人教版数学八年级上册 全等三角形中考真题汇编[解析版]

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人教版八年级上册数学中考真题分类(解答题)专练:第12章 全等三角形 综合 (含答案)

人教版八年级上册数学中考真题分类(解答题)专练:第12章 全等三角形 综合 (含答案)

人教版八年级上册数学中考真题分类(解答题)专练:第12章全等三角形综合1.(2020•西藏)如图,△ABC中,D为BC边上的一点,AD=AC,以线段AD为边作△ADE,使得AE=AB,∠BAE=∠CAD.求证:DE=CB.2.(2020•鞍山)如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,点E,F分别在AB,AD上,AE=AF,CE=CF,求证:CB=CD.3.(2020•大连)如图,△ABC中,AB=AC,点D,E在边BC上,BD=CE.求证:∠ADE=∠AED.4.(2020•河池)(1)如图(1),已知CE与AB交于点E,AC=BC,∠1=∠2.求证:△ACE≌△BCE.(2)如图(2),已知CD的延长线与AB交于点E,AD=BC,∠3=∠4.探究AE与BE 的数量关系,并说明理由.5.(2020•吉林)如图,在△ABC中,AB>AC,点D在边AB上,且BD=CA,过点D作DE∥AC,并截取DE=AB,且点C,E在AB同侧,连接BE.求证:△DEB≌△ABC.6.(2020•镇江)如图,AC是四边形ABCD的对角线,∠1=∠B,点E、F分别在AB、BC上,BE=CD,BF=CA,连接EF.(1)求证:∠D=∠2;(2)若EF∥AC,∠D=78°,求∠BAC的度数.7.(2020•昆明)如图,AC是∠BAE的平分线,点D是线段AC上的一点,∠C=∠E,AB=AD.求证:BC=DE.8.(2020•黄石)如图,AB=AE,AB∥DE,∠DAB=70°,∠E=40°.(1)求∠DAE的度数;(2)若∠B=30°,求证:AD=BC.9.(2020•广州)如图,AB=AD,∠BAC=∠DAC=25°,∠D=80°.求∠BCA的度数.10.(2020•云南)如图,已知AD=BC,BD=AC.求证:∠ADB=∠BCA.11.(2020•烟台)如图,在等边三角形ABC中,点E是边AC上一定点,点D是直线BC上一动点,以DE为一边作等边三角形DEF,连接CF.【问题解决】如图1,若点D在边BC上,求证:CE+CF=CD;【类比探究】如图2,若点D在边BC的延长线上,请探究线段CE,CF与CD之间存在怎样的数量关系?并说明理由.12.(2020•宜宾)如图,在△ABC中,点D是边BC的中点,连结AD并延长到点E,使DE =AD,连结CE.(1)求证:△ABD≌△ECD;(2)若△ABD的面积为5,求△ACE的面积.13.(2020•常州)已知:如图,点A、B、C、D在一条直线上,EA∥FB,EA=FB,AB=CD.(1)求证:∠E=∠F;(2)若∠A=40°,∠D=80°,求∠E的度数.14.(2020•北京)在△ABC中,∠C=90°,AC>BC,D是AB的中点.E为直线AC上一动点,连接DE.过点D作DF⊥DE,交直线BC于点F,连接EF.(1)如图1,当E是线段AC的中点时,设AE=a,BF=b,求EF的长(用含a,b的式子表示);(2)当点E在线段CA的延长线上时,依题意补全图2,用等式表示线段AE,EF,BF之间的数量关系,并证明.15.(2020•菏泽)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点E在AC的延长线上,ED⊥AB于点D,若BC=ED,求证:CE=DB.16.(2020•泸州)如图,AC平分∠BAD,AB=AD.求证:BC=DC.17.(2020•南充)如图,点C在线段BD上,且AB⊥BD,DE⊥BD,AC⊥CE,BC=DE.求证:AB=CD.18.(2020•无锡)如图,已知AB∥CD,AB=CD,BE=CF.求证:(1)△ABF≌△DCE;(2)AF∥DE.19.(2020•铜仁市)如图,∠B=∠E,BF=EC,AC∥DF.求证:△ABC≌△DEF.20.(2020•内江)如图,点C、E、F、B在同一直线上,点A、D在BC异侧,AB∥CD,AE =DF,∠A=∠D.(1)求证:AB=CD;(2)若AB=CF,∠B=40°,求∠D的度数.参考答案1.证明:∵∠BAE=∠CAD,∴∠BAE+∠BAD=∠CAD+∠BAD,即∠DAE=∠CAB,在△ADE和△ACB中,,∴△ADE≌△ACB(SAS),∴DE=CB.2.证明:连接AC,在△AEC与△AFC中,∴△AEC≌△AFC(SSS),∴∠CAE=∠CAF,∵∠B=∠D=90°,∴CB=CD.3.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C(等边对等角),在△ABD和△ACE中,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴AD=AE(全等三角形对应边相等),∴∠ADE=∠AED(等边对等角).4.(1)证明:在△ACE和△BCE中,∵,∴△ACE≌△BCE(SAS);(2)AE=BE.理由如下:在CE上截取CF=DE,在△ADE和△BCF中,∵,∴△ADE≌△BCF(SAS),∴AE=BF,∠AED=∠CFB,∵∠AED+∠BEF=180°,∠CFB+∠EFB=180°,∴∠BEF=∠EFB,∴BE=BF,∴AE=BE.5.证明:∵DE∥AC,∴∠EDB=∠A.在△DEB与△ABC中,,∴△DEB≌△ABC(SAS).6.证明:(1)在△BEF和△CDA中,,∴△BEF≌△CDA(SAS),∴∠D=∠2;(2)∵∠D=∠2,∠D=78°,∴∠D=∠2=78°,∵EF∥AC,∴∠2=∠BAC=78°.7.证明:∵AC是∠BAE的平分线,∴∠BAC=∠DAE,,∴△BAC≌△DAE(AAS),∴BC=DE.8.解(1)∵AB∥DE,∠E=40°,∴∠EAB=40°,∵∠DAB=70°,∴∠DAE=30°;(2)证明:在△ADE与△BCA中,,∴△ADE≌△BCA(ASA),∴AD=BC.9.解:在△ABC与△ADC中,,∴△ABC≌△ADC(SAS),∴∠D=∠B=80°,∴∠BCA=180°﹣25°﹣80°=75°.10.证明:在△ADB和△BCA中,,∴△ADB≌△BCA(SSS),∴∠ADB=∠BCA.11.【问题解决】证明:在CD上截取CH=CE,如图1所示:∵△ABC是等边三角形,∴∠ECH=60°,∴△CEH是等边三角形,∴EH=EC=CH,∠CEH=60°,∵△DEF是等边三角形,∴DE=FE,∠DEF=60°,∴∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=60°,∴∠DEH=∠FEC,在△DEH和△FEC中,,∴△DEH≌△FEC(SAS),∴DH=CF,∴CD=CH+DH=CE+CF,∴CE+CF=CD;【类比探究】解:线段CE,CF与CD之间的等量关系是FC=CD+CE;理由如下:∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=60°,过D作DG∥AB,交AC的延长线于点G,如图2所示:∵GD∥AB,∴∠GDC=∠B=60°,∠DGC=∠A=60°,∴∠GDC=∠DGC=60°,∴△GCD为等边三角形,∴DG=CD=CG,∠GDC=60°,∵△EDF为等边三角形,∴ED=DF,∠EDF=∠GDC=60°,∴∠EDG=∠FDC,在△EGD和△FCD中,,∴△EGD≌△FCD(SAS),∴EG=FC,∴FC=EG=CG+CE=CD+CE.12.证明:(1)∵D是BC中点,∴BD=CD,在△ABD与△CED中,∴△ABD≌△ECD(SAS);(2)在△ABC中,D是边BC的中点,∴S△ABD =S△ADC,∵△ABD≌△ECD,∴S△ABD =S△ECD,∵S△ABD=5,∴S△ACE =S△ACD+S△ECD=5+5=10,答:△ACE的面积为10.13.证明:(1)∵EA∥FB,∴∠A=∠FBD,∴AB+BC=CD+BC,即AC=BD,在△EAC与△FBD中,,∴△EAC≌△FBD(SAS),∴∠E=∠F;(2)∵△EAC≌△FBD,∴∠ECA=∠D=80°,∵∠A=40°,∴∠E=180°﹣40°﹣80°=60°,答:∠E的度数为60°.14.解:(1)∵D是AB的中点,E是线段AC的中点,∴DE∥BC,DE=BC,∵∠ACB=90°,∴∠DEC=90°,∵DF⊥DE,∴∠EDF=90°,∴四边形CEDF是矩形,∴DE=CF=BC,∴CF=BF=b,∵CE=AE=a,∴EF=;(2)AE2+BF2=EF2.证明:过点B作BM∥AC,与ED的延长线交于点M,连接MF,则∠AED=∠BMD,∠CBM=∠ACB=90°,∵D点是AB的中点,在△ADE和△BDM中,,∴△ADE≌△BDM(AAS),∴AE=BM,DE=DM,∵DF⊥DE,∴EF=MF,∵BM2+BF2=MF2,∴AE2+BF2=EF2.15.证明:∵ED⊥AB,∴∠ADE=∠ACB=90°,∠A=∠A,BC=DE,∴△ABC≌△AED(AAS),∴AE=AB,AC=AD,∴CE=BD.16.证明:∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC,又∵AB=AD,AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SAS),∴BC=CD.17.证明:∵AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,∴∠ACE=∠ABC=∠CDE=90°,∴∠ACB+∠ECD=90°,∠ECD+∠CED=90°,∴∠ACB=∠CED.在△ABC和△CDE中,,∴△ABC≌△CDE(ASA),∴AB=CD.18.证明:(1)∵AB∥CD,∴∠B=∠C,∵BE=CF,∴BE﹣EF=CF﹣EF,即BF=CE,在△ABF和△DCE中,,∴△ABF≌△DCE(SAS);(2)∵△ABF≌△DCE,∴∠AFB=∠DEC,∴∠AFE=∠DEF,∴AF∥DE.19.证明:∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE,∵BF=CE,∴BC=EF,在△ABC和△DEF中,,∴△ABC≌△DEF(ASA).20.(1)证明:∵AB∥CD,∴∠B=∠C,在△ABE和△DCF中,,∴△ABE≌△DCF(AAS),∴AB=CD;(2)解:∵△ABE≌△DCF,∴AB=CD,BE=CF,∠B=∠C,∵∠B=40°,∴∠C=40°∵AB=CF,∴CF=CD,∴∠D=∠CFD=(180°﹣40°)=70°.。

人教版初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》测试卷(含答案解析)

人教版初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》测试卷(含答案解析)

一、选择题1.如图,AB ∥CD ,BE 和CE 分别平分∠ABC 和∠BCD ,AD 过点E ,且AD ⊥AB ,点P 为线段BC 上一动点,连接PE .若AD =14,则PE 的最小值为( )A .7B .10C .6D .5A解析:A【分析】 当EP ⊥BC 时,EP 最短,根据角平分线的性质,可知EP=EA=ED=12AD ,由AD =14,求出即可.【详解】解:当EP ⊥BC 时,EP 最短,∵AB ∥CD ,AD ⊥AB ,∴AD ⊥CD ,∵BE 平分∠ABC ,AE ⊥AB ,EP ⊥BC ,∴EP=EA ,同理,EP=ED ,此时,EP=12AD=12×14=7, 故选A .【点睛】 本题考查了角平分线的性质和垂线段最短,熟练找到P 点位置并应用角平分线性质求EP 是解题关键.2.如图,在ABC 和DEF 中,,B DEF AB DE ∠=∠=,添加下列一个条件后,仍然不能证明ABC DEF ≌,这个条件是( )A .A D ∠=∠B .BC EF = C .ACB F ∠=∠D .AC DF = D解析:D【分析】根据全等三角形的判定,利用ASA、SAS、AAS即可得答案.【详解】解:∵∠B=∠DEF,AB=DE,∴添加∠A=∠D,利用ASA可得△ABC≌△DEF;添加BC=EF,利用SAS可得△ABC≌△DEF;添加∠ACB=∠F,利用AAS可得△ABC≌△DEF;添加AC DF,不符合任何一个全等判定定理,不能证明△ABC≌△DEF;故选:D.【点睛】本题考查了全等三角形的判定,掌握全等三角形的判定方法:SSS、ASA、SAS、AAS和HL 是解题的关键.3.如图,点O是△ABC中∠BCA,∠ABC的平分线的交点,已知△ABC的面积是12,周长是8,则点O到边BC的距离是()A.1 B.2C.3 D.4C解析:C【分析】过点O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,连接OA,根据角平分线的性质得:OE=OF=OD然后根据△ABC的面积是12,周长是8,即可得出点O到边BC的距离.【详解】如图,过点O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,连接OA.∵点O是∠ABC,∠ACB平分线的交点,∴OE=OD,OF=OD,即OE=OF=OD∴S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO=12AB·OE+12BC·OD+12AC·OF=12×OD×(AB+BC+AC)=12×OD×8=12 OD=3故选:C【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,正确表示出三角形面积是解题关键.4.如图,AD 平分BAC ∠交BC 于点D ,DE AB ⊥于点E ,DF AC ⊥于点F ,若ABC S 12=,DF 2=,AC 3=,则AB 的长是 ( )A .2B .4C .7D .9D解析:D【分析】 求出DE 的值,代入面积公式得出关于AB 的方程,求出即可.【详解】解:∵AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,∴DE=DF=2,∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ,∴12=12×AB×DE+12×AC×DF , ∴24=AB×2+3×2,∴AB=9,故选:D .【点睛】本题考查了角平分线性质,三角形的面积的应用,注意:角平分线上的点到角两边的距离相等.5.如图,BD 是四边形ABCD 的对角线, AD//BC ,AB AD <,分别过点A ,C 作AE BD ⊥,CF BD ⊥,垂足分别为点E ,F ,若BE DF =,则图中全等的三角形有( )A .1对B .2对C .3对D .4对C解析:C【分析】根据AD //BC 证得ADB CBD ∠=∠,由BE DF =得到BF=DE ,由此证明△ADE ≌△CBF ,得到AE=CF ,AD=CB ,由此证得△ABE ≌△CDF ,得到AB=CD ,由此利用SSS 证明△ABD ≌△CDB.【详解】解:∵AD //BC ,∴ADB CBD ∠=∠,BE DF =,BF DE ∴=,AE BD ⊥,CF BD ⊥,AED CFB ∠∠∴=90=,()ADE CBF ASA ∴≅,AE CF ∴=,AD CB =,∵∠AEB=∠CFD 90=,BE=DF ,()ABE CDF SAS ∴≅,AB CD ∴=,BD DB =,AB=CD ,AD CB =,()ABD CDB SSS ∴≅,则图中全等的三角形有:3对,故选:C .【点睛】此题考查三角形全等的判定定理:SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ,根据已知条件找到对应的边或角是解题的关键.6.如图所示,下面甲、乙、丙三个三角形和ABC 全等的图形是( )A .甲和乙B .乙和丙C .只有丙D .只有乙B解析:B【分析】 甲只有2个已知条件,缺少判定依据;乙可根据SAS 判定与△ABC 全等;丙可根据AAS 判定与△ABC 全等,可得答案.【详解】解:甲三角形只知道两条边长无法判断是否与△ABC 全等;乙三角形夹50°内角的两边分别与已知三角形对应相等,故乙与△ABC 全等;丙三角形72°内角及所对边与△ABC 对应相等且均有50°内角,可根据AAS 判定乙与△ABC 全等;则与△ABC 全等的有乙和丙,故选:B .【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理,熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理,注意对应二字的理解很重要.7.下列各命题中,假命题是( )A .有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等B .有两边及第三边上高对应相等的两个三角形全等C .有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等D .有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等B解析:B【分析】根据全等三角形的判定定理进行证明并依次判断.【详解】解:A 、有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等,可利用证两步全等的方法求得,是真命题;B 、高有可能在内部,也有可能在外部,是不确定的,不符合全等的条件,原命题是假命题;C 、有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等,可利用证两步全等的方法求得,是真命题;D 、有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等,可利用证两步全等的方法求得,是真命题;故选:B .【点睛】此题考查全等三角形的判定定理:SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ,灵活判定命题真假,熟记定理并灵活应用解决问题是解题的关键.8.如图,点D 在线段BC 上,若1802ACE ABC x ∠=︒-∠-︒,且BC DE =,AC DC =,AB EC =,则下列角中,大小为x ︒的角是( )A .EFC ∠B .ABC ∠ C .FDC ∠D .DFC ∠ C解析:C【分析】先证明()ABC CED SSS ∆≅∆得到B E ∠=∠、FCD FDC ∠=∠,再根据1802ACE ABC x ∠=︒-∠-︒可得2CFE x ∠=︒;然后根据外角的性质可得2EFC FDC FCD FDC ∠=∠+∠=∠即可解答.【详解】解:在ABC ∆和CED ∆中,AC CD AB CE BC ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩,()ABC CED SSS ∴∆≅∆,B E ∴∠=∠,FCD FDC ∠=∠1802180ACE ABC x E CFE ∠=︒-∠-︒=︒-∠-∠,2CFE x ∴∠=︒,2EFC FDC FCD FDC ∠=∠+∠=∠=2x ︒,FDC x ∴∠=︒.故答案为C .【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识,弄清题意、理清角之间的关系是解答本题的关键.9.对于ABC 与DEF ,已知∠A=∠D ,∠B=∠E ,则下列条件:①AB=DE ;②AC=DF ;③BC=DF ;④AB=EF 中,能判定它们全等的有( )A .①②B .①③C .②③D .③④A解析:A【分析】根据已知条件,已知两角对应相等,所以要证两三角形全等,可以根据角边角、角角边、边角边判定定理添加条件,再根据选项选取答案即可;【详解】题意已知:∠A=∠D ,∠B=∠E ,∴①根据“ASA”可添加AB=DE ,故①正确;②根据“AAS” 可添加AC=DF ,故②正确;③根据“AAS” 可添加BC=EF ,故③错误;④根据“ASA”可添加AB=DE ,故④错误;所以补充①②可判定两三角形全等;故选:A .【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定,根据不同的判定方法可选择不同的条件,所以对三角形全等的判定定理要熟练掌握并归纳总结;10.如图所示,已知∠A =∠C ,∠AFD =∠CEB ,那么给出的条件不能得到ADF CBE △≌△是( )A .∠B =∠DB .EB=DFC .AD=BCD .AE=CF A解析:A【分析】 直接利用全等三角形的判定方法进行判断即可;三角形全等的证明方法有:SSS 、SAS 、AAS 、ASA ;【详解】A ∵∠A=∠C ,∠AFD=∠CEB ,∠B=∠D ,三个角相等,不能判定三角形全等,该选项不符合题意;B ∵∠A=∠C ,∠AFD=∠CEB ,EB=DF ,符合AAS 的判定,该选项符合题意;C ∵∠A=∠C ,∠AFD=∠CEB ,AD=BC ,符合AAS 的判定,该选项符合题意;D ∵∠A=∠C ,∠AFD=∠CEB ,AE=CF ,∴AF=CE ,符合ASA 的判定,该选项符合题意; 故选:A .【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法,正确掌握判定方法是解题的关键;二、填空题11.如图,四边形ABCD 中,180B D ∠+∠=︒,AC 平分DAB ∠,CM AB ⊥于点M ,若4cm AM =, 2.5cm BC =,则四边形ABCD 的周长为______cm .13【分析】过点C 作CN ⊥AD 交AD 延长线于点N 由角平分线的性质得到CN=CM 然后证明△CDN ≌△CBM 得到DN=BMCD=CB=25然后求出AN=AM=4则AD=4DN 即可求出四边形的周长【详解】解析:13【分析】过点C 作CN ⊥AD ,交AD 延长线于点N ,由角平分线的性质,得到CN=CM ,然后证明△CDN ≌△CBM ,得到DN=BM ,CD=CB=2.5,然后求出AN=AM=4,则AD=4-DN ,即可求出四边形的周长.【详解】解:根据题意,过点C 作CN ⊥AD ,交AD 延长线于点N ,如图:∵CM AB ⊥,CN ⊥AD ,∴∠N=∠CMB=90°,∵180B ADC ∠+∠=︒,180CDN ADC ∠+∠=︒,∴B CDN ∠=∠,∵AC 平分DAB ∠,∴CN=CM ,∴△CDN ≌△CBM ,∴DN=BM ,CD=CB=2.5,∵AC=AC ,∠N=∠CMA=90°,∴△ACN ≌△ACM (HL ),∴AN=AM=4,∴AD=4-DN ,∴AB=4+BM=4+DN ,∴四边形ABCD 的周长为:4 2.5 2.5413AD DC CB AB DN DN +++=-++++=;故答案为:13.【点睛】本题考查了角平分线的性质,全等三角形的判定和性质,解题的关键是利用所学的知识,正确得到AD=4-DN ,AB=4+DN .12.如图,四边形ABCD 中,AC BC =,90ACB ADC ∠=∠=︒,10CD =,则BCD ∆的面积为______.50【分析】过点B 作BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E 先证明∠CBE=∠ACD 从而证明∆ACD ≅∆CBE 进而即可求解【详解】过点B 作BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ∵BE ⊥CE ∴∠BEC=∠CDA=90°解析:50【分析】过点B 作BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ,先证明∠CBE=∠ACD ,从而证明∆ ACD ≅∆ CBE ,进而即可求解.【详解】过点B 作BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ,∵BE ⊥CE ,∴∠BEC=∠CDA=90°,∴∠CBE+∠BCE=90°,又∵∠ACB=90°,∴∠BCE+∠ACD=90°,∴∠CBE=∠ACD ,在∆ ACD 与∆ CBE 中,∵CBE ACD CEB ADC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴∆ ACD ≅∆ CBE (AAS ),∴BE=CD=10,∴BCD ∆的面积=12CD∙BE=12×10×10=50, 故答案是50.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,添加辅助线,构造“一线三垂直”模型,是解题的关键.13.如图,∠ABC=∠DCB ,要使△ABC ≌△DCB ,还需要补充一个条件:___.(一个即可) AB=CD (或∠A=∠D 或∠ACB=∠DBC )【分析】根据已知条件:两个三角形已经具备∠ABC=∠DCB 及公共边BC 再添加任意一组角或是AB=CD 即可【详解】∵∠ABC=∠DCBBC=CB ∴当AB=解析:AB=CD (或∠A=∠D 或∠ACB=∠DBC )【分析】根据已知条件:两个三角形已经具备∠ABC=∠DCB 及公共边BC ,再添加任意一组角,或是AB=CD 即可.【详解】∵∠ABC=∠DCB ,BC=CB ,∴当AB=CD 时,利用SAS 证明△ABC ≌△DCB ;当∠A=∠D 时,利用AAS 证明△ABC ≌△DCB ;当∠ACB=∠DBC 时,利用ASA 证明△ABC ≌△DCB ,故答案为:AB=CD (或∠A=∠D 或∠ACB=∠DBC ).【点睛】此题考查添加一个条件证明两个三角形全等,熟记全等三角形的判定定理是解题的关键. 14.如图,AB =4cm ,AC =BD =3cm ,∠CAB =∠DBA ,点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点A 向点B 运动,同时,点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动.设运动时间为t (s ),则当△ACP 与△BPQ 全等时,点Q 的运动速度为__cm/s .1或15【分析】分两种情况讨论:当△ACP ≌△BPQ 时从而可得点的运动速度;当△ACP ≌△BQP 时可得:从而可得点的运动速度从而可得答案【详解】解:当△ACP ≌△BPQ 时则AC =BPAP =BQ ∵AC解析:1或1.5【分析】分两种情况讨论:当△ACP ≌△BPQ 时,1AP BQ ==, 从而可得Q 点的运动速度;当△ACP ≌△BQP 时,可得:23AP BP BQ ===,, 从而可得Q 点的运动速度,从而可得答案.【详解】解:当△ACP ≌△BPQ 时,则AC =BP ,AP =BQ ,∵AC =3cm ,∴BP =3cm ,∵AB =4cm ,∴AP =1cm ,∴BQ =1cm ,∴点Q 的速度为:1÷(1÷1)=1(cm/s );当△ACP ≌△BQP 时,则AC =BQ ,AP =BP ,∵AB =4cm ,AC =BD =3cm ,∴AP =BP =2cm ,BQ =3cm ,∴点Q 的速度为:3÷(2÷1)=1.5(cm/s );故答案为:1或1.5.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质,分类讨论的数学思想,掌握利用分类讨论解决全等三角形问题是解题的关键.15.如图,AC AE =,AD AB =,90ACB DAB ∠=∠=︒,33BAE ∠=︒,//CB AE ,AC 与DE 相交于点F .(1)DAC ∠=______.(2)当1AF =时,BC 的长为______.33°2【分析】(1)作DG ⊥AC 的延长线于G 然后根据平行线的性质可以推出结论;(2)证明△ADG ≌△BAC (AAS )由全等三角形的性质得出DG =AC =AE ;AG =BC 证明△AEF ≌△GDF (AAS 解析:33° 2【分析】(1)作DG ⊥AC 的延长线于G ,然后根据平行线的性质可以推出结论;(2)证明△ADG ≌△BAC (AAS ),由全等三角形的性质得出DG =AC =AE ;AG =BC ,证明△AEF ≌△GDF (AAS ),得出1122AF GF AG BC ===,则可得出答案. 【详解】解:(1)∵90ACB ∠=︒,//AE BC ,∴18090CAE ACB ∠=︒-∠=︒.∵90DAB CAE ∠=∠=︒,∴DAC CAB BAE CAB ∠+∠=∠+∠,∴33DAC BAE ∠=∠=︒.故答案为:33.(2)如图,过点D 作DG AC ⊥,交AC 的延长线于点G ,∴90AGD ACB ∠=∠=︒.∵//AE CB ,∴DAG BAE B ∠=∠=∠. 在ADG 和BAC 中,,,,AGO BCA DAG B AD BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS ADG BAC ≅△△,∴DG AC AE ==,AG BC =.在AEF 和GDF 中,,,,EFA DFG EAF DGF AE DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS AEF GDF ≅△△, ∴1122AF GF AG BC ===, ∴22BC AF ==.故答案为:2.【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质,用到的知识点是平行线的性质和全等三角形的判定与性质,解题的关键是熟练掌握全等的三角形的判定与性质.16.在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =15cm ,BC =8cm ,AX ⊥AC 于A ,P 、Q 两点分别在边AC 和射线AX 上移动.当PQ =AB ,AP =_____时,△ABC 和△APQ 全等.8cm 或15cm 【分析】分情况讨论:①AP =BC =8cm 时Rt △ABC ≌Rt △QPA (HL );②当P 运动到与C 点重合时Rt △ABC ≌Rt △PQA (HL )此时AP =AC =15cm 【详解】解:①当P 运动解析:8cm 或15cm【分析】分情况讨论:①AP =BC =8cm 时,Rt △ABC ≌Rt △QPA (HL );②当P 运动到与C 点重合时,Rt △ABC ≌Rt △PQA (HL ),此时AP =AC =15cm .【详解】解:①当P 运动到AP =BC 时,如图1所示:在Rt △ABC 和Rt △QPA 中,AB QP BC PA=⎧⎨=⎩, ∴Rt △ABC ≌Rt △QPA (HL ),即AP =B =8cm ;②当P 运动到与C 点重合时,如图2所示:在Rt △ABC 和Rt △PQA 中,AB PQ AC PA=⎧⎨=⎩, ∴Rt △ABC ≌Rt △PQA (HL ),即AP =AC =15cm .综上所述,AP 的长度是8cm 或15cm .故答案为:8cm 或15cm .【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键,注意分类讨论,以免漏解.17.如图,9cm AB =,3cm AC =,点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点B 向点A 运动,同时点Q 在射线BD 上以x cm/s 的速度由点B 沿射线BD 的方向运动,它们运动的时间为t (s )(1)如图①,若AC AB ⊥,BD AB ⊥,当ACP BPQ △≌△,x =________;CPQ ∠=________.(2)如图②,CAB DBA ∠=∠,当ACP △与BPQ 全等,x =________;90°2或【分析】(1)根据全等找出对应边利用BP 边求得时间再在BQ 边上求速度再运用全等三角形的性质即可证明角度;(2)结合条件对与全等时的情况进行分析分类讨论即可【详解】(1)当时又;(2)①当时解析:90° 2或23【分析】(1)根据全等找出对应边,利用BP 边求得时间,再在BQ 边上求速度,再运用全等三角形的性质,即可证明角度;(2)结合条件,对ACP △与BPQ 全等时的情况进行分析,分类讨论即可.【详解】(1)当ACP BPQ △≌△时,3AC PB ==,936AP BQ cm ==-=, 331cm t s cm /s ∴==,623cm x cm /s s==, 又CPA PQB ∠=∠,90PQB QPB ∠+∠=︒,90CPA QPB ∴∠+∠=︒,18090CPQ ∴∠=︒-︒=90︒;(2)①当ACP BPQ △≌△时,3AC BP ==,936AP BQ ==-=, 此时,331cm t s cm /s ==,623cm x cm /s s==; ②当ACP BQP △≌△时, 3AC BQ ==,92AP BP ==,此时,99212cm t s cm /s ==,32932cm x cm /s s ==; 综上:当ACP △与BPQ 全等,2x cm /s =或23cm /s . 【点睛】本题考查了全等三角形的性质及判定,熟练掌握全等三角形的性质是解题关键. 18.如图,在直角坐标系中,AD 是Rt △OAB 的角平分线,已知点D 的坐标是(0,-3),AB 的长为12,则△ABD 的面积是_____ 18【分析】过点D 作DE ⊥AB 于点E 由角平分线的性质可得出DE 的长再根据三角形的面积公式即可得出结论【详解】解:过点D 作DE ⊥AB 于点E ∵D (0-3)∴OD=3∵AD 是Rt △OAB 的角平分线OD ⊥O解析:18【分析】过点D 作DE ⊥AB 于点E ,由角平分线的性质可得出DE 的长,再根据三角形的面积公式即可得出结论.【详解】解:过点D 作DE ⊥AB 于点E ,∵D (0,-3)∴OD=3,∵AD 是Rt △OAB 的角平分线,OD ⊥OA ,DE ⊥AB ,∴DE=OD=3,∴S △ABD =12AB•DE=12×12×3=18.故答案为:18.【点睛】本题考查了坐标与图形的性质,角平分线的性质,熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键.19.如图所示,已知点A 、D 、B 、F 在一条直线上,∠A=∠F ,AC=FE ,要使△ABC ≌△FDE ,还需添加一个条件,这个条件可以是___________________ .(只需填一个即可)∠C ∠E 或ABFD(ADFB)或∠ABC ∠FDE 或DE ∥BC 【分析】要判定△ABC ≌△FDE 已知∠A=∠FAC=FE 具备了一组角和一组边对应相等故可以添加∠C ∠E 利用ASA 可证全等(也可添加其它条件解析:∠C =∠E 或AB =FD(AD =FB)或∠ABC =∠FDE 或DE ∥BC【分析】要判定△ABC ≌△FDE ,已知∠A=∠F ,AC=FE ,具备了一组角和一组边对应相等,故可以添加∠C =∠E ,利用ASA 可证全等.(也可添加其它条件).【详解】增加一个条件:∠C =∠E ,在△ABC 和△FDE 中,C E AC FE A F ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△ABC ≌△FDE(ASA);或添加AB =FD(AD =FB) 利用SAS 证明全等;或添加∠ABC =∠FDE 或DE ∥BC 利用AAS 证明全等.故答案为:∠C =∠E 或AB =FD(AD =FB)或∠ABC =∠FDE 或DE ∥BC (答案不唯一).【点睛】本题考查了全等三角形的判定;判定方法有ASA 、AAS 、SAS 、SSS 等,在选择时要结合其它已知在图形上的位置进行选取.20.如图,ABC 中,90C ∠=,AD 平分BAC ∠,若2DC =,则点D 到线段AB 的距离等于________.【分析】过D 作DE ⊥AB 于E 根据角平分线的性质得出DE=DC即可求出答案【详解】解:过D作DE⊥AB于E∵∠C=90°AD平分∠BACDC=2∴DE=DC=2即点D到线段AB的距离等于2故答案为:2解析:【分析】过D作DE⊥AB于E,根据角平分线的性质得出DE=DC,即可求出答案.【详解】解:过D作DE⊥AB于E,∵∠C=90°,AD平分∠BAC,DC=2,∴DE=DC=2,即点D到线段AB的距离等于2,故答案为:2.【点睛】本题考查了考查了角平分线的性质,能根据角平分线的性质得出DE=DC是解此题的关键.三、解答题21.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D在边BC上(不与点B,C重合),过点C作CE⊥AD,垂足为点E,交AB于点F,连接DF.(1)请直接写出∠CAD与∠BCF的数量关系;(2)若点D是BC中点,在图2中画出图形,猜想线段AD,CF,FD之间的数量关系,并证明你的猜想.解析:(1)∠BCF=∠CAD;(2)AD=CF+DF,证明见解析【分析】(1)由余角的性质可求解;(2)过点B作BG∥AC交CF的延长线于G,由“ASA”可证△ACD≌△CBG,可得CD=BG,AD=CG,由“SAS”可证△BDF≌△BGF,可得DF=GF,可得结论.【详解】解:(1)∠BCF=∠CAD,理由如下:∵CE⊥AD,∴∠CED=∠ACD=90°,∴∠CAD+∠ADC=90°=∠ADC+∠BCF,∴∠CAD =∠BCF ;(2)如图所示:猜想:AD =CF +DF ,理由如下:过点B 作BG ∥AC 交CF 的延长线于G ,则∠ACB +∠CBG =180°,∴∠CBG =∠ACD =90°,在△ACD 和△CBG 中,∵CAD BCF AC BC ACD CBG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△ACD ≌△CBG (ASA ),∴CD =BG ,AD =CG ,∵D 是BC 的中点,∴CD =BG =BD ,∵AC =BC ,∠ACB =90°,∴∠CBA =∠CAB ,∴∠CBA =45°,∴∠FBG =∠CBG ﹣∠CBA =90°﹣45°=45°,∴∠FBG =∠FBD ,在△BDF 和△BGF 中,BF BF FBD FBG BD BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△BGF (SAS ),∴DF =GF ,∵AD =CG =CF +FG ,∴AD =CF +DF .【点睛】本题主要考查余角的性质,全等三角形的判定和性质,添加合适的辅助线,构造全等三角形,是解题的关键.22.作图题:已知∠α,线段m 、n ,请按下列步骤完成作图(不需要写作法,保留作图痕迹)(1)作∠MON=∠α(2)在边OM上截取OA=m,在边ON上截取OB=n.(3)作直线AB.解析:(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析【分析】(1)先画一条射线ON,以∠α的顶点为圆心,任意长度为半径画弧,交∠α的两个边于两个点,这两个点的距离记为a,接着以点O为圆心,同样的长度为半径画弧,交ON于一个点,以这个点为圆心,a为半径画弧,与刚刚画的弧有一个交点,连接这个点和点O,得到射线OM,即可得到∠MON=∠α;(2)以点O为圆心,m为半径画弧,交OM于点A,以点O为圆心,n为半径画弧,交ON于点B;(3)连接AB,线段AB所在的直线即直线AB.【详解】解:(1)如图所示,(2)如图所示,(3)如图所示,【点睛】本题考查尺规作图,解题的关键是掌握作已知角度的方法,截取线段和画直线的方法. 23.如图,点A 、D 、B 、E 在一条直线上,BC 与DF 交于点G ,AD BE =,//BC EF ,BC EF =.求证:ABC DEF △≌△.解析:见解析【分析】由AD BE =,得AB=DE ,由//BC EF ,得ABC E ∠=∠,根据SAS 可证.【详解】证明:∵AD BE =,∴AD BD BE BD +=+,∴AB DE =,∵//BC EF ,∴ABC E ∠=∠,在ABC 和DEF 中,AB DE ABC E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()ABC DEF SAS ≌.【点睛】本题考查了用“边角边”定理判断两个三角形全等,解题关键是挖掘题目隐含的全等条件,根据判定定理证明.24.已知ACE △和DBF 中,AE FD =,//AE FD ,AB DC =,请判断CE 与BF 的位置关系,并说明理由.解析:见详解【分析】先证明ACE △≅DBF ,从而得∠DBF=∠ACE ,进而即可得到结论.【详解】∵AB DC =,∴+AB BC DC BC =+,即:AC=DB ,∵//AE FD ,∴∠A=∠D ,又∵AE FD =,∴ACE △≅DBF (SAS ),∴∠DBF=∠ACE ,∴CE ∥BF .【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质定理以及平行线的判定和性质定理,熟练掌握SAS 证明三角形全等,是解题的关键.25.如图,AB ⊥CB ,DC ⊥CB , E 、F 在 BC 上,AF=DE ,BE=CF ,求证:AB =DC .解析:见解析【分析】由BE =CF 得BF =CE ,由AB ⊥CB ,DC ⊥CB 得到∠ABF =∠DCE =90°,然后根据“HL ”可判断Rt ABF ≌Rt DCE ,则AB =DC 即可.【详解】证明:∵BE =CF ,∴BE +EF =CF +EF ,即BF =CE ,∵AB ⊥CB ,DC ⊥CB ,∴∠ABF =∠DCE =90°,∵在Rt ABF 和Rt DCE 中,AF DE BF CE =⎧⎨=⎩, ∴Rt ABF ≌Rt DCE (HL ),∴AB =DC .【点睛】本题考查了直角三角形的判定与性质:有一组直角边和斜边对应相等的两直角三角形全等;全等三角形的对应角相等,对应边相等.26.如图,点P 是锐角∠ABC 内一点,BP 平分∠ABC ,点M 在边BA 上,点N 在边BC 上,且PM =PN .求证:∠BMP +∠BNP =180°.解析:见解析【分析】过点P 作PE ⊥BA 于点E, 作PF ⊥BC 于点F ,根据角平分线性质定理可得PE =PF ,再由HL 可证Rt △MEP ≌Rt △NFP ,进而证得∠PME =∠PNF ,从而证得∠BMP +∠BNP =180°.【详解】证明:如图所示,过点P 作PE ⊥BA 于点E, 作PF ⊥BC 于点F ,∴∠MEP =∠NFP =90°.∵BP 平分∠ABC ,∴PE =PF .在Rt △MEP 与Rt △NFP 中,PE PF PM PN =⎧⎨=⎩, ∴Rt △MEP ≌Rt △NFP (HL ).∴∠PME =∠PNF .∵∠BMP+∠PME=180°,∴∠BMP+∠BNP=180°.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质,通过证明三角形全等得出对应角相等是解决问题的关键.27.小敏在学习了几何知识后,对角的知识产生了兴趣,进行了如下探究:(1)如图1,∠AOB=90°,在图中动手画图(不用写画法).在∠AOB内部任意画一条射线OC;画∠AOC的平分线OM,画∠BOC的平分线ON;用量角器量得∠MON=______.(2)如图2,∠AOB=90°,将OC向下旋转,使∠BOC=30°,仍然分别作∠AOC,∠BOC 的平分线OM,ON,能否求出∠MON的度数,若能,求出其值,若不能,试说明理由.解析:(1)作图见解析,45;(2)能,45【分析】(1)以点O为圆心,任意长为半径,画圆弧,并分别交OA、OC于点H、点G;再分别以点H、点G为圆心,以大于12HG的长度为半径画圆弧并相较于点P,过点P作射线OM即为∠AOC的平分线;同理得∠BOC的平分线ON;通过量角器测量即可得到∠MON;(2)根据题意,得114522COM AOC BOC∠=∠=+∠,12CON BOC∠=∠,结合MON COM CON∠=∠-∠,经计算即可得到答案.【详解】(1)作图如下用量角器量得:∠MON=45故答案为:45;(2)∵∠AOC ,∠BOC 的平分线OM ,ON ,且∠AOB =90° ∴()11145222COM AOC AOB BOC BOC ∠=∠=∠+∠=+∠ 12CON BOC ∠=∠ ∴11454522MON COM CON BOC BOC ∠=∠-∠=+∠-∠=. 【点睛】本题考查了角平分线、射线的知识;解题的关键是熟练掌握角平分线、角的运算的性质,从而完成求解.28.如图,在平面直角坐标系中,已知点()1,A a a b -+,(),0B a ,且()2320a b a b +-+-=,C 为x 轴上点B 右侧的动点,以AC 为腰作等腰三角形ACD ,使AD AC =,CAD OAB ∠=∠,直线DB 交y 轴于点P .(1)求证:AO AB =;(2)求证:AOC ABD ∆∆≌;(3)当点C 运动时,点P 在y 轴上的位置是否发生改变,为什么?解析:(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)不变,理由见解析.【分析】(1)先根据非负数的性质求出a 、b 的值,作AE ⊥OB 于点E ,由SAS 定理得出△AEO ≌△AEB ,根据全等三角形的性质即可得出结论;(2)先根据∠CAD=∠OAB ,得出∠OAC=∠BAD ,再由SAS 定理即可得出结论; (3)设∠AOB=∠ABO=α,由全等三角形的性质可得出∠ABD=∠AOB=α,故∠OBP=180°-∠ABO-∠ABD=180°-2α为定值,再由OB=2,∠POB=90°可知OP 的长度不变,故可得出结论.【详解】(1)证明:∵()2320a b a b +-+-=,∴30,20,a b a b +-=⎧⎨-=⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩∴()1,3A ,()2,0B .作AE OB ⊥于点E ,∵()1,3A ,()2,0B ,∴1OE =,211BE =-=,在AEO ∆与AEB ∆中,∵,90,,AE AE AEO AEB OE BE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴AEO AEB ∆∆≌,∴OA AB =.(2)证明:∵CAD OAB ∠=∠,∴CAD BAC OAB BAC ∠+=∠+∠∠,即OAC BAD ∠=∠.在AOC ∆与ABD ∆中,∵,,,OA AB OAC BAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOC ABD ∆∆≌.(3)解:点P 在y 轴上的位置不发生改变.理由:设AOB α∠=. ∵OA AB =,∴AOB ABO α∠=∠=.由(2)知,AOC ABD ∆∆≌,∴ABD AOB α∠=∠=.∵2OB =,1801802OBP ABO ABD α∠=︒-∠-∠=︒-为定值,90POB ∠=︒,易知POB ∆形状、大小确定,∴OP 长度不变,∴点P 在y 轴上的位置不发生改变.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,熟知全等三角形的判定定理是解题的关键.。

人教版数学八年级上册 全册全套试卷中考真题汇编[解析版]

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人教版数学八年级上册全册全套试卷中考真题汇编[解析版]一、八年级数学三角形填空题(难)1.已知三角形的两边的长分别为2cm和8cm,设第三边中线的长为x cm,则x的取值范围是_______【答案】3<x<5【解析】【分析】延长AD至M使DM=AD,连接CM,先说明△ABD≌△CDM,得到CM=AB=8,再求出2AD的范围,最后求出AD的范围.【详解】解:如图:AB=8,AC=2,延长AD至M使DM=AD,连接CM在△ABD和△CDM中,AD MDADB MDCBD CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD≌△MCD(SAS),∴CM=AB=8.在△ACM中:8-2<2x<8+2,解得:3<x<5.故答案为:3<x<5.【点睛】本题考查了三角形的三边关系,解答的关键在于画出图形,数形结合完成解答.2.如图,1BA和1CA分别是ABC∆的内角平分线和外角平分线,2BA是1A BD∠的角平分线,2CA是1A CD∠的角平分线,3BA是2A BD∠的角平分线,3CA是2A CD∠的角平分线,若1Aα∠=,则2018A∠=_____________【答案】20172α【解析】【分析】 根据角平分线的定义可得∠A 1BC=12∠ABC ,∠A 1CD=12∠ACD ,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC ,∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1,整理即可得解,同理求出∠A 2,可以发现后一个角等于前一个角的12,根据此规律即可得解. 【详解】∵A 1B 是∠ABC 的平分线,A 1C 是∠ACD 的平分线,∴∠A 1BC=12∠ABC ,∠A 1CD=12∠ACD , 又∵∠ACD=∠A+∠ABC,∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1,∴12(∠A+∠ABC )=12∠ABC+∠A 1, ∴∠A 1=12∠A , ∵∠A 1=α.同理理可得∠A 2=12∠A 1=12α,∠A 3=12∠A 2=212α, ……, ∴∠A 2018=20172α, 故答案为20172α.【点睛】本题主要考查的是三角形内角和定理,熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,角平分线的定义是解题的关键.3.一个正多边形的每个外角为60°,那么这个正多边形的内角和是_____.【答案】720°.【解析】【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数,然后再根据内角和公式进行求解即可.【详解】这个正多边形的边数为36060︒︒=6,所以这个正多边形的内角和=(6﹣2)×180°=720°,故答案为720°.【点睛】本题考查了多边形内角与外角:内角和定理:(n﹣2)•180 (n≥3)且n为整数);多边形的外角和等于360度.4.一机器人以0.3m/s的速度在平地上按下图中的步骤行走,那么该机器人从开始到停止所需时间为__s.【答案】160.【解析】试题分析:该机器人所经过的路径是一个正多边形,利用360°除以45°,即可求得正多边形的边数,即可求得周长,利用周长除以速度即可求得所需时间.试题解析:360÷45=8,则所走的路程是:6×8=48m,则所用时间是:48÷0.3=160s.考点:多边形内角与外角.5.如图,将一张三角形纸片 ABC 的一角折叠,使点 A 落在△ABC 外的 A'处,折痕为DE.如果∠A=α,∠CEA′=β,∠BDA'=γ,那么α,β,γ 三个角的数量关系是__________ .【答案】γ=2α+β.【解析】【分析】根据三角形的外角得:∠BDA'=∠A+∠AFD,∠AFD=∠A'+∠CEA',代入已知可得结论.【详解】由折叠得:∠A=∠A',∵∠BDA'=∠A+∠AFD,∠AFD=∠A'+∠CEA',∵∠A=α,∠CEA′=β,∠BDA'=γ,∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β,故答案为:γ=2α+β.【点睛】此题考查三角形外角的性质,熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键.6.如图,小新从A点出发,沿直线前进50米后向左转30°,再沿直线前进50米,又向左转30°,…照这样下去,小新第一次回到出发地A点时,一共走了__米.【答案】600【解析】【分析】【详解】解:根据题意可知:小新从A点出发,沿直线前进50米后向左转30º,再沿直线前进50米,又向左转30º,……照这样下去,小新第一次回到出发地A点时,小新走的路线围成一个正多边形,且这个多边形的外角等于30º,所以这个正多边形的边数是12,小新一共走了12×50=600米,故答案为:600.二、八年级数学三角形选择题(难)7.如图,∠ABC =∠ACB ,BD 、CD 分别平分△ABC 的内角∠ABC 、外角∠ACP ,BE平分外角∠MBC 交 DC 的延长线于点 E ,以下结论:①∠BDE =12∠BAC ;② DB⊥BE ;③∠BDC +∠ACB= 90︒;④∠BAC + 2∠BEC = 180︒ .其中正确的结论有()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个【答案】D【解析】【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、判断即可.【详解】① ∵BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP,∴∠ACP=2∠DCP,∠ABC=2∠DBC,又∵∠ACP=∠BAC+∠ABC,∠DCP=∠DBC+∠BDC,∴∠BAC=2∠BDE,∴∠BDE =12∠BAC∴①正确;②∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC,∴∠DBE=∠DBC+∠EBC=12∠ABC+12∠MBC=12×180°=90°,∴EB⊥DB,故②正确,③∵∠DCP=∠BDC+∠CBD,2∠DCP=∠BAC+2∠DBC,∴2(∠BDC+∠CBD)=∠BAC+2∠DBC,∴∠BDC=12∠BAC,∵∠BAC+2∠ACB=180°,∴12∠BAC+∠ACB=90°,∴∠BDC+∠ACB=90°,故③正确,④∵∠BEC=180°−12(∠MBC+∠NCB)=180°−12(∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC)=180°−12(180°+∠BAC)∴∠BEC=90°−12∠BAC,∴∠BAC+2∠BEC=180°,故④正确,即正确的有4个,故选D【点睛】此题考查三角形的外角性质,平行线的判定与性质,三角形内角和定理,解题关键在于掌握各性质定理8.已知三角形的三边长分别为2,a-1,4,则化简|a-3|+|a-7|的结果为()A.2a-10B.10-2aC.4D.-4【答案】C【解析】试题分析:已知三角形的三边长分别为2,a-1,4,则根据三角形的三边关系:可得:a-1>4-2,a-1<2+4即a>3,a<7.所以a-3>0,a-7<0. |a-3|+|a-7|=a-3+(7-a)=4.故选C点睛:本题主要考查考生三角形的三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。

部编数学八年级上册专题04全等三角形性质问题(解析版)含答案

部编数学八年级上册专题04全等三角形性质问题(解析版)含答案

2023--2024学年度人教版数学八年级上册期末复习核心考点三种题型精炼专题04 全等三角形性质问题一、选择题1. (2023浙江台州)如图,锐角三角形ABC 中,AB AC =,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,连接BE ,CD .下列命题中,假命题是( )A. 若CD BE =,则DCB EBCÐ=Ð B. 若DCB EBC Ð=Ð,则CD BE =C. 若BD CE =,则DCB EBCÐ=Ð D. 若DCB EBC Ð=Ð,则BD CE=【答案】A 【解析】【分析】由AB AC =,可得A ABC CB =Ð∠,再由CD BE BC CB ==,,由SSA 无法证明BCD V 与CBE V 全等,从而无法得到DCB EBC Ð=Ð;证明ABE ACD @V V 可得CD BE =;证明ABE ACD @V V ,可得ACD ABE Ð=Ð,即可证明;证明()DBC ECB ASA @V V ,即可得出结论.【详解】∵AB AC =,∴A ABC CB =Ð∠,∵若CD BE =,又BC CB =,∴BCD V 与CBE V 满足“SSA ”的关系,无法证明全等,因此无法得出DCB EBC Ð=Ð,故A 是假命题,∵若DCB EBC Ð=Ð,∴ACD ABE Ð=Ð,在ABE V 和ACD V 中,ACD ABE AB ACA A Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî,∴()ABE ACD ASA @V V ,∴CD BE =,故B 是真命题;若BD CE =,则AD AE =,在ABE V 和ACD V 中,AB AC A A AE AD =ìïÐ=Ðíï=î,∴()ABE ACD SAS @V V ,∴ACD ABE Ð=Ð,∵A ABC CB =Ð∠,∴DCB EBC Ð=Ð,故C 是真命题;若DCB EBC Ð=Ð,则在DBC △和ECB V 中,ABC ACB BC BCDCB EBC Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî,∴()DBC ECB ASA @V V ,∴BD CE =,故D 真命题;故选:A .【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫假命题,判断命题的真假关键是掌握相关性质定理.2. (2023山东济宁)如图,在正方形方格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,点A B C D E ,,,,均在小正方形方格的顶点上,线段,AB CD 交于点F ,若CFB a Ð=,则ABE Ð等于( )A. 180a°- B. 1802a °- C. 90a °+ D. 902a°+【答案】C是【解析】根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解.如图,由图可知:1,4GD EH CG BH ====,90CGD BHE Ð=Ð=°,∴()SAS CGD BHE V V ≌,∴GCD HBE Ð=Ð,∵CG BD ∥,∴CAB ABD Ð=Ð,∵CFB CAB GCD a Ð=Ð+Ð=,∴ABD HBE a =Ð+Ð,∴90ABE ABD DBH HBE a Ð=Ð+Ð+Ð=°+;故选C .【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定,熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键.3.已知,如图,△ABC ≌△DEF ,AC ∥DF ,BC ∥EF .则不正确的等式是( )A .AC=DFB .AD=BEC .DF=EFD .BC=EF【答案】C .【解析】A .∵△ABC ≌△DEF ,∴AC=DF ,故此结论正确;B .∵△ABC ≌△DEF ,∴AB=DE ;∵DB 是公共边,∴AB ﹣BD=DE ﹣BD ,即AD=BE ;故此结论正确;C .∵△ABC ≌△DEF ,∴AC=DF ,故此结论DF=EF 错误;D .∵△ABC ≌△DEF ,∴BC=EF ,故此结论正确。

数学八年级上册 全等三角形中考真题汇编[解析版]

数学八年级上册 全等三角形中考真题汇编[解析版]

数学八年级上册 全等三角形中考真题汇编[解析版]一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)1.如图,在长方形ABCD 的边AD 上找一点P ,使得点P 到B 、C 两点的距离之和最短,则点P 的位置应该在_____.【答案】AD 的中点【解析】【分析】【详解】分析:过AD 作C 点的对称点C′,根据轴对称的性质或线段垂直平分线的性质得出AC=PC′,从而根据两点之间线段最短,得出这时的P 点使BP+PC 的之最短.详解:如图,过AD 作C 点的对称点C′,根据轴对称的性质可得:PC=PC′,CD=C′D∵四边形ABCD 是矩形∴AB=CD∴△ABP ≌△DC′P∴AP=PD即P 为AD 的中点.故答案为P 为AB 的中点.点睛:本题考查了轴对称-最短路线问题,矩形的性质,两点之间线段最短的性质.得出动点P 所在的位置是解题的关键.2.如图,ABC ∆中,90BAC ∠=︒,AD BC ⊥,ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ,AG 平分DAC ∠.给出下列结论:①BAD C ∠=∠;②EBC C ∠=∠;③AE AF =;④//FG AC ;⑤EF FG =.其中正确的结论是______.【答案】①③④【解析】【分析】①根据等角的余角相等即可得到结果,故①正确;②如果∠EBC=∠C,则∠C=12∠ABC,由于∠BAC=90°,那么∠C=30°,但∠C不一定等于30°,故②错误;③由BE、AG分别是∠ABC、∠DAC的平分线,得到∠ABF=∠EBD.由于∠AFE=∠BAD+∠FBA,∠AEB=∠C+∠EBD,得到∠AFE=∠AEB,可得③正确;④连接EG,先证明△ABN≌△GBN,得到AN=GN,证出△ANE≌△GNF,得∠NAE=∠NGF,进而得到GF∥AE,故④正确;⑤由AE=AF,AE=FG,而△AEF不一定是等边三角形,得到EF不一定等于AE,于是EF不一定等于FG,故⑤错误.【详解】∵∠BAC=90°,AD⊥BC,∴∠C+∠ABC=90°,∠C+∠DAC=90°,∠ABC+∠BAD=90°,∴∠ABC=∠DAC,∠BAD=∠C,故①正确;若∠EBC=∠C,则∠C=12∠ABC,∵∠BAC=90°,那么∠C=30°,但∠C不一定等于30°,故②错误;∵BE、AG分别是∠ABC、∠DAC的平分线,∴∠ABF=∠EBD,∵∠AFE=∠BAD+∠ABF,∠AEB=∠C+∠EBD,又∵∠BAD=∠C,∴∠AFE=∠AEF,∴AF=AE,故③正确;∵AG是∠DAC的平分线,AF=AE,∴AN⊥BE,FN=EN,在△ABN与△GBN中,∵90ABN GBNBN BNANB GNB∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩,∴△ABN≌△GBN(ASA),∴AN=GN,又∵FN=EN,∠ANE=∠GNF,∴△ANE≌△GNF(SAS),∴∠NAE=∠NGF,∴GF∥AE,即GF∥AC,故④正确;∵AE=AF,AE=FG,而△AEF不一定是等边三角形,∴EF不一定等于AE,∴EF不一定等于FG,故⑤错误.故答案为:①③④.【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理,全等三角形的判定和性质定理,直角三角形的性质定理,掌握掌握上述定理,是解题的关键.3.在锐角三角形ABC中.BC=32,∠ABC=45°,BD平分∠ABC.若M,N分别是边BD,BC上的动点,则CM+MN的最小值是____.【答案】4【解析】【分析】过点C作CE⊥AB于点E,交BD于点M′,过点M′作M′N′⊥BC于N′,则CE即为CM+MN 的最小值,再根据32ABC=45°,BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直角三角形,由锐角三角函数的定义即可求出CE的长.【详解】解:过点C作CE⊥AB于点E,交BD于点M′,过点M′作M′N′⊥BC于N′,则CE即为CM+MN的最小值,∵32ABC=45°,BD平分∠ABC,∴△BCE是等腰直角三角形,∴CE=BC•cos45°=32×22=4.∴CM+MN的最小值为4.【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题,难度较大,根据题意作出辅助线,构造出等腰直角三角形,利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键.4.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以点A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和N,再分别以点M,N为圆心,大于12MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D,则下列说法:①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的垂直平分线上;④S△DAC:S△ABC=1:3.其中正确的是__________________.(填所有正确说法的序号)【答案】4【解析】【分析】①连接NP,MP,根据SSS定理可得△ANP≌△AMP,故可得出结论;②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数,再由AD是∠BAC的平分线得出∠1=∠2=30°,根据直角三角形的性质可知∠ADC=60°;③根据∠1=∠B可知AD=BD,故可得出结论;④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°,CD=12AD,再由三角形的面积公式即可得出结论.【详解】①连接NP,MP.在△ANP与△AMP中,∵AN AMNP MPAP AP=⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴△ANP≌△AMP,则∠CAD =∠BAD ,故AD 是∠BAC 的平分线,故此选项正确;②∵在△ABC 中,∠C =90°,∠B =30°,∴∠CAB =60°.∵AD 是∠BAC 的平分线,∴∠1=∠2=12∠CAB =30°,∴∠3=90°﹣∠2=60°,∴∠ADC =60°,故此选项正确;③∵∠1=∠B =30°,∴AD =BD ,∴点D 在AB 的中垂线上,故此选项正确;④∵在Rt △ACD中,∠2=30°,∴CD =12AD ,∴BC =BD +CD =AD +12AD =32AD ,S △DAC =12AC •CD =14AC •AD ,∴S △ABC=12AC •BC =12AC •32AD =34AC •AD ,∴S △DAC :S △ABC =1:3,故此选项正确. 故答案为①②③④.【点睛】本题考查的是作图﹣基本作图,熟知角平分线的作法是解答此题的关键.5.如图,在直角坐标系中,点()8,8B -,点()2,0C -,若动点P 从坐标原点出发,沿y 轴正方向匀速运动,运动速度为1/cm s ,设点P 运动时间为t 秒,当BCP ∆是以BC 为腰的等腰三角形时,直接写出t 的所有值__________________.【答案】2秒或6秒或14秒【解析】【分析】分两种情况:PC 为腰或BP 为腰.分别作出符合条件的图形,计算出OP 的长度,即可求出t 的值.【详解】解:如图所示,过点B 作BD ⊥x 轴于点D ,作BE ⊥y 轴于点E ,分别以点B 和点C 为圆心,以BC 长为半径画弧交y 轴正半轴于点F ,点H 和点G∵点B (-8,8),点C (-2,0),∴DC=6cm ,BD=8cm ,由勾股定理得:BC=10cm∴在直角三角形COG 中,OC=2cm ,CG=BC=10cm ,∴OP=OG= 2210246(cm)-=,当点P 运动到点F 或点H 时,BE=8cm ,BH=BF=10cm ,∴EF=EH=6cm∴OP=OF=8-6=2(cm )或OP=OH=8+6=14(cm ),故答案为:2秒,46秒或14秒.【点睛】本题综合考查了勾股定理和等腰三角形在平面直角坐标系中的应用,通过作图找出要求的点的位置,利用勾股定理来求解是本题的关键.6.如图,在等腰直角三角形ABC 中,90ACB ∠=︒,4AC BC ==,D 为BC 中点,E 为AC 边上一动点,连接DE ,以DE 为边并在DE 的右侧作等边DEF ∆,连接BF ,则BF 的最小值为______.【答案】3【解析】【分析】由60°联想旋转全等,转换动长为定点到定线的长,构建等边三角形BDG ,利用△BDF ≌△GDE ,转换BF=GE ,然后即可求得其最小值.【详解】以BD为边作等边三角形BDG,连接GE,如图所示:∵等边三角形BDG,等边三角形DEF∴∠BDG=∠EDF=60°,BD=GD=BG,DE=DF=EF∴∠BDG+∠GFD=∠EDF+∠GFD,即∠BDF=∠GDE∴△BDF≌△GDE(SAS)∴BF=GE当GE⊥AC时,GE有最小值,如图所示GE′,作DH⊥GE′∴BF=GE=CD+12DG=2+1=3故答案为:3.【点睛】此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质,解题关键是由60°联想旋转全等,转换动长为定点到定线的长.7.如图,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC内的两点,AE平分∠BAC,∠D=∠DBC=60°,若BD=5cm,DE=3cm,则BC的长是 ______cm.【答案】8.【解析】【分析】作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM为等边三角形,△EFD为等边三角形,从而得出BN的长,进而求出答案.【详解】解:延长DE交BC于M,延长AE交BC于N,作EF∥BC于F,∵AB=AC,AE平分∠BAC,∴AN ⊥BC ,BN=CN ,∵∠DBC=∠D=60°,∴△BDM 为等边三角形,∴△EFD 为等边三角形,∵BD=5,DE=3,∴EM=2,∵△BDM 为等边三角形, ∴∠DMB=60°,∵AN ⊥BC ,∴∠ENM=90°,∴∠NEM=30°,∴NM=1,∴BN=4,∴BC=2BN=8(cm ),故答案为8.【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.8.如图,30AOB ∠=︒,P 是AOB ∠内一点,10PO =.若Q 、R 分别是边OA 、OB 上的动点,则PQR ∆周长的最小值为_______.【答案】10【解析】【分析】作点P 关于OB 的对称点P′,点P 关于OA 的对称点P″,连接P′P″交OB 于R ,交OA 于Q ,连接PR 、PQ ,如图3,利用对称的性质得到△PQR 周长=P′P″,根据两点之间线段最短可判断此时△PQR周长最小,最小值为P′P″的长,再证明△P′OP″为等边三角形得到P′P″=OP′=OP=10,从而得到△PQR周长的最小值【详解】解:作点P关于OB的对称点P′,点P关于OA的对称点P″,连接P′P″交OB于R,交OA于Q,连接PR、PQ,如图3,则OP=OP′,OP=OP″,RP=RP′,QP=QP″,∴△PQR周长=PR+RQ+PQ=RP′+RQ+QP″=P′P″,∴此时△PQR周长最小,最小值为P′P″的长,∵由对称性可知OP=OP′,OP=OP″,PP′⊥OB,PP″⊥OA,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠P′OP″=∠1+∠2+∠3+∠4=2∠2+2∠3=2∠BOA=60°,∴△P′OP″为等边三角形,∴P′P″=OP′=OP=10,故答案是:10.【点睛】本题考查了几何变换综合题:熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质;会利用两点之间线段最短解决最短路径问题.9.如图,在边长为6的菱形ABCD中,∠DAB=60°,E是AB的中点,F是AC上一个动点,则EF+BF的最小值是________ .【答案】33【解析】试题解析:∵在菱形ABCD中,AC与BD互相垂直平分,∴点B、D关于AC对称,连接ED,则ED就是所求的EF+BF的最小值的线段,∵E 为AB 的中点,∠DAB=60°,∴DE ⊥AB ,∴ED=22AD AE -=2263-=33,∴EF+BF 的最小值为33.10.如图,在△ABC 中,AD 是高,DE 是 AC 的垂直平分线,AE=4cm ,△ABD 的周长为 15cm , 则△ABC 的周长为______【答案】23cm .【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AC=2AE=8,DA=DC ,根据三角形的周长公式计算即可.【详解】解:∵DE 是AC 的垂直平分线,∴AC=2AE=8,DA=DC ,∵△ABD 的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=15,∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=15+8=23cm ,故答案是:23cm .【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质,掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.二、八年级数学轴对称三角形选择题(难)11.如图所示,OP 平分AOB ∠,PA OA ⊥,PB OB ⊥,垂足分别为A 、B .下列结论中不一定成立的是( ).A .PA PB =B .PO 平分APB ∠C .OA OB =D .AB 垂直平分OP【答案】D【解析】【分析】 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得出PA=PB ,再利用“HL ”证明△AOP 和△BOP 全等,可得出APO BPO ∠=∠,OA=OB ,即可得出答案.【详解】解:∵OP 平分AOB ∠,PA OA ⊥,PB OB ⊥∴PA PB =,选项A 正确;在△AOP 和△BOP 中,PO PO PA PB =⎧⎨=⎩, ∴AOP BOP ≅∴APO BPO ∠=∠,OA=OB ,选项B ,C 正确;由等腰三角形三线合一的性质,OP 垂直平分AB ,AB 不一定垂直平分OP ,选项D 错误. 故选:D .【点睛】本题考查的知识点是角平分线的性质以及垂直平分线的性质,熟记性质定理是解此题的关键.12.如图,在射线OA ,OB 上分别截取11OA OB =,连接11A B ,在11B A ,1B B 上分别截取1212B A B B =,连接22A B ,按此规律作下去,若11A B O α∠=,则1010A B O ∠=( )A .102aB .92aC .20aD .18a 【答案】B【分析】 根据等腰三角形两底角相等用α表示出22A B O ∠,依此类推即可得到结论.【详解】解:1212B A B B =,11A B O α∠=,2212A B O α∴∠=, 同理332111222A B O αα∠=⨯=, 44312A B O α∠=, 112n n n A B O α-∴∠=, 101092A B O α∴∠=,故选:B .【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质,图形的变化规律,依次求出相邻的两个角的差,得到分母成2的指数次幂变化,分子不变的规律是解题的关键.13.如图,坐标平面内一点A(2,-1),O 为原点,P 是x 轴上的一个动点,如果以点P 、O 、A 为顶点的三角形是等腰三角形,那么符合条件的动点P 的个数为( )A .2B .3C .4D .5【答案】C【解析】 以O 点为圆心,OA 为半径作圆与x 轴有两交点,这两点显然符合题意.以A 点为圆心,OA 为半径作圆与x 轴交与两点(O 点除外).以OA 中点为圆心OA 长一半为半径作圆与x 轴有一交点.共4个点符合,14.平面直角坐标系中,已知A (2,0),B (0,2)若在坐标轴上取C 点,使△ABC 为等腰三角形,则满足条件的点C 的个数是( )A .4B .6C .7D .8【答案】C【解析】【分析】解:如图,①以A为圆心,AB为半径画圆,交坐标轴于点B,C1,C2,C5,得到以A为顶点的等腰△ABC1,△ABC2,△ABC5;②以B为圆心,AB为半径画圆,交坐标轴于点A,C3,C6,C7,得到以B为顶点的等腰△BAC3,△BAC6,△BAC7;③作AB的垂直平分线,交x轴于点C4,得到以C为顶点的等腰△C4AB∴符合条件的点C共7个故选C15.如图,AB⊥AC,CD、BE分别是△ABC的角平分线,AG∥BC,AG⊥BG,下列结论:①∠BAG=2∠ABF;②BA平分∠CBG;③∠ABG=∠ACB;④∠CFB=135°,其中正确的结论有()个A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由已知条件可知∠ABC+∠ACB=90°,又因为CD、BE分别是△ABC的角平分线,所以得到∠FBC+∠FCB=45°,所以求出∠CFB=135°;有平行线的性质可得到:∠ABG=∠ACB,∠BAG=2∠ABF.所以可知选项①③④正确.【详解】∵AB⊥AC.∴∠BAC =90°,∵∠BAC+∠ABC+∠ACB =180°,∴∠ABC+∠ACB =90°∵CD 、BE 分别是△ABC 的角平分线,∴2∠FBC+2∠FCB =90°∴∠FBC+∠FCB =45°∴∠BFC =135°故④正确.∵AG ∥BC ,∴∠BAG =∠ABC∵∠ABC =2∠ABF∴∠BAG =2∠ABF 故①正确.∵AB ⊥AC ,∴∠ABC+∠ACB =90°,∵AG ⊥BG ,∴∠ABG+∠GAB =90°∵∠BAG =∠ABC ,∴∠ABG =∠ACB 故③正确.故选C .【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质,平行线的性质.掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键.16.如图所示,把多块大小不同的30角三角板,摆放在平面直角坐标系中,第一块三角板AOB 的一条直角边与x 轴重合且点A 的坐标为()2,0,30ABO ∠=︒,第二块三角板的斜边1BB 与第一块三角板的斜边AB 垂直且交x 轴于点1B ,第三块三角板的斜边12B B 与第二块三角板的斜边1BB 垂直且交y 轴于点2B ,第四块三角板斜边23B B 与第三块三角板的斜边12B B 垂直且交x 轴于点3B ,按此规律继续下去,则点2018B 的坐标为( )A .()20182(3),0-⨯ B .()20180,2(3)-⨯ C .()20192(3),0⨯ D .()20190,2(3)-⨯ 【答案】D【解析】【分析】 计算出OB 、OB 1、 OB 2的长度,根据题意和图象可以发现题目中的变化规律,从而可以求得点B 2018的坐标. 【详解】 解:由题意可得,OB = 2242-= 23,OB 1= 3 OB= 233⨯ = 22(3)⨯,OB 2= 3 OB 1= 32(3)⨯,…∵2018÷4=504…2,∴点B 2018在y 轴的负半轴上,∴点B 2018的坐标为()20190,2(3)-⨯.故答案为:D .【点睛】本题考查规律型:点的坐标规律及含30度角的直角三角形的性质,解答本题的关键是明确题意,找出题目中坐标的变化规律,求出相应的点的坐标.17.如图,在四边形ABCD 中,AB AC =,60ABD ∠=,75ADB ∠=,30BDC ∠=,则DBC ∠=( )°A .15B .18C .20D .25【答案】A【解析】【分析】 延长BD 到M 使得DM =DC ,由△ADM ≌△ADC ,得AM =AC =AB ,得△AMB 是等边三角形,得∠ACD =∠M =60°,再求出∠BAO 即可解决问题.【详解】如图,延长BD 到M 使得DM =DC.∵∠ADB =75°,∴∠ADM =180°﹣∠ADB =105°.∵∠ADB =75°,∠BDC =30°,∴∠ADC =∠ADB +∠BDC =105°,∴∠ADM =∠ADC.在△ADM 和△ADC 中,∵AD ADADM ADCDM DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADM≌△ADC,∴AM=AC.∵AC=AB,∴AM=AC=AB,∠ABC=∠ACB.∵∠ABD=60°,∴△AMB是等边三角形,∴∠M=∠DCA=60°.∵∠DOC=∠AOB,∠DCO=∠ABO=60°,∴∠BAO=∠ODC=30°.∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°,∴30°+2(60°+∠CBD)=180°,∴∠CBD=15°.故选:A.【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识,解决问题的关键是添加辅助线构造全等三角形,题目有一定难度.18.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,在直线AC上取一点P,使得△PAB为等腰三角形,则符合条件的点P共有()A.6个B.5个C.4个D.3个【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的判定定理即可得到结论.【详解】解:根据题意,∵△PAB为等腰三角形,∴可分为:PA=PB,PA=AB,PB=AB三种情况,如图所示:∴符合条件的点P共有4个;故选择:C.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题,其关键是根据等腰三角形的判定定理解答.19.如图,∠AOB=30º,∠AOB 内有一定点P,且OP=12,在OA 上有一动点Q,OB 上有一动点R。

八年级上册数学 【几何模型三角形轴对称】试卷中考真题汇编[解析版]

八年级上册数学 【几何模型三角形轴对称】试卷中考真题汇编[解析版]

八年级上册数学【几何模型三角形轴对称】试卷中考真题汇编[解析版]一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)1.如图,已知△ABC中,AB=AC=20cm,BC=16cm,点D为AB的中点.(1)如果点P在线段BC上以6cm/s的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由C向A点运动.①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?【答案】(1)①△BPD≌△CQP,理由见解析;②V7.5Q(厘米/秒);(2)点P、Q在AB边上相遇,即经过了803秒,点P与点Q第一次在AB边上相遇.【解析】【分析】(1)①先求出t=1时BP=BQ=6,再求出PC=10=BD,再根据∠B=∠C证得△BPD≌△CQP;②根据V P≠V Q,使△BPD与△CQP全等,所以CQ=BD=10,再利用点P的时间即可得到点Q的运动速度;(2)根据V Q>V P,只能是点Q追上点P,即点Q比点P多走AB+AC的路程,设运动x秒,即可列出方程1562202x x,解方程即可得到结果.【详解】(1)①因为t=1(秒),所以BP=CQ=6(厘米)∵AB=20,D为AB中点,∴BD=10(厘米)又∵PC=BC﹣BP=16﹣6=10(厘米)∴PC=BD∵AB=AC,∴∠B=∠C,在△BPD与△CQP中,BP CQ B C PC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△BPD ≌△CQP (SAS ),②因为V P ≠V Q ,所以BP ≠CQ ,又因为∠B =∠C ,要使△BPD 与△CQP 全等,只能BP =CP =8,即△BPD ≌△CPQ ,故CQ =BD =10.所以点P 、Q 的运动时间84663BP t (秒), 此时107.543Q CQ V t (厘米/秒).(2)因为V Q >V P ,只能是点Q 追上点P ,即点Q 比点P 多走AB +AC 的路程设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇,依题意得1562202x x , 解得x=803(秒) 此时P 运动了8061603(厘米) 又因为△ABC 的周长为56厘米,160=56×2+48, 所以点P 、Q 在AB 边上相遇,即经过了803秒,点P 与点Q 第一次在AB 边上相遇. 【点睛】此题考查三角形全等的证明,三角形与动点相结合的解题方法,再证明三角形全等时注意顶点的对应关系是证明的关键.2.(1)如图1:在四边形ABCD 中,AB =AD ,∠BAD =120°,∠B =∠ADC =90°.E ,F 分别是BC ,CD 上的点.且∠EAF =60°.探究图中线段EF ,BE ,FD 之间的数量关系.小明同学探究的方法是:延长FD 到点G .使DG =BE .连结AG ,先证明△ABE ≌△ADG ,再证明△AEF ≌△AGF ,可得出结论,他的结论是 (直接写结论,不需证明);(2)如图2,若在四边形ABCD 中,AB =AD ,∠B +∠D =180°,E 、F 分别是BC ,CD 上的点,且∠EAF 是∠BAD 的二分之一,上述结论是否仍然成立,并说明理由.(3)如图3,四边形ABCD 是边长为5的正方形,∠EBF =45°,直接写出三角形DEF 的周长.【答案】(1)EF=BE+DF.(2)成立,理由见解析;(3)10.【解析】【分析】(1)如图1,延长FD到G,使得DG=DC,先证△ABE≌△ADG,得到AE=AG,∠BAE=∠DAG,进一步根据题意得∠EAF=∠GAF,再证明△AEF≌△AGF,得到EF=FG,最后运用线段的和差证明即可.(2)如图2,延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,证得△ABE≌△ADG,得到AE=AG,∠BAE=∠DAG,再结合题意得到∠EAF=∠GAF,再证明△AEF≌△AGF,得到EF=FG,最后运用线段的和差证明即可.(3)如图3,延长DC到点G,截取CG=AE,连接BG,先证△AEB≌△CGB,得到BE=BG,∠ABE=∠CBG,结合已知条件得∴∠CBF+∠CBG=45°,再证明△EBF≌△GBF,得到EF=FG,最后求三角形的周长即可.【详解】解答:(1)解:如图1,延长FD到G,使得DG=DC在△ABE和△ADG中,∵DC DGB ADG AB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE≌△ADG(SAS),∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,∵∠EAF=12∠BAD,∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,∴∠EAF=∠GAF,在△AEF和△GAF中,∵EAF GAFAF AF⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AEF≌△AGF(SAS),∴EF=FG,∵FG=DG+DF=BE+DF,∴EF=BE+DF;故答案为:EF=BE+DF.(2)解:结论EF=BE+DF仍然成立;理由:如图2,延长FD到点G.使DG=BE.连结AG在△ABE和△ADG中,∵DG BEB ADGAB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABE≌△ADG(SAS),∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,∵∠EAF=12∠BAD,∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,∴∠EAF=∠GAF,在△AEF和△GAF中,∵AE AGEAF GAFAF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AEF≌△AGF(SAS),∴EF=FG,∵FG=DG+DF=BE+DF,∴EF=BE+DF;(3)解:如图3,延长DC到点G,截取CG=AE,连接BG,在△AEB与△CGB中,∵A BOG AF BF ⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AEB ≌△CGB (SAS ),∴BE =BG ,∠ABE =∠CBG .∵∠EBF =45°,∠ABC =90°,∴∠ABE +∠CBF =45°,∴∠CBF +∠CBG =45°.在△EBF 与△GBF 中,∵BE BG EBF GBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△EBF ≌△GBF (SAS ),∴EF =GF ,∴△DEF 的周长=EF +ED +CF =AE +CF +DE +DF =AD +CD =10.【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质,灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键.但本题分为三问,难度不断增加,对提升思维能力大有好处.3.(1)已知△ABC 是等腰三角形,其底边是BC,点D 在线段AB 上,E 是直线BC 上一点,且∠DEC=∠DCE,若∠A 等于60°(如图①).求证:EB=AD ;(2)若将(1)中的“点D 在线段AB 上”改为“点D 在线段AB 的延长线上”,其他条件不变(如图②),(1)的结论是否成立,并说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】试题分析:(1)作DF∥BC 交AC 于F ,由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC,∠AFD=∠ACB,∠FDC=∠DCE,证明△ABC 是等边三角形,得出∠ABC=∠ACB=60°,证出△ADF 是等边三角形,∠DFC=120°,得出AD=DF ,由已知条件得出∠FDC=∠DEC,ED=CD ,由AAS 证明△DBE≌△CFD,得出EB=DF ,即可得出结论;(2)作DF∥BC 交AC 的延长线于F ,同(1)证出△DBE≌△CFD,得出EB=DF ,即可得出结论.试题解析:(1)证明:如图,作DF ∥BC 交AC 于F ,则△ADF 为等边三角形∴AD=DF ,又∵ ∠DEC=∠DCB ,∠DEC+∠EDB=60°,∠DCB+∠DCF=60° ,∴ ∠EDB=∠DCA ,DE=CD ,在△DEB 和△CDF 中,120EBD DFC EDB DCF DE CD ,,∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEB ≌△CDF ,∴BD=DF ,∴BE=AD .(2). EB=AD 成立;理由如下:作DF ∥BC 交AC 的延长线于F ,如图所示:同(1)得:AD=DF ,∠FDC=∠ECD ,∠FDC=∠DEC ,ED=CD ,又∵∠DBE=∠DFC=60°,∴△DBE ≌△CFD (AAS ),∴EB=DF ,∴EB=AD.点睛:此题主要考查了三角形的综合,考查等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,平行线的性质等知识,综合性强,有一定的难度,证明三角形全等是解决问题的关键.4.(1)如图1,在Rt△ABC 中,AB AC=,D 、E是斜边BC上两动点,且∠DAE=45°,将△ABE绕点A逆时针旋转90后,得到△AFC,连接DF.(1)试说明:△AED≌△AFD;(2)当BE=3,CE=9时,求∠BCF的度数和DE的长;(3)如图2,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,D是斜边BC所在直线上一点,BD=3,BC=8,求DE2的长.【答案】(1)略(2)∠BCF=90° DE=5 (3)34或130【解析】试题分析:()1由ABE AFC≌,得到AE AF=,BAE CAF∠=∠,45,EAD∠=45,BAE CAD∴∠+∠=45,CAF CAD∴∠+∠=即45.DAF∠=EAD DAF∠=∠,从而得到.AED AFD≌()2由△AED AFD≌得到ED FD=,再证明90DCF∠=︒,利用勾股定理即可得出结论.()3过点A作AH BC⊥于H,根据等腰三角形三线合一得,14.2AH BH BC===1DH BH BD=-=或7,DH BH BD=+=求出AD的长,即可求得2DE.试题解析:()1ABE AFC≌,AE AF=,BAE CAF∠=∠,45,EAD∠=90,BAC∠=45,BAE CAD∴∠+∠=45,CAF CAD∴∠+∠=即45.DAF∠=在AED和AFD中,{AF AEEAF DAEAD AD,=∠=∠=.AED AFD∴≌()2AED AFD≌,ED FD∴=,,90.AB AC BAC =∠=︒45B ACB ∴∠=∠=︒,45ACF ,∠=︒ 90.BCF ∴∠=︒设.DE x =,9.DF DE x CD x ===- 3.FC BE ==222,FC DC DF +=()22239.x x ∴+-=解得: 5.x =故 5.DE = ()3过点A 作AH BC ⊥于H ,根据等腰三角形三线合一得,1 4.2AH BH BC === 1DH BH BD =-=或7,DH BH BD =+= 22217AD AH DH =+=或65.22234DE AD ==或130.点睛:D 是斜边BC 所在直线上一点,注意分类讨论.5.如图,△ABC 中,D 是BC 的中点,过D 点的直线GF 交AC 于F ,交AC 的平行线BG 于G 点,DE ⊥DF ,交AB 于点E ,连结EG 、EF .(1)求证:BG =CF ;(2)请你判断BE +CF 与EF 的大小关系,并说明理由.【答案】(1)详见解析;(2)BE +CF >EF ,证明详见解析【解析】【分析】(1)先利用ASA 判定△BGD ≅CFD ,从而得出BG=CF ;(2)利用全等的性质可得GD=FD ,再有DE ⊥GF ,从而得到EG=EF ,两边之和大于第三边从而得出BE+CF >EF .【详解】解:(1)∵BG ∥AC ,∴∠DBG =∠DCF .∵D 为BC 的中点,∴BD =CD又∵∠BDG =∠CDF ,在△BGD 与△CFD 中,∵DBG DCF BD CD BDG CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BGD ≌△CFD (ASA ).∴BG =CF .(2)BE +CF >EF .∵△BGD ≌△CFD ,∴GD =FD ,BG =CF .又∵DE ⊥FG ,∴EG =EF (垂直平分线到线段端点的距离相等).∴在△EBG 中,BE +BG >EG ,即BE +CF >EF .【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质,要注意判定三角形全等的一般方法有:SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL .6.如图①,在ABC 中,90BAC ∠=︒,AB AC =,AE 是过A 点的一条直线,且B 、C 在AE 的异侧,BD AE ⊥于D ,CE AE ⊥于E .(1)求证:BD DE CE =+.(2)若将直线AE 绕点A 旋转到图②的位置时(BD CE <),其余条件不变,问BD 与DE 、CE 的关系如何?请予以证明.【答案】(1)见解析;(2)BD=DE-CE ,理由见解析.【解析】【分析】(1)根据已知利用AAS 判定△ABD ≌△CAE 从而得到BD=AE ,AD=CE ,因为AE=AD+DE ,所以BD=DE+CE ;(2)根据已知利用AAS 判定△ABD ≌△CAE 从而得到BD=AE ,AD=CE ,因为AD+AE=BD+CE ,所以BD=DE-CE .【详解】解:(1)∵∠BAC=90°,BD ⊥AE ,CE ⊥AE ,∴∠BDA=∠AEC=90°,∵∠ABD+∠BAE=90°,∠CAE+∠BAE=90°∴∠ABD=∠CAE ,∵AB=AC ,在△ABD 和△CAE 中,BDA AEC ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAE (AAS ),∴BD=AE ,AD=CE ,∵AE=AD+DE ,∴BD=DE+CE ;(2)BD 与DE 、CE 的数量关系是BD=DE-CE ,理由如下:∵∠BAC=90°,BD ⊥AE ,CE ⊥AE ,∴∠BDA=∠AEC=90°,∴∠ABD+∠DAB=∠DAB+∠CAE ,∴∠ABD=∠CAE ,∵AB=AC ,在△ABD 和△CAE 中,BDA AEC ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAE (AAS ),∴BD=AE ,AD=CE ,∴AD+AE=BD+CE ,∵DE=BD+CE ,∴BD=DE-CE .【点睛】此题主要考查全等三角形的判定和性质,常用的判定方法有SSS ,SAS ,AAS ,HL 等.这种类型的题目经常考到,要注意掌握.7.如图1,在长方形ABCD 中,AB=CD=5 cm , BC=12 cm ,点P 从点B 出发,以2cm/s 的速度沿BC 向点C 运动,设点P 的运动时间为ts .(1)PC=___cm ;(用含t 的式子表示)(2)当t 为何值时,△ABP ≌△DCP ?.(3)如图2,当点P 从点B 开始运动,此时点Q 从点C 出发,以vcm/s 的速度沿CD 向点D 运动,是否存在这样的v 值,使得某时刻△ABP 与以P ,Q ,C 为顶点的直角三角形全等?若存在,请求出v 的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)()122t -;(2)3t =;(3)存在,2v =或53v =【解析】【分析】(1)根据P 点的运动速度可得BP 的长,再利用BC 的长减去BP 的长即可得到PC 的长; (2)先根据三角形全等的条件得出当BP=CP ,列方程求解即得;(3)先分两种情况:当BP=CQ ,AB=PC 时,△ABP ≌△PCQ ;或当BA=CQ ,PB=PC 时,△ABP ≌△QCP ,然后分别列方程计算出t 的值,进而计算出v 的值.【详解】解:(1)当点P 以2cm/s 的速度沿BC 向点C 运动时间为ts 时2BP tcm =∵12BC cm =∴()122PC BC BP t cm =-=-故答案为:()122t -(2)∵ABP DCP ∆≅∆∴BP CP =∴2122t t =-解得3t =.(3)存在,理由如下:①当BP=CQ ,AB=PC 时,△ABP ≌△PCQ ,∴PC=AB=5∴BP=BC-PC=12-5=7∵2BP tcm =∴2t=7解得t=3.5∴CQ=BP=7,则3.5v=7解得2v =.②当BA CQ =,PB PC =时,ABP QCP ∆≅∆∵12BC cm = ∴162BP CP BC cm === ∵2BP tcm =∴26t =解得3t =∴3CQ vcm = ∵5AB CQ cm ==∴35v = 解得53v =. 综上所述,当2v =或53v =时,ABP ∆与以P ,Q ,C 为顶点的直角三角形全等. 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质和矩形的性质,解题关键是将动态情况化为某一状态情况,并以这一状态为等量关系建立方程求解.8.如图1,Rt △ABC 中,∠A =90°,AB =AC ,点D 是BC 边的中点连接AD ,则易证AD =BD =CD ,即AD =12BC ;如图2,若将题中AB =AC 这个条件删去,此时AD 仍然等于12BC . 理由如下:延长AD 到H ,使得AH =2AD ,连接CH ,先证得△ABD ≌△CHD ,此时若能证得△ABC ≌△CHA ,即可证得AH =BC ,此时AD =12BC ,由此可见倍长过中点的线段是我们三角形证明中常用的方法.(1)请你先证明△ABC ≌△CHA ,并用一句话总结题中的结论;(2)现将图1中△ABC 折叠(如图3),点A 与点D 重合,折痕为EF ,此时不难看出△BDE 和△CDF 都是等腰直角三角形.BE =DE ,CF =DF .由勾股定理可知DE 2+DF 2=EF 2,因此BE 2+CF 2=EF 2,若图2中△ABC 也进行这样的折叠(如图4),此时线段BE 、CF 、EF 还有这样的关系式吗?若有,请证明;若没有,请举反例.(3)在(2)的条件下,将图3中的△DEF 绕着点D 旋转(如图5),射线DE 、DF 分别交AB 、AC 于点E 、F ,此时(2)中结论还成立吗?请说明理由.图4中的△DEF 也这样旋转(如图6),直接写出上面的关系式是否成立.【答案】(1)详见解析;(2)有这样分关系式;(3)EF2=BE2+CF2.【解析】【分析】(1)想办法证明AB∥CH,推出∠BAC=∠ACH,再利用SAS证明△ABC≌△CHA即可.(2)有这样分关系式.如图4中,延长ED到H山顶DH=DE.证明△EDB≌△HD (SAS),推出∠B=∠HCD,BE=CH,∠FCH=90°,利用勾股定理,线段的垂直平分线的性质即可解决问题.(3)图5,图6中,上面的关系式仍然成立.【详解】(1)证明:如图2中,∵BD=DC,∠ADB=∠HDC,AD=HD,∴△ADB≌△HDC(SAS),∴∠B=∠HCD,AB=CH,∴AB∥CH,∴∠BAC+∠ACH=180°,∵∠BAC=90°,∴∠ACH=∠BAC=90°,∵AC=CA,∴△BAC≌△HCA(SAS),∴AH=BC,∴AD=DH=BD=DC,∴AD=12 BC.结论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(2)解:有这样分关系式.理由:如图4中,延长ED 到H 山顶DH =DE .∵ED =DH ,∠EDB =∠HDC ,DB =DC ,∴△EDB ≌△HDC (SAS ),∴∠B =∠HCD ,BE =CH ,∵∠B +∠ACB =90°,∴∠ACB +∠HCD =90°,∴∠FCH =90°,∴FH 2=CF 2+CH 2,∵DF ⊥EH ,ED =DH ,∴EF =FH ,∴EF 2=BE 2+CF 2.(3)图5,图6中,上面的关系式仍然成立.结论:EF 2=BE 2+CF 2.证明方法类似(2).【点睛】本题属于几何变换综合题,考查了旋转变换,翻折变换,全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.9.在等边ABC 中,点D 是边BC 上一点.作射线AD ,点B 关于射线AD 的对称点为点E .连接CE 并延长,交射线AD 于点F .(1)如图,连接AE ,①AE 与AC 的数量关系是__________;②设BAF α∠=,用α表示BCF ∠的大小;(2)如图,用等式表示线段AF ,CF ,EF 之间的数量关系,并证明.【答案】(1)①AB=AE;②∠BCF=α;(2) AF-EF=CF,理由见详解.【解析】【分析】(1)①根据轴对称性,即可得到答案;②由轴对称性,得:AE=AB,∠BAF=∠EAF=α,由ABC是等边三角形,得AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°,再根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°,即可求解;(2)作∠FCG=60°交AD于点G,连接BF,易证∆FCG是等边三角形,得GF=FC,再证∆ACG≅∆BCF(SAS),从而得AG=BF,进而可得到结论.【详解】(1)①∵点B关于射线AD的对称点为点E,∴AB和AE关于射线AD的对称,∴AB=AE.故答案是:AB=AE;②∵点B关于射线AD的对称点为点E,∴AE=AB,∠BAF=∠EAF=α,∵ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°,∴∠EAC=60°-2α,AE=AC,∴∠ACE=1180(602)602αα⎡⎤--=+⎣⎦,∴∠BCF=∠ACE-∠ACB=60α+-60°=α.(2)AF-EF=CF,理由如下:作∠FCG=60°交AD于点G,连接BF,∵∠BAF=∠BCF=α,∠ADB=∠CDF,∴∠ABC=∠AFC=60°,∴∆FCG是等边三角形,∴GF=FC,∵ABC是等边三角形,∴BC=AC,∠ACB=60°,∴∠ACG=∠BCF=α.在∆ACG和∆BCF中,∵CA CBACG BCFCG CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴∆ACG≅∆BCF(SAS),∴AG=BF,∵点B关于射线AD的对称点为点E,∴AG=BF=EF,∵AF-AG=GF,∴AF-EF=CF.【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理,添加辅助线,构造全等三角形,是解题的关键.10.已知:4590ABC A ACB∆∠=∠=,,,点D是AC延长线上一点,且22AD=+,,M是线段CD上一个动点,连接BM,延长MB到H,使得HB MB=,以点B为中心,将线段BH逆时针旋转45,得到线段BQ,连接AQ.(1)依题意补全图形;(2)求证:ABQ AMB∠=∠;(3)点N是射线AC上一点,且点N是点M关于点D的对称点,连接BN,如果QA BN=,求线段AB的长.【答案】(1)见解析;(2)证明见解析;(3)22AB=【解析】【分析】(1)根据题意可以补全图形;(2)根据三角形外角的性质即可证明;(3)作QE ⊥AB ,根据AAS 证得QEB BCM ≅,根据HL 证得Rt QEA Rt BCN ≅,设法证得2AB CD =,设AC BC x ==,则2AB x =,2CD x =,结合已知22AD =+,构建方程即可求解. 【详解】(1)补全图形如下图所示:(2)解:∵∠ABH 是ABM 的一个外角,∴ ABH BAM AMB ∠=∠+∠∵ABH HBQ ABQ ∠=∠+∠ 又∵45HBQ BAM ∠=∠=︒∴ ABQ AMB ∠=∠(3)过Q 作QE ⊥AB ,垂足为E , 如下图:∵⊥QE AB∴90QEB BCM ∠=∠=︒,在QEB 和BCM 中,QEB BCM QBE BMC QB BM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ QEB BCM ≅(AAS)∴EB CM =,QE BC =,在Rt QEA 和Rt BCN 中∵QE BC =,Q A BN = ∴Rt QEA Rt BCN ≅ (HL)∴AE CN CM MD DN ==++∵点N 是点M 关于点D 的对称点,∴MD DN =∴22AE CM MD EB MD =+=+∴ ()2222AB AE EB EB MD EB MD CD =+=+=+=设AC BC x ==,则AB =,CD x =,又∵2AD =, 2AD AC CD x x =+=+∴22x x += 解得:2x =∴ AB =【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识点.熟悉全等三角形的判定方法以及正确作出辅助线、构建方程是解答的关键.。

全等三角形中考真题汇编[解析版]

全等三角形中考真题汇编[解析版]

全等三角形中考真题汇编[解析版]—s八年级数学轴对称三角形填空题(难)2•如图所示ABC为等边三角形,P是M49C内任一点,PDWAB? PE//BC.PF//AC若厶 43C的周长为12cm,则PD+PE+PF二C航.【答案】4【解析】【分析】先说明四边形HBDP是平行四边形,AAHE和AAHE是等边三角形,然后得到一系列长度相等的线段•最后求替换求和即可.【详解】解:・.• PD I I 4B, PE〃BC•・.四边形HBDP是平行四边形APD-HB• • • MBC为等边三角形周长为12CmAZ B二ZA 二60。

应二4…• PE//BCAZAHE=ZB=60°AZAHE=ZA=60°.• .AAHE是等边三角形AHE二AH•・・ ZHFP 二ZA二60°••・ ZHFP二ZAHE二60。

.・・AAHE是等边三角形,AFP 二PH/\PD 十PE 十PF 二BH 十(HP+PE)二BH 十HE 二BH 十AH 二AB 二4cm故答案为4cm •5 cm时,ZA OB的度数是度.【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质,掌握等边三角形的性质是解答本题的关键.2•如图,点P是AoB内任意一点,OP二5加,点P与点C关于射线QA对称,点P与点D关于射线OB对称,连接CD交OA于点匕交OB于点F,当的周长是D【答案】30【解析】【分析】根据轴对称得岀OA为PC的垂直平分线’OB是PD的垂直平分线,根据线段垂宜平分线性质得出ZCOA ZAOP:LZCOPfZPoB/DOB IZPOD、PE二CE, OP二OC二5cm2 2PF二FD, OP二OD二5crr\求岀ZkCOD是等边三角形,即可得岀答案.【详解】解:如图示:连接0C.0D,〕点P与点C关于射线OA对称,点P与点D关于射线OB对称•/ .0A为PC的垂直平分线,OB是PD的垂直平分线,VOP 二5cm,:• ZCOA 二ZAOP 二LZCoP, ZPoB 二ZDOB 二LZPOD. PE二CEt OP二OC二5cm, PF二FD, 2 2 OP 二OD 二5cm,VA PEF的周长是5cm,.・・ PE十EF十PF二CE十EF十FD二CD二5cm,CD 二OD 二OD 二5cm»AA OCD是等边三角形,/\Z8D 二60、5 cm时,ZA OB的度数是度.:• ZAoB二AAOP 十ZBoP二丄AC OP + 丄ADOP二IZCoD 二30° ,2 2 2故答案为:30.【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质,轴对称性质和等边三角形的性质和判左,能求出ACOD是等边三角形是解此题的关键.3•如图,点P是ZAOB内任意一点,0P二5cm,点M和点N分別是射线0A和射线0B上的动点,PN + PM+MN的最小值是5cm,则ZAOB的度数是__________________________________________ .【答案】30°【解析】试题解析:分别作点P关于OA、OB的对称点C、D旌接CD,分别交OA、OB于点M、N,连接OC、ODxPMxPNsMN,如图所示…点P关于OA的对称点为D,关于OB的对称点为C ,APM-DM r OP^OD , ZDOA=ZPOA ;T点P关于OB的对称点为C,APN-CN , OP二OC r ZCOB二ZPOB .AOC二OP二OD , ZAOB二- ZcOD fVPN十PM十MN的最小值是5cm/\PM+PN十MN二5 ,ADM 十CN + MN二5, 即CD二S二OPjAOC二OD二CD r即AOCD是等边三角形. ・・・ZCOD二60°zZAOB二30。

八年级数学上册全册全套试卷中考真题汇编[解析版]

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八年级数学上册全册全套试卷中考真题汇编[解析版]一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)1.如图,已知△ABC中,AB=AC=20cm,BC=16cm,点D为AB的中点.(1)如果点P在线段BC上以6cm/s的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由C向A点运动.①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?【答案】(1)①△BPD≌△CQP,理由见解析;②V7.5Q(厘米/秒);(2)点P、Q在AB边上相遇,即经过了803秒,点P与点Q第一次在AB边上相遇.【解析】【分析】(1)①先求出t=1时BP=BQ=6,再求出PC=10=BD,再根据∠B=∠C证得△BPD≌△CQP;②根据V P≠V Q,使△BPD与△CQP全等,所以CQ=BD=10,再利用点P的时间即可得到点Q的运动速度;(2)根据V Q>V P,只能是点Q追上点P,即点Q比点P多走AB+AC的路程,设运动x秒,即可列出方程1562202x x,解方程即可得到结果.【详解】(1)①因为t=1(秒),所以BP=CQ=6(厘米)∵AB=20,D为AB中点,∴BD=10(厘米)又∵PC=BC﹣BP=16﹣6=10(厘米)∴PC=BD∵AB=AC,∴∠B=∠C,在△BPD与△CQP中,BP CQ B C PC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△BPD ≌△CQP (SAS ),②因为V P ≠V Q ,所以BP ≠CQ ,又因为∠B =∠C ,要使△BPD 与△CQP 全等,只能BP =CP =8,即△BPD ≌△CPQ ,故CQ =BD =10.所以点P 、Q 的运动时间84663BP t (秒), 此时107.543Q CQ V t (厘米/秒).(2)因为V Q >V P ,只能是点Q 追上点P ,即点Q 比点P 多走AB +AC 的路程设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇,依题意得1562202x x , 解得x=803(秒) 此时P 运动了8061603(厘米) 又因为△ABC 的周长为56厘米,160=56×2+48, 所以点P 、Q 在AB 边上相遇,即经过了803秒,点P 与点Q 第一次在AB 边上相遇. 【点睛】此题考查三角形全等的证明,三角形与动点相结合的解题方法,再证明三角形全等时注意顶点的对应关系是证明的关键.2.如图,在△ABC 中,∠ABC 为锐角,点D 为直线BC 上一动点,以AD 为直角边且在AD 的右侧作等腰直角三角形ADE ,∠DAE =90°,AD =AE .(1)如果AB =AC ,∠BAC =90°.①当点D 在线段BC 上时,如图1,线段CE 、BD 的位置关系为___________,数量关系为___________②当点D 在线段BC 的延长线上时,如图2,①中的结论是否仍然成立,请说明理由. (2)如图3,如果AB ≠AC ,∠BAC ≠90°,点D 在线段BC 上运动.探究:当∠ACB 多少度时,CE ⊥BC ?请说明理由.【答案】(1)①垂直,相等.②都成立,理由见解析;(2)45°,理由见解析【解析】【分析】(1)①根据∠BAD=∠CAE ,BA=CA ,AD=AE ,运用“SAS ”证明△ABD ≌△ACE ,根据全等三角形性质得出对应边相等,对应角相等,即可得到线段CE 、BD 之间的关系;②先根据“SAS ”证明△ABD ≌△ACE ,再根据全等三角形性质得出对应边相等,对应角相等,即可得到①中的结论仍然成立;(2)先过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ,画出符合要求的图形,再结合图形判定△GAD ≌△CAE ,得出对应角相等,即可得出结论.【详解】(1):(1)CE 与BD 位置关系是CE ⊥BD ,数量关系是CE=BD .理由:如图1,∵∠BAD=90°-∠DAC ,∠CAE=90°-∠DAC ,∴∠BAD=∠CAE .又 BA=CA ,AD=AE ,∴△ABD ≌△ACE (SAS )∴∠ACE=∠B=45°且 CE=BD .∵∠ACB=∠B=45°,∴∠ECB=45°+45°=90°,即 CE ⊥BD .故答案为垂直,相等;②都成立,理由如下:∵∠BAC =∠DAE =90°,∴∠BAC +∠DAC =∠DAE +∠DAC ,∴∠BAD =∠CAE ,在△DAB 与△EAC 中,AD AE BAD CAE AB AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩=== ∴△DAB ≌△EAC ,∴CE =BD ,∠B =∠ACE ,∴∠ACB +∠ACE =90°,即CE ⊥BD ;(2)当∠ACB=45°时,CE⊥BD(如图).理由:过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G,则∠GAC=90°,∵∠ACB=45°,∠AGC=90°﹣∠ACB,∴∠AGC=90°﹣45°=45°,∴∠ACB=∠AGC=45°,∴AC=AG,在△GAD与△CAE中,AC AGDAG EACAD AE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩===∴△GAD≌△CAE,∴∠ACE=∠AGC=45°,∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°,即CE⊥B C.3.在ABC中,AB AC=,点D在BC边上,且60,ADB E∠=︒是射线DA上一动点(不与点D重合,且DA DB≠),在射线DB上截取DF DE=,连接EF.()1当点E在线段AD上时,①若点E与点A重合时,请说明线段BF DC=;②如图2,若点E不与点A重合,请说明BF DC AE=+;()2当点E在线段DA的延长线上()DE DB>时,用等式表示线段,,AE BF CD之间的数量关系(直接写出结果,不需要证明).【答案】(1)①证明见解析;②证明见解析;(2)BF=AE-CD【解析】【分析】(1)①根据等边对等角,求到B C∠=∠,再由含有60°角的等腰三角形是等边三角形得到ADF∆是等边三角形,之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到120AFB ADC∠=∠=︒,推出ABF ACD∆∆≌,根据全等三角形的性质即可得出结论;②过点A做AG∥EF交BC于点G,由△DEF为等边三角形得到DA=DG,再推出AE=GF,根据线段的和差即可整理出结论;(2)根据题意画出图形,作出AG,由(1)可知,AE=GF,DC=BG,再由线段的和差和等量代换即可得到结论.【详解】(1)①证明:AB AC=B C∴∠=∠,60DF DE ADB=∠=︒,且E与A重合,ADF∴∆是等边三角形60ADF AFD∴∠=∠=︒120AFB ADC∴∠=∠=︒在ABF∆和ACD∆中AFB ADCB CAB AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABF ACD∴∆∆≌BF DC∴=②如图2,过点A做AG∥EF交BC于点G,∵∠ADB=60°DE=DF∴△DEF为等边三角形∵AG∥EF∴∠DAG=∠DEF=60°,∠AGD=∠EFD=60°∴∠DAG=∠AGD∴DA=DG∴DA-DE=DG-DF,即AE=GF由①易证△AGB≌△ADC∴BG=CD∴BF=BG+GF=CD+AE(2)如图3,和(1)中②相同,过点A做AG∥EF交BC于点G,由(1)可知,AE=GF,DC=BG,∴+=+==BF CD BF BG GF AE=-.故BF AE CD【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.4.探究与发现:如图(1)所示的图形,像我们常见的学习用品一圆规,我们,不妨把这样图形叫做“规形图(1)观察“规形图(1)”,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系,并说明理由;(2)请你直接利用以上结论,解决以下问题:①如图(2),把一块三角尺XYZ放置在△ABC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C,若∠A=40°,则∠ABX+∠ACX=°.②如图(3),DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=40°,∠DBE=130°,求∠DCE 的度数.【答案】(1)∠BDC=∠BAC+∠B+∠C,理由见解析;(2)①50;②∠DCE=85°.【解析】【分析】(1)首先连接AD并延长至点F,然后根据外角的性质,即可判断出∠BDC=∠BAC+∠B+∠C;(2)①由(1)可得∠A+∠ABX+∠ACX=∠X,然后根据∠A=40°,∠X=90°,即可求解;(3)②由∠A=40°,∠DBE=130°,求出∠ADE+∠AEB的值,然后根据∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC,求出∠DCE的度数即可.【详解】(1)如图,∠BDC=∠BAC+∠B+∠C,理由是:过点A、D作射线AF,∵∠FDC=∠DAC+∠C,∠BDF=∠B+∠BAD,∴∠FDC+∠BDF=∠DAC+∠BAD+∠C+∠B,即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C;(2)①如图(2),∵∠X=90°,由(1)知:∠A+∠ABX+∠ACX=∠X=90°,∵∠A=40°,∴∠ABX+∠ACX=50°,故答案为:50;②如图(3),∵∠A=40°,∠DBE=130°,∴∠ADE+∠AEB=130°﹣40°=90°,∵DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,∴∠ADC=12∠ADB,∠AEC=12∠AEB,∴∠ADC+∠AEC=1(ADB AEB)2∠+∠=45°,∴∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC=40°+45°=85°.【点睛】本题主要考查了三角形外角性质以及角平分线的定义的运用,熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.5.如图,在边长为 4 的等边△ABC 中,点 D 从点A 开始在射线 AB 上运动,速度为 1 个单位/秒,点F 同时从 C 出发,以相同的速度沿射线 BC 方向运动,过点D 作 DE⊥AC,连结DF 交射线 AC 于点 G(1)当 DF⊥AB 时,求 t 的值;(2)当点 D 在线段 AB 上运动时,是否始终有 DG=GF?若成立,请说明理由。

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一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)1.(1)问题背景:如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E、F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°,探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G,使DG=BE,连结AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是;(2)探索延伸:如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=12∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;(3)结论应用:如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等.接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进,1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇与指挥中心O 之间夹角∠EOF=70°,试求此时两舰艇之间的距离.(4)能力提高:如图4,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M,N在边BC上,且∠MAN=45°.若BM=1,CN=3,试求出MN的长.【答案】(1)EF=BE+FD;(2)EF=BE+FD仍然成立;(3)210;(4)MN10.【解析】试题分析:(1)由△AEF≌△AGF,得EF=GF,又由BE=DG,得EF=GF=DF+DG=DF+BE;(2)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,证明△ABE≌△AD G,再证△AEF≌△AGF,得EF=FG,即可得到答案;(3)连接EF,延长AE,BF相交于点C,根据探索延伸可得EF=AE+FB,即可计算出EF的长度;(4)在△ABC外侧作∠CAD=∠BAM,截取AD=A M,连接CD,DN,证明△ACD≌△ABM,得到CD=BM,再证MN=ND,则求出ND的长度,即可得到答案.解:(1)由△AEF≌△AGF,得EF=GF,又由BE=DG,得EF=GF=DF+DG=DF+BE;(2)EF=BE+FD仍然成立.证明:如答图1,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,∵∠B+∠ADC=180°,∠ADG+∠ADC=180°,∴∠B=∠ADG,在△ABE与△ADG中,AB=AD,∠B=∠ADG,BE=DG,∴△ABE≌△ADG.∴AE=AG,∠BAE=∠DAG.又∵∠EAF=12∠BAD,∴∠F AG=∠F AD+∠DAG=∠F AD+∠BAE=∠BAD-∠EAF=∠BAD-12∠BAD=12∠BAD,∴∠EAF=∠GAF.在△AEF与△AGF中,AE=AG,∠EAF=∠GAF,AF=AF,∴△AEF≌△AGF.∴EF=FG.又∵FG=DG+DF=BE+DF.∴EF=BE+FD.(3)如答图2,连接EF,延长AE,BF相交于点C,在四边形AOBC中,∵∠AOB=30°+90°+20°=140°,∠FOE=70°=12∠AOB,又∵OA=OB,∠OAC+∠OBC=60°+120°=180°,符合探索延伸中的条件,∴结论EF=AE+FB成立.∴EF=AE+FB=1.5×(60+80)=210(海里).答:此时两舰艇之间的距离为210海里;(4)如答图3,在△ABC外侧作∠CAD=∠BAM,截取AD=AM,连接CD,DN,在△ACD与△ABM中,AC=AB,∠CAD=∠BAM,AD=AM,则△ACD≌△ABM,∴CD=BM=1,∠ACD=∠ABM=45°,∵∠NAD=∠NAC+∠CAD=∠NAC+∠BAM=∠BAC-∠MAN=45°,∴∠MAD=∠MAN+∠NAD=90°=2∠NAD,又∵AM=AD,∠NCD+∠MAD=(∠ACD+∠ACB)+90°=180°,∴对于四边形AMCD符合探索延伸,则ND=MN ,∵∠NCD=90°,CD=1,CN=3,∴MN=ND=10.2.(1)如图1,在Rt △ABC 中,AB AC =,D 、E 是斜边BC 上两动点,且∠DAE=45°,将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后,得到△AFC ,连接DF .(1)试说明:△AED ≌△AFD ;(2)当BE=3,CE=9时,求∠BCF 的度数和DE 的长;(3)如图2,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,D 是斜边BC 所在直线上一点,BD=3,BC=8,求DE 2的长.【答案】(1)略(2)∠BCF=90° DE=5 (3)34或130【解析】试题分析:()1由ABE AFC ≌, 得到AE AF =,BAE CAF ∠=∠,45,EAD ∠=45,BAE CAD ∴∠+∠=45,CAF CAD ∴∠+∠=即45.DAF ∠=EAD DAF ∠=∠,从而得到.AED AFD ≌ ()2 由△AED AFD ≌得到ED FD =,再证明90DCF ∠=︒,利用勾股定理即可得出结论. ()3过点A 作AH BC ⊥于H ,根据等腰三角形三线合一得,1 4.2AH BH BC === 1DH BH BD =-=或7,DH BH BD =+=求出AD 的长,即可求得2DE . 试题解析:()1ABE AFC ≌,AE AF =,BAE CAF ∠=∠,45,EAD ∠=90,BAC ∠=45,BAE CAD ∴∠+∠=45,CAF CAD∴∠+∠=即45.DAF∠=在AED和AFD中,{AF AEEAF DAEAD AD,=∠=∠=.AED AFD∴≌()2AED AFD≌,ED FD∴=,,90.AB AC BAC=∠=︒45B ACB∴∠=∠=︒,45ACF,∠=︒90.BCF∴∠=︒设.DE x=,9.DF DE x CD x===- 3.FC BE==222,FC DC DF+=()22239.x x∴+-=解得: 5.x=故 5.DE=()3过点A作AH BC⊥于H,根据等腰三角形三线合一得,14.2AH BH BC===1DH BH BD=-=或7,DH BH BD=+=22217AD AH DH=+=或65.22234DE AD==或130.点睛:D是斜边BC所在直线上一点,注意分类讨论.3.在四边形ABCD 中,E 为BC 边中点.(Ⅰ)已知:如图,若AE 平分∠BAD,∠AED=90°,点F 为AD 上一点,AF=AB.求证:(1)△ABE≌AFE;(2)AD=AB+CD(Ⅱ)已知:如图,若AE 平分∠BAD,DE 平分∠ADC,∠AED=120°,点F,G 均为AD上的点,AF=AB,GD=CD.求证:(1)△GEF 为等边三角形;(2)AD=AB+12BC+CD.【答案】(Ⅰ)(1)证明见解析;(2)证明见解析;(Ⅱ)(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)(1)运用SAS证明△ABE≌AFE即可;(2)由(1)得出∠AEB=∠AEF,BE=EF,再证明△DEF≌△DEC(SAS),得出DF=DC,即可得出结论;(Ⅱ)(1)同(Ⅰ)(1)得△ABE≌△AFE(SAS),△DGE≌△DCE(SAS),由全等三角形的性质得出BE=FE,∠AEB=∠AEF,CE=GE,∠CED=∠GED,进而证明△EFG是等边三角形;(2)由△EFG是等边三角形得出GF=EE=BE=12BC,即可得出结论.【详解】(Ⅰ)(1)∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠FAE,在△ABE 和△AFE 中,AB AF BAE FAE AE AE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨===,∴△ABE ≌△AFE (SAS ),(2)∵△ABE ≌△AFE ,∴∠AEB=∠AEF ,BE=EF ,∵E 为BC 的中点,∴BE=CE ,∴FE=CE ,∵∠AED=∠AEF+∠DEF=90°,∴∠AEB+∠DEC=90°,∴∠DEF=∠DEC ,在△DEF 和△DEC 中,FE CE DEF DEC DE DE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨===,∴△DEF ≌△DEC (SAS ),∴DF=DC ,∵AD=AF+DF ,∴AD=AB+CD ;(Ⅱ)(1)∵E 为BC 的中点,∴BE=CE=12BC , 同(Ⅰ)(1)得:△ABE ≌△AFE (SAS ),△DEG ≌△DEC (SAS ),∴BE=FE ,∠AEB=∠AEF ,CE=GE ,∠CED=∠GED ,∵BE=CE ,∴FE=GE ,∵∠AED=120°,∠AEB+∠CED=180°-120°=60°,∴∠AEF+∠GED=60°,∴∠GEF=60°,∴△EFG 是等边三角形,(2)∵△EFG 是等边三角形,∴GF=EF=BE=12BC , ∵AD=AF+FG+GD ,∴AD=AB+CD+12BC . 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识;熟练掌握等边三角形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键.4.如图,在平面直角坐标系中,A 、B 坐标为()6,0、()0,6,P 为线段AB 上的一点.(1)如图1,若P 为AB 的中点,点M 、N 分别是OA 、OB 边上的动点,且保持AM ON =,则在点M 、N 运动的过程中,探究线段PM 、PN 之间的位置关系与数量关系,并说明理由.(2)如图2,若P 为线段AB 上异于A 、B 的任意一点,过B 点作BD OP ⊥,交OP 、OA 分别于F 、D 两点,E 为OA 上一点,且PEA BDO =∠∠,试判断线段OD 与AE 的数量关系,并说明理由.【答案】(1)PM=PN ,PM ⊥PN ,理由见解析;(2)OD=AE ,理由见解析【解析】【分析】(1)连接OP .只要证明△PON ≌△PAM 即可解决问题;(2)作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G .由△DBO ≌△GOA ,推出OD=AG ,∠BDO=∠G ,再证明△PAE ≌△PAG 即可解决问题;【详解】(1)结论:PM=PN ,PM ⊥PN .理由如下:如图1中,连接OP .∵A 、B 坐标为(6,0)、(0,6),∴OB=OA=6,∠AOB=90°,∵P 为AB 的中点,∴OP=12AB=PB=PA ,OP ⊥AB ,∠PON=∠PAM=45°, ∴∠OPA=90°,在△PON 和△PAM 中,ON AM PON PAM OP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△PON ≌△PAM (SAS ),∴PN=PM ,∠OPN=∠APM ,∴∠NPM=∠OPA=90°,∴PM ⊥PN ,PM=PN .(2)结论:OD=AE .理由如下:如图2中,作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G .∵BD ⊥OP ,∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°,∴∠ODF+∠AOG=90°,∠ODF+∠OBD=90°,∴∠AOG=∠DBO ,∵OB=OA ,∴△DBO ≌△GOA ,∴OD=AG ,∠BDO=∠G ,∵∠BDO=∠PEA ,∴∠G=∠AEP ,在△PAE 和△PAG 中,AEP G PAE PAG AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△PAE ≌△PAG (AAS ),∴AE=AG ,∴OD=AE .【点睛】考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.5.如图1,在ABC ∆中,90ACB ∠=,AC BC =,直线MN 经过点C ,且AD MN ⊥于点D ,BE MN ⊥于点E .易得DE AD BE =+(不需要证明).(1)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,其余条件不变,你认为上述结论是否成立?若成立,写出证明过程;若不成立,请写出此时DE AD BE、、之间的数量关系,并说明理由;(2)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,其余条件不变,请直接写出此时DE AD BE、、之间的数量关系(不需要证明).【答案】(1) 不成立,DE=AD-BE,理由见解析;(2) DE=BE-AD【解析】【分析】(1)DE、AD、BE之间的数量关系是DE=AD-BE.由垂直的性质可得到∠CAD=∠BCE,证得△ACD≌△CBE,得到AD=CE,CD=BE,即有DE=AD-BE;(2)DE、AD、BE之间的关系是DE=BE-AD.证明的方法与(1)一样.【详解】(1)不成立.DE、AD、BE之间的数量关系是DE=AD-BE,理由如下:如图,∵∠ACB=90°,BE⊥CE,AD⊥CE,AC CB=,∴∠ACD+∠CAD=90°,又∠ACD+∠BCE=90°,∴∠CAD=∠BCE,在△ACD和△CBE中,90ADC CEBCAD BCEAC CB∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACD≌△CBE(AAS),∴AD=CE,CD=BE,∴DE=CE-CD=AD-BE;(2)结论:DE=BE-AD.∵∠ACB=90°,BE⊥CE,AD⊥CE,AC CB=,∴∠ACD+∠CAD=90°,又∠ACD+∠BCE=90°,∴∠CAD=∠BCE,在△ACD和△CBE中,90ADC CEBCAD BCEAC CB∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADC≌△CEB(AAS),∴AD=CE,DC=BE,∴DE=CD-CE=BE-AD.【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形全等的判定与性质,旋转前后两图形全等,对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角.6.如图1,Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D是BC边的中点连接AD,则易证AD=BD=CD,即AD=12BC;如图2,若将题中AB=AC这个条件删去,此时AD仍然等于12BC.理由如下:延长AD到H,使得AH=2AD,连接CH,先证得△ABD≌△CHD,此时若能证得△ABC≌△CHA,即可证得AH=BC,此时AD=12BC,由此可见倍长过中点的线段是我们三角形证明中常用的方法.(1)请你先证明△ABC≌△CHA,并用一句话总结题中的结论;(2)现将图1中△ABC折叠(如图3),点A与点D重合,折痕为EF,此时不难看出△BDE和△CDF都是等腰直角三角形.BE=DE,CF=DF.由勾股定理可知DE2+DF2=EF2,因此BE2+CF2=EF2,若图2中△ABC也进行这样的折叠(如图4),此时线段BE、CF、EF还有这样的关系式吗?若有,请证明;若没有,请举反例.(3)在(2)的条件下,将图3中的△DEF绕着点D旋转(如图5),射线DE、DF分别交AB、AC于点E、F,此时(2)中结论还成立吗?请说明理由.图4中的△DEF也这样旋转(如图6),直接写出上面的关系式是否成立.【答案】(1)详见解析;(2)有这样分关系式;(3)EF2=BE2+CF2.【解析】【分析】(1)想办法证明AB∥CH,推出∠BAC=∠ACH,再利用SAS证明△ABC≌△CHA即可.(2)有这样分关系式.如图4中,延长ED到H山顶DH=DE.证明△EDB≌△HD (SAS),推出∠B=∠HCD,BE=CH,∠FCH=90°,利用勾股定理,线段的垂直平分线的性质即可解决问题.(3)图5,图6中,上面的关系式仍然成立.【详解】(1)证明:如图2中,∵BD=DC,∠ADB=∠HDC,AD=HD,∴△ADB≌△HDC(SAS),∴∠B=∠HCD,AB=CH,∴AB∥CH,∴∠BAC+∠ACH=180°,∵∠BAC=90°,∴∠ACH=∠BAC=90°,∵AC=CA,∴△BAC≌△HCA(SAS),∴AH =BC ,∴AD =DH =BD =DC ,∴AD =12BC . 结论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(2)解:有这样分关系式.理由:如图4中,延长ED 到H 山顶DH =DE .∵ED =DH ,∠EDB =∠HDC ,DB =DC ,∴△EDB ≌△HDC (SAS ),∴∠B =∠HCD ,BE =CH ,∵∠B +∠ACB =90°,∴∠ACB +∠HCD =90°,∴∠FCH =90°,∴FH 2=CF 2+CH 2,∵DF ⊥EH ,ED =DH ,∴EF =FH ,∴EF 2=BE 2+CF 2.(3)图5,图6中,上面的关系式仍然成立.结论:EF 2=BE 2+CF 2.证明方法类似(2).【点睛】本题属于几何变换综合题,考查了旋转变换,翻折变换,全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.7.已知:在ABC ∆中,,90AB AC BAC =∠=︒,PQ 为过点A 的一条直线,分别过B C 、两点作,BM PQ CN PQ ⊥⊥,垂足分别为M N 、.(1)如图①所示,当PQ 与BC 边有交点时,求证:MN CN BM =-;(2)如图②所示,当PQ 与BC 边不相交时,请写出线段BM CN 、和MN 之间的数量关系,并说明理由.【答案】(1)见解析;(2)MN BM CN =+(或BM MN CN =-或CN MN BM =-),理由见解析【解析】【分析】(1)根据已知条件先证AMB CNA ≌∆∆,得到,AM CN BM AN ==,即可证得MN CN BM =-;(2)由(1)知AMB CNA ≌∆∆,得到,AM CN BM AN ==,即可确定MN BM CN =+.【详解】证明:∵,BM PQ CN PQ ⊥⊥,∴∠AMB=∠CAN=90︒,∵∠BAC=90︒,∴∠CAN+∠ACN=90︒,∠CAN+∠BAM=90︒(或CAN ACN CAN BAM ∠+∠=∠+∠)∴BAM ACN ∠=∠,在AMB ∆和CNA ∆中,∵AMB CNA BAM ACN AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()AMB CNA AAS ≌∆∆,∴,AM CN BM AN ==,∵MN AM AN =-,∴MN CN BM =-.(2)MN BM CN =+(或BM MN CN =-或CN MN BM =-).理由:∵,BM PQ CN PQ ⊥⊥,∴∠AMB=∠CAN=90︒,∵∠BAC=90︒,∴∠CAN+∠ACN=90︒,∠CAN+∠BAM=90︒(或CAN ACN CAN BAM ∠+∠=∠+∠),∴BAM ACN ∠=∠,在AMB ∆和CNA ∆中,∵AMB CNA BAM ACN AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()AMB CNA AAS ≌∆∆,∴,AM CN BM AN ==,∴MN AN AM BM CN =+=+.【点睛】此题考察三角形全等的应用,正确确定全等三角形是解题关键,由此得到对应相等的线段,确定它们之间的和差关系得到BM CN 、和MN 之间的关系式.8.(1)在等边三角形ABC 中,①如图①,D ,E 分别是边AC ,AB 上的点,且AE CD =,BD 与EC 交于点F ,则BFE ∠的度数是___________度;②如图②,D ,E 分别是边AC ,BA 延长线上的点,且AE CD =,BD 与EC 的延长线交于点F ,此时BFE ∠的度数是____________度;(2)如图③,在ABC ∆中,AC BC =,ACB ∠是锐角,点O 是AC 边的垂直平分线与BC 的交点,点D ,E 分别在AC ,OA 的延长线上,且AE CD =,BD 与EC 的延长线交于点F ,若ACB α∠=,求BFE ∠的大小(用含法α的代数式表示).【答案】(1)60;(2)60;(3)BFE α∠=【解析】【分析】(1)①只要证明△ACE ≌△CBD ,可得∠ACE=∠CBD ,推出∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°;②只要证明△ACE ≌△CBD ,可得∠ACE=∠CBD=∠DCF ,即可推出∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°;(2)只要证明△AEC ≌△CDB ,可得∠E=∠D ,即可推出∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α.【详解】解:(1)①如图①中,∵△ABC是等边三角形,∴AC=CB,∠A=∠BCD=60°,∵AE=CD,∴△ACE≌△CBD,∴∠ACE=∠CBD,∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°.故答案为60;②如图②,∵△ABC是等边三角形,∴AC=CB,∠A=∠BCD=60°,∴∠CAE=∠BCD=′120°∵AE=CD,∴△ACE≌△CBD,∴∠ACE=∠CBD=∠DCF,∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°.故答案为60;(2)如图③中,图③点O是AC边的垂直平分线与BC的交点,∴=,OC OA∴∠=∠=OAC ACOα=-,∴∠=∠︒EAC DCBα180=,AE CDAC BC=,AEC CDB∴∆≅∆,∴∠=∠,E D∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=.BFE D DCF E ECA OACα【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质和等腰三角形的性质和判定以及等边三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.9.如图1,已知CF是△ABC的外角∠ACE的角平分线,D为CF上一点,且DA=DB.(1)求证:∠ACB=∠ADB;(2)求证:AC+BC<2BD;(3)如图2,若∠ECF=60°,证明:AC=BC+CD.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)详见解析.【解析】【分析】(1)过点D分别作AC,CE的垂线,垂足分别为M,N,证明Rt△DAM≌Rt△DBN,得出∠DAM=∠DBN,则结论得证;(2)证明Rt△DMC≌Rt△DNC,可得CM=CN,得出AC+BC=2BN,又BN<BD,则结论得证;(3)在AC上取一点P,使CP=CD,连接DP,可证明△ADP≌△BDC,得出AP=BC,则结论可得出.【详解】(1)证明:过点D分别作AC,CE的垂线,垂足分别为M,N,∵CF是△ABC的外角∠ACE的角平分线,∴DM=DN,在Rt△DAM和Rt△DBN中,DA DBDM DN=⎧⎨=⎩,∴Rt△DAM≌Rt△DBN(HL),∴∠DAM=∠DBN,∴∠ACB=∠ADB;(2)证明:由(1)知DM=DN,在Rt△DMC和Rt△DNC中,DC DCDM DN=⎧⎨=⎩,∴Rt△DMC≌Rt△DNC(HL),∴CM=CN,∴AC+BC=AM+CM+BC=AM+CN+BC=AM+BN,又∵AM=BN,∴AC+BC=2BN,∵BN<BD,∴AC+BC<2BD.(3)由(1)知∠CAD=∠CBD,在AC上取一点P,使CP=CD,连接DP,∵∠ECF=60°,∠ACF=60°,∴△CDP为等边三角形,∴DP=DC,∠DPC=60°,∴∠APD=120°,∵∠ECF=60°,∴∠BCD=120°,在△ADP和△BDC中,APD BCDPAD CBDDA DB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADP≌△BDC(AAS),∴AP=BC,∵AC=AP+CP,∴AC=BC+CP,∴AC=BC+CD.【点睛】本题是三角形综合题,考查了等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.10.如图,在边长为 4 的等边△ABC 中,点 D 从点A 开始在射线 AB 上运动,速度为 1 个单位/秒,点F 同时从 C 出发,以相同的速度沿射线 BC 方向运动,过点D 作 DE⊥AC,连结DF 交射线 AC 于点 G(1)当 DF⊥AB 时,求 t 的值;(2)当点 D 在线段 AB 上运动时,是否始终有 DG=GF?若成立,请说明理由。

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