人教【数学】培优一元二次方程辅导专题训练
依题意得：7.5-x≤2x，
解得 x≥2.5．
即 A 社区居民人口至少有 2.5 万人；
（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1.5×（1+ 4 m%）+1.5×（1+ 4 m%）（1+2m%）=7.5×92%，
5
5
解得 m=50
答：m 的值为 50．
【点睛】
本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相
3
【解析】
试题分析：（1）利用公式法求解即可；
（2）利用直接开方法解即可；
试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得 x2﹣3x﹣1=0，
∵ b2﹣4ac=13＞0
∴
．
∴
x1
3 13 2 , x2
3 13 2
（2）（y+2）2=12，
∴
或
∴ y1 2 2 3, y2 2 2 3
． ，
4．如图，在△ ABC 中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ ABC＝30°，点 P 从 A 点出发，以 1cm/s 的 速度向 B 点移动，点 Q 从 B 点出发，以 2cm/s 的速度向 C 点移动．如果 P、Q 两点同时出 发，经过几秒后△ PBQ 的面积等于 4cm2？
（1）根据方程有两个实数根得 0 ,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题.
【详解】
（1）解：
m
12
4
1
1 4
m2
2
m2 2m 1 m2 8
2m 9
方程有两个实数根
0 ，即 2m 9 0
m 9 2
m 的最小整数值为 4
（2）由根与系数的关系得：
x1
x2
m1 ，
x1x2
1 4
m2
2
由
x12
x22
x1x2
18
1 4
m2
得：
m
1 2
1 4
m2
2
18
1 4
m2
m1 3 ， m2 5
m9 2
m 3
【点睛】
本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.
9．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研 学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过 30 人，人均旅游费用为 100 元；（2）如果超过 30 人，则每超过 1 人，人均旅游费用降低 2 元，但人均旅游费用 不能低于 80 元．该班实际共支付给旅行社 3150 元，问：共有多少名同学参加了研学游活 动？ 【答案】共有 35 名同学参加了研学游活动． 【解析】 试题分析：由该班实际共支付给旅行社 3150 元，可以判断出参加的人数在 30 人以上，等 量关系为：（100﹣在 30 人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，得到相关解后根据人 均活动费用不得低于 80 元作答即可． 试题解析：∵ 100×30=3000＜3150，∴ 该班参加研学游活动的学生数超过 30 人． 设九（1）班共有 x 人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x﹣30）]元，由题意得： x[100﹣2（x﹣30）]=3150， 整理得 x2﹣80x+1575=0，解得 x1=35，x2=45， 当 x=35 时，人均旅游费用为 100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意． 当 x=45 时，人均旅游费用为 100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去． 答：该班共有 35 名同学参加了研学旅游活动． 考点：一元二次方程的应用．
（2）在（1）中销售额最低时， B 品牌的建材 70 件， 根据题意，得
6000
1
a%
56
1
1 2
a%
9000
1
a%
70
1
2 3
a%
6000
56
9000
70
1
2 23
a%
，
令 a% y ，整理这个方程，得10 y2 3y 0 ，
解这个方程，得
y1
0,
y2
3 10
，
∴ a1 0 （舍去）， a2 30 ， 即 a 的值是 30.
2 请写出第 n 个方程和它的根．
【答案】（1）x1＝7，x2＝8.（2）x1＝n－1，x2＝n. 【解析】 【分析】 （1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到 56 是 7 与 8 的乘积,确定 k 值 即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解. 【详解】 解：(1)由题意可得 k＝－15，则原方程为 x2－15x＋56＝0，则(x－7)·(x－8)＝0，解得 x1＝ 7，x2＝8. (2)第 n 个方程为 x2－(2n－1)x＋n(n－1)＝0，(x－n)(x－n＋1)＝0，解得 x1＝n－1，x2＝n. 【点睛】 本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊 的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键.
5．已知关于 x 的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0． （1）求证：对任意实数 m，方程总有 2 个不相等的 实数根； （2）若方程的一个根是 2，求 m 的值及方程的另一个根．
【答案】（1）证明见解析；（2）m 的值为± 2 ，方程的另一个根是 5．
【解析】 【分析】 （1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△ =b2-4ac 证明判断即可； （2）根据方程的根，利用代入法即可求解 m 的值，然后还原方程求出另一个解即可. 【详解】 （1）证明： ∵ （x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0， ∴ x2﹣7x+12﹣m2=0， ∴ △ =（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2， ∵ m2≥0， ∴ △ ＞0， ∴ 对任意实数 m，方程总有 2 个不相等的实数根； （2）解 ：∵ 方程的一个根是 2， ∴ 4﹣14+12﹣m2=0，解得 m=± ，
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．阅读下列材料
计算：（1﹣ ﹣ ）×（ +
）﹣（1﹣ ﹣
）（ + ），令 + ＝t，
则：
原式＝（1﹣t）（t+ ）﹣（1﹣t﹣ ）t＝t+ ﹣t2﹣
+t2＝
在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想 方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：
【答案】经过 2 秒后△ PBQ 的面积等于 4cm2． 【解析】 【分析】
作出辅助线，过点 Q 作 QE⊥PB 于 E，即可得出 S△ PQB= 1 ×PB×QE，有 P、Q 点的移动速 2
度，设时间为 t 秒时，可以得出 PB、QE 关于 t 的表达式，代入面积公式，即可得出答案． 【详解】
解：
8．已知关于 x 的一元二次方程 x2 m 1 x 1 m2 2 0 ．
4
1 若此方程有两个实数根，求 m 的最小整数值；
2
若此方程的两个实数根为
x1 ，
x2 ，且满足 x12
x22
x1x2
18
1 4
m2 ，求
m
的值．
【答案】（1） m 的最小整数值为 4 ；（2） m 3
【解析】
【分析】
（1）计算：（1﹣ ﹣
）×（ +
）﹣（1﹣ ﹣
）×
（+
）
（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4 （3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3
【答案】（1）
【解析】 【分析】
；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2
（1）仿照材料内容，令 +
【解析】
【分析】
（1）设 A 社区居民人口有 x 万人，根据“B 社区居民人口数量不超过 A 社区居民人口数量
的 2 倍”列出不等式求解即可；
（2）A 社区的知晓人数+B 社区的知晓人数=7.5×92%，据此列出关于 m 的方程并解答．
【详解】
解：（1）设 A 社区居民人口有 x 万人，则 B 社区有（7.5-x）万人，
如图， 过点 Q 作 QE⊥PB 于 E，则∠ QEB＝90°． ∵ ∠ ABC＝30°， ∴ 2QE＝QB．
∴ S△ PQB＝ 1 •PB•QE． 2
设经过 t 秒后△ PBQ 的面积等于 4cm2， 则 PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．
根据题意， 1 •（6﹣t）•t＝4． 2
t2﹣6t+8＝0． t2＝2，t2＝4． 当 t＝4 时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取 t＝2． 答：经过 2 秒后△ PBQ 的面积等于 4cm2． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去．
＝t，则：
原式＝（1﹣t）（t+ ）﹣（1﹣t﹣ ）t＝t+﹣t2﹣ ﹣t+t2+ ＝
（2）令 a2﹣5a＝t，则： 原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2 （3）令 x2+4x＝t，则原方程转化为： （t+1）（t+3）＝3 t2+4t+3＝3 t（t+4）＝0 ∴ t1＝0，t2＝﹣4 当 x2+4x＝0 时， x（x+4）＝0
（1）设销售 A 品牌的建材 x 件，根据售完两种建材后总销售额不低于 96.6 万元，列不等
式求解；
（2）根据题意列出方程求解即可.
人教培优一元二次方程辅导专题训练附答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式2216k k k -+-的值．【答案】0. 【解析】 【分析】由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解． 【详解】解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩＝＝＝ ， 由条件，知12121211x x x x x x ++==3， 即33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1，则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106k k k -=+-.Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178k ≤， 又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使2216k k k -+-无意义.综上，代数式2216k k k -+-的值为0【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，2．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC 和△DEF ，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF的斜边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：①∠FCD的最大度数为；②当FC∥AB时，AD= ；③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;④△FCD的面积s的取值范围是 .【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.∵CD=10，∴AD=2.（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.∵AC=12，∴AD=.③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，由②知DH=3，FH=，则HC=.在Rt △CFH 中，根据勾股定理，得.∵以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC 为斜边， ∴，即，解得.④设AD=x ，易知，即. 而，当时，；当时，.∴△FCD 的面积s 的取值范围是.考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.3．已知关于x 的一元二次方程()220x m x m -++=（m 为常数）（1）求证：不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是2，求m 的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析；(2) 即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【解析】 【分析】（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一个根为t ，利用根与系数的关系得到2+t=21m + ,2t=m,最终解出关于t 和m 的方程组即可. 【详解】 (1)证明：△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4， ∵无论m 为何值时m 2≥0， ∴m 2+4≥4＞0， 即△＞0，所以无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根.(2)设方程的另一个根为t ，()220x m x m -++=根据题意得2+t=21m + ,2t=m ， 解得t=0， 所以m=0，即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【点睛】本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t ，用根于系数关系列出方程组，在求解.4．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m+3）x+m 2=0有两根α，β． （1）求m 的取值范围； （2）若111αβ+=-，则m 的值为多少？【答案】（1）14m ≥；（2）m 的值为3． 【解析】 【分析】（1）根据△≥0即可求解, （2）化简11αβ+,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可.【详解】解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m 2≥0， 解得：m≥-34； （2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m 2， ∵111αβ+=-，即αβαβ+=-1, ∴2m 3m2+﹣（）=-1,整理得m 2﹣2m ﹣3=0解得：m 1=﹣1，m 1=3， 由（1）知m≥-34， ∴m 1=﹣1应舍去， ∴m 的值为3． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.5．关于x 的方程()2204kkx k x +++=有两个不相等的实数根． ()1求实数k 的取值范围；()2是否存在实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1k >-且0k ≠；（2）不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根． 【解析】 【分析】()1由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式0>，由此可以得到关于k 的不等式，解不等式即可求出k 的取值范围.()2首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k 的等式，解出k 值，然后判断k 值是否在()1中的取值范围内.【详解】解：()1依题意得2(2)404kk k =+-⋅>， 1k ∴>-， 又0k ≠，k ∴的取值范围是1k >-且0k ≠；()2解：不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，理由是：设方程()2204kkx k x +++=的两根分别为1x ，2x ， 由根与系数的关系有：1212214k x x kx x +⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，212k k +∴-=， 43k ∴=-，由()1知，1k >-，且0k ≠，43k ∴=-不符合题意，因此不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根． 【点睛】本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。
人教【数学】培优一元二次方程辅导专题训练含答案
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm？(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C 同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？【答案】（1）PQ=62cm；（2）85s或245s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为12cm2．【解析】试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，∴cm；∴经过2s时P、Q两点之间的距离是；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，∴16-5x=±8，∴x1=85，x2=245；∴经过85s或245sP、Q两点之间的距离是10cm；（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．①当0≤y≤163时，则PB=16-3y，∴12PB•BC=12，即12×（16-3y）×6=12，解得y=4；②当163＜x≤223时，BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则1 2BP•CQ=12（3y-16）×2y=12，解得y1=6，y2=-23（舍去）；③223＜x≤8时，QP=CQ-PQ=22-y，则1 2QP•CB=12（22-y）×6=12，解得y=18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．考点：一元二次方程的应用．2．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣32，154） 【解析】试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0{312a b c c ba++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P （21-，2）；②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P（32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．3．解方程：（2x+1）2=2x+1． 【答案】x=0或x=12-. 【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0， ∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x （2x+1）=0， 则x=0或2x+1=0， 解得：x=0或x=﹣12．4．发现思考：已知等腰三角形ABC 的两边分别是方程x 2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC 三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 涵涵的作业解：x 2﹣7x+10=0 a=1 b=﹣7 c=10 ∵b 2﹣4ac=9＞0∴2b b 4ac -±-732±∴x 1=5，x 2=2所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2． 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5． 探究应用：请解答以下问题：已知等腰三角形ABC 的两边是关于x 的方程x 2﹣mx+m 2﹣14=0的两个实数根．（1）当m=2时，求△ABC的周长；（2）当△ABC为等边三角形时，求m的值．【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC的周长为72；（2）当△ABC为等边三角形时，m的值为1．【解析】【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5．（1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣m）2﹣4（m2﹣14）=m2﹣2m+1，可求得m.【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5．错误原因：此时不能构成三角形．（1）当m=2时，方程为x2﹣2x+34=0，∴x1=12，x2=32．当12为腰时，12+12<32，∴12、12、32不能构成三角形；当32为腰时，等腰三角形的三边为32、32、12，此时周长为32+32+12=72．答：当m=2时，△ABC的周长为72．（2）若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，∴△=（﹣m）2﹣4（m2﹣14）=m2﹣2m+1=0，∴m1=m2=1．答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1．【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.5．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．【解析】试题分析：（1）本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,x=有一个解；②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ²＋4＞0方程有两不等根综合①②得不论k为何值，方程总有实根（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=∴S=++ x1+x2=====2k-2=2，解得k=2，∴当k=2时，S的值为2∴S的值能为2，此时k的值为2．考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．6．某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的41344m?个出口宽度相同，当绿化区较长边x为何值时，活动区的面积达到2【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【解析】 【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答. 【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--= 解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．7．已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x -+=的两根， （1）解方程求两条线段的长。
人教版2024-2025学年九年级数学上册21.1一元二次方程同步分层训练(培优卷)(含答案)
人教版2024-2025学年九年级数学上册21.1一元二次方程同步分层训练（培优卷）班级：姓名：亲爱的同学们：练习开始了，希望你认真审题，细致做题，不断探索数学知识，领略数学的美妙风景。
运用所学知识解决本练习，祝你学习进步！一、选择题1．下列命题正确的是（）A．方程x2+1=0没有实数根B．方程mx2−4x+1=0是一元二次方程C．方程1x2+x2=2是一元二次方程D．方程x(x−1)=0的根为12．若x=2是关于x的一元二次方程ax2−bx+2=0的解，则代数式2024+2a−b的值为（）．A．2022B．2023C．2024D．20253．关于x的一元二次方程ax2+bx+12=0有一个根是−1，若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，设t=2a+b，则t的取值范围是（）A．14<t<12B．−1<t≤14C．−12≤t<12D．−1<t<124．对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：①若a+b+c=0，则方程必有一根为x=1；②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0无实根；③若方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，则方程cx2+bx+a=0(c≠0)，必有实根1x1，1x2；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2−4ac=(2ax0+b)2．其中正确的（）A．①②B．①④C．②③④D．①③④5．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax=b2的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画Rt△ACB，使∠ACB=90°，BC=a2，AC=b，再在斜边AB上截取BD=a2，连接CD，图中哪条线段的长是一元二次方程x2+ax=b2的一个正根（）A．AD B．AC C．CD D．AB6．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，若AB=6，BC=9，折痕为EF，则FC的长为（）A．5B．4C．3D．927．为了测一个矿井的深度，将一块石头从井口丢下去，6.5秒后听到它落地的声音，已知音速为330米/秒，石头从井口落下的距离s与时间t的关系式为s=12gt2（g为10米秒）．若设石头从并口落到并底用了x秒，则可列方程为（）A．330x=5x2B．330(6.5+x)=5x2 C．330(6.5−x)=5x2D．330×6.5=5x2 8．x=1是关于x的一元二次方程x2+2ax−b=0的解，则2b−4a=（）A．−1B．1C．−2D．29．若x＝3是方程x2﹣4x+m＝0的一个根，则m的值为（）A．3B．4C．﹣4D．﹣310．已知x=−2是方程x2+mx−2=0的一个实数根，则m的值是（）A．0B．−1C．1D．−2二、填空题11．等腰三角形的两条边长分别是方程(x−7)(x−3)=0的两根，则该等腰三角形的周长是. 12．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，D之间的距离为5cm，点A，C之间的距离为4cm，则四边形ABCD的面积为．13．若a是方程x2−2x−3=0的一个根，则代数式2a2−4a+1的值为．14．设α，β是一元二次方程x2+6x+8=0的两个根，则α2+β2+6α+6β=．15．关于x的一元二次方程(a2−1)x2+x−2=0是一元二次方程，则a满足．三、解答题16．已知一元二次方程(a−3)x2−4x+2=0．（1）若方程的一个根为x=−1，求a的值；（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值．17．关于x的方程x2−2mx+3m=0的两个根是等腰△ABC的两条边长，已知一个根是2，求△ABC的周长．18．已知a是一元二次方程x2+3x−1=0的实数根，求代数式a−33a2−6a÷(a+2−5a−2)的值．19．已知关于x的方程(k2−4)x2+(k−2)x=0．（1）当k为何值时，此方程是一元一次方程？（2）当k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．答案解析部分1．答案：A 2．答案：B 3．答案：D 4．答案：D 5．答案：A 6．答案：A 7．答案：C 8．答案：D 9．答案：A 10．答案：C 11．答案：17 12．答案：4√21cm 2 13．答案：7 14．答案：−16 15．答案：a ≠±1 16．答案：（1）a =−3（2）1,2,4,517．答案：14 18．答案：1319．答案：（1）解：由一元一次方程得定义，得{k 2−4=0k −2≠0解得k =−2，所以当k=−2时，此方程是一元一次方程；（2）解：由一元二次方程定义，得k2−4≠0，解得k≠±2，∴当k≠±2时，此方程是一元二次方程，此时一元二次方程的二次项系数是k2−4、一次项系数是k−2，常数项是0．。
解一元二次方程配方法(限时满分培优测试)-九年级数学上册尖子生培优必刷题【人教版】(原卷版)
【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题【人教版】专题21.3解一元二次方程:配方法（限时满分培优测试）班级：_____________ 姓名：_____________ 得分：_____________本试卷满分100分，建议时间：40分钟.试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．试题包含基础题、易错题、培优题、压轴题、创新题等类型，没有标记的为基础过关性题目.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023春•姑苏区校级期末）将方程x2+4x+1＝0配方后，原方程变形为（）A．（x+4）2＝3B．（x+2）2＝﹣3C．（x+2）2＝3D．（x+2）2＝﹣52．（2023•武山县一模）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0，此方程可化为（）A．（x﹣3）2＝4B．（x﹣3）2＝14C．（x﹣9）2＝4D．（x﹣9）2＝143．（2023•大同模拟）将方程2x2﹣12x+1＝0配方成（x﹣m）2＝n的形式，下列配方结果正确的是（）A．（x+3）2＝17B．(x+3)2=17 2C．（x﹣3）2＝17D．(x−3)2=17 24．（易错题）（2023•江夏区校级模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣8x+c＝0配方后得到方程（x﹣4）2＝3c，则c的值为（）A．﹣4B．0C．4D．65．（2023•运城模拟）配方法是解一元二次方程的一种基本方法，其本质是将一元二次方程由一般式ax2+bx+c ＝0（a≠0）化为（x+m）2＝n（n≥0）的形式，然后利用开方求一元二次方程的解的过程，这个过程体现的数学思想是（）A．数形结合思想B．函数思想C．转化思想D．公理化思想6．（2023•东莞市校级一模）将一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x﹣a）2＝b的形式，则b的值为（）A．﹣2B．2C．3D．47．（易错题）（2023•衡水二模）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁8．（易错题）（2023春•招远市期中）已知N＝6m﹣25，M＝m2﹣2m（m为任意实数），则M、N的大小关系为（）A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．不能确定9．（培优题）（2023春•永州期中）不论x、y是什么数，代数式x2+y2+2x﹣2y+7的值（）A．总大于7B．总不小于7C．可能为负数D．总不小于510．（压轴题）（2023•娄底三模）基本不等式的性质：一般地，对于a＞0，b＞0，我们有a+b≥2√ab，当且仅当a＝b时等号成立．例如：若a＞0，则a+9a≥2√a⋅9a=6，当且仅当a＝3时取等号，a+9a的最小值等于6．根据上述性质和运算过程，若x＞1，则4x+1x−1的最小值是（）A．6B．8C．10D．12二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2023•碑林区校级模拟）方程x2+4＝4x的解为．12．（2022秋•雄县期末）将一元二次方程x2﹣8x+5＝0配方成（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为．13．（易错题）（2022秋•宁强县期末）如果方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，那么（n﹣m）2020＝．14．（培优题）（2023春•东阳市期中）已知等腰三角形两边a，b，满足a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，则这个等腰三角形的周长为．15．（培优题）（2023春•溧阳市期中）已知：x2﹣3x+5＝（x﹣2）2+a（x﹣2）+b，则a+b＝．16．（压轴题）（2023春•滨江区期末）利用（a±b）2可求某些整式的最值．例如，x2﹣2x+3＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2，由（x﹣1）2≥0知，当x＝1时，多项式x2﹣2x+3有最小值2．对于多项式3x2+2x+1，当x＝时，有最小值是．三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．用配方法解下列方程：（1）x2+6x＝﹣7；（2）x2﹣2√2x﹣3＝0；（3）x（x﹣4）＝2﹣8x；（4）4x2﹣8x+1＝0．18．（易错题）（2023春•庄浪县期中）若三角形的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，判断此三角形的形状，并求此三角形面积．19．（易错题）（2023•朔州模拟）（1）计算：√18−12÷116×|−14|；（2）下面是小明同学灵活应用配方法解方程4x2﹣12x﹣1＝0的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解：原方程可化为（2x）2﹣6×2x﹣1＝0……第一步移项，得（2x）2﹣6×2x＝1……第二步配方，得（2x）2﹣6×2x+32＝1……第三步∴（2x﹣3）2＝1……第四步两边开平方，得2x﹣3＝±1……第五步∴2x﹣3＝1或2x﹣3＝﹣1．……第六步∴原方程的解为x1＝2，x2＝1……第七步任务一：小明同学的解答过程是从第步开始出错的，错误的原因是．任务二：请直接写出该方程的正确解．任务三：小刚同学说：“小明的解法是错误的，因为用配方法解一元二次方程时，首先要把二次项系数化为1，再配方．”你同意小刚同学的说法吗？你得到了什么启示？20．（培优题）（2023春•平果市期中）阅读理解：在教材中，我们有学习到（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，又因为任何实数的平方都是非负数，所以（a﹣b）2≥0，即a2+b2≥2ab．例如，比较整式x2+4和4x的大小关系，因为x2+4﹣4x＝（x﹣2）2≥0，所以x2+4≥4x．请类比以上的解题过程，解决下列问题：【初步尝试】比较大小：x2+1 2x；9 6x﹣x2．【知识应用】比较整式5x2+2xy+10y2和（2x﹣y）2的大小关系，并请说明理由．【拓展提升】比较整式2a2﹣4ab+4b2和2a﹣1的大小关系，并请说明理由．21．（培优题）（2023春•淮北月考）先阅读，后解题．已知m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m和n的值．解：等式可变形为（m2+2m+1）+（n2﹣6n+9）＝0．即（m+1）2+（n﹣3）2＝0．∵（m+1）2≥0，（n﹣3）2≥0，∴m+1＝0，n﹣3＝0，∴m＝﹣1，n＝3．像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫作“配方法”．请你利用配方法，解决下列问题：（1）已知a，b是长方形ABCD的长与宽，满足a2+b2﹣8a﹣6b+25＝0，则长方形ABCD的面积是；（2）求代数式a2+4b2+4ab﹣4a﹣8b+7的最小值，并求出此时a，b满足的数量关系；（3）请比较多项式x2+3x﹣4与2x2+2x﹣3的大小，并说明理由．22．（压轴题）（2023•桐乡市一模）设x，y都是实数，请探究下列问题，（1）尝试：①当x＝﹣2，y＝1时，∵x2+y2＝5，2xy＝﹣4，∴x2+y2＞2xy．②当x＝1，y＝2时，∵x2+y2＝5，2xy＝4，∴x2+y2＞2xy．③当x＝2，y＝2.5时，∵x2+y2＝10.25，2xy＝10，∴x2+y2＞2xy．④当x＝3，y＝3时，∵x2+y2＝18，2xy＝18，∴x2+y22xy．（2）归纳：x2+y2与2xy有怎样的大小关系？试说明理由．（3）运用：求代数式x2+4x2的最小值．23．（创新题）（2023春•古田县期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5＝22+12，所以5是“完美数”．【解决问题】：（1）已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a、b是整数）的形式．（2）若x2﹣6x+5可配方成（x﹣m）2+n（m、n为常数），则mn＝．【探究问题】：（3）已知x2+y2﹣2x+4y+5＝0，求x+y的值；（4）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（xx、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．。
一元二次方程专题培优训练精选
一元二次方程专题培优训练精选专题一利用一元二次方程的定义确定字母的取值1.已知(m-3)x^2+m+2x=1是关于x的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A.m≠3.B.m≥3.C.m≥-2.D。
m≥-2且m≠3已知(m-3)x^2+m+2x=1是关于x的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A。
m≠3.B。
m≥3.C。
m≥-2.D。
m≥-2且m≠32.已知关于x的方程(m+1)x^m+1+(m-2)x^-1=，问：1）m取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程；2）m取何值时，它是一元一次方程？已知关于x的方程(m+1)x^m+1+(m-2)x^-1=，问：1）m取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程；2）m取何值时，它是一元一次方程？3.若一元二次方程ax^2+bx+c=0中，a-b+c=0，则此方程必有一个根为.a^2+1若一元二次方程ax^2+bx+c=0中，a-b+c=0，则此方程必有一个根为.a^2+14.已知实数a是一元二次方程x-2013x+1=0的解，求代数式a-2012a-的值.2013^2已知实数a是一元二次方程x-2013x+1=0的解，求代数式a-2012a-的值.2013^2方法技巧：1.ax+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论.2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领会.方法技巧：1.ax+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论.2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领会.专题二利用配方法求字母的取值或者求代数式的极值21.若方程25x-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（）A.-9或11.B.-7或8.C.-8或9.C.-8或9 若方程25x-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（）A。
-9或11.B。
-7或8.C。
人教版九年级上册数学 一元二次方程(培优篇)(Word版 含解析)
用含 n 的算式表示出 PQ 的长度，注意需要添加绝对值符号．
3．近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克 达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．
（1）从去年年底至今年 3 月 20 日，猪肉价格不断走高，3 月 20 日比去年年底价格上涨了
60%．某市民在今年 3 月 20 日购买 2.5 千克猪肉至少要花 200 元钱，那么去年年底猪肉的
=4，从而得到 x=2 时，周长的最小值为 8；
（2）根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可，经济时速就是耗油 量最小的形式速度． 【详解】
(1)∵x+ ≥2 ＝4，
∴当 x＝ 时，2(x+ )有最小值 8．
即 x＝2 时，周长的最小值为 8；
故答案是：2；8；
问题 2：
，
当且仅当
，即 x＝ 时，函数 y＝x+ 的最小值为 2 ．
阅读理解上述内容，解答下列问题： 问题 1：
已知一个矩形的面积为 4，其中一边长为 x，则另一边长为 ，周长为 2(x+ )，求当 x＝
时，周长的最小值为
；
问题 2：
汽车的经济时速是汽车最省油的行驶速度，某种汽车在每小时 70～110 公里之间行驶时(含
，
即 x＝90 时，“＝”成立，
所以，当 x＝90 时，函数取得最小值 9，
此时，百公里耗油量为
，
所以，该汽车的经济时速为每小时 90 公里，经济时速的百公里耗油量为 10L． 【点睛】 本题考查了配方法及反比例函数的应用，最值问题，解题的关键是读懂题目提供的材料， 易错点是了解“耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度”，难度中等偏上．
【数学】培优一元二次方程辅导专题训练附答案解析
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】 试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值． 试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2，∴k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.2．解下列方程：（1）x 2﹣3x=1．（2）12（y+2）2﹣6=0． 【答案】(1)12313313,22x x +-== ;(2)12223,223y y =-+=-- 【解析】试题分析：（1）利用公式法求解即可；（2）利用直接开方法解即可；试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x 2﹣3x ﹣1=0，∵b 2﹣4ac=13＞0∴． ∴12313313,22x x +-==． （2）（y+2）2=12， ∴或，∴12223,223y y =-+=--3．已知为正整数，二次方程的两根为，求下式的值：【答案】【解析】由韦达定理，有，．于是，对正整数，有原式=4．解下列方程：(1)2x2－4x－1＝0(配方法)；(2)(x＋1)2＝6x＋6.【答案】(1)x1＝1＋62x2＝1－621＝－1，x2＝5.【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可.试题解析：(1)由题可得，x2－2x＝12，∴x2－2x＋1＝32.∴(x－1)2＝32.∴x－1＝32±6 2.∴x1＝1＋62，x2＝1－62.(2)由题可得，(x＋1)2－6(x＋1)＝0，∴(x＋1)(x＋1－6)＝0.∴x＋1＝0或x＋1－6＝0.∴x1＝－1，x2＝5.5．已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x-+=的两根，（1）解方程求两条线段的长。
人教培优易错试卷一元二次方程辅导专题训练及详细答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根． ()1求k 的取值范围；()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．【答案】（1）134k ≤；（2）2k =-． 【解析】【分析】 ()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥，解之可得． ()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍．【详解】解：()1关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根， 0∴≥，即()()22[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥， 解得134k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，()222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+，221223x x +=， 224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-， 134k ≤， 4k ∴=舍去，2k ∴=-．【点睛】本题考查了一元二次方程2ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系．2．解方程：（3x+1）2=9x+3．【答案】x 1=﹣13，x 2=23． 【解析】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，可得3x+1=0或3x ﹣2=0，解得：x 1=﹣13，x 2=23． 点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.3．解方程：2332302121x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭． 【答案】x=15或x=1 【解析】【分析】 设321x y x =-，则原方程变形为y 2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y ，再求x ． 【详解】 解：设321x y x =-，则原方程变形为y 2-2y-3=0． 解这个方程，得y 1=-1,y 2=3, ∴3121x x =--或3321x x =-． 解得x=15或x=1． 经检验：x=15或x=1都是原方程的解． ∴原方程的解是x=15或x=1． 【点睛】考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．4．已知关于x 的一元二次方程有两个实数x 2+2x+a ﹣2=0，有两个实数根x 1，x 2． （1）求实数a 的取值范围；（2）若x 12x 22+4x 1+4x 2=1，求a 的值．【答案】（1）a≤3；（2）a=﹣1．【解析】试题分析：（1）由根的个数，根据根的判别式可求出a的取值范围；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，代换求值即可得到a的值.试题解析：（1）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即22﹣4×1×（a﹣2）≥0，解得a≤3；（2）由题意可得x1+x2=﹣2，x1x2=a﹣2，∵x12x22+4x1+4x2=1，∴（a﹣2）2﹣8=1，解得a=5或a=﹣1，∵a≤3，∴a=﹣1．5．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．【解析】【分析】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.【详解】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，根据题意得：x(32﹣2x)=126，解得：x1=7，x2=9，∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，根据题意得：y(36﹣2y)=170，整理得：y2﹣18y+85=0．∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．6．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【答案】(1)2000；(2)2米【解析】【分析】（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程【详解】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：4600022000x-﹣46000220001.5x-= 4解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的解;答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）=56解得：x=2或x=263（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米．7．已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0。
2021-2022人教版九年级上册 《一元二次方程》培优练习(解析版)
《一元二次方程》培优练习一．选择题1．下列方程中是一元二次方程的是（）A．2x+1＝0B．y2+x＝1C．x2+1＝0D．2．将方程3x2+1＝6x化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．3，﹣6，1B．3，6，1C．3，1，﹣6D．3，1，63．已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）A．﹣3B．3C．﹣2D．24．用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣3）2＝13B．（x+3）2＝13C．（x﹣6）2＝4D．（x﹣3）2＝55．若实数x，y满足（x2+y2+3）（x2+y2﹣3）＝0，则x2+y2的值为（）A．3或﹣3B．3C．﹣3D．16．关于x的一元二次方程（2﹣a）x2+x+a2﹣4＝0的一个根为0，则a的值为（）A．2B．0C．2或﹣2D．﹣27．一元二次方程﹣x2+6x﹣10＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根8．某地区举办的篮球比赛共有x支球队参加，每两队之间都只进行一场比赛，共进行了45场比赛，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）＝45B．x（x+1）＝45C．x（x﹣1）＝45D．x（x+1）＝459．8月23号到校前，小希将收到学校的一条短信通知发给若干同学，每个收到的同学又给相同数量的同学转发了这条短信，此时收到这条短信的同学共有157人，小希给（）个同学发了短信．A．10B．11C．12D．1310．已知m是方程3x2﹣2x﹣2＝0的一个实数根，则代数式的值（）A．2B．C．D．二．填空题11．若（m+1）x|m|+1+6mx﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m ＝．12．若关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是．13．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足a﹣b+c＝0，则方程一定有一个根是x＝．14．某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为．15．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个等腰三角形的周长为．16．已知方程2x2+kx﹣2k+1＝0的两个实数根的平方和为，则k 的值为．三．解答题17．用适当的方法解下列方程：（1）2x2+1＝3x（2）x2+6x+4＝018．已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x+a+1＝0．（1）若该方程有一根为0，求a的值及方程的另一根；（2）当a为何值时，方程仅有一个实数根？求出此时a的值．19．一个矩形的长为a，宽为b（a＞0，b＞0），则矩形的面积为a•b．代数式xy（x＞0，y＞0）可以看作是边长为x和y的矩形的面积．我们可以由此解一元二次方程：x2+x﹣6＝0（x＞0）．具体过程如下：①方程变形为x（x+1）＝6；②画四个边长为x+1、x的矩形如图放置；③由面积关系求解方程．∵S ABCD＝（x+x+1）2，又S ABCD＝4x（x+1）+12．∴（x+x+1）2＝4x（x+1）+1，又x（x+1）＝6，∴（2x+1）2＝25，∵x＞0，∴x＝2．参照上述方法求关于x的二次方程x2+mx﹣n＝0的解（x＞0，m ＞0，n＞0）．（要求：画出示意图，标注相关线段的长度，写出解题步骤）20．“一带一路”为我们打开了交流、合作的大门，也为沿线各国在商贸等领域提供了更多的便捷，2018年11月5日至10日，首届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举办，据哈外贸商会发布消息，博览会期间，哈Paseka公司与重庆某国际贸易公司签订了供应蜂蜜合同：哈Paseka公司于2019年6月前分期分批向重庆某国际贸易公司供给优质蜂蜜共3000万件，该公司顺应新时代购物流，打算分线上和线下两种方式销售．（1）若计划线上销售量不低于线下销售量的25%，求该公司计划在线下销售量最多为多少万件？（2）该公司在12月上旬销售优质蜂蜜共240万件，且线上线下销售单件均为100元/件．12月中旬决定线上销售单价下调m%，线下销售单价不变，在这种情况下，12月中旬销售总量比上旬增加了m%，且中旬线上销售量占中旬总销量的，结果中旬销售总金额比上旬销售总金额提高了m%．求m的值．21．某批发城在冬天到来之际进了一批保暖衣，男生的保暖衣每件价格60元，女生的保暖衣每件价格40元，第一批共购买100件．（1）第一批购买的保暖衣的总费用不超过5400元，求女生保暖衣最少购买多少件？（2）第二批购买保暖衣，购买男、女生保暖衣的件数比为3：2，价格保持第一批的价格不变；第三批购买男生保暖衣的价格在第一批购买的价格上每件减少了元，女生保暖衣的价格比第一批购买的价格上每件增加了元，男生保暖衣的数量比第二批增加了m%，女生保暖衣的数量比第二批减少了m%，第二批与第三批购买保暖衣的总费用相同，求m的值．参考答案一．选择题1．解：A、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项错误；B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；C、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D、分母中含有未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；故选：C．2．解：方程整理得：3x2﹣6x+1＝0，二次项系数为3；一次项系数为﹣6，常数项为1，故选：A．3．解：设方程的另一个根为t，根据题意得1•t＝﹣2，解得t＝﹣2．故选：C．4．解：方程x2﹣6x﹣4＝0变形得：x2﹣6x＝4，配方得：x2﹣6x+9＝13，即（x﹣3）2＝13，故选：A．5．解：设t＝x2+y2（t≥0），则原方程转化为（t+3）（t﹣3）＝0，所以t+3＝0或t﹣3＝0．所以t＝﹣3（舍去）或t＝3，即x2+y2的值为3．故选：B．6．解：∵（2﹣a）x2+x+a2﹣4＝0是关于x的一元二次方程，∴2﹣a≠0，即a≠2①由一个根是0，代入（2﹣a）x2+x+a2﹣4＝0，可得a2﹣4＝0，解之得a＝±2；②由①②得a＝﹣2．故选：D．7．解：∵△＝62﹣4×（﹣1）×（﹣10）＝36﹣40＝﹣4＜0，∴方程没有实数根．故选：D．8．解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为x（x﹣1），∴共比赛了45场，∴x（x﹣1）＝45，故选：A．9．解：设小希给x个同学发了短信，依题意，得：1+x+x2＝157，解得：x1＝﹣13，x2＝12．故选：C．10．解：∵m是方程3x2﹣2x﹣2＝0的一个实数根，∴3m2﹣2m＝2，3m2﹣2＝2m，∴3m﹣＝2，∴原式＝＝，故选：C．二．填空题（共6小题）11．解：由（m+1）x|m|+1+6mx﹣2＝0是关于x的一元二次方程，得，解得m＝1，故答案为：1．12．解：∵关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个实数根，∴△≥0，∴△＝1﹣4（﹣m）≥0，即m≥﹣，故答案为：m≥﹣．13．解：将x＝﹣1代入ax2+bx+c＝0的左边得：a×（﹣1）2+b×（﹣1）+c＝a﹣b+c，∵a﹣b+c＝0，∴x＝﹣1是方程ax2+bx+c＝0的根．故答案为：﹣1．14．解：二月份的营业额为36（1+x），三月份的营业额为36（1+x）×（1+x）＝36（1+x）2，即所列的方程为36（1+x）2＝48，故答案为：36（1+x）2＝48．15．解：x2﹣9x+18＝0，（x﹣3）（x﹣6）＝0，所以x1＝3，x2＝6，所以等腰三角形的底为3，腰为6，这个等腰三角形的周长为3+6+6＝15．故答案为15．16．解：∵方程2x2+kx﹣2k+1＝0有两个实数根，∴△＝k2﹣4×2（﹣2k+1）≥0，解得k≥6﹣8或k＜﹣6﹣8．设方程2x2+kx﹣2k+1＝0两个实数根为x1、x2．则x1+x2＝﹣，x1•x2＝﹣k+，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝+2k﹣1＝，即k2+8k﹣33＝0，解得k1＝3，k2＝﹣11（不合题意，舍去）．故答案是：3．三．解答题（共5小题）17．解：（1）∵2x2+1＝3x，∴（2x﹣1）（x﹣1）＝0，∴x＝或x＝1；（2）∵x2+6x+4＝0，∴a＝1，b＝6，c＝4，∴△＝36﹣16＝20，∴x＝＝﹣318．解：（1）将x＝0代入方程（a﹣1）x2+2x+a+1＝0得a+1＝0，解得：a＝﹣1．将a＝﹣1代入原方程得﹣2x2+2x＝0，解得：x1＝0，x2＝1．∴a＝﹣1，方程的另一根为1．（2）当a＝1时，方程为2x+2＝0，解得：x＝﹣1；故a的值为﹣1．19．解：①方程变形为x（x+m）＝n；②画四个边长为x+m、x的矩形如图放置；③由面积关系求解方程．∵S ABCD＝（x+x+m）2，又S ABCD＝4x（x+m）+m2．∴（x+x+m）2＝4x（x+m）+m2，又x（x+m）＝n，∴（2x+m）2＝4n+m2，∵x＞0，∴x＝（﹣m）（m＞0，n＞0）．20．解：（1）设该公司计划在线下销售量为x万件，则3000﹣x≥25%x天天向上独家原创解得：x≤2400∴该公司计划在线下销售量最多为2400万件；（2）由题意得：×240（1+m%）×100（1﹣m%）+（1﹣）×240（1+m%）×100＝240×100（1+m%）化简得：m2﹣25m＝0解得：m1＝0（不合题意，舍去），m2＝25∴m的值为25．21．解：（1）设女生保暖衣购买x件．40x+60（100﹣x）≤5400解之得x≥30答：女生保暖衣最少购30件；（2）设购买男、女生保暖衣的件数分别为3a、2a．根据题意，得设m%＝t，则m＝100t.3a×（1+t）×（60﹣20t）+2a×（1﹣t）×（40+30t）＝3a×60+2a×406t2﹣5t＝0解得：t1＝0（舍去），∴m＝100t＝．答：m的值是．。
人教版九年级数学上：第21章一元二次方程综合培优试题(含答案)
人教版九年级数学上：第21章一元二次方程综合培优试题（含答案）一．选择题1．若一元二次方程x 2﹣5x+4=0的两个实数根分别是a 、b ，则一次函数y=abx+a+b 的图象一定不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.用配方法解一元二次方程x 2﹣4x=5时，此方程可变形为（ ）A ．（x+2）2=1B ．（x ﹣2）2=1C ．（x+2）2=9D ．（x ﹣2）2=93.用配方法解一元二次方程4x 2-4x=1,变形正确的是( ) (A)（x-）2=0(B)（x-）2=(C)(x-1)2=(D)(2x-1)2=04．一个等腰三角形的三边长分别为m ，n ，3，且m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣8x+t ﹣1=0的两根，则t 的值为（ ） A ．16 B ．18 C ．16或17 D ．18或195.长春市企业退休人员王大爷2011年的工资是每月2100元，连续两年增长后，2013年大王大爷的工资是每月2541元，若设这两年平均每年的增长率为x ，根据题意可列方程（ ）A ． ()254112100=+xB ． ()2100125412=-xC. ()2541121002=+xD ． ()2100125412=-x6.关于x 的方程(2-a)x 2+5x-3=0有实数解,则整数a 的最大值是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)47．下面关于x 的方程中：①ax 2+bx+c=0；②3（x ﹣9）2﹣（x+1）2=1③x 2++5=0；④x 2﹣2+5x 3﹣6=0；⑤3x 2=3（x ﹣2）2；⑥12x ﹣10=0是一元二次方程的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48.关于x 的方程()01452=---x x a 有实数根，则a 满足（ ）A ． a ≥1B ． a ＞1且a ≠5C ． a ≥1且a ≠5D ． a ≠5 二．填空题9.方程x(x+4)=8x+12的一般形式是 ,一次项为 .10．某年一月我国南方发生禽流感的养鸡场100家，后来经过二、三月份的传染共有264家被感染，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x ，依题意列出方程是 ．11.关于x 的一元二次方程012=+-x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 12.请给出c 的一个值,当c= 时,方程x 2-3x+c=0无实数根.13．（x ﹣4）2=18，则x= ． 三．解答题14.用适当方法解方程.（1）1222+=-x x x（2）()()()83211=++-+x x x（3）522=-x x（4）()()3332-=-x x x15．“万州古红桔”原名“万县红桔”，古称丹桔（以下简称为红桔），种植距今至少已有一千多年的历史，“玫瑰香橙”（源自意大利西西里岛塔罗科血橙，以下简称香橙）现已是万州柑橘发展的主推品种之一．某水果店老板在2017年11月份用15200元购进了400千克红桔和600千克香橙，已知香橙的每千克进价比红桔的每千克进价2倍还多4元． （1）求11月份这两种水果的进价分别为每千克多少元？（2）时下正值柑橘销售旺季，水果店老板决定在12月份继续购进这两种水果，但进入12月份，由于柑橘的大量上市，红桔和香橙的进价都有大幅下滑，红桔每千克的进价在11月份的基础上下降了m%，香橙每千克的进价在11月份的基础上下降了m%，由于红桔和“玫瑰香橙”都深受库区人民欢迎，实际水果店老板在12月份购进的红桔数量比11月份增加了m%，香橙购进的数量比11月份增加了2m%，结果12月份所购进的这两种柑橘的总价与11月份所购进的这两种柑橘的总价相同，求m 的值．16.已知关于x 的方程()()01222=-++-m x m x .求证：（1）方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长.17. 已知关于x 的方程x 2-5x-m 2-2m-7=0. (1)若此方程的一个根为-1,求m 的值;(2)求证:无论m 取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.答案一．选择题 1． D ． 2. D 3. B. 4． C ． 5. C6. D. 7． A ． 8. A二．填空题9. x 2-4x-12=0 -4x10． 100（1+x ）+100（1+x ）2=264． 11. k ＜41且0≠k ； 12. 3(答案不唯一) 13． 10或﹣2． 三．解答题14.（1）52,5221-=+=x x（2）1,321=-=x x （3）61,6121-=+=x x（4）32,321==x x 15． 解：（1）设11月份红桔的进价为每千克x 元，香橙的进价为每千克y 元，依题意有，解得．答：11月份红桔的进价为每千克8元，香橙的进价为每千克20元； （2）依题意有8（1﹣m%）×400（1+m%）+20（1﹣m%）×600（1+2m%）=15200， 解得m 1=0（舍去），m 2=49.6． 故m 的值为49.6．16. （1）证明：∵△=（m+2） 2 -4（2m-1）=（m-2） 2+4，∴在实数范围内，m 无论取何值，（m-2） 2+4＞0，即△＞0，∴关于x 的方程x 2-（m+2）x+（2m-1）=0恒有两个不相等的实数根； （2）解：根据题意，得 1 2-1×（m+2）+（2m-1）=0， 解得，m=2，则方程的另一根为：m+2-1=2+1=3；①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为 ；该直角三角形的周长为1+3+=4+；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；则该直角三角形的周长为1+3+=4+．17.(1)解:把x=-1代入x 2-5x-m 2-2m-7=0,得1+5-m2-2m-7=0,解得m1=m2=-1,所以m的值为-1.(2)证明:Δ=b2-4ac=(-5)2-4(-m2-2m-7)=4(m+1)2+49. 因为4(m+1)2≥0,所以4(m+1)2+49>0,即Δ>0,所以无论m取何实数,方程都有两个不相等的实数根.人教新版九年级数学上第21章一元二次方程单元练习试题含答案一．选择题（共10小题）1．下列哪个方程是一元二次方程（）A．2x+y＝1 B．x2+1＝2xy C．x2+＝3 D．x2＝2x﹣32．一元二次方程3x2﹣3x＝x+2化为一般形式ax2+bx+c＝0后，a、b、c的值分别是（）A．3、﹣4、﹣2 B．3、﹣3、2 C．3、﹣2、2 D．3、﹣4、23．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+m2﹣1＝0的一根为0，则m的值是（）A．±1 B．±2 C．﹣1 D．﹣24．一元二次方程（x﹣2018）2+2017＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．无实数根5．若把方程x2﹣6x﹣4＝0的左边配成完全平方的形式，则正确的变形是（）A．（x﹣3）2＝5 B．（x﹣3）2＝13 C．（x﹣3）2＝9 D．（x+3）2＝5 6．若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2﹣10x+21＝0的一根，则这个三角形的周长为（）A．7 B．3或7 C．15 D．11或157．一元二次方程mx2+mx﹣＝0有两个相等实数根，则m的值为（）A．0 B．0或﹣2 C．﹣2 D．28．用22cm的铁丝围成一个面积为30cm2的矩形，则这个矩形的两边长是（）A．5cm和6cm B．6cm和7cm C．4cm和7cm D．4cm和5cm9．已知A＝a2﹣a+4，B＝3a﹣1，则A、B的大小关系为（）A．A＞B B．A＝B C．A＜B D．不能确定10．已知某公司一月份的收益为10万元，后引进先进设备，收益连续增长，到三月份统计共收益50万元，求二月、三月的平均增长率，设平均增长率为x，可得方程为（）A．10（1+x）2＝50 B．10（1+x）2＝40C．10（1+x）+10（1+x）2＝50 D．10（1+x）+10（1+x）2＝40二．填空题（共7小题）11．已知（m﹣1）x2﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，则实数m的取值范围是．12．给出一种运算：对于函数y＝x n，规定y′＝nx n﹣1．例如：若函数y＝x4，则有y′＝4x3．已知函数y＝x3，则方程y′＝12的解是．13．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3，若将实数对（x，﹣3x）放入其中，得到一个新数为5，则x＝．14．股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．若一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是．15．对任意的两实数a，b，用min（a，b）表示其中较小的数，如min（2，﹣4）＝﹣4，则方程x•min（2，2x﹣1）＝x+1的解是．16．若实数a，b满足（a2+b2）（a2+b2﹣8）+16＝0，则a2+b2＝．17．设α，β是方程x2﹣x﹣2019＝0的两个实数根，则α3﹣2021α﹣β的值为；三．解答题（共3小题）18．（1）用配方法解方程：3x2﹣12x+9＝0．（2）用公式法解方程：3x2﹣9x+4＝0．19．求证：关于x的一元二次方程mx2+（3﹣2m）x+（m﹣3）＝0（m≠0）总有两个不相等的实数根．20．某公司销售一种产品，进价为20元/件，售价为80元/件，公司为了促销，规定凡一次性购买10万件以上的产品，每多买1万件，每件产品的售价就减少2元，但售价最低不能低于40元/件，设一次性购买x万件（x＞10）（1）若x＝15，则售价应是元/件；（2）若以最低价购买此产品，求x的值；（3）当x＞10时，求此产品的利润y（万元）与购买数量x（万件）的关系式；（4）经营中公司发现售出19万件的利润反而比售出24万件的利润还多，在促销条件不变的情况下，为了使每次销售的越多总利润也越多，最低售价应调整到多少元/件？并说明理由．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：A、不是一元二次方程，故此选项错误；B、不是一元二次方程，故此选项错误；C、不是一元二次方程，故此选项错误；D、是一元二次方程，故此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．2．解：一元二次方程3x2﹣3x＝x+2化为一般形式ax2+bx+c＝0后，3x2﹣4x﹣2＝0，则a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2．故选：A．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确合并同类项是解题关键．3．解：把x＝0代入方程得：0+0+m2﹣1＝0，解得：m＝±1，∵m﹣1≠0，∴m＝﹣1，故选：C．【点评】本题主要考查对一元二次方程的解，一元二次方程的定义等知识点的理解和掌握，能理解一元二次方程的解的含义是解此题的关键．4．解：由原方程得到：（x﹣2018）2＝﹣2017．∵（x﹣2018）2≥0，﹣2017＜0，∴该方程无解．故选：D．【点评】考查了直接开平方法解一元二次方程．形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．5．解：x2﹣6x﹣4＝0x2﹣6x＝4x2﹣6x+9＝13（x﹣3）2＝13，故选：B．【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解答本题的关键是会用配方法解方程的方法．6．解：x2﹣10x+21＝0，（x﹣3）（x﹣7）＝0，则x﹣3＝0，x﹣7＝0，解得：x＝3或7，当x＝3时，2+3＝5＜6，不能组成三角形，故x＝3不合题意舍去，当x＝7时，2+6＝8＞7，可以组成三角形，则三角形的周长为2+6+7＝15，故选：C．【点评】此题考查了利用因式分解法求一元二次方程的解，以及三角形的边角关系，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化两个一次方程来求解．7．解：∵一元二次方程mx2+mx﹣＝0有两个相等实数根，∴△＝m2﹣4m×（﹣）＝m2+2m＝0，解得：m＝0或m＝﹣2，经检验m＝0不合题意，则m＝﹣2．故选：C．【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．8．解：设这个矩形的长为xcm，根据题意x（﹣x）＝30，整理得x2﹣11x+30＝0，解这个方程，得x1＝5，x2＝6，由x1＝5得﹣x＝6（与题设不符，舍去）．由x2＝6得﹣x＝5．则这个矩形的长是6cm，宽是5cm．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程在实际生活中的应用及矩形的面积公式，表示出矩形的长与宽得出等式方程是解题关键．9．解：∵A＝a2﹣a+4，B＝3a﹣1，∴A﹣B＝a2﹣a+4﹣3a+1＝a2﹣4a+4+1＝（a﹣2）2+1≥1＞0，则A＞B，故选：A．【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．10．解：设平均增长率为x，则二月份的收益为10（1+x）万元，三月份的收益为10（1+x）2万元，根据题意得：10+10（1+x）+10（1+x）2＝50，即10（1+x）+10（1+x）2＝40．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．二．填空题（共7小题）11．解：由题意可知：m﹣1≠0，∴m≠1，故答案为：m≠1，【点评】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义，本题属于基础题型．12．解：∵y＝x3，∴y′＝3x2，∵y′＝12，∴3x2＝12，解得，x＝±2，故答案为：±2．【点评】本题考查解一元二次方程﹣直接开平方法、新定义，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用解方程的方法解答．13．解：根据题意，得：x2+6x+3＝5，即x2+6x﹣2＝0，∵a＝1，b＝6，c＝﹣2，∴△＝36﹣4×1×（﹣2）＝44＞0，则x＝＝﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．14．解：设这两天此股票股价的平均增长率为x，由题意得（1﹣10%）（1+x）2＝1．故答案为：（1﹣10%）（1+x）2＝1．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．15．解：①若2＜2x﹣1，即x＞1.5时，x+1＝2x，解得x＝1（舍）；②若2x﹣1≤2，即x≤1.5时，x（2x﹣1）＝x+1，解得x＝或x＝，故答案为：x＝或x＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是根据定义列出关于x的方程，并准确求解．16．解：令a2+b2＝x，则原方程可化为：x（x﹣8）+16＝0，∴x2﹣8x+16＝0，即（x﹣4）2＝0，∴x﹣4＝0，解得x＝4，即a2+b2＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使复杂问题简单化，变得容易处理．17．解：根据题意得：α+β＝1，α3﹣2021α﹣β＝α（α2﹣2020）﹣（α+β）＝α（α2﹣2020）﹣1，∵α2﹣α﹣2019＝0，∴α2﹣2020＝α﹣1，把α2﹣2020＝α﹣1代入原式得：原式＝α（α﹣1）﹣1＝α2﹣α﹣1＝2019﹣1＝2018．【点评】本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．三．解答题（共3小题）18．解：（1）两边同除以3，得x2﹣4x+3＝0，移项，得x2﹣4x＝﹣3，配方，得x2﹣4x+4＝﹣3+4，（x﹣2）2＝1，x﹣2＝±1，x1＝3，x2＝1；（2）∵a＝3，b＝﹣9，c＝4，∴△＝b2﹣4a c＝（﹣9）2﹣4×3×4＝33＞0，∴方程有两个不相等的实数根为x＝，x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程，能熟记解一元二次方程的各个方法是解此题的关键．19．证明：∵mx2+（3﹣2m）x+（m﹣3）＝0（m≠0），∴△＝（3﹣2m）2﹣4m（m﹣3）＝9﹣12m+4m2﹣4m2+12m＝9＞0，∴该方程总有两个不相等的实数根．【点评】本题主要考查根的判别式，计算出判别式并判断其符号是解题的关键．20．解：（1）由题意知，一次性购买x万件时，售价为80﹣2（x﹣10）＝100﹣2x（元/件），当x＝15时，100﹣2x＝70（元/件），故答案为：70；（2）由题意知100﹣2x＝40，解得：x＝30；（3）根据题意知，y＝（100﹣2x﹣20）x＝﹣2x2+80x（10＜x＜30）；（4）为了使每次销售的越多总利润也越多，最低售价应调整到60元/件，∵y＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，∴当x≤20时，y随x的增大而增大，当x＝20时，最低售价为60元/件．【点评】本题主要考查一元一次方程、二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程和函数解析式．人教版九年级数学上册第21章一元二次方程单元检测题（有答案）(7)一、精心选一选，慧眼识金（每小题3分，共30分）. 1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）.A ．230x x y ++=B ．2(2)x x x x -=+C ．221132x x ++=D ．2150x x++= 2．方程(3)x x x +=的根是（ ）.A ．3x =-B ．0x =C ．3x =D ．0x =或3x =-3．一元二次方程220x x -+=的根的情况是（ ）．A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．无实数根 4．用配方法解方程2410x x ++=，经过配方可得到（ ）.A ．()223x +=B ．()225x += C ．()223x -=D ．()225x -=5判断方程02=++c bx ax (a ≠0，a ，b ，c 为常数)一个解x 的范围是（ ）. A ．3＜x ＜3.23 B ．3.23＜x ＜3.24 C ．3.24＜x ＜3.25 D ．3.25 ＜x ＜3.266．若12x x ，是一元二次方程2560x x -+=的两个根，则12x x +的值是（ ）.A ．1B ．5C ．5-D ．6 7．关于x 的一元二次方程230x ax a --=的一个根为6，另一个根为（ ）.A ．2B ．2-C ．6-D ．48．有一个面积为16 cm 2的梯形，它的一条底边长为3 cm ，另一条底边长比它的高长1c m ，若设这条底边长为x cm ，依据题意，列出方程整理后得（ ）． A ．22350x x +-= B ．22700x x +-= C ．22350x x --= D ．22700x x -+=9．方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ） A ．12 B ．15 C ．12或15 D ．不能确定10．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可出售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，经调查发现：如果每件衬衫每降低1元，则商场平均每天多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价（ ）.A ．10元B ．20元C ．25元D ．10元或20元二、耐心填一填，一锤定音（每小题3分，共30分）11．把方程()()42213-+=-x x x 化成一元二次方程的一般形式为 ，它的二次项系数、一次项系数以及常数式的和为 . 12．方程22(2)(3)20mm x m x --+--=是一元二次方程，则m 的值为________.13．为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为210m 提高到212.1m ，若每年的平均年增长率相同，则其增长率为_______. 14．用配方法解关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0，此方程可变形为：2()2m x +=__________. 15．若关于x 的方程()24110x k x -++=有两个实数根相等，则k =__________．16．小亮在写作业时，一不小心，把方程23x -80x -=的一次项x 前的数字被墨水玷污了，但从题的条件中，他知道方程的一个解是2x =，请问你能帮助小亮求出被玷污的数字是________.17．在实数内定义运算“⊕”，其法则为：22a b a b ⊕=-，方程（4⊕3）⊕24x =的解为 ．18．若两个连续偶数的积是288，则这两个数的和等于 ．19．已知实数x 满足2(1)4(1)120x x ----=，则代数式1x -的值为______.20．刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意一个实数对 （a ，b ）进入其中时，会得到一个新的实数：21a b +-，例如把（3，-2）放入其中，就会得到32+（-2）-1=6. 现将实数对（m ，2m -）放入其中，得到实数2，则m 的值为___________.三、细心做一做，马到成功（共60分） 21．（每小题4分，共12分）解下列方程： （1） 2235x x +-= （2）2(53)40x +-= （3） 2)2)(113(=--x x22．（6分）当x 为何值时，代数式562++x x 的值与代数式1-x 的值相等？23．（7分）某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元 （1）求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率；（2）假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2019年村该村的人均收入是多少元？图224．（8分）已知关于x 的方程222(1)0x m x m -++=.（1）当m 取何值时，方程有两个实数根？（2）为m 选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根.25．（8分）已知关于x 的方程2210x kx +-=.（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1-，求k 值及方程的另一个根．26．（9分）将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由． 27．（10分）如图2，A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点，已知AB=16 cm ，AD=6 cm ，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以3 cm/s 的速度向点B 移动，一直到达B 点为止，点Q 以2 cm/s 的速度向D 移动，到达D 点为止.（1）P 、Q 两点从出发点开始几秒后，四边形PBCQ 的面积为33 cm 2？ （2）P 、Q 两点从出发点开始几秒后，点P 和点Q 间的距离是10 cm ？答案：一、精心选一选，慧眼识金1．C ； 2．D ； 3．D ； 4．A ； 5．C ； 6．B ； 7．B ．点拨：可求得4a =，原方程为24120x x --=. 8．A ．根据题意，得梯形的高为（1x -）㎝，故有1(3)(1)162x x +-=. 9．B ．点拨：解方程得，13x =，26x =. 则等腰三角形的底为3，腰为6.10．B ．设每件衬衫降价x 元，则()()120022040=+-x x .解得10,2021==x x （舍去） 二、耐心填一填，一锤定音11．2350x x -=，2-； 12．－2； 13．10%；14．244m n -； 15．3或—5；16．2．点拨：设被玷污的数字是a ，把2x =代入原方程，得2a =.17．5x =±. 点拨：根据题意，得4⊕3=7，所以7⊕x =22724x -=.18．34或－34. 点拨：这两个连续偶数为：16，18或－16，－18.19．6或－2．点拨：把1x -看作一个整体，解方程得，16x -=或12x -=-. 20．3或－1. 点拨：当把实数对（m ，-2m ）放入其中，得2212m m --=. 三、细心做一做，马到成功21．（1）12x =，24x =-； （2）115x =-，21x =-； （3）153x =，24x =. 22．根据题意，得562++x x =1-x . 解得，3,221-=-=x x .所以当x 为－2或－3时，代数式562++x x 的值与代数式1-x 的值相等. 23．解：（1）设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x ，根据题意得：20000（1+x ）2＝24200，解得：x 1＝0.1＝10%，x 2＝1.1（不合题意，舍去）．答：2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%． （2）24200×（1+10%）＝26620（元）．答：预测2019年村该村的人均收入是26620元． 24．（1）当△=24b ac -≥0时，方程有两个实数根.∴[]222(1)4840m m m -+-=+≥，∴12m ≥-. 即当12m ≥-时，方程有两个实数根. （2）取0m =时，原方程可化为220x x -=，解得10x =，22x =. 25．（1）由方程2210x kx +-=，得△=222442(1)8b ac k k -=-⨯⨯-=+，无论k 取何值，均有2k ≥0，所以280k +>，即240b ac ->， 所以方程2210x kx +-=总有两个不相等的实数根．（2）把方程的根x =1-代入原方程，得22(1)10k ⨯---=，解得k =1. 当k =1时，原方程为2210x x +-=，解得1x =1-，212x =. 所以k 值为1，方程的另一个根为12. 26．（1）设剪成两段后其中一段为x cm ，则另一段为(20)x -cm.根据题意，得22201744x x -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1216, 4.x x ==当16x =时，2020164x -=-=；当4x =时，2020416.x -=-= 答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm 和16cm.（2）不能. 理由如下：设剪成两段后其中一段为x cm ，则另一段为(20)x -cm.根据题意，得22201244x x -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得2201040x x -+=.∵24160b ac ∆=-=-<, ∴此方程无解.即不能剪成两段，使得两个正方形的面积和为212.cm27．（1）设P 、Q 两点从出发点开始x 秒后，四边形PBCQ 的面积为33 cm 2.则AP=3x ㎝，PB=（16－3x ）㎝，CQ=2x ㎝.由梯形的面积公式得[]12(163)6332x x +-⨯=，解得x =5. 即P 、Q 两点从出发点开始5秒后，四边形PBCQ 的面积为33 cm 2. （2）设P 、Q 两点从出发点开始y 秒后，点P 和点Q 的距离是10 cm. 过点Q 作QH ⊥AB ，交AB 于点H.则AP=3y ㎝，CQ=2y ㎝，PH=（16－3y －2y ）㎝.根据勾股定理得222(1632)610y y --+=，化简得2(165)64y -=，解得185y =，2245y =. 经检验，1y 、2y 均符合题意. 所以P 、Q 两点从出发点开始85秒或245秒后，点P 和点Q 的距离是10 cm.。