椭圆的标准方程和几何性质练习题
椭圆的定义及几何性质试题 精选精练
椭圆的定义及几何性质题型一：椭圆的定义及其应用1、判断轨迹：例：已知12,F F 是定点，动点M 满足12||||8MF MF +=，且12||8F F =则点M 的轨迹为（ ）A ．椭圆 B.直线 C.圆 D.线段变式：1 已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点．若1222=+B F A F ，则AB = ．2、利用定义例：已知椭圆x 26＋y 22＝1与双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点F 1，F 2，点P 是两曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2的值为( )．A.14 B.13 C.19 D.35变式：1、(·青岛模拟)已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.2、 已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )．A ．2 3 B ．6C ．4 3 D ．123、已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 4、已知F 1，F 2是椭圆2212516x y +=的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于1122(,)(,)A x y B x y 两点，△AF 1B 的内切圆的周长为π，则12||y y -为( ) 5.3A 10.3B 20.3C 5.3D 3、转化定义例：设椭圆x 22＋y 2m ＝1和双曲线y 23－x 2＝1的公共焦点分别为F 1、F 2，P 为这两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值等于________．变式练习：1.已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15题型二:椭圆的标准方程和性质例：[例1] (1)(2017·广东高考)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1(2)(2016·岳阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________．变式练习1.已知椭圆的长轴是短轴的3倍，且过A （3,0），并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程_____2.(2018·山东)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为 ( ) A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 题型三：椭圆的重要性质------离心率示例：如图A 、B 、C 分别为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a ＞b ＞0)的顶点与焦点， 若∠ABC =90°，则该椭圆的离心率为( )A.－1＋52 B ．1－22 C.2－1 D.22变式 1．把条件“A 、B 、C 分别为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a ＞b ＞0)的顶点与焦点， 若∠ABC =90°“改为“F 1、F 2分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另 一点B .若∠F 1AB =90°”求椭圆的离心率；2.把条件“A 、B 、C 分别为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a ＞b ＞0)的顶点与焦点，若∠ABC =90°”改为“椭圆通过A ，B 两点，它的一个焦点为点C ，且AB ＝AC ＝1，090BAC ∠=，椭圆的另一个焦点在AB 上”，求椭圆的离心率为________． 3.把条件“A 、B 、C 分别为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a ＞b ＞0)的顶点与焦点，若∠ABC =90°“改为“F 1、F 2分别为圆锥曲线的左、右焦点，曲线上存在点P 使|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )A.12或32B.23或2C.12或2D.23或324. 椭圆2222(0)x y a b a b+>>的左、右顶点分别是A ，B 左、右焦点分别是F 1，F 2．若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 。
椭圆的简单几何性质典型例题
25 x22
∴
y12
y22
9 25
x1
x2 x1
x2 ．
将此式代入①，并利用 x1 x2 8 的结论得
x0
4
36 25
∴
k BT
9 5
0
4 x0
5 4
．
典型例题五
例5
已知椭圆
x2 4
y2 3
1 ， F1 、 F2 为两焦点，问能否在椭圆上找一点 M
典型例题七
例 7 求适合条件的椭圆的标准方程．
（1）长轴长是短轴长的 2 倍，且过点 2， 6 ；
（2）在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为 6．
分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由
x2 a2
y2 b2
1求出 a2
148 ，
b2
37
x2
，在得方程
，∴ a2
4，
∴
x2 4
y2
1为所求．
说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要 借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．
典型例题四
例
4
椭圆
x2 25
y 9
2
1上不同三点
Ax1，y1
，
B
4，9 5
，
Cx2，y2
1．
②
由①、②，得 a2 148 ， b2 37 或 a2 52 ， b2 13 ．故所求的方程为
高中数学考点09-椭圆的标准方程与几何性质(1月)(期末复习热点题型)(人教A版2019)(原
考点09 椭圆的标准方程与几何性质一、单选题1．椭圆22154y x +=的长轴长为A ．2B ．4CD ．2．已知椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>和椭圆2C ：22221(0)x y c d c d+=>>的离心率相同，则A ．ab cd =B ．ac bd =C ．ad bc =D ．2222a b c d -=-3．椭圆2212516x y +=的短轴长为A ．B ．10C ．8D ．64．椭圆223412x y +=的焦点坐标为 A ．()1,0±B ．()0,1±C ．()D ．(0,5．椭圆22259225x y +=的长轴长、短轴长分别为 A ．5，3 B ．3，5 C ．10．6D ．6，106．若点M 到两定点()10,1-F ，()20,1F 的距离之和为2，则点M 的轨迹是 A ．椭圆 B ．直线C ．线段D ．线段的中垂线．7．已知ABC 的周长是20，且顶点B 的坐标为(0,4)-，C 的坐标为(0,4)，则顶点A 的轨迹方程是A ．221(0)2036x y x -=≠B ．221(0)3620x y x +=≠C ．221(0)2036x y x +=≠D ．221(0)3620x y x -=≠8．若方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是A ．(0)1，B ．()(011)+∞，，C ．(0)+∞，D ．(1)+∞， 9．椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的上、下焦点分别为1F 、2F ，过椭圆上的点M 作向量MN使得12MN F F =，且12 F F N 为正三角形，则该椭圆的离心率为A BC ．2D ．1210．已知椭圆22:196x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 椭圆C 上，且12=PF ，则2PF = A ．16 B ．7 C ．4D ．111．椭圆2214924x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若16PF =，则12PF F △的面积为 A ．24 B ．28 C ．40D ．4812．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为2F ，O 为坐标原点，M 为y 轴上一点，点A 是直线2MF 与椭圆C 的一个交点，且2||||2||OA OF OM ==，则椭圆C 的离心率为 A ．13B ．25C D 13．若椭圆222125x y m+=的左焦点为()14,0F -，则m =A ．2B ．3C ．3±D ．914．椭圆22195x y +=上任一点P 到点()1,0Q 的距离的最小值为A BC ．2D15．已知1F ，2F 分别是椭圆22221(0)9x y a a a +=>-的左、右两焦点，过点2F 的直线交椭圆于点A ，B ，若1ABF 为等边三角形，则a 的值为A ．3B ．C ．D 16．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，若12BF F 为等边三角形，则该椭圆的离心率为A ．12B ．3C ．2D1710=的化简结果是A ．2212521x y +=B ．2212521y x +=C ．221254x y +=D ．221254y x +=18．设M 是圆P ：()22236x y ++=上的一动点，定点()0,2Q ，线段MQ 的垂直平分线交线段PM 于N 点，则N 点的轨迹方程为A ．22195x y +=B ．22159x y +=C ．2213632x y +=D ．2213236x y +=19．已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为A ．12BC ．15D20．设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，12||F F =P 是C 上一点，若12PF PF a -=，且121sin 3PF F ∠=，则椭圆C 的方程为 A ．22143x y +=B ．22163x y +=C ．22164x y +=D ．22142x y +=21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，倾斜角为45︒的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，AB 的中点是(4,1)M -则椭圆的离心率是A BC ．2D ．1222．椭圆C ：2221(0)3x y a a +=>的焦点在x 轴上，其离心率为12，则A ．椭圆CB ．椭圆C 的长轴长为4 C ．椭圆C 的焦距为4D ．4a =23．椭圆22143x y +=的右焦点到直线0x y -=的距离是A ．12BC ．1D24．已知椭圆C 的短轴长为6，离心率为45，则椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为 A ．9 B ．1C ．1或9D ．以上都不对25．已知椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于A ．3B ．5C ．7D ．826．已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)，M 为椭圆上一动点，1F 为椭圆的左焦点，则线段1MF 的中点P 的轨迹是 A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线27．已知A 、B 是椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)长轴的两个端点，P 、Q 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AP 、BQ 的斜率分别为1k 、2k ，若1211k k +的最小值为4，则椭圆的离心率为 A ．12B．3 CD28．已知1F ，2F 分别是椭圆22:143x y C +=的左、右焦点，点P 、Q 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且12//PF QF ，则12PF QF +的取值范围为 A ．[)2,4B ．[)3,4C ．[)1,4D ．[)1.5,429．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，直线y =与椭圆C 相交于A ，B 两点，且AF BF ⊥，则椭圆C 的离心率为A ．12 B 1C ．12D 130．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点M 在椭圆上，以M 为圆心的圆与x 轴相切与椭圆的焦点，与y 轴相交于P ，Q ，若MPQ 为正三角形，则椭圆的离心率为 A ．12B ．13C ．2D ．331．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为2，右顶点为A ，过原点与x 轴不重合的直线交C 于M ，N 两点，线段AM 的中点为B ，若直线BN 经过C 的右焦点，则C 的方程为A ．22143x y +=B ．22165x y +=C ．22198x yD ．2213632x y +=32．已知直线:210l kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x yC a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆222:(2)(1)1C x y -+-=交于C 、D 两点．若存在[2,1]k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围是 A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．0,2⎛ ⎝⎦D ．2⎫⎪⎪⎣⎭33．已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为（1，1-），则G 的方程为A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=34．焦点在x 轴上的椭圆的方程为222141x ya a +=+(0a >)，则它的离心率e 的取值范围为A ．104⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．⎛ ⎝⎦D ．1142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，35．若1F 、2F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上的任意一点，且12MF F △的内切圆的周长为3π，则满足条件的点M 的个数为 A ．2 B ．4 C ．6 D ．不确定二、多选题1．已知椭圆C ：221641x y +=，则下列结论正确的是A ．长轴长为12BC ．焦点坐标为04⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭， D ．离心率为22．椭圆的焦距，短轴长和长轴长构成等差数列，其中长轴长等于10，则椭圆的标准方程为A ．2212516x y +=B ．22110064x y +=C ．22164100x y +=D ．2251162x y +=3．已知椭圆22221x y a b +=的焦距为6，直线l 与椭圆交于A ，B 两点，弦AB 的中点为(2,1)M ，则直线l 的方程为 A ．78220x y +-= B ．7860x y --= C ．3271030x y --=D ．327710x y +-=4．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 处变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点处第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，且轨道Ⅰ的右顶点为轨道Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅰ的长半轴长分别为1a 和2a ，半焦距分别为1c 和2c ，离心率分别为1e ，2e ，则下列结论正确的是A ．()11222a c a c +>+B ．1122a c a c -=-C ．2112e e +=D ．椭圆Ⅰ比椭圆Ⅰ更扁5．已知椭圆C ：221625400x y +=，关于椭圆C 下述正确的是 A ．椭圆C 的长轴长为10B ．椭圆C 的两个焦点分别为(0,3)-和(0,3) C ．椭圆C 的离心率等于35D ．若过椭圆C 的焦点且与长轴垂直的直线l 与椭圆C 交于,P Q ，则32||5PQ = 6．已知曲线22:1C mx ny +=A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上 C ．若0m n =>，则CD ．若0m =，0n >，则C 是两条直线7．关于x 、y 的方程22221232x y m m +=+-，（其中223m ≠）对应的曲线可能是 A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．圆8．为使椭圆2212x y m+=的离心率为12，正数m 的值可以是A ．1BC ．83D ．329．下列说法正确的有A ．方程2x xy x +=表示两条直线B ．椭圆221102x y m m +=--的焦距为4，则4m =C ．曲线22259x y xy +=关于坐标原点对称D ．椭圆C ：2215y x +=的焦距是210．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，P 是该椭圆在第一象限内的点，1F ，2F 分别为椭圆的左右焦点，12F PF ∠的角平分线交x 轴于点M ，且满足24MF OM =，则该椭圆的离心率可能是 A ．18B ．14 C ．12D ．34三、填空题1．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为椭圆的右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的最大值为__________．2．已知椭圆2211612x y +=的左、右焦点分别为12,,F F AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则2ABF 的周长是__________．3．已知椭圆C ：2214x y +=的两个焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且与坐标轴不平行的直线与椭圆交于点M ，N ，则2MNF 的周长是__________．4．椭圆2216x y m+=的一个焦点是(0,2)，则m =__________．5．已知方程22112x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__________． 6．椭圆221916x y +=的离心率为__________．7．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，左焦点(,0)F c -，右顶点(,0)A a ，上顶点(0,)B b ，满足0FB AB =，则椭圆的离心率为__________．8．已知椭圆2219x y m +=的离心率等于13，则实数m =__________． 9．已知1F 、2F 是椭圆22110064x y +=上的两个焦点，P 是椭圆上一点，且12PF PF ⊥，则12F PF △的面积为__________．10．若A 、B 为椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)长轴的两个端点，垂直于x 轴的直线与椭圆交于点M 、N ，且14AM BN k k ⋅=，则椭圆C 的离心率为__________． 11．如图所示，椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)的左右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，离心率为12，点P 为第一象限内椭圆上的一点，若1122:1PF APF F S S=:，则直线1PF 的斜率为__________．12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过函数31x y x =-图象的对称中心，若椭圆C 的离心率,23e ∈ ⎝⎭，则C 的长轴长的取值范围是__________．13．已知椭圆22195y x +=的上焦点为F ，M 是椭圆上一点，点()A ，当点M 在椭圆上运动时，MA MF +的最大值为__________．14．已知1F 、2F 为椭圆C ：222116x y a +=的左、右焦点，M 为椭圆上一点，且12MF F △内切圆的周长等于3π，若满足条件的点M 恰好有两个，则a =__________．15．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的离心率为3，若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线2y x =+相切，则椭圆的标准方程为__________． 四、双空题1．已知1F ，2F 是椭圆22:195x y C +=的左、右焦点，点P 在C 上，则12PF PF ⋅的最大值为__________；若(0,A ，则2PA PF -的最小值为__________．2．椭圆22149x y +=的焦距是__________，离心率是__________．3．在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()1,2-，且0OM ON +=，动点P 与,M N 连线的斜率之积为12-，则动点P 的轨迹方程为__________，PMN 面积的取值范围是__________．4．椭圆221mx ny +=与直线10x y +-=相交于,A B 两点，C 是线段AB 的中点，若AB =，OC 的斜率为2，则m n -=__________，离心率e =__________．5．已知椭圆C 的焦点在x 轴上，它的长轴长为4，焦距为2，则椭圆C 的短轴长为__________，标准方程为__________．6．已知椭圆22195x y +=的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则21PF F ∠=__________，12PF PF -=__________．7．椭圆:194C +=的离心率为__________，长轴长__________．8．椭圆22142x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过焦点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，则2ABF 的周长为__________；若A ，B 两点的坐标分别为()11,x y 和()22,x y ，且212y y -=，则2ABF 的内切圆半径为__________．9．椭圆22194x y +=的长轴长是__________，离心率是__________．10．（1）方程2244kx y k +=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是__________；（2）设点A ，B 的坐标为()20-，，()20，，点P 是曲线C 上任意一点，且直线P A 与PB 的斜率之积为14-，则曲线C 的方程是__________． 五、解答题1．已知圆2219:24E x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点12,F F ，且与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且1F ，E ，A 三点共线，直线l 交椭圆C 于两点M ，N ，且(0)MN OA λλ=≠． （1）求椭圆C 的方程；（2）当AMN 的面积取到最大值时，求直线l 的方程．2．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的四个顶点围成的四边形的面积为原点到直线1x y a b += （1）求椭圆C 的方程；（2）已知定点()0,2P ，是否存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点?若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为2，离心率为，直线:(0)=+≠l y kx m k 与椭圆C 交于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若线段AB 的垂直平分线通过点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭，证明：2212k m +=． 4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为P ，右顶点为Q ，直线PQ 与圆2245x y +=相切于点24,55M ⎛⎫⎪⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）若不经过点P 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且PA PB ⋅＝0，求证：直线l 过定点．5．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F ，离心率12e =，点P 是椭圆上一个动点，1PF F 面积的最大值是（1）求椭圆的方程； （2）A ，B ，C ，D 是椭圆上不同的四点，AC 与BD 相交于点1F ，0AC BD ⋅=，||||AC BD +的最小值．6．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的离心率为3，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点． 当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为2． （1）求a 、b 的值；（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有点P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由． 7．平面内动点M 到点()2,0F 的距离与M 到直线92x =的距离之比为23． （1）求动点M 的轨迹C 的方程； （2）过点F 的直线l 交轨迹C 于不同两点A ､B ，交y 轴于点N ，已知1NA AF λ=，2NB BF λ=，试问12λλ+是否等于定值，并说明理由．8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，点P 为椭圆C 上一点，使得1260F PF ∠=，12PF F △ （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线1l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，直线2l 与椭圆C 相交于D 、E 两点，且A 、B 、D 、E 四点的横坐标均不相同，若直线1l 与直线2l 的斜率互为相反数，求证：直线AD 和直线BE 的斜率互为相反数．9．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且长轴长等于4．（1）求椭圆C 的方程；（2）1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，圆O 是以12F F 为直径的圆，直线l ：y kx m =+与圆O相切，并与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若32OA OB ⋅=-，求k 的值．10．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，右焦点)F，且离心率2e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）过F 且倾斜角为45︒的直线l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，求OMN (O 为坐标原点)的面积．11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点P ⎛ ⎝⎭，且离心率2e =． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若斜率为k 且不过点P 的直线l 交C 于,A B 两点，记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，且120k k +=，求直线l 的斜率k ．12．设椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，一个顶点坐标为(2,0) （1）求这个椭圆的方程；（2）若这个椭圆左焦点为1F，右焦点为F，过1F且斜率为1的直线交椭圆于A、B 2两点，求AB的长及2ABF的面积．高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
高考数学一轮复习课时过关检测五十椭圆的定义标准方程及简单几何性质含解析
课时过关检测(五十) 椭圆的定义、标准方程及简单几何性质A 级——基础达标1．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为25的椭圆方程是( ) A ．x 225＋y 220＝1 B ．x 220＋y 225＝1 C ．x 220＋y 245＝1 D ．x 280＋y 285＝1 解析：B 由9x 2＋4y 2＝36可得x 24＋y 29＝1，所以所求椭圆的焦点在y 轴上，且c 2＝9－4＝5，b ＝25，a 2＝25，所以所求椭圆方程为x 220＋y 225＝1．2．“(log a 2)x 2＋(log b 2)y 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是( )A ．0＜a ＜bB ．1＜a ＜bC ．2＜a ＜bD ．1＜b ＜a解析：C 若(log a 2)x 2＋(log b 2)y 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则需⎩⎪⎨⎪⎧ log a 2＞0，log b 2＞0，log a 2＞log b 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，b ＞1，a ＜b ，所以1＜a ＜b ，所以“(log a 2)x 2＋(log b 2)y 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是2＜a ＜b ，故选C ．3．如图，P 是椭圆x 29＋y 24＝1上的一点，F 是椭圆的左焦点且PQ ―→＝－FQ ―→，|OQ ―→|＝2，则|PF |＝( )A ．2B ． 5C ．3D ．4解析：A 由x 29＋y 24＝1可得a ＝3．因为PQ ―→＝－FQ ―→，所以点Q 是线段PF 的中点，设椭圆的右焦点为F ′，则O 是FF ′的中点，所以|PF ′|＝2|OQ |＝4，由椭圆的定义可知：|PF |＋|PF ′|＝2a ＝6，所以|PF |＝2，故选A ．4．已知椭圆C ：x 225＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在椭圆C 上，当△MF 1F 2的面积最大时，△MF 1F 2内切圆半径为( )A ．3B ．2C ．53D ．43解析：D 因为椭圆为x 225＋y 29＝1，所以a ＝5，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝4．当△MF 1F 2的面积最大时，点M 为椭圆C 短轴的顶点，不妨设点M 为椭圆C 的上顶点，点O 为坐标原点，△MF 1F 2内切圆半径为r ，则|MF 1|＝|MF 2|＝a ＝5，|F 1F 2|＝2c ＝8，|OM |＝b ＝3，S △MF 1F 2＝12(|MF 1|＋|MF 2|＋|F 1F 2|)·r ＝12|F 1F 2|·|OM |，所以r ＝43，故选D ．5．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点作x 轴的垂线，交C 于A ，B 两点，直线l 过C的左焦点和上顶点．若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则C 的离心率的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，55 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫55，1 C ．⎝⎛⎦⎥⎤0，22 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 解析：A 由题设知，直线l ：x －c ＋yb＝1，即bx －cy ＋bc ＝0，以AB 为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x ＝c 代入椭圆C 的方程，得y ＝±b 2a ，即圆的半径r ＝b 2a ．又圆与直线l 有公共点，所以2bcb 2＋c 2≤b 2a，化简得2c ≤b ，平方整理得a 2≥5c 2，所以e ＝c a ≤55．又0<e <1，所以0<e ≤55．故选A ． 6．(多选)对于曲线C ：x 24－k ＋y 2k －1＝1，下面四个说法正确的是( )A ．曲线C 不可能是椭圆B ．“1<k <4”是“曲线C 是椭圆”的充分不必要条件C ．“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”是“3<k <4”的必要不充分条件D ．“曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆”是“1<k <2．5”的充要条件解析：CD 对于A ，当1<k <4且k ≠2．5时，曲线C 是椭圆，所以A 错误；对于B ，当k ＝2．5时，4－k ＝k －1，此时曲线C 是圆，所以B 错误；对于C ，若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧4－k >0，k －1>0，k －1>4－k ，解得2．5<k <4，所以“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”是“3<k <4”的必要不充分条件，所以C 正确；对于D ，若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧k －1>0，4－k >0，4－k >k －1，解得1<k <2．5，所以D 正确．7．(多选)如图，两个椭圆x 225＋y 29＝1，y 225＋x 29＝1内部重叠区域的边界记为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，下列四个说法正确的为( )A ．P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)，E 1(0，－4)，E 2(0,4)四点的距离之和为定值B ．曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称 C ．曲线C 所围区域面积必小于36D ．曲线C 总长度不大于6π解析：BC 易知F 1(－4,0)，F 2(4,0)分别为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，E 1(0，－4)，E 2(0,4)分别为椭圆y 225＋x 29＝1的两个焦点．若点P 仅在椭圆x 225＋y 29＝1上，则P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和为定值，到E 1(0，－4)，E 2(0,4)两点的距离之和不为定值，故A 错误；两个椭圆关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称，则曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称，故B 正确；曲线C 所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故C 正确；曲线C 所围区域在半径为3的圆外部，所以曲线的总长度大于圆的周长6π，故D 错误．故选B 、C ．8．若椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为22，则该椭圆的长轴长为________．解析：由椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为22，当m ＞2时，椭圆焦点在x 轴上，c a ＝22＝m －2m，解得m ＝4，所以椭圆的长轴长为4，当0＜m ＜2时，椭圆焦点在y 轴上，ca＝22＝2－m 2，得m ＝1，所以椭圆的长轴长为22．答案：4或2 29．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a ＞1)的左、右焦点，P (1,1)为C 内一点，Q为C 上任意一点．现有四个结论：①C 的焦距为2；②C 的长轴长可能为10； ③|QF 2|的最大值为a ＋1；④若|PQ |＋|QF 1|的最小值为3，则a ＝2． 其中所有正确结论的编号是________．解析：对于①：因为c 2＝a 2－(a 2－1)＝1，所以椭圆C 的焦距为2c ＝2，故①正确；对于②：若椭圆C 的长轴长为10，则a 2＝52，所以椭圆C 的方程为x 252＋y 232＝1，则152＋132＞1，从而点P 在C 的外部，这与P 在C 内矛盾，所以②不正确；对于③：因为c ＝1，Q 为C 上任意一点，由椭圆的几何性质可知，|QF 2|的最大值为a ＋c ＝a ＋1，故③正确；对于④：由椭圆定义可知，|PQ |＋|QF 1|＝|PQ |－|QF 2|＋2a ，因为||PQ |－|QF 2||≤|PF 2|＝1，所以|PQ |－|QF 2|≥－1，所以|PQ |－|QF 2|＋2a ≥2a －1＝3，此时a ＝2，故④正确．答案：①③④10．(2019·全国Ⅱ卷)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点．(1)若△POF 2为等边三角形，求C 的离心率；(2)如果存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，且△F 1PF 2的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围． 解：(1)连接PF 1(图略)．由△POF 2为等边三角形可知在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝90°，|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ，于是2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(3＋1)c ，故C 的离心率为e ＝ca＝3－1．(2)由题意可知，满足条件的点P (x ，y )存在当且仅当 12|y |·2c ＝16，y x ＋c ·y x －c ＝－1，x 2a 2＋y 2b 2＝1， 即c |y |＝16，①x 2＋y 2＝c 2，② x 2a 2＋y 2b 2＝1．③ 由②③及a 2＝b 2＋c 2得y 2＝b 4c2．又由①知y 2＝162c2，故b ＝4．由②③及a 2＝b 2＋c 2得x 2＝a 2c2(c 2－b 2)，所以c 2≥b 2，从而a 2＝b 2＋c 2≥2b 2＝32，故a ≥42． 当b ＝4，a ≥42时，存在满足条件的点P ．所以b ＝4，a 的取值范围为[42，＋∞)．B 级——综合应用11．如图是5号篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22 cm ，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为( )A ．13B ．12C ．22D ．32解析：B 由图可得，椭圆的短轴长2b ＝22⇒b ＝11，长轴长2a ＝22sin 60°＝2232⇒a ＝223，∴e ＝ca ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2232－112223＝1－34＝12．故选B ．12．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图①所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图②所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图③所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆．已知图①、②、③中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为139，5645，107，设图①、②、③中椭圆的离心率分别为e 1，e 2，e 3，则( )A ．e 1＞e 3＞e 2B ．e 2＞e 3＞e 1C ．e 1＞e 2＞e 3D ．e 2＞e 1＞e 3解析：A 因为椭圆的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a2＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 2a 2，所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大．因为139≈1．44，5645≈1．24，107≈1．43，则139＞107＞5645，所以e 1＞e 3＞e 2．故选A ．13．(多选)数学家称5－12为黄金比，记为ω，定义：若椭圆的短轴与长轴之比为黄金比ω，则称该椭圆为“黄金椭圆”，以椭圆中心为圆心，半焦距长为半径的圆称为焦点圆．若黄金椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)与它的焦点圆在第一象限的交点为Q ，则下列结论正确的有( )A ．ω2＋ω＝1B ．黄金椭圆的离心率e ＝ωC ．设直线OQ 的倾斜角为θ，则sin θ＝ωD ．交点Q 的坐标为(b ，ωb )解析：AC 方程ω2＋ω－1＝0的根为ω＝－1±52，故A 正确；由题意可知，b a ＝5－12＝ω，则e ＝ca＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－ω2＝ω≠ω，故B 错误；易知QF 1⊥QF 2，且∠QF 1F 2＝θ2，则|QF 2|＝2c ·sin θ2，|QF 1|＝2c ·cos θ2，所以|QF 1|＋|QF 2|＝2c ⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ2＝2a ，即sin θ2＋cos θ2＝a c ＝1ω，两边平方，可得sin θ＋1＝1ω＝25－1＝5＋12，即sin θ＝5＋12－1＝5－12＝ω，故C 正确；由C 知，sin θ＝ω，所以tan θ≠ω，即D 错误．故选A 、C ．14．(2021·浙江高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)．若过F 1的直线和圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12c 2＋y 2＝c 2相切，与椭圆的第一象限交于点P ，且PF 2⊥x 轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________．解析：设过F 1的直线与圆的切点为M ，圆心A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ，0，则|AM |＝c ，|AF 1|＝32c ，所以|MF 1|＝52c ，所以该直线的斜率k ＝|AM ||MF 1|＝c 52c ＝255．因为PF 2⊥x 轴，所以|PF 2|＝b2a ，又|F 1F 2|＝2c ，所以k ＝255＝b 2a 2c ＝a 2－c 22ac ＝1－e 22e ，得e ＝55．答案：255 5515．已知直线x －3y ＋3＝0经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点和上顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若A ，B 为椭圆上除上下顶点之外的关于原点对称的两个点，已知直线y ＝3－x 上存在一点P ，使得三角形PAB 为正三角形，求AB 所在直线的方程．解：(1)因为直线x －3y ＋3＝0与x 轴交于点(－3，0)，与y 轴交于点(0,1)，又直线x －3y ＋3＝0经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点和上顶点，可得a ＝3，b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1．(2)设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)， 由题意知直线AB 的斜率存在，当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线l ：x ＋y －3＝0的交点为P (0,3)，因为|AB |＝23，PO ＝3可得∠PAO ＝60°，以△PAB 为等边三角形，故得直线AB 的方程为y ＝0．当直线AB 的斜率不为0时， 设AB 的方程为y ＝kx ，代入椭圆方程消去y ，得(3k 2＋1)x 2＝3， 所以|x 1|＝33k 2＋1，则|AO |＝1＋k 2·33k 2＋1＝3k 2＋33k 2＋1， 设AB 的垂直平分线为y ＝－1kx ，设它与直线l ：x ＋y －3＝0的交点为P (x 0，y 0)，则x 0＝3k k －1，y 0＝－3k －1，所以|PO |＝9k 2＋9k －12，因为△PAB 为正角形，所以应有|PO |＝3|AO |， 可得9k 2＋9k －12＝3·3k 2＋33k 2＋1，解得k ＝0(舍)或k ＝－1， 故直线AB 的方程为y ＝0或x ＋y ＝0．。
椭圆标准方程及几何性质题型训练
根据椭圆的几何性质，可以判断一个点是否在椭圆上。
点与椭圆的位置关系
根据点与椭圆的位置关系，可以判断该点是否在椭圆上。如果点在椭圆内部，则代入椭圆方程后结果小于 1；如果点在椭圆上，则代入椭圆方程后结果等于1；如果点在椭圆外部，则代入椭圆方程后结技巧
答案3
椭圆上的点到原点的距离的最大值为 $5$。
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椭圆的标准方程
椭圆的标准方程是$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$是椭圆的长 轴半径，$b$是椭圆的短轴半径。
当焦点在$x$轴上时，椭圆的标准方程为$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$； 当焦点在$y$轴上时，椭圆的标准方程为$frac{y^2}{a^2} + frac{x^2}{b^2} = 1$。
常见错误分析
坐标系选择不当
选择不合适的坐标系会导致计算复杂化，甚至得出错误的结果。
混淆标准方程
将椭圆的标准方程与其他形式的椭圆方程混淆，导致解题思路错误。
忽视几何性质
在解题过程中忽视椭圆的几何性质，导致无法利用这些性质简化计算。
计算错误
由于计算失误，导致最终结果错误。
注意事项
理解题目要求
在开始解题之前，确保完全理解题目的要求和条 件。
椭圆标准方程及几何性质 题型训练
• 椭圆的标准方程 • 椭圆的几何性质 • 椭圆标准方程题型训练 • 解题技巧与注意事项 • 练习题与答案
01
椭圆的标准方程
椭圆的定义
椭圆是平面内与两个定点$F_1$和 $F_2$的距离之和等于常数（大于 $F_1F_2$）的点的轨迹。
(整理)椭圆及其简单几何性质
精品文档椭圆及其标准方程1。
平面内 ，叫做椭圆。
叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距。
2。
根据椭圆的定义可知：集合{}A MF MF M P 221=+=，0,0,221>>=c a c F F ，且c a ,为常数。
当 时，集合P 为椭圆；当 时，集合P 为线段；当 时，集合P 为空集。
3。
焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为 。
焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为 。
其中c b a ,,满足关系为 。
练习1判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明a 2、b 2，写出焦点坐标练习2将下列方程化为标准方程，并判定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标练习3 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；⑵4,a b ==y 轴上；⑶10,a b c +==例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()()2,0,2,0-，并且经过点53,22⎛⎫-⎪⎝⎭，求它的标准方程.1162522=+y x 116914422=+y x 112222=++m y m x 022525922=-+y x 13222-=--y x 0,,22<=+C B A C By Ax精品文档例2 在圆x 2+y 2=4上任取一点P ，向x 轴作垂线段PD ，D 为垂足。
当点P 在圆上运动时，求线段PD 中点M 的轨迹方程。
轨迹是什么图形？相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程.例3 设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程..知识小结： 1、椭圆的定义（强调2a>|F 1F 2|）和椭圆的标准方程 2、椭圆的标准方程有两种，注意区分 3、根据椭圆标准方程判断焦点位置的方法 4、求椭圆标准方程的方法写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P -； ⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a =； ⑶10,4a c a c +=-=.精品文档椭圆的简单几何性质1.范围方程中x 、y 的取值范围是什么? 由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式22a x ≤1, 22by ≤1 即 x 2≤a 2, y 2≤b 2所以 |x|≤a ， |y|≤b即 －a ≤x ≤a, －b ≤y ≤b这说明椭圆位于直线x ＝±a, y ＝±b 所围成的矩形里。
椭圆的几何性质测试题
椭圆的几何性质 2017/9/221.椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为 ( )A.32B.34C.22D.232.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是 ( )A.x 23＋y 24＝1B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1D.x 24＋y 23＝1 3.若椭圆经过原点，且焦点分别为1(1,0)F ，2(3,0)F ，则其离心率为 （ ） A ．34 B ．23 C ．12 D ．144．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆方程为 ( )A ．x 2144＋y 2128＝1或x 2128＋y 2144＝1B ．x 26＋y 24＝1C ．x 236＋y 232＝1或x 232＋y 236＝1D ．x 24＋y 26＝1或x 26＋y 24＝15.椭圆+=1与+=1(0<k<9)的关系为 ( )A.有相等的长、短轴B.有相等的焦距C.有相同的焦点D.有相等的离心率 6.已知F 1，F 2为椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率e=，则椭圆的方程是 ( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=17.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为 ( )A ．x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C ．x 212＋y 28＝1D ．x 212＋y 24＝18.过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2=60°，则椭圆的离心率为 ( ) A.B.C.D.9.设F 1，F 2是椭圆E ：+=1(a>b>0)的左、右焦点，P 为直线x=上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为 ( )A. B. C. D.10.设e 是椭圆+=1的离心率，且e ∈，则实数k 的取值范围是 ( )A.(0，3)B.C.(0，3)∪D.(0，2)二、填空题:11.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是10，离心率是45的椭圆的标准方程： .(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6的椭圆的标准方程： .(3)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3的椭圆的标准方程： . 12.已知椭圆+=1的两个焦点是F 1,F 2,点P 在该椭圆上,若|PF 1|-|PF 2|=2,则△PF 1F 2的 面积是 .13.若直线022=+-y x 过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点F 和一个顶点B ，则该椭圆的离心率为_______。
高中数学-椭圆常考题型汇总及练习
高中数学-椭圆常考题型汇总及练习高中数学-椭圆常考题型汇总及练第一部分：复运用的知识一）椭圆几何性质椭圆的第一定义是：平面内与两定点F1、F2距离和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。
两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（2c）。
椭圆的几何性质以x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1为例：范围由标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式2≤x^2/a^2 + y^2/b^2 ≤1，即abx≤a，y≤b。
这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里（封闭曲线）。
该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题。
椭圆还有以下对称性：关于原点、x轴、y轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。
椭圆的顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个：A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b)。
长轴为A1A2，长度为2a；短轴为B1B2，长度为2b。
椭圆的离心率e有以下几个性质：（1）椭圆焦距与长轴的比e=c/a，其中c为焦距；（2）a^2=b^2+c^2，即a是长半轴长，b是短半轴长；（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关。
当e接近于1时，椭圆越扁；当e接近于0时，椭圆越接近圆。
椭圆还有通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）和焦点三角形等性质。
二）运用的知识点及公式在解题过程中，我们需要掌握以下知识点和公式：1、两条直线.2、XXX定理：若一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个不同的根x1,x2，则2bc/(a(x1+x2))=-1，x1+x2=-b/a。
1.中点坐标公式：对于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，它们的中点坐标为(x,y)，其中x=(x1+x2)/2，y=(y1+y2)/2.2.弦长公式：如果点A(x1,y1)和点B(x2,y2)在直线y=kx+b(k≠0)上，则y1=kx1+b，y2=kx2+b。
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椭圆的标准方程和几何性质练习题一1. 若曲线ax 2＋by 2＝1为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ，b 满足( ) A ．a 2>b 2 B.1a <1b C ．0<a <bD ．0<b <a答案：C 由ax 2＋by 2＝1，得x 21a ＋y 21b＝1，因为焦点在x 轴上，所以1a >1b >0，所以0<a <b . 2. 一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2,3)是椭圆上一点,且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2| 成等差数列，则椭圆方程为( )A.2x 8+2y 6=1B.2x 16+2y 6=1C.2x 8+2y 4=1D.2x 16+2y 4=1 答案：A 设椭圆的标准方程为2222x y a b +=1(a>b>0)。
由点P(2,3)在椭圆上知2243a b+=1。
又|PF 1|，|F 1F 2|，PF 2|成等差数列，则|PF 1|+|PF 2|=2|F 1F 2|，即2a=2×2c ，c 1,a 2=又c 2=a 2-b 2，联立得a 2=8，b 2=6 3. 已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．23B ．6C ．43D ．12答案：C 如图，设椭圆的另外一个焦点为F ，则△ABC 的周长为|AB |＋|AC |＋|BC |＝(|AB |＋|BF |)＋(|AC |＋|CF |)＝4a ＝43。
4. 已知椭圆x 2＋my 2＝1的离心率e ∈⎝⎛⎭⎫12，1，则实数m 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫0，34B. ⎝⎛⎭⎫43，＋∞C. ⎝⎛⎭⎫0，34∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞ D. ⎝⎛⎭⎫34，1∪⎝⎛⎭⎫1，43答案：C 在椭圆x 2＋my 2＝1中，当0＜m ＜1时，a 2＝1m ，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1m－1，∴e 2＝c 2a 2＝1m －11m＝1－m ，又12＜e ＜1，∴14＜1－m ＜1，解得0＜m ＜34，当m ＞1时，a 2＝1，b 2＝1m ，c 2＝1－1m ， e 2＝c 2a 2＝1－1m 1＝1－1m ，又12＜e ＜1，∴14＜1－1m ＜1，解得m ＞43，综上可知实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞。
5. 已知两圆C 1:(x -4)2+y 2=169，C 2:(x +4)2+y 2=9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.1486422=-y x B. 1644822=+y x C. 1644822=-y xD.1486422=+y x 答案：D 设圆M 的半径为r ，则|MC 1|+|MC 2|=(13-r)+(3+r)=16，所以M 的轨迹是以C 1,C 2为焦点的椭圆，且2a=16，2c=8，故所求的轨迹方程为2x 64+2y 48=16. 椭圆12222=+b y a x (a >b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上的一点，ca x l 2:-=，且PQ ⊥l ，垂足为Q ，若四边形PQF 1F 2为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是( )A. (12,1) B. (0,12)),1) 答案：A 设点P(x 1,y 1)，由于PQ ⊥l ,故|PQ|=x 1+2a c，因为四边形PQF 1F 2为平行四边形，所以|PQ|=|F 1F 2|=2c ，即x 1+2a c =2c ，则有x 1=2c-2a c >-a ，所以2c 2+ac-a 2>0，即2e 2+e-1>0，解得e<-1或e>12，由于0<e<1，所以12<e<1，即椭圆离心率的取值范围是(12,1) 7. 已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15答案：B 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7。
8. 设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1 答案：D ∵(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF 2→＝F 1P →·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°. 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12,2mn ＝4，∴S △F1PF 2＝12mn ＝1 9. 已知椭圆C ：12222=+by a x (a >b>0)的左右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰有8个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为直角三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.(0,22) B.(0,22] C.(22,1) D.[22,1) 答案：C 由题意，问题等价于椭圆上存在四个点P 使得直线PF 1与直线PF 2垂直，所以|OP|=c>b ， 即c 2>a 2-c 2，所以a<2c ，因为e=ca，0<e<1，所以22<e<1.10. 若点O 和点F 分别为椭圆13422=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则→→⋅FP OP 的最大值为( ) A. 2B. 3C. 6D. 8答案：C 设椭圆上任意一点P(x 0,y 0)，则有2200x y 43+=1，即=3-34，O(0,0)，F(-1,0)，则·=x 0(x 0+1)+=14+x 0+3=14(x 0+2)2+2.因为|x 0|≤2，所以当x 0=2时，·取得最大值为611. 在△ABC 中，AB ＝BC ，cos B ＝－718.若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率为( )A. 34B. 37C. 38D. 318答案：C 依题意知AB ＝BC ＝2c ，AC ＝2a －2c ，在△ABC 中，由余弦定理得(2a －2c )2＝8c 2－2×4c 2×⎝⎛⎭⎫－718，故16e 2＋18e －9＝0，解得e ＝38. 12. 已知F 1，F 2分别是椭圆13422=+y x 的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与F 1A 的延长线、F 1F 2的延长线以及线段AF 2相切，若M (t ,0)为一个切点，则（ ） A. t =2B. t >2C. t <2D. t 与2的大小关系不确定答案：A 如图，P ，Q 分别是圆C 与F 1A 的延长线、线段AF 2相切的切点，则|MF 2|=|F 2Q|=2a-(|F 1A|+|AQ|)=2a-|F 1P|=2a-|F 1M|，即|F 1M|+|MF 2|=2a. 所以t=a=2.13. 椭圆12222=+by a x (a >b >0)上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈⎣⎡⎦⎤π12，π4，则该椭圆离心率的取值范围为( ) A. ⎣⎡⎦⎤22，63 B. ⎣⎡⎦⎤22，32 C. ⎣⎡⎭⎫63，1 D. ⎣⎡⎭⎫22，1 答案：A 由题知AF ⊥BF ，根据椭圆的对称性，AF ′⊥BF ′(其中F ′是椭圆的左焦点)，因此四边形AFBF ′是矩形，于是|AB |＝|FF ′|＝2c ，|AF |＝2c sin α，根据椭圆的定义，|AF |＋|AF ′|＝2a ，∴2c sin α＋2c cos α＝2a ，∴e ＝c a ＝1sin α＋cos α＝12sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4，而α∈⎣⎡⎦⎤π12，π4，∴α＋π4∈⎣⎡⎦⎤π3，π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4∈⎣⎡⎦⎤32，1，故e ∈⎣⎡⎦⎤22，6314. 直线x y 3-=与椭圆C ：12222=+by a x (a >b>0)交于A ，B 两点,以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为( )A.3B.31-C.3-1D.4-23答案：C 设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，由题意可得 |OF 2|=|OA|=|OB|=|OF 1|=c ，由3得∠AOF 2=23π，∠AOF 1=3π。
所以|AF 23，|AF 1|=c. 由椭圆定义知,|AF 1|+|AF 2|=2a ，所以3，所以e=ca315. 已知椭圆的焦点在x 轴上，一个顶点为A (0，－1)，其右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3，则椭圆的方程为答案： 1322=+y x 据题意可知椭圆方程是标准方程，故b ＝1.设右焦点为(c,0)(c >0)，它到已知直线的距离为|c ＋22|2＝3，解得c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝3，故椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.16. 设F 1，F 2分别是椭圆22x y 2516+=1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |=3，则P 点到椭圆左焦点的距离为答案：4 由题意知|OM|=12|PF 2|=3，所以|PF 2|=6，所以|PF 1|=2a-|PF 2|=10-6=4 17. 分别过椭圆12222=+by a x (a >b>0)的左、右焦点F 1，F 2所作的两条互相垂直的直线l 1，l 2的交点在此椭圆的内部，则此椭圆的离心率的取值范围是答案：2由已知得交点P 在以F 1F 2为直径的圆x 2+y 2=c 2上。
又点P 在椭圆内部，所以有c 2<b 2，又b 2=a 2-c 2，所以有c 2<a 2-c 2，即2c 2<a 2，亦即:22c 1,a 2<所以c 20a 2<<18. 椭圆1422=+y x 的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是答案：⎝⎛⎭⎫－263，263 设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )，则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y )。