2021年高中数学新北师大版必修第二册 第四章 2.3 三角函数的叠加及其应用 教案
2024-2025年北师大版数学必修第二册4.2.3三角函数的叠加及其应用(带答案)
2．3 三角函数的叠加及其应用必备知识基础练知识点一 辅助角公式 1．函数f (x )＝32 sin 2x ＋12cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2C ．2π，1D ．2π，22．使函数f (x )＝sin (2x ＋φ)＋3 cos (2x ＋φ)为奇函数，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 上是减函数的φ的一个值是( )A ．π3B ．2π3C ．4π3D ．5π33．计算sin π12 －3 cos π12 的值为________．知识点二 三角函数的叠加应用 4．已知函数f (x )＝32 sin ωx ＋12cos ωx (ω>0)的图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 的值；(2)若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝1213 ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π6 ＝－35 ，求cos (α＋β)的值．知识点三 三角函数模型的应用5．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3 cos π12 t －sin π12t ，t ∈[0，24).(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？关键能力综合练一、选择题1．函数y ＝sin x ＋cos x ＋2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 的最小值是( )A ．2－2B ．2＋2C ．3D ．12．若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A ．π4 B ．π2 C ．3π4D ．π3．若tan θ＝b a (－π2 <θ<π2)，a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2 sin (x ＋φ)(0≤φ<2π)，下列判断错误的是( )A ．当a >0，b >0时，φ＝θB ．当a >0，b <0时，φ＝θ＋2πC ．当a <0，b >0时，φ＝θ＋πD ．当a <0，b <0时，φ＝θ＋2π4．将函数y ＝sin (2x ＋φ)，φ∈(0，π)的图象向左平移π12 个单位长度得到函数g (x )的图象，已知g (x )是偶函数，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6 ＝( ) A ．－3 B ．3 C ．－33 D ．335．已知函数f (x )＝sin 3x －3 cos 3x ，则下面结论错误的是( )A ．当x ∈[0，π2 ]时，f (x )的取值范围是[－3 ，2]B ．y ＝f (x )在[π3 ，π2 ]上单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π18对称D ．y ＝f (x )的图象可由函数y ＝sin 3x 的图象向右平移π3 个单位得到二、填空题6．函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a >0)的最大值为2，则a ＝________．7．函数y ＝sin x －3 cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3 cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．8．(易错题)已知cos (α－π6 )＋sin α＝435 ，则sin (α＋7π6)的值是________．三、解答题9．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝(22 ，－22)，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3 ，求x 的值．学科素养升级练1.(多选题)函数f (x )＝3 cos 2x －sin 2x ，x ∈R ，下列说法正确的是( )A ．f (x －π12 )为偶函数B ．f (x )的最小正周期为2πC ．f (x )在区间[0，π2 ]上先减后增D ．f (x )的图象关于x ＝π6对称2．(学科素养——数学运算)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ，其中ω>0.若f (x )在区间(π2 ，3π4)上单调递增，求ω的取值范围．2．3 三角函数的叠加及其应用必备知识基础练1．答案：A解析：f (x )＝32 sin 2x ＋12 cos 2x ＝sin (2x ＋π6 )，所以最小正周期为T ＝2π|ω|＝π，振幅为1.故选A.2．答案：B解析：由题意得f (x )＝sin (2x ＋φ)＋3 cos (2x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3 . ∵函数f (x )为奇函数，且定义域为R ， ∴f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3 ＝0.∴φ＋π3 ＝n π，n ∈Z ，∴φ＝n π－π3，n ∈Z .令2k π＋π2 ≤2x ＋φ＋π3 ≤2k π＋3π2 ，k ∈Z ，得k π＋π12 －φ2 ≤x ≤k π＋7π12 －φ2，k ∈Z .又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧k π＋π12－φ2≤0，k π＋7π12－φ2≥π4， k ∈Z ，∴2k π＋π6 ≤φ≤2k π＋2π3 ，k ∈Z ，∴当φ＝2π3时，满足题意．故选B.3．答案：－2解析：sin π12 －3 cos π12 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6sin π12－cos π6cos π12 ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π12 ＝－2cos π4 ＝－2 .4．解析：(1)因为f (x )＝32 sin ωx ＋12cos ωx ， 所以f (x )＝sin (ωx ＋π6).因为函数f (x )＝32 sin ωx ＋12cos ωx 的图象的两条相邻对称轴之间的距离为π， 所以T ＝2π，ω＝2πT ＝1，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 .所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋π6 ＝sin π6 cos π4 －cos π6 sin π4 ＝2－64 .(2)由(1)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝sin α＝1213 ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π6 ＝sin (β＋π)＝－sin β＝－35 ，所以sin β＝35. 因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，所以cos α＝1－sin 2α ＝513 ，cos β＝1－sin 2β ＝45 ，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝513 ×45 －1213 ×35 ＝－1665 .5．解析：(1)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 ，又0≤t <24，所以π3 ≤π12 t ＋π3 <7π3 ，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 ≤1.当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 ＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 ＝－1. 于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 ，故有10－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 >11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 <－12 .又0≤t <24，因此7π6 <π12 t ＋π3 <11π6 ，所以10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温．关键能力综合练1．答案：C解析：原式＝2 ⎝⎛⎭⎪⎫22sin x ＋22cos x ＋2＝2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＋2.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 ，∴x ＋π4 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 .当x ＋π4 ＝π4 或3π4 ，即x ＝0或x ＝π2 时，函数y 取得最小值，即y min ＝2 ×22＋2＝3.故选C. 2．答案：A解析：∵f (x )＝cos x －sin x ＝2 cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ，∴当2k π≤x ＋π4 ≤π＋2k π(k ∈Z )，即－π4 ＋2k π≤x ≤3π4 ＋2k π(k ∈Z )时，f (x )单调递减，∴[－a ，a ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4 ，∴－a <a ，－a ≥－π4 ，a ≤3π4 .解得0<a ≤π4 ，∴a 的最大值为π4.故选A.3．答案：D解析：由选项知，ab ≠0，a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(a a 2＋b2sin x ＋ba 2＋b 2cos x )，令cos φ＝aa 2＋b 2 ，sin φ＝b a 2＋b 2，有tan φ＝sin φcos φ ＝b a ＝tan θ(－π2<θ<π2)，0≤φ<2π，则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin (x ＋φ)，对于A ，当a >0，b >0时，φ为第一象限角，且0<φ<π2 ，0<θ<π2 ，tan φ＝tan θ，则φ＝θ，A 正确；对于B ，当a >0，b <0时，φ为第四象限角，且3π2 <φ<2π，－π2 <θ<0，tan φ＝tan(θ＋2π)，则φ＝θ＋2π，B 正确；对于C ，当a <0，b >0时，φ为第二象限角，且π2 <φ<π，－π2 <θ<0，tan φ＝tan (θ＋π)，则φ＝θ＋π，C 正确；对于D ，当a <0，b <0时，φ为第三象限角，且π<φ<3π2 ，0<θ<π2 ，tan φ＝tan (θ＋π)，则φ＝θ＋π，D 错误．故选D.4．答案：D解析：将函数f (x )＝sin (2x ＋φ)的图象向左平移π12个单位长度，得到g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ 的图象， 因为g (x )是偶函数，所以π6 ＋φ＝π2 ＋k π，k ∈Z ，又φ∈(0，π)，所以φ＝π3 ，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6 ＝tan π6 ＝33 .故选D.5．答案：D解析：f (x )＝sin 3x －3 cos 3x ＝2sin (3x －π3 )，当x ∈[0，π2 ]，3x －π3 ∈[－π3 ，7π6 ]，sin (3x －π3 )∈[－32，1]，f (x )的取值范围是[－3 ，2]，A 正确； 当x ∈[π3 ，π2 ]，3x －π3 ∈[2π3 ，7π6 ]，f (x )＝2sin (3x －π3 )单调递减，B 选项正确；当x ＝－π18 时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18－π3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2 ＝－2，y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π18对称，C 选项正确；由函数y ＝sin 3x 的图象向右平移π3 个单位得到y ＝sin 3(x －π3 )＝sin (3x －π)＝－sin 3x ，D 选项错误．故选D.6．答案：3解析：∵f (x )＝a sin x ＋cos x ＝a 2＋1 sin (x ＋φ)，tan φ＝1a ，φ∈(0，π2 )，∴当sin (x ＋φ)＝1时，f (x )取最大值，∴a 2＋1 ＝2，a >0，得a ＝3 .7．答案：2π3解析：因为y ＝sin x ＋3 cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ，y ＝sin x －3 cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3 ，所以把y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 的图象至少向右平移2π3 个单位长度可以得到y ＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫x －π3 的图象．8．答案：－45解析：由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＋sin α＝435 ，得32 cos α＋12 sin α＋sin α＝435 ，即12 cos α＋32 sin α＝45 ，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝45 ，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6 ＝－sin⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6 ＝－cos [π2 －(α＋π6 )]＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝－45 . 9．解析：(1)∵m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22 ，n ＝(sin x ，cos x )，且m ⊥n ，∴m ·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22 ·(sin x ，cos x )＝22 sin x －22 cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝0.又∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，∴x －π4 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 ，∴x －π4 ＝0，∴x ＝π4 ，∴tan x ＝tan π4＝1.(2)由(1)及题意知 cos π3 ＝m ·n |m ||n |＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222·sin 2x ＋cos 2x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝12 .又∵x －π4 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 ，∴x －π4 ＝π6 ，解得x ＝5π12.学科素养升级练1．答案：AC解析：由辅助角公式可得：f (x )＝3 cos 2x －sin 2x ＝2cos (2x ＋π6 )，由题可知f (x －π12 )＝2cos 2x ，为偶函数，A 正确；最小正周期T ＝2π2＝π，故B 错误；令2x ＋π6 ＝t ，t ∈[π6 ，7π6 ]，y ＝2cos t 在区间[π6 ，7π6]先减后增，故C 正确；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2cos π2 ＝0，所以f (x )关于点(π6，0)对称，D 错误．故选AC. 2．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2 sin (ωx ＋π4 )，由x ∈(π2 ，3π4 )，得ωx ＋π4 ∈(π2 ω＋π4 ，3π4 ω＋π4 )，因为f (x )在区间(π2 ，3π4)上单调递增，所以T 2 ＝πω ≥3π4 －π2，得ω≤4，且⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥－π2＋2k π，3π4ω＋π4≤π2＋2k π，解得－32 ＋4k ≤ω≤13 ＋83k ，k ∈Z ，又ω>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－32＋4k <13＋83k ，13＋83k >0，解得－18 <k <118 ，所以k ＝0或k ＝1，当k ＝0时，0<ω≤13 ，当k ＝1时，52≤ω≤3，综上所述，ω的取值范围为(0，13 ]∪[52 ，3].。
三角函数的叠加及其应用同步课件
+
+
+ ，其中 =
+
= ，
+
，
=
− ，其中 =
，
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
一、辅助角公式
辅助角公式的灵活应用：
①对于函数 = − =
令
+
= ，
+ =
+
+
+
+
若根据+ 引入辅助角，使得 = ， =
+
所以 + =
+
若根据− 引入辅助角，使得
所以 + =
2
2
6
6
6
.
1
；
2
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
探究二
思考：
通过例5我们可以直观地感受到利用两角和与差的正、余弦公式进行
化简的奇妙之处，那么，请思考是否所有的三角函数式都能直接使用两角
和与差的正、余弦公式进行化简呢？
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
一、辅助角公式
辅助角公式：
一般地，当, 不同时为0时，
教材P159练习
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
教材P156练习
2− 6
.
4
1，0；(2)
2，(1) = 13 + ，最大值13、最小值-13，图象略；
(2) = 2 + ，最大值2、最小值-2，图象略；
北师版高中同步学案数学必修第二册课件 第4章三角恒等变换 2.3 三角函数的叠加及其应用——分层作业
π
(6 )
对任意 x∈R 成立,则下
列命题中正确的是( AC )
A.f
B.
11π
12
7π
( )
10
=0
<
π
( )
5
C.f(x)是非奇非偶函数
D.可能存在经过点(a,b)的直线与函数的图象不相交
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
解析 依题意 f(x)=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
(2)由(1)得 f(x)= 3sin
所以 g(x)= 3sin
因为 x∈
当
π 3π
- ,
4 4
π
π
x- =- ,即
12 3
π
2x-3
π
π
x+4 − 3
,所以
,
= 3sin
π
x-12∈
π
x-12
π 2π
- ,
3 3
.
.
π
3
x=- 时,g(x)取得最小值- .
4
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
16.已知函数 f(x)=(sin x+cos x) +2sin
2
-2f
π
2
(2)当 f(x)∈ 0,
2
2
(1)求 f
3π
4
=1+sin 2x+cos 2x-1= 2sin
π
α+3
,所以 sin α+ 3cos α∈[-2,2],
2021学年高中数学2.3三角函数的叠加及其应用课件北师大版必修二.ppt
【题组训练】
1. 1－tan 15 = ( )
1＋tan 15
A. 3
B. 3
C.1
3
【解析】选A.1－tan 15＝ tan 45－tan 15
1＋tan 15 1＋tan 45tan 15
D. 1
2
=tan 30°= .3
3
2.已知 <β<α< 3 ,cos(α-β)= 12 ,sin(α+β)=- 3 ,求cos 2α
Tα±β的意识,从而不难获得解题思路.
角度2 给值求值(角)
【典例】1.已知cos (＋)＝4 (α为锐角),则sin α= ( )
65
A. 3 3＋4B. 3＋4 3C. 3－4 3D. 3 3－4
10
10
10
10
2.已知cos α= 4 ,α∈(0,π),tan(α-β)= 1 ,求tan β及tan(2α-β).
2
2.原式=2( 3 sin ＋1 cos )
2 12 2 12
=2(sin cos ＋sin cos )
12 6 6 12
=2sin( ＋)
12 6
=2sin 2.
4
答案: 2
3.因为tan 60°= 3＝1t－anta2n32＋3ttaann3377， 所以tan 23°+tan 37°= -3 tan3 23°tan 37°, 所以tan 23°+tan 37°+ t3an 23°tan 37°= . 3
2
所以cos(α+β)=- 1,1所以sin β=sin[(α+β)-α]
14
=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α
2024-2025学年高一数学必修第二册(北师版)教学课件第四章-§2两角和与差的三角函数公式
+
−
，＝
.这样，上面得出的四个式子可以写成
2
2
设 + ＝， − ＝，则＝
sin + sin ＝2sin
+
−
∴tan ( +
3
tan +tan 4
+1
4
)＝
＝
3＝7.
4
1−tan ·tan
1−
4
4
4
3
（2）∵ ∈(0， 6 )，∴ + 6 ∈( 6 ， 3 ).又∵sin ( + 6 )＝5，∴cos ( + 6 )＝5.
6
6
6
又∵ ∈(0， )，∴ − ∈(− ，0).
cos
；sin
2
2
cos + cos ＝2cos
− sin ＝2cos
+
−
cos
；cos
2
2
+
−
sin
；
2
2
− cos ＝−2sin
+
−
sin
.
2
2
这四个公式叫作和差化积公式，利用它们和其他三角函数关系式，我们可把某些三角函数的和或差化成积
的形式.
高中数学
sin （ + ） + sin （ − ）＝2sin cos ，sin （ + ） − sin （ − ）＝2cos sin ，
2020-2021学年数学北师大版(2019)必修第二册学案与作业：2.3 三角函数的叠加及其应用
2.3 三角函数的叠加及其应用(15分钟35分)1.已知角α的终边经过点(-3,4),则sin的值为( )A. B.- C. D.-【解析】选C.因为角α的终边经过点(-3,4),则sin α=,cos α=-, 所以sin=sin αcos+cos αsin =×-×=.2.若α是锐角,且满足sin=,则cos α的值为( )A. B.C. D.【解析】选B.因为α是锐角,且sin=>0,所以α-也为锐角,所以cos===,cos α=cos=cos·cos -sin sin =×-×=.3.已知tan=,则tan α=_______.【解析】因为tan=tan=,所以=,解得tan α=.答案:【补偿训练】已知tan(α+β)=3,tan=2,那么tan β=_______.【解析】tan==2,则tan α=,又tan(α+β)==3, 所以tan β=.答案:4.已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=_______. 【解析】由sin α+cos β=1与cos α+sin β=0分别平方相加得sin2α+2sin αcos β+cos2β+cos2α+2cos αsin β+sin2β=1即2+2sin αcos β+2cos αsin β=1,所以sin(α+β)=-.答案:-5.已知cos αcos β-sin αsin β=0,那么sin αcos β+cos αsin β的值为_______.【解析】因为cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β)=0,所以α+β=k π+,k∈Z,所以sin αcos β+cos αsin β=sin(α+β)=±1.答案:±16.已知tan=2,tan β=,求的值.【解析】由tan==2,解得tan α=.所以====tan(β-α)===.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知α,β均为锐角,且cos(α+β)=sin(α-β),则tan α=( )A.0B.C.D.1【解析】选D.因为cos(α+β)=sin(α-β),所以cos αcos β-sin αsin β=sin αcos β-cos αsin β,所以cos α(sin β+cos β)=sin α(cos β+sin β).因为α,β均为锐角,所以sin β+cos β≠0,所以cos α=sin α,所以tan α=1.2.若f(x)=3sin x-4cos x的一条对称轴方程是x=a,则a的取值范围可以是( )A. B.C. D.【解析】选D.因为f(x)=3sin x-4cos x=5sin(x-φ),则sin(a-φ)=±1,所以a-φ=kπ+,k∈Z,即a=kπ++φ,k∈Z,而tan φ=且0<φ<,所以<φ<,所以kπ+<a<kπ+π,k∈Z,取k=0,此时a∈.3.设a=sin 14°+cos 14°,b=sin 16°+cos 16°,c=,则下列结论正确的是( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<b【解析】选D.因为a=sin 14°+cos 14°=sin(45°+14°)=sin 59°,b=sin 16°+cos 16°=sin(45°+16°)=sin 61°,c==sin 60°,又因为函数y=sin x在0°<x<90°上是增函数,所以sin 59°< sin 60°<sin 61°,所以a<c<b.4.已知cos α=-且α∈,则tan等于( )A.-B.-7C.D.7【解析】选D.因为cos α=-,且α∈,所以sin α=,所以tan α==-,所以tan==7.5.已知α∈,tan α=2,则cos等于( )A. B. C. D.-【解析】选C.由tan α=2得sin α=2cos α,又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=.因为α∈,所以cos α=,sin α=.因为cos=cos αcos+sin αsin=×+×=.6.在△ABC中,cos A=,cos B=,则△ABC是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形【解析】选B.由题意得sin A=,sin B=,所以cos C=cos(π-A-B)=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=-×+×=-=-=-<0,所以C是钝角,故△ABC是钝角三角形.二、填空题(每小题5分,共10分)7.已知锐角α,β满足sin α=,cos β=,则α+β=_______.【解析】因为α,β为锐角,sin α=,cos β=,所以cos α=, sin β=.cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-.因为0<α+β<π,所以α+β=π.答案:8.已知α,β均为锐角,且tan β=,则tan(α+β)=_______,α+β=_______.【解析】因为tan β==.所以tan β+tan αtan β=1-tan α.所以tan α+tan β+tan αtan β=1.所以tan α+tan β=1-tan αtan β.又因为1-tanαtan β≠0,所以=1,所以tan(α+β)=1;由于α,β均为锐角,故0<α+β<π,故α+β=.答案:1【补偿训练】已知tan α=,cos β=且0<α<,<β<2π,则α+β的值为_______.【解析】因为<β<2π且cos β=,所以sin β=-,所以tan β==-2,所以tan(α+β)===-1,又因为0<α<,所以<α+β<π,所以α+β=π.答案:π三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知sin=-,sin=,其中<α<,<β<,求角α+β的值.【解析】因为<α<,所以-<-α<0.因为<β<,所以<+β<.由已知可得cos=,cos=-,则cos(α+β)=cos=cos cos+sin sin=×+×=-.因为<α+β<π,所以α+β=.10.已知tan(α-β)=,tan β=-,α,β∈(0,π),求2α-β的值. 【解析】tan α=tan[(α-β)+β]===.又因为α∈(0,π),而tan α>0,所以α∈.tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]===1.因为tan β=-,β∈(0,π),所以β∈,所以α-β∈(-π,0).由tan(α-β)=>0,得α-β∈,所以2α-β∈(-π,0).又tan(2α-β)=1,所以2α-β=-.(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)(1+tan 24°)的值为( ) A.16 B.8 C.4 D.2【解析】选C.由于21°+24°=45°,23°+22°=45°,利用两角和的正切公式及其变形可得(1+tan 21°)(1+tan 24°)=2,(1+tan 22°)(1+tan 23°)=2,故(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)(1+tan 24°)=4.关闭Word文档返回原板块。
北师大版必修第二册4-2-3三角函数的叠加及其应用4-2-4积化和差与和差化积公式课件(42张)
3.2 两角和与差的三角函数公式
3.2.3 三角函数的叠加及其应用 3.2.4 积化和差与和差化积公式
新课程标准
学业水平要求
1.理解两角和与差的正弦、余弦和正切公式的结构形式以及公式的推
1.初步掌握两角和与差的 导．(数学抽象、逻辑推理)
三角函数公式和公式的 2．理解辅助角公式的由来以及特点，并应用公式进行三角函数式的有
(2)由(1)知，f(x)＝sin 2x＋ 3cos 2x＝2sin2x＋π3. 由 f(α)＝23知，2sin2α＋π3＝23， 即 sin2α＋π3＝13. ∴sin56π－4α＝sin32π－4α＋23π ＝－cos4α＋23π＝－1＋2sin22α＋π3 ＝－1＋2×132＝－79.
研习 3 积化和差 [典例 3] 求下列各式的值． (1)sin 37.5°cos 7.5°；
2sin2x－π4＋1∈[0， 2＋1]． 当 2x－π4＝－π4，即 x＝0 时，f(x)取得最小值 0. 所以当 x∈0，π2时，f(x)≥0.
[练习 3] 已知函数 f(x)＝2asin ωxcos ωx＋2 3cos2ωx－ 3(a>0，ω>0)的最大值为 2x1， x2 是集合 M＝{x∈R|f(x)＝0}中的任意两个元素，|x1－x2|的最小值为π2.
差化积公式进行简单的 的求值问题．(数学运算)
恒等变换
6．进一步掌握三角恒等变换的公式，并能利用公式解决化简、求值及
证明问题．(逻辑推理、数学运算)
课前篇·自主学习预案
知识点 1 辅助角公式 asin x＋bcos x＝ a2＋b2·sin(x＋φ)(或 asin x＋bcos x＝ a2＋b2·cos(x－φ))，其中 sin φ ＝ a2b＋b2，cos φ＝ a2a＋b2或cos φ＝ a2b＋b2，sin φ＝ a2a＋b2.
高中数学第4章三角恒等变换2两角和与差的三角函数公式 积化和差与和差化积公式课件北师大版必修第二册
§2 两角和与差的三角函数公式
2.4 积化和差与和差化积公式
课程标准
核心素养
通过证明及应用积化和差与和差化
能运用积化和差与和差化积公式进
积公式,提升数学抽象、逻辑推理、
行简单的恒等变换.
数学运算素养.
必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
必备知识•探新知
知识点1 积化和差公式
2255°°＝__3_3__.
[解析]
35°＋25° 35°－25°
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
原式＝2sin35°＋2 25°cos35°－2 25°＝tan
30°＝
3 3.
2cos 2 cos 2
4．cos512πsin1π2＝_12_－___4_3_.
[解析] cos51π2sin1π2＝ 12sin51π2＋1π2－sin51π2－1π2 ＝12sinπ2－sin3π ＝12－ 43.
∵sinα－2 β≠0， ∴由①②得－tanα＋2 β＝－32， ∴tanα＋2 β＝32.
[归纳提升] (1)对于给值求值问题, 一般思路是先对条件化简,之后 看能否直接求结果；若不满足,再对所求式化简,直到找到两者的联系为 止．
(2)积化和差与和差化积公式中的“和差”与“积”都是指三角函数 值之间的关系,并不是指角的关系．
【对点练习】❷ 13
已知 sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则 sin αcos β＝
__3_0__.
[解析] 因为 sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，
所以 sin(α＋β)＋sin(α－β)
＝2sin αcos β＝23＋15＝1135，
所以 sin αcos β＝1330.
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三角函数的叠加及其应用
【教学目标】
1．掌握三角函数的辅助角公式.
2．能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明.
【教学重难点】
三角函数的辅助角公式及其应用.
【教学过程】
一、基础铺垫
辅助角公式：
a sin x ＋
b cos x 其中tan φ＝b a ，φ所在象限由a 和b 的符号确定，或者
sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2. 二、合作探究
利用辅助角公式研究函数性质：
【例】已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π12(x ∈R ). （1）求函数f (x )的最小正周期；
（2）求使函数f (x )取得最大值的x 的集合.
解 （1）∵f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π12 ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1－cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 ＝2⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫32sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－12cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π3＋1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.
（2）当f (x )取得最大值时，sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π3＝1，
有2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，
即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，
∴所求x 的集合为
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫xx ＝k π＋5π12，k ∈Z . 【规律方法】
（1）为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.
（2）解此类题时要充分运用两角和(差)、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.
【训练】已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ·cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14. （1）求函数f (x )的最小正周期；
（2）求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值时x 的集合.
解 （1）f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12cos x ＋32sin x ＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3（1－cos 2x ）8
＝12cos 2x －14，
∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.
（2）h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x ＝22cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π4， 当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )，
即x ＝k π－π8(k ∈Z )时，h (x )有最大值22
. 此时x 的集合为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫xx ＝k π－π8，k ∈Z . 三、课堂总结
1．在推导公式和应用公式的过程中，熟悉角的转化方法和换元法的应用，不断提升学生的逻辑推理、数学运算素养，并通过本节的a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)的转化过程，进一步提升学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养.
2．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式.
3．a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(ab ≠0)，其中tan φ＝b a ，φ所在象限由a ，b 确定，掌握
实质并能熟练应用.
四、课堂练习
1．已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，b ∈R )，则A ＝________，b ＝________. 解析 2cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋sin 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π4＋1，∴A ＝2，b ＝1． 答案 2 1
2．函数y ＝3sin 4x ＋3cos 4x 的最大值是( )
A ． 3
B ．23
C ．3
D ．6
解析 y ＝3sin 4x ＋3cos 4x
＝23⎝ ⎛⎭
⎪⎫32sin 4x ＋12cos 4x ＝23sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4x ＋π6， ∴y max ＝23，故选B ．
答案 B
3．函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期为________.
解析 f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝1－cos 2x 2＋12 s in 2x ＋1＝12 (sin 2x －cos 2x )＋32＝22
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32
， ∴T ＝π.
答案 π
4．已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R ).
（1）求f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3的值； （2）求f (x )的最小正周期及单调递增区间.
解 （1）f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x ＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π6， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4π3＋π6＝2． （2）f (x )的最小正周期为π.
由正弦函数的性质，
得π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ， 所以f (x )的单调递增区间是
⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z ).。