运筹学指派问题
运筹学课件ch5指派问题[全文]
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运筹学课件ch5指派问题[全文] 指派问题assignment problem 运筹学课件一种特殊的线性规划问题，我们也经常遇到指派人员做某项工作的情况。
指派问题的许多应用都用来帮助管理人员解决如何为一项将要开展进行的工作指派人员的问题。
其他的一些应用如为一项任务指派机器、设备或者是工厂。
指派问题运筹学课件指派问题的形式表述:给定了一系列所要完成的任务(tasks)以及一系列完成任务的被指派者(assignees)，所需要解决的问题就是要确定出哪一个人被指派进行哪一项任务。
指派问题模型运筹学课件指派问题的假设:被指派者的数量和任务的数量是相同的每一个被指派者只完成一项任务每一项任务只能由一个被指派者来完成每个被指派者和每项任务的组合有一个相关成本目标是要确定怎样进行指派才能使得总成本最小指派问题模型运筹学课件指派问题assignment problem 【例51></a>.14】人事部门欲安排四人到四个不同的岗位工作，每个岗位一个人(经考核四人在不同岗位的成绩(百分制)如表5-34所示，如何安排他们的工作使总成绩最好。
88809086丁90798382丙95788795乙90739285甲DCBA工作人员表5-34【解】设1 数学模型运筹学课件数学模型为:甲乙丙丁ABCD图5. 3指派问题assignment problem运筹学课件假设m个人恰好做m项工作，第i个人做第j项工作的效率为cij?0，效率矩阵为[cij](如表5-34)，如何分配工作使效率最佳(min或max)的数学模型为指派问题assignment problem运筹学课件2 解指派问题的匈牙利算法匈牙利法的条件是:问题求最小值、人数与工作数相等及效率非负【定理5.1】如果从分配问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别减去(或加上)一个常数ui(被称为该行的位势)，从每一列分别减去(或加上)一个常数vj(称为该列的位势)，得到一个新的效率矩阵[bij]，其中bij=cij,ui,vj,则[bij]的最优解等价于[cij]的最优解，这里cij、bij均非负(指派问题assignment problem【证】运筹学课件【定理5.2】若矩阵A的元素可分成“0”与非“0”两部分，则覆盖“0”元素的最少直线数等于位于不同行不同列的“0”元素(称为独立元素)的最大个数( 如果最少直线数等于m，则存在m个独立的“0”元素，令这些零元素对应的xij等于1，其余变量等于0，这时目标函数值等于零，得到最优解(两个目标函数相差一个常数 u+v,约束条件不变,因此最优解不变。
运筹学课件1.8工作指派问题
c1n c2 n cnn
关于模型的讨论
指派问题是运输问题的特殊情况 当n=m时，平衡指派问题 当 n m 时，不平衡指派问题，此时， 可设置虚工作或虚工作人员，将其化为 平衡指派问题。 对指派矩阵C，任意行（列）减去它的最 小元素后，所构成的指派问题最优解与 原指派问题相同。
45 0 40 65 45 55 55 0 0 5 0 45 0 55 60 55 45 45 0 45
0 20 40 60 95
45 0 40 65 45 55 55 0 0 5 0 45 0 55 60 55 45 45 0 45
回到第一步：圈零得新最优解
4 0 2 0 2 2 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 0 1 ( xij ) 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0
最小的总工作时间：z=7+5+5+3=20。该问 题有多个最优解，请求出其它的最优解。
第八节 工作指派问题
工作指派问题及其数学模型 求解工作指派问题的匈牙利法 工作指派问题的应用举例
工作指派问题的数学模型
•例1-12
•指派问题数学模型 •指派矩阵 •对数学模型的讨论
匈牙利法
•匈牙利法的基本原理
•匈牙利法的计算步骤
•减数得零—求最优匹配
•圈零划线—查是否最大匹配
•找数调整—求新的最优匹配
ห้องสมุดไป่ตู้
指派问题一般模型
min z cij xij
j 1 i 1 n n
n xij 1, j 1,2, , n i n1 s.t. xij 1, i 1,2, , n j 1 xij 0,1
三类指派问题
三类指派问题1. 简介三类指派问题是运筹学中的一类经典问题，它的目标是找到一种最优分配方案，将若干个任务分配给若干个执行者，使得总体成本或效益达到最小或最大。
这类问题通常可以用线性规划模型来描述和求解。
三类指派问题包括： - 任务分配问题：将若干个任务分配给若干个执行者，使得总体成本最小或效益最大。
- 作业调度问题：将若干个作业安排在若干台机器上进行处理，使得总体完成时间最短或机器利用率最高。
- 设备调度问题：将若干个任务安排在若干台设备上进行处理，使得总体完成时间最短或设备利用率最高。
2. 任务分配问题2.1 模型描述假设有n个任务和n个执行者，每个任务只能由一个执行者完成，并且每个执行者只能处理一个任务。
每个任务与每个执行者之间都有一个成本或效益值。
我们的目标是找到一种分配方案，使得总体成本最小或效益最大。
可以使用二维数组C表示各任务与各执行者之间的成本或效益值，其中C[i][j]表示第i个任务分配给第j个执行者的成本或效益值。
定义一个二进制变量X[i][j]，如果第i个任务分配给第j个执行者，则X[i][j]=1，否则X[i][j]=0。
任务分配问题可以用下面的线性规划模型来描述：minimize ∑(i=1 to n)∑(j=1 to n) C[i][j] * X[i][j]subject to∑(i=1 to n) X[i][j] = 1, for j = 1,2,...,n∑(j=1 to n) X[i][j] = 1, for i = 1,2,...,nX[i][j] ∈ {0, 1}, for i,j = 1,2,...,n2.2 求解方法常用的求解任务分配问题的方法有匈牙利算法和线性规划方法。
匈牙利算法是一种经典的图论算法，它通过构建增广路径来找到最优分配方案。
该算法的时间复杂度为O(n^3)，适用于小规模问题。
线性规划方法则通过将任务分配问题转化为线性规划模型，并利用线性规划求解器进行求解。
3.4指派问题(经典运筹学)
三、指派问题与匈牙利法
1、指派问题的数学模型
设有n个工作，要由 n个人来承 担，每个工作只能由一个人承 担，且每个人只能承担一个工 作。cij表示第i个人做第j件事 的费用,求总费用最低的指派 方案。
解：xij
1
0
第i个人做第j 人件事 第i个人不做第j 人件事
c2n x2n
cn1xn1 cn2 xn2 cnn xnn
s.t
xi1 x1
xi2
j x2
xij xin 1
i=1,2, …,n
j xij xnj 1
j=1,2, …,n
x11 x12 x1j x1n 1
s.t
x21
xn1
x11
x22
xn2
x21
x2 j
右表。 请为该市制定一个
最节省的最计优划值
5 27 17 27 15 0 14 6 20 10 21 25 14 0
布点问题模型：
min Z x1 x2 x3 x4 x5 x6
解：xi
1Z=2在第i个地区建站
0
不在第i个地区建站
i=1,2, …,6
Z表示全区消防站总数
s.t
x1 x2 1 x1 x2 x6 1
市政府希望设置的消防站最少， 1
2
但必须满足在城市任何地区发
生火火警时最，优消解防车要在15分
3 4
0 10 16 28 27 20 10 0 24 32 17 10 16 24 0 12 27 21 28 32 12 0 15 25
钟内赶到x现2=场1,。x4据=1实地测定，
各区之间消防车行驶的时间见
运筹学__指派问题
•下面要证明M m. 如图假定覆盖所有0元素的m条直线 有r行、c列，m=r+c.
所有r行上不在j1，…，jc列上的0元 素个数≥ r，这些0元素至少有r个位
于不同列
同理：所有c列上不在i1，…，ir行上
j1 j2
的0元素个数≥c ，且这些0元素至
少有c个位于不同
i1 i2
ir jc
若上述两部分0个数总和为S，则S≥m；其中有m 个，又它们必无重复元素，彼此独立，则SM,故 有m≤M， 故可得M=m.
覆盖所有“0”元素的最少直线数 = 独立的“0”元素 的最多个数
推论1：覆盖所有“0”元素的直线数≥ 不同行不同列的“0”元素的最多个数（m）
推论2：覆盖所有“0”元素的最少直线数≥ 不同行不同列的“0”元素的个数
定理2说明： 1. 只要表中含有不同行或不同列的“0”元素，
都可以通过直线覆盖的方式来找到它们 2. 当覆盖直线的最少条数达到m条时，
（二）算法的基本原理 匈牙利数学家狄·康尼格(D·Konig)证明的两个定理
定理1 如果从指派问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别 减去(或加上)一个常数ui(被称为该行的位势)， 从每一列分别减去(或加上)一个常数vj(称为该列的位势) 得到一个新的效率矩阵[bij]， 若其中bij=cij-ui-vj，
一、指派问题的数学模型
（一）举例
例7： 有一份中文说明书， 要分别译成英、日、德、俄四种文字， 分别记作E 、 J 、 G 、 R ,交与甲、乙、丙、丁 四个人去完成. 因个人专长不同， 他们完成翻译不同语种的说明书所需的时间(h)如表所示. 应如何指派，使四个人分别完成这四项任务总时间为最小？
任务 人员
将其代入目标函数中得到zb=0，它一定是最小值。 ❖ 这就是以(bij)为系数矩阵的指派问题的最优解。
指派问题(经典运筹学)
1 1 c 11 2 c 21 … i c i1 … n c n1 2
c 12 c 22 ci2 cn2
…
1 2 3 4
6 20 10
21
25 14 0
5
x6
解：x i
1
2
0
不在第i个地区建站
i=1,2, …,6
Z表示全区消防站总数
2 6 1 x3 x4 1 s.t x3 x4 x5 1 x x x 1 4 5 6 x i 0 ,1 i 1, 2 , , 6
一、决策问题与0-1变量
决策变量
xi
x i 是否做第
i 件事 i 1, 2 , , n
1 0
做第i件事 不做第i件事
x1 x 2 x n k
n件事中必须做k件并只做k件事 n件事中最多做k件事 n件事中至少做k件事
x1 x 2 x n k x1 x 2 x n k
当n=4时， 有16变量，8个约束方程
例：现有4份工作，4个人应聘，由 于各人技术专长不同，他们承担 各项工作所需费用如下表所示， 且规定每人只能做一项工作，每 一项工作只能由一人承担，试求 使总费用最小的分派方案。
工作
Z表示总费用
max Z 3 x11 5 x12 4 x13 5 x14 6 x 21 7 x 22 6 x 23 8 x 24 8 x 31 9 x 32 8 x 33 10 x 34 10 x 41 10 x 42 9 x 43 11 x 44
运筹学指派问题课件
c
i 1 j 1
n
n
ij
xij
n xij 1 i 1 n st . xij 1 (i , j 1, 2, ..., n) j 1 x 1or 0 ij
运筹学教程
例1：某商业公司计划开5家新商店，商业公司决定由5家建筑 公司分别承建。已知建筑公司Ai(i=1,2…5)对新商店Bj(j=1…5) 的建筑费用报价Cij.问题：商业公司对5家建筑公司如何分配任 务，才能使总的建筑费用最少？ Cij Ai Bj
运筹学教程
指派问题解法：匈牙利解法 解法思想：
若从系数矩阵C的任何一行（列）各元素中分别减去 一个常数K（K可正可负）得到新矩阵C’,则以C’为系 数矩阵的指派问题与原问题有相同的解，但最优值 比原问题最优值小K。
匈牙利法条件： MIN、i=j 、Cij≥0
运筹学教程
匈牙利法的主要步骤： 步骤1：变换系数矩阵，使在各行各列都出现零元素。 （1）从矩阵C的每行元素减去该行的最小元素；
0 11 8 7 7 3 3 2 1 C ' 5 0 4 3 4 0
第二步 圈0 寻找不同行不同列的0元素，圈之。 所在行和列其它0元素划掉
0 0 0 0 0 3 0 11 8 第三步 打 无的行打，打行上0列打 ， 1 7 7 3 打列上行打，打行上0列打 ' 2 3 2 1 C 0 5 0 4 0 3 0 11 8 0 1 7 7 3 2 3 4 0 C ' 0 2 3 2 1 第四步 确定方案划线 0 0 5 0 4 没有打行上画一条横线； 0 2 3 4 0 有打列上画一条竖线；
15 120 15 12 0 14 100 14 100 8 7 0 0 8 7
《运筹学》胡运权清华版-5-05指派问题
任务 A
B
C
D
人员
甲
9
17 16
7
乙
12
7
14 16
丙
8
17 14 17
丁
7
9
11
9
解：设决策变量xij,i＝1,2,3,4; j＝1,2,3,4
xij 01
表示分派第i人做第j项工作 表示不分派第i人做第j项工作
任务 A
B
C
D
人员
甲
x11
x12
x13
x14
乙
x21
x22
x23
x24
丙
x31
③反复进行①、 ②两步，直到所有0元素都被圈出 或划掉为止。
注：若遇到在所有的行和列中，0元素都不止一个 时，可任选其中一个0元素加O；然后作一直线覆盖该 列元素（或该行元素）。
对于本例
用一直线覆 盖所在列
第一行只有 一个0元素
2 10 5 0
c'ij
5 0
0 9
3 9 2 9
0 2 0 2
x11
x21
...
xn1
1
...
x1n x2n ... xnn 1
若C=(cij)n×n的第一行各元素分别加上一个常数k， 得到一个新矩阵C’=(c’ij) n×n
c11 k
C'
c21
cn1
c12 k c22 ... cn2
... c1n k
17 7 17
16 14 14
7 16
-7 -7
17 -8
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运筹学作业-----关于指派问题的求解算法设计学院:计算机科学与技术学院班级:信息与计算科学1202班学号:1208060220姓名:韩雪平2014、7、31.问题描述与数学模型:在现实生活中,有各种各样的指派问题。
例如,有若干项工作(或者任务,事情)需要分配给若干人(或者部门,设备等)来完成;有若干项合同需要选择若干个投标者来承包;有若干条交通线(如航空线,航海线,公路线等)需要配置若干交通运输工具(如飞机,船只,汽车等)来运营;有若干班级需要安排在不同的教师里上课;等等/诸如此类问题,它们的基本要求就是来满足特定的指派要求时,使指派方案的总体效果最佳。
由于指派总就是多样性的,有必要定义指派的特定问题的标准形式。
指派问题的标准形式(以人与事为例):设有n个人与n件事,已知第i个人做第j件事的费用为cij(i,j=1,2,、、、、n),求人与事之间一一对应的指派方案,使完成的这n件事的总费用最少。
一般称矩阵c11 c12 c13 c14 (1)c21 c22 c23 c24 (2)c31 c32 c33 c34 (3)C= 、、、、、、、、、、、、、、、cn1 cn2 cn3 cn4……cn5为指派问题的系数矩阵。
在实际问题中,根据cij的具体意义,矩阵C可以有不同的名称,如费用矩阵,成本矩阵,时间矩阵等。
系数矩阵C中,第i行各元素表示第i人做各事的费用,第j列各元素表示第j件事由各个人做的费用。
为建立标准的指派问题的数学模型,引入n^2个0-1变量1 当指派第i人去做第i件事时Xij=｛ (i,j=1,2,3……,n)0 当不指派第i人去做第j件事时然后对矩阵进行化解,当然作为可行解,矩阵中每一列都有且只有一个1,每行有且仅有一个1,以满足约束条件2.算法思想:标准的指派问题就是特殊的整数规划问题,也就是特殊的0—1规划问题与特殊的运输问题。
因此它可以用很多相应的解法来求解。
匈牙利解法的依据就是指派问题的最优解的一下性质:设指派问题的系数矩阵C=(cij)n*n、若将C的一行或列分别减去一个常数K,则得到一个新的矩阵C'=(c'ij)n*n,那么C’为系数矩阵的指派问题与以C为系数矩阵的原指派问题有相同的最优解。
虽然不要求指派问题系数矩阵中无负元素,但就是匈牙利解法求解指派问题时,为了从已变换后的系数矩阵中判别能否得到最优指派方案,要求此时的矩阵中无负元素因为只有这样,才能使用总费用为零这一特征来判断指派问题就是否为最优方案。
3、算法流程或步骤:步骤1 变换系数矩阵,使各行与各列皆出现零元素。
如各行各列分别减去本行及本列最小元素,这样可以保证每行及每列都有零元素,同时也避免出现负元素。
步骤2 求能覆盖所有零元素的最少数目的直线集合。
若直线数等于n,则可得出最优解。
否则,转步骤3。
步骤3 变换系数矩阵,使未被直线覆盖的元素中出现零元素。
回到步骤2。
4、算法源程序:/*设计算法用匈牙利法求解指派问题:比如:4 8 7 15 127 9 17 14 10C= 6 9 12 8 76 7 14 6 106 9 12 10 6求出它的最优指派问题////////*////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////#include<stdio、h>int main(void){int i,j,min,a[5][5],m=0,cnt1=0,cnt2=0;printf("请输入一个二维数组:\n");for(i=0;i<5;i++) //输入目标矩阵for(j=0;j<5;j++)scanf("%d",&a[i][j]);for(i=0;i<5;i++)//对每行进行减去行中最小值处理{min=a[i][0];for(j=1;j<5;j++){if(a[i][j]<min)min=a[i][j];}for(j=0;j<5;j++)//对列进行减去减去列中最小值处理a[i][j]=a[i][j]-min;}for(j=0;j<5;j++){min=a[0][j];for(i=1;i<5;i++){if(a[i][j]<min)min=a[i][j];}for(i=0;i<5;i++)a[i][j]=a[i][j]-min;}//while(m!=5)//{/* for(i=0;i<5;i++)//记录每行的零个数{for(j=0;j<5;j++){if(a[i][j]==0)// i1++;cnt1++;//记录输入的每行元素个数}c[i]=cnt1;cnt1=0;//清零}for(j=0;j<5;j++)//记录每列的零个数{for(i=0;i<5;i++){ if(a[i][j]==0)// j1++;cnt2++;}d[j]=cnt2;cnt2=0;//清零}*///}printf("输出变换后的矩阵:\n");for(i=0;i<5;i++){ for(j=0;j<5;j++)printf("%3d",a[i][j]);printf("\n");}printf("\n");/* for(i=0;i<5;i++)printf("%5d",c[i]);printf("\n");for(i=0;i<5;i++)printf("%5d",d[i]);printf("\n");*////////通过边算边验证,此时给第二行与第三行减去它们行中除零的最小值////////printf("给第二行与第三行减去它们行中除零最小的数得:\n");for(j=0;j<5;j++)a[1][j]=a[1][j]-1;for(j=0;j<5;j++)a[2][j]=a[2][j]-1;printf("输出变换后的矩阵:\n");for(i=0;i<5;i++){ for(j=0;j<5;j++)printf("%3d",a[i][j]);printf("\n");}printf("\n");///继续通过边求边验证,此时给第一列加上1///printf("再给第一列加上1后的矩阵如下:\n");for(i=0;i<5;i++)a[i][0]=a[i][0]+1;printf("输出变换后的矩阵:\n");for(i=0;i<5;i++){ for(j=0;j<5;j++)printf("%3d",a[i][j]);printf("\n");}printf("\n");//此时圈零进行调整让每行每列都保有一个零//for(i=0;i<5;i++){ for(j=0;j<5;j++){ if(a[i][j]!=0)a[i][j]=0;elsea[i][j]=1;}}printf("输出变换后的矩阵:\n");for(i=0;i<5;i++){ for(j=0;j<5;j++)printf("%3d",a[i][j]);printf("\n");}printf("\n");//此时继续验证继续调整舍去第二行第一个的数与第四行第二列的数使它们等于0//a[1][0]=0;a[3][1]=0;a[2][4]=0;printf("输出变换后的矩阵:\n");for(i=0;i<5;i++){ for(j=0;j<5;j++)printf("%3d",a[i][j]);printf("\n");}printf("\n");return 0;}////////////////////////////////5、算例与结果:目标矩阵:进行行列变换后处理的矩阵截图如下:对没覆盖的行进行减去行中最小值处理截图://///////////////////////////////////// ////////////////////////对列中的负数进行加上负数最小值处理截图://////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////对行列中不为零与就是零的元素进行处理,使不为零变0,为零变1:///////////////////////////////////////////////////////////////////////// //////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// ///////////////////////////////////////////////////////////////////// 调整1的个数,使每行每列都保持有一个1://///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////6、结论与总结:本次课程设计主要运用了C语言去编写与实现它,通过本次的课程设计,使我在运用C 语言的过程中更加体会到了运筹学这一本课程的实用性,运筹学主要的设计方向就是使一个普通问题变为最优化问题,它就是在研究在有限种或无限中可行方案中选择最优方案,构造寻求最优的计算方法。