第13讲 两圆关系及弧长和扇形面积)

4.（湖州）已知⊙O1 与⊙O2 外切，它们的半径分别为 2 和 3，则圆心距 O1O2 的长是（ ） 5.（荆州）如图，两同心圆的圆心为 O，大圆的弦 AB 切小圆于 P，两圆的半径分别为 6、3， 则图中阴影部分的面积是
6.（济南）在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示，它 的底面半径 OB=6 cm，高 OC=8 cm，则这个圆锥漏斗的侧面积是（ ） 2 2 2 2 A. 30 cm B.30πcm C.60πcm D.120 cm 7.（聊城）如图，小圆的圆心在原点，半径为 3，大圆的圆心坐标为（a,0） ，半径为 5，如果两 圆内含，那么 a 的取值范围是 .
演练巩固 反馈提高 1.（绍兴）如图为某机械装置的截面图，相切的两圆⊙O1、⊙O2 均与⊙O 的弧 AB 相切，且 O1O2 ∥l1（l1 为水平线） ，⊙O1、⊙O2 的半径均为 30 mm，弧 AB 的最低点到 l1 的距离为 30 mm，公 切线 l2 与 l1 间的距离为 100mm， 则⊙O 的半径为 （ ） A. 70 mm B. 80 mm C. 85 mm D.85 mm 2.（淄博）如果一个圆锥的主视图是正三角形，则其侧 面展开图的圆心角为（ ） A.120° B. 约 156° C. 180° D.约 208° 3. （十堰） 如图， 已知 Rt△ABC 中， ∠ACB=90°， AC=4， BC=3，以 AB 边所在的直线为轴，将△ABC 旋转一周，则所得几何体的表面积是（ ） A. 168 π 5 B.24π C. 84 π 5 D.12π
3.（济南）已知两圆半径分别是 3 和 2，圆心坐标分别是（0,2）和（2，-4） ，那么两圆的位置 关系是（ ） A. 内含 B.相交 C.相切 D.外离 4.（大兴安岭）已知相切两圆的半径分别为 5 ㎝和 4 ㎝，这两个圆的圆心距是 。
5.（绵阳）如图，△ABC 是直角边长为 a 的等腰直角三角形，直角边 AB 是半圆 O1 的直径，半 圆 O2 过点 C 且与半圆 O1 相切，则图中阴影部分的面积是（ ） 7—π 2 A. a 36 B. 5-π 2 a 36 C. 7 2 a 36 5 D. a2 36
培优升级 奥赛检测 1.（齐齐哈尔）已知相交两圆的半径分别为 5 cm 和 4 cm，公共弦长为 6cm，则这两个圆的圆心 距是 2.（锦州）图 2-1 中的圆与正方形各边都相切，设这个圆的面积为 S1，图 2-2 中的四个圆的半径 相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这四个圆的面积之和为 S2，图 2-3 中的九个圆半 径相等，并依次外切，且与正方形的各边相切，设这九个圆的面积之和为 S3，„„依此规律， 当正方形边长为 2 时，第 n 个图中所有圆的面积之和 Sn=
4.（赤峰）若两圆的直径分别是 2 ㎝和 10 ㎝，圆心距为 8 ㎝，则这两个圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【例 2】 （赤峰）如图，⊙O1，⊙O2，⊙O3 两两相外切，⊙O1 的半径 r1=1，⊙O2 的半径 r2=2，⊙ O3 的半径 r3=3，则△O1 O2 O3 是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D． 锐角三角形或 钝角三角形 【解法指导】 根据外切两圆圆心距与两圆半径关系： d=R+r， 得 O1 O2=3， O2 O3=5，O1 O3=4，它们满足勾股定理，所以△O1 O2 O3 是直角三角形。 本题选 B. 【变式题组】 5.（锦州）如图所示，点 A、B 在直线 MN 上，⊙A、⊙B 的半径均为 1 ㎝，⊙A 以每秒 2 ㎝的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不 断增大，其半径 r（cm）与时间 t 之间的关系式为 r=1+t（t≥0） ，当点 A 出发后 秒两 圆相切。
15.（邵阳）如图，正方形 OA1B1C1 的边长为 1，以 O 为圆心、OA1 为半径作扇形 OA1C1,A1C1 与 OB1 相交于点 B2，设正方形 OA1B1C1 与扇形 OA1C1 之间的阴影部分的面积为 S1；然后以 OB2 为对角线作正方形 OA2B2C2， 又以 O 为圆心， OA 为半径作扇形 OA2C2,A2C2 与 OB1 相交于点 B3， 设正方形 OA2B2C2 与扇形 OA2C2 之间的阴影部分面积为 S2；按此规律继续作下去，设正方形 OAnBnCn 与扇形 OAnCn 之间的阴影部分面积为 Sn （1）求 S1，S2，S3； （2）写出 S2008； （3）试猜想 Sn（用含 n 的代数式表示，n 为正整数）
2t-11=1+t-1，t=11；④当两圆第二次外切，由题意，可得 2t-11=1+t+1，t=13。所以，点 A 出发
11 后 3 秒、 秒、11 秒、13 秒两圆相切。 3 【变式题组】 13.（宁波）如图，⊙A、 ⊙B 的圆心在直线 l 上， 两圆的半径都为 1 ㎝，开始时圆心距 AB=4 cm， 现⊙A、⊙B 同时沿直线以每秒 2 cm 的速度相向移动，则当两圆相切时，⊙A 运动的时间为 秒.
6.（庆阳）如图，两个等圆⊙O 与⊙O′外切，过点 O 作⊙O′的两条切线 OA、OB，A、B 是 切点，则∠AOB= 【例 3】 （彬州）如图已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，则围成 的圆锥的侧面积为（ ） 2 2 2 A.4π cm B. 6π cm C. 9π cm D. 12 2 π cm 【解法指导】解圆锥的问题关键点：圆锥的侧面积 就是展开扇形的面积， 故要计算圆的面积的三分之 一。 1 2 解：S=π ×6 × ，本题应选 D 3 【变式题组】 7.（哈尔滨）圆锥的底面半径为 8，母线长为 9，则该圆锥的侧面积为（ ） A.36π B. 48π C.72π D.144π 8.（泉州）已知圆锥的底面半径长为 5，侧面展开后所得的扇形的圆心角为 120°，则该圆锥的 母线长等于 9.（仙桃）现有 30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为 40 cm，小红同学为了在“六一” 儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作一个底面半径 为 10 ㎝的圆锥形纸帽（接缝处不重叠）那么剪去的扇形纸 片的圆心角为（ ） A.9° B.18° C. 63° D.72° 【例 4】 （1） （襄樊）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°， AC=4，BC=2,分别以 AC、BC 为直径画半圆，则图中阴影 部分的面积为 （结果保留π ） （2） （新疆）如图（2） ，已知菱形 ABCD 的边长为 ⌒上，求 BC ⌒的 1.5 cm，B、C 两点在扇形 AEF 的 EF 长度及扇形 ABC 的面积 【解法指导】 （1） 本题考察直角三角形、 扇形面积、 由图可知阴影部分的面积=半圆 AC 的面积+半圆
14.（绍兴）如图，⊙A,⊙B 的半径分别为 1cm，2 cm，圆心距 AB 为 5 cm，如果⊙A 由图示位 置沿直线 AB 向右平移 3 cm，则此时该圆与⊙B 的位置关系是 【例 3】 （吉林）已知：B,C 是线段 AD 上的两点，且 AB=CD，分别以 AB，BC，CD，AD 为直 径作四个半圆，得到一个如图所示的轴对称图形，此图的对称轴分别交其中两个半圆于 M,N 交 AD 于 O，若 AD=16，AB=2r，回答下列问题: （1）用含 r 的代数式表示 BC= ，MN= （2）设以 MN 为直径的圆的面积为 S，阴影部分的面积为 S 阴影，请通过计算填写下表：
间 t（秒）之间的关系式为 r=1+t（t≥0） （1）试写出点 A,B 之间的距离 d（厘米）与时间 t（秒）之间的函数表达式； （2）问点 A 出发后多少秒两圆相切？ 【解法指导】 解： （1） 当 0≤t≤5.5 时， 函数表达式为 d=11-2t； 当 t＞5.5 时， 函数表达式 d=2t=11 （2）两圆相切可分为如下四种情况；①当两圆第一次外切，由题意，可得 11-2t=1+1+t，t=3； ②当两圆第一次内切，由题意，可得 11-2t=1+t-1，t= 11 ；③当两圆第二次内切，由题意，可得 3
8.（衢州）相切两圆的圆心距是 7，其中一圆的半径是 4，则另一圆的半径是 . 9.（佛山）已知△ABC 的三边分别是 a,b,c，两圆的半径，r1=a,r2=b，圆心距 d=c，则这两个圆 的位置关系是 . 10.（兰州）如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心 O，且与小圆相交于点 A，与 大圆相交于点 B，小圆的切线 AC 与大圆相交于点 D，且 CO 平分∠ACB， （1）试判断 BC 所在 直线与小圆的位置关系，并说明理由;（2）试判断线段 AC、AD、BC 之间的数量关系,并说明理 由;（3）若 AB=8 cm，BC=10 cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积（结果保留π ）
（3）由此表猜想 S 与 S 阴影的大小关系，并证明你的猜想 【解法指导】 （1）16-4r,16-2r
（2） 16-2r 2 2 2 （3）S=S 阴影.证明：∵S=π （ ） =π （8-r） =64π -16π r+π r 2 1 2 2 1 2 2 S 阴影= ×8 π -π r + π （8-2r） =64π -16π r+π r ,∴S=S 阴影 2 2 【变式题组】
11.（来宾）如图，正方形的四个顶点在直径为 4 的大圆圆周上，四条边与小圆都相切，AB、 CD 过圆心 O，且 AB⊥CD，则图中阴影部分的面积是（ ） A.4π B.2π C.π D.0.5π 12.（河池）如图，PA,PB 切⊙O 于 A,B 两点，若∠APB=60°，⊙O 的半径为 3，则阴影部分的 面积为 【例 5】 （威海）如图，点 A,B 在直线 MN 上，AB=11 厘米，⊙A,⊙B 的半径均为 1 厘米，⊙A 以每秒 2 厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径 r（厘米）与时
1 1 1 5 5 2 BC 的面积-Rt△ABC 的面积，所以 S 阴影= π ·22+ π ·1 — ×2×4= π －4，故填 π －4 2 2 2 2 2 （2）本题要用补形法 解：连接 AC，∵四边形 ABCD 是菱形且边长为 1.5，∴AB=BC=1.5,∴AB=BC=1.5，又∵B、C ⌒上，∴△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=60°， BC ⌒的长=60π ·1.5=π 两点在扇形 AEF 的 EF 180 2 1 1 π 3 （cm） ，S 扇形 ABC= Lr= · ·1.5= π （cm 2） 2 2 2 8 【变式题组】 10.（遂宁）如图，把⊙O1 向右平移 8 个单位长度得⊙O2，两圆相交于 A、B，且 O1A⊥O2A，则 图中阴影部分的面积是（ ） A.4π -8 B.8π -16 C.16π -16 D.16π -32