高二数学棱锥
高二数学棱锥的概念及其性质
棱锥的性质
复习棱柱性质：
两个底面与 平行于底面 的截面是全 等的多边形
棱锥性质： S
D’
截面 A' B ' C ' D ' E '∽ 底面 ABCDE
S A'B 'C 'D 'E ' SH '2 S ABCDE SH 2
C’ B’
E’ A’
H′
D H
E
A
C B
棱柱性质：
侧棱都相等，侧 面是平行四边形
正棱锥性质： S
A B
1．各侧棱相等， 各侧面都是全等 C 的等腰三角形．
正棱锥的性质
S
底面是正多边形，并且顶点 正棱锥：在底面内射影是底面中心 1．各侧棱相等，各侧面都是 全等的等腰三角形．
A
O
C
M
B
2.棱锥的高、侧棱和侧棱在底 面内的射影组成一个直角三角形； 3．棱锥的高、斜高和斜高在 底面内的射影组成一个直角三角形.
V锥体
1 Sh 3
１.下列命题是否正确？如果正确，请给出证明； 否则请举出反例.
（1）正棱锥的侧面是正三角形； （2）正棱锥正棱锥的各侧面与底面所成的二面角都相等.
2.已知一个正六棱锥的高为h，侧棱为l，求它的底 面边长和斜高.
江氏兄弟桥香圆过桥米线连锁店是云南规模最大，店数最多的过桥米线专营连锁企业，由云南蒙自人江氏兄弟江勇，江俊二人创建于1988年， 历经十五载，兄弟俩本着"同心同德，至亲至诚"的理念，将一家不足160平方米的小餐馆发展壮大为云南为数不多的著名餐饮品牌。公司现有9 家直营店，2家加盟店，营业面积达6800平方米，员工700人，年销售额高居同行之首，是云南三大名小吃招牌的拥有者，西部著名企业。 ； /brands/3951.html 桥香园 lgh57neh 经过近二十余年的发展，江氏兄弟桥香园结合现代企业管理你理念总结出了一套具有“桥香园”特色的管理模式，并完善了加盟连锁管理体系， 使企业的规模和管理水平跃上了新的发展阶段。审时度势、准确把握市场动态，使公司一步一个脚印、踏踏实实的迈出了一片新天地。“同心 同德，至亲至诚；自我否定，创新争先”的优秀企业文化，是我们在竞争激烈的餐饮市场中取得辉煌成绩的有力法宝。 的恋情，初尝爱情甜蜜滋味，涉爱不深，远没有达到刻骨铭心的程度，所以即使是痛，也仅仅是只望花开，不见果实的淡然惆怅之痛。但是， 王爷就不壹样了。这份感情从壹开始就深深是种植在心中，逐渐地生根、发芽、开花。更是亲自请求了皇阿玛御赐的姻缘，经历了初得圣上允 诺的狂喜，又经历了物是人非的巨大落差，这种痛，简直就是痛彻心扉、痛不欲生、悲痛欲绝。“年丫鬟，壹切都准备妥当了。奴婢要叮嘱的 事情就是，今天之内，不得再进吃食，不得再饮茶水，以免坏了妆容。口渴的时候，会有人服侍您，用小勺喂水„„”冰凝根本就没有听那些 人在说什么，就这么壹直安安静静地坐着，待对方说完，她才开口道：“还有别的吩咐吗？”“没有了，年丫鬟。”“那你们都先下去吧，就 含烟壹个人留下，我有些事情还要交代她。姐姐，您先回房休息壹下吧，已经忙了壹上午了。”“凝儿，你真的没事？”“没有事的，放心吧 姐姐。”待众人退下，冰凝将含烟拉进了里间，压低了声音，几乎就是耳语：“含烟，我还有壹件事情要托付你。”“丫鬟，您千万别这么客 气，您待含烟就像是亲姐妹，含烟此生无以为报，能为丫鬟做事情，就是含烟最大的福份。”“我要托付你的事情就是，如果，如果，你再听 到那萧曲„„”“丫鬟！”只壹声，含烟就跪倒在了地上：“丫鬟，含烟知道您的心思，可是，可是，您今天就要嫁到王府了！„„”“含烟， 我的话你也不听了？因为我不再是你的丫鬟，你就不听我的话了？”“不是的，不是的，含烟是担心丫鬟！您今天就要成为王爷的侧福晋了， 那些事情，您可千万不能再想了！那可是要惹来，惹来事端的啊！丫鬟，您就听含烟的壹句劝吧。”“你放心，自从今天，我嫁进那王府，这 些事情，我不会再想了，我只是不想误了旁的人，这是我的壹幅字，如果你再听到萧曲，务必将这个交给他。”说着，冰凝从床头的深色色小 匣里拿出来壹个盖好漆封的信，郑重地交给了含烟。含烟吓得根本不敢伸出手来，她壹边哭着壹边跟丫鬟说：“丫鬟，丫鬟，您马上就是雍亲 王府的侧福晋了，您可千万不能这样啊！如果让王府的人知道了，您，还有老爷、夫人，大爷、二爷怎么办啊！丫鬟，您想过没有，您可千万 不能这么壹意孤行，您就听含烟的壹句劝吧！”“含烟，我知道你是为了我好，你知道这里面写的是什么吗？”“不知道。”含烟壹边摇着头， 壹边说道。“不知道就说这么多的话，你以为你家丫鬟是什么人？你家丫鬟做事自有分寸，你就按我的吩咐去做，我会做好王爷的侧福晋，你， 放心吧。只是，我托付你的事情，你也要照办，否则，你丫鬟我，就是死，都不会瞑目的。”见冰凝说得如此坚定，又是那样的绝决，含烟似 懂非懂地接过了信
高二数学教案：棱柱和棱锥(三)
C'B'A'D'DAC C'B'A'D'DA C9.9棱柱和棱锥(三)教学目的：1.了解棱锥、正棱锥的概念，掌握正棱锥的性质.；2.能初步利用棱锥的概念及其性质解决一些简单角与距离的问题.3.灵活运用棱锥的概念及其性质解决有关角与距离问题；4.了解棱锥的侧面积、全面积的概念，能求出有关面积. 教学重点：棱锥、正棱锥的概念及其性质. 教学难点：棱锥、正棱锥的概念及其性质. 授课类型：新授课. 课时安排：4课时.教具：多媒体、实物投影仪. 教学过程：一、复习引入：1.多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．2．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体．3．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等.4．棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱.两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）.5．棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱.侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱.棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……设集合{}A =棱柱，{}B =斜棱柱，{}C =直棱柱，{}D =正棱柱，则,B C A D C =⊂U ．6．棱柱的性质（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形； （2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形（3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.7.平行六面体、长方体、正方体底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的长方体叫正方体．8．平行六面体、长方体的性质(1)平行六面体的对角线交于一点，求证：对角线,,,AC BD CA DB ''''相交于一点，且在点O 处互相平分．(2)长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和.二、讲解新课：1.棱锥的概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥.其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点()S ，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段()SO ，叫棱锥的高（垂线段的长也简称高）．2．棱锥的表示：棱锥用顶点和底面各顶点的字母，或用顶点和底面一条对角线端点的字母来表示.如图棱锥可表示为S ABCDE -，或S AC -． 3．棱锥的分类：（按底面多边形的边数）分别称底面是三角形，四边形，五边形……的棱锥为三棱锥，四棱锥，五棱锥……（如图） 4．棱锥的性质：定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比．已知：在棱锥S AC -中，SH 是高，截面A B C D E '''''平行于底面，并与SH 交于H '， 求证：截面A B C D E '''''～底面ABCDE ，且22A B C D E ABCDE S SH S SH''''''=． 解：因为截面平行于底面，∴//A B AB ''，//B C BC ''，//C D CD ''，… ∴,A B C ABC B C D BCD ''''''∠=∠∠=∠，…又∵平面SAH 分别与截面和底面相交于A H ''和AH ， ∴//A H AH ''，得A B SA SH AB SA SH ''''==，同理B C SH BC SH '''=，… ∴A B B C SH ABBC SH'''''===L ， 因此，截面A B C D E '''''～底面ABCDE ，且2222A B C D E ABCDE S A B SH S AB SH''''''''==． 中截面：经过棱锥高的中点且平行于底面的截面，叫棱锥的中截面.5．正棱锥定义：底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥． 性质：（1）正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（叫正棱锥的斜高）．（2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形． 6．正棱锥的直观图的画法在过底面中心的垂线——'z 轴上取与底面中心距离等于棱锥高的点就得到了棱锥的顶点．给出了画图的比例尺，要特别注意平行于'y 轴的线段的长度的确定．正棱锥的直观图的画法，在具体画图的关键是：①用斜二测画水平放置的底面的直观图； ②正棱锥的顶点的确定；③画直观图的四个步骤：画轴（建立空间直角坐标系）⇒画底面⇒画侧棱（正棱锥画高线）⇒成图． 三、讲解范例：例1.已知正三棱锥S ABC -的高SO h =，斜高SM l =，求经过SO 的中点O '平行于底面的截面A B C '''∆的面积.解：连结,OM OA ，在Rt SOM ∆中，22OM l h =-． ∵棱锥S ABC -是正三棱锥，∴O 是ABC ∆中心， ∴2222tan6023AB AM OM l h ==⋅=-o，222333()ABC S AB l h ∆==-， 由棱锥截面性质得：2214A B C ABC S h S h '''∆∆'==，∴2233()4A B C S l h '''∆=-． 例2．已知A B C '''∆是三棱锥S ABC -的中截面，三棱锥S A B C '''-的侧面积为25cm ，求三棱锥S ABC -的侧面积．解：∵截面//A B C '''底面SBC ，∴//A B AB ''，//B C BC ''，//C D CD ''，∴2214S A B SAB S A B S AB '''∆∆''==，同理：14S B C SBC S S '''∆∆=，14S A C SACS S '''∆∆=， ∴14S A B S B C S A C SAB SBC SAC S S S S S S '''''''''∆∆∆∆∆∆++=++，即三棱锥S ABC -的侧面积是三棱锥S A B C '''-的侧面积的4倍， 所以，三棱锥S ABC -的侧面积为220cm ．点评：一般地，平行于棱锥底面的截面截得的棱锥与原棱锥的侧面积之比也等于截得棱锥的高与原棱锥高的平方比.例3．四棱锥的高为h ，底面为菱形，侧面PAD 和侧面PDC 所成的二面角为120o，且都垂直于底面，另两个侧面与底面所成的角都为60o，求此棱锥的全面积.EDCBAPGEP D CBA 解：∵侧面PAD ⊥底面AC ，侧面PDC ⊥底面AC ， ∴PD ⊥底面AC ，ADC ∠为二面角A PD C --的平面角，即120ADC ∠=o ，∵四边形为菱形，DBC ∆，取BC 中点E ，连结,PE DE ， 则DE BC ⊥，由三垂线定理知PE BC ⊥，∴PED ∠是侧面PBC 与底面AC 所成的二面角的平面角，60PED ∠=o ，在Rt PDE ∆中，,,PD h DE PE h ===， ∴23sin3DE CD h π==， ∵,PDA PDC PBC PAB ∆≅∆∆≅∆，22PDA PBC ABCD S S S S ∆∆=++Y 全222sin1)33PD CD BC PE AD h π=⋅+⋅+=． 说明：棱锥的侧面积等于各侧面三角形的面积之和，正棱锥的侧面积等于底面周长与斜高之积的一半． 四、课堂练习：1.判断下列结论是否正确，为什么？（1）有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥， （2）正四面体是四棱锥，（3）侧棱与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥，（4）侧棱长相等，各侧面与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥． 答：（1）错，（2）错，（3）错，（4）对．2．在三棱锥P ABC -中，ABC ∆为正三角形，90PCA ∠=o ，D 为PA 中点，二面角P AC B --为120o，2,PC AB ==（1）求证：AC BD ⊥；（2）求BD 与底面ABC 所成的角，（3）求三棱锥P ABC-的体积．解：（1）取AC 的E ，连结,BE DE ，则//DE PC ， 由PC AC ⊥，知DE AC ⊥，由ABC ∆为正三角形，得BE AC ⊥， 又DE BE E =I ，∵AC ⊥平面DEB ，BD ⊂平面DEB ， ∴AC BD ⊥． （2）作DG BE ⊥，垂足为G ，∵AC ⊥平面DEB ，DG ⊂平面DEB ，DG AC ⊥，DG ⊥平面ABC ，BD 与底面ABC 所成的角DBG ∠， 由DE AC ⊥，BE AC ⊥知DEB ∠是二面角P AC B --的平面角，120DEB ∠=o ，∵112DE PC ==，∴DG =，又∵3BE AB ==， ∴22213213cos12013BD =+-⨯⨯⨯=o∴sin DG DBE DB ∠==，∴BD 与底面ABC 所成的角为arcsin．（3）∵D 为PA 中点，∴P 到平面ABC 的距离2h DG ==，211333P ABC ABC V S h -∆===．五、小结：棱锥、正棱锥的概念，性质；棱锥平行于底面的截面性质结论可适当推广：平行于棱锥底面的截面截得的棱锥与原棱锥的对应面积（底面，侧面）之比，等于对应线段（高、侧棱等）的平方比.计算面积时，必须计算对应边上的高，因此要寻找斜高，底面三角形的高，截面三角形的高的相互关系，这种关系应通过棱锥的性质来体现． 六、课后作业： 七、板书设计（略）. 八、课后记：。
高二数学立体几何练习题
高二数学立体几何练习题
1. 三棱锥ABCDA1是一个底面为正三角形ABC的三棱锥。
已知
AD=3，BC=4，AB∥CD且AB=2CD。
求证：AB=√21。
解析：
首先，可以得到AB=2CD，即AB=2，CD=1.根据正三角形的性质，我们可以得到∠BAD=60°。
由于锥心角ABD=60°，且CD通过顶点D且平行于底面，所以可得CD与底面ABC的交点与锥顶点D和底面三个顶点构成的四个点在同
一个平面上。
我们可以称这个平面为α平面。
在平面α上，连接CD与顶点A1，作直线A1B∥AB，交线段AB
于点E。
△ABE与△ABC是相似三角形，因为∠EAB=∠ABC（对应角），
而∠ABE=∠ACB（平行线所成的内错角相等）。
由相似三角形的性质，可得AB/AE=AB/AC，即AE=AC=3√3（三棱锥ABCDA1的高度）。
又因为A1B∥AB，所以A1E=AE=3√3。
由△ADE可以得到∠DAE=60°。
根据勾股定理，在△ABE中，有AE^2=AB^2+BE^2，即（3√3）
^2=2^2+BE^2，解得BE=3。
根据勾股定理，在△ADE中，有AD^2+AE^2=DE^2，即3^2+
（3√3）^2=DE^2，解得DE=6。
所以，AB=AE+BE+ED=3√3+3+6=√21。
综上所述，满足题目要求，即证明了AB=√21。
高二数学现在学到哪了
高二数学现在学到哪了1、柱、锥、台、球的结构特征(1)棱柱：几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形.(2)棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.(3)棱台：几何特征：上下底面是相似的平行多边形侧面是梯形侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成几何特征：底面是全等的圆;母线与轴平行;轴与底面圆的半径垂直;侧面展开图是一个矩形.(5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成几何特征：底面是一个圆;母线交于圆锥的顶点;侧面展开图是一个扇形.(6)圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成几何特征：上下底面是两个圆;侧面母线交于原圆锥的顶点;侧面展开图是一个弓形.(7)球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：球的截面是圆;球面上任意一点到球心的距离等于半径.2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下)注：正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体的高度和宽度.3、空间几何体的直观图——斜二测画法斜二测画法特点：原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变;原来与y轴平行的线段仍然与y平行,长度为原来的一半.4、柱体、锥体、台体的表面积与体积(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和.(2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,为斜高,l为母线)(3)柱体、锥体、台体的体积公式高中数学必修二知识点总结：直线与方程(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°(2)直线的斜率定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度.当时,;当时,;当时,不存在.过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.(3)直线方程点斜式：直线斜率k,且过点注意：当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1.当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l 上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.斜截式：,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b两点式：()直线两点,截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为.一般式：(A,B不全为0)注意：各式的适用范围特殊的方程如：(4)平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);(5)直线系方程：即具有某一共同性质的直线(一)平行直线系平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(二)垂直直线系垂直于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(三)过定点的直线系()斜率为k的直线系：,直线过定点;()过两条直线,的交点的直线系方程为(为参数),其中直线不在直线系中.(6)两直线平行与垂直注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否. (7)两条直线的交点相交交点坐标即方程组的一组解.方程组无解;方程组有无数解与重合(8)两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点(9)点到直线距离公式：一点到直线的距离(10)两平行直线距离公式在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解.高中数学必修二知识点总结：圆的方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径.2、圆的方程(1)标准方程,圆心,半径为r;(2)一般方程当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为当时,表示一个点;当时,方程不表示任何图形.(3)求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求.确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置.3、高中数学必修二知识点总结：直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况：(1)设直线,圆,圆心到l的距离为,则有;;(2)过圆外一点的切线：k不存在,验证是否成立k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,得到方程一定两解(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r24、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定.设圆,两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定.当时两圆外离,此时有公切线四条;当时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;当时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;当时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;当时,两圆内含;当时,为同心圆.注意：已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线5、空间点、直线、平面的位置关系公理1：如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内.应用：判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1：公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面α和β相交,交线是a,记作α∩β=a.符号语言：公理2的作用：它是判定两个平面相交的方法.它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点.它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据.公理3：经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.推论：一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面.公理3及其推论作用：它是空间内确定平面的依据它是证明平面重合的依据公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行高中数学必修二知识点总结：空间直线与直线之间的位置关系异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线异面直线性质：既不平行,又不相交.异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线异面直线所成角：作平行,令两线相交,所得锐角或直角,即所成角.两条异面直线所成角的范围是(0°,90°],若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直.求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上.B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角(7)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补.(8)空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内——有无数个公共点.三种位置关系的符号表示：aαa∩α=Aaα(9)平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点;αβ相交——有一条公共直线.α∩β=b2、空间中的平行问题(1)直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.线线平行线面平行线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.线面平行线线平行(2)平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理(1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行(线面平行→面面平行),(2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行.(线线平行→面面平行),(3)垂直于同一条直线的两个平面平行,两个平面平行的性质定理(1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行.(面面平行→线面平行)(2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行.(面面平行→线线平行)3、空间中的垂直问题(1)线线、面面、线面垂直的定义两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直.线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直.平面和平面垂直：如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(平面角是直角),就说这两个平面垂直.(2)垂直关系的判定和性质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面.性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.性质定理：如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.4、空间角问题(1)直线与直线所成的角两平行直线所成的角：规定为.两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角.两条异面直线所成的角：过空间任意一点O,分别作与两条异面直线a,b平行的直线,形成两条相交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角.(2)直线和平面所成的角平面的平行线与平面所成的角：规定为.平面的垂线与平面所成的角：规定为.平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作,二证,三计算”.在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线,在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息：(1)斜线上一点到面的垂线;(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线.(3)二面角和二面角的平面角二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角.直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角必修二知识点总结：解三角形(1)正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.(2)应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.高中数学必修二知识点总结：数列(1)数列的概念和简单表示法了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).了解数列是自变量为正整数的一类函数.(2)等差数列、等比数列理解等差数列、等比数列的概念.掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式.能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.高中数学必修二知识点总结：不等式高中数学必修二知识点总结：不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.(2)一元二次不等式会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图. (3)二元一次不等式组与简单线性规划问题会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.(4)基本不等式：了解基本不等式的证明过程.高二数学现在学到哪了。
高二数学预学案棱柱
1.1.1 棱柱、棱锥和棱台一、内容：1.课本P5-8 正文、思考、练习；2.《教学与测试》P1 双基演练1、3、4二、目标：1.直观了解棱柱、棱锥、棱台的结构特征，了解棱柱、棱锥和棱台的生成过程；2.会根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征画棱柱、棱锥、棱台的简图；3.会算顶点、棱、面的数量关系，会简单的表面展开和还原三、任务：知识框架：平移→棱柱→棱锥→棱台→多面体↓ ↓ ↓形成过程、简图画法、基本性质、简单运算基础题：1.将图形上所有的点___________________________移动_________________就是平移;2.一般地，由一个___________沿某一方向_______形成的空间几何体叫做_______;当_______的一个底面______________时，得到的几何体叫做_______;________是________被________底面的一个平面所截后，截面与底面之间的部分。
由若干个__________围成的几何体叫做__________.3.棱柱简图画法：1._________________;2._________________;3.__________________ 棱锥简图画法：1._________________:2._________________;3.___________________ 棱台简图画法：1._________________;2._________________;3.___________________4.三棱锥有_______条棱，______棱锥有16条棱;一个n 棱台有_________个顶点，有________条侧棱，有_____________个侧面.(n ↔N*，n ≥3)提高题：5.多面体至少有几个面？这个多面体是怎样的几何体？6.如图，某多面体的上下两个面都是矩形，其余的面都是梯形，该多面体是棱台吗？四、典型例题 1.画一个四棱柱和一个三棱台.问题：画法的依据是什么？实线与虚线怎样使用？所画几何体的特点有哪些？2.如图，将梯形沿某一方向平移可以形成的几何体是__________________.问题：指出该几何体的底面和侧面；所有棱柱、棱锥、棱台的底面是唯一确定的吗？3.在三棱锥P-ABC 中，PA=PB=PC=2,∠APB=∠BPC=∠APC=30°，一只蚂蚁从A 点出发沿棱锥的侧面绕一周再回到A 点，问蚂蚁经过的最短路程是多少？问题：能画出路径图吗？路径有何特点，如何变化？平面上两点与一直线上的动点连线之和最小值怎样求的？本题的线段不在同一平面内怎么办？C B4.如图是正方体的表面展开图，A,B,C,D是展开图上的四点，求在正方体中∠ACB和∠ACD 的度数分别为多少？当正方体的棱长为2时，△ACD的问题：谈谈自己解这道题的思路。
高二数学棱柱、棱锥和棱台知识精讲
高二数学棱柱、棱锥和棱台【本讲主要内容】棱柱、棱锥和棱台棱柱的概念及性质、棱锥的概念及性质和棱台的概念及性质【知识掌握】 【知识点精析】1. 棱柱的有关概念和性质。
（1）棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。
（2）棱柱的几个概念。
这里，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面；两个面的公共边叫做棱柱的棱，其中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点，不在同一个面内的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线，两个底面的距离叫做棱柱的高。
（3）棱柱的表示方法：棱柱用表示底面各顶点的字母来表示，如三棱柱ABC A B C -111（4）棱柱的分类。
棱柱按底面边数可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 按侧面与地面是否垂直，棱柱又可以分为直棱柱和斜棱柱。
底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
正棱柱是特殊的直棱柱。
（5）棱柱的性质： ①侧棱都相等；②侧面都是平行四边形；③两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；④过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。
平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱； 直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体； 长方体：底面是矩形的直平行六面体； 正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体。
四棱柱与特殊的平行六面体有如下关系：{正方体}⊂{正四棱柱}⊂{长方体}⊂{直平行六面体}⊂{平行六面体}⊂{四棱柱} 长方体的性质：长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。
2. 棱锥的有关概念。
（1）棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥。
（2）棱锥的几个概念。
这个多边形叫做棱锥的底面，其余各面叫做棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。
（3）棱锥的表示方法：棱锥用表示顶点和底面各顶点，或者底面一条对角线端点的字母来表示，如棱锥S －ABCDE ，或者棱锥S －AC 。
11.2 锥体(课件)高二数学(沪教版2020必修第三册)
×
3
3
2
1
1
1
×AD×DC×D1D＝ × ＝ .
3
2
6
2．已知高为 3 的棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是边长为 1 的正三角形(如图)，
则三棱锥 B1-ABC 的体积为(
1
A.
4
3
C．
6
)
1
B．
2
3
D．
√ 4
1
3
3
解析：因为 S△ABC＝ ×1×1×
＝
，
2
2
4
1
1
3
3
所以 VB1-ABC＝ ·S△ABC·AA1＝ ×
＋6a× 3 a＝9 3 a .
2
答案：9 3 a2
4．已知圆台上、下底面半径分别为 1，2，高为 3，则圆台的体积为
__________．
1
解析：由公式知 V 圆台＝ π(1＋2＋4)×3＝7π.
3
答案：7π
5．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的
体积的比值为(
A．1
)
1
B．
2
3
3
√
C．
D．
2
4
解析：设圆柱底面圆半径为 R，圆锥底面圆半径为 r，高都为 h，由已知
1 2
得 2Rh＝rh，所以 r＝2R，所以 V 柱∶V 锥＝πR h∶ πr h＝3∶4，故选
3
2
D.
6．正四棱锥底面正方形的边长为 4，高与斜高的夹角为 30 °，求该四棱
锥的侧面积．
解：如图所示，在正四棱锥 P-ABCD 中，连接 AC，BD
高二数学教案：棱柱和棱锥(二)
9.9棱柱和棱锥(二)教学目的：1.理解平行六面体的概念掌握平行六面体、长方体、正方体的概念及性质；,弄清直平行六面体、长方体、正方体的关系.2.掌握长方体对角线的性质,能利用其计算有关长度与角度的问题. 教学重点：平行六面体、长方体的概念及性质. 教学难点：平行六面体、长方体的概念及性质. 授课类型：新授课. 课时安排：4课时.教具：多媒体、实物投影仪. 教学过程：一、复习引入：1.多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线.2．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体.3．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等.说明：我们今后学习的多面体都是．．凸多面体. 4．棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱.两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）.5．棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱.侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱.棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……设集合{}A =棱柱，{}B =斜棱柱，{}C =直棱柱，{}D =正棱柱， 则,BC AD C =⊂.6．棱柱的性质（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形； （2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形 （3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. 7．直棱柱的直观图的画法画棱柱的直观图共分四个步骤： ①画轴； ②画底面； ③画侧棱； ④成图.底面一定要画成水平放置位置的平面图形的直观图. 二、讲解新课：1.平行六面体、长方体、正方体底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的长方体叫正方体.D'C'B'A'DC BA2．平行六面体、长方体的性质定理1：平行六面体的对角线交于一点，求证：对角线,,,AC BD CA DB ''''相交于一点，且在点O 处互相平分.证明：设O 是AC '的中点，则11()22AO AC AB AD AA ''==++设,,P M N 分别是,,BD CA DB '''的中点，同理：1()2AP AB AD AA '=++，1()2AM AB AD AA '=++，1()2AN AB AD AA '=++，所以，,,,O P M N 四点重合，定理得证.定理2：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和.已知：长方体AC '中，AC '是一条对角线， 求证：2222AC AB AD AA ''=++. 证明：∵AC AB AD AA ''=++，∴2||()()AC AB AD AA AB AD AA '''=++⋅++，∵AB AD ⊥，AB AA '⊥，AA AD '⊥，∴2||AC AB AB AD AD AA AA '''=⋅+⋅+⋅222||||||AB AD AA '=++，即2222AC AB AD AA ''=++. 三、讲解范例：例1.如图平行六面体ABCD A B C D ''''-中，,3A AB A AD BAD π''∠=∠∠=，,AB AD a AA b '===，求对角面BB D D ''的面积.解：∵BD AD AB =-，∴()AA BD AA AD AB ''⋅=⋅-，H OA'D'C'B'DCBA∵A AB A AD ''∠=∠，,AB AD a AA b '===，∴()(cos cos )0AA BD AA AD AB ab A AB A AD ''''⋅=⋅-=∠-∠=， ∴AA BD '⊥，∵//AA DD ''，∴DD BD '⊥，所以，对角面BB D D ''是矩形，它的面积是BD BB ab '⨯=.例2．已知：正四棱柱ABCD A B C D ''''-的底面边长为2， （1）求二面角B AC B '--的大小；（2）求点B 到平面AB C '的距离. 解：（1）连结BD ，设,AC BD 交于O ，连结B O'， ∵ABCD 是正方形，∴BO AC ⊥， 又∵BB '⊥底面ABCD ，∴B O AC '⊥，∴B OB '∠是二面角B AC B '--的平面角， 在Rt B OB '∆中，12OB AC ==BB '=， ∴45B OB '∠=，∴二面角B AC B '--为45．（2）作BH B O '⊥于H ，∵AC ⊥平面B OB '，∴BH AC ⊥， ∴BH ⊥平面AB C '，即BH 为点B 到平面AB C '的距离， 在等腰直角三角形B OB '中，∵BB BO '==∴1BH =，所以，点B 到平面AB C '的距离为1．例3．棱长为a 的正方体OABC O A B C ''''-中，,E F 分别为棱,A B B C上的动点，且(0)A E B F x x a==≤≤，（1）求证：A F C E ''⊥；（2）当BEF ∆的面积取得最大值时，求二面角B EF B '--的大小． 证：（1）以O 为原点，直线,,OA OC OO '分别为,,x y z 系，∴AE BF x ==，则(,0,)A a a '，(0,,)C a a '，(,,0)E a x ，(,,0)F a x a -， ∴(,,),(,,)A F x a a C E a x a a ''=--=--，2()A F C E ax a x a a ''⋅=-+-+220ax ax a a =-+-+=，∴A F C E ''⊥．（2）由,BF x EB a x ==-，则2211()()2228BEFx a x a S x a x ∆+-=-≤=，当且仅当x a x =-，即2ax =时等号成立，此时,E F 分别为,AB BC 的中点， 取EF 的中点M ，连BM ，则BM EF ⊥，根据三垂线定理知EF B M '⊥，∴B MB '∠即为二面角B EF B '--的平面角，在Rt BMF ∆中，,24BM BF a BB a '===， 在Rt B BM '∆中，tan 4B BB MB BM''∠=== 所以，二面角B EF B '--的大小是22arctan ．例4如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''D C B A ABCD -的棱'BB 、''C B 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角． 解：∵MN ＝1(')2CC BC +，'CD ＝'CC CD +， ∴·'MN CD ＝1(')2CC BC +·(')CC CD + ＝21(2|'|CC ＋'?CC CD ＋·'BC CC ＋·BC CD )． ∵CD CC ⊥'，BC CC ⊥'，CD BC ⊥，∴'?0CC CD =，·'0BC CC =，·0BC CD =， ∴·'MN CD ＝212|'|CC ＝21． 又∵2||2MN =，|'|2CD = ∴c os ＜,'MN CD ＞＝·'·'MN CD MN CD ＝212·2221=， ∴＜,'MN CD ＞＝ 60，即异面直线MN 与'CD 所成的角为60．评述由以上例题，可以看到利用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示式，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算去计算或证明．四、课堂练习：1.正方体1111ABCD A B C D -中，11AA =，M 为AD 中点，N 为1BD 上一点，1:1:2D N NB =，MCBD P =，A C 1（1）求证：NP 平面ABCD；CC D D所成的角；（2）求平面PNC与平面11D MB的距离.（3）求点C到平面12．直平行六面体的两条对角线分别为9cm，底面周长为18cm，侧棱长为4cm，求它的表面积.五、小结：.平行六面体的概念.直平行六面体、长方体、正方体的关系.长方体对角线的性质.能利用长方体对角线的性质计算有关长度与角度的问题.解决棱柱中有关线线、线面、面面问题时,常用的方法是推理法、向量法，推理及运算时要灵活的结合运用棱柱的性质.六、课后作业：七、板书设计（略）.八、课后记：。
高二数学棱锥人教版知识精讲
高二数学棱锥人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：棱锥二. 重点、难点：（1）棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
（2）棱锥的分类：按底面边数可把棱锥分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……（3）棱锥性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比。
过高的中点平行于底面的截面叫做中截面。
（4）特殊的棱锥——正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥有下面一些性质：①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。
各等腰三角形底边上的高相等，叫做正棱锥的斜高。
②棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。
如果正棱锥的底面周长是c，斜高是h′，那么它的侧面积是：【典型例题】例1. 如图1，已知三棱锥S－ABC，下列命题中假命题是[ ]①若SA＝SB＝SC，则点S在平面ABC上的射影为△ABC的外心；②若SA＝SB＝SC，则三棱锥为正三棱锥；③若点S到△ABC各边的距离都相等，则点S在平面ABC上的射影为△ABC的内心；④若SA，SB，SC两两垂直，则点S在平面ABC上的射影为△SBC的垂心。
A. ①B. ②③C. ②④D. ④③解：设点S在平面ABC上的射影为点O，若SA＝SB＝SC，则OA＝OB＝OC。
所以O 为△ABC的外心。
所以①是真命题。
尽管O是外心，但是由于不能确定△ABC是否是正三角形，所以不能确定三棱锥是正三棱锥。
所以②是假命题。
过点S分别作SE⊥AB，SF⊥BC，SM⊥AC，垂足分别为E，F，M。
连结EO，OF，OM易证OE⊥AB，OF⊥BC，OM⊥AC，且OE＝OF＝OM。
若点O在△ABC内部（如图2），则O为三条内角平分线的交点，O为内心；若点O在△ABC外部（如图3），则显然O 不是△ABC的内心，O是△ABC一条内角平分线和两条外角平分线的交点（O是旁心）。
高二数学 棱锥基本性质及其应用
高二数学棱锥基本性质及其应用本周学习内容：棱锥的性质、侧面积公式及体积公式；本周学习重点：棱锥的性质及其应用一、基本概念1. 定义、概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面构成的几何体叫棱锥。
2. 分类：按底面多边形的数，(底面、侧面、棱、侧棱、顶点、高、斜高)3. 棱锥的性质：1. 平行于底面的截面与底面是相似的多边形；2. 有一个面是多边形，其余各面是三角形，但反之不然。
4. 正棱锥定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。
判断一个棱锥是否是正棱锥必须满足下列两个条件：一是底面是正多边形，二是顶点在底面上的射影是正多边形的中心。
5. 正棱锥的性质：1. 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高；2. 棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。
6. 棱锥的体积及侧面积：；棱锥的侧面积等各侧面三角形面积之和。
二、相关例题：例1. 判断问题：(1)底面是正多边形的棱锥是正棱锥。
( )(2)所有的侧棱都相等的棱锥是正棱锥。
( )(3)侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥。
( )例2. 如图正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD所成角的大小为( C )A. 30°B. 60°C.D.例3.若正三棱锥的侧面积是底面积的2倍，则底面与底面所成的二面角是( D )(A)15° (B)30° (C)45° (D)60°分析：可利用二面角的定义或者说二面角的投影面积公式得到答案例4.正四棱锥的侧棱与底面成45°角，则侧面与底面所成二面角的正弦值为( D )(A)(B)(C)(D)分析：可设棱高为1，通过转化可得顶点在底面的射影到正多边形的距离，进而可得。
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