2.1.2椭圆的简单几何性质练习题及答案
人教a版数学【选修1-1】作业：2.1.2椭圆的简单几何性质(含答案)
2.1.2 椭圆的简单几何性质课时目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a ，b 以及c ，e 的几何意义，a 、b 、c 、e 之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．1．椭圆的简单几何性质焦点的 位置焦点在x 轴上 焦点在y 轴上图形标准 方程范围 顶点轴长 短轴长＝______，长轴长＝______焦点 焦距对称性 对称轴是________，对称中心是______离心率2.直线与椭圆直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的位置关系：直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1________实数解，即Δ______0.一、选择题1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )A ．5,3，45B ．10,6，45C ．5,3，35D ．10,6，352．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( )A ．x 236＋y 216＝1B ．x 216＋y 236＝1C ．x 26＋y 24＝1D ．y 26＋x 24＝13．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A ． 3B ．32C ．83D ．234．如图所示，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y2b2＝1 (a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为( )A.－1＋52 B ．1－22C.2－1D.225．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．06．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点。
2.1.2椭圆的简单几何性质(含答案)
8．直线 x＋2y－2＝0 经过椭圆a2＋b2＝1 的离心率等于______．
x2 y2
(a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆
9．椭圆 E：16＋ 4 ＝1 内有一点 P(2,1)，则经过 P 并且以 P 为中点的弦所在直线方程 为____________．
三、解答题 x2 y2
10．如图，已知 P 是椭圆a2＋b2＝1 (a>b>0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的右 a2
一、选择题
1．椭圆 25x2＋9y2＝225 的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
4
4
A．5,3，5 3
B．10,6，5 3
C．5,3，5
D．10,6，5
2．焦点在 x 轴上，长、短半轴长之和为 10，焦距为 4 5，则椭圆的方程为( )
x2 y2
x2 y2
A．36＋16＝1 x2 y2
B．16＋36＝1 y2 x2
C． 6 ＋ 4 ＝1
D． 6 ＋ 4 ＝1
x2 y2
1
3．若焦点在 x 轴上的椭圆 2 ＋ m ＝1 的离心率为2，则 m 等于( )
3
8
2
A． 3
B．2
C．3
D．3
x2 y2
4．如图所示，A、B、C 分别为椭圆a2＋b2＝1 (a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°， 则该椭圆的离心率为( )
焦点，O 是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点，H 是直线 x＝－ c (c 是椭圆的半焦距)与 x 轴的 交点，若 PF⊥OF，HB∥OP，试求椭圆的离心率 e.
11．已知椭圆 4x2＋y2＝1 及直线 y＝x＋m. (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
椭圆的简单几何性质(附练习题答案及知识点回顾)
椭圆的简单几何性质基础卷1．设a , b , c 分别表示同一椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，则a , b , c 的大小关系是 （A ）a >b >c >0 （B ）a >c >b >0 （C ）a >c >0, a >b >0 （D ）c >a >0, c >b >02．椭圆的对称轴为坐标轴，若长、短轴之和为18，焦距为6，那么椭圆的方程为（A ）221916x y += （B ）2212516x y += （C ）2212516x y +=或2211625x y += （D ）2211625x y += 3．已知P 为椭圆221916x y +=上一点，P 到一条准线的距离为P 到相应焦点的距离之比为 （A ）54 （B ）45 （C ）417 （D ）7474．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为 （A ）23 （B ）33 （C ）316 （D ）6165．在椭圆12222=+by a x 上取三点，其横坐标满足x 1+x 3=2x 2，三点顺次与某一焦点连接的线段长是r 1, r 2, r 3，则有（A ）r 1, r 2, r 3成等差数列 （B ）r 1, r 2, r 3成等比数列 （C ）123111,,r r r 成等差数列 （D ）123111,,r r r 成等比数列 6．椭圆221925x y +=的准线方程是 （A ）x =±254 （B ）y =±165 （C ）x =±165 （D ）y =±2547．经过点P (－3, 0), Q (0, －2)的椭圆的标准方程是 .8．对于椭圆C 1: 9x 2+y 2=36与椭圆C 2:2211612x y +=，更接近于圆的一个是 . 9．椭圆12222=+by a x 上的点P (x 0, y 0)到左焦点的距离是r = .10．已知定点A (－2, 3)，F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使|AM |+2|MF |取得最小值。
(完整版)椭圆的简单性质练习题及答案
椭圆一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下列命题是真命题的是（ ）A ．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B ．到定直线ca x 2=和定点F(c ，0）的距离之比为ac 的点的轨迹是椭圆C ．到定点F(－c ，0）和定直线ca x 2-=的距离之比为ac （a >c>0）的点的轨迹 是左半个椭圆D ．到定直线ca x 2=和定点F （c ，0）的距离之比为ca (a >c 〉0)的点的轨迹是椭圆2．若椭圆的两焦点为（－2,0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 ( ）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x3．若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ )A ．(0，+∞)B ．（0,2)C ．（1，+∞）D ．(0，1)4．设定点F 1(0，－3)、F 2(0，3),动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ,则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 5．椭圆12222=+by a x 和k b y a x =+2222()0>k 具有（ ）A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为 ( ）A ．41B ．22 C ．42 D ． 217．已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点,若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是（ ）A ．516B ．566C ．875D ．8778．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．109．在椭圆13422=+y x 内有一点P （1,－1)，F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2｜MF|的值最小,则这一最小值是 （ ）A ．25B ．27C ．3D ．410．过点M （－2,0）的直线m 与椭圆1222=+y x 交于P 1,P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2,则k 1k 2的值为 ( ）A ．2 B ．－2 C ．21 D ．－21 二、填空题（本题共4小题,每小题6分，共24分） 11．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 ___________ 。
2--椭圆的几何性质(答案)
2.1.2 椭圆的简单几何性质参考答案1．B【解析】依题意得，2225,16a b ==，又∵在任意椭圆中有222a b c =+，从而22225169c a b =-=-=，解得3c =． 则该椭圆的焦距为26c =，故选B ． 考点：求椭圆的焦距． 2．A【解析】由题意可知226,a b c +===解方程组得224,1a b ==，所以椭圆的标准方程为2214x y +=. 考点：椭圆方程及性质. 3．C【解析】曲线221259x y +=表示的椭圆焦点在x 轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为45，焦距为16．曲线()2219259x y k k k+=<--表示的椭圆焦点在x轴上，长轴长为16．故选C ．考点：椭圆的几何性质. 4．D【解析】由题意可知40,100,410,k k k k ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩解得710k <<.考点：椭圆的标准方程及几何性质. 5．C【解析】当焦点在x 轴时222414,,4,,3;44k a b k c k k -==∴=-∴=∴=当焦点在y 轴时，2224116,4,4,,.43k a k b c k k k -==∴=-∴=∴=故选C. 考点：椭圆的方程及性质.6．B【解析】由条件知1,2c c e a ===，所以1a b ==，椭圆方程为2212x y +=，联立直线方程与椭圆方程可得()410,1,,33A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以3AB =. 考点：直线与椭圆相交的弦长问题. 7．D【解析】设点P 在x 轴上方，则坐标为2,b c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为△12F PF 为等腰直角三角形，所以212PF F F =，即22b c a =，等式两边同除以a ，化简得212e e -=，解得1e =，故选D ．考点：椭圆的简单性质，离心率问题． 8．B【解析】当动点P 从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角12F PF ∠渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点0P 处时，张角12F PF ∠达到最大值．∵椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是钝角，∴△102F P F 中，10290F P F ??，∴Rt △02OP F 中，0245OP F ∠>︒，所以b c <，∴222a c c -<，∴222a c <，∴e >，∵01e <<，∴12e <<. 考点：椭圆的简单性质. 9．12【解析】因为223412x y +=，所以22143x y +=，所以2,1a b c ===， 所以椭圆的离心率12e =. 考点：椭圆的性质.10．12【解析】由题意，得223c b e a ===，则3,2a b c ===．由椭圆的定义， 知△2ABF 的周长()22112212AB AF BF AF BF AF BF AF AF =++=+++=++()12412.BF BF a +==考点：椭圆的定义及几何性质． 11．3【解析】设椭圆的标准方程为22221x ya b+=，由题意知，24a=，2a=，∵π4CBA∠=，BC=C的坐标为()1,1-，∵点C在椭圆上，∴21114b+=，∴243b=，∴22248433c a b=-=-=，3c=3.考点：椭圆的标准方程，与几何性质．12．详见解析【解析】(1)设椭圆的标准方程为22221x ya b+=或()222210y xa ba b+=>>．由已知3a b=且椭圆过点()3,1-，∴()()22221313bb-+=或()()22221313bb-+=，∴2218,2ab⎧=⎪⎨=⎪⎩或2282,82,9ab⎧=⎪⎨=⎪⎩故所求椭圆的方程为221182x y+=或22182829x y+=.(2)当椭圆的焦点在x轴上时，由题意知3a=，3ca=，∴c=∴22296 3.b a c=-=-=∴椭圆的标准方程为22193x y+=.当椭圆的焦点在y轴上时，由题意知3,3cba==，∴a227a=.∴椭圆的标准方程为221927x y+=.综上，所求椭圆的标准方程为22193x y +=或221927x y +=. 考点:椭圆的标准方程.13．（1）2212x y +=（2）m ≤m ≤< 【解析】（1）由题意知22,2c e c a ===解得1,a c =又222a b c -=，222,1a b ∴==．故椭圆的方程为2212x y +=． （2）联立得220,1,2x y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2234220.x mx m ++-=则()221612220m m m ∆=-->⇒<<设()()1122,,,M x y N x y ，则124,3m x x +=-则122.3m y y += ∴MN 中点坐标为2,33m m ⎛⎫-⎪⎝⎭，因为MN 的中点不在圆221x y +=内，所以222133m m m ⎛⎫⎛⎫-+≥⇒≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或5m ≤-综上，可知m <≤m ≤< 考点：椭圆的方程与性质，直线和圆锥曲线的位置关系．14．（1）2211612x y +=（2）96,147⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】(1）由题意得，当点P 是椭圆的上、下顶点时，△12PF F 的面积取最大值， 此时12121,2PF F S F F OP bc =⋅=所以bc =因为1,2e =所以b =4a =, 所以椭圆方程为2211612x y +=.（2）由（1）得椭圆方程为2211612x y +=，则1F 的坐标为()2,0-， 因为0AC BD ⋅= ，所以AC BD ⊥ .①当直线AC 与BD 中有一条直线斜率不存在时，易得6814AC BD +=+=.②当直线AC 斜率k 存在且0k ≠时，则其方程为()2y k x =+，设()()1122,,,A x y C x y ，则点A 、C 的坐标是方程组()222,11612y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩的两组解，所以()2222341616480.k x k x k +++-=所以2122212216,341648,34k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以()212224134k AC x k +=-=+ .直线BD 的方程为()12y x k=-+. 同理可得()2224143k BD k +=+ ,()()()()()22222222241241168134433443k k k AC BD k k k k ++++=+=++++ ， 令()210t k k =+≠，则21681,112t AC BD t t>+=-+ ，因为1t >，所以101t <<，22111124t t t -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，所以21104t t -<≤， 所以AC BD +∈ 96,147⎡⎫⎪⎢⎣⎭.考点：椭圆方程与性质，直线与椭圆相交的位置关系.。
2.1.2-椭圆的简单几何性质2
C）
A.长轴长 B.离心率 C.焦距 D.准线方程
小结： 椭圆的第一，第二定义要灵活运用。
布置作业：P42 A组5、6
椭圆的第二定义
复习提问：椭圆的几何性质，x2 /a2+y2 /b2=1 ⑴范围：︱x︱≤a，︱y︱≤b （a为长半轴，b为短半轴）。
⑵对称性：椭圆关于X轴对称，关于Y轴对称。关于原点对 称，原点为椭圆的对称中心。
⑶顶点坐标：顶点坐标为（a，0），（-a，0），（0，b），（0， -b）。 ⑷离心率：e=c/a，0＜e＜1，a＞c＞0
2.椭圆x2/a2+y2/b2=1的两焦点F1，F2三等分准线间的距离, 则它的
离心率为 （B ）
A.√3/2 B.√3/3 C.√6/3 D.√6/6 3.如果椭圆x2/25+y2/9=1上有一点p到它的左准线的距离为2.5,
那么p到右焦点的距离为 8
4.常数的轨迹称为椭圆。 F称为椭圆的焦点，
Y M
定直线称为与F相应的准线。 由于椭圆有两个焦点，所以椭圆有两
oF
X
条准线,这两条准线均垂直于长轴。
椭圆的第二定义的数学语言可用下式来表达：MF e
点拔（1）上式蕴含方程和转化这两种数学思想。
d
（2）点M到焦点F的距离称为焦半径。
（3）焦半径公式：MF a exM
椭圆的标准方程。
x2
y2
思考：若方程 m2 (m 1)2 1 表示准线平行于
x轴的椭圆，求m的取值范围。
例3：已知点P在椭圆5x2+9y2=45上，点A（1，1）是
椭圆内一点，椭圆的右焦点F，当点P位于何处时，
PA
3 2
PF
取得最小值。
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质应用案
第1课时 椭圆的简单几何性质[A 基础达标]1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5、3、0.8 B ．10、6、0.8 C ．5、3、0.6D ．10、6、0.6解析：选B.把椭圆的方程写成标准形式为x 29＋y 225＝1，知a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以2a ＝10，2b ＝6，ca＝0.8.2．一椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则该椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 29＝1或x 29＋y 216＝1 B.x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1 C.x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1 D ．椭圆的方程无法确定解析：选C.由题可知，a ＝5且c ＝3，所以b ＝4， 所以椭圆方程为x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1.3．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4，0)，(0，2)，则此椭圆的方程是( )A.x 24＋y 216＝1或x 216＋y 24＝1B.x 24＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 216＋y 220＝1 解析：选C.由已知a ＝4，b ＝2，椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆方程是x 216＋y 24＝1.故选C.4．已知焦点在x 轴上的椭圆：x 2a2＋y 2＝1，过焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B两点，且|AB |＝1，则该椭圆的离心率为( )A.32B.12C.154D.33解析：选A.椭圆的焦点坐标为(±a 2－1，0)，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1，12，可得a 2－1a 2＋14＝1，解得a ＝2，椭圆的离心率为e ＝a 2－1a ＝32.故选A.5．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，若存在点P 为椭圆上一点，使得∠F 1PF 2＝60°，则椭圆离心率e 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，22 解析：选C.在△PF 1F 2中，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a ，根据余弦定理，得(2c )2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°，配方得(m ＋n )2－3mn ＝4c 2，所以3mn ＝4a 2－4c 2，所以4a 2－4c 2＝3mn ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝3a 2，即a 2≤4c 2，故e 2＝c 2a 2≥14，解得12≤e ＜1.故选C.6．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________． 解析：依题意得椭圆的焦点坐标为(0，5)，(0，－5)，故c ＝5，又2b ＝45，所以b ＝25，a 2＝b 2＋c 2＝25，所以所求椭圆方程为x 220＋y 225＝1.答案：x 220＋y 225＝17．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的标准方程为________．解析：设椭圆的长半轴长为a ，由2a ＝12知a ＝6. 又e ＝c a ＝32，故c ＝33， 所以b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9.所以椭圆标准方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝18．在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点．已知点P (a ，b )，△F 1PF 2为等腰三角形，则椭圆的离心率e ＝________．解析：设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)，由题意得|PF 2|＝|F 1F 2|，即（a －c ）2＋b 2＝2c .把b 2＝a 2－c 2代入，整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋ca－1＝0，解得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12.所以e ＝c a ＝12.答案：129．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，其离心率为12，焦距为8；(2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到长轴上同侧顶点的距离为3.解：(1)由题意知，2c ＝8，c ＝4，所以e ＝c a ＝4a ＝12，所以a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48，所以椭圆的标准方程是y 264＋x 248＝1.(2)由已知⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，所以⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9，所以所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1. 10.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，求此椭圆的离心率．解：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．如题图所示，则有F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，A (0，b )，B (a ，0)，直线PF 1的方程为x ＝－c ，代入方程x 2a 2＋y 2b2＝1，得y ＝±b 2a ，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . 又PF 2∥AB ， 所以△PF 1F 2∽△AOB .所以|PF 1||F 1F 2|＝|AO ||OB |，所以b 22ac ＝ba，所以b ＝2c .所以b 2＝4c 2，所以a 2－c 2＝4c 2，所以c 2a 2＝15.所以e ＝c a ＝55. [B 能力提升]11．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：选C.由题意得F (－1，0)，设点P (x 0，y 0)，则y 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)， OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2，当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值为6.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析：由题意得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c ，0)，则由∠BFC ＝90°得BF →·CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2＝c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0⇒3c 2＝2a 2⇒e ＝63.答案：6313．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率； (2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题意知A (0，b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)． 其中，c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )． 由AF 2→＝2F 2B →⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )， 解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1， 解得a 2＝3c 2.①又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－3b 2＝32⇒b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.②由①②解得c 2＝1，a 2＝3， 从而有b 2＝2.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.14．(选做题)已知椭圆x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A ，C ，上顶点为B ，过F ，B ，C 三点作⊙P ，且圆心在直线x ＋y ＝0上，求此椭圆的方程．解：设圆心P 的坐标为(m ，n )，因为圆P 过点F ，B ，C 三点，所以圆心P 既在FC 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上，FC 的垂直平分线方程为x ＝1－c2.① 因为BC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b 2， k BC ＝－b ，所以BC 的垂直平分线方程为y －b 2＝1b ⎝⎛⎭⎪⎫x －12②由①，②联立，得x ＝1－c 2，y ＝b 2－c2b ，即m ＝1－c 2，n ＝b 2－c2b.因为P (m ，n )在直线x ＋y ＝0上， 所以1－c 2＋b 2－c2b ＝0，可得(1＋b )(b －c )＝0， 因为1＋b ＞0，所以b ＝c ，结合b 2＝1－c 2得b 2＝12，所以椭圆的方程为x 2＋y 212＝1，即x 2＋2y 2＝1.。
高中数学 专题2.2.2 椭圆的简单的几何性质(2)测试(含
椭圆的简单的几何性质（2）（时间：25分，满分55分）班级 姓名 得分一、选择题1．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是( ) A ．±34 B ．±32C ．±22D ．±34答案：A2．如图所示，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )A.15B.25C.55D.255解析：由条件知：F 1(－2，0)，B (0，1)，所以b ＝1，c ＝2， 所以a ＝22＋12＝5，所以e ＝c a＝25＝255.答案：D3．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：选B 直线y ＝kx －k ＋1可变形为y －1＝k(x －1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆x29＋y24＝1内部，所以直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x29＋y24＝1相交，故选B ．4．过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点作倾斜角为π3的弦AB ，则弦AB 的长为( )A.67B.167C.716D.76答案：B5．已知F 是椭圆x 225＋y 29＝1的一个焦点，AB 为过其中心的一条弦，则△ABF 的面积最大值为( )A ．6B ．15C ．20D ．12解析：S ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤12|OF |·2b ＝12.答案：D6．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则m n的值是( ) A ．22B ．233C ．922D ．2327解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x 消去y 得，(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点为(x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝2n m ＋n ，∴x 0＝n m ＋n， 代入y ＝1－x 得y 0＝mm ＋n．由题意y 0x 0＝22，∴m n ＝22，选A ． 二、填空题7．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3,0)，|AM |＝1，且PM ·AM ＝0，则|PM |的最小值是________．解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．∵PM ·AM ＝0， ∴AM ⊥PM ．∴|PM |2＝|AP |2－|AM |2＝|AP |2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，故|AP |min ＝2，∴|PM |min ＝3． 答案： 38．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为____________________．9．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ·FP 的最大值为________．解析：由x24＋y23＝1可得F(－1,0)．设P(x ，y)，－2≤x≤2，则OP ·FP ＝x2＋x ＋y2＝x2＋x ＋31－x24＝14x2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP ·FP 取得最大值6． 答案：610．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若FA →＝3FB →，则|AF→|＝________．解析：设点A (2，n )，B (x 0，y 0)． 由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1，所以c 2＝1，即c ＝1，所以右焦点F (1，0)． 所以由FA →＝3FB →得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)． 所以1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0. 所以x 0＝43，y 0＝13n .将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1.解得n 2＝1，所以|AF →|＝（2－1）2＋n 2＝1＋1＝ 2.答案： 2 三、解答题11．已知直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M 、N 两点，且|MN |＝423.求直线l 的方程．解：设直线l 与椭圆的交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消y 并化简，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0， 所以x 1＋x 2＝－4k 1＋2k2，x 1x 2＝0.由|MN |＝423，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329，所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329，所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329.即(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋2k 22＝329. 化简，得k 4＋k 2－2＝0，所以k 2＝1，所以k ＝±1. 所以所求直线l 的方程是y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1.12．已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P (2，3)，且它的离心率e ＝12.(1)求椭圆的标准方程；(2)与圆(x ＋1)2＋y 2＝1相切的直线l ：y ＝kx ＋t 交椭圆于M ，N 两点，若椭圆上一点C 满足OM →＋ON →＝λOC →，求实数λ的取值范围．(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋(4t 2－48)＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－8kt3＋4k2， y 1＋y 2＝kx 1＋t ＋kx 2＋t ＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝6t 3＋4. 因为，λOC →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 所以C ⎝⎛⎭⎪⎫－8kt （3＋4k 2）λ，6t （3＋4k 2）λ. 又因为点C 在椭圆上，所以，4k 2t 2（3＋4k 2）2λ2＋3t2（3＋4k 2）2λ2＝1⇒λ2＝t 23＋4k 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋1. 因为t 2＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋1＞1， 所以0＜λ2＜1，所以λ的取值范围为(－1，0)∪(0，1)．。
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一、课前练习：
1.椭圆x 2+ 8y 2=1的短轴的端点坐标是 ( ) A.(0,-
42)、(0,4
2) B.(-1,0)、(1,0) C.(22,0)、(-22,0) D.(0,22)、(0,－22)
2.椭圆1492
2=+y x 的焦点到准线的距离是 ( ) A.559554和 B.5514559和 C.5514554和 D.55
14 3.离心率为23,且过点(2,0)的椭圆的标准方程是 ( ) A.1422=+y x B.1422=+y x 或14
22=+y x C.1422=+y x D.14
22=+y x 或116422=+y x 二、典例：
例1.求椭圆16x 2+25y 2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出
它的图形．
变式练习1：求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、准线方程：
(1)25x 2+4y 2-100=0， (2)x 2+4y 2-1=0．
例2．（1）求椭圆2244x y +=和2244x y +=的准线方程；
（2）已知椭圆22925900x y +=上的点P 到它的右准线的距离为8.5，则P 到左焦点的距离为 ；
（3）椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，准线方程为18y =±，椭圆上一点到两焦点的距离分别为10和14，则椭圆的方程是 ．
三、巩固练习： 1.已知F 1、F 2为椭圆(a ＞b ＞0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长
为16，椭圆离心率2
3=e ,则椭圆的方程是 ( ) 122
22=+b y a x
A.134=+y x
B.134=+y x
C.134=+y x
D.13
4=+y x 2.椭圆122
22=+a
y b x (a >b >0)的准线方程是 ( ) A.222b a a y +±= B.222b a a y -±= C.222b a b y -±= D.222
b
a a y +±= 3已知P 是椭圆136
10022=+y x 上的一点，若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是 （ ）
A ．516
B ．566
C ．875
D ．8
77 4．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是
（ ） A ．3 B ．11 C ．22
D ．10 5．在椭圆13
42
2=+y x 内有一点P （1，－1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是
（ ） A ．25 B ．27 C ．3 D ．4 6．已知A 、B 为椭圆22a x +2
2
925a y =1上两点，F 2为椭圆的右焦点，若|AF 2|+|BF 2|=58a ，AB 中点到椭圆左准线的距离为2
3，求该椭圆方程．
答案：课前练习：1.A 2.C 3.D.
例1.2a=10,2b=8,e=5
3=a c ，F 1（-3,0）F 2（3,0），A 1（-5,0）,A 2（5,0）B 1（0,-4）,B 2（0,4）. 例2．(1)23
a y c =±=±,(2)686620105-=,(3)22114480y x += 巩固练习：1.D 2.B 3.B 4. D 5.C
6.[解析]：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，,54=e 由焦半径公式有a －ex 1+a －ex 2=a 5
8，∴x 1+x 2=a 21， 即AB 中点横坐标为a 41，又左准线方程为a x 45-=，∴2
34541=+a a ，即a =1，∴椭圆方程为19
2522=+y x。