 相互独立同分布，X 的密度函数为)(x f ，并且},max{Y X Z =， },min{Y X W =，求W Z ,的密度函数。 8.有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各8杯，如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次. （1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？ （2）某人声称他通过品尝能区分两种酒，他连续试验10次，成功3次，试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力（假设各次试验是相互独立的）. 9.一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的，有一只鸟从开着的窗户飞入了房间，它只能从开着的窗户飞出去，鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间，假定鸟是没有记忆的，它飞向各扇窗子是随机的. （1）以X 表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X 的分布律. （2）户主声称他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一扇窗子的尝试不多于一次，以Y 表示这只聪明的鸟儿为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求Y 的分布律. （3）求是非次数X 小于Y 的概率和试飞次数Y 小于X 的概率. 10.设X 与Y 独立同分布于标准正态分布)1,0(N ，试证明Y X Z /=服从柯西分布。 习题三 （A ） 1.设随机变量X 的分布列为 求EX ，)1(+-X E ，2EX 。 2.设随机变量X 的分布为下表所示， 求（1）a ；（2）}5.11{≤ +X E 。 3.已知116)4(,10)4(2=+=+X E X E ，求2,EX EX 。 4.已知随机变量X 服从参数2=λ的泊松分布，23-=X Y ，求DY EY ,。 5.设X 的分布列为下表所示 求)12(,,2 +-X E EX EX 。 6.已知随机变量X 的分布函数为 ?????>≤<≤=41 40400)(x x x x x F 求DX EX ,。 7.设随机变量X 的密度函数为 ???<<-=., 010,22)(其它x x x f ， 求2EX 。 8.设随机变量X 的密度函数为11, 1)(<<--=x x x f ，求EX 。 9.设随机变量X 的密度函数为2)(Ax e x f -=，+∞<<∞-x ，求A 及DX EX ,。 10.设随机变量X 与Y 相互独立，且2,4==DY DX ，则Y X Z 23-=的方差是多 少？ 11.设随机变量X 服从参数为2的指数分布，试求：（1）)3(X E 与)3(X D ； （2）)(3X e E -与)(3X e D -。 12. 设离散型随机变量X 的可能取值为-1,0,1，且89.0,1.0==DX EX ，试求X 的概率分布。 13. 设随机变量X 服从Γ分布，其概率密度为 ?????<≥Γ=--,0, 0;0,)()(1x x e x x f x λαααλ 其中0,0>>λα是常数，求EX 和DX 。 14.若随机变量X 服从均值为2，方差为2 σ的正态分布，且3.0}42{=< 15.现有10张奖券，其中贰元的8张，伍元的2张。今某人从中随机地无放回地抽取了3张，求此人得奖金额的数学期望。 16.设随机变量X 的密度函数为 ?????<≥=-0,00,)(2222 x x e x x f x σσ 其中0>σ是常数，求EX ，DX 。 17.设随机变量),(Y X 的联合分布列为下表所示， 求)(),1(,2XY E X E EY -。 18.设二维随机变量),(Y X 的联合分布列为右表所示， （1）求EX ，EY ；（2）设X Y Z /=，求EZ ；（3）设2 )(Y X Z -=，求EZ 。 19.设随机变量),(Y X 的联合密度函数为 ?? ???≤≤≤≤=.,0;20,20,cos cos ),(其它ππy x y x y x f ， 试求EX ,DY ,)(2 X XY E +。 20.设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为 ? ??<<<<=其它,00,10,),(x y x k y x f 求)(XY E 。 21.设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为 ? ??≤≤≤=其它,010,12),(2x y y y x f 求EX ，EY ，)(XY E ，)(2 2Y X E +。 22.设随机变量X 与Y 相互独立，且4,2,1====DY DX EY EX ，求2)(Y X E +，并求出X 与Y 的相关系数。 23.设A 和B 是试验E 的两个事件，且0)(,0)(>>B p A p ，并定义随机变量X 与Y 如下： ???=不发生若发生若A ,0A ,1X ，? ??=不发生若发生若B ,0B ,1Y 证明：若0=ρ，则X 与Y 必定相互独立。 24.设随机变量X 与Y 相互独立，证明：DY DX XY D ?≥)(。 （B ） 1.设汽车起点站分别于每小时的10分、30分和55分发车，若乘客不知发车的时间，在每一小时内的任一时刻X 随机到达车站，求乘客等待的时间的数学期望（精确到秒）。 2.一台设备由三大部件构成，运转中它们需调整的概率分别为0.1,0.2,0.3，假设它们的状态相互独立，以X 表示同时需调整的部件数，求DX EX ,。 3.设随机变量),(Y X 的联合分布列为下表所示， 试求（1）),cov(Y X ，ρ；（2）X 与Y 的协方差矩阵。 4.m 个人在大楼的1楼进入电梯，大楼共有1+n 层，电梯在每一层都可以停，若每人在任何一层楼走出电梯的概率相同，且若某层没有人走出电梯时，电梯可以不停，试求直到电梯中的乘客都走空时，电梯需停次数的数学期望。 5.设袋中有2只红球和3只白球，n 个人轮流摸球，每人摸出2球，然后将球放回袋中由下一人摸，求n 个人总共摸到的红球数的数学期望和方差。 6.某人有n 把钥匙，其中只有一把能打开门，从中任取一把试开，试过的不再重复，直至把门打开，求试开次数的数学期望和方差。 7.设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为 ?? ???≤≤≤≤+=其它,020,20),(81),(y x y x y x f 求EX ，EY ，),cov(Y X ，ρ，)(Y X D +。 8.设随机变量X 与Y 独立同分布于正态分布),(2 σμN ，试求Y X Z βα+=1和Y X Z βα-=2的相关系数（其中βα,是不为零的常数）。 9.设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为 ?? ???≤≤≤≤+=其它,020,20),(81),(y x y x y x f 求EX ，EY ，),(Y X Cov 。 10.设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为 ?????≤≤≤≤=其它, 00,20,163),(2 x y x xy y x f 求：（1）X 与Y 的数学期望及方差；（2）X 与Y 的协方差及相关系数。 11.设区域G 为12 2≤+y x ，二维随机变量),(Y X 服从G 上的均匀分布，判断X 与Y 的相关性、独立性。 习题四 （A ） 1.设随机变量X 的数学期望μ=EX ，方差2σ=DX ，利用切贝谢夫不等式，估计概率}3{σμ≥-X p 。 2.已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数平均是7300，标准差是700.利用切贝谢夫不等式估计每毫升血液中的白细胞数在5200至9400之间的概率。 3.在每次试验中，事件A 发生的概率等于0.5，利用切贝谢夫不等式估计，在1000次独立试验中，事件A 发生的次数在400至600次之间的概率。 4.设随机变量X 和Y 的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，相关系数为-0.5，根据切贝谢夫不等式可估计}6{≥+Y X p 。 5.保险公司为了估计企业的利润，需要计算各种概率。若一年中某类投保者中每个人死亡的概率等于0.005，现有这类投保者1万人，试求在未来一年中在这些投保人中死亡人数不超过70人的概率。 6.旅客买一份旅行保险交保险费20元，如果在旅行中遇事故身亡，保险公司向家属赔付20万元。设这一类伤亡事故的发生率为0.000081，假定这一年卖出100万份保险，若不计保险公司的运营成本，求（1）保险公司亏本的概率；（2）保险公司赚到500万元的概率。 7.若每次射击命中目标的概率为0.1，不断地进行射击，求在500次射击中，击中目标的次数在（49,55）内的概率。 8.某工厂每月生产10000台液晶投影机，但它的液晶片车间生产液晶片合格品率为80%，为了以99.7%的可能性保证出厂的液晶投影机都能装上合格的液晶片。试问该液晶片车间每月至少应该生产多少片液晶片？ 9.某产品的合格品率为99%，问包装箱中应该装多少个此种产品，才能有95%的可能性使每箱中至少有100个合格产品。 10.计算机在做加法运算时，对每个加数取整（取最接近它的整数），设所有取整数误差是相互独立的，且它们都在[-0.5,0.5]上服从均匀分布。将1500个数相加，求误差总和的绝对值超过15的概率。 11.某电站供应一万户用电，假设用电高峰时，每户用电的概率为0.9，利用中心极限定理计算（1）同时用电户数在9030户以上的概率；（2）若每户用电200瓦，问电站至少应具备多大的发电能力，才能以95%的概率保证供电。 12. 设随机变量(1,2,,100)i X i =相互独立同分布于泊松分布 )100,,2,1(! 2}{2 ===-i e k k X p k i 随机变量10021X X X Y +++= ，求}210190{< 13.某车间有200台车床，在生产时间内由于工艺要求常常停车，设开工率为0.6，并将每台车床的工作当作是相互独立的，开工时耗电各为1千瓦，问至少要供给该车间多少电力，才能以99.9%的概率保证该车间不会应供电不足而影响生产？ 14.根据以往经验，某种电子元件的寿命服从参数为1/100小时的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命总和大于1920的概率。 15.一射手打靶，得5分的概率为0.4，得4分的概率为0.2，得3分的概率为0.2，得2分的概率为0.1，得0分的概率为0.1，该射手独立射击200次，求：（1）得的总分多于750分的概率；（2）总分介于650与750之间的概率。 16.独立重复地对某物体的长度a 进行n 次测量，设各次测量结果)2.0,(~2a N X i 。记 X 为n 次测量结果的算术平均值，为保证有95%的把握使平均值与实际值a 的差异小于0.1，问至少需要测量多少次？ 17.由100个相互独立起作用的部件组成的一个系统在运行过程中，每个部件能正常工作的概率为90%。为了使整个系统能正常运行，至少必须有85%的部件正常工作，求整个系统能正常运行的概率。 （B ） 1.一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一均匀分布，其数学期望为2m m ，标准差为0.05m m ，规定总长度为（1.020±）m m 时产品合格，试求产品合格的概率。 2.根据中国政府于2000年进行的第五次全国人口普查，全国出生人口性别比为117，即 在出生的婴儿中，男女比率达到117：100，某地区有7000名产妇，试估计她们的生育情况。 3.为确定某城市成年男子中吸烟者的比例p ，任意调查n 个成年男子，记其中的吸烟人数为m ，问n 至少为多大才能保证n m 与p 的差异小于0.01的概率大于95%。 4.设某生产线上组装每件产品的时间服从指数分布，平均需要10m i n ，且各产品的组装时间是相互独立的。（1）试求组装100件产品需要15h 至20h 的概率；（2）保证有95%的可能性，问16个h 内最多可以组装多少件产品？ 5.一家有500间客房的大旅馆的每间客房装有2k w （千瓦）的空调机。若开房率为80%，需要多少k w 的电力才能有99%的可能性保证有足够的电力使用空调机。 6.某校共有4900个学生，已知每天晚上每个学生到阅览室去学习的概率为0.1，问阅览室要准备多少个座位，才能以99%的概率保证每个去阅览室的学生都有座位 。 7.某餐厅每天接待400名顾客，设每位顾客的消费额（元）服从（20,100）上的均匀分布，且顾客的消费额是相互独立的，试求： （1）该餐厅每天的平均营业额； （2）该餐厅每天的营业额在平均营业额±760元的概率。 8.报童沿街向行人兜售报纸，设每位行人买报的概率为0.2，且他们是否买报是相互独立的。试求，报童在向100位行人兜售之后，卖掉报纸15-30份的概率。 9.设随机变量n X X X ,,,21 独立同分布，),,2,1(1,0n i DX EX i i ===，证明对任 意的0>ε，有ε ε1}1{12≤≥∑=n i i X n p 。 习题五 （A ） 1.设样本4321,,,X X X X 来自正态总体),(~2 σμN X ，μ已知，而2σ未知，则下列各式中哪些不是统计量。 （1）∑==4141i i X X ；（2）μ-+=21X X M ；（3）∑=-=4122)(1i i X X R σ； （4）∑=-=4122)(31i i X X S ；（5）2 412)(σμ∑=-=i i X N 。 2.从一批零件中随机抽取8件，测得它们的重量（单位：k g ）为 230， 243， 185， 240 ，228， 196，246，200。 试计算出样本均值和样本方差。 3. 设)25.0,0(~N X ，721,,,X X X ，要使)7(~2712χα∑=i i X ，则α为多少。 4. 设1021,,,X X X 为总体)40,9(~N X 的一个样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于１的概率。 5. 求总体)3,20(N 的容量分别为10,15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。 6. 设总体)10,72(~2 N X ，为使样本均值大于70的概率不小于0.90，样本容量n 至少应取多大？ 7. 设n X X X ,,,21 为总体),1(~2σN X 的样本,X 为样本均值，已知 )1,0(~N b X a Y +=，则b a ,取何值。 8. 查表求标准正态分布的下列分位数： 05.01.02.04.0,,,u u u u 。 9. 查表求2 χ分布的下列分位数： )5(295.0χ，)5(205.0χ，)10(299.0χ，)10(201.0χ。 10.查表求t 分布的下列分位数： )3(05.0t ，)5(01.0t ，)7(10.0t ，)10(005.0t 。 11.证明F 分布上侧分位数的关系式),(1),(1m n F n m F αα-= ，并查表求F 分布的下列上侧分位数：)5,5(),7,3(),6,4(99.0975.095.0F F F 12.设随机变量X 的分布函数为αF x F ),(为其上侧分位数， 证明：（1）()αα=≤-1F X P ；（2）()ααα-=≤<-121F X F P 。 13. 试给出统计量与枢轴量的一些例子，并说明统计量与枢轴量的差别。 14. 设121,,,,+n n X X X X 为来自总体),(~2σμN X 的样本，n X X X ,,,21 的样本 均值为X ，样本标准差为S ，则统计量S X X n n n -++11服从应服从什么分布。 15. 设n X X X ,,,21 为总体),(~2 σμN X 的样本，试计算??????????<-025.0/u n X p σμ。 16. 设621,,,X X X 是来自正态总体)1,0(~N X 的样本，则统计量2 62524232221X X X X X X ++++服从什么分布。 17.设随机变量n X X X ,,,21 相互独立且都服从0-1分布),1(P B ，10< i i X n X 1 1，试求X 的方差。 18.设）（54321,,,,X X X X X 为标准正态总体)1,0(~N X 的样本，则常数c 为何值时，使 统计量 25242 321) (X X X X X c +++ 服从t 分布，自由度为多少？ 19.设321,,X X X 为总体)4,0(~N X 的一个样本，当b a ,为何值时，统计量 23221)34(bX X X a Y +-= 服从2 χ分布，并求其自由度。 20.设总体),(~2σμN X ，1621,,,X X X 为来自总体X 的一个样本，试求概率 }2)(1612{2161 22 σμσ≤-≤∑=i i X p 是多少？}2)(1612{216122σσ≤-≤∑=i i X X p 是多少？ 21.设总体X ～)25,150(2N ，现在从中抽取25个样本，求}5.147140{< 22.设总体X ～)20,80(2N ，现在从总体中抽取100个样本，问样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率是多少？ 23.从总体X ～)6,4.3(2N 中抽取容量为n 的样本，如果要求其样本均值位于区间[]4.5,4.1内的概率不小于0.95，问n 至少应取多大？ 24.设总体X ～)2,12(2N ，今从中抽取样本521,,X X X ，问样本均值X 大于13的概率是多少？ 25.设),(21X X 是来自正态总体),(~2σμN X 的样本，证明21X X +和21X X -相互独立。 （B ） 1. 设总体X 服从以)0(>λλ为参数的泊松分布，),,(21n X X X 为其一个样本，试求样本和n n X X X S ++=21的确切分布。 2.已知b Y a X P n P n ?→??→? ,，试证b a Y X P n n +?→?+。 3. 设),,(21n X X X 是来自均值为，方差为的总体X 样本，2S 为该样本的样本方差。试证 ????????--=∑ =n i i X n X n S 122211。 4.设总体X 服从两点分布),1(p b ，即p X P p X P -====1)0(,)1(，其中p 是未知参数，),,(21n X X X 是来自X 的样本，求),,(21n X X X 的联合概率分布。 5.设)(~n t X 分布，证明：),1(~2 n F χ。 6.设),,(21n X X X 是总体X 的一个样本，k A 为此样本的k 阶原点矩。若总体X 的k 阶原点矩k a 存在，利用大数定律证明k P k a A ?→? 。 7. 已知b Y a X P n P n ?→??→? ,，试证b a Y X P n n +?→?+。 8.设),,(21n X X X 是总体X 的一个容量为n 的样本，2S 为该样本的样本方差。另设总 体X 的方差2σ=DX 存在，试证22σ?→?P n S 。 习题六 （A ） 1.设总体具 其中)10(<<θθ为未知参数。已知取得了样本值1,2,1321===x x x ，试求θ的矩估计值和极大似然估计值。 2.设总体分布如下，样本值为：230，243，185，240，228，196，246，200。 试求未知参数的矩估计。 （1）),0(~θU X ；（2）),(~2σμN X ，2 ,σμ均为未知参数； （3）)(~θp X ；（4）)(~θe X 。 3.设总体分布如下，n x x x ,,,21 是样本，试求未知参数的极大似然估计。 （1）)(~θp X ；（2）)(~θe X ；（3）),(~p m B X ；? ??<<=-其他010)(1x x x f θθ（θ>0）。 4.设321,,X X X 是来自总体),(~2 σμN X 的样本，则当a 取何值时， 6216 131X aX X ++=μ是未知参数μ的无偏估计。 5.设4321,,,X X X X 是来自总体),(~2σμN X 的样本，证明下列各项为μ的无偏估计，并判断出哪一个为最有效的估计量。 （1）4321422X X X X -++；（2） ∑=4 1 41i i X ；（3）415.05.0X X +。 6.设),,(21n X X X 是来自均值为u ，方差为2 σ的总体的样本，2S 为该样本的样本方 差，证明：（1）??????--=∑=n i i X n X n S 122211；（2）22)(σ=S E 。 7.比较总体期望值μ的两个无偏估计 11n i i X X n ==∑， 111(0)n n n i i i i i i i X a X a a ==='=≠∑∑∑的有效性。 8. 一个电子线路上电压表的读数X 服从[]1,+θθ上的均匀分布，其中θ是该线路上电压的真值，但它是未知的，假设),,(21n X X X 是此电压表上读数的一组样本， （1）证明样本均值不是的无偏估计； （2）求θ的矩估计，证明它是θ的无偏估计。 9.某公司职工年收入服从标准差为4（单位：万元）的正态分布，今从该公司随机抽取16名职工，测得平均年收入为3.6万元，试求该公司职工收入的置信度为95%的置信区间。 10.从服从正态分布),(2 σμN 的总体中抽取容量为9的样本，样本均值150=x ，样本标准差14=s ，试求总体均值μ的置信水平为95%的置信区间。 11.已知某种材料的抗压强度),(~2σμN X ，现随机地抽取10个样品进行抗压试验，测得数据如下： 482 493 457 471 510 446 435 418 394 469 （1）求平均抗压强度μ的置信水平为95%的置信区间； （2）若已知30=σ，求平均抗压强度μ的置信水平为95%的置信区间； （3）求σ的置信水平为95%的置信区间。 12.某车间生产的零件长度服从正态分布),(2σμN ，现从该车间生产的零件中随机抽取9个，测得其长度为（单位：m ）： 45.3, 45.4, 45.1, 45.3, 45.5, 45.7, 45.4, 45.3, 45.6 试求总体标准差σ的置信水平为95%的置信区间。 13.设总体X 服从正态分布),(2σμN ，其中u 未知，2σ=4。设),,(21n X X X 是其一个样本，当n =16时，试求置信水平分别为0.9和0.95的的置信区间的长度。 14.已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布)108.0,55.4(2N 。现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484.如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55（α=0.05）？ 15. 从一批灯泡中抽取50个灯泡的随机样本，算得样本均值1900=x 小时，样本标准差490=s 小时，以001.0=α的水平验证这批灯泡的平均使用寿命是否为2000小时? 16.某种导线的电阻服从正态分布)005.0,(2u ，今从新生产的一批导线中抽取9根，测其电阻，得Ω=007.0s 。对于05.0=α，能否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005？ 17.机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从正态分布，规定每袋标准重量为500g ，标准差不能超过10g .某天开工后，未检查其机器工作是否正常，从装好的食盐中随机抽取9袋，测其净重（单位：g ）为497 507 510 475 484 488 524 491 515。 问这天包装机工作是否正常（05.0=α）？ 18.已知某一试验，其温度服从正态分布),(2σu N ，现在测量了温度的5个值为 1250 1265 1245 1275 问是否可以认为)05.0(1227==αu ？ 19.某电工器材厂生产一种保险丝。测量其熔化时间，依平常情况方差为400，今从某 天产品中抽取容量为25的样本，测量其熔化时间并计算得77.404,24.622==s x ，问这天 保险丝熔化时间分散度与平常有无显著差异（取05.0=α，假定熔化时间服从正态分布）？ 20.从两处煤矿各抽样数次，分析其含灰率（%）如下： 甲矿：24.3 20.8 23.7 21.3 17.4 乙矿：18.2 16.9 20.2 16.7 假定各煤矿含灰率都服从正态分布，问甲乙两煤矿的含灰率有无显著差异（05.0=α）? 21.某种羊毛在处理前后，各抽取样本，测得含脂率（%）如下： 处理前：19 18 21 30 66 42 8 12 30 27 处理后：15 13 7 24 19 4 8 20 羊毛含脂率按正态分布，问处理后含脂率的标准差有无显著变化（05.0=α）？ 22.两台车床生产同一种滚珠（滚珠直径按正态分布）。从中分别抽取8个和9个产品: 甲车床：15.0 14.5 15.2 15.5 14.8 15.1 15.2 14.8 乙车床：15.2 15.0 14.8 15.2 15.0 15.0 14.8 15.1 14.8 比较两台车床生产的滚珠直径的方差是否有明显差异（)05.0=α？ 23.甲乙两个铸造厂生产同一种铸件，假设两厂铸件的重量都服从正态分布，测得重量如下（单位：)kg ： 甲厂：93.3 92.1 90.1 95.6 90.0 94.7 乙厂：95.6 94.9 96.2 95.1 95.8 96.3 问乙厂铸件重量的方差是否比甲厂的小（)05.0=α？ 24.某场使用两种不同的原料生产同一类型产品，随机选取使用原料A 生产的样品22件，测得平均质量为2.36（k g ），样本标准差为0.57（k g ）。取使用原料B 生产的样品24件，测得平均质量为2.55（k g ），样本标准差为0.48（k g ）。设产品质量服从正态分布，两个样本独立。问能否认为使用原料B 生产的产品质量较使用原料A 显著大（)05.0=α？ （B ） 1. 设n X X X ,,,21 是来自总体),(~2σμN X 的样本，并且∑-=--1121)(n i i i X X c 是参数 2σ的无偏估计，求常数c 。 2. 证明在样本的一切线性组合中，X 是总体期望值μ的无偏估计中有效的估计量。 3.在一批货物的容量为100的样本中，经检验发现有16只次品，试求这批货物次品率的置信水平为95%的置信区间。 习题七 （A ） 1.在一个单因素试验中，因素A 有三个水平，每个水平各做4次重复试验，具体数据如下： 水平 数据 一水平 8，5 ， 7， 4 二水平 6，10 ，12，9 三水平 0，1， 5， 2 试计算误差平方和e S 、因素A 的平方和A S 、总平方和T S ，并指出它们各自的自由度。 2.在单因素方差分析中， ∑∑==-=r i n j ij T i X X S 112 )(∑∑==-+-=r i n j i i ij i X X X X 112)]()[( 证明0))((11=--∑∑==r i n j i i ij i X X X X 。 3.在单因素方差分析中，因素A 有三个水平，每个水平各做4次重复试验，请完成下列方差分析表，并在显著性水平05.0=α下对因素A 是否显著作出检验。 方差来源 平方和 自由度 均方和 F 值 因素 4.2 误差 2.5 总和 6.7 4.某医院应用克矽平治疗矽肺，治疗前、中、后期患者血液中黏蛋白含量（m g %）观察结果如下： 患者编号 治疗前 治疗中 治疗后 1 6.5 4.5 3.5 2 7.3 4.4 3.6 3 7.3 5.9 3.7 4 3.0 3.6 2.6 5 7.3 5.5 4.3 6 5.6 4.5 3.7 7 7.3 5.2 5.0 试问用克矽平治疗矽肺对降低血液中黏蛋白含量是否有作用（05.0=α）？ 5.某灯泡厂试验四种不同材料的灯丝对灯泡寿命的影响，结果如下： 材料 灯泡寿命（单位/h ） A 1 1600，1650，1680，1800，1720 A 2 1580，1640，1740，1700 A 3 1640，1730，1550 A 4 1510，1570，1680，1600 （1）试问灯泡寿命是否因为灯丝材料不同而有显著差异（05.0=α）？ （2）给出不同材料的效应的最大似然估计。 西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 . 2101 1811515515 k X p -- 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件是次品,乙 企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取 1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 ,03()2,342 0, kx x x f x x ≤ 填空题（每小题4分，共32分）. 1．设 A 、B 为随机事件, P (A ) = 0.3, P (B ) = 0.4, 若 P (A |B ) =0.5, 则 P (A B ) = _______; 若 A 与 B 相互独立, 则 P (A B ) = _________. 2．设随机变量 X 在区间 [0, 10] 上服从均匀分布, 则 P { 1 < X < 6} = ______________. 2014-2015学年《概率论与数理统计》期末考试试卷 (B) 一、填空题（每小题4分，共32分）. 1．设 A 、B 为随机事件, P (A ) = 0.3, P (B ) = 0.4, 若 P (A |B ) =0.5, 则 P (A B ) = _______; 若 A 与 B 相互独立, 则 P (A B ) = _________. 2．设随机变量 X 在区间 [0, 10] 上服从均匀分布, 则 P { 1 < X < 6} = ______________. 3．设随机变量 X 的分布函数为,4 ,1 42 ,7.021 ,2.01 ,0 )(???? ?? ?≥<≤<≤--<=x x x x x F 则 X 的分布律为 ___________________________ . 4．若离散型随机变量 X 的分布律为 X 1 2 3 p k 0.5 0.3 a 则常数 a = _________; 又 Y = 2X + 3, 则 P {Y > 5} = _________ . 5．设随机变量 X 服从二项分布 b (100, 0.2), 则 E (X ) = ________, D (X ) = ___________. 6．设随机变量 X ~ N (0, 1), Y ~ N (1, 3), 且X 和 Y 相互独立, 则D (3X +2Y ) = _________. 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 题目答案的红色部分为更正部分，请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1，理2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B ) A ．14 B ． π8 C ．12 D ． π 4 2.(2017课标3，理3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是( A ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.(2017课标2，理13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。 4.（2016年全国I 理14）5(2)x x + 的展开式中，x 3的系数是 10 .（用数字填写答案） 5.（2016年全国I 理14）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.（2016年全国2理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ， ()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )（A ） 4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n 6.（2016年全国3理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.（15年新课标1理10）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3） 概率统计考试试卷及答案 一、 填空题（每小题4分，共20分） 1. 设)(~λP X ,且)()(21===X P X P ,则_________)(==3X P . 2. 设随机变量X 的分布函数)(,)(+∞<<-∞+= -x e A x F x 1,则___=A 3. 已知,)|(,)|(,)(21 31 41 ===B A P A B P A P 则_____)(=?B A P 4. 已知随机变量),,(~10U X 则随机变量X Y ln 2-=的密度函数___)(=y f Y 5. 设随机变量X 与Y 相互独立，且,2σ==DY DX 则____)(=-Y X D 42 二、 计算下列各题(每小题8分，共40分） 1. 设随机变量X 的概率密度为?? ???≤>=-000 x x e x f x ,,)( 已知Y=2X,求E(Y), D(Y). 2. 两封信随机地投入标号为I,II,III,IV 的四个邮筒，求第二个邮筒恰好投入1封信的概率。 3. 设X,Y 是两个相互独立的随机变量，X 在(0,1)上服从均匀分布，Y 的概率密度为 ?? ? ??≤>=-000212y y e y f y Y ,,)( 求含有a 的二次方程022=++Y Xa a 有实根的概率。 4. 假设91X X ,, 是来自总体 ) ,(~220N X 的简单随机样本，求系数a,b,c 使 298762543221)()()(X X X X c X X X b X X a Q ++++++++=服从2χ分布，并求其自由 度。 5. 某车间生产滚珠，从长期实践知道，滚珠直径X 服从正态分布。从某天产品里随机抽取6个，测得直径为（单位：毫米）14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1 若总体方差0602.=σ, 求总体均值μ的置信区间(9610502.,./==ααz ) 《概率论与数理统计》期末试题 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的 概率为__________. 答案： 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P Y . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=- 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<?? 概率统计重修复习题型 填空题： 1. 已知P (A )=0.4，P (B )=0.6，P (AB ) =0.2，则P (A ∪B )= 。 2. 已知P (A )=0.3，P (B )=0.5，P (A ∪B )=0.7，则=)(A B P 。 3. 已知P (A )=0.5，P (B )=0.4，P (A ∪B )=0.7，则=-)(B A P 。 4. 已知P (B )=0.1，则P (B ) = 。 5. 从5双鞋子中选取4只，这4只鞋中恰有两支配成一双的概率为 。 6. 一袋中有20个乒乓球，其中8个是黄球，12个是白球. 今有2人依次随机 地从袋中各取一球，取后不放回。则第二个人取得黄球的概率是 。 7. 有6支笔，其中2支蓝笔，4支红笔. 今有3人依次随机地从中各取一支笔， 取后不放回。则第三个人取得红笔的概率是 。 8. 已知随机变量X 的密度为，其他?? ?<<=, 01 0,)(x x a x f 则a = 。 9. 设X 是连续型随机变量，则P {X = 5} = 。 10. 设随机变量X 的概率密度为) 1(1 )(2 x x f += π,+∞<<∞-x ,则Y = 2X 的概 率密度为 。 11. 设二维连续型随机变量(,)X Y 的概率密度函数为(,)f x y ，则X Y +的概率密度函数()X Y f z += 。 12. 设随机变量 X 与Y 相互独立，且 X 的分布函数为F (x ), Y 的分布函数为 G (x )，则 Z = max{ X ,Y }的分布函数为 。 13. 设随机变量 X 与Y 相互独立，且 X 的概率密度函数为f (x ), Y 的概率密度 函数为g (y )，则X 与Y 的联合概率密度函数(,)f x y = 。 14. 设随机变量X 服从指数分布，且=)(X D 0.2，则=)(X E 。 15. 设随机变量X 服从泊松分布，且=)(X D 0.3，则=)(X E 。 16. 设~U(1,5),X -则=)(X E ，()D X = 。 17. 设~b(5,0.1),X ~π(2),Y 且,X Y 相互独立，则()E XY = 。 18. 设),5,2(~),4,3(~N Y N X 且,2),(-=Y X Cov 则=-)32(Y X D 。 19. 设),5,2(~),4,3(~N Y N X 且,2),(-=Y X Cov 则相关系数为 。 中国计量学院2011 ~ 2012 学年第 1 学期 《 概率论与数理统计(A) 》课程考试试卷B 开课二级学院： 理学院 ，考试时间： 2011 年 12_月26 日 14 时 考试形式：闭卷√、开卷□，允许带 计算器 入场 考生姓名： 学号： 专业： 班级： 1．某人射击时，中靶的概率为4 3 ，若射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为（ ）. (A) 43412?）（ (B) 343）（ (C) 41432?）（ (D) 34 1）（ 2．n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布并且a X E i =)(,b X Var i =)(,则这些随机变量的算术平均值∑= =n i i X n X 1 1的数学期望和方差分别为（ ）. （A ） a ,2n b （B ）a ,n b (C)a ,n b 2 （D ）n a ,b 3．若100张奖券中有5张中奖，100个人分别抽取1张，则第100个人能中奖的概率为（ ）. (A) 01.0 (B) 03.0 (C) 05.0 (D) 0 4. 设 )(),(21x F x F 为两个分布函数,其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数,则必为概率密度的是（ ）. (A) )()(21x f x f (B))()(212x F x f (C))()(21x F x f (D) )()()()(1221x F x f x F x f + 5．已知随机变量X 的概率密度函数为?????≤>=-0,00 ,)(22 22x x e a x x f a x ,则随机变量X Y 1 = 的期望 =)(Y E （ ）. 浙 江 工 业 大 学 概 率 统 计 期 末 试 卷 （ A ） （2009 ～ 2010 第 一 学 期） 2010-1-14 任课教师 学院： 班级： 上课时间：星期 ____,_____节 学号： 姓名： 一、选择题（每题 2 分 , 共 10 分） 1. n 个 随 机 变 量 X i (i 1,2,3, , n) 相 互 独 立 且 具 有 相 同 的 分 布 , 并 且 E( X i ) a , D( X i ) b , 则这些随机变量的算术平均值 X 1 n 的数学期望和方差分别 X i n i 1 为 （ ） ( A ) a , b ( B ) a , b ( C ) a , b ( D ) a , b 2 2. n n 2 n n 设 X 1 , X 2 , , X 500 为独立同分布的随机变量序列 , 且 X 1 ~ B(1, p) , 则下列不正确的为 （ ） 1 500 500 ~ B(500, p) (A) X i p (B) X i 500 i 1 i 1 500 ( ) ( ) P a X i b (C) i 1 500 b 500 p a 500 p (D) P a X i b Φ Φ . i 1 500 p(1 p) 500 p(1 p) 3. 设0 P( A) 1,0 P(B) 1, P(A | B) P( A | B ) 1, 则 （ ） (A) P( A | B) P(A) (B) B A (C) AB (D) P( AB) P( A)P(B) 4. 如果随机变量 X ,Y 满足 D( X Y) D ( X Y ) , 则必有 （ ） (A) X 与 Y 独立 (B) X 与Y 不相关 (C) DY 0 (D) DX 5. 设 A 和 B 是任意两个概率不为零的不相容事件 , 则下列结论中肯定正确的是 （ ） (A) A 与 B 不相容 (B) A 与 B 相 容 (C) P( AB) P( A)P(B) ; (D) P( A B) P( A) P(B) 二、填空题（每空 3 分 , 共 30 分） 1. 设 X ~ N (1, 1/ 2), Y ~ N (0, 1/ 2) , 且相互独立 , Z X Y , 则 P(Z 0) 的值为 ( 结果用正态分布函数 表示 ). <概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分 概率论与数理统计复习题 一、计算题： 1、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。 2、已知随机变量X 服从在区间(0,1)上的均匀分布，Y ＝2X +1，求Y 的概率密度函数。 3、已知二元离散型随机变量(X ,Y )的联合概率分布如下表所示： Y X 1 1 2 1 2 (1) 试求X 和Y 的边缘分布率 (2) 试求E (X ),E (Y ),D (X ),D (Y ),及X 与Y 的相关系数XY 4、设某种电子管的使用寿命服从正态分布。从中随机抽取15个进行检验，算出平均使用寿命为1950小时，样本标准差s 为300小时，以95%的置信概率估计整批电子管平均使用寿命的置信区间。 二、填空题 1. 已知P (A )=, P (B |A )=, 则P (A B )= __________ 2．.设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=< 作业2（修改2008－10） 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ . 任课教师 专业名称 学生姓名 学号 密 封 线 X X 工业大学概率统计B 期末考试试卷（A 卷） } 分 分 108 求：（1）常数k ，（2）P(X<1,Y<3) (3) P(X<1.5); (4) P(X+Y ≤4) 解：（1）由()1)6(1 )(20 4 =--=???? +∞∞-+∞ ∞ -dx dy y x k dxdy xy f 即 解得24 1 = k 2分 （2）P(X<1,Y<3)=()dx dy y x )6241(1030--??=2 1 4分 (3) P(X<1.5)=()16 13 )6241(5.1040=--??dx dy y x 7分 （4）P(X+4≤Y ) =()9 8 21616241)6241(2202040=+-=--???-dx x x dx dy y x x 10分 4. 已知随机变量)3,1(~2N X ，)4,0(~2N Y ，且X 与Y 相互独立，设 2 3Y X Z += (1) 求)(Z E ，)(Z D ； (2) 求XZ ρ 解：(1)??? ??+=23)(Y X E Z E )(21)(3 1 y E X E += 021131?+?= 3 1 = 2分 =??? ??+=23)(Y X D Z D ()()2 2 22)23(23?? ? ??+-??? ??+=-Y X E Y X E EZ Z E =22 2)2 3()439( EY EX Y XY X E +-++ = 9 1 4392 2 -++EY EXEY EX 又因为()10192 2=+=+=EX DX EX 16016)(22=+=+=EY DY EY 所以DZ= 59 1 416910=-+ 6分 (2)),(Z X Cov ) ,(1 1Y X X Cov += =EX( 23Y X +)-EXE(23Y X +) EXEY -EX -EXEY +EX =21 )(31213122 233 1 ?==3 则XZ ρ= ()DZ DX Z X Cov ,= 5 5 5 33= 10分 5. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为 ?????≤≤≤≤=其它, 00,20,163),(2x y x xy y x f （1） 求X 的数学期望EX 和方差DX （2） 求Y 的数学期望EY 和方差DY 解：（1）dx x xf X E X )()(? ∞ +∞ -= ()()xyd dy y x f x f x x ? ? ==∞ +∞ -20 16 3 ,y dx x xf X E X )()(? ∞ +∞ -= = 分 27 12)163(2 2 =? ?dx xydy x x () ()分 549 3)712( 33)16 3 (22 2 22 2 22 =-====EX EX -EX =???∞ +∞ -DX dx xydy x dx x f x DX x X () ()分 72)16 3 (),()()(24 02====?? ???+∞∞ -+∞ ∞ -∞ +∞ -dy xydx y dy dx y x yf dy y yf Y E y Y ()()5 24 4323)163(),()(4034 02 2 22 2 =-====?????? +∞ ∞ -+∞∞ -∞ +∞-dy y y dy xydx y dy dx y x f y dy y f y EY y Y DY=()分 105 4452422 =-=EY -EY 6. 设随机变量X 的概率密度为) 1(1 )(2 x x f X += π，求随机变量 31X Y -=的概率密度函数。 ()()( )( ) ()() ( ) ()()()() ()()()()( )() ()() 分 分 解：10111311311315)1(111)1(16 2 3 2 2 33 3 3 3y y y f y y y f dy y dF y f y F y X y X y X y Y y F X X Y Y X Y -+-= --=----== ∴ --=- 2013年下学期概率统计模拟卷参考答案 1. 设A, B, C 是三个随机事件. 事件：A 不发生, B , C 中至少有一个发生表示为(空1) . 2. 口袋中有3个黑球、2个红球, 从中任取一个, 放回后再放入同颜色的球1个. 设B i ={第i 次取到黑球},i =1,2,3,4. 则1234()P B B B B =(空2) . 解 用乘法公式得到 )|()|()|()()(32142131214321B B B B P B B B P B B P B P B B B B P = .32a r b a r a r b r a r b a b r b b +++?++?+++?+= =3/70 3. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为1927 . 则每次试验成 功的概率为(空3) .. 解 设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是27 19，那么一次都没有成功的概率是278. 即278)1(3 = -p , 故 p =3 1 . 4. 设随机变量X , Y 的相关系数为5.0, ,0)()(==Y E X E 2 2 ()()2E X E Y ==, 则2 [()]E X Y +=(空4) . 解 2 2 2 [()]()2()()42[Cov(,)()()]E X Y E X E XY E Y X Y E X E Y +=++=++ 42420.52 6.XY ρ=+=+??= 5. 设随机变量X 的方差为2, 用切比雪夫不等式估计{||}P X E X -（）≥3=(空5) . 解 由切比雪夫不等式, 对于任意的正数ε, 有 2() {()}D X P X E X εε -≥≤, 所以 2 {||}9 P X E X -（）≥3≤ . 6. 设总体X 的均值为0, 方差2σ存在但未知, 又12,X X 为来自总体X 的样本, 2 12()k X X -为2σ的无 偏估计. 则常数k =(空6) . 解 由于2 2 2 121122[()][(2)]E k X X kE X X X X -=-+ 22211222[()2()()]2k E X E X X E X k σσ=-+==, 所以k = 1 2 为2σ的无偏估计. 1. 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是( ). (A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件. (C) P (A )=0或P (B )=0.. (D) 以上答案都不对. 概率统计试卷 A 一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分） 1、设P(A) =, P(B) = , P() = ，若事件A与B互不相容，则 = . 2、设在一次试验中，事件A发生的概率为，现进行n次重复试验，则事件A至少发生一次的概率为 . 3、已知P() = , P(B) = , P() = ，则P()= . 4、设随机变量的分布函数为则= . 5、设随机变量~，则P{}= . 二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分） 1、设P(A|B) = P(B|A)=,, 则( )一定成立. (A) A与B独立，且. (B) A与B独立，且. (C) A与B不独立，且. (D) A与B不独立，且. 2、下列函数中，（）可以作为连续型随机变量的概率密度. (A) (B) (C) (D) 3、设X为一随机变量，若D(10) =10，则D() = ( ). (A) . (B) 1. (C) 10. (D) 100. 4、设随机变量服从正态分布，是来自的样本， 为样本均值，已知，则有（）. (A) . (B) . (C) . (D) . 5、在假设检验中，显著性水平的意义是（）. (A)原假设成立，经检验不能拒绝的概率. (B)原假设不成立，经检验被拒绝的概率. (C) 原假设成立，经检验被拒绝的概率. (D)原假设不成立，经检验不能拒绝的概率. 三、10片药片中有5片是安慰剂， (1)从中任取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率. (2)从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率. (本题10分) 四、以表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计），的分布函数是 求下述概率： （1）{至多3分钟}. （2）{3分钟至4分钟之间}. (本题10分) 五、设随机变量(,Y)的概率密度为 (1) 求边缘概率密度. 第一次 1．6个毕业生，两个留校，另4人分配到4个不同单位，每单位1人.则分配方法有___________种. 2．平面上有12个点，其中任意三点都不在一条直线上，这些点可以确定_______条不同的直线. 3．若随机试验E是：在六张卡片上分别标有数字0，1，2，3，4，5，从中任意依次取出两张,取后不放回，组成一个二位数，则E的样本空间中基本事件个数是______________ 4．由0，1，2，3，4，5六个数字可以构成多少个不能被5整除的六位数. 5．一项工作需5名工人共同完成，其中至少必须有2名熟练工人.现有9名工人，其中有4名熟练工人，从中选派5人去完成该项任务，有多少种选法. A表示“第i个零件是正品”()4,3,2,1=i.试用i A表示事件A: 6．设有四个零件.事件 i “至少有一个次品”,B:“至多一个次品” 1．下列诸结论中, 错误的是( ) )(A 若0)(=A P 则A 为不可能事件 )()()()(B A P B P A P B ≥+ )()()()(A P B P A B P C -≥- )()()()(BA P B P A B P D -=- 2．设事件B A ,互斥 ,q B P p A P ==)(,)(, 则)(B A P 等于 ( ) q A )( q B -1)( p C )( p D -1)( 3．已知 ===)(,18.0)(,72.0)(A P B A P AB P 则 ___________ 4．将3个球随机地放入4个盒子中，记事件A 表示：“三个球恰在同一盒中” .则)(A P 等于 _________________ 5．8件产品中有5件是一级品，3件是二级品，现从中任取2件，求下列情况下取得的2件产品中只有一件是一级品的概率：( 1 ) 2件产品是无放回的逐次抽取；( 2 ) 2件产品是有放回的逐次抽取. 6．两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人2 0分钟，过时就可离去.试求这两人能会面的概率. 概率统计试题及答案(本科完整版) 一、 填空题（每题2分，共20分） 1、记三事件为A ，B ，C . 则用A ，B ，C 及其运算关系可将事件，“A ，B ，C 中只有一个发生”表示为 . 2、匣中有2个白球，3个红球。 现一个接一个地从中随机地取出所有的球。那么，白球比红球早出现的概率是 2/5 。 3、已知P(A)=0.3，P （B ）＝0.5，当A ，B 相互独立时，06505P(A B )_.__,P(B |A )_.__?==。 4、一袋中有9个红球1个白球，现有10名同学依次从袋中摸出一球（不放回），则第6位同学摸出白球的概率为 1/10 。 5、若随机变量X 在区间 (,)a b 上服从均匀分布，则对 a c b <<以及任意的正数0 e >，必有概率 {} P c x c e <<+ ＝ ?+?-?e ,c e b b a b c ,c e b b a 6、设X 服从正态分布2 (,)N μσ，则~23X Y -= N ( 3-2μ , 4σ2 ) . 7、设1128363 X B EX DX ~n,p ),n __,p __==（且＝，＝，则 8、袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以X 表示取出3只球中 ABC ABC ABC U U 2，3，则: P ( A 1 ) = 0.1 , P ( A 2 ) = 0.2 , P ( A 3 ) = 0.15 ,由各台机器间的相互独立性可得 ()()()()()123123109080850612P A A A P A P A P A ....=??=??= ()()()12312321101020150997P A A A P A A A ....??=-=-??= ()() ()()()()1231231231231231231231233010808509020850908015090808500680153010806120941 P A A A A A A A A A A A A P A A A P A A A P A A A P A A A .................=+++=??+??+??+??=+++=U U U 2、甲袋中有n 只白球、m 只红球；乙袋中有N 只白球、M 只红球。今从甲袋任取一球放入乙袋后，再从乙袋任取一球。问此球为白球的概率是多少？ 解：以W 甲表示“第一次从甲袋取出的为白球”，R 甲表示“第一次从甲袋取出的为红球”， W 乙表示“第二次从乙袋取出的为白球”， 则 所 求 概率为 ()()()() P W P W W R W P W W P R W ==+U 乙甲乙甲乙甲乙甲乙 ()( ) ()( ) P W P W W P R P W R =+甲乙甲甲乙甲 11 111111111 n m N N n m N M n m N M C C C C C C C C +++++++=?+?《概率统计》试题及答案
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