2019年上海市高三数学竞赛试卷答案

2016年上海市高三数学竞赛试卷
2016年3月27日上午9：30～11：30
【说明】解答本试卷不得使用计算器．解答请写在答题纸上.
一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）
1． 已知函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0，a 、b 、c 均为常数),函数f 1(x )的图像与函数f (x )的图像关于y 轴对称，函数f 2(x )的图像与函数f 1(x )的图像关于直线y=1对称，则函数f 2(x )的解析式是 ．
2．复数z 满足|z |=1, w=3z 22
2
z -在复平面上对应的动点W 所表示曲线的普通方程为 ．
3. 关于x 的方程arctan 2arctan 26
x x π
--=
的解是 ．
4. 红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六个面上的数字为1,2,3,4,5,6；则同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于36，共有 种可能．
5. 已知函数f (x)=cos(),x πg (x )=2x a 1
2
-
(a ≠0);若存在1x 、2x ∈[0,1],使f (1x ) =f (2x )成立，则实数a 的取值范围为 ．
6. 如图，有16间小三角形的房间.甲、乙两人被随机地分别安置在不同的小三角形的房间，那么他们在不相邻（指没有公共边）房间的概率是 ．（用分数表示）
7. 在空间，四个不共线的向量OA 、OB 、
OC 、OD ,它们两两间的夹角都是α，则α的大小是 ．
8.已知a >0,b >0,a 3+b 3=1,则a +b 的取值范围为 ．
二、解答题（本大题满分60分）
9．（本题满分15分）如图，已知五边形A 1B 1C 1D 1E 1内接于边长为1的正五边形ABCDE ；
求证：五边形A 1B 1C 1D 1E 1中至少有一条边的长度不小于cos
5
π
．
10．（本题满分15分）设p ，q 和r 是素数，且p |qr 1-(p |qr 1-表示qr 1-能被p 整除)，q |rp 1-和r |pq 1-;求pqr 的所有可能的值．
11．（本题满分15分）已知数列{}n a 满足递推关系111
23
n n n a a +=-+（*n N ∈）;
求所有1a 的值，使{}n a 为单调数列，即{}n a 为递增数列或递减数列.
12．（本题满分15分）已知等边三角形ABC 的边长为5，延长BA 至点P ，使得|AP |=9. D 是线段BC 上一点（包括端点），直线AD 与BPC ∆的外接圆交于E 、F 两点，其中|EA |<|ED |.
(1)设|BD |=x ,试将|EA |-|DF |表示为关于x 的函数f (x );
(2)求f (x )的最小值.
A B
C
D
E
A 1
B 1
C 1
D 1
E 1
A
B
C
D E
F
P
一、填空题
1．2
()2.f x ax bx c =++- 2． 2
2
1.25
y x += 3．2log x =
4．48． 5. 13[,0)(0,]22-. 6.
1720 7. 1
arccos()3
- 8. 二、解答题
9、已知五边形11111A B C D E 内接于边长为1的正方形ABCDE ；求证：五边形
11111A B C D E 中至少有一条边的长度不小于cos
5
π。

证明：1111111111,,,,,,,,,AE AA BA BB CB CC DC DD ED EE 的长分别为
1212121212,,,,,,,,,a a b b c c d d e e 。

于是1212121212()()()()()5a a b b c c d d e e +++++++++=
由平均数原理，1212121212(),(),(),(),()a a b b c c d d e e +++++必有一个大于等于1。

不妨设121a a +≥，故211a a ≥-。

()()2
222
21112121111322cos
121cos 55
A E a a a a a a a a ππ=+-≥+-+- 2
11222(1cos
)21cos 155a a ππ⎛
⎫
=---+ ⎪⎝
⎭
2
2121122(1cos )1cos
(cos )5225
5a ππ
π⎛⎫⎛⎫
=--++≥ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
10．解：由题设可知|(1)(1)(1)pqr qr rp pq ---；
222(1)(1)(1)()1,qr rp pq p q r pqr p q r pq qr rp ---=-+++++-
|1,pqr pq qr rp ∴++-即
11111
pq qr rp pqr p q r pqr
++-=++-为正整数；
记1111,k p q r pqr =
++-由于,,2,p q r ≥故3
1,2
k ≤<从而只能1k =. 由对称性，不妨设p q r ≤≤； 若3,p ≥则111
1,k p q r
<
++≤矛盾，故2p =. 若3,q >则12
5,1,25
q k ≥≤
+<矛盾. 若2,q =则1111
()1,224k r r
=
++->也矛盾，故3q =. 最后，由1111
1,236r r
=
++-得5r =. 经检验，2,3,5p q r ===符合题意. 30pqr ∴=.
11. 解：*1111111
()333,232
n n n n n n n a a n N a a ++++=-
+∈⇔=-⨯+
令3,n
n n b a =则*113636
3,(),()2525
n n n n b b b b n N ++=-
+-=-∈ 1111163636
()()()(3),52525
n n n b b a --+∴-
=--=-- 1111116632121[(3)()]()()()335525352
n n n n n n n b a a a ---=
=+--=+-- 1111222()[()()].2535
n n a --=--+-
若120,5a -
≠则由11222()535n a --<-，可得213
52
1log (),25n a >+-
故当*
,n N ∈且213
52
1log (
)25
n a >+-时，11222()()535n a --+-与125a -同号；
而1
1
()
2
n --正负交叉，从而n a 正负交叉，{}n a 不是单调数列.
当125a =
时，1
21()53
n n a -=为递减数列; 综上，当且仅当12
5
a =
时，{}n a 为单调数列. 12. 解：（1）设,,,u EA v AD DF ω===则()f x u w =-. 在ABD
中，由余弦定理得，v =
==.
在PBC 的外接圆中运用相交弦定理，得,,EA AF BA AP ED DF BD DC == 即()45,()(5);u v w u v w x x +=+=-两式相减得2
()545,v u w x x -=-+故
22545()5)x x f x u w x v -+=-==≤≤
（2
）设0t =
≥，则
22
2020()t f x t t t +=
==+≥=.
当且仅当20
t t
=
时等号成立，即t ==x =
所以，当52
x ±=
时，()f x 取到最小值。