高三数学总复习直线、平面垂直的判定及其性质PPT课件
答案：必要不充分
5．(教材习题改编)将正方形 ABCD 沿 AC 折成直二面角后， ∠DAB＝________.
解析： 如图所示，取 AC 的中点 O，连接 OD，OB，DB， 由条件知，OD⊥OB，设 AD＝1，则 OD＝OB＝ 22，
所以 DB＝ OD2＋OB2＝1. 所以△ADB 为正三角形， 故∠DAB＝60°. 答案：60°
线面垂直问题的常见类型及解题策略 (1)与命题真假判断有关的问题．解决此类问题的方法是结合 图形进行推理，或者依据条件举出反例否定． (2)线面垂直的证明．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而 证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质 定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想． (3)线面垂直的探索性问题．此类问题的解决方法同“线面平 行的探索性问题”的求解方法(见本章第四节的[通关锦囊])．
(2)①连接 AD1，由 ABCD-A1B1C1D1 是正方体，知 AD1∥BC1， 因为 F，P 分别是 AD，DD1 的中点，所以 FP∥AD1.从而 BC1∥ FP.
而 FP⊂平面 EFPQ，且 BC1⊄平面 EFPQ，故直线 BC1∥平面 EFPQ.
②如图，连接 AC，BD，则 AC⊥BD. 由 CC1⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，可得 CC1⊥BD.
(1)证明：PH⊥平面 ABCD； (2)若 PH＝1，AD＝ 2，FC＝1，求三棱锥 E-BCF 的体积； (3)证明：EF⊥平面 PAB.
[自主解答] (1)证明：由于AB⊥平面PAD，PH⊂平面 PAD，故AB⊥PH.
又∵PH为△PAD中AD边上的高，∴AD⊥PH. ∵AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD， ∴PH⊥平面ABCD.
提示：垂直． 1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，那另一条与此平
面是否垂直？
提示：平行．可由线面垂直的性质及面面平行的判定定理推 导出．
2．垂直于同一条直线的两个平面一定平行吗？
1．(教材习题改编)给出下列四个命题：
①垂直于同一平面的两条直线相互平行；
②垂直于同一平面的两个平面相互平行；
③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这
1．直线与平面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容，题 型多为解答题，难度适中，属中档题．
2．高考对直线与平面垂直的判定与性质的考查常有以下几个 命题角度：
(1)同真假命题的判断相结合考查；
(2)以多面体为载体，证明线面垂直问题； (3)以多面体为载体，考查与线面垂直有关的探索性问题． [例1] (2014·浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是 两个不同的平面( ) A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
(2)由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点， 故CD⊥AB，又侧棱A1A⊥底面ABC，CD⊂平面ABC， 所以AA1⊥CD， 又AA1∩AB＝A，因此CD⊥平面A1ABB1， 而CD⊂平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面A1ABB1.
[例 3] 如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中， AB⊥平面 PAD，AB∥CD，PD＝AD， E 是 PB 的中点，F 是 DC 上的点且 DF ＝12AB，PH 为△PAD 中 AD 边上的高．
又 AC∩CC1＝C，所以 BD⊥平面 ACC1. 而 AC1⊂平面 ACC1， 所以 BD⊥AC1. 连接 B1D1，因为 M，N 分别是 A1B1，A1D1 的中点， 所以 MN∥B1D1，故 MN∥BD，从而 MN⊥AC1. 同理可证 PN⊥AC1. 又 PN∩MN＝N，所以直线 AC1⊥平面 PQMN. [答案] (1)C
(2)如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，P，Q，M， N 分别是棱 AB，AD，DD1 ，BB1 ，A1B1 ，A1D1 的中点. 求证：
①直线 BC1 ∥平面 EFPQ ； ②直线 AC1⊥平面 PQMN .
[自主解答] (1)选项 A，B，D 中 m 均可能与平面 α 平行、 垂直、斜交或在平面 α 内，故选 C.
在本例条件下，证明：平面EMN⊥平面PAC.
证明：因为 AB⊥PA，AB⊥AC，且 PA∩AC＝A， 所以 AB⊥平面 PAC. 又 MN∥CD，CD∥AB， 所以 MN∥AB， 所以 MN⊥平面 PAC. 又 MN⊂平面 EMN， 所以平面 EMN⊥平面 PAC.
面面垂直的性质应用技巧 (1)两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于 另一个平面．这是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时 要注意“平面内的直线”． (2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线 也垂直于第三个平面，此性质是在课本习题中出现的，在不是 很复杂的题目中，要对此进行证明．
[例 2] 如图，四棱锥 P-ABCD 中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB ∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N 分别为 PB，AB，BC，PD， PC 的中点．
求证：(1)CE∥平面 PAD； (2)平面 EFG⊥平面 EMN
[自主解答] (1)法一： 取 PA 的中点 H，连接 EH，DH. 因为 E 为 PB 的中点， 所以 EH∥AB，EH＝12AB. 又 AB∥CD，CD＝12AB， 所以 EH∥CD，EH＝CD， 因此四边形 DCEH 是平行四边形．所以 CE∥DH. 又 DH⊂平面 PAD，CE⊄平面 PAD，所以 CE∥平面 PAD.
两个平面相互平行；
④若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么这条
直线垂直于这个平面．
其中真命题的个数是( )
A．1
B．2
C． 3Biblioteka D．4解析：选 B ①④正确
2．已知直线 a，b 和平面 α，且 a⊥b，a⊥α，则 b 与 α 的位
置关系为( )
A．b⊂α
B．b∥α
C．b⊂α 或 b∥α
D．b 与 α 相交
(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下： 如图所示，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC. 又因为DE∥BC，所以DE∥PQ. 所以平面DEQ即为平面DEP. 由(2)知，DE⊥平面A1DC， 所以DE⊥A1C. 又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP. 又DP∩DE＝D，DP⊂平面DEP，DE⊂平面DEP， 所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ. 故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.
如图 1 所示，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，D，E 分别为 AC， AB 的中点，点 F 为线段 CD 上的一点，将△ADE 沿 DE 折起到 △A1DE 的位置，使 A1F⊥CD，如图 2 所示．
(1)求证：DE∥平面 A1CB； (2)求证：A 1F ⊥B E ； (3)线段 A1B 上是否存在点 Q， 使 A1C⊥平面 DEQ？说明理由．
(2)线面角 θ 的范围：θ∈0，π2. 3．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的 两个半平面 所组成的 图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点， 在两个半平面内分别作 垂直于棱 的两条射线，这两条 射线所成的角叫做二面角的平面角．
4．平面与平面垂直的判定定理
(2)由于PH⊥平面ABCD，E为PB的中点，PH＝1，故E到
平面ABCD的距离h＝12PH＝12. 又∵AB∥CD，AB⊥AD，∴AD⊥CD，
故S△BCF＝12·FC·AD＝12×1×
2＝
2 2.
因此VE-BCF＝13S△BCF·h＝13×
22×12＝
2 12 .
(3)证明：过 E 作 EG∥AB 交 PA 于 G，连接 DG. 由于 E 为 PB 的中点，所以 G 为 PA 的中点． ∵AD＝PD，∴DG⊥PA. ∵AB⊥平面 PAD，DG⊂ 平面 PAD，∴AB⊥DG. 又∵AB∩PA＝A，AB⊂ 平面 PAB，PA⊂ 平面 PAB， ∴DG⊥平面 PAB. 又∵GE 12AB，DF 12AB，∴GE DF. ∴四边形 DFEG 为平行四边形，故 DG∥EF. ∴EF⊥平面 PAB.
法二：连接 CF.因为 F 为 AB 的中点，所以 AF＝12AB. 又 CD＝12AB，所以 AF＝CD. 又 AF∥CD，所以四边形 AFCD 为平行四边形． 因此 CF∥AD.又 CF⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD， 所以 CF∥平面 PAD. 因为 E，F 分别为 PB，AB 的中点，所以 EF∥PA. 又 EF⊄平面 PAD，PA⊂平面 PAD，所以 EF∥平面 PAD. 因为 CF∩EF＝F，故平面 CEF∥平面 PAD. 又 CE⊂平面 CEF，所以 CE∥平面 PAD.
4．已知 α，β 表示两个不同的平面，m 为平面 α 内的一条直 线，则“α⊥β”是“m⊥β”的________条件(填“充分不必要”、 “必要不充分”或“充要”)．
解析：设 α∩β＝l，则当 m⊂α，且 m⊥l 时，有 m⊥β， 否则 m 不垂直 β，故 α⊥β ⇒/ m⊥β；反之，若 m⊂α，m⊥β， 则 α⊥β.
如图所示，三棱柱 ABC-A1B1C1 中， 侧棱 A1A⊥底面 ABC， 且各棱长均相等，D，E，F 分别为棱 AB，BC，A1C1 的中点．
求证：(1)EF∥平面 A1CD； (2)平面 A1CD⊥平面 A1ABB1
证明：(1)如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中， AC∥A1C1，且 AC＝A1C1，连接 ED， 在△ABC 中，因为 D，E 分别为 AB， BC 的中点，所以 DE＝12AC，且 DE∥AC.又 F 为 A1C1 的中点， 所以 A1F＝12A1C＝12AC，且 A1F∥A1C1∥AC，所以 A1F＝DE，且 A1F∥DE， 即四边形 A1DEF 为平行四边形，所以 EF∥DA1. 又 EF⊄平面 A1CD，DA1⊂平面 A1CD，所以 EF∥平面 A1CD.
5．(教材习题改编)将正方形 ABCD 沿 AC 折成直二面角后， ∠DAB＝________.
解析： 如图所示，取 AC 的中点 O，连接 OD，OB，DB， 由条件知，OD⊥OB，设 AD＝1，则 OD＝OB＝ 22，
所以 DB＝ OD2＋OB2＝1. 所以△ADB 为正三角形， 故∠DAB＝60°. 答案：60°
线面垂直问题的常见类型及解题策略 (1)与命题真假判断有关的问题．解决此类问题的方法是结合 图形进行推理，或者依据条件举出反例否定． (2)线面垂直的证明．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而 证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质 定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想． (3)线面垂直的探索性问题．此类问题的解决方法同“线面平 行的探索性问题”的求解方法(见本章第四节的[通关锦囊])．
(2)①连接 AD1，由 ABCD-A1B1C1D1 是正方体，知 AD1∥BC1， 因为 F，P 分别是 AD，DD1 的中点，所以 FP∥AD1.从而 BC1∥ FP.
而 FP⊂平面 EFPQ，且 BC1⊄平面 EFPQ，故直线 BC1∥平面 EFPQ.
②如图，连接 AC，BD，则 AC⊥BD. 由 CC1⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，可得 CC1⊥BD.
(1)证明：PH⊥平面 ABCD； (2)若 PH＝1，AD＝ 2，FC＝1，求三棱锥 E-BCF 的体积； (3)证明：EF⊥平面 PAB.
[自主解答] (1)证明：由于AB⊥平面PAD，PH⊂平面 PAD，故AB⊥PH.
又∵PH为△PAD中AD边上的高，∴AD⊥PH. ∵AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD， ∴PH⊥平面ABCD.
提示：垂直． 1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，那另一条与此平
面是否垂直？
提示：平行．可由线面垂直的性质及面面平行的判定定理推 导出．
2．垂直于同一条直线的两个平面一定平行吗？
1．(教材习题改编)给出下列四个命题：
①垂直于同一平面的两条直线相互平行；
②垂直于同一平面的两个平面相互平行；
③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这
1．直线与平面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容，题 型多为解答题，难度适中，属中档题．
2．高考对直线与平面垂直的判定与性质的考查常有以下几个 命题角度：
(1)同真假命题的判断相结合考查；
(2)以多面体为载体，证明线面垂直问题； (3)以多面体为载体，考查与线面垂直有关的探索性问题． [例1] (2014·浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是 两个不同的平面( ) A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
(2)由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点， 故CD⊥AB，又侧棱A1A⊥底面ABC，CD⊂平面ABC， 所以AA1⊥CD， 又AA1∩AB＝A，因此CD⊥平面A1ABB1， 而CD⊂平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面A1ABB1.
[例 3] 如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中， AB⊥平面 PAD，AB∥CD，PD＝AD， E 是 PB 的中点，F 是 DC 上的点且 DF ＝12AB，PH 为△PAD 中 AD 边上的高．
又 AC∩CC1＝C，所以 BD⊥平面 ACC1. 而 AC1⊂平面 ACC1， 所以 BD⊥AC1. 连接 B1D1，因为 M，N 分别是 A1B1，A1D1 的中点， 所以 MN∥B1D1，故 MN∥BD，从而 MN⊥AC1. 同理可证 PN⊥AC1. 又 PN∩MN＝N，所以直线 AC1⊥平面 PQMN. [答案] (1)C
(2)如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，P，Q，M， N 分别是棱 AB，AD，DD1 ，BB1 ，A1B1 ，A1D1 的中点. 求证：
①直线 BC1 ∥平面 EFPQ ； ②直线 AC1⊥平面 PQMN .
[自主解答] (1)选项 A，B，D 中 m 均可能与平面 α 平行、 垂直、斜交或在平面 α 内，故选 C.
在本例条件下，证明：平面EMN⊥平面PAC.
证明：因为 AB⊥PA，AB⊥AC，且 PA∩AC＝A， 所以 AB⊥平面 PAC. 又 MN∥CD，CD∥AB， 所以 MN∥AB， 所以 MN⊥平面 PAC. 又 MN⊂平面 EMN， 所以平面 EMN⊥平面 PAC.
面面垂直的性质应用技巧 (1)两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于 另一个平面．这是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时 要注意“平面内的直线”． (2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线 也垂直于第三个平面，此性质是在课本习题中出现的，在不是 很复杂的题目中，要对此进行证明．
[例 2] 如图，四棱锥 P-ABCD 中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB ∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N 分别为 PB，AB，BC，PD， PC 的中点．
求证：(1)CE∥平面 PAD； (2)平面 EFG⊥平面 EMN
[自主解答] (1)法一： 取 PA 的中点 H，连接 EH，DH. 因为 E 为 PB 的中点， 所以 EH∥AB，EH＝12AB. 又 AB∥CD，CD＝12AB， 所以 EH∥CD，EH＝CD， 因此四边形 DCEH 是平行四边形．所以 CE∥DH. 又 DH⊂平面 PAD，CE⊄平面 PAD，所以 CE∥平面 PAD.
两个平面相互平行；
④若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么这条
直线垂直于这个平面．
其中真命题的个数是( )
A．1
B．2
C． 3Biblioteka D．4解析：选 B ①④正确
2．已知直线 a，b 和平面 α，且 a⊥b，a⊥α，则 b 与 α 的位
置关系为( )
A．b⊂α
B．b∥α
C．b⊂α 或 b∥α
D．b 与 α 相交
(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下： 如图所示，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC. 又因为DE∥BC，所以DE∥PQ. 所以平面DEQ即为平面DEP. 由(2)知，DE⊥平面A1DC， 所以DE⊥A1C. 又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP. 又DP∩DE＝D，DP⊂平面DEP，DE⊂平面DEP， 所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ. 故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.
如图 1 所示，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，D，E 分别为 AC， AB 的中点，点 F 为线段 CD 上的一点，将△ADE 沿 DE 折起到 △A1DE 的位置，使 A1F⊥CD，如图 2 所示．
(1)求证：DE∥平面 A1CB； (2)求证：A 1F ⊥B E ； (3)线段 A1B 上是否存在点 Q， 使 A1C⊥平面 DEQ？说明理由．
(2)线面角 θ 的范围：θ∈0，π2. 3．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的 两个半平面 所组成的 图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点， 在两个半平面内分别作 垂直于棱 的两条射线，这两条 射线所成的角叫做二面角的平面角．
4．平面与平面垂直的判定定理
(2)由于PH⊥平面ABCD，E为PB的中点，PH＝1，故E到
平面ABCD的距离h＝12PH＝12. 又∵AB∥CD，AB⊥AD，∴AD⊥CD，
故S△BCF＝12·FC·AD＝12×1×
2＝
2 2.
因此VE-BCF＝13S△BCF·h＝13×
22×12＝
2 12 .
(3)证明：过 E 作 EG∥AB 交 PA 于 G，连接 DG. 由于 E 为 PB 的中点，所以 G 为 PA 的中点． ∵AD＝PD，∴DG⊥PA. ∵AB⊥平面 PAD，DG⊂ 平面 PAD，∴AB⊥DG. 又∵AB∩PA＝A，AB⊂ 平面 PAB，PA⊂ 平面 PAB， ∴DG⊥平面 PAB. 又∵GE 12AB，DF 12AB，∴GE DF. ∴四边形 DFEG 为平行四边形，故 DG∥EF. ∴EF⊥平面 PAB.
法二：连接 CF.因为 F 为 AB 的中点，所以 AF＝12AB. 又 CD＝12AB，所以 AF＝CD. 又 AF∥CD，所以四边形 AFCD 为平行四边形． 因此 CF∥AD.又 CF⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD， 所以 CF∥平面 PAD. 因为 E，F 分别为 PB，AB 的中点，所以 EF∥PA. 又 EF⊄平面 PAD，PA⊂平面 PAD，所以 EF∥平面 PAD. 因为 CF∩EF＝F，故平面 CEF∥平面 PAD. 又 CE⊂平面 CEF，所以 CE∥平面 PAD.
4．已知 α，β 表示两个不同的平面，m 为平面 α 内的一条直 线，则“α⊥β”是“m⊥β”的________条件(填“充分不必要”、 “必要不充分”或“充要”)．
解析：设 α∩β＝l，则当 m⊂α，且 m⊥l 时，有 m⊥β， 否则 m 不垂直 β，故 α⊥β ⇒/ m⊥β；反之，若 m⊂α，m⊥β， 则 α⊥β.
如图所示，三棱柱 ABC-A1B1C1 中， 侧棱 A1A⊥底面 ABC， 且各棱长均相等，D，E，F 分别为棱 AB，BC，A1C1 的中点．
求证：(1)EF∥平面 A1CD； (2)平面 A1CD⊥平面 A1ABB1
证明：(1)如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中， AC∥A1C1，且 AC＝A1C1，连接 ED， 在△ABC 中，因为 D，E 分别为 AB， BC 的中点，所以 DE＝12AC，且 DE∥AC.又 F 为 A1C1 的中点， 所以 A1F＝12A1C＝12AC，且 A1F∥A1C1∥AC，所以 A1F＝DE，且 A1F∥DE， 即四边形 A1DEF 为平行四边形，所以 EF∥DA1. 又 EF⊄平面 A1CD，DA1⊂平面 A1CD，所以 EF∥平面 A1CD.
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直线与平面垂直的判定与性质(共26张PPT)
直线与平面垂直的判定与性 质(共26张ppt)
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
《直线、平面垂直的判定及其性质》ppt课件高中数学人教版2
n
a n
a l
a l
同理 bl
l
abA
2.3.4 平面与平面垂直的性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质第二 章 点、直线、平面之间的位置关系
*
2.3.4 平面与平面垂直的性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质第二 章 点、直线、平面之间的位置关系
解法分析：
1.两种证法的共同点是：都从一个面 内做交线的垂线，目的是使用面面垂直的
2.3.4 平面与平面垂直的性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质第二 章 点、直线、平面之间的位置关系
线面平行判定
*
线面平行性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质第二 章 点、直线、平面之间的位置关系
思考：还可以怎样作辅助线？
证法2：设 n， m,
l
在γ内任取一点A（不在m,n上），
α
β
在γ内过A点作直线 a ⊥n，
在γ内过A点作直线 b⊥m，
an γ mb A
▪
2.许地山这样说，也是这样做的，他 长大后 埋头苦 干，默 默奉献 ，成为 著名的 教授和 作家， 他也因 此取了 个笔名 叫落花 生，这 就是他 笔名的 由来。
▪
3.在伟大庄严的教堂里，从彩色玻璃 窗透进 一股不 很明亮 的光线 ，沉重 的琴声 好像是 把人的 心都洗 淘了一 番似的 ，我感 到了我 自己的 渺小。
2.3.4 平面与平面垂直的性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质第二 章 点、直线、平面之间的位置关系
▪
1.边塞诗的作者大多一些有切身边塞 生活经 历和军 旅生活 体验的 作家， 以亲历 的见闻 来写作 ；另一 些诗人 用乐府 旧题来 进行翻 新创作 。于是 ，乡村 便改变 成了另 一种模 样。正 是由于 村民们 的到来 ，那些 山山岭 岭、沟 沟坪坪 便也同 时有了 名字， 成为村 民们最 朴素的 方位标 识.
直线与平面垂直的判定PPT课件
例题二：求点到直线的距离
方法一
利用点到直线的距离公式，通过计算 点到直线上任意一点的向量在直线方 向向量上的投影长度，从而得出点到 直线的距离。
方法二
利用向量的叉积，通过计算点到直线上 两个点的向量与直线方向向量的叉积的 模，再除以直线方向向量的模，从而得 出点到直线的距离。
例题三：解决实际问题中的应用
方法三：结合图形进行判断
• 步骤 • 观察图形中已知直线与平面的位置关系； • 如果看起来垂直，则可以直接判断已知直线与平面垂直。 • 注意：以上三种方法都可以用来判断一条直线是否与一个平
面垂直，但具体使用哪种方法需要根据题目的具体情况来决 定。同时，在实际应用中，还需要注意一些特殊情况的处理， 例如当已知直线在平面内或与平面平行时，需要采用其他方 法进行判断。
点到直线距离公式可以用来辅助判断直线与平面是否垂直。
03
直线与平面垂直的判定方 法
方法一：利用定义直接判断
定义：如果一条直线与一个平面内的任意 一条直线都垂直，那么这条直线与这个平 面垂直。
如果都垂直，则已知直线与平面垂直。
步骤
验证已知直线与这两条相交直线是否垂直；
在平面内任意取两条相交直线；
方法二：利用判定定理进行判断
直线与平面垂直 的判定PPT课件
目录
• 直线与平面垂直的基本概念 • 直线与平面垂直的判定定理 • 直线与平面垂直的判定方法 • 直线与平面垂直的应用举例 • 直线与平面垂直的拓展延伸
01
直线与平面垂直的基本概 念
直线与平面的位置关系
01
02
03
直线在平面内
直线上的所有点都在平面 内。
直线与平面相交
步骤
验证这两条直线是否垂直；
高中数学直线、平面垂直的判定与性质(公开课)(共12张PPT)
A
D
C
E B
面面垂直的 判定与性质
课堂小结 布置作业
S 证明:(2) 若AB＝BC，则AC⊥BD ， 由(1)可知，SD⊥面ABC，而BD⊂面ABC， ∴SD⊥BD 又∵SD∩AC＝D， ∴BD⊥面SAC.
A
B (2)线面垂直的性质，常用来证 明线线垂直．
(1)证明线面垂直，常转化为求 E 证线线垂直
D
B
∵ BN⊂面BDMN， ∴面BDM⊥面ECA.
(2) ∵DM BN ∴ DM⊥面ECA，DM⊂面DEA， ∴平面DEA⊥平面ECA.
线面垂直的 判定与性质
课堂小结 布置作业
P ∴ AD2＋BD2＝AB2.故AD⊥BD. 又∵面PAD⊥面ABCD， 面PAD∩面ABCD＝AD，BD⊂面ABCD， ∴ BD⊥面PAD. 又∵ BD⊂面MBD， ∴面MBD⊥面PAD. A M D 4 8 C
B
线面垂直的 判定与性质
面面垂直的 判定与性质
空间垂直关系之间的转化
作业布置
必做题
Hale Waihona Puke 选做题SA E B
D
C
D M C
A
N
B
D
C
面面垂直的 判定与性质
课堂小结 布置作业
变式训练1 如图，已知BD⊥平面ABC，AC＝BC，N是棱AB的中点． 求证：CN⊥AD. 证明:∵BD⊥平面ABC，CN⊂平面 ABC， ∴BD⊥CN. 又∵AC＝BC，N是AB的中点， ∴ AB ⊥CN. 又∵BD∩AB＝B，∴CN⊥平面ABD 垂直于平面，则垂 而AD ⊂平面ABD，∴CN⊥AD. 直于平面内的任意 条直线 A
D
M
C
N
B
线面垂直的 判定与性质
2020高三数学总复习直线、平面垂直的判定与性质PPT课件
符号表示
应用
判定 根据定义，证明一条直线垂
b 是平面 α 内任意一 证明直
直于一个平面内的任意一 条直线
条直线， ⇒a⊥α
线和平 面垂直
一条直线与一个平面内的
_两__条__相__交__直_线__都垂直，则该
直线与此平面垂直
⇒l⊥α
如果两条平行直线中的
___一__条___垂直于一个平面， 那 么 _另__一__条___ 也 垂 直 于 同
课前双基巩固
10．[2016·北京卷改编] 如图 6-40-4 所示， 在四棱锥 P-ABCD 中，PC⊥平面 ABCD， AB∥DC，DC⊥AC，则平面 PAB 与平面 PAC 的位置关系为____________．
图 6-40-4
[答案] 垂直
[解析] 因为 AB∥DC，DC⊥AC， 所以 AB⊥AC. 因为 PC⊥平面 ABCD，所以 PC⊥AB，又 PC∩AC＝C，所以 AB⊥平面 PAC， 所以平面 PAB⊥平面 PAC.
二面角 A1 BB1 C 的平面角， 由此能求出二面角 A1 BB1 C 的余弦值．
课堂考点探究
直线、平面垂直的判定与性质
考试说明
理解空间中线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理． 判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
课前双基巩固
(2)两个平面垂直的判定和性质
课前双基巩固
类别
语言表述
根据定义，证明两平面所成的二面
判
角是__直_二__面__角_
定 如果一个平面经过另一个平面的
8-4直线与平面垂直的判定及其性质课件共120张PPT
(3)[解] 当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.证明如下： 取PC的中点F，连接DE，EF，DF. 在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE. 而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，PB⊂平面PGB，GB⊂平面 PGB，PB∩GB＝B， 所以平面DEF∥平面PGB. 因为BG⊥平面PAD，PG⊂平面PAD，所以BG⊥PG. 又因为PG⊥AD，AD∩BG＝G， 所以PG⊥平面ABCD.
第四节 直线与平面垂直的判定及其性质
[复习要点] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线 面垂直的有关性质与判定定理．
2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命 题．
理清教材•巩固基础
知识点一 直线与平面垂直 1．定义：直线l与平面α内的__任__意____一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相 垂直．
易/错/问/题
类比思维的应用：注意由平面到空间的思维的变化． (1)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系为_平__行__、__相__交__或__异__面_． (2)已知直线a和平面α，β，若α⊥β，a⊥β，则a与α的位置关系为a_∥__α_或__a_⊂__α__．
通/性/通/法
(4)面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交 线的直线垂直于另一个平面(常用方法)；
(5)面面平行的性质：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则这条 直线也垂直于另一个平面(客观题常用)；
(6)若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平 面(客观题常用)．
(2)如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角．
(3)如果一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角为0°的角． (4)直线和平面所成角的范围是___0_，__π2_ _．
(完整版)《直线与平面垂直的判定》ppt课件
l
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
直线与平面垂直判定完整版课件
绘制图表，将实验数据 可视化展示，便于分析 和比较。
03
分析实验数据，总结直 线与平面垂直的判定方 法和规律。
04
根据实验结果，评估实 验方法的准确性和可靠 性，并提出改进意见。
06
课程总结与回顾
知识点梳理
01
直线与平面垂直的定义
如果直线$l$与平面$alpha$内的任意一条直线都垂直，那么我们就说
角的范围
异面直线所成角的取值范围是 (0, 90°]。
异面直线所成角求解方法
01
02
03
平移法
将两条异面直线平移到同 一个起点上，然后用余弦 定理或三角函数求解。
向量法
建立空间直角坐标系，将 异面直线的方向向量表示 出来，然后通过向量的夹 角公式求解。
投影法
将一条直线投影到另一条 直线上，通过投影长度和 原长度之间的关系，利用 三角函数求解。
易错点提示
忽略直线与平面内两条相交直线 都垂直的条件，只考虑与其中一
条直线垂直或平行的情况。
在证明直线与平面垂直时，未明 确说明平面内的两条相交直线， 或者错误地认为只要与平面内无
数条直线垂直即可。
符号使用不规范，如将直线与平 面垂直的符号误写为平行或相交
等。
下一讲预告
下一讲我们将继续深入学习空间几何中的直线与平面的位置关系，包括直线与平面 平行的判定和性质等内容。
确定未知量
根据题目要求，确定需要求解 的未知量。
建立方程
利用已知条件和几何性质，建 立关于未知量的方程。
求解方程
解方程得到未知量的值，注意 解的合理性。
解答题规范步骤和答案
画出图形
根据题意画出相应 的图形，标注已知 量和未知量。
直线与平面垂直课件(共17张PPT)
线与平面垂直吗？
（2）如果一条直线与一个平面内的 无数条直线 都垂直，那么这条
直线与平面垂直吗？
l
任意一条直线
α P. …
线不在多， 所有直线 相交则灵
4.概念辨析，巩固新知
小结：证明线面垂直的方法：线线垂直 线面垂直
1.定义： 任意一条直线
所有直线 无限
2.判定定理： 两条相交直线
有限
线不在多， 相交则灵
3.操作确认，探究定理
当且仅当 折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在平面垂直.
二、直线与平面垂直的判定定理
文字语言：一条直线与一个平面内的 两条相交直线 都垂直，则该
直线与此平面垂直.
线线垂直 线面垂直
图形语言：
符号语言：
4.概念辨析，巩固新知
思考：
两条相交直线
（1）如果一条直线与一个平面内的 两条直线 垂直，那么这条直
又
m ∩ n=P，
∴ b⊥α .
5.推理论证，定理应用
练习 如图，在三棱锥 S-ABC 中，∠ACB = 90°, SA⊥平面ABC .
求证：BC⊥平面SAC .
S
证明：
线面垂直 线线垂直 A来自B C线线垂直 线面垂直
6.渗透文化，拓展延申
刘徽，是魏晋期间伟大的数学家，中国 古典数学理论的奠基人之一。
4.数学文化 的渗透
7.课堂小结，课后思考
1.如果要检验一根新旗杆与地面是否垂直， 你有什么好方法吗？ 2.我们通过直观感知和操作确认，已经 从直观上得出了线面垂直的判定定理， 你能从理论上用所学的知识解释它吗？
谢谢观看，再见！
8.6.2 直线与平面垂直
1.复习引入，类比研究
新高考数学直线、平面垂直的判定与性质精品课件
课前基础巩固
◈ 知识聚焦 ◈
任意一条直线
垂线
垂面
类别
语言表述
图形表示
符号语言
应用
判定
根据定义,证明一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线
b是平面α内任意一条直线, a⊥b⇒a⊥α
证明直线和平面垂直
如果一条直线与一个平面内的 垂直,那么该直线与此平面垂直
⇒l⊥α
(2)直线与平面垂直的判定与性质
课堂考点探究
探究点一 垂直关系的基本问题
[思路点拨]画出图形,利用线面平行、线面垂直的判定定理,面面垂直的判定定理和性质定理逐一判断;
B
课堂考点探究
[解析] 对于A,如图①,平面α⊥平面β,α∩β=l,a⊂α,若a∥l,则由线面平行的判定定理可得a∥β,故A中说法正确;由A可知,B中说法错误;对于C,如图②,设α∩γ=a,β∩γ=b,在γ内直线a,b外任取一点O,作OA⊥a,因为
[解析]如图②,延长AO,BO,CO,分别交BC,AC,AB于点H,D,G.∵PC ⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,PA,PB⊂平面PAB,∴PC⊥平面PAB,又AB ⊂平面PAB,∴PC⊥AB,∵AB⊥PO,PO∩PC=P,PO,PC⊂平面POC, ∴AB⊥平面POC,又CG⊂平面POC,∴AB⊥CG,即CG为△ABC边AB上的高.同理可证BD,AH分别为△ABC边AC,BC上的高,即O为△ABC的垂心.
例1 (1)下列说法中错误的是( ) A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
◈ 知识聚焦 ◈
任意一条直线
垂线
垂面
类别
语言表述
图形表示
符号语言
应用
判定
根据定义,证明一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线
b是平面α内任意一条直线, a⊥b⇒a⊥α
证明直线和平面垂直
如果一条直线与一个平面内的 垂直,那么该直线与此平面垂直
⇒l⊥α
(2)直线与平面垂直的判定与性质
课堂考点探究
探究点一 垂直关系的基本问题
[思路点拨]画出图形,利用线面平行、线面垂直的判定定理,面面垂直的判定定理和性质定理逐一判断;
B
课堂考点探究
[解析] 对于A,如图①,平面α⊥平面β,α∩β=l,a⊂α,若a∥l,则由线面平行的判定定理可得a∥β,故A中说法正确;由A可知,B中说法错误;对于C,如图②,设α∩γ=a,β∩γ=b,在γ内直线a,b外任取一点O,作OA⊥a,因为
[解析]如图②,延长AO,BO,CO,分别交BC,AC,AB于点H,D,G.∵PC ⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,PA,PB⊂平面PAB,∴PC⊥平面PAB,又AB ⊂平面PAB,∴PC⊥AB,∵AB⊥PO,PO∩PC=P,PO,PC⊂平面POC, ∴AB⊥平面POC,又CG⊂平面POC,∴AB⊥CG,即CG为△ABC边AB上的高.同理可证BD,AH分别为△ABC边AC,BC上的高,即O为△ABC的垂心.
例1 (1)下列说法中错误的是( ) A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β