最新【北师大版】七年级上册数学第三章复习
北师大版七年级数学上册第三章《整式及其加减》复习题含答案解析 (21)
一、选择题1. 下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有 5 个实心圆点，第②个图形一共有 8 个实心圆点，第③个图形一共有 11 个实心圆点，⋯，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为 ( )A ． 18B ． 19C ． 20D ． 212. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式 (a +b )n 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”(a +b )0⋯⋯⋯⋯⋯⋯1(a +b )1⋯⋯⋯⋯⋯11(a +b )2⋯⋯⋯⋯121(a +b )3⋯⋯⋯1331(a +b )4⋯⋯14641(a +b )5⋯15101051⋯根据”杨辉三角”请计算 (a +b )8 的展开式中从左起第四项的系数为 ( ) A ． 84B ． 56C ． 35D ． 283. 将正方体骰子（相对面上的点数分别为 1 和 6，2 和 5，3 和 4）放置于水平桌面上，如图 1．在图 2 中，将骰子向右翻滚 90∘，然后在桌面上按逆时针方向旋转 90∘，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图 1 所示的状态，那么按上述规则连续完成 10 次变换后，骰子朝上一面的点数是 ( )A ． 6B ． 5C ． 3D ． 24. 如图是一回形图，其回形通道的宽和 OB 的长均为 1，回形线与射线 OA 交于 A 1，A 2，A 3，⋯，若从 O 点到 A 1 点的回形线为第 1 圈（长为 7 )，从 A 点到 A 2 点的回形线为第 2 圈，⋯，依此类推，则第 11 圈的长为 ( )A．72B．79C．87D．945.已知：2+23=22×23、3+38=32×38、4+415=42×415、5+524=52×524，……，若10+b a =102×ba（a、b为正整数）符合前面式子的规律，则a+b的值不可能是A．109B．218C．326D．4366.【测试4】在多项式−3x3−5x2y2+xy中，次数最高的项的系数为( )A．3B．5C．−5D．17.小军从一列火车的第m节车厢数起，一直数到第n节车厢(n>m)，他数过的车厢节数是( )A．(m+n)节B．(n−m−1)节C．(n−m)节D．(n−m+1)节8.1883年，康托尔构造的这个分形，称做康托尔集．从长度为1的线段开始，康托尔取走其中间三分之一而达到第一阶段：然后从每一个余下的三分之一线段中取走其中间三分之一而达到第二阶段．无限地重复这一过程，余下的无穷点集就称做康托尔集．下图是康托尔集的最初几个阶段，当达到第5个阶段时，取走的所有线段的长度之和为( )A．13B．242243C．211243D．322439.若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，则代数式m2−cd+a+bm的值为A．−3B．3C．−5D．3或−510.已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，则∣a−b∣−∣c−b∣+∣c−a∣的值是( )A．2a−2b+2c B．2a−2b C．2b−2c D．2a+2b−2c二、填空题11. 归纳“T ”字形，用棋子摆成的“T ”字形如图所示，按照图①，图②，图③ 的规律摆下去，摆成第n 个“T ”字形需要的棋子个数为 ．12. 符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f (1)=0，f (2)=1，f (3)=2，f (4)=3，⋯ （2）f (12)=2，f (13)=3，f (14)=4，f (15)=5，⋯利用以上规律计算：f (12008)−f (2008)= ．13. 研究下列算式，你能发现什么规律？试用公式表示这些规律．（1）1×3+1=4=22． （2）2×4+1=9=32． （3）3×5+1=16=42． （4）4×6+1=25=52． 第 n 个式子可以表示为 ．14. 用代数式表示“x 的 2 倍与 y 的和的平方”是 ．15. 古希腊数学家把下列一组数：1，3，6，10，15，21，⋯ 叫做三角形数，这组数有一定的规律性，如果把第一个三角形数记为 x 1，第二个三角形数记为 x 2，⋯，第 n 个三角形数记为 x n ，那么 x n−1+x n 的值是 （用含 n 的式子表示）．16. 已知 −2x m−1y 3 与 12x n y m+n 是同类项，那么 (n −m )2019= ．17. 若 ∣x −y ∣+(y +2)2=0，则代数式 x +y 的值 = ．三、解答题18. 用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加 1 的规律拼成一系列图案，请仔细观察，并回答下列问题：(1) 第4个图案中有白色纸片多少张？(2) 第n个图案中有白色纸片多少张？(3) 第几个图案有白色纸片有2011张？（写出必要的步骤）19.计算：(3x2−xy−2y2)−2(x2+xy−2y2)．20.某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价为200元，领带每条定价30元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一套西装送一条领带；②西装和领带都按定价的90%付款．现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条．(x>20)(1) 两种方案分别需要付款多少元？（用含x的代数式表示)方案① ，方案② ．(2) 若x=30，通过计算说明此时哪种方案购买较为合算？21.在求1+2+22+23+24+25+26的值时，小明发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的2倍，于是他设：S=1+2+22+23+24+25+26; ⋯⋯①然后在①式的两边都乘以2，得：2S=1+2+22+23+24+25+26+27; ⋯⋯②根据等式的性质用② −①得：2S−S=27−1，则S=27，即1+2+22+23+24+25+26=27−1．(1) 请你用上面的方法求1+3+32+33+34+35+36+37的值；(2) 通过归纳概括请你能直接写出1+3+32+33+34+35+36+⋯+3m的值．22.已知2x m y2与−3xy n是同类项，计算m−(m2n+3m−4n)+(2nm2−3n)的值．23.阅读下列材料：将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数减去个位数的两倍，若所得之差能被7整除，则原多位自然数一定能被7整除．也称这个数为“要塞数”．例如：将数1078分解为8和107，107−8×2=91，因为91能被7整除，所以1078能被7整除，就称1078为“要塞数”．完成下列问题：(1) 若一个三位自然数是“要塞数”，且个位数字和百位数字都是7，则这个三位自然数为；(2) 若一个四位自然数M是“要塞数”，设M的个位数字为x，十位数字为y，且个位数字与百位数字的和为13，十位数字与千位数字的和也为13，记F(M)=∣x−y∣，求F(M)的最大值．24.化简求值．(1) 化简(2a2−1+2a)−2(a−1+a2)．(2) 先化简，再求值．3y2+2x2+(2x−y)−(x2+3y2)−2x，其中x=1，y=−2．25.某服装厂生产一种夹克和T恤，夹克每件定价120元，T恤每件定价60元．厂方在开展促销活动间，向客户提供两种优惠方案：①买一件夹克送一件T恤；②夹克和T恤都按定价的80%付款．现某客户要到该服装厂购买夹克30件，T恤x件（x>30）．(1) 若该客户按方案①购买，需付款元（用含x的代数式表示）；若该客户按方案②购买，需付款元（用含x的代数式表示）；(2) 若x=40，通过计算说明按方案①，方案②哪种方案购买较为合算？答案一、选择题1. 【答案】C【解析】提示：横排规律2n+1，除去横排后，竖排规律n+1，总规律3n+2．答案C．【知识点】用代数式表示规律2. 【答案】B【解析】找规律发现(a+b)4的第四项系数为4=3+1．(a+b)5的第四项系数为10=6+4．(a+b)6的第四项系数为20=10+10．(a+b)7的第四项系数为35=15+20．∴(a+b)8第四项系数为21+35=56．【知识点】用代数式表示规律3. 【答案】B【解析】根据变换，规律是原来朝右的对面会变成朝上的，正对的数字会变成朝右的本来是3朝上，2朝右，正对1，第一次：如图，5朝上（1朝右，正对4），第二次：1对面是6，6朝上（朝右4，正对2），第三次：4对面是3，3朝上（2朝右，正对1），可以发现这样就完成循环，10次就是3个循环加1次，也就是第一次的结果，5朝上．【知识点】用代数式表示规律4. 【答案】C【解析】设第n圈的长为a n( n为正整数）．观察图形，可知：a1=7=2×4−1，a2=15=4×4−1，a3=23=6×4−1，⋯，∴a n=2n×4−1=8n−1（n为正整数），∴a11=8×11−1=87．故选：C．【知识点】用代数式表示规律5. 【答案】C【解析】根据前面式子的规律，可知ba =1099，所以a+b的值为109的倍数．【知识点】列代数式6. 【答案】C【解析】在多项式−3x3−5x2y2+xy中，次数最高的项的系数为：−5．故选：C．【知识点】多项式的次数7. 【答案】D【知识点】简单列代数式8. 【答案】D【解析】根据分析可知：当达到第五阶段时，余下的线段之和为(23)5．【知识点】用代数式表示规律9. 【答案】B【解析】由题意得a+b=0，cd=1，m=±2，代数式可化为m2−cd=4−1=3．【知识点】简单的代数式求值10. 【答案】B【解析】由题意得：c<b<0<a，∴a−b>0，c−b<0，c−a<0，∴ ∣a−b∣−∣c−b∣+∣c−a∣=a−b−b+c−c+a=2a−2b.【知识点】整式的加减运算二、填空题11. 【答案】3n+2【解析】由图可得，图①中棋子的个数为：3+2=5，图②中棋子的个数为：5+3=8，图③中棋子的个数为：7+4=11，⋯⋯则第n个“T”字形需要的棋子个数为：(2n+1)+(n+1)=3n+2，故答案为：3n+2．【知识点】用代数式表示规律12. 【答案】1【解析】试题观察（1）中的各数，我们可以得出f(2008)=2007，观察（2）中的各数，我们可以得出f(12008)=2008．则：f(12008)−f(2008)=2008−2007=1．【知识点】用代数式表示规律13. 【答案】n×(n+2)+1=(n+1)2【知识点】用代数式表示规律14. 【答案】(2x+y)2【知识点】简单列代数式15. 【答案】n2【解析】将条件数据1，3，6，10，15，21，⋯，依次扩大2倍得到：2，6，12，20，30，42，⋯，这组新数据中的每一个数据可以改写成两个相邻正整数的乘积，即2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，⋯，∴x n=n(n+1)2，（n≥1）∴x n−1+x n=n(n−1)+n(n+1)2=n2．【知识点】用代数式表示规律16. 【答案】−1【解析】因为−2x m−1y3与12x n y m+n是同类项，所以{m−1=n, m+n=3,解得{m=2, n=1,则(n−m)2019=−1．【知识点】同类项17. 【答案】−4【知识点】简单的代数式求值三、解答题18. 【答案】(1) 观察图形的变化可知：第1个图案中有白色纸片张数为：3×1+1=4；第2个图案中有白色纸片张数为：3×2+1=7；第3个图案中有白色纸片张数为：3×3+1=10；第4个图案中有白色纸片张数为：3×4+1=13．(2) 根据（1）发现规律：第n个图案中有白色纸片张数为：(3n+1)张．(3) 根据（2）可知：3n+1=2011，解得n=670．答：第670个图案有白色纸片有2011张．【知识点】有理数的乘法、解常规一元一次方程、用代数式表示规律19. 【答案】原式=3x2−xy−2y2−2x2−2xy+4y2 =x2−3xy+2y2.【知识点】整式的加减运算20. 【答案】(1) 30x+3400；27x+3600(2) x=30时，方案①：30×30+3400=4300元，方案②：27×30+3600=4410元．∵4300<4410，∴选择方案①购买较为合算．【解析】(1) 方案①：200×20+30(x−20)=30x+3400；方案②：200×20×90%+30x−90%=27x+3600．【知识点】简单列代数式、简单的代数式求值21. 【答案】(1) S=1+3+32+33+34+35+36+37，两边同时乘以3，得3S=3+32+33+34+35+36+37+38，∴2S=38−1，∴S=12(38−1)，∴1+3+32+33+34+35+36+37的值为12(38−1)．(2) 12(3m+1−1)．【解析】(2) S=1+3+32+33+34+35+36+⋯+3m，3S=3+32+33+34+35+36+⋯+3m+3m+1，∴2S=3m+1−1，∴S=12(3m+1−1)，(3m+1−1)．∴1+3+32+33+34+35+36+⋯+3m的值12【知识点】用代数式表示规律、有理数的乘方22. 【答案】∵2x m y2与−3xy n是同类项，∴m=1，n=2，∴ m−(m2n+3m−4n)+(2nm2−3n)=m−m2n−3m+4n+2nm2−3n=nm2−2m+n.当m=1，n=2时，原式=2−2+2=2.【知识点】整式的加减运算23. 【答案】(1) 727或797(2) 由已知这个四位数的千位数字是13−y，百位数字是13−x，且4≤x≤9，4≤y≤9，∵四位数是“要塞数”，∴100(13−y)+10(13−x)+y−2x=1430−99y−12x能被7整除，∴x=5，y=5；x=6，y=7；x=7，y=9；x=9，y=6；∴F(M)=∣x−y∣的最大值是3．【解析】(1) 设三位数的十位数是a(0≤a≤9)，∵个位数字和百位数字都是7，∴这个三位数是7a7，∵这个三位数是“要塞数”，∴70+a−2×7=54+a能被7整除，∴a=2或a=9，∴这个三位数是727或797．【知识点】简单的代数式求值、用代数式表示规律24. 【答案】(1) 2a2−1+2a−2a+2−2a2=1．(2) 3y2+2x2+2x−y−x2−3y2−2x=x2−y．当x=1，y=−2时，原式=1+2=3．【知识点】整式的加减运算25. 【答案】(1) 1800+60x；2880+48x(2) 方案① 4200元，方案② 4800元，∵4200<4800，所以选方案①．【知识点】简单列代数式、简单的代数式求值11。
第3章 问题解决策略-归纳七年级上册数学北师大版
三角形的个数同样增加2.
新知探究 知识点 问题解决策略—归纳
【实施计划】
长方形内点的个数 1 2 3 4 …
三角形的个数
4 6 8 10 …
长方形内点的个数增加 1，三角形的个数增加 2.
当长方形内有35个点时，分得的三角形的个数是 4+2×34=72.
新知探究 知识点 问题解决策略—归纳
【回顾反思】 (1)如果长方形内有100个点呢?一般地，如果长方形内有 n个点呢? 长方形内有100个点：4+2×（100-1）=202. 长方形内有n个点： 4+2×（n-1）=2n+2.
图① 图② 图③
新知探究 知识点 问题解决策略—归纳
【回顾反思】 你还能提出并解决哪些问题? 答案不唯一，如:若图①中等边三角形的边长为1，根据 以上步骤进行操作，第n次分形后得到的“雪花曲线” 的边长是多少?(用含n的代数式表示)
新知探究 知识点 问题解决策略—归纳
解:第1次分形后得到的“雪花曲线”的边长是13， 第2次分形后得到的“雪花曲线”的边长是(13)2，
随堂练习
3.如图，将一根绳子折成三段，然后按如图所示的方式 剪开，剪1刀，绳子变为4段；剪2刀，绳子变为7段. (2)有可能正好剪得 101段吗? 解:由(1)中的规律可得，剪n刀， 绳子变成4+3× (n-1)段，即(3n+1)段.
当3n+1=101时，n= 1030，不是整数， 所以不可能正好剪得 101 段.
……
所以第n次分形后得到的“雪花曲线”的边长是(13)n.
1
13×13
3
1
图①
图② 图③
随堂练习
1. 32024的个位数字是多少? 解:31=3，32=9，33=27，34=81， 35=243，36=729，37=2 187，… 根据规律可知，3n的个位数字以3，9，7，1为一个循环. 又因为 2024 ÷4 =506， 所以32024的个位数字是 1.
最新【北师大版】七年级上册数学ppt课件 第三章 小结与复习
【归纳总结】
探索物体的个数时，可首先求出各图中物体的
个数，将其与相应的图序数作对比，看二者有
何关系，即得规律．
针对训练
(6n＋6)
考点六 数字规律问题
例6 从2开始，连续偶数相加，它们的和的情况如下表： 1 2 3 4 5
…
2＝ 1× 2 2 ＋ 4 ＝ 6 ＝ 2 ×3 2＋4＋6＝12＝3×4 2＋4＋6＋8＝20＝4×5 2＋4＋6＋8＋10＝30＝5×6
2.代数式的值 一般地，用具体数值代替代数式里的字母， 按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫
做代数式的值．
3.代数式求值的方法步骤 第一步：用具体数值代替代数式里的字母，
计算出结果，简称为“代入”；
第二步：按照代数式指明的运算，计算出 结果，简称为“计算” .
三、整式 1.单项式及其相关概念
量的特点及相互之间的变化规律；
(2)由此及彼，合理联想，变换思维方式，大
胆进行猜想；
(3)找出不同事物中的相似点或共同点；
(4)总结规律，得出结论； (5)验证结论是否正确．
考点讲练
考点一 列代数式 例1 用代数式表示： (1)a，b两数的平方和减去它们乘积的2倍； (2)a，b两数的和的平方减去它们的差的平方； (3)一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b， 请表示这个两位数； (4)若a表示三位数，现把2放在它的右边，得到一个四 位数，请表示这个四位数．
1 1 x 3, y 2 , z 解：当 时， 2 3
1 x 4 y 3 4 2 9 10 1. 2 2 1 1 2 9 z 9 9 1. 9 3
2 2
所以原式= 1.
【归纳总结】
新北师大版七年级数学上册第三章复习终版.ppt
(2)m2+m3=m5
(3)4x2-2x2=2
(4)a2+b2=2a2b2
(5)5a4b3-4b3a4=a4b3
(6)-2xy+xy=3xy
2、合并同类项：-x2+2xy-y2-3x2-2xy+2y2
3、已知关于x、y的多项式(a-1)x2+2-x-bxy+y 不含x2和讲
合并同类项：系数加减，字母和字母的指数不变。
注:①不是同类项的不能合并，要留下来
②最后结果没有同类项
③移项，带着前面的符号移动
④系数相反的同类项和为0.
⑤容易合并的同类项先合并精品9例题三：先思后做
1.下列各题合并同类项的结果对不对？不对请改正。
(1)3x2-3x2=x2
典型例题
1、计算：（１）4a2 3b2 2ab 4a2 4b2 解：原式= 4a2 4a2 3b2 4b2 2ab =(4 4)a2 (3 4)b2 2ab
= b2 2ab
（2） 5xy 3(xy x2 ) 2(3xy 2x2 ) 解：原式= 5xy 3xy 3x2 6xy 4x2 = (5 3 6)xy (3 说出下列多项式的各个项的系数和次数以
及多项式的次数：
1. 3xy 2 y3;
1、同类项务必具备( 2 )个条件：
（1）所含字母相同， （2）相同字母的指数也相同。
注；两看（字母和字母指数）
两不看（系数和字母顺序） 。
（5）某校七年级（1）班有m名女生，男生比女生的
一半 单项式：只包含数字与字母的乘积的代数式
填空：
（1）－a2b3 的系数为
（2）3x2 y 的系数为 4
（3）2 d 2 的系数为
北师大版七年级数学上册第三章整式及其加减复习教案
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们回顾了整式的基本概念、加减运算及其在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对整式知识的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
北师大版七年级数学上册第三章整式及其加减复习教案
一、教学内容
本节复习课将围绕北师大版七年级数学上册第三章“整式及其加减”进行。内容包括：
1.整式的概念与分类：单项式、多项式、常数项；
2.整式的加减运算：合并同类项、去括号法则、添括号法则；
3.整式
-在整式的除法中，如何判断商的每一项系数以及如何处理余数；
-在解决实际问题时，如何正确建立整式模型，尤其是涉及多个变量时的情况；
-对于含有未知数的整式运算，如何进行合理的假设和代入。
举例：难点在于解决整式除法中的“带余除法”，例如，当多项式被单项式除时，如何确定商的每一项系数，以及如何处理剩余的多项式。此外，对于多项式乘多项式的运算，学生可能会在确定各项系数时出现混淆，需要通过具体例题进行详细讲解和练习。
在小组讨论环节，我观察到学生们在解决实际问题时表现得相当积极。他们能够将整式的知识应用到购物清单计算等生活场景中，这让我感到很高兴。但同时，我也注意到，有些学生在交流想法时显得不够自信，可能是对自己的答案不确定。我需要在课堂上创造更多的机会，鼓励学生表达自己，增强他们的自信心。
实践活动方面，我觉得通过实验操作来演示整式的运算原理是一个很好的教学方法。学生们通过直观的操作，能够更加深刻地理解抽象的数学概念。但在操作过程中，我也发现了一些学生在细节处理上的疏漏，这提醒我需要在指导学生操作时更加细致，确保每个步骤都清晰明了。
北师大版七年级数学上第三章整式及其加减章末复习与提升习题课件
七年级 数学 上册 北师版
4．如图是一个长为a，宽为b的长方形，两个阴影图形都是一对底边长 为1，且底边在长方形对边上的平行四边形． (1)用含字母a，b的代数式表示长方形中空白部分的 面积； (2)当a＝3，b＝2时，求长方形中空白部分的面积．
.
七年级 数学 上册 北师版
8．(沈北新区期中)已知整式(a－1)x3－2x－(a＋3)． (1)若它是关于x的一次式，求a的值并写出常数项； (2)若它是关于x的三次二项式，求a的值并写出最高次项．
七年级 数学 上册 北师版
解：(1)若它是关于x的一次式，则a－1＝0，即a＝1，所以常数项为－ (a＋3)＝－4. (2)若它是关于x的三次二项式，则a－1≠0，且a＋3＝0，即a＝－3，所 以最高次项为－4x3.
七年级 数学 上册 北师版
18．(乐亭县期末)如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边 三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第 3个图案有10个三角形……
七年级 数学 上册 北师版
(1)照此规律，摆成第5个图案需要116 6个三角形； (2)照此规律，摆成第n个图案需要(成第2 021个图案需要几个三角形？
10．(沂水县期中)下列去括号正确的是 A．2n＋(－m－n)＝2n＋m－n B．a－2(3a－5)＝a－6a＋10 C．n－(－m－n)＝n＋m－n D．x2＋2(－x＋y)＝x2－2x＋y
（B ）
七年级 数学 上册 北师版
11．若单项式am－2bn＋7与单项式－3a4b4的和仍是一个单项式，则m－n＝ 99 . 12．(石阡县期末)一根铁丝的长为5a＋4b，剪下一部分围成一个长为a 宽为b的长方形，则这根铁丝还剩下33aa＋2＋b2b.
北师大版七年级上册数学《探索与表达规律》整式及其加减培优说课教学复习课件
知2－讲
例3 如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个 基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组 成……则第n(n是正整数)个图案由__(3_n__＋__1_) 个基础图形组成．
知2－讲
导引：方法一：第1个图案由4个基础图形组成，第 2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由 10个基础图形组成……故从第2个图案开始 每个图案比它前面一个图案增加3个基础图 形，因此结果为(3n＋1)个．
图1
图2
知2－讲
导引：通过观察可知图案变化以四次变化为一周期， 2 015÷4＝503……3，故选C.
（来自《点拨》）
总结
知2－讲
本题采用观察法，认真观察分析各图案之间的 关系，再运用从特殊到一般的思想从特殊例子中找 到一般规律．
（来自《点拨》）
知2－练
1 观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数
训练角度 1 数式的排列规律
1．已知9×1＋0＝9，9×2＋1＝19，9×3＋2＝29， 9×4＋3＝39，…，根据此规律写出第6个式子 为___9_×__6_＋__5_＝__5_9__．
2．如图，填在各正方形中的四个数之间都有相同的 规律，根据这种规律，推出m的值是____1_5_8____．
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(1) 带阴影的长方形框中的9个数之和与其正中间 的数有什么关系？
解：带阴影的长方形框中的9个数之和是其正中间 的数的9倍．
(2)不改变带阴影的长方形框的大小，将带阴影的长 方形框移至其他几个位置试一试，你还能得出上 述结论吗？你知道为什么吗？
北师大数学七年级第三章《整式及其加减》全章复习与巩固(基础)
《整式及其加减》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1、进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示.2、理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与世界的联系.3、会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数式的值推断代数式反映的规律.4．理解并掌握单项式与多项式的相关概念；5．理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的加减运算、求值；6．深刻体会本章体现的主要的数学思想----整体思想．【知识网络】【要点梳理】要点一、代数式诸如：16n ，2a+3b ，34 ，2n ，2)(b a 等式子，它们都是用运算符号(＋、－、×、÷、乘方、开方)把数和表示数的字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．要点诠释：代数式的书写规范：（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；（2）除法运算一般以分数的形式表示；（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写．要点二、整式的相关概念1．单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． 要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．3. 多项式的降幂与升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置；（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．4．整式：单项式和多项式统称为整式．要点三、整式的加减1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．要点四、探索与表达规律寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果寻找规律，再用字母表示，最后加以验证.【典型例题】类型一、代数式1．（2016春•滨海县校级月考）做大小两个纸盒，尺规如下（单位：cm）长宽高小纸盒 a b c大纸盒3a 2b 2c（1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？（结果用含a、b、c的代数式表示）（2）做成的大纸盒比小纸盒的容积大多少立方厘米？（结果用含a、b、c的代数式表示）【思路点拨】（1）根据长方体表面积计算公式计算出两个长方体表面积，再相加化简可得；（2）根据长方体体积计算方法计算出两个长方体体积相减，化简可得．【答案与解析】解：（1）根据题意，做两个纸盒需用料2ab+2bc+2ac+12ab+8bc+12ac=14ab+10bc+14ac，答：做这两个纸盒共用料（14ab+10bc+14ac）平方厘米．（2）根据表格中数据可知，大纸盒比小纸盒的容积大3a×2b×2c﹣abc=11abc，答：做成的大纸盒比小纸盒的容积大11abc立方厘米．【总结升华】本题主要考查根据实际问题列代数式的能力，准确表示出各部分的面积或体积是关键．举一反三： 【变式】ba b a +-2的意义是（ ） A.a 与b 差的2倍除以a 与b 的和B.a 的2倍与b 的差除以a 与b 和的商C.a 的2倍与b 的差除a 与b 的和D.a 与b 的2倍的差除以a 与b 和的商【答案】B类型二、整式的相关概念2．指出下列各式中的整式、单项式和多项式，是单项式的请指出系数和次数，是多项式的请说出是几次几项式．(1)3a - (2)5 (3)2b a - (4)2x y - (5)3xy (6)x π (7)5m n + (8)1+a% (9)1()2a b h +g 【答案与解析】解：整式：(1)、(2)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(9)单项式：(2)、(5)、(6)，其中：5的系数是5，次数是0；3xy 的系数是3，次数是2；x π的系数是1π，次数是1. 多项式：(1)、(4)、(7)、(8)、(9)，其中： 3a -是一次二项式；2x y -是一次二项式；5m n +是一次二项式；1+a%是一次二项式； 1()2a b h +g 是二次二项式. 【总结升华】①分母中出现字母的式子不是整式，故2b a -不是整式；②π是常数而不是字母，故x π是整式，也是单项式；③(7)、(9)表示的是加、减关系而不是乘积关系，而单项式中不能有加减．如5m n +其实质为55m n +，1()2a b h +其实质为1122ah bh +． 举一反三：【变式1】(1)3xy -的次数与系数的和是________；(2)已知单项式26x y 的系数是等于单项式52m x y -的次数，则m ＝________；(3)若nma b 是关于a 、b 的一个五次单项式，且系数为9，则-m+n ＝________．【答案】 (1)3 (2)1 (3)-5【变式2】多项式432231y y y y -+-+是________次________项式，常数项是________，三次项是________．【答案】四，五， 1 ， 3y -【变式3】把多项式321325x x x --+按x 的降幂排列是________．【答案】322531x x x -+-+ 类型三、整式的加减运算3．（2015•遵义）如果单项式﹣xy b+1与xa ﹣2y 3是同类项，那么（a ﹣b ）2015= ． 【答案】1．【解析】解：由同类项的定义可知a ﹣2=1，解得a=3，b+1=3，解得b=2，所以（a ﹣b ）2015=1．【总结升华】考查了同类项，要求代数式的值，首先要求出代数式中的字母的值，然后代入求解即可．举一反三：【变式】若47a x y 与579b x y -是同类项，则a ＝________，b ＝________． 【答案】 5 ， 44． 计算 22232(12)[5(436)]x x x x x -----+【答案与解析】解法1： 22232(12)[5(436)]x x x x x -----+222324(5436)x x x x x =-+--+- 2234236x x x x =+---+224x x =++解法2：22232(12)[5(436)]x x x x x -----+2223245(436)x x x x x =-+-+-+ 22242436x x x x =-+-+-+224x x =++【总结升华】根据多重括号的去括号法则，可由里向外，也可由外向里逐层推进，在计算过程中要注意符号的变化．若括号前是“-”号，在去括号时，括号里各项都应变号，若括号前有数字因数，应把数字因数乘到括号里，再去括号．举一反三：【变式1】下列式子中去括号错误的是( )．A ．5x －(x －2y ＋5z )＝5x －x ＋2y －5zB ．2a 2＋(－3a －b )－(3c －2d )＝2a 2－3a －b －3c ＋2dC ．3x 2－3(x ＋6)＝3x 2－3x －6D ．－(x －2y )－(－x 2＋y 2)＝－x ＋2y ＋x 2－y 2【答案】C【变式2】化简：-2a+(2a-1)的结果是( )．A ．-4a-1B ．4a-1C ．1D ．-1【答案】D类型四、化简求值5. （1）直接化简代入已知12x =，1y =-，求225(23)2(43)x y x x x y ---的值． （2）条件求值 (烟台)若523m x y +与3n x y 的和是单项式，则n m =________．（3）整体代入已知x 2-2y ＝1，那么2x 2-4y+3＝________．【答案与解析】解：（1）5(2x 2y-3x)-2(4x-3x 2y)＝10x 2y-15x-8x+6x 2y＝16x 2y-23x当12x =，y ＝-1时， 原式＝211233116(1)2342222⎛⎫⨯⨯--⨯=--=- ⎪⎝⎭． （2） 由题意知：523m xy +和3n x y 是同类项，所以m+5＝3，n ＝2，解得，m ＝-2，n ＝2，所以2(2)4n m =-=．（3）因为222432(2)3x y x y -+=-+， 而221x y -=所以22432135x y -+=⨯+=．【总结升华】整体代入的一般做法是对代数式先进行化简，然后找到化简结果与已知条件之间的联系．举一反三：【变式1】（2015•娄底）已知a 2+2a=1，则代数式2a 2+4a ﹣1的值为（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．﹣2【答案】B【变式2】已知25m n -+=，求25(2)6360m n n m -+--的值.【答案】225(2)63605(2)3(2)60m n n m m n n m -+--=-+-- 225m n n m -+=-=Q所以，原式=255356080⨯+⨯-=．类型五、探索与表达规律6.将一张长方形的纸对折，如下图所示可得到一条折痕（图中虚线）．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到条折痕．如果对折n 次，可以得到 条折痕．【思路点拨】对前三次对折分析不难发现每对折1次把纸分成的部分是上一次的2倍，折痕比所分成的部分数少1，求出第4次的折痕即可；再根据对折规律求出对折n 次得到的部分数，然后减1即可得到折痕条数．【答案】15，2n －1【解析】解：由图可知，第1次对折，把纸分成2部分，1条折痕，第2次对折，把纸分成4部分，3条折痕，第3次对折，把纸分成8部分，7条折痕，所以，第4次对折，把纸分成16部分，15条折痕，…，依此类推，第n 次对折，把纸分成2n 部分，2n -1条折痕．故答案为：15；2n -1．【总结升华】本题是对图形变化规律的考查，观察得到对折得到的部分数与折痕的关系是解题的关键．类型六、综合应用7. 已知多项式2222(231)(543)mx x x x y x -++--+是否存在m ，使此多项式与x 无关？若不存在，说明理由；若存在，求出m 的值.【答案与解析】解： 要使原式与x 无关，则需该项的系数为0，即有260m -=，所以3m =答：存在m 使此多项式与x 无关，此时m 的值为3.【总结升华】一个多项式不含某项或说与某项无关，都是暗含此多项式中该项的系数为0.2222(215)(33)41(26)41m x x y m x y =--+-++=-++原式【巩固练习】 一、选择题 1．（2016•富顺县校级模拟）在-3，π2-1，-22x -，21x y π-，12a --，4x -六个代数式中，是单项式的个数（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．（2015•厦门）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（ ）A ．﹣2xy 2B ． 3x 2C ． 2xy 3D ． 2x 3 3．有下列式子：12x yz +，2b ，2323x x --，abc ，0，y x ，x ，a b ab+，对于这些式子下列结论正确的是( )．A ．有4个单项式，2个多项式B ．有5个单项式，3个多项式C ．有7个整式D ．有3个单项式，2个多项式4．对于式子421.210x y -⨯，下列说法正确的是( )．A ．不是单项式B ．是单项式，系数为-1.2×10，次数是7C ．是单项式，系数为-1.2×104，次数是3D ．是单项式，系数为-1.2，次数是35．下面计算正确的是 （ ）A ．32x －2x =3B ．32a ＋23a =55aC ．3＋x =3xD ．－0.25ab ＋41ba =0 6．2a-(5b-c+3d-e)＝2a □5b □c □3d □e ，方格内所填的符号依次是( )．A ．+，-，+，-B ．-，-，+，-C ．-，+，-，+D ．-，+，-，-7．某工厂现有工人a 人，若现有工人数比两年前减少了35%，则该工厂两年前工人数为( )．A ．135%a +B ．(1+35%)aC ．135%a - D ．(1-35%)a 8．若2237y y ++的值为8，则2469y y +-的值是( )．A ．2B ．-17C ．-7D ．7二、填空题9．比x 的15％大2的数是________．10．（2015•中江）单项式﹣x 2y 5的次数是 ． 11．22372x y x -++是________次________项式，最高次项的系数是________． 12．化简：2a-(2a-1)＝________．13．如果24a ab +=，21ab b +=-，那么22a b -=________．14．一个多项式减去3x 等于2535x x --，则这个多项式为________．15．（2016春•永春县校级月考）若与﹣3ab 3n -的和为单项式，则m+n= ． 16．如图所示，外圆半径是R 厘米，内圆半径是r 厘米，四个小圆的半径都是2厘米，则图中阴影部分的面积是________平方厘米．三、解答题17．（2014秋•镇江校级期末）合并同类项①3a﹣2b ﹣5a+2b②（2m+3n ﹣5）﹣（2m ﹣n ﹣5）③2（x 2y+3xy 2）﹣3（2xy 2﹣4x 2y ） 18.已知：2263A x x =+-，213B x x =--，2451C x x =--，当32x =-时，求代数式32A B C -+的值.19. 计算下式的值：114x ,y ,==-其中甲同学把14x =错抄成14x =-，但他计算的结果也是正确的，你能说明其中的原因吗？20．某农场有耕地1000亩，种粮食、棉花和蔬菜. 其中蔬菜用地a 亩，粮食用地比蔬菜用地的6倍还多b 亩，求棉花用地多少亩？当a=120，b=4时，棉花用地多少亩？【答案与解析】一、选择题1. 【答案】A【解析】解：﹣3，﹣x 2y 是单项式.注意-22x -是分式, 4x -A ． 2.【答案】D ．【解析】此题规定了单项式的系数和次数，但没规定单项式中含几个字母．A 、﹣2xy 2系数是﹣2，错误；B 、3x 2系数是3，错误；C 、2xy 3次数是4，错误；D 、2x 3符合系数是2，次数是3，正确；故选D ．3. 【答案】A【解析】单项式有2b ，abc ，0，x ；多项式有12x yz +，2323x x --，其中y x ，a b ab +不是整式．4．【答案】 C【解析】此单项式的系数是以科学记数法形式出现的数，所以系数为-1.2×104，次数应)4()2()242(33432242234y y x x y y x x y x y x x -+-++----为x 与y 的指数之和，不包括10的指数4，故次数为3．不要犯“见指数就相加”的错误．所以正确答案为C ．5. 【答案】D6．【答案】 C【解析】因为括号前是“－”号，所以去括号时，括号里各项都变号，故选C ．7. 【答案】C【解析】把减少前的工人数看作整体“1”，已知一个数的(1-35%)是a ，求这个数，则是135%a -，注意列式时不能用“÷”号，要写成分数形式． 8．【答案】C【解析】22378y y ++=，2231y y +=，22462(23)212y y y y +=+=⨯=，故24697y y +-=-．二、填空题9．【答案】15%x+2；10.【答案】7.11．【答案】三， 三 ， 12-； 【解析】多项式的次数取决于次数最高项的次数，确定系数时不要忽视前面的“-”号．12．【答案】1；【解析】先根据去括号法则去括号，然后合并同类项即可，2a-(2a-1)＝2a-2a+1＝1．13．【答案】5；【解析】用前式减去后式可得225a b -=．14．【答案】255x -；【解析】要求的多项式实际上是2(535)3x x x --+，化简可得出结果．15．【答案】 4；【解析】解：∵与﹣3ab 3n -的和为单项式，∴2m ﹣5=1，n+1=3﹣n ，解得：m=3，n=1．故m+n=4．故答案为：4．16．【答案】22(16)R r πππ--；【解析】阴影部分的面积＝大圆面积-最中间的圆的面积-4个小圆的面积．三、解答题17.【解析】解：（1）原式=（3a ﹣5a ）+（﹣2b+2b ）=﹣2a ；（2）原式=2m+3n ﹣5﹣2m+n+5=（2m ﹣2m ）+（3n+n ）+（﹣5+5）=4n ；（3）原式=2x 2y+6xy 2﹣6xy 2+12x 2y=（2x 2y+12x 2y ）+（6xy 2﹣6xy 2）=14x 2y ．18．【解析】解：∵222263,31,45 1.A x x B x x C x x ⎧=+-⎪=--+⎨⎪=--⎩ ∴ 222263,3393,2810 2.A x x B x x C x x ⎧=+-⎪⎪-=+-⎨⎪=--⎪⎩∴2321358A B C x x -+=+- 当32x =-时， 32A B C -+33915117303213()5()81388132242444=⨯-+⨯--=⨯--=--=. 19. 【解析】解： ∵化简结果与x 无关∴将x 抄错不影响最终结果．20.【解析】解：棉花用地：1000－a －(6a ＋b)＝(1000－7a －b)亩.当a ＝120，b ＝4时，原式＝1000－7×120－4＝156(亩).答：棉花用地(1000-7a-b)亩.当a=120，b=4时，棉花用地为156亩.43224223433432242234333(242)(2)(4)242242yx x y x y x x y y x x y y x x y x y x x y y x x y y ----++-+-----+-- ＝＋－ ＝ 。
北师大版数学七年级上册第三单元教案及复习
为了让学生更好地理解和掌握分数的概念和应用，教师在教学过程中创设了与生活实际紧密相连的教学情境。如在导入环节，教师提出了“你去超市买水果，营业员给你称了3.5千克苹果，你觉得营业员给你称对了么？”的问题，这个问题与学生的日常生活经验紧密相连，能够激发学生的学习兴趣和求知欲。
以小组为单位，让学生相互讨论、交流，分享各自在练习中遇到的困难和解决问题的方法。教师引导学生总结分数运算的规律，加深学生对分数运算方法的理解。
16.拓展（10分钟）
出示一些与生活实际相关的分数应用问题，让学生小组合作解决。例如，讨论“如何将一块巧克力平均分给4个小朋友，每个小朋友能分到多少巧克力？”等问题。通过解决实际问题，提高学生运用分数解决问题的关键能力。
31.拓展环节：教师出示了一些与生活实际相关的分数应用问题，学生们小组合作解决，教师给予指导和支持。
32.小结环节：教师引导学生总结本节课所学内容，强调分数的定义、性质和运算方法，学生们积极提问，教师解答学生的疑问。
33.家庭作业环节：教师布置了一些巩固分数运算能力的作业，要求学生在课后独立完成。
本节课的教学实录显示，教师在教学过程中注重与学生的互动，引导学生主动参与课堂讨论和练习。教师通过提问、讨论等方式，激发学生的学习兴趣，培养学生的数学思维能力。同时，教师关注学生的个体差异，针对不同学生制定有针对性的教学策略，确保每个学生都能在数学学习上取得进步。
教学实录是记录课堂教学过程的一种形式，通过记录教师的教学活动和学生的学习情况，可以直观地反映出课堂教学的效果。以下是对本节课教学实录的简要描述：
最新北师大版七年级数学上册第三章专题复习试题及答案全套
最新北师大版七年级数学上册第三章专题复习试题及答案全套专训1 巧用整式的相关概念求值名师点金：根据整式的概念求某些字母的值时，一般需要列出关于这个字母的方程．解此类问题经常利用的是单项式或多项式的次数概念；同类项的概念；单项式的系数不等于0；多项式某项的系数等于0或不等于0等．巧用单项式的次数、系数求字母的值1．若－m 3x 3y |n －2|是关于x ，y 的单项式，且系数是56，次数是7，则m ＝________，n ＝________． 2．已知(a －2)x 2y |a|＋1是关于x ，y 的五次单项式，求(a ＋1)2的值．巧用多项式的项、次数求字母的值3．多项式－m 2n 2＋m 3－12n －23的各项是________________________，是____次______项式． 4．若(m －3)x 2－2x －(m ＋2)是关于x 的一次多项式，则m ＝________；若它是关于x 的二次三项式，则m 应满足的条件是____________________．5．若化简关于x ，y 的整式x 3＋2a(x 2＋xy)－bx 2－xy ＋y 2，得到的结果是一个三次二项式，求a 3＋b 2的值．巧用与多项式的某些项无关求字母的值7．当k 为何值时，关于x ，y 的多项式x 2＋2kxy －3y 2－6xy －y 中不含xy 项？巧用同类项求字母的值8．若－2x 3y m 与5x n y 2是同类项，则m ＝________________________________________________________________________，n ＝________．9．若关于x ，y 的单项式(2＋m)x a y 4与4x 2y b＋5的和等于0，求3m ＋2a ＋4b 的值．答案1．－52；6或－2 点拨：单项式－m 3x 3·y |n －2|的系数是－m 3，即－m 3＝56，则m ＝－52.次数是7，则|n －2|＝7－3＝4，即n －2＝±4，解得n ＝6或－2.(a ＋1)2＝(－2＋1)2＝1.3．－m 2n 2，m 3，－12n ，－23；四；四 4．3；m ≠3且m ≠－25．解：x 3－2a(x 2＋xy)－bx 2－xy ＋y 2＝x 3＋(2a －b)x 2＋(2a －1)xy ＋y 2，因为这个关于x ，y 的整式是一个三次二项式，所以2a －b ＝0，2a －1＝0.所以a ＝12，b ＝1. 所以a 3＋b 2＝⎝⎛⎭⎫123＋12＝98. 6．解：依题意可知，－(m ＋5)＝0，n －1＝0，则m ＝－5，n ＝1，所以m ＋2n ＝－5＋2×1＝－3.7．解：x 2＋2kxy －3y 2－6xy －y ＝x 2＋(2k －6)xy －3y 2－y ，因为此多项式中不含xy 项，所以xy 项的系数为0，即2k －6＝0.所以k ＝3.所以当k ＝3时，关于x ，y 的多项式x 2＋2kxy －3y 2－6xy －y 中不含xy 项．8．2；39．解：由题意得2＋m ＝－4，a ＝2，b ＋5＝4，所以m ＝－6，a ＝2，b ＝－1.所以3m ＋2a ＋4b ＝3×(－6)＋2×2＋4×(－1)＝－18.专训2 求代数式值的技巧名师点金：用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算符号，计算出的结果就是代数式的值．如果要求值的式子比较简单，可以直接代入求值；如果要求值的式子比较复杂，可考虑先将式子化简，然后代入求值；有时我们还需根据题目的特点，选择特殊的方法求式子的值，如整体代入求值等．直接代入求值1．【2015·大连】若a ＝49，b ＝109，则ab －9a 的值为________．2．当a ＝3，b ＝2或a ＝－2，b ＝－1或a ＝4，b ＝－3时，(1)求a 2＋2ab ＋b 2，(a ＋b)2的值；(2)从中你发现了怎样的规律？先化简再代入求值3．已知A ＝1－x 2，B ＝x 2－4x －3，C ＝5x 2＋4，求多项式A －2[A －B －2(B －C)]的值，其中x ＝－1.特征条件代入求值4．已知|x－2|＋(y＋1)2＝0，求－2(2x－3y2)＋5(x－y2)－1的值．整体代入求值5．已知2x－3y＝5，求6x－9y－5的值．6．已知当x＝2时，多项式ax3－bx＋1的值是－17，那么当x＝－1时，多项式12ax－3bx3－5的值是多少？整体加减求值7．已知x2－xy＝－3，2xy－y2＝－8，求代数式2x2＋4xy－3y2的值．8．已知m2－mn＝21，mn－n2＝－12.求下列代数式的值：(1)m2－n2；(2)m2－2mn＋n2.取特殊值代入求值(特殊值法)9．已知(x＋1)3＝ax3＋bx2＋cx＋d，求a＋b＋c的值．【京师导学号69962030】答案1．4 9002．解：(1)当a ＝3，b ＝2时，a 2＋2ab ＋b 2＝32＋2×3×2＋22＝25，(a ＋b)2＝(3＋2)2＝25；当a ＝－2，b ＝－1时，a 2＋2ab ＋b 2＝(－2)2＋2×(－2)×(－1)＋(－1)2＝9，(a ＋b)2＝[(－2)＋(－1)]2＝9；当a ＝4，b ＝－3时，a 2＋2ab ＋b 2＝42＋2×4×(－3)＋(－3)2＝1，(a ＋b)2＝(4－3)2＝1.(2)a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b)2.3．解：原式＝A －2A ＋2B ＋4(B －C)＝A －2A ＋2B ＋4B －4C ＝－A ＋6B －4C.因为A ＝1－x 2，B ＝x 2－4x －3，C ＝5x 2＋4，所以原式＝x 2－1＋6x 2－24x －18－4(5x 2＋4)＝－13x 2－24x －35.当x ＝－1时，原式＝－13x 2－24x －35＝－13×(－1)2－24×(－1)－35＝－13＋24－35＝－24.4．解：由条件|x －2|＋(y ＋1)2＝0，得x －2＝0且y ＋1＝0，所以x ＝2，y ＝－1.原式＝－4x ＋6y 2＋5x －5y 2－1＝x ＋y 2－1.当x ＝2，y ＝－1时，原式＝x ＋y 2－1＝2＋(－1)2－1＝2.5．解：6x －9y －5＝3(2x －3y)－5＝3×5－5＝10.6．解：因为当x ＝2时，多项式ax 3－bx ＋1的值是－17，所以8a －2b ＋1＝－17.所以8a －2b ＝－18.当x ＝－1时，12ax －3bx 3－5＝－12a ＋3b －5＝(－12a ＋3b)－5＝－32(8a －2b)－5＝－32×(－18)－5＝22.7．解：由x 2－xy ＝－3，得2x 2－2xy ＝－6①；由2xy －y 2＝－8，得6xy －3y 2＝－24②.①＋②，得(2x 2－2xy)＋(6xy －3y 2)＝(－6)＋(－24)＝－30，即2x 2＋4xy －3y 2＝－30.8．解：(1)因为m 2－mn ＝21，mn －n 2＝－12，所以m 2－n 2＝(m 2－mn)＋(mn －n 2)＝21－12＝9.所以m2－2mn＋n2＝(m2－mn)－(mn－n2)＝21－(－12)＝21＋12＝33.9．解：令x＝0，得(0＋1)3＝d，所以d＝1.再令x＝1，得(1＋1)3＝a＋b＋c＋d，所以a＋b＋c＋d＝8.所以a＋b＋c＝8－1＝7.专训3整式加减在几何中的应用名师点金：利用整式加减解决几何问题，解题的关键是根据题意正确地列出表示相关量之间关系的整式，然后再进行计算．利用整式加减求周长1．已知三角形的第一条边长是a＋2b，第二条边长比第一条边长大b－2，第三条边长比第二条边长小5.(1)求三角形的周长；(2)当a＝2，b＝3时，求三角形的周长．利用整式加减求面积2．如图是一个工件的横截面及其尺寸(单位：cm)．(1)用含a，b的式子表示它的面积S；(2)当a＝15，b＝8时，求S的值(π≈3.14，结果精确到0.01)．(第2题)3．某小区有一块长为40 m、宽为30 m的长方形空地，现要美化这块空地，在上面修建如图所示的十字形花圃，在花圃内种花，其余部分种草．(1)求花圃的面积；(2)若建造花圃及种花的费用为每平方米100元，种草的费用为每平方米50元，则美化这块空地共需多少元？(第3题)利用整式加减解决计数问题4．按如图所示的规律摆放三角形：(第4题)(1)第4个图形中三角形的个数为________；(2)求第n个图形中三角形的个数．答案1．解：(1)由题意可得第二条边长为a ＋3b －2，第三条边长为a ＋3b －7.所以三角形的周长为(a ＋2b)＋(a ＋3b －2)＋(a ＋3b －7)＝3a ＋8b －9.(2)当a ＝2，b ＝3时，三角形的周长＝3×2＋8×3－9＝21.2．解：(1)S ＝23ab ＋12π×⎝⎛⎭⎫a 22＝23ab ＋π8a 2(cm 2)． (2)当a ＝15，b ＝8时，S ≈23×15×8＋3.148×152≈168.31(cm 2)． 3．解：(1)花圃的面积为40x ＋30x －x 2＝70x －x 2(m 2)．(2)美化这块空地共需100(70x －x 2)＋50[30×40－(70x －x 2)]＝7 000x －100x 2＋60 000－3 500x ＋50x 2＝－50x 2＋3 500x ＋60 000(元)．4．解：(1)14(2)观察图形可得摆放规律：中间一列三角形的个数比序号数大2，这一列两侧的三角形的个数分别与序号数相同，则第n 个图形中三角形的个数为n ＋2＋2n ＝3n ＋2.专训4 整体思想在整式加减中的应用名师点金：整式化简时，经常把个别多项式作为一个整体(当作单项式)进行合并；整式的化简求值，当题目中含字母的部分可以看成一个整体时，一般用整体代入法，整体代入的思想是把联系紧密的几个量作为一个整体来看的数学思想，运用这种方法，有时可使复杂问题简单化．应用整体思想合并同类项1．化简：4(x ＋y ＋z)－3(x －y －z)＋2(x －y －z)－7(x ＋y ＋z)－(x －y －z)．应用整体思想去括号2．计算：3x 2y －[2x 2z －(2xyz －x 2z ＋4x 2y)]．直接整体代入3．设M ＝2a －3b ，N ＝－2a －3b ，则M ＋N 等于( )A ．4a －6bB ．4aC ．－6bD ．4a ＋6b4．若x ＋y ＝－1，xy ＝－2，则x －xy ＋y 的值是________．5．已知A ＝2a 2－a ，B ＝－5a ＋1.(1)化简：3A －2B ＋2；(2)当a ＝－12时，求3A －2B ＋2的值．变形后再整体代入6．【中考·威海】若m －n ＝－1，则(m －n)2－2m ＋2n 的值是( )A ．3B ．2C ．1D ．－17．已知3x 2－4x ＋6的值为9，则x 2－43x ＋6的值为( ) A ．7 B ．18 C ．12 D ．98．已知－2a ＋3b 2＝－7，则代数式9b 2－6a ＋4的值是________．9．已知a ＋b ＝7，ab ＝10，则代数式(5ab ＋4a ＋7b)－(4ab －3a)的值为________．10．已知14x ＋5－21x 2＝－2，求代数式6x 2－4x ＋5的值．11．当x＝2时，多项式ax3－bx＋5的值是4，求当x＝－2时，多项式ax3－bx＋5的值．特殊值法代入(特殊值法)12．已知(2x＋3)4＝a0x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，求：(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4的值；(2)a0－a1＋a2－a3＋a4的值；(3)a0＋a2＋a4的值．【京师导学号69962031】答案1．解：原式＝－3(x ＋y ＋z)－2(x －y －z)＝－3x －3y －3z －2x ＋2y ＋2z＝－5x －y －z.2．解：原式＝3x 2y －2x 2z ＋(2xyz －x 2z ＋4x 2y)＝3x 2y －2x 2z ＋2xyz －x 2z ＋4x 2y＝7x 2y －3x 2z ＋2xyz.3．C 4.15．解：(1)3A －2B ＋2＝3(2a 2－a)－2(－5a ＋1)＋2＝6a 2－3a ＋10a －2＋2＝6a 2＋7a.(2)当a ＝－12时，原式＝6a 2＋7a ＝6×⎝⎛⎭⎫－122＋7×⎝⎛⎭⎫－12＝－2. 6．A 点拨：原式＝(m －n)2－2(m －n)＝(－1)2－2×(－1)＝3.7．A8．－17 点拨：9b 2－6a ＋4＝3(3b 2－2a)＋4＝3×(－7)＋4＝－17.9．5910．解：因为14x ＋5－21x 2＝－2，所以14x －21x 2＝－7.所以3x 2－2x ＝1.所以6x 2－4x ＋5＝2(3x 2－2x)＋5＝7.11．解：当x ＝2时，23a －2b ＋5＝4，即8a －2b ＝－1.ax3－bx＋5＝(－2)3·a－(－2)·b＋5＝－8a＋2b＋5＝－(8a－2b)＋5＝－(－1)＋5＝6.12．解：(1)将x＝1代入(2x＋3)4＝a0x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(2＋3)4＝625.(2)将x＝－1，代入(2x＋3)4＝a0x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，得a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－2＋3)4＝1.(3)因为(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)＋(a0－a1＋a2－a3＋a4)＝2(a0＋a2＋a4)，所以625＋1＝2(a0＋a2＋a4)，所以a0＋a2＋a4＝313.全章热门考点整合应用名师点金：本章的主要内容有整式的定义及其相关概念，整式的运算等，学好这些内容为后面学习整式乘除打好基础．在中考命题中，对这些内容的考查常与其他知识相结合，主要以填空、选择题的形式出现．主要热门考点可概括为：一个方法，五个概念，两个法则，一种运算，一个应用，一个规律，三种思想．一个方法——用字母表示数1．如图，有一块长为18 m、宽为10 m的长方形土地，现将三面留出宽都是x(0<x<8)m的小路，余下的部分做菜地，(第1题)用含x的式子表示：(1)菜地的长为________，宽为________；(2)菜地的面积为________．2．某公园的门票价格如下：成人票20元/张，学生票10元/张，满50人可以购买团体票(全部打8折)．设一旅游团共有x(x＞50)人，其中学生有a人．(1)用代数式表示该旅游团应付的门票费．(2)如果某旅游团有54人，其中学生有16人，那么应付门票费多少元？五个概念概念1 代数式3．在2x 2，1－2x ＝0，ab ，a ＞0，0，1a，π中，是代数式的有( ) A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个4．下列式子中，符合代数式书写规范的是( )A ．mb·4B ．213a 2b C .x ＋y 4D ．a －3 kg概念2 单项式5．下列关于单项式－3xy 25的说法中，正确的是( ) A ．系数是－35，次数是2 B ．系数是35，次数是2 C ．系数是－3，次数是3 D ．系数是－35，次数是3概念3 多项式6．多项式12x |m|－(m －4)x ＋7是关于x 的四次三项式，则m 的值是( ) A ．4 B ．－2 C ．－4 D ．4或－47．已知关于x 的多项式mx 4＋(m －2)x 3＋(2n ＋1)x 2－3x ＋n 不含x 3和x 2的项．试写出这个多项式，再求当x ＝－1时多项式的值．概念4 整式8．把下列各式填在相应集合里：－53x 2，2y ，ab a ＋b，xy 2，m 2－5m ，54－x ，0，－π. (1)单项式集合：{ …}；(2)多项式集合：{ …}；(3)整式集合：{ …}．概念5 同类项9．如果单项式2x 2y 2n ＋2与－3y 2－n x 2是同类项，那么n 等于() A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2两个法则法则1 合并同类项10．下列计算正确的是( )A ．7a ＋a ＝7a 2B ．5y －3y ＝2C ．3x 2y －2yx 2＝x 2yD ．3a ＋2b ＝5ab法则2 去括号11．下列去括号正确的是( )A ．3a －(2a －c)＝3a －2a ＋cB ．3a ＋2(2b －3c)＝3a ＋4b －3cC ．6a ＋(－2b ＋5)＝6a ＋2b －5D ．(5x －3y)－(2x －y)＝5x ＋3y －2x ＋y一种运算——整式的加减12．先化简，再求值：(1)43a －⎝⎛⎭⎫2a －23a 2－⎝⎛⎭⎫－23a ＋13a 2，其中a ＝－14；(2)2(2x－3y)－(3x＋2y＋1)，其中x＝2，y＝－1 2.一个应用——整式加减的应用13．张丽家的收入分为农业收入和其他收入两部分，今年农业收入是其他收入的1.5倍，预计明年农业收入将减少20%，而其他收入将增加40%，那么预计张丽家明年的全年总收入是增加还是减少．一个规律——整式规律的探究14．用如图①所示的三种不同花色的地砖铺成如图②所示的地面图案．(1)用S1＋S2＋S3＋S4＋S5＋S6＋S7＋S8＋S9的方法计算地面面积，请列出整式并化简．(2)你有更简便的计算方法吗？请你列出式子．(3)你认为由(1)(2)中的两种方法得到的两个式子有什么关系？为什么？(第14题)三种思想思想1分类讨论思想15．已知2ma4b6与ma4b3n的和是单项式(m，n是常数)，求m，n的值．16．已知代数式mx2－mx－2与代数式3x2＋mx＋m的和为单项式，求m的值．思想2整体思想17．已知y＝x－1，求(x－y)2＋(y－x)＋1的值．思想3转化思想18．已知A＝－3x2－2mx＋3x＋1，B＝2x2＋2mx－1，且2A＋3B的值与x无关，求m的值．19．如图．(第19题)(1)用含有a，b的式子表示阴影部分的面积；(2)当a＝3，b＝2时，阴影部分的面积为多少？答案1．(1)(18－2x) m ；(10－x) m(2)(18－2x)(10－x) m 22．解：(1)学生应付的门票费为10×0.8·a ＝8a(元)，成人应付的门票费为20×0.8(x －a)＝16(x －a)(元)．所以该旅游团应付的门票费为[16(x －a)＋8a]元．(2)当x ＝54，a ＝16时，原式＝16×(54－16)＋8×16＝736，所以应付门票费736元．3．A 4.C 5.D 6.C7．解：由题意知多项式不含x 3和x 2的项，所以m ＝2，n ＝－12，这个多项式为2x 4－3x －12，当x ＝－1时，2x 4－3x －12＝2×(－1)4－3×(－1)－12＝92. 8．解：(1)单项式集合：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53x 2，xy 2，0，－π，…； (2)多项式集合：⎩⎨⎧⎭⎬⎫m 2－5m ，54－x ，…； (3)整式集合：{－53x 2，xy 2，m 2－5m ，54－x ，0，－π，…}． 9．A 点拨：因为单项式2x 2y 2n＋2与－3y 2－n x 2是同类项，所以2n ＋2＝2－n.解得n ＝0，故选A . 10．C 11.A12．解：(1)原式＝43a －2a ＋23a 2＋23a －13a 2＝13a 2. 当a ＝－14时，原式＝13a 2＝13×⎝⎛⎭⎫－142＝148. (2)原式＝4x －6y －3x －2y －1＝x －8y －1.当x ＝2，y ＝－12时，原式＝x －8y －1＝2－8×⎝⎛⎭⎫－12－1＝5. 13．解：设张丽家今年其他收入为a(a ＞0)元，则今年总收入为1.5a ＋a ＝2.5a(元)． 预计明年总收入为(1－20%)×1.5a ＋(1＋40%)a ＝2.6a (元)．因为2.6a >2.5a ，14．解：(1)x ＋1＋x ＋1＋x ＋1＋x ＋1＋x 2＝x 2＋4x ＋4.(2)有．因为题图②是正方形，边长为x ＋2，所以面积为(x ＋2)2.(3)x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2.因为图形的面积不变．15．解：由题意分以下两种情形讨论：(1)当m ＝0时，n 可取任意数；(2)当m ≠0时，由已知可得两单项式为同类项，则6＝3n ，解得n ＝2. 综上所述，m ＝0，n 取任意数或m ≠0，n ＝2.16．解：由题意，得mx 2－mx －2＋(3x 2＋mx ＋m)＝mx 2－mx －2＋3x 2＋mx ＋m＝(m ＋3)x 2＋m －2.所以当m ＋3＝0或m －2＝0时，两代数式的和为单项式， 此时m 的值为－3或2.17．解：因为y ＝x －1，所以y －x ＝－1，x －y ＝1.所以(x －y)2＋(y －x)＋1＝12＋(－1)＋1＝1.18．解：2A ＋3B＝2(－3x 2－2mx ＋3x ＋1)＋3(2x 2＋2mx －1)＝(2m ＋6)x －1.因为2A ＋3B 的值与x 无关，所以2m ＋6＝0，即m ＝－3.19．解：(1)阴影部分的面积为S 阴影＝a(a ＋b)－πa 24－πb 24. (2)当a ＝3，b ＝2时，S 阴影＝3×(3＋2)－π×324－π×224＝15－13π4.。
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第三章 整式及其加减
小结与复习
一.学习目的和要求：
1．对本章内容的认识更全面、更系统化。
2．进一步加深对本章基础知识的理解以及基本技能的掌握，并能灵活运用。
二.学习重点和难点：
重点：本章基础知识的归纳、总结；基础知识的运用；整式的加减运算的灵活运用。
难点：本章基础知识的归纳、总结；基础知识的运用；整式的加减运算的灵活运用与提
高。
三.学习方法：
归纳，总结 交流、练习 探究 相结合
四.教学目标和教学目标解析：
教学目标1 同类项
同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项，另外所有的常数项都
是同类项。
例如：n m 2-与n m 23是同类项；32y x 与232x y 是同类项。
注意：同类项与系数大小无关，与字母的排列顺序无关。
教学目标2 合并同类项法则
合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数保持
不变，如：2
3232323)23(23n m n m n m n m =-=-。
教学目标3 括号与添括号法则
去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里的各项都
不变符号；括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里的各项都改变符号。
如：c b a c b a -+=-++)(， c b a c b a +--=-+-)(
教学目标4 升幂排列与降幂排列
为便于多项式的运算，可以用加法交换律将多项式各项的位置按某个字母的指数大小
顺序重新排列。
若按某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做这个多项式按这个字母降幂排列。
若按某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做这个多项式按这个字母升幂排列。
如：多项式12
1322233-+-
+-a a b b a ab b a 按字母a 升幂排列为：b a b a ab a b a 323223211++--+-。
注意：(1)重新排列后还是多项式的形式，各项的位置发生变化，其他都不变。
(2)各项移动时要连同它前面的符号。
(3)某项前的符号是“+”，在第一项位置时，正号“+”可省略，其他位置不能省，排列时
注意添加或省略。
教学目标5 整式加减的一般步骤
(1)如果有括号，那么先去括号。
有多重括号时，先小括号，再中括号，最后大括号。
(2)如果有同类项，再合并同类项。
五.教学过程设计（合作 交流 自主探究）
能力训练1
1.在式子：a 3 , x-y 2 ,- 12
y 2,1-x-5xy 2,-x 中，哪些是单项式，哪些是多项式？哪些是整式？ 单项式有: 多项式有:
整式有：
2.- 12 y 2的系数是（ ），次数是（ ）； a 3
的系数是（ ），次数是（ ）。
3 x-y 2
的项是（ ），次数是（ ）；1-x-5xy 2的项是（ ），次数是（ ），是（ ）次（ ）项式。
能力训练2
1.下列各组是不是同类项：
（1) 4abc 与 4ab (2) -5m 2n 3与2n 3m 2 （3）-0.3 x 2y 与y 2x
2.合并下列同类项：
(1) 3xy – 4 xy – xy = （ ） (2) －a －a －2a=( )
(3) 0.8ab 3 － a 3 b+0.2ab 3 =( )
3.若5x 2y 与是 x m y n 同类项，则m=( ) n=( )
若5x 2y 与 x m y n 的和是单项式， m=( ) n=( )
（通常我们把一个多项式的和项按照某个字母的指数人大到小（降幂）,或者从小到大（升
幂）的顺序排列.如 :-4x 2+5x+5 也可以写成:5+5x-4x 2 ）
能力训练3
1.去括号:（1）+（x －3)= (2) －(x －3)=
(3)－(x+5y －2）= (4)+(3x －5y+6z)=
2.计算:
（1）x －(－y －z+1)= ( 2 ) m+(－n+q)= ；
( 3 )a － ( b+c －3)= ( 4 ) x+(5－3y)= 。
3.多项式 x-5xy 2 与 -3x+ xy 2的和是 它们的差是
多项式-5a+4ab 3减去一个多项式后是2a,则这个多项式是
探究，交流与提高
1.计算：
（1）3（ xy2－x2y) －2(xy+xy2)+3x2y;
（2）5a 2－[a 2+ (5a 2－2a)－2(a 2－3a)]
2.化简求值：14 （－4 x 2 +2x －8)－ 12 (x －2）其中x = 12
3、长方形的长为2x cm ，宽为4cm ，梯形的上底为x cm ，下底为上底的3倍，高为5cm ，
两者谁的面积大？大多少？
4、一公园的成票价是15元，儿童买半票，甲旅行团有x （名）成年人和y （名）儿童；
乙旅行团的成人数是甲旅行团的2倍，儿童数比甲旅行团的2倍少8人，这两个旅行团的
门票费用总和各是多少？。
5、礼堂第1排有a 个座位，后面每排都比前一排多1个座位，第二排有多少个座位？第
3排呢？用m 表示第n 排座位数，m 是多少？当a=20，n =19时，计算m 的值。
分析：第一排有a 个座位，第二排有（ ）个座位，第三排有（ ）
个座位？第4排有（ ）个座位。
所以第n 排有 个座位，即m= ，所以，当a=20，n =19时， m=
直击考点 挑战自我
1探索规律并填空：（1） ……
（2）计算:
2、小丽做一道数学题:“已知两个多项式A ,B ,B 为4x 2-5x -6,求A +B .”,小丽把A +B 看成A -B
计算结果是-7x 2+10x +12.根据以上信息,你能求出A +B 的结果吗?
六.归纳小结，反思分享
1. 通过本次课的复习你最大的收获是什么？
2本章的学习过后,你想和同学们说点什么？
七.作业布置：
课本74页 复习题2
;3121321;211211-=⨯-=⨯;4131431-=⨯=
+⨯)1(1n n =⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯200720061431321211。