双曲线重难点题型归纳

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重难点13六种双曲线解题方法(核心考点讲与练新高考专用)(解析版)

重难点13六种双曲线解题方法（核心考点讲与练）题型一：待定系数法求双曲线方程一、单选题1．（2022·河南·模拟预测（文））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，一条渐近线方程为2y x =，过双曲线C 的右焦点2F 作倾斜角为3π的直线l 交双曲线的右支于A ，B 两点，若1AF B △的周长为36，则双曲线C 的标准方程为（） A ．22124x y -=B ．22142x y -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=【答案】C【分析】由题意可得2b a =，则双曲线方程为22221(0)2x y a a a -=>，1(3,0)F a -，2(3,0)F a ，可得直线l 为3(3)y x a =-，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出AB ，再由双曲线的定义和 1AF B △的周长为36，可求出a ，从而可求出双曲线的方程【详解】因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =，所以2b a =，则双曲线方程为22221(0)2x y a a a-=>，1(3,0)F a -，2(3,0)F a ，所以直线l 为tan(3)3(3)3y x a x a π=-=-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由2222123(3)x y a a y x a ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得2263110x ax a -+=，则2121263,11x x a x x a +==，所以2121213()4AB x x x x =+⋅+-2221084416a a a =-=，因为122AF AF a =+，122BF BF a =+，所以11224420AF BF AF BF a AB a a +=++=+=，因为1AF B △的周长为36，能力拓展所以1136AF BF AB ++=，所以201636a a +=，得1a =，所以双曲线方程为 2212y x -=，故选：C2．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））若等轴双曲线的焦距为4，则它的一个顶点到一条渐近线的距离为（） A ．1 B ．32C ．2D ．3【答案】A【分析】用坐标法求解，求出等轴双曲线的标准方程，得到顶点和渐近线方程，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】不妨设等轴双曲线的标准方程为22x y λ-=()0λ>2=，解得：2λ=. 所以等轴双曲线的标准方程为222x y -=.此时，顶点坐标)，其中一条渐近线方程为：y x =.1=.故选：A3．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学三模（理））双曲线E 与椭圆22:162x y C +=焦点相同且离心率是椭圆C 离E 的标准方程为( ) A ．2213y x -=B ．2221yx -=C ．22122x y -=D ．2213x y -=【答案】C【分析】求出双曲线焦点坐标和离心率，求出双曲线的a 、b 、c 即可求其标准方程．【详解】双曲线E 与椭圆22:162x y C +=焦点相同，则焦点坐标为(20)，，设双曲线实半轴长为a ，虚半轴长为b ，焦距为2c ，则c =2，ca a==b =∴所求双曲线方程为：22122x y -=．故选：C ．4．（2022·内蒙古包头·二模（理））已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的两个焦点，R 是C 上的一点，且12120F RF =∠︒，1241::RF RF =，C 经过点232,3Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则C 的实轴长为（）A ．3B ．23C ．6D ．3【答案】B【分析】由双曲线定义及1241::RF RF =分别求出1238,23a RF F a R ==，再由余弦定理得22219c a =，进而结合C 经过点232,3Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭解出a 即可求解.【详解】由双曲线定义可得122RF RF a -=，又1241::RF RF =可得1238,23aRF F a R ==，由余弦定理可得222121212122cos F F RF RF RF RF F RF =+-∠，即2226448214299332a a a a c ⎛⎫=+-⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭，化简得22219c a =，又222c a b =+，可得2243b a =；又C 经过点23Q ⎛ ⎝⎭，故224431a b -=，即22443143a a -=，解得23a =，故C 的实轴长为223a =. 故选：B. 二、多选题5．（2022·江苏·扬州中学高三阶段练习）已知双曲线E ：()222210x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为()13,0F -，()23,0F ，两条渐近线的夹角正切值为2直线l ：30kx y k --=与双曲线E 的右支交于A ，B 两点，设1F AB的内心为I ，则（）A ．双曲线E 的标准方程为22163x y -=B．满足AB =l 有2条C ．2IF AB ⊥D ．1F AB 与IAB △的面积的比值的取值范围是(]2,6【答案】ACD【分析】A :设其中一条渐近线的倾斜角为θ，02πθ<<，由题干条件可知tan 2θ=从而解出tan 2θ=，即b a =,a b ，从而求出双曲线方程；B ：直线过焦点，判断过焦点弦的最短弦可判断B ；C ：由双曲线的定义和切线的性质进行转化可判断；D ：将三角形的面积用内切圆的半径和边长计算，结合定义，可得到12F AB IABS S =△△△，由AB 的范围可求出比值的范围. 【详解】A 选项，设双曲线E 的一条渐近线的倾斜角为θ，02πθ<<，因为a b >，所以022πθ<<，从而22tan tan 21tan θθθ==-tan θ=tan θ=，所以b a =，又229a b +=，所以26a =，23b =，所以双曲线E 的标准方程为22163x y -=，故A 正确；B 选项，直线l 的方程kx -30y k -=，即()30k x y --=，则直线l 恒过右焦点2F ，又过焦点2F的弦最短为22b a ==AB 线l 只有1条，B 错误；C 选项，由双曲线的定义可知，121AF AF BF -==-2BF ，即1122AF BF AF BF -=-，因此2F 是1F AB 的内切圆在AB 边上的切点，因此2IF AB ⊥，C 正确； D 选项，由题知()121121212F AB IABIF AF BF AB S S IF AB ⋅++==⋅△△△2，因为AB (]12,6F AB IABS S ∈△△，D 正确.【点睛】知识点点睛：（1）同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴所在的直线的弦），其长度为22b a；异支的弦中最短的为实轴，其长度为2a .（2）由圆外一点引圆的切线，切线长相等.6．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线22:1C mx ny +=，其焦点()0,5到渐近线的距离为3，则下列说法正确的是（）A ．双曲线C 的方程为221169y x -=B ．双曲线C 的渐近线方程为34yx C ．双曲线C 的离心率为54D ．双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为1【答案】ACD【分析】由题意知双曲线C 的焦点在y 轴上，设双曲线2222:1y xC a b-=，根据焦点()0,5到渐近线的距离为3，可求得,b a ，即可求得双曲线方程，再根据双曲线的性质逐一分析各选项即可的解.【详解】解：由题意知双曲线C 的焦点在y 轴上，设双曲线2222:1y x C ab-=，双曲线C 的渐近线方程为ay x b =±，取a y x b=，即焦点()0,5F 到渐近线0ax by -=555b bb c ===．所以3b =，所以4a ==，所以双曲线C 的方程为221169y x-=，故选项A 正确；双曲线C 的渐近线方程为43a y x xb =±=±故选项B 错误；离心率54c e a ==，故选项C 正确；双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为541c a -=-=，故选项D 正确. 故选：ACD ．7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线1C ：2222111x y a b -=（10a >，10b >）的一条渐近线的方程为y =，且过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，椭圆2C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距与双曲线1C 的焦距相同，且椭圆2C 的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交2C 于()11,A y （10y >），B 两点，则下列叙述正确的是（） A ．双曲线的离心率为2 B ．双曲线的实轴长为12C ．点B 的横坐标的取值范围为()2,1--D ．点B 的横坐标的取值范围为()3,1-- 【答案】AD【分析】通过计算求出双曲线1C 的离心率和实轴长，即可判断选项A 和B 的正误；联立直线AB 和椭圆的方程求出222318333B a x a a +=-=-+++，即得点B 的横坐标的取值范围，即可判断选项C 和D 的正误. 【详解】双曲线1C ：2222111x y a b -=（10a >，10b >）的一条渐近线的方程为y =，则设双曲线的方程为223y x λ-=（0λ≠），由双曲线且过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，得314λ-=，得14λ=，∴双曲线1C 的方程为22443x y -1=，即2211344x y -=， ∴双曲线的离心率1212e ==，实轴的长为1，故选项A 正确，选项B 错误；易知椭圆2C 的两焦点为()11,0F -，()21,0F ，将()11,A y （10y >）代入22221x ya b+=（0a b >>）得212211y a b +=，∴21b y a=，∴直线AB 的方程为()212b y x a =+，联立()222221,21,b y x a x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()()222321a x a x ++--2310a -=，()()()22222243310a a a +∆=-++>，根据根与系数的关系得221313B a a x +-=+⋅，则B x =222318333a a a +-=-+++．由21a >得234a +>，则28023a <<+， ∴31B x -<<-，故选项C 错误，选项D 正确，故选：AD ．三、填空题8．（2022·福建宁德·模拟预测）若过点)2的双曲线的渐近线为2y x =±，则该双曲线的标准方程是___________.【答案】2214y x -=【分析】由题设双曲线方程为()2204y x λλ-=≠，进而待定系数求解即可. 【详解】解：因为双曲线的渐近线为2y x =±，故设其方程为()2204y x λλ-=≠，因为点)2在双曲线上，所以，22214λ=-=，即所求方程为2214y x -=. 故答案为：2214y x -=四、解答题9．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为30 ，点(在双曲线E 上.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)若动直线l 与双曲线E 相切，过点()2,0P 作直线l 的垂线，垂足为H ，试判断OH 是否为定值？如果是，请求出该值；如果不是，请说明理由. 【答案】(1)2213x y -=(2)【分析】（1）利用已知条件求出a ，b 的值即可求解；（2）由题意得出直线l 的斜率不为0，当切线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，联立直线与双曲线E 的方程得到m ，k 的关系式，联立直线PH 与l 表示出点H 坐标，再利用两点间的距离公式即可求解；当切线l 的斜率不存在时，结合双曲线的几何性质即可求解.(1)设双曲线E 的渐近线方程为b y x a =±，因为一条渐近线的倾斜角为30，所以b a =; 又双曲线E经过点(，所以221231a b-=，而0,0a b >>，故解得a =1b =，所以双曲线E 的标准方程为2213x y -=.(2)由题意可得直线l 的斜率不为0，当切线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()0y kx m k =+≠，联立直线l 和双曲线E 的方程得2213y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩ ，消去y 并整理得()222136330kxkmx m ----=，因为直线l 与双曲线E 相切，即方程有两个相等的实数根，所以2130k -≠且()()222236413330k m k m ∆=--⋅--=，化简并整理得2221313m k k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，又因为直线PH 与l 垂直，()2,0P ，所以直线PH 的方程为()12y x k=--，联立()12y x x y kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩ ，解得222121km x k k m y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩ ，即点2222,11km k m H k k -+⎛⎫⎪++⎝⎭，所以()()()22222221km k m OHk -++=+()222222441k m m k k +++=+()()()2222141km k ++=+2241m k +=+223331k k +==+，所以OH当切线l的斜率不存在时，直线:l x =()2,0P 作直线l 的垂线为0y =，此时)H或()H，则OH =综上所述，OH【点睛】本题以双曲线为背景，考查双曲线的标准方程､直线与双曲线的位置关系，考查逻辑推理､数学运算核心素养.，解得的关键是明确解题的思路，计算要准确.10．（2022·上海市七宝中学高三期中）双曲线C ：22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）经过点)，且渐近线方程为y x =±． (1)求a ，b 的值；(2)点A ，B ，D 是双曲线C 上不同的三点，且B ，D 两点关于y 轴对称，ABD △的外接圆经过原点O ．求证：点A 与点B 的纵坐标互为倒数；(3)在（2）的条件下，试问是否存在一个定圆与直线AB 相切，若有，求出定圆方程，没有说明理由．【答案】(1)222x y -=(2)证明见解析(3)存在定圆221x y +=与直线AB 相切【分析】（1）运用代入法,结合双曲线的渐近线方程进行求解即可;（2）设出直线AB 的方程,与双曲线方程联立,根据一元二次方程根与系数的关系,结合圆的性质进行求解即可（3）易求原点到直线AB 的距离为定值，故存在定圆与直线AB 相切 (1)22311a b a b⎧-=⎪⎨⎪=⎩,解得a b ==则22:2C x y -=(2)证明:易知直线AB 一定不为水平直线, 设为x my n =+,设()(112,,A x y B x ,)()222,y D x y -,联立222x y x my n ⎧-=⎨=+⎩,整理得()2221220m y mny n -++-=, 则212221n y y m -=-, 由于外接圆过原点且关于y 轴对称,设为220x y Ey ++=,则221112222200x y Ey x y Ey ⎧++=⎨++=⎩ ⇒()()2222211122,y x y y x y +=+ ⇒()22122y y +()21222y y =+ ⇒()()121210y y y y --=又12y y ≠，所以121y y =(3)因为2122211n y y m -==-, 所以221n m =+则原点到直线AB的距离1d ==,故存在定圆221x y +=与直线AB 相切11．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知双曲线C ：2221x y a-=（0a >）的右焦点F ，点,A B 分别在C 的两条渐近线上，AF x ⊥轴，,AB OB BF ⊥∥OA （O 为坐标原点）.(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点()()00,0o P x y y ≠的直线002:1x xl y y a -=与直线AF 相交于点M ，与直线32x =相交于点N ，证明：当点P 在C 上移动时，MFNF恒为定值，并求此定值. 【答案】(1)22 1.3x y -=(2)23【分析】（1）表达出直线OB 方程，直线BF 的方程，联立后得到B 点坐标，得到直线AB 的斜率，根据垂直关系得到方程，求出23a =，从而求出双曲线方程；（2）求出M 点坐标，N 点坐标，表达出220222004(23)9[(2)]x MF NF y x -=+-，结合220013x y -=得到2243MF NF =，从而得到MF NF恒为定值，并求此定值. (1)设(c,0)F ，因为1b =，所以21c a =+OB 方程为1y x a=-，直线BF 的方程为1()y x c a =-，解得：(,)22c cB a -，又直线OA 的方程为1y x a=，则3(,),.AB c A c k a a =又因为AB ⊥OB ，所以31()1a a-=-，解得：23a =，故双曲线C 的方程为22 1.3x y -=(2)由（1）知3a =l 的方程为0001(0)3x xy y y -=≠，即0033x x y y -=，因为直线AF 的方程为2x =，所以直线l 与AF 的交点0023(2,)3x M y - 直线l 与直线32x =的交点为003332(,)23x N y-，则220222004(23)9[(2)]x MF NF y x -=+- 因为是C 上一点，则220013x y -=，代入上式得2222000222222000004(23)4(23)4(23)49[(2)]3(23)39[1(2)]3x x x MF x NF y x x x ---====+---+-，所求定值为233MF NF =. 12．（2022·河北衡水中学一模）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的离心率为2，实轴长为4.(1)求C 的方程；(2)如图，点A 为双曲线的下顶点，直线l 过点()0,P t 且垂直于y 轴（P 位于原点与上顶点之间），过P 的直线交C 于G ，H 两点，直线AG ，AH 分别与l 交于M ，N 两点，若O ，A ，N ，M 四点共圆，求点P 的坐标. 【答案】(1)22144-=y x (2)()0,1【分析】（1）根据双曲线的离心率结合实轴长，可求得a,b ,即得答案;（2）根据O ，A ，N ，M 四点共圆结合几何性质可推出1AN OM k k ⋅=，设()11,G x y ，()22,H x y ，(,)M M M x y ，从而可以用点的坐标表示出t ,再设直线:GH y kx t =+，联立双曲线方程，利用根与系数的关系式，代入t 的表达式中化简，可得答案.(1)因为实轴长为4，即24a =，2a =，又2ca=22c =2224b c a =-=，故C 的方程为22144-=y x .(2)由O ，A ，N ，M 四点共圆可知，ANM AOM π∠+∠=，又MOP AOM π∠+∠=，即ANM MOP ∠=∠，故1tan tan tan ANM MOP OMP∠=∠=∠，即1AN OMk k -=-，所以1AN OM k k ⋅=, 设()11,G x y ，()22,H x y ，(,)M M M x y ，由题意可知()0,2A -，则直线112:2y AG y x x +=-，直线222:2y AH y x x +=-，因为M 在直线l 上，所以M y t =，代入直线AG 方程，可知()1122M t x x y +=+，故M 坐标为()112,2t x t y +⎛⎫⎪+⎝⎭，所以()()1122OM t y k t x +=+，又222AN AH y k k x +==，由1AN OM k k ⋅=，则()()12122212t y y t x x ++⋅=+，整理可得()()1212222y y t t x x +++=，当直线GH 斜率不存在时，显然不符合题意，故设直线:GH y kx t =+，代入双曲线方程：22144-=y x 中，可得()2221240k x ktx t -++-=，所以12221kt x x k -+=-，212241t x x k -=-，又()()()()12122222y y kx t kx t ++=++++()()()()()()22222212122222422222111t t kt k x x k t x x t k k t t k k k -+--=+++++=⋅++⋅++=---，所以()()()()()()22212221222222221204421t y y t t t k t t t x x t t k -+++-+-++-====+≠----, 故2t t =-，即1t =，所以点P 坐标为()0,1.【点睛】本题考查了双曲线方程的求解，以及直线和双曲线的位置关系的问题，解答时要注意明确点线的位置关系，能设相关点的坐标，从而表示出参数的表达式，再结合联立直线和双曲线方程，利用根与系数的关系式化简，难点在于较为繁杂的计算，要十分细心.13．（2022·河南·三模（理））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ，a ，b ，c 成等差数列，过F 的直线交双曲线C 于P ､Q 两点，若双曲线C 过点165,3T ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过双曲线C 的左顶点A 作直线AP ､AQ ，分别与直线x m =交于M ､N 两点，是否存在实数m ，使得以MN 为直径的圆恒过F ，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)221916x y -=(2)存在，21m =或95m = 【分析】（1）利用待定系数法求双曲线方程；（2）假设存在实数m ，使得以MN 为直径的圆恒过F ，则0MF NF ⋅=，结合韦达定理可得m 的值. (1)由已知设双曲线方程为22221x y a b-=，又a ，b ，c 成等差数列，且双曲线过点165,3T ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()2222222216531a c ba b c a b +=⎧⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎪⎝⎭-=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩，解得3a =，4b =，5c =，故所求方程为221916x y -=， (2)由（1）得()30A -,，设AP ､AQ 方程分别为()13y k x =+､()23y k x =+，则()()1,3M m k m +，()()2,3N m k m +，因为以MN 为直径的圆经过()5,0F ，所以MF NF ⊥即0MF NF ⋅=，即()()2212530m k k m -++=，设PQ 方程为5x ny =+，与221916x y -=联立得()221691602560n y ny -++=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122160169n y y n +=--，122256169y y n =-，所以()()()121212122121212123388864y y y y y y k k x x ny ny n y y n y y =⋅==+++++++，即()1222225649256128064169k k n n n ==--+-，所以()()2245309m m --+=，251141890m m -+=，解得21m =或95m =. 题型二：相同渐近线双曲线方程求法一、单选题1．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知双曲线C 的渐近线方程为340x y ±=，且焦距为10，则双曲线C 的标准方程是（） A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．221169x y -=或221916y x -= D ．221916x y -=或221169y x -=【答案】C【分析】根据共渐近线0bx ay ±=的双曲线的设法2222x y a bλ-=，结合题意分析求解．【详解】渐近线方程为340x y ±=的双曲线为22169x y λ-=，即221169x y λλ-=，故25||25λ=，故1λ=±，故选：C ．2．（2020·全国·高三专题练习）已知双曲线C 与双曲线22126x y -=有公共的渐近线，且经过点(P -，则双曲线C 的离心率为（）．A B C ．4 D ．2【答案】D【解析】双曲线C 与双曲线22126x y -=有公共的渐近线，设双曲线C 的方程2226x y λ-=，其中λ≠0，又因为点(P -在双曲线上，再代入点P 的坐标即可得到双曲线C 的方程，然后求解焦距即可．【详解】双曲线C 与双曲线22126x y -=有公共的渐近线，设双曲线C 的方程2226x y λ-=，其中λ≠0，∵点(P -在双曲线上， ∴122λ-=，解之得32λ=，因此双曲线方程为22139x y -=,a c ==故离心率为2ce a==.故选：D .【点睛】本题考查双曲线的性质及离心率，根据题意列出未知数，解出a ，b ，c 即可求得离心率，属于中等题.3．（2020·全国·高三专题练习）已知双曲线C 的一个焦点为()0,5，且与双曲线2214x y -=的渐近线相同，则双曲线C 的标准方程为A ．2214y x -=B ．221520y x -=C ．221205x y -=D ．2214x y -=【答案】B【解析】根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程，结合焦点坐标求解. 【详解】∵双曲线C 与2214x y -=的渐近线相同，且焦点在y 轴上，∴可设双曲线C 的方程为2214y x k k -=，一个焦点为0,5，∴425k k +=，∴5k =，故C 的标准方程为221520y x -=.故选：B【点睛】此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程，易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错. 二、多选题4．（2020·全国·高三阶段练习）已知双曲线C 过点(且渐近线为y =，则下列结论正确的是（） A ．C 的方程为2213y x -=B ．C 的离心率为2C ．曲线2331x y e -=-经过C 的一个焦点D 10y --=与C 有两个公共点【答案】BC【解析】设所求双曲线方程为()2230x y λλ-=≠，将点(代入可判断A ；由A 求出,,a b c ，即可求出离心率，判断B ；求出双曲线C 的右焦点的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭，代入曲线方程即可判断C ；联立方程组可判断D.【详解】对于选项A ，由y =可得223y x =，从而可设所求双曲线方程为()2230x y λλ-=≠.又由双曲线C 过点(，代入得2231λ⨯-=，即1λ=，故选项A 错误；对于选项B ，由双曲线C 的方程可知a =1b =，c = 所以C 的离心率2ce a==，故选项B 正确；对于选项C ，双曲线C 的右焦点的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭，满足2331x y e -=-，故选项C 正确；对于选项D ，联立221031y x y --=-=⎪⎩，解得x =0y =，10y --=与双曲线C 只有一个交点⎫⎪⎪⎝⎭，故选项D 错误.故选：BC .【点睛】本题考查双曲线的几何性质､直线与双曲线的位置关系，考查运算求解､推理论证能力，考查直观想象､数学运算､逻辑推理核心素养，属于基础题.5．（2021·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，一条渐近线过点(，则下列结论正确的是（） A ．双曲线CB ．双曲线C 与双曲线22124y x -=有相同的渐近线C ．若F 到渐近线的距离为2，则双曲线C 的方程为22184x y -=D ．若直线2:a l x c=与渐近线围成的三角形面积为则焦距为【答案】BCD【解析】根据渐近线所过的点可求,a b 的关系，从而可求渐近线的方程和离心率，故可判断A 、B 的正误，利用已知的条件和,a b 的关系可求基本量，从而可判断C 、D 的正误.【详解】渐近线的方程为by x a=±，因为一条渐近线过点(，故b a ⨯=a ==A 错误.又渐近线的方程为y x =，而双曲线22124y x -=的渐近线的方程为y x =，故B 正确.若F 到渐近线的距离为2，则2b =，故a =所以双曲线C 的方程为22184x y -=，故C 正确.直线2:a l x c =与渐近线的两个交点的坐标分别为：2,a ab c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭及2,a ab c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故2122a abc c⨯⨯⨯即23a b =，而a =，故b =，a =，所以23=，所以c =D 正确. 故选：BCD.【点睛】方法点睛：（1）求双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线的方程，一般是将等号右边的常数变为零；（2）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为b .三、填空题6．（2022·辽宁·模拟预测）焦点在x 轴上的双曲线C 与双曲线22149x y -=有共同的渐近线，且C 的焦点到一条渐近线的距离为C 的方程为______．【答案】221818x y -=【分析】由共渐近线的双曲线系方程可设()22:049x y C λλ-=>，根据焦点到渐近线距离为b 可构造方程求得λ，由此可得双曲线方程.【详解】由题意可设双曲线C 的方程为：()22049x y λλ-=>，即22149x y λλ-=；则24a λ=，29b λ=，双曲线焦点到渐近线距离为b ，∴2λ=， ∴双曲线C 的方程为：221818x y -=.7．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线2222:1y x C a b -=（0a >，0b >）与双曲线22:146x y D -=有相同的渐近线，且C 经过点()2,6，则C 的实轴长为_________【答案】【分析】根据给定条件求出a ，b 的关系，再由双曲线C 过的点即可计算作答.【详解】双曲线2222:1y x C a b -=的渐近线为a y x b =±，而双曲线22:146x y D -=的渐近线为y x =，依题意，a b =C 经过点()2,6，则223641a b -=，解得：a b == 所以双曲线C的实轴长为故答案为：四、解答题8．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>与222:193x x C -=有相同的渐近线，点()2,0F 为1C 的右焦点，,A B 为1C 的左，右顶点.（1）求双曲线1C 的标准方程；（2）若直线l 过点F 交双曲线1C 的右支于,M N 两点，设直线,AM BN 斜率分别为12,k k ，是否存在实数入使得12k k λ=若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2213y x -=；（2）存在，13λ=-. 【分析】（1）根据2C的渐近线方程求出ba=c 的值，从而求双曲线1C 的标准方程；（2）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立消元写韦达；然后表示出直线,AM BN 斜率，根据韦达定理求12k k 的值，从而求出λ的值.【详解】（1）2C的渐近线为y =，b a∴22c a=+=，1,a b ∴==，所以双曲线1C 的标准方程2213y x -=. （2）由已知，()()()()11221,01,0,,,,,A B M x y N x y -，l 过点()2,0F 与右支交于两点，则l 斜率不为零，设:2l x my =+，由22132y x x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消元得()22311290m y my -++=，因为l 与双曲线右支交于两点，所以21223109031m y y m ⎧-≠⎪⎨=<⎪-⎩，解得m ⎛∈ ⎝⎭ ()()()2221249313610m m m ∆=-⨯-=+>，121222129,3131m y y y y m m ∴+=-=--， 121212,011y yk k x x ==≠+-，()()()()121211212212112211133y x y my k my y y k y x y my my y y -++∴===-++， 121212493y y m m y y +=-=-，()121234my y y y ∴=-+， ()()121121212212313144433933444y y y y y k k y y yy y -++-∴===--++-+，∴存在13λ=-使得12k k λ=.题型三：直接法解决离心率问题一、单选题1．（2022·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）已知双曲线的方程2214x y -=，则该双曲线的离心率为（） ABCD【答案】D【分析】由双曲线方程可求得2,1,a b c ==. 【详解】由2214x y -=可得：2,1,a b c ===，故离心率为c e a ==，故选：D2．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，从2F 发出的光线经过图2中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ．且3cos 5BAC ∠=-，AB BD ⊥，则E 的离心率为（）A ．5B ．103C ．52D ．173【答案】D【分析】设2||AF m =，2||BF n =，由双曲线的定义可得1||AF ，1||BF ，在直角三角形1AF B 中，在12AF F △中，运用锐角三角函数的定义、勾股定理和余弦定理，化简整理，结合离心率公式，可得所求值．【详解】解：设2||AF m =，2||BF n =，由双曲线的定义可得1||2AF a m =+，1||2BF a n =+，由3cos 5BAC ∠=-，可得12cos 53F AF ∠=，在直角三角形1AF B 中，122s 54in 2a n F AF a m +∠==+，① 222(2)()(2)a n m n a m +++=+，②在12AF F △中，可得2224(2)2(2)53c m a m m a m =++-+⋅③ 由①②可得23an =，43a m =，代入③可得222161008104993353a a a a c =+-⨯⨯，即为22917c a =，则173c e a ==，故选：D ．3．（2022·浙江金华·三模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，O 为坐标原点，F 为双曲线C 的左焦点，若C 的右支上存在一点P ，使得OFP △外接圆M 的半径为1，且四边形MFOP 为菱形，则双曲线C 的离心率是（） A ．21+ B ．31+C ．31-D ．2【答案】B【分析】设双曲线C 的右焦点为F '，连接PF '，易证FPF '为直角三角形，解出2a 与2c 代离心率的计算公式即可求解【详解】如图所示，设双曲线C 的右焦点为F '，连接PF '因为OFP △外接圆M 的半径为1，则1MO MF MP === 又四边形MFOP 为菱形，所以1OF OF MP '===则MOF △为正三角形，所以60∠=MFO ，30PFO FPO ∠=∠= 因为//OP MF ，所以60POF MFO '∠=∠=，又OP OF '= 所以OPF '△为正三角形，所以60OPF '∠=，所以90FPF '∠= 在Rt FPF '△中，22FF c '==，cos303PF FF '==1PF '= 所以312PF PF a '-= 所以231231c e a ===- 故选：B4．（2022·重庆八中高三阶段练习）如图，已知1F ，2F 为双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F ，2F 分别作直线1l ，2l 交双曲线E 于A ，B ，C ，D 四点，使得四边形ABCD 为平行四边形，且以AD 为直径的圆过1F ，11DF AF =，则双曲线E 的离心率为（）A 2B 3C ．52D 10【答案】D【分析】利用双曲线的定义，几何关系以及对称性，再利用平行四边形的特点，以及点在圆周上的向量垂直特点，列方程可解. 【详解】设11DF AF x == ，则22DF x a =- ，由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：21CF AF x == ，连接1CF ，则有1222CF CF x a =+=+ ，2222DC DF CF x a =+=-由于1F 在以AD 为直径的圆周上，11DF AF ∴⊥ ， ∵ABCD 为平行四边形，//AB CD ，1DF DC ∴⊥ ，在直角三角形1CDF 中，22211CF DF CD =+，()()222222x a x x a +=+- ，解得：3x a = ，123,DF a DF a == ；在直角三角形12F F D 中，2221212DF DF F F += ，()()22232a a c += ，得2252a c = ，10ce a= ，故选：D.5．（2022·贵州黔东南·一模（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，直线2x a =与C 交于A 、B 两点（A在B 的上方），DA AB =，点E 在y 轴上，且EA x ∥轴．若BDE 的内心到y 轴的距离为43a，则C 的离心率为（）. A ．62B ．103C ．6D ．10【答案】B【分析】根据题目信息画出准确图像，本题重难点在于合理利用三角形内心性质，以及角平分线定理，得到,a b 关系后即可求出离心率.【详解】因为A 在B 的上方，且这两点都在C 上，所以(2,3),(2,3)A a b B a b -，则||23AB b =．因为DA AB =，所以A 是线段BD 的中点，又EA x ∥轴，所以||||ED EB =，EA BD ⊥，所以BDE 的内心G 在线段EA 上．因为G 到y 轴的距离为43a ，所以4||||324||||23aEG ED a GA DA a ===-，所以60EDA ∠=︒，因此||23||23EA a DA b ==，即3a b =．故2101b e a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．故选：B 二、多选题6．（2022·山东烟台·一模）已知双曲线C ：22145x y -=，1F ，2F 为C 的左、右焦点，则（） A ．双曲线()221045x y m m m-=>++和C 的离心率相等B ．若P 为C 上一点，且1290F PF ∠=︒，则12F PF △的周长为6214+C ．若直线1y tx =-与C 没有公共点，则6t <6t >D ．在C 的左、右两支上分别存在点M ，N 使得114FM F N =【答案】BC【分析】求得双曲线()221045x y m m m-=>++和C 的离心率判断选项A ；求得12F PF △的周长判断选项B ；由直线与圆锥曲线位置关系的判定判断选项C ；求解满足题意条件的直线MN 判断选项D. 【详解】选项A ：双曲线C ：22145x y -=的离心率32e = 双曲线()221045x y m m m-=>++的离心率e =则双曲线()221045x y m m m -=>++和C 的离心率不一定相等.判断错误；选项B ：P 为C ：22145x y -=上一点，且1290F PF ∠=︒ 则有222112364PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，整理得12PF PF +=则12F PF △的周长为6+判断正确；选项C ：由221451x y y tx ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，可得22(54)8240t x tx -+-=由题意可知，方程22(54)8240t x tx -+-=无解当2540t -=时，方程22(54)8240t x tx -+-=有解；当2540t -≠时，则有()()222540896540t t t ⎧-≠⎪⎨+-<⎪⎩，解之得t <t >故若直线1y tx =-与C没有公共点，则t <t >判断正确；选项D ：根据题意，过双曲线C 的左焦点1F 的直线MN 方程可设为3x ty =-令1122(,),(,)M x y N x y ，由114FM F N =，可得214y y = 由221453x y x ty ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，可得22(54)30250t y ty --+= 则有12212230542554t y y t y y t ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，则有122123055425454t y t y t ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，整理得2191000t +=，显然不成立.当过双曲线C 的左焦点1F 的直线MN 为水平直线时，方程为0y =则(2,0),(2,0)M N -，11(1,0),(5,0)FM F N ==，即115FM F N =. 综上可知，不存在分别在C 的左、右两支上M ，N 使得114FM F N =.判断错误. 故选：BC 三、填空题7．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（理））已知双曲线C ：22214x y b-=（0b >），以C 的焦点为圆心，3为半径的圆与C 的渐近线相交，则双曲线C 的离心率的取值范围是________________．【答案】⎛ ⎝⎭【分析】根据圆心到直线的距离小于半径，即可得c 的范围，进而可得离心率范围. 【详解】双曲线C 的渐近线方程为2by x =±，右焦点(c,0)F ，∵渐近线与圆相交，3<，即3b <，∴2=22413c b =+<， ∴双曲线C的离心率为：c e a =<1e >．∴e ⎛∈ ⎝⎭．故答案为：⎛ ⎝⎭8．（2022·山东日照·二模）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，从2F 发出的光线经过图2中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且4cos 5BAC ∠=-，AB BD ⊥，则E 的离心率为___________.【答案】102【分析】连接1F B ，1F A ，设2F B x =，则12F B x a =+，根据诱导公式及同角三角函数的基本关系求出1sin F AB ∠，1tan F AB ∠，再根据锐角三角函数得到143AB F B =、1153F A F B =，从而得到方程求出x ，再在12F F B △利用勾股定理计算可得；【详解】解：如图，连接1F B ，1F A ，则1F ，A ，C 和1F ，B ，D 都三点共线，设2F B x =，则12F B x a =+. 由()14cos cos π5F AB BAC ∠=-∠=，所以2113sin 1cos 5F AB F AB ∠=-∠=所以111sin 3tan cos 4F AB F AB F AB ∠∠==∠，又AB BD ⊥，所以113tan 4F B F AB AB ∠==，即143AB F B =， 1113sin 5F B F AB F A ∠==，即1153F A F B =，又22F A AB F B =-，因此1242233F A F A x a a -=+=，即x a =，在12Rt F F B 中()()22222210c x a x a =++=，即2252c a =.故e =9．（2022·浙江·三模）已知双曲线222:1(0)4x y C b b -=>的两个焦点分别为12,F F ，点()00,P x y 是双曲线第一象限上一点，在点P 处作双曲线C 的切线l ，若点12,F F 到切线l 的距离之积为3，则双曲线C 的离心率为_______．【分析】设()00,P x y ()002,0x y >>，根据直线与双曲线的位置关系可求得在点P 处的切线方程，再根据点到直线的距离公式分别求出点12,F F 到切线l 的距离，列出方程，求出b ，即可求出离心率．【详解】设点()00,P x y ()002,0x y >>，有222222000021444x y y b x b b-=⇒=-．设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，联立双曲线方程，由0∆=可解得204b x k y =，所以切线方程为()()22440b x x y y b--=，1(,0)F c -到切线l距离221d ==，2(,0)F c 到切线l距离222d ==所以()422442240201242242222000041616316416b b x bb c x b d d b b x y b x b x b+--====++-，即b =所以2,a c ==，故e =四、解答题10．（2022·河北张家口·三模）已知0b a >>，点)A ，B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，动点P 满足|||PA PB =，点P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)直线y kx m =+与曲线C 相切，与曲线2222:1x yE a b-=交于M ､N 两点，且π2MON ∠=（O 为坐标原点），求曲线E 的离心率.【答案】(1)222x y b +=；【分析】（1）根据两点间距离距离公式，结合已知等式进行求解即可；（2）根据曲线切线的性质，结合一元二次方程根的判别式、根与系数关系、平面向量垂直的性质、双曲线的离心率公式进行求解即可.(1)设(,)P x y ，由|||PA PB =222x y b +=即为曲线C ； (2)y kx m =+与曲线C 相切，b ∴=2221mb k=+. 设()11,M x y ，()22,N x y ，将y kx m =+代入曲线E 整理得：222222222()2(0)b a k x a kmx a m a b ---+=，2220b a k -≠，222222()40a b m b a k ∆=+->，2122222a kmx x a k b-∴+=-，222212222a m a b x x a k b +=-.π2MON ∠=，0OM ON ∴⋅=，即12120x x y y +=.222222212121212222()()()k a b m b y y kx m kx m k x x km x x m a k b -=++=+++=-， 2222222222222220a m a b k a b m b a k b a k b+-∴+=--，整理得2222221m a b k b a =+-， 22222a b b b a∴=-，即222b a =，223c a =，e =故曲线E【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数关系是解题的关键. 题型四：构造齐次方程法求离心率的值或范围一、单选题1．（2022·湖北省天门中学模拟预测）已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为1F ，2F ，记它们其中的一个交点为P ，且12120F PF ∠=︒，则该椭圆离心率1e 与双曲线离心率2e 必定满足的关系式为（） A ．1213e e 144+=B ．221231e e 144+= C ．22123114e 4e += D ．22121314e 4e += 【答案】C【分析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的半实轴长2a ，焦距2c ，根据椭圆及双曲线的定义可以用12,a a 表示出12,PF PF ,在12F PF △中根据余弦定理可得到2212314e 4e +的值. 【详解】如图，设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的半实轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义1211222,2PF PF a PF PF a +=-=，112212,PF a a PF a a ∴=+=-，设121222,3π=∠=F F c F PF ，则在12PF F △中由余弦定理得()()()()22212121212242cos3c a a a a a a a a π=++--+-， ∴化简2221234a a c +=，该式变成22123114e 4e +=. 故选：C.2．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 左、右支分别交于A ，B 两点，若2||AB BF =，12BF F △23，双曲线C 的离心率为e ，则2e =（） A 3B ．2 C ．23+D ．523+【答案】D。

双曲线典型题型归纳

根据
8 0 ,说明所求直线不存在。
2
心，以 O F1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△ F2 AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为（（A） 3 （B） 5 （C）
5 2
）（D） 1 3
选 D.
1
直线 l 过双曲线
x2 y2 1 的右焦点，斜率 k=2.若 l 与双曲线的两个交点分别在左右 a2 b2
（） D C. 1<e< 5 D. e> 5
双曲线复习
一、基础知识点回顾：
1、双曲线定义的集合语言表示： 2、双曲线的标准方程：（化简方法） 3、双曲线的顶点、长轴、短轴、离心率（离心率越大，开口越大） 4、双曲线的渐近线：（等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。） 5、椭圆焦点三角形中，顶点在椭圆上的点到另两点的张角中，以短轴端点到这两点的张角最大。 6、大题时基本方法：联立直线与双曲线的方程组，设而不求（前提是有交点）基础题： x2 35 4 y 2 x2 2 y 1 1 4 4 35 35 1、过点（1，3）且渐近线为 y x 的双曲线方程是 2 2 、
则 △PF1F2 的面积为（ A． 6 3
SPF1F2
8、
1 1 PF1 PF2 6 4 12 .选 B. 2 2
（三）中点弦有关的问题 9、双曲线 x 2 y 2 1 的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 A. y 2 x 1 10、已知双曲线 x 2 B. y 2 x 2 C. y 2 x 3 （
3、
在椭圆
x2 y2 1（ a ＞ b ＞0）中，焦点分别为 F1 、 F2 ，点 P 是椭圆上任意一点， a2 b2

双曲线知识点及经典题型

双曲线知识点及经典题型1. 双曲线的定义与基本性质1.1 定义双曲线是平面上一类特殊的曲线，它的定义可以通过焦点和准线来描述。

给定两个不重合的点F和F’，以及一个与两个焦点的连线垂直且交于O点的直线l，双曲线是满足离心率e大于1的所有点P，使得PF’ - PF = 2a（其中a为常数）。

1.2 基本性质•双曲线有两条渐近线，分别与x轴和y轴平行。

•双曲线有两个顶点V和V’，位于x轴上方和下方。

•双曲线关于x轴和y轴对称。

•双曲线在顶点处与x轴和y轴相切。

2. 双曲线的标准方程双曲线有两种标准方程形式：横轴双曲线和纵轴双曲线。

2.1 横轴双曲线横轴双曲线的标准方程为：x2 a2−y2b2=1其中，a为实数且大于0，b为实数且大于0。

2.2 纵轴双曲线纵轴双曲线的标准方程为：y2 a2−x2b2=1其中，a为实数且大于0，b为实数且大于0。

3. 双曲线的图像及性质3.1 横轴双曲线的图像及性质横轴双曲线的图像呈现出两个分离的弧段，并以原点O为对称中心。

离心率e越大，两个弧段越接近直线；离心率e越小，两个弧段越弯曲。

横轴双曲线的渐近线方程分别为y = ±(b/a)x。

3.2 纵轴双曲线的图像及性质纵轴双曲线的图像呈现出两个分离的弧段，并以原点O为对称中心。

离心率e越大，两个弧段越接近直线；离心率e越小，两个弧段越弯曲。

纵轴双曲线的渐近线方程分别为x = ±(b/a)y。

4. 双曲线的经典题型4.1 确定双曲线方程已知焦点F和F’，准线l以及顶点V的坐标，求双曲线的方程。

例题：已知焦点F(3, 0)和F’(-3, 0)，准线l过原点O(0, 0)，顶点V位于x轴上方。

求双曲线的方程。

解答：首先，我们可以确定横轴双曲线的方程形式为x 2a2−y2b2=1。

根据焦点和准线的定义，焦距为PF′−PF=2a，其中P为横轴双曲线上的任意一点。

由于焦点F和F’的横坐标相等，所以a = 3。

由于准线l过原点O(0, 0)，所以准线l的方程为y = kx（k为常数）。

双曲线常见题型与典型方法归纳(修改版附详解答案)

双曲线常见题型与典型方法归纳考点一双曲线标准方程及性质1.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a <的点的轨迹。

（1）距离之差的绝对值.（2）当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是同一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 【典例】到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹（）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数)1(>e 的动点的轨迹。

2双曲线的标准方程及几何性质标准方程)0,0(12222>>=-b a by a x )0,0(12222>>=-b a bx a y 图形性质焦点 F 1（-)0,c ，F 2（)0,c F 1（),0c -，F 2（),c o焦距 | F 1F 2|=2c 222c b a =+范围 R y a x ∈≥,|| R x a y ∈≥,||对称关于x 轴，y 轴和原点对称顶点（-a ，0）。

（a ，0）（0，-a ）（0，a ）轴实轴长2a ，虚轴长2b离心率)1(>=e ace （离心率越大，开口越大）准线ca x 2±=ca y 2±=通径22b d a=22b d a=渐近线x ab y ±= x bay ±=注意：等轴双曲线（1）定义：实轴长与虚轴长相等的双曲线（2）方程：222x y a -=或222y x a -= （3）离心率e =渐近线y x =±（4）方法：若已知等轴双曲线经过一定点，则方程可设为22(0)x y λλ-=≠ 【典例】已知等轴双曲线经过点1)-，求此双曲线方程 3双曲线中常用结论（1）两准线间的距离: 22a c （2）焦点到渐近线的距离为b （3）通径的长是ab 22考点二双曲线标准方程一求双曲线标准方程的方法（1）定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a b c 、、即可求得方程；（2）待定系数法，其步骤是①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程； ③定值：根据题目条件确定相关的系数。

双曲线重点题型整理

2.定义的应用1动点P 与点F I （0,5）与点F 2（O, -5）满足|PF 1 -|PF 2I =6，则点P 的轨迹方程为2•已知点F i （40）和F 2（4,O ），曲线上的动点P 到F 、F 2的距离之差为6,则曲线方程为（4双曲线4X2-y 2 +64 =0上一点P 到它的一个焦点的距离等于i6.5，则点P 到另一个焦点的距离等于2 25•设P 是双曲线”L i上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x —2y =0, F i ，F2分别是双曲线的左、右焦点，若 |PF i | =3，贝y PF 2的值为6•已知双曲线的中心在原点，两个焦点F i , F 2分别为（J 5,O ）和（-75,0），点P 在双曲线上且PF i 丄PF 2，且△PF i F ?的面积为1,则双曲线的方程为7.已知双曲线的两个焦点为 F i （—J 5,0）, F 2（J 5,O ） , P 是双曲线上的一点, 的方程是2每=i （b A O ）的焦点，过F 2作垂直于X 轴的直线交双曲线于点 P,且N PF I F 2 =30°；则b2 2X y9•双曲线一 -L =i 的两个焦点为F I ,F 2，点P 在双曲线上，若PF i 丄PF 2,则点P 到X 轴的距离为9 i622i0.双曲线i6x -9y =144上一点P （x o ,y o ）（x oV 0）到左焦点距离为 4，贝U X o = _______ . _______2 2 2 2ii •若椭圆X+y=i （m ：＞n ＞0）和双曲线X -y=i （a ：＞b:＞0）有相同的焦点 h, F ?，点P 是两条曲线的一个交点，则m n a b|P F I HPF2I 的值为2 2 2 2 _ _ _双曲线222X y , yA •——=i B.—2X■y=i(y>0) C 22222X y …y X .X ——-L=i 或 L-——=i D •—丄=i(x>0)3.已知平面上两定点 F , F 2及动点 M ，命题甲: MF I -MF 2 =2a （ a 为常数），命题乙："点M 轨迹是以为焦点的双曲线”，则命题甲是命题乙的A :充分不必要条件（）B:必要不充分条件C :充要条件D :既不充分也不必要条件且 PR 丄PF 2, PF 1 {PF 2=2，则该双曲线2 2A ：X-丄=i 2 32 2B ：0 丄=i3 22C —yUD ：X 28.已知F i ,F 2为双曲线2i2.动圆与两圆X +y =i 和X +y —8x +i2 = 0都相切，则动圆圆心的轨迹为（A .抛物线［来源学"网］B .圆 C.双曲线的一支 D .椭圆2 2i3. P 是双曲线筈—与=i （a ：＞0, bAO ）左支上的一点，F i , F 2为其左、右焦点，且焦距为2c ，则△ PF i F 2的内切圆圆a b心的横坐标为 _________二.双曲线的几何性质1.“ab<0”是“方程ax2+ by 2=c 表示双曲线”的（）B : ±3C :25D :92 214.曲线一+—=1(m <6)与曲线 10 -m 6 -m 2 2x y --- =1(5cmc9)的A:焦距相等B:离心率相等222x y x15.已知椭圆—=1和双曲线——2 - 2D :准线相同C :焦点相同2=1有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程16.已知方程ax2+by 2 =b （ab V0），则此曲线是A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件_ 2 2*—2•双曲线2x -y =m 的一个焦点是（0,寸3）,则m 的值是 3•如果双曲线的渐近线方程为y=±3x ，则离心率为44.双曲线mx + y 2=1的虚轴长是实轴长的 2倍，贝y m = A: -45.双曲线2y2 a2y b 2=1的两条渐进线互相垂直，那么该双曲线的离心率为A: 26.双曲线y 2=1的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则其离心率为D ：73-y 2=1上一点，贝U P 到两条渐近线的距离的积为2x28•双曲线筈-爲=1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为b7. P 是双曲线2 (x)9•已知双曲线2 2x y—^― =1的两条渐近线的夹角为3T—，则双曲线的离心率为310.已知双曲线 11.若双曲线2 2;—+L =1的离心率为e <2，则 4 k2 2务—每=1的一条渐近线的倾斜角为 a bk 的范围为，其离心率为［来源学科x 212方程2 +m 2-m2■^=1表示双曲线，则 m 的取值范围A : —2 < m < 2B : m >0C : m 二0D ：i m 322 2 2 213■椭圆34+牙1和双曲线于16 =1有相同的焦点, 则实数 n 的值是A:焦点在X 轴上的双曲线 B :焦点在y 轴上的双曲线 C:焦点在X 轴上的椭圆 D :焦点在y 轴上的椭圆4.三.求双曲线方程 1.已知圆C i :(X +5)2 +y 2 =49与圆C 2 : (x-5)2+y 2=1，圆C 与圆G ，圆C 2均外切；则圆C 的圆心C 的轨迹方程2•若双曲线的两个焦点分别为(0, -2),(Q2)，且经过点(2,陌，则双曲线的标准方程为22223.与曲线 —+-^=1共焦点，而与 —=1共渐近线的双曲线方程为24 4936 642 2 2 2 2 2 2,y X rXy 小 yx fXA 丄一——=1B :——=1 C:L_——=1D :—16 916 9 91694•已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为 5: 4，则双曲线的标准方程是5.已知双曲线通过 M (1,1), N(—2,5)两点，求双曲线的标准方程2X 2 _6. (1 )设P 是双曲线；-y =1上的动点，O 为坐标原点,4四.直线与双曲线2 2双曲线X -y =1的左焦点为F,点P 为左支的下半支上任一点(非顶点)，则直线PF 的斜率的范围是()A . (4, 0] U [1 , +S)B . (4, 0)u( 1, + S)C. (4, -1)u [1 , +s)D. (-m, -1 )U( 1, +s2 2已知双曲线占-一=1的焦点为F , , F 2，离心率为2. a 3(1)求此双曲线渐近线 L , ,L 2方程;(2)若A,B 分别为L , L 2上的动点，且2A ^5F 1F 2 ;求线段AB 中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

高三数学双曲线知识点总结归纳

高三数学双曲线知识点总结归纳双曲线是高中数学中重要的一章，它不仅在数学理论体系中具有重要作用，还在实际生活中有广泛的应用。

下面是对高三数学双曲线知识点的总结与归纳。

一、双曲线的定义和基本形态双曲线是平面上各点到两个定点的距离之差等于常数的轨迹。

双曲线由两个分离的支线组成，其基本形态可以分为两种类型：横轴双曲线和纵轴双曲线。

横轴双曲线的中心在横轴上，纵轴双曲线的中心在纵轴上。

二、双曲线的方程1. 横轴双曲线的方程（1）标准方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（2）近似方程：$y=\pm \frac{b}{a} \sqrt{x^2-a^2}$2. 纵轴双曲线的方程（1）标准方程：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（2）近似方程：$x=\pm \frac{a}{b} \sqrt{y^2-a^2}$三、双曲线的性质1. 焦点和准线：横轴双曲线有两个焦点和两条准线，纵轴双曲线也有两个焦点和两条准线。

2. 对称性：双曲线关于横轴、纵轴和原点对称。

3. 渐近线：横轴双曲线有两条渐近线，纵轴双曲线也有两条渐近线。

4. 离心率：双曲线的离心率定义为焦距与准线之间的比值，离心率大于1。

5. 直径：双曲线的直径是通过焦点的直线段，并且双曲线上的每一点都在某条直径上。

四、双曲线的图像与应用1. 横轴双曲线的图像横轴双曲线的图像呈现出两个分离的支线，它在物理学、电子学和光学中有广泛的应用，例如抛物面反射器、双折式天线等。

2. 纵轴双曲线的图像纵轴双曲线的图像同样由两个分离的支线构成，它在物理学、力学、天文学等领域有广泛的应用，例如行星运动的轨道、卫星发射轨道等。

五、双曲线的解析几何应用1. 双曲线的切线双曲线的切线过双曲线上的一点$P(x_0, y_0)$，切线方程为$\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1$。

2. 双曲线的渐近线横轴双曲线的渐近线方程为$y=\pm \frac{b}{a} x$，纵轴双曲线的渐近线方程为$x=\pm \frac{a}{b} y$。

08 高二数学重难点知识汇总双曲线

高二数学重难点知识汇总第八讲双曲线一．重难点讲解知识点一双曲线的定义平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数(小于21F F 且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距。

注意（1）在此定义中“常数要大于0且小于21F F ”这一限制条件十分重要,不可去掉。

（2）如果定义中常数改为等于21F F ,此时动点轨迹是以1F 、2F 为端点的两条射线(包括端点)。

（3）如果定义中常数为0,此时动点轨迹为线段1F 2F 的垂直平分线。

（4）如果定义中常数改为大于21F F ,此时动点轨迹不存在。

（5）若定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话,点的轨迹成为双面线的一支。

（6）设()y x M ,为双曲线上的任意一点,若M 点在双曲线右支上,则()02,2121>=->a a MF MF MF MF ；若M 在双曲线的左支上,则a MF MF MF MF 2,2121-=-<,因此得a MF MF 221±=-,这是与椭圆不同的地方。

知识点二双曲线的标准方程1.如何正确理解双曲线的标准方程的两种形式（1）通过比较两种不同类型的双曲线方程()0,12222>>=-b a b y a x (焦点在x 轴上)和()0,12222>>=-b a bx a y (焦点在y 轴上),可以看出,如果2x 项的系数是正的,那么焦点就在 x 轴上；如果2y 项的系数是正的,那么焦点就在y 轴上。

对于双曲线，a 不一定大于b ,因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。

焦点在x 轴上的方程，只要将y x ,互换就能得到焦点在y 轴上的方程。

(2)无论双曲线的焦点在哪个坐标轴上，标准方程中的c b a ,,三个量都满足222b ac +=所以c b a ,,恰好构成一个直角三角形的三边,且c 为斜边,如图所示。

双曲线重点难点知识点总结

双曲线重点难点知识点总结双曲线是几何学中的重要概念，是平面解析几何中一类具有独特性质的曲线。

以下是对双曲线重点、难点和知识点的总结：一、重点1.双曲线的定义和标准方程双曲线的定义包括焦点在x轴和y轴上的双曲线，以及等轴双曲线。

需要掌握每种双曲线的标准方程以及它们的特点。

2.双曲线的几何性质双曲线的几何性质包括范围、对称性、顶点、焦点、离心率等。

需要理解这些性质的含义和计算方法，以及它们在不同类型双曲线中的表现。

3.双曲线的标准方程的推导方法双曲线的标准方程可以通过代入法、点差法、平方差法等方法进行推导。

需要掌握这些方法，并理解它们在不同情况下的适用性。

二、难点1.双曲线标准方程的理解和应用双曲线标准方程的形式相对复杂，需要理解其含义和应用方法。

特别是对于焦点在y轴上的双曲线，标准方程的形式更为复杂，需要注意符号和系数的含义。

2.双曲线的几何性质的灵活运用双曲线的几何性质多样，不同情况下需要运用不同的性质进行求解。

需要具备灵活运用这些性质的能力，特别是在求解双曲线与坐标轴的交点、求双曲线的离心率等问题时。

3.双曲线与直线的交点坐标的求解方法求解双曲线与直线的交点坐标是双曲线学习中的一个难点。

需要掌握代入法、点差法等方法，以及了解它们在不同情况下的适用性。

同时还需要理解直线与双曲线的位置关系对交点数量的影响。

三、知识点总结1.双曲线的定义和标准方程定义包括焦点在x轴、焦点在y轴和等轴双曲线。

需要掌握每种双曲线的标准方程以及它们的特点。

同时还需要了解如何根据标准方程计算双曲线的范围、对称性、顶点、焦点和离心率等性质。

2.双曲线的几何性质的灵活运用需要了解双曲线的范围、对称性、顶点、焦点和离心率等性质的计算方法和含义，并能够灵活运用这些性质进行求解。

特别是在求解双曲线与坐标轴的交点、求双曲线的离心率等问题时，需要运用相应的性质进行求解。

3.双曲线标准方程的推导方法需要掌握代入法、点差法、平方差法等方法，并理解它们在不同情况下的适用性。

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双曲线常考重难点题型归纳必考点1：双曲线的定义1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； (3)这一定值一定要小于两定点的距离． 2．双曲线的标准方程标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形例题1：已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|P A |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -上的点，则|OP |=（） A ．222B 410C 7D 10【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-()22210334y x x y x ⎧⎪⎨->-==⎪⎩，解得132332x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即13271044OP =+= D. 例题2：已知F 为双曲线22:149x y C -=的左焦点，P ，Q 为双曲线C 同一支上的两点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点(13,0)A 在线段PQ 上，则PQF △的周长为________．【解析】根据题意，双曲线22:149x y C -=的左焦点(13,0)F -，所以点(13,0)A 是双曲线的右焦点，虚轴长为：6；双曲线图象如图：||||24PF AP a -==① ||||24QF QA a -== ②而||12PQ =，①＋②得：||||||8PF QF PQ +-=，∴周长为||||||82||32PF QF PQ PQ ++=+=．故答案为：32．【小结】1.双曲线定义的主要应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解．双曲线的标准方程例题3：已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（）A.221412x y -= B.221124x y -= C.2213x y -= D.2213y x -=【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：2222tan 603c c a b ba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩，解得：221,3a b ==，双曲线方程为：2213y x -=.本题选择D 选项.【小结】1．求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． (2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一是分类讨论，注意考虑要全面；二是注意巧设双曲线：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b-=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a b λλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.2．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求． 3．双曲线方程的几种形式：(1)双曲线的一般方程：当ABC ≠0时，方程Ax 2＋By 2＝C 可以变形为x 2C A ＋y 2C B ＝1，由此可以看出方程Ax 2＋By 2＝C 表示双曲线的充要条件是ABC ≠0，且A ，B 异号．此时称方程Ax 2＋By 2＝C 为双曲线的一般方程．利用一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，将其化为标准方程，即x 21A ＋y 21B ＝1.因此，当A >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当B >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)；与双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为y 2a 2＋λ－x 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)．必考点2：双曲线的实际应用例题4：已知A ，B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340m /s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程.【解析】如图以AB 为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立坐标系，设炮弹爆炸点为(,)P x y ，由题知：3402680800PA PB -=⨯=<. 所以P 的轨迹是以A ，B 为焦点，2680a =的抛物线的右支. 即340a =，400c =，22244400b c a =-=.所以P 的轨迹方程为22111560044400x y -=(340)x ≥.【小结】解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤．焦点三角形问题例题5：设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 25P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（） A ．1 B ．2C ．4D ．8【解析】5ca =，5c a ∴，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=，12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=， ()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A.例题6：设12,F F 是双曲线221916x y -= 的两个焦点，点P 在双曲线上，且1260F PF ∠=︒，求△12F PF 面积【解析】双曲线221916x y -=的3,5,a c ==不妨设12PF PF >，则1226PF PF a -==22212121202cos6F F PF PF PF PF =+-⋅︒，而12210F F c ==得22212121212()100PF PF PF PF PF PF PF PF +-⋅=-+⋅= 1264,PF PF ⋅=故12121sin 601632F PF PF P S F =⋅⋅︒=△【小结】双曲线中的焦点三角形双曲线上的点P 与其两个焦点F 1，F 2连接而成的三角形PF 1F 2称为焦点三角形．令|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ，因|F 1F 2|＝2c ，所以有 (1)定义：|r 1－r 2|＝2a ．(2)余弦公式：4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ(3)面积公式：S △PF 1F 2＝12r 1r 2sin θ．一般地，在△PF 1F 2中，通过以上三个等式，所以求问题就会顺利解决．已知双曲线的方程，研究其几何性质双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线 y ＝±b a xy ＝±a b x离心率e ＝ca ，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2实虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长．a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)例题7：设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为【解析】，双曲线的渐近线方程是直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点不妨设为在第一象限，在第四象限，联立，解得，故联立，解得，故，，面积为：双曲线，其焦距为当且仅当取等号，的焦距的最小值：8例题8：已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，2，则点(4,0)到C 渐近线的距离为（） A 2B ．2C ．322D ．2【解析】2e 1()2c ba a==+=1b a ∴=，所以双曲线的渐近线方程为x y 0±=所以点（4，0）到渐近线的距离d 2211==+ D例题9：已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【解析】在双曲线C 中，a =b =3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x =，双曲线C= 【小结】1.已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a 、b ，利用c 2＝a 2＋b 2求出c ，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．2．画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a 、2b 为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图．3．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2；若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.4．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.5．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 6．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 7．渐近线与离心率()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为b a ===可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小． 8.与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．必考点3：由双曲线的性质求双曲线的方程例题10：已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为( )A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==，则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====，据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=. 本题选择A 选项. 【小结】1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求得．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y ＝n m x 的双曲线方程可设为：x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．必考点4：求双曲线的离心率(或范围)例题11：双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为（）A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒【解析】由已知可得tan130,tan 50b ba a-=︒∴=︒ 2222222sin 50sin 50cos 50111tan 501cos 50cos 50cos50c b e a a ︒︒+︒⎛⎫∴==+=+︒=+== ⎪︒︒︒⎝⎭，选D例题12：已知双曲线C ：2222x y 1(a b 0)a b-=>>右支上非顶点的一点A 关于原点O 的对称点为B ，F为其右焦点，若AF FB ⊥，设ABF θ∠=，且ππθ,124⎛⎫∈⎪⎝⎭，则双曲线C 离心率的取值范围是______．【解析】设双曲线的左焦点为，连接，，AF FB ⊥，可得四边形为矩形，设AF m =，BF n =，即有，且222m n 4c +=，n m 2a -=，m tan θn=， 22222222222c 4c m n 11e 2mn 2a 4a m 2mn n 11m n m n n m+=====-+--++1211tan θtan θ=-+，由ππθ,124⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得()t tan θ23,1=∈，则()1t 2,4t +∈，可得21,112t t⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+，即有2110,12t t⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭+，则()12,211tan θtan θ∞∈+-+，即有)e 2,∞∈+例题13：设双曲线C ：22221x y a b-= (a >0，b >0)的一条渐近线为y x ，则C 的离心率为_________．【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为y =，所以b a =c e a === 【小结】1.在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；②通过判别式Δ求解；③利用点在双曲线内部形成的不等关系求解；④利用解析式的结构特点，如a ，a ，|a |等非负性求解．2.求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a ，b ，c 的不等关系，结合c 2＝a 2＋b 2和ca ＝e 得到关于e 的不等式，然后求解．在建立不等式求e 时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c －a .双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．3.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e ＝ca 是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e ＞1.(2)双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线是令22220x y a b-=，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0.(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．注意应用c e a ==必考点5：与双曲线有关的综合问题例题14：在平面直角坐标系xOy 中，以点()14,0F ，()28,9F 为焦点的动椭圆与双曲线221412x y -=的右支有公共点，则椭圆通径的最小值为______.【解析】依题意知，()14,0F 为双曲线的右焦点，设双曲线的左焦点为F ，则(4,0)F -，设点P 为两曲线的交点，则由双曲线及椭圆的定义可知，1||||4PF PF -=，12||||2PF PF a +=，则2||||24PF PF a +=+222||(48)(09)15FF ≥=--+-=，所以有112a ≥. 所以椭圆的通径为222222222b a c c a a a a-==-，这里22122||(48)(09)97c F F ==-+-=，所以由函数的单调性可知，当112a =时，椭圆的通径最小，最小值为9722441111112⨯-=.故答案为：2411 例题15：已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A与双曲线C 的一条渐近线于交M 、N 两点，若60MAN ∠=，则C 的离心率为__________．【解析】如图所示，由题意可得360OA a AN AM b MAN AP ===∠=︒∴=，，，，，OP ∴=22223||||4OA PA a b -=-C 的一条渐近线y=b a x 的倾斜角为θ，则tan θ=223||2||34AP OP a b =-．又tan θ=b a ，223234b a a b =-，得a 2=3b 2，∴221231133b a +=+= 【小结】双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与圆、椭圆、抛物线、向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．巩固提升1．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线2221x y a-=（a ＞0）的离心率是5 则a =（）A ．6B ．4C ．2D ．12【解析】∵双曲线的离心率5c e a == ，21c a =+ ，∴215a a+= ，解得12a = ，故选D. 2．（全国高考真题（文））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C的焦距等于（）． A.2B.22C.4D.42【解析】设双曲线的焦距为2c ，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C ．3.（2018·全国高考真题（理））设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF =，则C 的离心率为( )A 5B 3C ．2D 2【解析】由题可知22,PF b OF c ==，PO a ∴= 在2Rt PO F 中，222cos P O PF b F OF c∠==在12PF F △中,22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c +-∠==，)2222246322b c a bc a b cc+-∴=⇒=⋅ e 3∴= B.4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（）AB．2C．D．【解析】由2,a b c====．,2PPO PF x=∴=，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在2y x=上，11224PFO PS OF y∴=⋅==△，故选A．5.（2020·山东海南省高考真题）【多选题】已知曲线22:1C mx ny+=.（）A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m=n>0，则CC．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=D．若m=0，n>0，则C是两条直线【解析】对于A，若0m n>>，则221mx ny+=可化为22111x ym n+=，因为0m n>>，所以11m n<，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，若0m n=>，则221mx ny+=可化为221x yn+=，此时曲线C B不正确；对于C，若0mn<，则221mx ny+=可化为22111x ym n+=，此时曲线C表示双曲线，由220mx ny+=可得y=，故C正确；对于D，若0,0m n=>，则221mx ny+=可化为21yn=，yn=±，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.6.（2020·江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是____. 【解析】双曲线22215x y a -=，故b =由于双曲线的一条渐近线方程为y x =，即2b a a =⇒=，所以3c =，所以双曲线的离心率为32c a =.故答案为：327.（2020·全国高考真题（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________.【解析】联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2bBF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2.8.（2017·上海高考真题）设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________【解析】由双曲线的方程2221(0)9x y b b-=>，可得3a =，根据双曲线的定义可知1226PF PF a -==，又因为15PF，所以2||11PF =.9.（2019·浙江高三月考）已知1F ，2F 是椭圆1C ：2213x y +=与双曲线2C 的公共焦点，P 是1C ，2C 的公共点，若1OP OF =，则2C 的渐近线方程为______.【解析】因为1F ，2F 是椭圆1C ：2213x y +=与双曲线2C 的公共焦点，所以1(2,0)F -，设点),sin P θθ，由2213cos sin 2cos OP OF c θθθ=⇒+==⇒=，不妨取正即P ⎝⎭，代入双曲线方程得：2262144a b-=，又224a b +=，即1a b ==；即2C 的渐近线方程为y x =±.10.（2020·全国高三课时练习（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________.【解析】联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2bBF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2.11.（2019·陕西高三月考（理））已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在C 的渐近线上，且12MF MF ⊥，122MF a MF =+，则22b a=______.【解析】不妨设点M 在第一象限，设1MF m =，2MFn =，则2m a n =+，而12MF MF ⊥，故2224m n c +=，联立两式可得，2222mn c b =-，联立222b y x a x y c⎧=⎪⎨⎪+=⎩，可得(),M a b ，由三角形的面积公式可得11222mn cb =⋅，即22c b cb -=，故a bc =2，即422a b c =，故()4222a b a b =+，故42240b a b a +-=，则4210b b a a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得22b a =12.（2019·湖南高三月考（理））已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 与圆222x y a +=相切于点T ，且直线l 与双曲线C 的右支交于点P ，若114F P FT =，则双曲线C的离心率为______.【解析】如图，由题可知12OF OF c ==，OT a =，则1FT b =，又114F P FT =，3TP b ∴=，14F P b ∴=，又122PF PF a -=，242PF b a ∴=-作2//F M OT ，可得22F M a =，TM b =，则2PM b = 在2MPF ∆，22222PM MF PF +=，即()222c b a =-，2b a c =+又222c a b =+，化简可得223250c ac a --=，同除以2a ，得23250e e --=，解得53e =13.（2018·全国高考真题（理））已知点()11M ，-和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________．【解析】设()()1122A ,,B ,x y x y ，则2112224{4y x y x ==，所以22121244y y x x -=-，所以1212124k y y x x y y -==-+取AB 中点()00M'x y ，,分别过点A,B 作准线x 1=-的垂线，垂足分别为A ,B'' 因为AMB 90∠︒=,()()'111MM '222AB AF BF AA BB ∴==+=+'，因为M’为AB 中点，所以MM’平行于x 轴，因为M(-1,1)，所以01y =，则122y y +=即k 2=14．（2020·浙江吴兴湖州中学高三其他）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点2F 向其一条渐近线作垂线l ，垂足为P ，l 与另一条渐近线交于Q 点.若223F Q F P =，则该双曲线的离心率为_______. 【解析】由题意可得该双曲线的渐近线方程为by x a=±，设右焦点()2,0F c ，不妨令直线l 垂直于直线b y x a =，则直线l 的方程为()ay x c b=--，由()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩可得点22222,a c abc P a b a b ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，因为222+=a b c ，所以点2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由()b y x a a y x c b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩可得点22222,a c abc Q a b a b ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，又223F Q F P =，所以223abc ab a b c-=⋅-即()2222223333c a b a c a -=-=--，所以223c a =，所以该双曲线的离心率c e a ===15．（2020·湖北黄石港黄石二中高二月考（理））已知椭圆22221x y a b Γ+=：与双曲线22221x y m nΩ-=：共焦点，F 1、F 2分别为左、右焦点，曲线Γ与Ω在第一象限交点为P ，且离心率之积为1.若1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，则该双曲线的离心率为____________.【解析】设焦距为2c ，在三角形PF 1F 2中，根据正弦定理可得2121212sin sin PF F F F PF PF F =∠∠因为1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，代入可得1222F F PF =，所以2PF c =在椭圆中，1212PF PF PF c a +=+= 在双曲线中，1212PF PF PF c m -=-= 所以112,2PF a c PF m c =-=+，即22a c m c -=+，所以a m c =+因为椭圆与双曲线的离心率乘积为1，即1c c a m ⨯= ，即2c a m=，所以2c m c m +=化简得220c m mc --=，等号两边同时除以2m得210c c m m⎛⎫--= ⎪⎝⎭，因为c m 即为双曲线离心率所以若双曲线离心率为e ，则上式可化为210e e --=由一元二次方程求根公式可求得e =因为双曲线中1e >所以e =16．（2020·湖北高三月考（理））已知双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，过A 作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为M ，N ，且4||||5MN OA =（O 为坐标原点），则此双曲线的离心率是___. 【解析】由题意，(),0A a -，双曲线2222:1(0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为：b y x a =±，不妨令AM 与直线b y x a =垂直，AN 与直线b y x a =-垂直，则AM a k b =-，AN ak b=，所以直线AM 的方程为：a yx a b ；直线AN 的方程为：()ay x a b=+；由()a y x a b b y x a ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得：3222a x c ba y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（其中222c a b =+），则3222,a ba M c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；由()a y x a b b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得：3222a x c bay c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即3222,a ba N c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以222ba MN c =，又4||||5MN OA =，所以22245ba a c =，即225c ab =，即222520a ab b -+=，解得：2a b =或2ba =（不满足a b >），所以此双曲线的离心率是2c e a ====.。