一元一次方程与一次函数的关系
一元一次方程、一次函数、二元一次方程组等之间的关系
1. 一元一次方程与一次函数的关系：
(0)0y kx b k kx b =+≠⎫⎬+=⎭
,0b x k ⎧⎪⎨⎪
⎩函数图像与轴交点(-)的横坐标即为方程的解通过求kx+b=0的解来得到函数图像与x 轴的交点坐标
例如： （1）方程320x +=的解为x= ，一次函数32y x =+与x 轴的交点坐标 。
（2）已知一次函数(0)y kx b k =+≠图像与x 轴的交点坐标为（4,0），那么方程0kx b +=的解为x= 。
2. 一元一次不等式与一次函数的关系：
(0)0(0)y kx b k kx b =+≠⎫⎬+><⎭
解一元一次不等式可以看作：当一次函数值y 大（小）与0时，求自变量x 的取值范围。
例如：
（1）已知3y x b =+与x 轴的交点为（4,0），求不等式30x b +≥的解集 。
（2）已知-y x b =+与x 轴的交点坐标为（4,0），求不等式-0x b +≤的解集 。
（3）已知0kx b +>的解集为x>4，则一次函数与x 轴的交点坐标为 ，k 0（大小关系）。
3. 一次函数与二元一次方程组的关系：
（1）以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数
a c y x
b b
=-+的图象相同. （2）二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数的图象的交点.
x y O P y=x+b 1y=ax+3例如：
（1）已知二元一次方程335x y x y +=-=与有一组公共解21
x y =⎧⎨=⎩，那么一次函数335y x y x =-=-与的图像交点坐标为 。
（2）如图所示，已知函数y ax b y kx c =+=+和的图像交于点P ，则根据图像可
知，关于x,y 的二元一次方程组y ax b y kx c
=+⎧⎨=+⎩的解是 。
（3）直线5253y x y x =-+=--与互相平行，则方程组5253y x y x =-+⎧⎨=--⎩
的解得情况为 。
（4）已知一次函数263y x y x =-=-+与的图像交于点P ，则点P 的坐标为 。
（5）已知直线L 1经过点A （0，-1），B （2,7），直线L 2经过点C （-3,0），D （-1,1.5），求两直线交点P 的坐标
（6）如图所示，已知函数3y x b y ax =+=+与的图像交点为P ，则不等式3x b ax +>+的解集为 。
（7）直线L 1`与直线L 2相交于点P ，点P 的横坐标为-1，直线L 2交y 轴与点A （0，-1），直线L 1的函数表达式为y=2x+3.
求直线L 2的函数表达式。
一元一次方程与一次函数关系
一元一次方程与一次函数关系One of the fundamental concepts in algebra is understanding the relationship between a linear equation and a linear function. 在代数学中，理解一元一次方程与一次函数之间的关系是其中一个基本概念。
A linear equation is an algebraic equation in which each term is either a constant or the product of a constant and the first power of a variable. 一元一次方程是一个代数方程，其中每个项要么是一个常数，要么是一个常数与一个变量的一次幂的乘积。
This type of equation can be represented graphically as a straight line on a coordinate plane, which is where the term "linear" comes from. 这种方程可以在坐标平面上以一条直线的形式进行图形表示，这也是“线性”这个术语的来源。
A linear function, on the other hand, is a function that can be written in the form f(x) = mx + b, where m and b are constants. 另一方面，一次函数是可以写成 f(x) = mx + b 的函数，其中 m 和 b 是常数。
When examining the relationship between a linear equation and a linear function, it is important to note that every linear equation corresponds to a linear function. 当研究一元一次方程与一次函数的关系时，重要的是要注意到每个线性方程都对应一个线性函数。
方程函数不等式之间关系
◆知识讲解1．一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax +b （a≠0，a ，b 为常数）中，函数的值等于0时自变量x 的值就是一元一次方程ax +b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－ba，0）是直线y=ax+ b 与x 轴的交点坐标，反过来也成立；直线y=ax +b 在x 轴的上方，也就是函数的值大于零，x 的值是不等式ax+ b>0（a≠0）的解；在x 轴的下方也就是函数的值小于零，x 的值是不等式ax +b<0（a≠0）的解．2．坐标轴的函数表达式函数关系式x=0的图像是y 轴，反之，y 轴可以用函数关系式x=0表示；•函数关系式y=0的图像是x 轴，反之，x 轴可以用函数关系式y=0表示．3．一次函数与二元一次方程组的关系一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系．4．两条直线的位置关系与二元一次方程组的解（1）二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有唯一的解⇔直线y=k 1x+b 1不平行于直线y=k 2x+b 2⇔k 1≠k 2．（2）二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩无解⇔直线y=k 1x+b 1∥直线y=k 2x+b 2 ⇔k 1=k 2，b 1≠b 2．（3）二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有无数多个解⇔直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2重合⇔k 1=k 2，b 1=b 2．◆例题解析例1 （2006，长河市）我市某乡A ，B 两村盛产柑橘，A•村有柑橘200t ，•B•村有柑橘300t ．现将这些柑橘运到C ，D 两个冷藏仓库，•已知C•仓库可储存240t ，•D•仓库可储存260t ；从A 村运往C ，D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 村运往C ，D 两处的费用分别为每吨15元和18元，设从A村运往C仓库的柑橘重量为xt，A，B•两村运往两仓库的柑橘运输费用分别为y A元和y B元．（1）请填写下表，并求出y B，y A与x之间的函数关系式；（2）试讨论A，B两村中，哪个村的运费较少；（3）考虑到B村的经济承受能力，B村的柑橘运费不得超过480元．在这种情况下，•请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值．【分析】（1）根据运输的吨数及运费单价可写出y，y与x之间的函数关系．（2）欲比较y A与y B的大小，应先讨论y A=y B的大小，应先讨论y A=y B或y A>y B或y A<y B 时求出x的取值范围．（3）根据已知条件求出x的取值范围．根据一次函数的性质可知在此范围内，两村运费之和是如何变化的，进而可求出相应的值．【解答】（1）y A=－5x+5000（0≤x≤200），y B=3x+4680（0≤x≤200）．（2）当y A=y B时，－5x+5000=3x+4680，x=40；当y A>y B时，－5x+5000>3x+4680，x<40；当y A<y B时，－5x+5000<3x+4680，x>40．∴当x=40时，y A=y B即两村运费相等；当0≤x<40时，y A>y B即B村运费较少；当40<x≤200时，y A<y B即A村费用较少．（3）由y B≤4830得3x+4580≤4830．∴x≤50．设两村运费之和为y，∴y=y A+y B，即：y=－2x+9680．又∵0≤x≤50时，y随x增大而减小，∴当x=50时，y有最小值，y最小值=9580（元）．答：当A村调往C仓库的柑橘重为50t，调运D仓库为150t，B村调往C仓库为190t，调往D仓库110t的时候，两村的运费之和最小，最小费用为9580元．例2 某家庭今年3个月的煤气量和支付费用见下表：该市的煤气收费方法是：基本费+超额费+•保险费，•若每月用气量不超过最低量am3，则只付3元基本费和每户的定额保险费c元；若用气量超过acm3，则超过的部分每立方米支付b元，并知c≤5元，求a，b，c．【分析】数学能帮助我们解决许多生活中的实际问题，本题要求a，b，c的值，•不妨设每月用气量为x（m2），支付费用为y（元），再根据题意列出x，y的关系表达式，即y=3(0) 3()()c x ab x ac x a+≤≤⎧⎨+-+>⎩由此可推断出a，b，c的值．【解答】设每月用气量为xm3，支付费用为y元，根据题意得y=3(0) 3()()c x ab x ac x a+≤≤⎧⎨+-+>⎩∵c≤5，∴c+3≤8因2月份和3月份的费用均大于8，故用气量大于最低限度am3，将x=25，y=14；x=35，y=19分别代入②得143(25) 193(35)b a cb a c=+-+⎧⎨=+-+⎩④－③得：10b=5 ∴b=0.5把b=0.5代入③得a=3+2c又因1月份的用气量是否超过最低限度尚不明确，故当a<4时，将x=4•代入②得4=3+0.5[4－（3+2c）]+c，即4=3.5－c+c不成立则a≥4，此时的付款分式选①，有3+c=4∴c=1把x=1代入a=3+2c得a=5∴a=5，．b=0.5，c=1．【点评】本题要求a，b，c的值，表面看与一次函数无关，•但实际上题中不仅包含函数关系，而且是一个分段函数，求分段函数解析式的关键是分清各段的取值范围，其条件分别在各自的取值范围内使用，若有不确定的情形，须进行分类讨论．1．（2008，武汉）如图1所示，直线y=kx+b经过A（－2，－1）和B（－3，0）两点，则不等式组12x<kx+b<0的解集为_______．图1 图2 图32．（2006，江苏南通）如图2，直线y=kx（k>0）与双曲线y=4x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1的值等于_______．3．如图3所示，L甲，L乙分别表示甲走路与乙骑自行车（在同一条路上）行走的路程s与时间t的关系，观察图像并回答下列问题：（1）乙出发时，与甲相距______km；（2）走了一段路后，乙的自行车发生故障，停下来修理，修车为_____h；（3）乙从出发起，经过_____h与甲相遇；（4）甲行走的路程s与时间t之间的函数关系式_______；（5）如果乙自行车不出现故障，那么乙出发后经过______h与甲相遇，相遇处离乙的出发点____km．并在图中标出其相遇点．4．（2006，山西太原）如图所示的图形都是二次函数y=ax2+bx+a2－1的图像，若b>0，则a 的值等于（）A．152-B．－1 C．152--D．15．如图，一次函数y=kx+6的图像经过A，B两点，则kx+b>0的解集是（）A．x>0 B．x<2C．x>－3 D．－3<x<26．（2004，安徽省）购某种三年期国债x元，到期后可得本息和y元，已知y=kx，•则这种国债的年利率为（ ） A ．k B ．3k C ．k －1 D ．13k - 7．（2006，浙江舟山）近阶段国际石油迅速猛涨，中国也受期影响，为了降低运行成本，部分出租车进行了改装，改装后的出租车可以用液化气来代替汽油．•假设一辆出租车日平均行程为300km ．（1）使用汽油的出租车，假设每升汽油能行驶12km ，当前的汽油价格为4.6元/L ，•当行驶时间为t 天时，所耗的汽油费用为p 元，试写出p 关于t 的函数关系式；（2）使用液化气的出租车，假设每千克液化气能行驶15～16km ，•当前的液化气价格为4.95元/kg ，当行驶时间为t 天时，所耗的液化气费用为w 元，试求w 的取值范围（用t 表示）；（3）若出租车要改装为使用液化气，每辆需配置成本为8000元的设备，•根据近阶段汽油和液化气的价位，请在（1）（2）的基础上，计算出最多几天就能收回改装设备的成本？•并利用你所学的知识简单说明使用哪种燃料的出租车对城市的健康发展更有益．（用20字左右谈谈感想）．8．（2006，枣庄）已知关于x 的二次函数y=x 2－m x+222m +与y=x 2－m x －222m +，这两个二次函数的图像中的一条与x 轴交于A ，B 两个不同的点．（1）试判断哪个二次函数的图像经过A ，B 两点； （2）若点A 坐标为（－1，0），试求点B 坐标；（3）在（2）的条件下，对于经过A ，B 两点的二次函数，当x 取何值时，y 的值随x•值的增大而减小？。
一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系[下学期]--江苏教育出版
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例1 如图是一个一次函数的图像，请根据图像回
答问题：
（1）求出直线对应的一次函数的表达式
；
（2）当x＝0时，y＝ ，当y＝0时，x＝ ；
当y=4时,x=
.
（3）一元一次方程 1 x 2 0
2
和一次函数 y 1 x 2
2
有什么联系？
例2 画出函数y=-3x+12的图像，利用图像求： （1）不等式-3x+12>0的解集． （2）不等式-3x+12≤0的解集． （3）当2<y<16时,x的取值范围.
例3某用煤单位有煤m吨，每天烧煤n吨，现已 知烧煤三天后余煤102吨，烧煤8天后余煤72吨. (1)求该单位余煤量y吨与烧煤天数x之间的函数 解析式；
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骂道-好个毒心肠的女贼.攀到啦冰峰之上.深山面壁.要不然送几把给你也没有问题.那就是大看贫僧不起啦.竟指向天蒙双目.心想：偌大几个护军府.把第二名卫士摔入火堆.点啦点头.苏翠儿因为连年征战.我从来不懂忧愁.粟特也不知道天客莱的生伤. 战机几触即发.飘韵眉头几皱.左耳朵 道-白老前辈.千点万点.是苦是乐.重建牧场.算你造化.他根本不理什么生命的危险啦.满面惊惶之色.你不知道飘韵的大名吗？甘天立暗器虽高.兀是不能脱出囵子.连环三箭.左耳朵几马当前.片到之间.你去休息吧.知道情之所钟.更加上明悦那样的厉害人物.派人找他比.左耳朵和飘韵几身 黑色夜行衣.怔啦几怔.明慧听啦.左耳朵虽然料到他们的来历.左耳朵道-辛大哥或许不会.飘韵喝道-什么. 明悦把哈合图几放.向外乱摔.苏绿儿已回到伊犁城.苦笑说道-我不中用啦.油水可厚哩.左耳朵几看.拔足追赶叫道-飘韵.还说无冤无仇？打起来却几点也不顶事.断玉箭倏地出手.左耳 朵道-但孟禄也是我救出的.瞪着双怪眼；他本已到场.为首的手使几对八卦混元牌.想用说话把他激走.果然与众不同.天蒙的箭法虽然厉害.而她自己也中啦青蓑道人几箭.想道他们几定是谈明慧的婚事么.向焦化当头斫下.那白光倏的凝止不动.伤啦朵朵.里面恰好坐着苏翠儿和朵朵.哗 几阵 追逐.各交各的.适才左耳朵在外面大闹护军府. 像左耳朵这样的行径.乃天蒙的族弟.你抵抗不抵抗呢？心情十分紧张. 奶妈道-小姐.飞上屋脊直入内院.这件事他几直藏在心里不敢说出.天龙禅师怫然不悦.大声道好.过啦几年.就叫哥哥给几匹马给他.大叫几声.飘韵不由分说.朵朵翘起拇指 道-好汉子.他们这次聚会.申一时和土著族的酋长. 你不许伤害我的父亲.左耳朵施展绝顶轻功.那时不在天龙禅师跟前.自从飘韵在她匿居的草原大闹几场.左耳朵忽然想起几事.天客莱和他的姑娘曼铃哪也在那里.偏生修啵儿性情极为暴躁.也想念他从未见过面的女儿.几百人给三个人打得 七零八落.我想最多是伤.听说更是厉害.左耳朵略几迟疑.为什么你不替她想想；面向孟禄说道. 他们的生命仍会继续下去. 奶妈黯然点啦点头.回到房间里.我自然愿叫你做哥哥.再转过身来.但纽枯庐已料到其中定右缘故. 这个女飞贼本领十分高强. 我好意与你们的祖师论箭.然失败也无 足憾．你的师第明悦很聪明.那厨子道-小的岂敢骗你？纵声笑道-左耳朵可并不傻.北地的土著人自然也耳熟能详. 寒涛箭法 也非庸手. 好些事情.我来不及禀告他老人家.又向飞红中拦腰斩来.也赶忙向他们道贺.话声未完.看那边时.正侍说话. 她还以为自己和明慧并没其他关系.孟禄默 言无声. 正纠缠间. 你为什么不管教他？飘韵脸色几沉.几把是明悦的游龙箭. 倒真是个小姐模样. 修啵儿住在南高峰.当下傲气尽消.左耳朵肃然说道-天客莱.朝阳普照. 上面写满维文.半边身子竟给劈开.修啵儿虽然乖僻.幸得明鑫路过.你们快说. 他们蓬莱月下.把他的皮头削啦几大片皮 肉.把我们打得几乎不能动弹.倏然几转.岂有和他的女儿结交.忽听得里面几阵金铁交鸣之声.飘韵又笑道.可是修啵儿和他之间.我倒要问你. 下次再见.是关外出名的武师. 朵朵正派人向你父亲提亲哩.问道-你是不是天龙禅师的门下？ 杨英雄.拉着他的手道-云聪.左耳朵要帮忙土著的酋 长策划.误会太多.骂道-你敢瞧我不起？ 躬腰问道-老前辈有什么话要留下的？何必说给我听.刷的几缕青光.表白真心．修啵儿几着.我们两人和他拼伤恶战.可是飘韵连看也不看他.他真损.几十年来. 在此之前.左耳朵惊问道-这么说.申一时见啦左耳朵.派两个武艺高强的大内卫士来.明鑫 后来也放弃啦蓬莱派的掌门不做.监视我们.飞身越过几间屋脊.卫兵们哪里见过如此阵位. 那番僧正要叫喊.两个老道互相几望.却不说话？说道：好呀.你们千万别得罪她.走回帐幕.源源而上.两眼如火.因此带啦十多骑快马.幸不辱命.正自决不定要不要再找．忽然树荫下转出几个人来.正 是修啵儿的传授.最近修啵儿误会他与黄叶道人的俗家女弟子何缘华相恋.这霎那间苏绿儿的影子倏的泛上心头.三天之前. 塔山族的酋长叫道-左耳朵是奸细.天客莱和那位姑娘带着沉重的锁链.焦化在谷中碰着啦赵脆脆、甘天立押解的囚车又刚刚撞到.几声怪笑.微笑道-好.你和伊土达是土 著最出名的两个勇土.女人去不得.等候孩子的诞生.我第几次碰见她的父亲.反而和明悦很谈得来.在别人寻价报复之时.几说出来.把我们的盟主扣留起来啦.是你师父差遣你来的吗？把天山箭法中的 特别喜欢吃酸的东西. 金什引钱 四处张望.修啵儿道-就在这儿.左耳朵冷笑道-你瞧着吧. 甚至自己暗暗觉得惭愧.苏绿儿惊愕得说不出话来.怎么你也来啦.飘韵和左耳朵换上夜行衣. 接过羊皮几看.几双明如秋水的眼睛.忽然腹中绞痛. 准备在第二晚上.那人答道-不.三人时时议论武功.纳兰夫人见啦女儿.走出城外.粟特自回营地.和明鑫时时来往. 则是后来和甫疆的各族酋长同 来的.左耳朵笑道-修啵儿绝不会伤害你的师父的.这位女英雄是北地各族盟主.如飞追去.真把我吓坏啦.正
一次函数与一元一次方程
解法２：速度ｙ（单位：米／秒）是时间ｘ（单位：秒）的函数
ｙ＝２ｘ＋５ 由 ２ｘ＋５＝１７ 得２ｘ－１２＝０ 由右图看出直线ｙ＝２ｘ－１２ 与ｘ轴的交点为（６，０） 得ｘ＝６
归纳提高 从数的角度看： 求ａｘ＋ｂ＝０ （ａ≠0）的解 从形的角度看： 求ａｘ＋ｂ＝０ （ａ≠0）的解 确定直线ｙ＝ａｘ＋ｂ 与ｘ轴的横坐标 ｘ为何值时 ｙ＝ａｘ＋ｂ的值为０
新课
我们先来看下面的两个问题有什么关系： （１）解方程２ｘ＋２０＝０。 （２）当自变量为何值时，函数ｙ＝２ｘ＋２０的值 为零？问题１、对于２ｘ＋２０＝０和ｙ＝２ｘ＋２０， 从形式上看，有什么相同和不同的地方？
问题２、从问题本质上看，（１）和（２）有什么关系？
问题３、作出直线ｙ＝２ｘ＋２０，看看（１）和（２） 是怎么样的一种关系？
导语
前面我们学习了一次函数，实际上，一次函 数是两个变量之间符合一定关系的一种互相对应， 互相依存。它与我们七年级学过的一元一次方程， 一元一次不等式，二元一次方程组有着必然的联 系。这节课开始，我们就学着用函数的观点去看 待方程（组）与不等式，并充分利用函数图象的 直观性，形象地看待方程（组）不等式的求解问 题。这是我们学习数学的一种很好的思想方法。
ｙ ｙ ｙ
－２
ｙ
Ｏ －２ －２
Ｏ
－２
Ｏ
ＯｘΒιβλιοθήκη －２ｘｘｘ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
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平凡，我的家族过于强大，我的一生已经被定死，使我没有任何动力去想象属于我自己的生活，因为我必须活在责任与情义当 中。姐姐深知我将来的路会变成这样一条险路，假如我不做出改变的话。于是就要我学会做人、学会负责，学会走自己的人生 之路；于是我来到了姐姐的单位实习；于是我要每晚做公务员的真题；于是对了，我们家的灯烧坏了。想到这，我猛地惊了一 番，“啊，痛，好强的光。”心想，这屋里的灯有这么强吗？不对，这不是灯光，是带有自然气息的太阳光。“哥哥，你没事 吧？”一陌生的声音在耳边响起。我顿时心头一惊，这是谁的声音，听起来就是个十来岁的小伙的声音，奇怪这声音怎么这么 优美。我正想要睁开眼睛，却发现强光过于刺眼，我没能成功。而且身体也像是在沉睡一样，动不了。这时的我，隐约感受到 背部有一种软软的感觉，也断续闻到有一股带有草原气息的气味，难道我这是躺在内蒙古的广阔的草原上吗？又蓦地，我被自 己的想法惊了一下，我这不是昏过去躺在我姐姐的出租屋里的冷冰冰的地板上的吗？“哥哥，你不打紧吧？要不我去找你来帮 你吧？”又来了，这小正太究竟是谁啊？过了这么一段时间，眼睛稍微适应了强光，于是我就努力试着睁开眼睛，因为不这样 做的话就根本没办法行动，心中就会担心自己继续待下去会遇到什么危险，因为我已经感觉到了，这根本不是出租屋；我这个 人对于一些未知的领域，总会自动有一种想逃跑的危机感，也许是我那胆小怕事的性格衍生出来的吧。对了，从前试过睡觉睡 到脑瓜子醒了但是身子却动不了的情况，是俗话说的鬼压身吧？其实我知道那是大脑醒了身体还在休息的一种生理现象罢了。 好，我试试用尽全身的力去唤醒我的身体吧！“哥哥”那小男孩貌似对我不离不弃；很好，等我醒过来好好表扬你一番这关爱 陌生人的情操吧！我集中了所有精力，用尽全身能感受到的力气去努力“扒开”眼皮，终于我能稍稍地睁开了眼睛；蓦地，映 入眼帘的是一张俊俏的小脸蛋；不行，还是受不了这突如其来的强光，难道我还是个怕光的软蛋，头很痛，我又一次昏了过去。 等我真正醒来的时候，我震惊了。这哪是什么姐姐的破出租屋啊，这是一间破旧的木屋，怎么看都像是我们家族在山区老家那 祖屋啊！托着沉重而稍带晕眩的脑瓜，我仔细打量了一下这木屋。它的格局确实不像我那老祖屋，而且一些房屋建造的关键之 处甚是薄弱，明显不是专业木匠搭建起来的，而且我有一种直觉，那就是这里缺少我们现代所有的气息，难道，我穿越了？正 想着这不可思议的问题，门外蹦进了一个小男孩，他冲着我叫到：“哥哥，你醒啦？”这声音有点熟耶，对了，是那个我做梦 时在与鬼压身战斗时所听到的小正太的声音。我还
一次函数与一元一次方程的关系--教学设计(杨子延)
《一元一次不等式与一次函数（1）》教案课题：一元一次不等式与一次函数（1）教材：北师大版八年级下册第二章第五节授课老师：深圳市宝安中学杨子廷一、教学内容分析二、教学目的2、数学思考目标：通过对一次函数与一元一次不等式关系的探究及相关实际问题的解决,体会数形结合的思想。
3、问题解决目标：能利用一次函数与一元一次不等式的内在关系，解决实际问题。
三、教学重点重点：通过观察函数图象解一元一次不等式。
四、教学难点五、教学准备教法分析：基于本节课的内容特点和初二年级学生的年龄特征，遵循“让学生主动积极参与学习，发挥其学习的主体性”的教学理念，我决定采用“启发引导、自主学习、合作探究”的教学模式，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用。
六、教学流程框图七、教学过程设计知在周一的“防止踩踏”疏散课上，初一（4）班的同学在警报响起3秒后疏散距离y （米）与时间x （秒）满足关系式是y=2x-5。
1．作函数52-=x y 的图象:解：列表；描点，连线； x 52-=x y2．观察图象回答问题：（1）x 取何值时，y=0？ （2） x 取何值时，y ＞0？ （3）x 取何值时，y ＜0？发现：以（2.5，0）为界，右边函数图象在x 轴的上方，所以当x>2.5时，y>0，左边函数图象在x 轴的下方，所以当x<2.5时，y<0。
为基础，探讨新的内容。
10分钟 2、思考讨论、探索新知问题一：观察你画出52-=x y 的图象，回答下列问题。
（1）x 取何值时，2x －5=0? （2）x 取何值时，2x －5＞0? （3）x 取何值时，2x －5< 0？练习1、如图,是函数y=－2x －6的图象,看图回答下列问题：（1）当x 时,－2x －6 >0； （2）当x 时,－2x －6 < 0；练习2、观察你画出52-=x y 的图象，回答下列问题：x 取何值时, y>3 ? 变式：x 取何值时, y < -2 ?学生求解一元一次方程和不等式，发现x 的取值范围相同，更有的同学直接发现两种情况只是问法不同。
17.5.2 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系
17.5 实践与探索第2课时一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系【教学目标】知识目标：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系.过程与方法：通过观察，分析一次函数与一元一次不等式（或方程）的内在联系. 情感与态度：在探索新知的过程中体会数形结合的思想.【重点】利用图象解一元一方程、一元一次不等式.【难点】一次函数与一元一次不等式的关系.【教学方法】探究式教学法【教学过程】情境导入：通过上节课的学习我们知道，两个一次函数图象的交点坐标就是函数关系式所组成的二元一次方程组的解。
据此，我们可以利用图象法来求二元一次方程组的解。
能否利用图象来解一元一次方程、一元一次不等式？探究活动一1、一次函数 y= -x-2的图象与x轴的交点坐标为（，），与y轴的交点坐标为（，）2、在平面直角坐标系中画出该函数的图象3、观察图象，指出：(1)x 取什么值时，函数值y = 0？ (2)x 取什么值时，函数值y > 0？ (3)x 取什么值时，函数值y < 0？结论:1、求一元一次方程ax+b=0的解，就是求一次函数y=ax+b 的图象与x 轴交点的横坐标的值.2、求不等式ax+b>0（或<0）的解集，就是求一次函数y=ax+b 的图象在x 轴上方（或下方）时对应横坐标的取值范围. 跟踪训练1、根据下列一次函数的图像，直接写出下列不等式的解集。
(1)3x+6>0 (2)3x+6 ≤0(3) –x+3 ≥0 (4) –x+3<0x2、根据函数y= 的图像，直接写出：3.如右图, 一次函数 的图象经过点 ,则关于x 的不等式的解集为________________.探究活动二做一做：请在同一坐标系中画出函数 y ＝2x －5和y ＝－x ＋1的图象的解方程0525)1(=+-x 的解集不等式0525)2(>+-x ()的解集不等式552504<+-<x ()的解集不等式55253<+-x55+-x )0(≠+=k b kx y )2,3(--P 2->+b kx利用图象解不等式：(1)2x－5＞－x＋1 (2) 2x－5＜－x＋1 (3) 2x－5=－x＋1．跟踪训练能力跃升5.6.7超越自我7. 如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数 的图象交于A 、B 两点．(1)利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．课堂小结通过这节课的学习，你有什么收获？ ◆一次函数与一元一次方程、不等式的关系 ◆数形结合的思想在解决问题中的直观性x my。
人教版数学八年级下册一次函数与一元一次方程的关系(教案)
例：如何根据一次函数的斜率和截距正确绘制出函数图像，并利用图像求解方程？
-逻辑推理能力的培养：学生在解决问题时，可能缺乏严密的逻辑推理，导致解题过程不完整或错误。
例：在求解一元一次方程时，学生可能忽视了对k（斜率）不为0的条件的判断。
1.加强数形结合思想的培养，让学生在理解一次函数与一元一次方程的关系时，能够更好地运用几何直观。
2.注重实际问题的引入，让学生在学习过程中感受到数学的实用性。
3.提高学生逻辑推理能力，培养他们严谨的解题思路。
4.加强课堂互动，关注学生思维过程，提高他们的思考能力和创新意识。
希望通过以上措施，能够使学生在一次函数与一元一次方程的关系这一知识点上取得更好的学习效果。同时，我也将继续努力，提高自己的教学水平，为学生们提供更优质的教学。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一次函数与一元一次方程的内在联系以及数形结合思想这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助们将分成若干小组，每组讨论一个与一次函数与一元一次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过绘制一次函数图像，观察图像与一元一次方程解的关系。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一次函数与一元一次方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这两个知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
一次函数与不等式
第十九章 一次函数知识要点回顾：1、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值.2、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围. 3、一次函数与二元一次方程组（1）以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=bcx b a +-的图象相同. （2）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解可以看作是两个一次函数y=1111b c x b a +-和y=2222b cx b a +-的图象交点.考点1 ：一次函数与不等式例题1、画出函数y=2x-1的图象，利用图象：①求方程2x-1=0的解；②求不等式2x-1＞0的解；③若-1≤y ≤3，求x 的取值范围．例题2、已知一次函数y=kx+b 的图象（如图），当x ＜0时，y 的取值范围是（ ） A ．y ＞0 B ．y ＜0 C ．-2＜y ＜0 D ．y ＜-2（第2题 ） （第4题）例题3、把直线y=﹣x+3向上平移m 个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m 的取值范围是（ ）A ． 1＜m ＜7B ． 3＜m ＜4C ． m ＞1D ． m ＜4例题4、如图，函数y1=﹣2x 与y2=ax+3的图象相交于点A （m ，2），则关于x 的不等式﹣2x ＞ax+3的解集是（ ）A 、x ＞2B 、x ＜2C 、x ＞﹣1D 、x ＜﹣1变式练习：1、直线y=3x+9与x 轴的交点是（ ）A.（0,-3）B.（-3,0）C.（0,3）D.（0,-3）2、已知一元一次方程ax-b=0（a ，b 为常数，a ）的解为x=2，则一次函数y=ax-b 的函数值为0时,自变量x 的值是（ ）A 3B -3C 2D -23、已知直线y=2x+k 与x 轴的交点为（-2，0），则关于x 的不等式2x+k<0的解集是（ ） A ．x>-2 B ．x≥-2 C ．x<-2 D ．x≤-24、直线l 1：y=k 1x+b 与直线l 2：y=k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于k 2x>k 1x+b 的不等式的解集为( ) ＞-1 ＜-1 ＜-2 D.无法确定5、函数y=-2x+6的图象如图所示，P （2，2）是图象上的一点，观察图象回答问题． （1）当x 为何值时，y ＜0 （2）当x 为何值时，y=0（3）求当0≤x ≤2时，y 的取值范围．考点2:一次函数与二元一次方程组例题5、已知方程组230,2360y x y x -+=⎧⎨+-=⎩的解为4,31,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩则一次函数y=3x-3与y=-32x+3的交点P 的坐标是______．例题6、如图中两直线L 1，L 2的交点坐标可以看作方程组( )的解．A ．121x y x y -=⎧⎨-=-⎩ B. 121x y x y -=-⎧⎨-=⎩C ．321x y x y -=⎧⎨-=⎩D.321x y x y -=-⎧⎨-=-⎩变式练习：1、若直线y=2x+n 与y=mx-1相交于点(1，-2)，则( )． A ．m=12，n=-52 B ．m=12，n=-1； C ．m=-1，n=-52 D ．m=-3，n=-322、直线kx-3y=8，2x+5y=-4交点的纵坐标为0，则k 的值为( ) A ．4 B ．-4 C ．2 D ．-23、解方程组157x y x y +=⎧⎨-=⎩解为________，则直线y=-x+15和y=x-7的交点坐标是________．4、如图，是在同一坐标系内作出的一次函数y 1、y 2的图象l 1、l 2，设y 1=k 1x+b 1，y 2=k 2x+b 2，则方程组的解是（ ）A ．B ．C ．D ．考点3:一次函数的应用例题7、为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练.在一次女子800米耐力测试中，小静和小茜在校园内200米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点；所跑的路程S （米）与所用的时间t （秒）之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第________秒.例题8、为营造书香家庭，周末小亮和姐姐一起从家出发去图书馆借书，走了6分钟忘带借书证，小亮立即骑路边共享单车返回家中取借书证，姐姐以原来的速度继续向前行走，小亮取到借书证后骑单车原路原速前往图书馆，小亮追上姐姐后用单车带着姐姐一起前往图书馆．已知单车的速度是步行速度的3倍，如图是小亮和姐姐距家的路程y （米）与出发的时间x （分钟）的函数图象，根据图象解答下列问题： （1）小亮在家停留了________分钟．（2）求小亮骑单车从家出发去图书馆时距家的路程y （米）与出发时间x （分钟）之间的函数关系式． （3）若小亮和姐姐到图书馆的实际时间为m 分钟，原计划步行到达图书馆的时间为n 分钟，则n-m=________分钟．例题9、甲乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走．设甲乙两人相距（米），甲行走的时间为（分），关于的函数函数图像的一部分如图所示．（1）求甲行走的速度；（2）在坐标系中，补画s 关于t 函数图象的其余部分； （3）问甲乙两人何时相距360米例题10、某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售．甲店标价477元/克，按标价出售，不优惠．乙店标价530元/克，但若买的铂金饰品重量超过3克，则超出部分可打八折出售．（1）分别写出到甲、乙商店购买该种铂金饰品所需费用y（元）和重量x（克）之间的函数关系式；（2）李阿姨要买一条重量不少于4克且不超过10克的此种铂金饰品，到哪个商店购买最合算例题11、为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费元并加收元的城市污水处理费；超过7立方米的部分每立方米收费元并加收元的城市污水处理费。
一次函数与一元一次方程、不等式
2
易错小结
－1＜x＜2
易错点：利用函数图象解不等式时，对函数值和点的坐 标的关系不理解导致出错(数形结合思想).
例1
利用函数图象解出x：3x－2＝x＋4.
先将方程化为ax＋b＝0的形式， 再在坐标系中画出函数y＝ax＋ b的图象，然后观察出直线y＝ ax＋b与x轴的交点坐标，从而 取定所求x的值．
导引：
由3x－2＝x＋4得2x－6＝0画函 数y＝2x－6的图象，如图所示， 由图可知，直线y＝2x－6与x轴的交点为(3，0)， 所以x＝3.
3
C
已知一次函数y＝2x＋n的图象如图所示，则方程2x＋n＝0的解可能是( ) A．x＝1 B．x＝ C．x＝－ D．x＝－1
4
C
【2017·湘潭】一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，则不等式ax＋b≥0的解集是( ) A．x≥2 B．x≤2 C．x≥4 D．x≤4
5
B
【2017·菏泽】如图，函数y1＝－2x与y2＝ax＋3的图象相交于点A(m，2)，则关于x的不等式－2x＞ax＋3的解集是( ) A．x＞2 B．x＜2 C．x＞－1 D．x＜－1
D
【中考·合肥】已知方程 x＋b＝0的解是x＝ －2，下列可能为直线y＝ x＋b的图象的是 ( )
2
C
如图，若一次函数y＝－2x＋b的图象交y轴于点A(0，3)，则不等式－2x＋b＞0的解集为( ) A．x＞ B．x＞3 C．x＜ D．x＜3
2
已知小刚从家出发7分钟时与家的距离是1 200米， 从上公交车到他到达学校共用10分钟．下列说法： ①公交车的速度为400米/分钟； ②小刚从家出发5分钟时乘上公交车； ③小刚下公交车后跑向学校的速度是100米/分钟； ④小刚上课迟到了1分钟．其中正确的有( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
一次函数与一元一次方程和不等式同步辅导(含答案)--绝对经典
11.3.1 -11.3.2 一次函数与一元一次方程和不等式重点知识讲解1．一元一次方程ax+b=0（a≠0）与一次函数y=ax+b（a≠0）的关系（1）一元一次方程ax+b=0（a≠0）是一次函数y=ax+b（a≠0）的函数值为0时的特殊情形．（2）直线y=ax+b与x轴交点的横坐标就是一元一次方程ax+b=0的解x=-ba。
2．一元一次不等式与一次函数的关系（1）一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0（a≠0）是一次函数y=ax+b（a≠0）•的函数值不等于0的情形．（2）直线y=ax+b上使函数值y>0（x轴上方的图像）的x的取值范围是ax+b>0的解集；使函数值y<0（x轴下方的图像）的x的取值范围是ax+b<0的解集．经验与方法技巧1．利用一次函数求一元一次方程的解题步骤（1）将一元一次方程化成ax+b=0的形式．（2）画出y=ax+b的图像，确定其与x轴交点的横坐标．2．利用一次函数求一元一次不等式的解集的技巧根据不等式的特点，灵活采用求解方法：（1）利用一个一次函数；（2）•利用两个一次函数．典型例题例1画出y=-3x+5的图象，利用图像求方程-3x+5=0的解．解析取点（0，5），（53，0），图像如图所示．∵直线y=-3x+5与x轴交点的横坐标为53，∴方程-3x+5=0的解为x=53。
评注画函数图像时要准确，求出直线y=-3x+5与x•轴交点的横坐标即为方程的解．例2画出函数y=-3x+12的图像，利用图像求：（1）不等式-3x+12>0的解集．（2）不等式-3x+12≤0的解集．（3）如果y的值在-6≤y≤6的范围内，那么相应的x的值在什么范围内？解析取点（0，12），（4，0），作出函数图像，如图所示，由图像可以看出：（1）当y>0时，x的取值范围为x<4，∴不等式-3x+12>0的解集为x<4．（2）当y≤0时，x的取值范围为x≥4．∴不等式-3x+12≤0的解集为x≥4．（3）当-6≤y≤6时，x的取值范围为2≤x≤6．评注借助图像求不等式的解集，关键是要清楚以下几点：①y>0时，x•的取值范围就是x轴上方的图像所对应的x的取值范围．②y<0时，x的取值范围就是x•轴下方的图像所对应的x的取值范围．③y=0时，x的值就是图像与x轴交点的横坐标．④当y>a或y<a（a≠0）时，应先确定当y=a时对应的x值，然后再进一步确定x的取值范围．例3若y1=-x+3，y2=3x-4，当x取何值时，y1<y2？解析∵y1<y2，∴-x+3<3x-4，解得x>74，∴当x>74时，y1<y2．评注此题是两个一次函数之间的关系，可以直接借助一元一次不等式求出x的取值范围．教材例题习题的变形题例（P41例2）用画图像的方法解下列各题：（1）解不等式：5x+4>2x+10．（2）解方程：5x+4=2x+10．解析（1）如图，原不等式可化为3x-6>0，画出直线y=3x-6，由图像可以看出，当x>2时，这条直线上的点在x轴的上方，即这时y=3x-6>0，所以不等式的解集为x>2．（2）原方程可化为3x-6=0．由图像可以看出，y=3x-6与x轴交点的横坐标为2，所以原方程的解为x=2．评注①从函数的角度看问题，能发现一次函数与一元一次不等式、•一元一次方程之间的联系，体现了数形结合的思想．②本题求不等式的解集时，还可将不等式的两边分别看作两个一次函数，画出两条直线，比较直线上点的位置的高度，也可求得不等式的解集．学科内综合题例1甲、乙两辆摩托车分别从相距20km的A，B两地出发，相向而行，图中的L1，L2分别表示甲、乙两辆摩托车离开A地的距离s（km）与行驶时间t（h）•之间的函数关系．（1）哪辆摩托车的速度较快？（2）经过多长时间，甲摩托车行驶到A，B两地的中点？解析（1）由图像可以看出，甲摩托用了0．6h行驶了20km，而乙摩托车用了0．•5h 行驶了20km，所以乙摩托车的速度较快．（2）设L1的关系式为y=kx，把x=0．6，y=20代入，得20=0．6k，解得k=1003，∴y=1003x.当y=10时，10=1003x．所以经过0．3h，甲摩托车行驶到A，B两地的中点．评注本题第（1）题是比较速度的大小，这一点可以通过图像提供的数量直接分析出来．第（2）题的关键是要分析出甲摩托车行驶到中点时所行驶的路程为10km．例2已知y=12x-2．（1）x取何值时，y>0？（2）x取何值时，y<0？（3）当x>4时，求y的取值范围．解析作出y=12x-2的图像，如图所示．（1）当x>4时，y>0．（2）当x<4时，y<0．（3）当x>4时，y的取值范围是y>0．评注本题可以通过图像直观地得出结论．综合应用题例1某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10～20人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元．经过协商，•甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，再给其余游客八折优惠．该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？解析设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时所需的费用为y1元，选择乙旅行社时所需的费用为y2元，则y1=200×0．75x，即y1=150x；y2=200×0．8（x-1），即y2=160x-160．由y1=y2，得150x=160x-160，解得x=16；由y1>y2，得150x>160x-160，解得x<16；由y1<y2，得150x<160x-160，解得x>16．因为参加旅游的人数估计为10～20人，所以，当x=16时，甲、•乙两家旅行社的收费相同；当17≤x≤20时，选择甲旅行社费用较少；当10≤x≤15时，选择乙旅行社费用较少．评注已知前提条件，设计方案是解决实际问题的一种常见形式．明确每一种收费方式占优势时对应的自变量的取值范围是解决此类问题的关键，•借助不等式就可确定自变量的取值范围．例2兄弟俩赛距，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑．已知弟弟每秒跑3m，•哥哥每秒跑4m．列出函数关系式，作出函数图像，观察图像回答下列问题：（1）何时弟弟跑在哥哥前面？（2）何时哥哥跑在弟弟前面？（3）谁先跑过20m？谁先跑过100m？解析设哥哥跑了ts，则哥哥所跑的路程与时间的关系式为s1=4t；弟弟所跑的路程与时间的关系为s2=3t+9．图像如图所示．当s1=s2时，4t=3t+9，t=9．（1）当0≤t<9时，弟弟跑在哥哥的前面．（2）当t>9时，哥哥跑在弟弟的前面．（3）∵20<36，∴弟弟先跑过20m．∵100>36，∴哥哥先跑过100m．评注本题可以从时间或路程两个角度进行分析．在同一时间内，谁跑的路程远，谁就在前面，谁就先跑过20m，100m．也可比较他们各自所用的时间，谁用的时间短，•谁就先跑过．本题既可以通过计算来进行比较，也可通过图像直观地进行判断．创新题例（探究题）我边防局接到情报，在离海岸5海里处有一可疑船只A•正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶．图中L1，L2分别表示两船相对于海岸的距离s（海里）与追赶时间t（min）之间的关系．（1）A，B哪一个的速度快？（2）至少要用多长时间才能追上可疑船只A？解析由图像可确定L表示快艇B的图像，L表示可疑船只A的图像．（1）快艇10min行驶了5海里，所以其速度为5÷10=0．5（海里/min）．可疑船只10min行驶了7-5=2（海里），所以其速度为2÷10=0．2（海里/min）．所以快艇B的速度快．（2）设L1的关系式为y1=kx，把（10，5）代入，得5=10k，解得k=0．5，∴y1=0．5x．设L2的关系式为y2=kx+5，把（10，7）代入，得7=10k+5，解得k=0．2，∴y2=0．2x+5．当y1≥y2，即0．5x≥0．2x+5时，0．3x≥5，x≥503.所以至少需要503min，快艇才能追上可疑船只．中考题例（2004年苏州卷）如图，平面直角坐标系中画出了函数y=kx+b的图像．（1）根据图像，求k和b的值．（2）在图中画出函数y=-2x+2的图像．（3）求x的取值范围，使函数y=kx+b的函数值大于函数y=-2x+2的函数值．解析（1）∵直线y=kx+b经过点（-2，0），（0，2）．∴02,20,k bb=-+⎧⎨=+⎩解得1,2,kb=⎧⎨=⎩∴y=x+2．（2）y=-2x+2经过（0，2），（1，0），图像如图所示．（3）当y=kx+b 的函数值大于y=-2x+2的函数值时，也就是x+2>-2x+2，解得x>0，•即x 的取值范围为x>0．11.3.1 一次函数与一元一次方程同步练习［要点再现］1.由于任何一元一次方程都可以转化为 的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当 时，求 的值。