信息论和编码理论基础第四章
信息论与编码理论习题答案
信息论与编码理论习题答案LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】第二章 信息量和熵八元编码系统，码长为3，第一个符号用于同步，每秒1000个码字，求它的信息速率。
解：同步信息均相同，不含信息，因此 每个码字的信息量为 2⨯8log =2⨯3=6 bit因此，信息速率为 6⨯1000=6000 bit/s掷一对无偏骰子，告诉你得到的总的点数为：(a) 7; (b) 12。
问各得到多少信息量。
解：(1) 可能的组合为 {1，6},{2，5},{3，4},{4，3},{5，2},{6，1})(a p =366=61得到的信息量 =)(1loga p =6log = bit (2) 可能的唯一，为 {6，6})(b p =361得到的信息量=)(1logb p =36log = bit 经过充分洗牌后的一副扑克（52张），问：(a) 任何一种特定的排列所给出的信息量是多少？(b) 若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同时得到多少信息量？解：(a) )(a p =!521信息量=)(1loga p =!52log = bit (b) ⎩⎨⎧⋯⋯⋯⋯花色任选种点数任意排列13413!13)(b p =1352134!13A ⨯=1352134C 信息量=1313524log log -C = bit 随机掷3颗骰子，X 表示第一颗骰子的结果，Y 表示第一和第二颗骰子的点数之和，Z 表示3颗骰子的点数之和，试求)|(Y Z H 、)|(Y X H 、),|(Y X Z H 、)|,(Y Z X H 、)|(X Z H 。
解：令第一第二第三颗骰子的结果分别为321,,x x x ，1x ，2x ，3x 相互独立，则1x X =，21x x Y +=，321x x x Z ++=)|(Y Z H =)(3x H =log 6= bit )|(X Z H =)(32x x H +=)(Y H=2⨯(361log 36+362log 18+363log 12+364log 9+365log 536)+366log 6= bit )|(Y X H =)(X H -);(Y X I =)(X H -[)(Y H -)|(X Y H ]而)|(X Y H =)(X H ，所以)|(Y X H = 2)(X H -)(Y H = bit或)|(Y X H =)(XY H -)(Y H =)(X H +)|(X Y H -)(Y H 而)|(X Y H =)(X H ，所以)|(Y X H =2)(X H -)(Y H = bit),|(Y X Z H =)|(Y Z H =)(X H = bit )|,(Y Z X H =)|(Y X H +)|(XY Z H =+= bit设一个系统传送10个数字，0，1，…，9。
信息论与编码第三版答案
信息论与编码第三版答案《信息论与编码》是一本非常经典的书籍，已经成为了信息科学领域中的经典教材。
本书的第三版已经出版，相比于前两版，第三版的变化不小，主要是增加了一些新内容，同时也对一些旧内容做了修改和完善。
作为一本教材，上面的题目和习题都是非常重要的，它们可以帮助读者更好地理解书中的相关概念和知识点，同时也可以帮助读者更好地掌握理论和技术。
因此，本文将介绍《信息论与编码》第三版中部分习题的答案，方便读者快速查阅和学习。
第一章：信息量和熵1.1 习题1.1Q：两个随机变量的独立性和无关性有什么区别？A：独立性和无关性是两个不同的概念。
两个随机变量是独立的，当且仅当它们的联合概率分布等于乘积形式的边缘概率分布。
两个随机变量是无关的，当且仅当它们的协方差等于0。
1.2 习题1.7Q：什么样的随机变量的熵等于0？A：当随机变量的概率分布是确定的（即只有一个概率为1，其余全为0），其熵等于0。
第二章：数据压缩2.5 习题2.9Q：为什么霍夫曼编码比熵编码更加高效？A：霍夫曼编码能够更好地利用信源的统计特征，将出现频率高的符号用较短的二进制编码表示，出现频率低的符号用较长的二进制编码表示。
这样一来，在编码过程中出现频率高的符号会占用较少的比特数，从而能够更加高效地表示信息。
而熵编码则是针对每个符号分别进行编码，没有考虑符号之间的相关性，因此相比于霍夫曼编码更加低效。
第四章：信道编码4.2 习题4.5Q：在线性块码中，什么是生成矩阵？A：在线性块码中，生成矩阵是一个包含所有二元线性组合系数的矩阵。
它可以用来生成码字，即任意输入信息序列可以通过生成矩阵与编码器进行矩阵乘法得到相应的编码输出序列。
4.3 习题4.12Q：简述CRC校验的原理。
A：CRC校验是一种基于循环冗余校验的方法，用于检测在数字通信中的数据传输错误。
其基本思想是将发送数据看作多项式系数，通过对这个多项式进行除法运算，得到余数，将余数添加到数据尾部，发送给接收方。
信息论与编码(第四章PPT)
变长编码
l p( si )li (码元 / 信源符号).
i 1
编码速率:编码后每个信源符号所能承载的的最大信 息量
R l log m(比特 / 码符号).
编码效率:
H(X ) H(X ) . R l log m
码的多余度（剩余度）:
l H ( X ) / log m 1 . l
0级节点
0 1 1 2 2
1级节点
2 0 1 2
w1
0
0
w2 w3 w4 w8
w5
2
2级节点
1
0 1
3级节点
w6 w7
w9
w10
w11
26
4.3
r
变长编码
克拉夫不等式( L.G.Kraft, 1949) 长度为l1, l2,…,lr的m元 即时码存在的充分必要条件是：
li m 1 i 1
唯一可译码: 任意有限长的码元序列,只能被唯一地分割成一个一个的 码字,则称为唯一可译码,或单义可译码. 否则，就称为非 唯一可译码, 或非单义可译码. 例：码4是唯一可译码: 1000100 1000, 100 码3是非唯一可译码: 100010010, 00, 10, 0 或10, 0, 01, 00 或10, 0, 01, 00
麦克米伦定理(麦克米伦: B. McMillan, 1956). 长度为l1, l2,…,lr的m元唯一可译码存在的充分必要条件是:
li m 1 i 1 r
27
4.3
变长编码
例 对于码长序列1,2,2,2, 有 + + + = >1,
1 1 1 1 5 2 4 4 4 4 不存在这样码长序列的唯一可译码, 如码2,码3 1 1 1 1 15 对于码长序列1,2,3,4, 有 + + + = <1, 2 4 8 16 16 存在这样码长序列的唯一可译码！ 码4与码5都是唯一可译码！码5是即时码，但码4不是即时码！
信息论与编码基础_教学课件_4
信源压缩 编码基础
s1 s2 S 3 1 P(s) 4 4 随着N的增加，平均码长减小，有效性逐步提高；
当N趋于无穷时，平均码长可以无限制地减小吗？ N=3 N=4 H (S ) R3 0.985 (bit/code) R4 0.991 (bit/code) L3 / 3 H (S ) 3 0.985 4 0.991 L3 / 3 log 2
S N (S1,..., SN )
信源压缩 编码基础
Wi {xi1 , xi2 ..., xili }
编码器
Si {a1 ,..., aq } i 1, 2,..., N
X : x {x1,..., xr } i 1,2,..., q N
N次扩展信源无失真编码器
信息论与编码基础
1）请给出此信源的最佳码，并计算平均码长Lm. 2）哪些m值可使平均码长Lm等于熵？
3）定义变长码的冗余度为ρ= Lm – H。请问对怎样 的m值，编码冗余度可达到最大，其中2k≤m ≤ 2k+1? 当m→∞时，最坏情形下冗余度的极限值是什么？
信息论与编码基础
本课小结
信源编码器模型
性能指标
信源压缩 编码基础
01 00 111 110 101 10 1001 100 0.11 1000
0.35 0.26 11
0.39 0
平均码长 2.72 code/sig 信息熵 2.6 bit/sig 编码效率 95.6%
1000
信息论与编码基础
Huffman码
说明： 1、码字不唯一
信源压缩 编码基础
2、最佳性
所谓最佳性，就是指对于某个给定信源，在所有可能 3、输入、输出速率匹配问题 的唯一可译码中，此码的平均码长最短。
信息论与编码技术第四章课后习题答案
''
a − a | x| 2 e − D a e− a|x| , (6) 2 2
s
R( D) ≥ R L( D) = h(u ) − h( g )
2 1 = a log e − log (2eD) 2
当（5）式大于零时， R ( D ) = a log e − 4.8
2 1 log (2eD) 2
4.10
X ⎤ ⎡0 1 ⎤ 一二元信源 ⎡ ，每秒钟发出 2.66 个信源符号。将此信源的输出符号送入某二元 ⎢ p( x) ⎥ = ⎢0.5 0.5⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
无噪无损信道中进行传输，而信道每秒钟只传递二个二元符号。 (1)试问信源能否在此信道中进行无失真的传输。 (2)若此信源失真度测定为汉明失真，问允许信源平均失真多大时，此信源就可以在信道中传输。 解：（1）此信源的熵 H(s)=1 （比特/符号） 所以信源输出的信息传输率为 Rt=2.66 （比特/秒） 将此信源输出符号送入二元无噪无损信道进行传输，此信道每秒钟只传送两个二元符号。 此信道的最大信息传输速率：Ct=2 比特/秒 因为 Rt>Ct 根据信道编码定理， 不论进行任何编码此信源不可能在此信道中实现无错误地传输， 所以信源在此 信道中传输会引起错误和失真。 （2）若设此信源的失真度为汉明失真。因为是二元信源，输入是等概率分布，所以信源的信息率 失真函数 R(D)=1-H(D) 若当 Ct>=Rt(D) 则此信源在此信道中传输时不会引起错误， 也就是不会因信道而增加信源新的失真。 总的信源的失 真是信源压缩编码所造成的允许失真 D 所以有 2=2.66*[1-H(D)] 2.66H(D)=0.66 H(D) ≈ 0.2481 故 D ≈ 0.0415 允许信源平均失真 D ≈ 0.0415 时，此信源就可以在此信道中传输。 比特/信源符号 比特/秒 Rt(D)=2.66*R(D)
(信息论、编码及应用)第4章连续信源与连续信道
连续信源的编码定理是信息论中最重 要的定理之一，它为信源编码提供了 理论依据和指导，广泛应用于数据压 缩、图像处理等领域。
02
连续信道
定义与特性
定义
连续信道是一种能够传输连续信号的通信通道，例如音频、 视频信号等。
特性
连续信道具有带宽限制、噪声干扰、信号衰减等特性，这些 特性会影响信号传输的质量和可靠性。
利用统计学习方法，如自适应滤 波、神经网络等，对信源和信道 进行学习和优化，实现动态匹配。
编码技术
采用适当的编码技术，如差分编 码、增量编码等，对信源进行编 码，使其更适应信道的传输特性。
匹配的优化策略
01
02
03
能效优先
在保证信息传输质量的前 提下，优先考虑能效，通 过优化信源和信道的参数， 降低能耗。
例如，在移动通信网络中，语音信号通常采用码分多址（CDMA）或长期演进（LTE） 等技术进行传输。这些技术能够提供较高的数据传输速率和较低的误码率，从而保 证语音信号的清晰度和可懂度。
图像信号传
图像信号传输是连续信源与连续信道的另一个重要应用领域。在电视广播、视频会议和在线教育等应用中，图像信号需要通 过连续信道进行传输。由于图像信号的数据量较大，因此需要采用高效的压缩编码技术来减小传输数据量，同时还需要保证 图像质量。
输速率，同时保证信息的可靠传输。
03
匹配理论的发展历程
随着信息论的不断发展，匹配理论也在不断完善，从早期的经典匹配理
论到现代的统计匹配理论，为连续信源与连续信道的匹配提供了更精确
的指导。
匹配的实现方法
参数调整
根据信源和信道的特性，调整相 关参数，如信源的压缩比、信道 的调制方式等，以实现匹配。
信息论 第4章(哈夫曼编码和游程编码)
游程编码的基本原理
很多信源产生的消息有一定相关性,往往 连续多次输出同样的消息,同一个消息连续输 出的个数称为游程(Run-Length).我们只需要 输出一个消息的样本和对应重复次数,就完全 可以恢复原来的消息系列.原始消息系列经过 这种方式编码后,就成为一个个编码单元(如下 图),其中标识码是一个能够和消息码区分的特 殊符号.
文件传真压缩方法具体流程
主要利用终止码和形成码(见书本P43-44), 一般A4的纸每行的像素为1728,具体编码规则 如下: （1）当游程长度小于64时，直接用一个对应 的终止码表示。 （2）当游程长度在64到1728之间时，用一个 形成码加一个终止码表示。 例如:白游程为662时用640形成码(白)加22终 止码(白)表示,即:01100111 0000011. 黑游程为256时用256形成码(黑)加0终止码(黑) 表示,即:000001011011 0000110111.
哈夫曼（Huffman） （3）哈夫曼（Huffman）编码
哈夫曼编码：将信源中的各个消息按概率排序， 不断将概率最小的两个消息进行合并，直到合 并为一个整体，然后根据合并的过程分配码字， 得到各个消息的编码。 该方法简单明了，并且可以保证最终的编 码方案一定是最优编码方案。
哈夫曼（Huffman） 哈夫曼（Huffman）编码的例子
香农编码的例子
《信息论与编码》PPT第四章
L
L
2）误差准则：
→ → e( f , g ) p ε 即P g f (uL ) ≠ uL p ε差准则： E [e ( f , g )] p ε 即E P g f (u ) ≠ u p ε ，
四、 密码 它是研究信息与通信系统在传输最安全的指标下， 系统中的信源和信宿，在什么样条件下能实现统计匹 配，即最优的加、解密密码存在； 反之，又在什么样条件下不能实现统计匹配，即 最优的加、解密密码不存在。
定理： 设掌握密钥的信宿V，它对应的系统传送的互信息 R=I（U，V，）不掌握密钥的信宿V’，它对应的系统传 送的互信息R’=I（U，V’），信源的信息熵为H（U）。 则：掌握密钥的信宿V，通过最优化的加、解密码 V （f2,g2），使得R=I（U，V）=H（U）。 反之，对不掌握密钥的信宿V’，几乎找不到最优化密钥 （f2,g2’）=（f2,g2），即R’=I（U，V’）→0. ——1949年，香农给出的密码学基本定理。 * 概率分布分析： P (ϕ ) = P (u L ).P (cm | sm ).P ( sm | cm ) ′ ′
定理：若系统要求达到的实际传输速率为R，无失真 信源的可用信息熵为H（U），则若R＞H（U）时， 最有效的信源编、译码 ( f1 , g1 ) 存在，反之R＜ H（U）则不存在。——香农编码第一定理。 从另一角度来理解定理——用系统的概率分布函数
′ 由无失真准则，则 即 P ( sm | uL ) = P (vL | sm ) → → 所以 P(ϕ ) = p(uL ) f .g = p(uL ) 即系统与信源匹配。
•系统优化其物理实质： 就是要研究系统在某种优化指标下，上述两类 参数在满足什么条件时对应的编、译码存在； 又在什么条件下，对应的编、译码不存在。
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第四章
4
§4.2 离散无记忆信道
一、有关DMC的容量定理
（所说的DMC都是离散无记忆平稳信道）
设
DMC在某个时刻输入随机变量为X，输出随机变量为Y。
信道响应特性为转移概率矩阵
[p(y|x)，x∈{0, 1, …, K-1}，y∈{0, 1, …, J-1}]，
它是一个K×J阶矩阵（其中p(y|x)=P(Y=y|X=x)）。
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第四章
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§4.2 离散无记忆信道
定义4.2.1和定义4.2.2(p104) 如果
（1变）量信X道u的的事输件入集为合随都机是变{量0, 序1, 列…X, K1,-X1}2,，X3, …，其中每个随机 （2变）量信Y道u的的事输件出集为合随都机是变{0量, 1序, …列,YJ1-,1Y}2，, Y3, …，其中每个随机 则称该信道为离散信道。如果更有
x0 y0
w( y)
K 1 J 1
q ( x) p ( y | x) log
K 1
p(y | x)
x0 y0
q(z)p(y | z)
z0
K 1
J 1
q ( x) p ( y | x) log
K 1
p(y | x)
x0 2021/2/28
y0
信息论和编码q (理z论) p基( y础| z ) 第z 四0 章
信道及其容量
§4.1 信道分类 §4.2 离散无记忆信道 §4.5 信道的组合 §4.6 时间离散的无记忆连续信道 §4.7 波形信道
信息论和编码理论基础
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第四章
1
§4.1 信道分类
信道是传输信息的媒质或通道。（输入→信道→输出）
说明
（1）信道输入是随机过程。
（2）信道响应特性是条件概率P(输出值为y|输入值为x)，又称 为转移概率。
7
§4.2 离散无记忆信道
（3）I(X; Y)是概率向量{q(x), x∈{0, 1, …, K-1}}和转移概率 矩阵[p(y|x)，x∈{0, 1, …, K-1}，y∈{0, 1, …, J-1}]的函数。
K 1 J 1
I(X ;Y )
P (( XY ) ( xy )) log
p(y | x)
则称该信道为离散无记忆平稳信道。
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第四章
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§4.2 离散无记忆信道
关于定义4.2.1和定义4.2.2的注解
“离散”的含义是时间离散，事件离散。即：信道的输入、 输出时刻是离散的，且输入随机变量和输出随机变量都是 离散型的随机变量。
“无记忆”的含义是信道响应没有时间延迟，当时的输出只 依赖于当时的输入。
8
§4.2 离散无记忆信道
（3）I(X; Y)是概率向量{q(x), x∈{0, 1, …, K-1}}和转移概率 矩阵[p(y|x)，x∈{0, 1, …, K-1}，y∈{0, 1, …, J-1}]的函数。
K 1 J 1
I(X ;Y )
P (( XY ) ( xy )) log
p(y | x)
“平稳”的含义是信道在不同时刻的响应特性是相同的。
“离散无记忆平稳信道”是最简单的信道，信道在某一时刻 u的响应特性
P(Yu=y|Xu=x)； x∈{0, 1, …, K-1}，y∈{0, 1, …, J-1}，
就能很简单地计算出信道信在息任论意和时编码间理段论的基响础应特性。
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（3）P((Y1Y2…YN)=(y1y2…yN)|(X1X2…XN)=(x1x2…xN)) =P(Y1=y1|X1=x1)P(Y2=y2|X2=x2)…P(YN=yN|XN=xN)，
则称该信道为离散无记忆信道（DMC）。如果更有
（4）对任意x∈{0, 1, …, K-1}，y∈{0, 1, …, J-1}，任意两个时 刻u和v，还有P(Yu=y|Xu=x)=P(Yv=y|Xv=x)，
x0 y0
w( y)
K 1 J 1
q ( x) p ( y | x) log
K 1
p(y | x)
x0 y0
q(z)p(y | z)
z0
K 1
J 1
q ( x) p ( y | x) log
K 1
p(y | x)
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信息论和编码q (理z论) p基( y础| z ) 第z 四0 章
p(0|1)
p(1|1)
p(J1|1)
p(0|K1) p(1|K1) p(J1|K1)
J 1
对x ， 任 p (意 y |x ) P ( Y { 0 ,1 , ,J 1 } |X x ) 1 y 0
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第四章
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§4.2 离散无记忆信道
（2）对任意y∈{0, 1, …, J-1}，由全概率公式有
X的概率分布为{x, q(x), x∈{0, 1, …, K-1}}。
Y的概率分布为{y, w(y), y∈{0, 1, …, J-1}}。
以下的结论是我们已知的。
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第四章
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§4.2 离散无记忆信道
（1）转移概率矩阵的每一行都是一个概率向量。
p(0|0) p(1|0) p(J1|0)
（3）信道输出是随机过程，输出的概率分布可以由输入的概率 分布和信道的响应特性得到。（全概率公式）
（4）根据信道输入、信道响应特性、信道输出的情况，可将信
道分类：离散信道（又称为数字信道）；连续信道（又称
为模拟信道）；特殊的连续信道——波形信道；恒参信道
和随参信道；无记忆信信道息论和和有编记码忆理信论基道础；等等。
K1
w(y)q(x)p(y| x) x0
(w(0)w ,(1) , ,w(J1))
p(0|0) p(1|0) p(J1|0)
(q(0)q,(1) , ,q(K1))
p(0|1)
p(1|1)
p(J1|1)
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p(0|信K息论1)和编p(码1|理K论1基)础p(J1|K1)
第四章
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§4.2 离散无记忆信道
（4）设转移概率矩阵[p(y|x)，x∈{0, 1, …, K-1}，y∈{0, 1, …, J-1}]确定，希望选择概率向量{q(x), x∈{0, 1, …, K-1}}使I(X; Y) 达到最大。则见定理2.6.2。
定义4.2.3(p105) 离散无记忆信道的信道容量定义为如下的C。 达到信道容量的输入概率分布{x, q(x), x∈{0, 1, …, K-1}}称 为最佳输入分布。 其中