一元二次方程根与系数的关系培优练习
根与系数的关系及判别式综合问题大题培优强化11题

根与系数的关系及判别式综合问题培优强化30题1.已知关于x的一元二次方程kx2+(k﹣2)x﹣2=0(k≠0).(1)求证:不论k为何值,这个方程都有两个实数根;(2)若此方程的两根均整数,求整数k的值.2.已知关于x的一元二次方程x2+(k+2)x+2k=0.(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若该方程有一个根是正数,求k的取值范围.3.已知关于x的方程x2﹣(k+2)x+2k=0.(1)求证:无论k为何值,方程总有实数根;(2)若等腰三角形一腰长为5,另外两边长度为该方程的两根,求等腰三角形的周长.4.已知关于x的一元二次方程x(x﹣2)=k.(1)若k=3,求此方程的解;(2)当k≥﹣1时,试判断方程的根的情况.5.已知:关于x的一元二次方程x2﹣(2k+3)x+k2+3k+2=0.(1)证明无论k取何值时方程总有两个实数根.(2)△ABC中,BC=5,AB、AC的长是这个方程的两个实数根,求k为何值时,△ABC是等腰三角形?6.如图,菱形ABCD中,m、n、t分别是菱形ABCD的两条对角线和边长,这时我们把关于x 的形如mx2+2√2tx+n=0的一元二次方程称为“菱系一元二次方程”.请解决下列问题:(1)填空:①当m=2,n=4时,t=;②用含m、n的代数式表示t2=;(2)求证:关于x的“菱系一元二次方程”mx2+2tx+12n=0必有实数根.7.关于x的一元二次方程ax2+6x﹣5a=0…①和3x2﹣ax+a=0…②.(1)若a>0,且方程①有两实根x1,x2,方程②有两实根x3,x4,求代数式x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4的最小值;(2)是否存在实数a,使得方程①和②恰有一个公共的实数根?若存在,请求出实数a的值;若不存在请说明理由.8.阅读材料,解答问题:材料1为了解方程(x2)2﹣13x2+36=0,如果我们把x2看作一个整体,然后设y=x2,则原方程可化为y2﹣13y+36=0,经过运算,原方程的解为x1,2=±2,x3,4=±3.我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法.材料2已知实数m,n满足m2﹣m﹣1=0,n2﹣n﹣1=0,且m≠n,显然m,n是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根,由韦达定理可知m+n=1,mn=﹣1.根据上述材料,解决以下问题:(1)直接应用:方程x4﹣5x2+6=0的解为;(2)间接应用:已知实数a,b满足:2a4﹣7a2+1=0,2b4﹣7b2+1=0且a≠b,求a4+b4的值;(3)拓展应用:已知实数m,n满足:1m4+1m2=7,n2﹣n=7且n>0,求1m4+n2的值.9.若α=1+√52为一元二次方程x2﹣x+t=0的根;(1)则方程的另外一个根β=,t=;(2)求(α3﹣α2+1)(β3﹣β2+1)的值.10.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,那么称这样的方程为“倍根方程”.例如,一元二次方程x2﹣9x+18=0的两个根是3和6,则方程x2﹣9x+18=0就是“倍根方程”.(1)若一元二次方程x2﹣6x+k=0是“倍根方程”,则k=;(2)若一元二次方程nx2﹣(2n+m)x+2m=0(n≠0)是“倍根方程”,求m+n2m−n的值;11.已知关于x的方程ax2+2x﹣3=0有两个不相等的实数根.(1)求a的取值范围;(2)若此方程的一个实数根为2,求a的值;(3)直接写出所有不大于5的正整数a的值,使原方程的两个根均为有理数.。
一元二次方程根与系数的关系同步培优题典(解析版)

专题1.6一元二次方程根与系数的关系姓名:__________________ 班级:______________ 得分:_________________注意事项:本试卷满分100分,试题共24题.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020•遵化市模拟)关于x的一元二次方程x2﹣2x=0的两个实数根,下列结论错误的是()A.x1≠x2B.x1x2=2C.x1+x2=2D.x12﹣2x1=0【分析】根据方程的系数结合根的判别式可得出△=4>0,进而可得出x1≠x2,结论A正确;利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出x12﹣2x1=0,x1•x2=0,x1+x2=2,即结论C,D正确,结论B 错误,此题得解.【解析】∵△=(﹣2)2﹣4×1×0=4>0,∴关于x的一元二次方程x2﹣2x=0有两个不相等的实数根,∴x1≠x2,结论A正确;∵x1,x2是一元二次方程x2﹣2x=0的两个实数根,∴x12﹣2x1=0,x1•x2=0,x1+x2=2,∴结论C,D正确,结论B错误.故选:B.2.(2020•天心区校级模拟)已知m,n是方程x2+2x﹣1=0的两个实数根,则m2﹣2n+2015的值是()A.2021B.2020C.2019D.2018【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出m2+2m=1,m+n=﹣2,将其代入m2﹣2n+2015=(m2+2m)﹣2(m+n)+2015中即可求出结论.【解析】∵m,n是方程x2+2x﹣1=0的两个实数根,∴m2+2m=1,m+n=﹣2,∴m2﹣2n+2015=(m2+2m)﹣2(m+n)+2015=1+4+2015=2020.故选:B.3.(2019秋•中山市校级期末)关于x的方程x2﹣mx﹣3=0的一个根是x1=3,则它的另一个根x2是()A.0B.1C.﹣1D.2【分析】根据根与系数的关系即可求出答案.【解析】由根与系数的关系可知:3x2=﹣3,解得x2=﹣1.故选:C.4.(2019秋•新会区期末)关于x的方程x2﹣mx+6=0有一根是﹣3,那么这个方程的另一个根是()A.﹣5B.5C.﹣2D.2【分析】根据两根之积可得答案.【解析】设方程的另一个根为a,∵关于x的方程x2﹣mx+6=0有一根是﹣3,∴﹣3a=6,解得a=﹣2,故选:C.5.(2020春•西湖区期末)关于x的方程k2x2+(2k﹣1)x+1=0有实数根,则下列结论正确的是()A.当k=12时,方程的两根互为相反数B.当k=0时,方程的根是x=﹣1C.若方程有实数根,则k≠0且k≤1 4D.若方程有实数根,则k≤1 4【分析】因为已知没有明确此方程是否是一个一元二次方程,所以方程有两种情况,既可以是一元一次方程,也可以一元二次方程,所以分两种情况分别去求k的取值范围,然后结合选项判断选择什么.【解析】若k=0,则此方程为﹣x+1=0,所以方程有实数根为x=1,则B错误;若k≠0,则此方程是一元二次方程,由于方程有实数根,∴△=(2k﹣1)2﹣4k2=﹣4k+1≥0,∴k≤14且k≠0;综上所述k的取值范围是k≤1 4.故A错误,C错误,D正确.故选:D.6.(2020•红桥区模拟)一元二次方程x2﹣4x+2=0根的情况是()A.无实数根B.有一个正根,一个负根C.有两个正根,且都小于3D.有两个正根,且有一根大于3【分析】判断上述方程的根的情况,只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号、以及两根的和,两根的积就可以了.【解析】∵a=1,b=﹣4,c=2,∴△=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4×1×2=8>0,∴方程有两个不相等的实数根,∵两根的和为4,两根的积为2,∴有两个正根,且有一根大于3.故选:D.7.(2020•湖北)关于x的方程x2+2(m﹣1)x+m2﹣m=0有两个实数根α,β,且α2+β2=12,那么m的值为()A.﹣1B.﹣4C.﹣4或1D.﹣1或4【分析】根据方程的根的判别式,得出m的取值范围,然后根据根与系数的关系可得α+β=﹣2(m﹣1),α•β=m2﹣m,结合α2+β2=12即可得出关于m的一元二次方程,解之即可得出结论.【解析】∵关于x的方程x2﹣2(m﹣1)x+m2=0有两个实数根,∴△=[2(m﹣1)]2﹣4×1×(m2﹣m)=﹣4m+4≥0,解得:m≤1.∵关于x的方程x2+2(m﹣1)x+m2﹣m=0有两个实数根α,β,∴α+β=﹣2(m﹣1),α•β=m2﹣m,∴α2+β2=(α+β)2﹣2α•β=[﹣2(m﹣1)]2﹣2(m2﹣m)=12,即m2﹣3m﹣4=0,解得:m=﹣1或m=4(舍去).故选:A.8.(2020•南京)关于x的方程(x﹣1)(x+2)=p2(p为常数)的根的情况,下列结论中正确的是()A.两个正根B.两个负根C.一个正根,一个负根D.无实数根【分析】先把方程(x﹣1)(x+2)=p2化为x2+x﹣2﹣p2=0,再根据方程有两个不相等的实数根可得△=1+8+4p2>0,由﹣2﹣p2>0即可得出结论.【解析】∵关于x的方程(x﹣1)(x+2)=p2(p为常数),∴x2+x﹣2﹣p2=0,∴△=1+8+4p2=9+4p2>0,∴方程有两个不相等的实数根,根据根与系数的关系,方程的两个根的积为﹣2﹣p2<0,∴一个正根,一个负根,故选:C.9.(2020•日照一模)已知m,n(m≠n)满足方程x2﹣5x﹣1=0,则m2﹣mn+5n=()A.﹣23B.27C.﹣25D.25【分析】由根与系数的关系可得出m+n=5、mn=﹣1,m2﹣5m=1,将m2﹣mn+5n变形为m2﹣5m﹣mn+5(m+n),代入数据即可得出结论.【解析】∵m,n(m≠n)满足方程x2﹣5x﹣1=0,∴m+n=5,mn=﹣1,m2﹣5m=1,∴m2﹣mn+5n=m2﹣5m﹣mn+5(m+n)=1+1+25=27.故选:B.10.(2020•文登区模拟)已知a,b是方程x2+3x﹣5=0的两个实数根,则a2﹣3b+2020的值是()A.2016B.2020C.2025D.2034【分析】利用根与系数的关系,求出a2+3a=5,a+b=﹣3,再代入计算即可求解.【解析】∵a,b是方程x2+3x﹣5=0的两个实数根,∴a2+3a=5,a+b=﹣3,则a2﹣3b+2020=a2+3a﹣3(a+b)+2020=5+9+2020=2034.故选:D.二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)请把答案直接填写在横线上11.(2020•泰州)方程x2+2x﹣3=0的两根为x1、x2,则x1•x2的值为﹣3.【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系,即可得出x1•x2的值.【解析】∵方程x2+2x﹣3=0的两根为x1、x2,∴x1•x2=ca=−3.故答案为:﹣3.12.(2020•南昌一模)已知α、β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根,则α2﹣3α﹣αβ的值为3或7.【分析】由一元二次方程的解及根与系数的关系可得出α2﹣2α=3,αβ=﹣3,将其代入α2﹣3α﹣αβ中可得出α2﹣3α﹣αβ=6﹣α,利用因式分解法解一元二次方程可求出α的值,再将其代入6﹣α中即可求出结论.【解析】∵α、β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根,∴α2﹣2α=3,αβ=﹣3,∴α2﹣3α﹣αβ=α2﹣2α﹣α﹣αβ=3﹣α﹣(﹣3)=6﹣α.∵x2﹣2x﹣3=0,即(x+1)(x﹣3)=0,解得:x1=﹣1,x2=3,∴α=3或﹣1,∴6﹣α=3或7.故答案为:3或7.13.(2020•泉州模拟)已知m,n是方程x2+2x﹣1=0的两个根,则m2n+mn2=2.【分析】先根据根与系数的关系得到m+n=﹣2,mn=﹣1,再利用因式分解法得到m2n+mn2=mn(m+n),然后利用整体代入的方法计算.【解析】根据题意得m+n=﹣2,mn=﹣1,所以m2n+mn2=mn(m+n)=﹣1×(﹣2)=2.故答案为2.14.(2020•青海)在解一元二次方程x2+bx+c=0时,小明看错了一次项系数b,得到的解为x1=2,x2=3;小刚看错了常数项c,得到的解为x1=1,x2=5.请你写出正确的一元二次方程x2﹣6x+6=0.【分析】利用根与系数的关系得到2×3=c,1+5=﹣b,然后求出b、c即可.【解析】根据题意得2×3=c,1+5=﹣b,解得b=﹣6,c=6,所以正确的一元二次方程为x2﹣6x+6=0.故答案为x2﹣6x+6=0.15.(2020•太仓市模拟)已知a,b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020=0的两个根,则a2+2b﹣3的值等于2021.【分析】根据根与系数的关系以及方程的解的定义即可求出答案.【解析】由题意可知:a2﹣2a=2020,由根与系数的关系可知:a+b=2,∴原式=a2﹣2a+2a+2b﹣3,=2020+2(a+b)﹣3=2020+2×2﹣3=2021,故答案为:2021.16.(2020•南昌县模拟)若方程x2﹣4x+2=0的两个根为x1,x2,则x1(1+x2)+x2的值为6.【分析】欲求x1(1+x2)+x2=x1+x2+x1•x2的值,根据一元二次方程根与系数的关系,求得两根的和与积,代入数值计算即可.【解析】根据题意x1+x2=4,x1•x2=2,∴x1(1+x2)+x2=x1+x2+x1•x2=4+2=6.故答案为:6.17.(2020•荆门)已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2=0(m>0)的一个根比另一个根大2,则m的值为1.【分析】设方程的两根分别为t,t+2,利用根与系数的关系得到t+t+2=4m,t(t+2)=3m2,利用代入消元法得到(2m﹣1)(2m+1)=3m2,然后解关于m的方程得到满足条件的m的值.【解析】设方程的两根分别为t,t+2,根据题意得t+t+2=4m,t(t+2)=3m2,把t=2m﹣1代入t(t+2)=3m2得(2m﹣1)(2m+1)=3m2,整理得m2﹣1=0,解得m=1或m=﹣1(舍去),所以m的值为1.故答案为1.18.(2020•内江)已知关于x的一元二次方程(m﹣1)2x2+3mx+3=0有一实数根为﹣1,则该方程的另一个实数根为−13.【分析】把x=﹣1代入原方程求出m的值,进而确定关于x的一元二次方程,根据根与系数的关系可求出方程的另一个根.【解析】把x=﹣1代入原方程得,(m﹣1)2﹣3m+3=0,即:m2﹣5m+4=0,解得,m=4,m=1(不合题意舍去),当m=4时,原方程变为:9x2+12x+3=0,即,3x2+4x+1=0,由根与系数的关系得:x1•x2=13,又x1=﹣1,∴x2=−1 3故答案为:−1 3.三、解答题(本大题共6小题,共46分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.(2019秋•孝南区期末)关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1=0有实根.(1)求m的取值范围;(2)设方程的两实根分别为x1,x2且x1﹣x2=﹣2,求m的值.【分析】(1)根据判别式的意义得到△=(﹣2)2﹣4(2m﹣1)≥0,然后就解关于m的不等式;(2)利用根与系数的关系得到x1+x2=2,x1•x2=2m﹣1,而x1﹣x2=﹣2,则可先求出x1、x2的值,然后计算m的值.【解析】(1)根据题意得△=(﹣2)2﹣4(2m﹣1)≥0,解得m≤1;(2)由根与系数的关系可得x1+x2=2,x1•x2=2m﹣1,∵x1﹣x2=﹣2,∴x1=0,x2=2,∴2m﹣1=0,解得m=1 2.20.(2019秋•鞍山期末)已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2=0有实数根.(1)求k的取值范围.(2)设方程的两个实数根分别为x1、x2,若2x1x2﹣x1﹣x2=1,求k的值.【分析】(1)由△≥0,求出k的范围;(2)由根与系数的关系可知:x1+x2=﹣2k﹣1,x1x2=k2,代入等式求解即可.【解析】(1)∵一元二次方程x2+(2k+1)x+k2=0有实数根,∴△=(2k+1)2﹣4k2≥0,∴k≥−1 4;(2)由根与系数的关系可知:x1+x2=﹣2k﹣1,x1x2=k2,∴2x1x2﹣x1﹣x2=2k2+2k+1=1,∴k=0或k=﹣1,∵k≥−1 4;∴k=0.21.(2020•玉林)已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围;(2)若方程的两个不相等的实数根是a,b,求aa+1−1b+1的值.【分析】(1)根据方程有两个不相等的实数根可得△=4+4k>0,解不等式求出k的取值范围;(2)由根与系数的关系可得a+b=﹣2,a•b=﹣k,代入整理后的代数式,计算即可.【解析】(1)∵方程有两个不相等的实数根,∴△=b2﹣4ac=4+4k>0,解得k>﹣1.∴k的取值范围为k>﹣1;(2)由根与系数关系得a+b=﹣2,a•b=﹣k,a a+1−1b+1=ab−1ab+a+b+1=−k−1−k−2+1=1.22.(2020•黄石)已知:关于x的一元二次方程x2+√m x﹣2=0有两个实数根.(1)求m的取值范围;(2)设方程的两根为x1、x2,且满足(x1﹣x2)2﹣17=0,求m的值.【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式,即可得出△=m+8≥0,根据二次根式的意义即可得出m ≥0,从而得出m的取值范围;(2)根据根与系数的关系可得x1+x2=−√m,x1•x2=﹣2,结合(x1﹣x2)2﹣17=0即可得出关于m的一元一次方程,解之即可得出结论.【解析】(1)∵关于x的一元二次方程x2+√m x﹣2=0有两个实数根,∴△=[√m]2﹣4×1×(﹣2)=m+8≥0,且m≥0,解得:m≥0.(2)∵关于x的一元二次方程x2+√m x﹣2=0有两个实数根x1、x2,∴x1+x2=−√m,x1•x2=﹣2,∴(x1﹣x2)2﹣17=(x1+x2)2﹣4x1•x2﹣17=0,即m+8﹣17=0,解得:m=9.23.(2019秋•南充期末)已知关于x的方程ax2+(3﹣2a)x+a﹣3=0.(1)求证:无论a为何实数,方程总有实数根.(2)如果方程有两个实数根x1,x2,当|x1﹣x2|=32时,求出a的值.【分析】(1)证明一元二次方程根的判别式恒大于等于0,即可解答;(2)根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=2a−3a,以及x1•x2=a−3a,由|x1﹣x2|=32即可求得a的值.【解答】(1)证明:①当a=0时,方程为3x﹣3=0,是一元一次方程,有实数根;②当a≠0时,方程是一元二次方程,∵关于x的方程ax2+(3﹣2a)x+a﹣3=0中,△=(3﹣2a)2﹣4a(a﹣3)=9>0,∴无论a为何实数,方程总有实数根.(2)解:如果方程的两个实数根x1,x2,则x1+x2=2a−3a,x1•x2=a−3a,∵|x1﹣x2|=3 2,∴√(2a−3a)2−4×a−3a=32,解得a=±2.故a的值是﹣2或2.24.(2020•广东)已知关于x,y的方程组{ax+2√3y=−10√3,x+y=4与{x−y=2,x+by=15的解相同.(1)求a,b的值;(2)若一个三角形的一条边的长为2√6,另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b=0的解.试判断该三角形的形状,并说明理由.【分析】(1)关于x ,y 的方程组{ax +2√3y =−10√3,x +y =4与{x −y =2,x +by =15的解相同.实际就是方程组{x +y =4x −y =2的解,可求出方程组的解,进而确定a 、b 的值; (2)将a 、b 的值代入关于x 的方程x 2+ax +b =0,求出方程的解,再根据方程的两个解与2√6为边长,判断三角形的形状.【解析】(1)由题意得,关于x ,y 的方程组的相同解,就是方程组{x +y =4x −y =2的解, 解得,{x =3y =1,代入原方程组得,a =﹣4√3,b =12; (2)当a =﹣4√3,b =12时,关于x 的方程x 2+ax +b =0就变为x 2﹣4√3x +12=0, 解得,x 1=x 2=2√3,又∵(2√3)2+(2√3)2=(2√6)2,∴以2√3、2√3、2√6为边的三角形是等腰直角三角形.。
一元二次方程根与系数的关系习题(配答案)

一元二次方程根与系数旳关系习题一、单选题:1.有关x 旳方程0122=+-x ax 中,如果0<a ,那么根旳状况是( B )(A )有两个相等旳实数根 (B)有两个不相等旳实数根(C )没有实数根 (D)不能拟定a 4)2(2--=∆ 解: 04>-∴a 实数根。
原方程有两个不相等的∴a 44-= 044>-∴a0<a 0>∆即2.设21,x x 是方程03622=+-x x 旳两根,则2221x x +旳值是( C )(A)15 (B)12 (C)6 (D )321x x ,方程两根为解: 2122122212)(x x x x x x -+=+∴ 2332121==+x x x x , 623232=⨯-= 3.下列方程中,有两个相等旳实数根旳是( B )(A ) 2y 2+5=6y(B)x 2+5=2错误!x(C)错误!x 2-错误!x+2=0(D)3x2-2错误!x+1=0 )0(”的方程即可本题为找出“=∆4.以方程x 2+2x-3=0旳两个根旳和与积为两根旳一元二次方程是( B )(A ) y 2+5y -6=0 (B )y2+5y +6=0 (C)y2-5y +6=0 (D)y 2-5y-6=0,则:,解:设方程两根为21x x 0)3)(2()]3()2[(2=--+-+--y y322121-=-=+x x x x , 0652=++y y 即::为根的一元二次方程为和以32--∴5.如果21x x ,是两个不相等实数,且满足12121=-x x ,12222=-x x ,那么21x x •等于( D )(A)2 (B )-2 (C ) 1 (D)-1 1212222121=-=-x x x x ,解: 的两根12221=-∴x x x x 可看作是方程, 121-=∴x x二、填空题:1、如果一元二次方程0422=++k x x 有两个相等旳实数根,那么k =2±。
一元二次方程专题能力培优(含答案)

一元二次方程专题能力培优(含答案)解得:m≠2m10当m≠2时,原方程可化为x-m+1=0.2.C解析:将方程化简可得(m-6)x+(m-6)=0,由于常数项为0,所以m-6=0,即m=6.3.a=2解析:由于一次项系数为0,所以根据一元二次方程的求根公式可得:x1=x2=-b/2a,代入a-b+c=0中得a=2.4.a=2解析:将方程化简可得(2a-4)x+(3a+6)x+(a-8)=0,由于一次项系数为0,所以2a-4+3a+6=0,解得a=2.5.D解析:由题可得另一个根为-b,代入x1x2=a/c=-a/b得到b=-2a,代入a-b得到a=2b,所以a-b=2b-b=b=2.6.a/2解析:由于a-b+c=0,所以c=b-a,代入一元二次方程的求根公式可得x1=(b+√(b^2-4ac))/2a,x2=(b-√(b^2-4ac))/2a,代入x1x2=a/c得到a=(b^2-a^2)/(b-a),解得a/2=b-a,即a=2b-2a,解得a/2.7.2012解析:由一元二次方程的求根公式可得a=2013/2+√(2013^2/4-1),代入a-2012a-2013/2得到2012.2或者当m+1+(m-2)≠0且m+1=1时,它是一元一次方程。
解得:m=-1,m=0.因此,当m=-1或m=0时,为一元一次方程。
给定方程m^2-1=0,解得m=-1.因为m-1≠0,所以这是一元一次方程。
解方程3a+6=0,得到a=-2.因此,这是一元一次方程。
根据题意,方程x+bx+a=0的一个根是-a(a≠0)。
由此得到a-b=-1.解方程x^2=1,得到x=±1.因此,x=-1.已知实数a是一元二次方程x-2013x+1=0的解,因此a-2013a+1=0.解得a=-1/2012.若方程25x-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式,则k的值为-8或9.如果代数式x+6x+m是一个完全平方式,则m=9.用配方法证明:无论x为何实数,代数式-2x^2+4x-5的XXX小于零。
根的判别式及根与系数的关系大题专练(重难点培优60题)-九年级数学上册尖子生培优必刷题【人教版】

【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题(人教版)专题21.12根的判别式及根与系数的关系大题专练(重难点培优60题)一.解答题(共60小题)1.(2023春•鼓楼区校级期末)关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣k﹣1=0.(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程有一个根大于0,求k的取值范围.2.(2023春•淮北期末)已知:关于x的方程x2+2kx+k2﹣1=0.(1)试说明无论k取何值时,方程总有两个不相等的实数根;(2)如果方程有一个根为3,试求2k2+12k+2023的值.3.(2023春•凤阳县期末)关于x的一元二次方程mx2+(2m+3)x+m+1=0有两个不等的实数根.(1)求m的取值范围;(2)当m取最小整数时,求x的值.4.(2023•西宁二模)已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2a﹣1=0有两个不相等的实数根.(1)求a的取值范围;(2)若a为正整数,求一元二次方程的解.5.(2023春•惠城区校级期末)已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+3=0.(1)当m=1时,判断方程根的情况;(2)当m=2时,求方程的根.6.(2022秋•方城县期末)已知:关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0.(1)请说明:方程总有两个不相等的实数根;(2)若方程有一个根为3,求m的值.7.(2023春•丰城市校级期末)已知关于x的一元二次方程(x﹣1)(x﹣2k)+k(k﹣1)=0.(1)求证:该一元二次方程总有两个不相等的实数根;(2)若该方程的两个根x1,x2是一个矩形的一边长和对角线的长,且矩形的另一边长为5,试求k的值.8.(2023•门头沟区二模)已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1=0.(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)如果此方程的一个根为1,求k的值.9.(2023•梁山县二模)定义:若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足b=a+c.则称该方程为“和谐方程”.(1)下列属于和谐方程的是;①x2+2x+1=0;②x2﹣2x+1=0;③x2+x=0.(2)求证:和谐方程总有实数根;(3)已知:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)为“和谐方程”,若该方程有两个相等的实数根,求a,c的数量关系.10.(2023春•海淀区校级期末)已知关于x的一元二次方程mx2+(2﹣3m)x+(2m﹣4)=0.(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若m为整数,当此方程有两个互不相等的正整数根时,求m的值.11.(2023春•鼓楼区校级期末)已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1=0.(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若该方程有一实数根大于3,求a的取值范围.12.(2023春•安庆期末)已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根.(1)求m的取值范围;(2)设p是方程的一个实数根,且满足(p2﹣2p+3)(m+4)=7,求m的值.13.(2023•保康县模拟)关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1,x2.(1)求实数k的取值范围.(2)若方程两实根x1,x2满足|x1|+|x2|=x1•x2,求k的值.14.(2023春•延庆区期末)关于x的方程x2﹣4x+2(m+1)=0有两个实数根.(1)求m的取值范围;(2)当m为正整数时,求此时方程的根.15.(2023•北京二模)已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2=0有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围;(2)若m为正整数,求此时方程的根.16.(2023春•瑶海区期末)已知关于x的一元二次方程x2+(2m﹣1)x+m2=0有实数根x1,x2.(1)求m的取值范围;(2)若满足x12+x22=2,求m的值.17.(2023春•南岗区期末)已知:方程(m﹣2)x|m|﹣x+n=0是关于x的一元二次方程.(1)求m的值;(2)若该方程无实数根,求n的取值范围.18.(2023•延庆区一模)已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1=0.(1)求证:方程总有两个实数根;(2)如果方程有一个根为正数,求m的取值范围.19.(2023春•肇东市期末)已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m﹣2=0,(1)求证:无论m取何值,方程总有两个不相等的实数根;(2)若方程有两个实数根x1,x2,且x1+x2+3x1x2=﹣1,求m的值.20.(2023春•龙口市期中)已知关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+m4=0两个不相等的实数根x1,x2,若1x1+1x2=4m,求m的值.21.(2023•邗江区二模)已知关于x的一元二次方程x2﹣(m﹣1)x+m﹣2=0.(1)求证:该方程总有两个实数根;(2)若该方程两个实数根的差为3,求m的值.22.(2023春•如东县期末)已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+2m=0.(1)求证无论实数m取何值,此方程一定有两个实数根;(2)设此方程的两个实数根分别为x1x2,若x12+x22=13,求m的值.23.(2023春•环翠区期末)已知:关于x的方程x2+(8﹣4m)x+4m2=0.(1)若方程有两个相等的实数根,求m的值,并求出这时方程的根.(2)问:是否存在正数m,使方程的两个实数根的平方和等于136?若存在,请求出满足条件的m值;若不存在,请说明理由.24.(2023春•霍邱县期末)已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m=0.(1)若x=1是方程的一个根,求m的值和方程的另一根.(2)若x1x2是方程的两个实数根,且满足x12+x22+5x1x2−x12x22=0,求m的值.25.(2023春•莒县期末)(1)解方程:(2x+1)(x﹣4)=5;(2)已知方程x2+(2k﹣1)x+k2+3=0的两实数根的平方和比两根之积大15,求k的值.26.(2023春•青阳县期末)已知关于x的方程x2+(m+2)x+2m﹣1=0.(1)求证:方程有两个不相等的实数根.(2)当m为何值时,方程的两根互为相反数?并求出此时方程的解.27.(2023春•广饶县期中)关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2=0.(1)若﹣2是该方程的一个根,求该方程的另一个根;(2)求证:无论m取任何实数,此方程总有两个不相等的实数根.28.(2023春•贵池区期末)已知:关于x的方程x2+mx﹣8=0有一个根是﹣4,求另一个根及m的值.29.(2023春•大观区校级期末)关于x的方程(k﹣1)x2+2kx+2=0.(1)求证:无论k为何值,方程总有实数根.(2)设x1,x2是方程(k﹣1)x2+2kx+2=0的两个根,记S=x1x2+x2x1+x1+x2,S的值能为2吗?若能,求出此时k的值;若不能,请说明理由.30.(2023•湟中区校级开学)关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1=0的两个实数根分别为x1,x2.(1)求m的取值范围;(2)若x1+x2﹣2x1x2=0,求m的值.31.(2023•襄州区模拟)已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m=0.(1)求证:无论m为何实数,方程总有两个实数根;(2)若方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m=0,的两个实数根α、β满足α2+β2=9,求m的值.32.(2023•惠州一模)若关于x的一元二次方程(m﹣1)x2﹣2mx+m﹣2=0有两个实数根x1,x2.(1)试确定实数m的取值范围;(2)若(x1+2)(x2+2)﹣2x1x2=17,求m的值.33.(2023•鼓楼区校级模拟)已知关于m的方程x2﹣(2m+1)x+m2=0(m≠0)有两实数根x1,x2,请用m表示x12+x22的值并求出m的取值范围.34.(2023春•宁波期末)阅读材料,根据上述材料解决以下问题:材料1:若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1x2,则x1+x2=−bax1x2=c a材料2:已知实数m,n满足m2﹣m﹣1=0n2﹣n﹣1=0,且m≠n,则m,n是方程x2﹣x﹣1=0 的两个不相等的实数根.(1)材料理解:一元二次方程3x2﹣6x+1=0 两个根为x1x2,则x1+x2=,x1x2=.(2)应用探究:已知实数m,n满足9m2﹣9m﹣1=09n2﹣9n﹣1=0,且m≠n,求m2n+mn2的值.(3)思维拓展:已知实数s、t分别满足9s2+9s+1=0t2+9t+9=0,其中st≠1且st≠0.求3st+9s+3t的值.35.(2023春•合肥期末)已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5=0有两个不相等的实数根x1,x2.(1)求a的取值范围;(2)若x1,x2满足x12+x22−x1x2=18,求a的值.36.(2023春•长沙期末)已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1=0有两个实数根.(1)求k的取值范围;(2)若x1x2﹣x1﹣x2=3,求k的值.37.(2023春•莱芜区期末)已知:关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1=0.(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;(2)若方程有一个根是√2,求另一个根及m的值.38.(2023春•长沙期末)方程x2+2x+m﹣1=0是关于x的一元二次方程,该方程的两个实数根分别为x1,x2.(1)求m的取值范围;(2)若x12+x22+3x1x2+10=0,求m的值.39.(2023•广陵区校级一模)已知关于x的方程x2﹣(k+1)x+2k﹣2=0.(1)求证:无论k取何值,此方程总有实数根;(2)若等腰△ABC的三边a,b,c中a=3,另两边b、c恰好是这个方程的两个根,求k值.40.(2023•沙市区模拟)已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+3m﹣1=0.(1)求证:无论m取何值,此方程总有两个不相等的实数根;(2)若方程有两个实数根x1,x2,且(x1﹣1)(x2﹣1)=6,求m的值.41.(2023•襄阳模拟)已知关于x的一元二次方程x2+(m+2)x+m=0.(1)求证:无论m取何值,此方程总有两个不相等的实数根;(2)若方程有两个实数根x1,x2,且x1+x2+2x1x2=3,求m的值.42.(2023•蓬江区校级一模)关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k+1=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围;(2)若x12+x22=3,求k的值.43.(2023春•淮北月考)关于x的一元二次方程mx2+(2m+1)x+m﹣1=0有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围;(2)若已知此方程的一个根为﹣2,求m的值以及方程的另一根.44.(2023春•岳麓区校级期末)已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3=0.(1)若此方程有两个不相等的实数根x1,x2,求m的取值范围;(2)若此方程的两根互为倒数,求x12+x22的值.45.(2023•襄阳模拟)已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1=0有x1,x2两实数根.(1)求m的取值范围;(2)是否存在实数m,满足(x1﹣1)(x2﹣1)=−6m−7?若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由.46.(2023春•房山区期末)已知关于x的一元二次方程x2+nx﹣6=0.(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;(2)若方程有一个根是1,求方程的另一个根.47.(2023春•顺义区期末)已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣3=0.(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;(2)若方程的一个根是1,求b的值及方程的另一个根.48.(2023春•思明区校级期末)已知关于x的一元二次方程x2﹣(m+5)x+5m=0.(1)求证:此一元二次方程一定有两个实数根;(2)设该一元二次方程的两根为a,b,且6,a,b分别是一个直角三角形的三边长,求m的值.49.(2023春•虹口区期末)设x1,x2为关于x的方程x2﹣2px﹣p=0的两根,P为实数.(1)求证:2px1+x22+3p≥0.(2)当|x1﹣x2|≤|2p﹣3|时,求p的最大值.50.(2023春•蒙城县校级期中)关于x的一元二次方程为x2﹣2x﹣m(m+2)=0.(1)求证:无论m为何实数,方程总有实数根;(2)若方程的两根之积等于0,求m的值.51.(2023春•蚌山区月考)已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k2+k=0,若△ABC的两边AB,AC 的长是这个方程的两个实数根,第三边BC的长为5.(1)若k=3时,请判断△ABC的形状并说明理由;(2)若△ABC是等腰三角形,求k的值.52.(2023•海淀区二模)已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0(m<0).(1)判断方程根的情况,并说明理由;(2)若方程的一个根为﹣1,求m的值和方程的另一个根.53.(2022秋•自贡期末)已知关于x的方程x2+nx+2m=0.(1)求证:当n=m+3时,方程总有两个不相等实数根;(2)若方程两个相等的实数根都是整数,写出一组满足条件的m,n的值,并求此时方程的根.54.(2023春•建邺区校级期末)已知关于x 的一元二次方程x 2﹣(k +1)x +2k ﹣2=0.(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若△ABC 的两边AB 、AC 的长是这个方程的两个实数根,第三边BC 的长为5,当△ABC 是等腰三角形时,求k 的值.55.(2023春•蓬莱区期中)已知关于x 的方程(a ﹣5)x 2﹣4x ﹣1=0,(1)若方程有实数根,求a 的取值范围;(2)是否存在这样的实数a ,使方程的两根x 1,x 2满足x 1+x 2+x 1x 2=3,若存在,求出实数a 的值;若不存在,请说明理由.56.(2023•海淀区校级三模)已知关于x 的方程mx 2﹣(m +3)x +3=0(m ≠0).(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程的两个实数根都是整数,求正整数m 的值.57.(2023•石景山区二模)已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2mx +m 2﹣1=0(1)求证:该方程总有两个不相等的实数根;(2)若m >1,且该方程的一个根是另一个根的2倍,求m 的值.58.(2023•郓城县一模)已知关于x 的一元二次方程12x 2+(m ﹣3)x ﹣m +2=0. (1)求证:不论m 取何值,该方程都有两个不相等的实数根;(2)设方程的两个根分别为x 1,x 2,且x 1>x 2,若x 1﹣x 2=2√10,求m 的值.59.(2023春•绍兴期中)已知有关于x 的一元二次方程(k +1)x 2﹣(3k +1)x +2k =0.(1)求k 的取值范围,并判断该一元二次方程根的情况;(2)若方程有一个根为﹣2,求k 的值及方程的另一个根;(3)若方程的一个根是另一个根3倍,求k 的值.60.(2023春•肇源县月考)已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +2a +1=0有两个不相等的实数根.(1)求实数a 的取值范围;(2)若a 为符合条件的最大整数,且一元二次方程x 2﹣3x +2a +1=0的两个根为x 1,x 2,求x 12x 2+x 1x 22的值.。
一元二次方程综合培优(难度大-含参考答案)

一元二次方程拓展提高题1、已知x25x20000,则x2 3xx 1 21的值是.22、已知a22004a10,则 2a 24007 a2004_________ .a 213、若ab1,且5a 22005a70 ,7b 22005b 5 0 ,则a_________ . b4、已知方程2x 22ax3a40没有实数根,则代数式a28a16 2 a_____.5、已知y 2 x6x ,则 y 的最大值为.6、已知a b c0, abc2, c0 ,则()A、 ab 0B、 a b 2C、 a b3D、 a b47、已知a b8 , ab c2160,则 a b c________ .8、已知m2m10 ,则m3 2 m22006________ .9、已知a b4, ab c 240 ,则 a b________ .10、若方程x 2px q0 的二根为 x1, x2,且 x1 1 , p q30,则 x2 ()A、小于 1B、等于 1C、大于 1 D 、不能确定是方程 x 213 1 的值为11、已知x0 的一个根,则3.412、若3x2x 1 ,则 9 x 412x 32x 27x2008()A、 2011B、 2010C、 2009 D 、 200813、方程3x23x2 2 的解为.14、已知x2x y 20 ,则x2y 22x的最大值是()26A、 14B、 15C、 16 D 、18、方程x 22 | x |2m恰有 3 个实根,则m()15A、 1B、 1.5C、2 D 、2.516、方程x23xx2379 的全体实数根之积为()3 xA、 60B、60C、 10D、 1017、关于x的一元二次方程2x 25x a 0x1: x2 2 : 3,则x2x1( a 为常数)的两根之比()A、 1B、 2C、1D、3 2218、已知是、方程 x2x10 的两个实根,则43_______ .19、若关于x的方程2ax2xax 1 只有一解,求a 的值。
人教版-九年级数学上册--一元二次方程-根与系数的关系-课堂培优卷(含答案)

2018年九年级数学上册一元二次方程根与系数的关系课堂培优卷一、选择题:1、下列一元二次方程中,两实根之和为1的是()A.x2—x+1=0B.x2+x—3=0C.2 x2-x-1=0D.x2-x-5=02、关于x的一元二次方程x2+2x+1=0的根的判断说法正确的是()A.有两个不等的实根B.有两个相等的实数根C.方程没有实数根D.无法判断3、已知x1、x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个根,则x1·x2等于()A.-4B.-1C.1D.44、已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是()A.a>2B.a<2C.a<2且a≠1D.a<-25、关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根,则q的取值范围是()A.q<16B.q>16C.q≤4D.q≥46、已知α、β满足α+β=5,αβ=6,则以α、β为根的一元二次方程()A.x2+5x+6=0B.x2-5x+6=0C.x2-5x-6=0D.x2+5x-6=07、已知x1,x2为方程x2+3x+1=0的两实根,则x12-3x2+20的值为()A. B.-28 C.20 D.288、设x1、x2是方程x2+3x﹣3=0的两个实数根,则的值为()A.5B.﹣5C.1D.﹣19、已知实数a,b分别满足a2﹣6a+4=0,b2﹣6b+4=0,且a≠b,则a2+b2的值为()A.36B.50C.28D.2510、若实数a,b(a≠b)分别满足方程a2﹣7a+2=0,b2﹣7b+2=0,则的值为()A. B. C.或2 D.或211、已知α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根,则α3+8β+6的值为()A.﹣1B.2C.22D.3012、一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根,则m应满足的条件是()A.m=1B.m≥1C.m<1D.m≤1二、填空题:13、若是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根,且x1+x2=1-x1x2,则m的值为___________14、如果关于x的方程有两个相等的实数根,那么实数的值是.15、已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2,x2=4,则m+n= .16、若关于x的一元二次方程(1﹣k)x2+2kx﹣k+1=0有实数根,则实数k的取值范围是.17、已知x1、x2是方程x2﹣5x﹣6=0的两个根,则x12+5x2﹣6= .18、已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2,则(x1﹣1)2+(x2﹣1)2的最小值是三、解答题:19、解方程:x(2x - 6)=x-3 20、解方程:﹣3x2+4x+1=0(用配方法)21、已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0.(1)若该方程的一个根为1,求a的值;(2)求证:不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.22、关于x的一元二次方程x2﹣x﹣(m+1)=0有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围;(2)若m为符合条件的最小整数,求此方程的根.23、已知:关于x的方程x2﹣(2m+1)x+2m=0(1)求证:方程一定有两个实数根;(2)若方程的两根为x1,x2,且|x1|=|x2|,求m的值.24、已知:关于x的一元二次方程x2﹣(2m+3)x+m2+3m+2=0.(1)已知x=2是方程的一个根,求m的值;(2)以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC(AB<AC)的边长,当BC=时,△ABC是等腰三角形,求此时m的值.25、如果方程的两个根是,,那么,,请根据以上结论,解决下列问题:(1)若,,求方程的两根。
苏科版九年级数学上册 一元二次方程的根与系数的关系- 专题培优训练【含答案】

苏科版九年级数学上册 一元二次方程的根与系数的关系- 专题培优训练一、选择题1、若x 1,x 2是一元二次方程x 2+10x +16=0的两个根,则x 1+x 2的值是( )A .﹣10B .10C .﹣16D .162、一元二次方程x 2+4x ﹣3=0的两根为x 1、x 2,则x 1•x 2的值是( )A .4B .﹣4C .3D .﹣33、已知x 1,x 2是一元二次方程2x 2﹣3x +1=0的两个根,下列结论正确的是( )A .x 1+x 2=-23B .x 1•x 2=1C .x 1,x 2都是有理数D .x 1,x 2都是无理数4、已知关于x 的一元二次方程x 2+mx +n=0的两个实数根分别为x 1=﹣2,x 2=4,则m +n 的值是( )A .﹣10B .10C .﹣6D .2 5、若关于x 的方程x 2+3x +a=0有一个根为﹣1,则另一个根为( )A .﹣2B .2C .4D .﹣36、已知实数x 1,x 2满足x 1+x 2=7,x 1x 2=12,则以x 1,x 2为根的一元二次方程是( )A .x 2﹣7x +12=0B .x 2+7x +12=0C .x 2+7x ﹣12=0D .x 2﹣7x ﹣12=07、若一元二次方程x 2﹣x ﹣2=0的两根为x 1,x 2,则(1+x 1)+x 2(1﹣x 1)的值是( )A .4B .2C .1D .﹣28、若方程x 2﹣2x ﹣4=0的两个实数根为α,β,则α2+β2的值为( )A .12B .10C .4D .﹣4 9、若α,β是关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m =0的两实根,且βα11+=﹣32,则m 等于( ) A .﹣2 B .﹣3 C .2 D .310、关于x 的一元二次方程x 2+2mx +2n=0有两个整数根且乘积为正,关于y 的一元二次方程y 2+2ny +2m=0同样也有两个整数根且乘积为正,给出三个结论:①这两个方程的根都负根; ②(m ﹣1)2+(n ﹣1)2≥2; ③﹣1≤2m ﹣2n ≤1, 其中正确结论的个数是( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个二、填空题11、若方程x 2﹣3x +2=0的两根是α、β,则α+αβ+β= .12、若方程240x x c -+=的一个根为23+,则方程的另一个根为 ,c = .13、设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根,且()()12118x x ++=,则k 的值是 .14、已知关于x 的方程x 2+(a ﹣2)x +a +1=0的两实根x 1、x 2满足42221=+x x ,则实数a = . 15、已知x 1,x 2是关于x 的一元二次方程x 2+2x +k ﹣1=0的两个实数根,且x 12+x 22﹣x 1x 2=13,则k 的值为 .16、已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +m ﹣1=0的实数根x 1,x 2,满足3x 1x 2﹣x 1﹣x 2>2,则m 的取值范围是 .17、已知α,β是关于x 的一元二次方程(m ﹣1)x 2﹣x +1=0两个实根,且满足(α+1)(β+1)=m +1,则m 的值为 .18、关于x 的方程(a ﹣1)x 2+2x ﹣a ﹣1=0的根都是整数,则整数a = .19、已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+(3k +1)x +2k 2+1=0的两个不相等实数根,且满足(x 1﹣1)(x 2﹣1)=8k 2,则k 的值为 .20、已知a ,b 是一元二次方程x 2+x ﹣1=0的两根,则3a 2﹣b 22a +的值是 . 三、解答题21、已知于x 的元二次方程x 2﹣6x +2a +5=0有两个不相等的实数根x 1,x 2.(1)求a 的取值范围;(2)若x 12+x 22﹣x 1x 2≤30,且a 为整数,求a 的值.22、已知关于x 的方程222(2)50x m x m +++-=有两个实数根,并且这两个根的平方和比这两个根的积大16,求m 的值.23、已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +(4m +1)=0有实数根.(1)求m 的取值范围;(2)若该方程的两个实数根为x 1、x 2,且|x 1﹣x 2|=4,求m 的值.24、已知关于x 的方程24280x x m --+=的一个根大于1,另一个根小于1,求m 的取值范围.25、已知关于x 的方程kx 2﹣3x +1=0有实数根.(1)求k 的取值范围;(2)若该方程有两个实数根,分别为x 1和x 2,当x 1+x 2+x 1x 2=4时,求k 的值.26、如果实数,a b 分别满足222a a +=,222b b +=,求11a b+的值一、选择题1、若x 1,x 2是一元二次方程x 2+10x +16=0的两个根,则x 1+x 2的值是( )A .﹣10B .10C .﹣16D .16【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可.解:∵x 1,x 2一元二次方程x 2+10x +16=0两个根,∴x 1+x 2=﹣10.故选:A .2、一元二次方程x 2+4x ﹣3=0的两根为x 1、x 2,则x 1•x 2的值是( )A .4B .﹣4C .3D .﹣3【分析】根据根与系数的关系求解.解:x 1•x 2=﹣3. 故选D .3、已知x 1,x 2是一元二次方程2x 2﹣3x +1=0的两个根,下列结论正确的是( )A .x 1+x 2=-23B .x 1•x 2=1C .x 1,x 2都是有理数D .x 1,x 2都是无理数【分析】利用根与系数的关系对A 、B 进行判断;根据根的判别式对C 、D 进行判断. x 1+x 2=23,x 1x 2=21,所以A 、B 选项错误,因为△=(﹣3)2﹣4×2×1=1,所以x1,x2都是有理数,则C选项正确,D选项错误.故选:C.4、已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2,x2=4,则m+n的值是()A.﹣10 B.10 C.﹣6 D.2【分析】根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m,﹣2×4=n,求出即可.解:∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2,x2=4,∴﹣2+4=﹣m,﹣2×4=n,解得:m=﹣2,n=﹣8,∴m+n=﹣10,故选A.5、若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1,则另一个根为()A.﹣2 B.2 C.4 D.﹣3【分析】根据一元二次方程根与系数的关系,利用两根和,两根积,即可求出a的值和另一根.解:设一元二次方程的另一根为x1,则根据一元二次方程根与系数的关系,得﹣1+x1=﹣3,解得:x1=﹣2.故选A.6、已知实数x1,x2满足x1+x2=7,x1x2=12,则以x1,x2为根的一元二次方程是()A.x2﹣7x+12=0 B.x2+7x+12=0 C.x2+7x﹣12=0 D.x2﹣7x﹣12=0【分析】根据以x1,x2为根的一元二次方程是x2﹣(x1+x2)x+x1,x2=0,列出方程进行判断即可.解:以x1,x2为根的一元二次方程x2﹣7x+12=0,故选:A.7、若一元二次方程x2﹣x﹣2=0的两根为x1,x2,则(1+x1)+x2(1﹣x1)的值是()A.4 B.2 C.1 D.﹣2A解:根据题意得x1+x2=1,x1x2=﹣2,所以(1+x1)+x2(1﹣x1)=1+x1+x2﹣x1x2=1+1﹣(﹣2)=4.故选:A.8、若方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根为α,β,则α2+β2的值为()A.12 B.10 C.4 D.﹣4A解:∵方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根为α,β,∴α+β=2,αβ=﹣4,∴α2+β2=(α+β)2﹣2αβ=4+8=12;故选:A .9、若α,β是关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m =0的两实根,且βα11+=﹣32,则m 等于() A .﹣2 B .﹣3 C .2 D .3B解:α,β是关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m =0的两实根,∴α+β=2,αβ=m ,∵+===﹣,∴m =﹣3; 故选:B .10、关于x 的一元二次方程x 2+2mx +2n=0有两个整数根且乘积为正,关于y 的一元二次方程y 2+2ny +2m=0同样也有两个整数根且乘积为正,给出三个结论:①这两个方程的根都负根;②(m ﹣1)2+(n ﹣1)2≥2; ③﹣1≤2m ﹣2n ≤1, 其中正确结论的个数是( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个【考点】根与系数的关系;根的判别式.【分析】①根据题意,以及根与系数的关系,可知两个整数根都是负数;②根据根的判别式,以及题意可以得出m2﹣2n≥0以及n2﹣2m≥0,进而得解;③可以采用根与系数关系进行解答,据此即可得解.解:①两个整数根且乘积为正,两个根同号,由韦达定理有,x1•x2=2n>0,y1•y2=2m>0,y1+y2=﹣2n<0,x1+x2=﹣2m<0,这两个方程的根都为负根,①正确;②由根判别式有:△=b2﹣4ac=4m2﹣8n≥0,△=b2﹣4ac=4n2﹣8m≥0,∵4m2﹣8n≥0,4n2﹣8m≥0,∴m2﹣2n≥0,n2﹣2m≥0,m2﹣2n+n2﹣2m+2=m2﹣2m+1+n2﹣2n+1≥2,(m﹣1)2+(n﹣1)2≥2,②正确;③由根与系数关系可得2m﹣2n=y1y2+y1+y2=(y1+1)(y2+1)﹣1,由y1、y2均为负整数,故(y1+1)•(y2+1)≥0,故2m﹣2n≥﹣1,同理可得:2n﹣2m=x1x2+x1+x2=(x1+1)(x2+1)﹣1,得2n﹣2m≥﹣1,即2m﹣2n≤1,故③正确.故选:D.二、填空题11、若方程x2﹣3x+2=0的两根是α、β,则α+αβ+β=.【分析】利用根与系数的关系可得出α+β=3,αβ=2,将其代入α+αβ+β中即可求出结论.∵方程x2﹣3x+2=0的两根是α、β,∴α+β=3,αβ=2,∴α+αβ+β=α+β+αβ=3+2=5.故5.12、若方程240x x c -+=的一个根为2+,则方程的另一个根为 ,c = .2-1c =根据韦达定理,124x x +=,因为12x =+22x =-所以(12221c x x =⋅==13、设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根,且()()12118x x ++=,则k 的值是 .1k =由根与系数的关系得()1221x x k +=+,2122x x k ⋅=+.且有()()224142840k k k ∆=+-+=->,即12k >. 所以()()12118x x ++=.从而2230k k +-=,解之得3k =-或1k =.又12k >,所以1k =.14、已知关于x 的方程x 2+(a ﹣2)x +a +1=0的两实根x 1、x 2满足42221=+x x ,则实数a = . 3﹣11解:∵关于x的方程x2+(a﹣2)x+a+1=0的两实根为x1、x2,∴△=(a﹣2)2﹣4(a+1)≥0,即a(a﹣8)≥0,∴当a≥0时,a﹣8≥0,即a≥8;当a<0时,a﹣8<0,即a<8,所以a<0.∴a≥8或a<0,∴x1+x2=2﹣a,x1•x2=a+1,∵x12+x22=4,(x1+x2)2﹣2x1•x2=(2﹣a)2﹣2(a+1)=4,∴(x1+x2)2﹣2x1•x2=(2﹣a)2﹣2(a+1)=4,解得a=3±11.∵3<11<4,∴6<3+<7(不合题意舍去),3﹣<0;∴a=3﹣.故a=3﹣11.15、已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1=0的两个实数根,且x12+x22﹣x1x2=13,则k的值为.—2解:根据题意得:x1+x2=﹣2,x1x2=k﹣1,x12+x22﹣x1x2=13=﹣3x1x2=4﹣3(k﹣1)=13,k=﹣2,故﹣2.16、已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0的实数根x1,x2,满足3x1x2﹣x1﹣x2>2,则m的取值范围是.3<m≤5解:依题意得:,解得3<m≤5.故答案是:3<m≤5.17、已知α,β是关于x的一元二次方程(m﹣1)x2﹣x+1=0两个实根,且满足(α+1)(β+1)=m+1,则m的值为.—1解:根据题意可得α+β=﹣=﹣=,αβ==,∴(α+1)(β+1)=αβ+α+β+1=++1=m+1,即m2﹣m﹣2=0,解得m=﹣1或m=2,∵m﹣1≠0,∴m≠1,当m=2时,△=b2﹣4ac=﹣3<0,无实数根,故m≠2,当m=﹣1时,△=b2﹣4ac=9>0,有实数根,故m=﹣1.故答案是﹣1.18、关于x 的方程(a ﹣1)x 2+2x ﹣a ﹣1=0的根都是整数,则整数a = .【分析】分两种情况讨论:当a =1时,x =1;当a ≠1时,△=4a 2≥0,x 1+x 2=a -12,再由已知,可得1﹣a =±1,1﹣a =±2,求出a 的值即可.当a =1时,2x ﹣2=0,解得x =1;当a ≠1时,(a ﹣1)x 2+2x ﹣a ﹣1=0,△=4a 2≥0,x 1+x 2=a -12,x 1•x 2=a a -+11=-112--a , ∵根都是整数,∴1﹣a =±1,1﹣a =±2,∴a =0或a =2或a =﹣1或a =3,故答案为0或1或﹣1或2或3.19、已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+(3k +1)x +2k 2+1=0的两个不相等实数根,且满足(x 1﹣1)(x 2﹣1)=8k 2,则k 的值为 .1解:∵x 1,x 2是关于x 的方程x 2+(3k +1)x +2k 2+1=0的两个实数根,∴x 1+x 2=﹣(3k +1),x 1x 2=2k 2+1.∵(x 1﹣1)(x 2﹣1)=8k 2,即x 1x 2﹣(x 1+x 2)+1=8k 2,∴2k 2+1+3k +1+1=8k 2,整理,得:2k 2﹣k ﹣1=0,解得:k 1=﹣,k 2=1.∵关于x 的方程x 2+(3k +1)x +2k 2+1=0的两个不相等实数根,∴△=(3k +1)2﹣4×1×(2k 2+1)>0,解得:k <﹣3﹣2或k >﹣3+2, ∴k =1.故1.20、已知a ,b 是一元二次方程x 2+x ﹣1=0的两根,则3a 2﹣b 22a +的值是 . 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案.由题意可知:a +b =﹣1,ab =﹣1, a 2=1-a ,∴原式=3(1﹣a )﹣b +a -12=3﹣3a ﹣b+a -12=3﹣2a ﹣(a +b )+a-12 =3﹣2a +1+a -12=4﹣2a+a-12=4+a a a -+-12222 =4+aa a -+--122)1(2=4+4=8, 故8.三、解答题21、已知于x 的元二次方程x 2﹣6x +2a +5=0有两个不相等的实数根x 1,x 2.(1)求a 的取值范围;(2)若x 12+x 22﹣x 1x 2≤30,且a 为整数,求a 的值.(1)a <2(2)a 的值为﹣1,0,1解:(1)∵关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +2a +5=0有两个不相等的实数根x 1,x 2,∴△>0,即(﹣6)2﹣4(2a +5)>0,解得a <2;(2)由根与系数的关系知:x 1+x 2=6,x 1x 2=2a +5,∵x 1,x 2满足x 12+x 22﹣x 1x 2≤30,∴(x 1+x 2)2﹣3x 1x 2≤30,∴36﹣3(2a +5)≤30,∴a ≥﹣,∵a 为整数,∴a 的值为﹣1,0,1.22、已知关于x 的方程222(2)50x m x m +++-=有两个实数根,并且这两个根的平方和比这两个根的积大16,求m 的值.-1有实数根,则△≥0,且22121216x x x x +=+,联立解得m 的值.依题意有:12212221212222(2)5164(2)4(5)0x x m x x m x x x x m m +=-+⎧⎪=-⎪⎨+=+⎪⎪∆=+--≥⎩由①②③解得:1m =-或15m =-,又由④可知m ≥94- ∴15m =-舍去,故1m =-23、已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +(4m +1)=0有实数根.(1)求m 的取值范围;(2)若该方程的两个实数根为x 1、x 2,且|x 1﹣x 2|=4,求m 的值.(1)m ≤2 (2)m=1解:(1)∵关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +(4m +1)=0有实数根,∴△=(﹣6)2﹣4×1×(4m +1)≥0, 解得:m ≤2.(2)∵方程x 2﹣6x +(4m +1)=0的两个实数根为x 1、x 2,∴x 1+x 2=6,x 1x 2=4m +1,∴(x 1﹣x 2)2=(x 1+x 2)2﹣4x 1x 2=42,即32﹣16m =16,解得:m =1.24、已知关于x 的方程24280x x m --+=的一个根大于1,另一个根小于1,求m 的取值范围.52m > 设1x ,2x 是方程的两根,且11x >,21x <,即110x ->,210x -<,因此1212121212(1)(1)()10284164(28)0x x x x x x x x m x x m --=-++<⎧⎪=-+⎪⎨+=⎪⎪∆=+->⎩,解得52m >.25、已知关于x 的方程kx 2﹣3x +1=0有实数根.(1)求k 的取值范围;(2)若该方程有两个实数根,分别为x 1和x 2,当x 1+x 2+x 1x 2=4时,求k 的值. (1)k ≤49 ;(2)k=1 解:(1)当k =0时,原方程为﹣3x +1=0,解得:x =,∴k =0符合题意;当k ≠0时,原方程为一元二次方程,∵该一元二次方程有实数根,∴△=(﹣3)2﹣4×k ×1≥0,解得:k ≤49. 综上所述,k 的取值范围为k ≤.(2)∵x 1和x 2是方程kx 2﹣3x +1=0的两个根,∴x 1+x 2=,x 1x 2=.∵x 1+x 2+x 1x 2=4,∴+=4,解得:k =1, 经检验,k =1是分式方程的解,且符合题意.∴k 的值为1.26、如果实数,a b 分别满足222a a +=,222b b +=,求11a b+的值 当a b ≠时,111a b +=;当a b =时,当13a b ==-+1131a b +, 当13a b ==-1113a b+= 由题意知:,a b 为方程2220x x +-=的两个根,且0,0a b ≠≠,解方程2220x x +-=得:11x =-+21x =--⑴当a b ≠时,有2a b +=-,2ab =-,11212a b a b ab +-∴+===-;⑵当a b =时,方程的根为11x =-+21x =--当1a b ==-+1121a b a ∴+===+;当1a b ==--1121a b a ∴+==-。
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②当 在取值范围内取最小偶数时,方程的两根为 ,求 的值.
11、已知关于 的方程 .
①求证:这个方程有两个不相等的实数根.
②如果这个方程的两个实数根分别是 ,且 ,求 的值.
12、已知实数 满足 , ,求 的值.
13、已知 是方程 的两个实数根,且 = ,求 的值.
14、已知关于 的一元二次方程 的两根为 .
7、梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD, ,梯形的高 ,且 .
①求 的度数.
②设M为对角线AC上的一点,DM的延长线与BC相交于一点F,当 时,求CF和DF的长.
8、已知关于 的方程 有两个相等的实数根.求 的值.
9、已知 ,且满足 , .求 的值.
10、已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根,且这两个实数根不互为相反数.
3、已知 中,AB=AC= ,BC= .
求证:关于 的方程 一定有两个不相等的实数根.
4、已知 是 的三边长,且关于 的方程 有两个相等的实数根.
求证: 是直角三角形.
5、已知 是 的三边长,方程 有两个相等的实数根.
求证: 是正三角形.
6、已知 是 的三边长, 是方程 的两根.
①判断 的形状.
②若 பைடு நூலகம்求 的长.
18、已知关于 的一元二次方程 的两实数根的和为—1,而关于 的另一个一元二次方程 有大于0而小于5的实数根,求整数 的值.
19、关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根.
①若这个方程的两个实数根的倒数和不小于-2,求 的取值范围.
② 为何值时,这个方程的两根之比是1:4.
20、 为何值时,一元二次方程 的两根为 ,且满足 .
一元二次方程根与系数的关系培优练习
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一元二次方程培优综合练习
1、关于 的代数式 是一个完全平方式.求 的值.
2、 中, , 是方程 的两个根,求 的斜边上的中线的长.
①求 的值.
②求 的值.
15、已知关于 的方程 的两个实数根的平方和是11.
求证:关于 的方程 有两个不相等的实数根.
16、已知关于 的方程 .问:是否存在实数 使方程的两根的平方和等于56,若存在,求出 ;若不存在,请说明理由.
17、已知关于 的一元二次方程 ,是否存在负数 ,使方程的两实数根的倒数和等于4?如果存在,请求出 ;如果不存在,请说明理由.
21、已知关于 的一元二次方程 .
①求证:无论 取什么值,方程总有两个不相等的实数根.
②若这个方程的两个实数根是 ,且满足 ,求 的值及 和 .
22、已知关于 的方程 .
①无论 取何值,方程总有两正根.
②若这个方程的两实数根是 ,且满足 ,求 的值.
23、已知关于 的一元二次方程 的两根之差为2,求这个方程的两根及 的值.
24、已知关于 的一元二次方程 ( 是实数).
①求证:方程必有两个不相等的实数根.
②设 为方程 的两根,且 ,若 是方程 的两根,求实数 的值.
25、已知关于 的一元二次方程 有两个实数根,且这两个实数根的平方和比这两个根的积大21,求 的值.