双曲线题型归纳含(答案)
双曲线专题 (优秀经典练习题及答案详解)
双曲线专题一、学习目标：1.理解双曲线的定义；2.熟悉双曲线的简单几何性质；3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目.二、知识点梳理定 义1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于21F F ）的点的轨迹2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e ee （＞1）的点的轨迹标准方程-22a x 22b y =1()0,0>>b a -22a y 22bx =1()0,0>>b a 图 形性质范围a x ≥或a x -≤，R y ∈R x ∈，a y ≥或a y -≤对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点渐近线x a by ±=x b a y ±=顶点 坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B焦点 ()0,1c F -，()0,2c F()c F -,01，()c F ,02轴 实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2离心率1>=ace ，其中22b a c += 准线准线方程是c a x 2±=准线方程是ca y 2±=三、课堂练习1、双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为（ ）A 、2,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B 、5,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C 、6,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D 、()3,01.解析：C2.设椭圆C 1的离心率为，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（ ）A ． ﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1D ．﹣=12.解析A ：在椭圆C 1中，由，得椭圆C 1的焦点为F 1（﹣5，0），F 2（5，0），曲线C 2是以F 1、F 2为焦点，实轴长为8的双曲线， 故C 2的标准方程为：﹣=1，故选A ．3.已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=( ) A.14 B.35 C.34 D.453.解析C ：依题意得a ＝b ＝2，∴c ＝2. ∵|PF 1|＝2|PF 2|，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m .又|PF 1|－|PF 2|＝22＝m . ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2. 又|F 1F 2|＝4，∴cos ∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.故选C.4.已知双曲线的两个焦点为F 1（﹣，0）、F 2（，0），P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|•|PF 2|=2，则该双曲线的方程是（ ） A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣y 2=1D.x 2﹣=14.解析C ：解：设双曲线的方程为﹣=1． 由题意得||PF 1|﹣|PF 2||=2a ，|PF 1|2+|PF 2|2=（2）2=20．又∵|PF 1|•|PF 2|=2， ∴4a 2=20﹣2×2=16 ∴a 2=4，b 2=5﹣4=1．所以双曲线的方程为﹣y 2=1．故选C ．5.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1 5.解析A ：设焦距为2c ，则得c ＝5.点P (2,1)在双曲线的渐近线y ＝±ba x 上，得a ＝2b .结合c＝5，得4b 2＋b 2＝25， 解得b 2＝5，a 2＝20，所以双曲线方程为x 220－y 25＝1. 6.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．86.解析C ：设等轴双曲线方程为x 2－y 2＝a 2，根据题意，得抛物线的准线方程为x ＝－4，代入双曲线的方程得16－y 2＝a 2，因为|AB |＝43，所以16－(23)2＝a 2，即a 2＝4，所以2a ＝4，所以选C. 7.平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．7.解析：双曲线的右焦点(4,0)，点M (3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.8.以知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA + 的最小值为 。
双曲线经典练习题总结(带答案)
双曲线经典练习题总结（带答案）一、选择题1．以椭圆x 216＋y 29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为( C )A ．x 216－y 248＝1B ．y 29－x 227＝1C ．x 216－y 248＝1或y 29－x 227＝1D ．以上都不对[解析] 当顶点为(±4,0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，双曲线方程为x 216－y 248＝1；当顶点为(0，±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，双曲线方程为y 29－x 227＝1.2．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( C ) A ．2 B ．22 C ．4 D ．42[解析] 双曲线2x 2－y 2＝8化为标准形式为x 24－y 28＝1，∴a ＝2，∴实轴长为2a ＝4.3．(全国Ⅱ文，5)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( C )A ．(2，＋∞)B ．(2，2 )C ．(1，2)D ．(1,2)[解析] 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a. ∴c 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a >1，∴0<1a 2<1，∴1<1＋1a2<2，∴1<e < 2.故选C ．4．(2018·全国Ⅲ文，10)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( D ) A ．2 B ．2 C ．322D ．22[解析] 由题意，得e ＝ca＝2，c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝b 2.又因为a >0，b >0，所以a ＝b ，渐近线方程为x ±y ＝0，点(4,0)到渐近线的距离为42＝22， 故选D ．5．(2019·全国Ⅲ卷理，10)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( A ) A ．324B ．322C ．22D ．32[解析] 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝22x ，不妨设点P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324.故选A ． 6．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( A ) A ．2 B ．3 C ．2D ．233[解析] 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3.根据点到直线的距离公式得2b a 2＋b 2＝3，解得b 2＝3a 2. 所以C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2.故选A ． 二、填空题7．(2019·江苏卷，7)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 [解析] 因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，所以9－16b 2＝1(b >0)，解得b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 22＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .8．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是__－12＜k ＜0__.[解析] 双曲线方程可变形为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝ca ＝4－k2.又因为e ∈(1,2)，即1＜4－k2＜2，解得－12＜k ＜0. 三、解答题9．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52的双曲线的方程；(2)求实轴长为12，离心率为54的双曲线的标准方程．[解析] (1)设双曲线的方程为x 29－λ－y 2λ－4＝1(4<λ<9)，则a 2＝9－λ，b 2＝λ－4，∴c 2＝a 2＋b 2＝5，∵e ＝52，∴e 2＝c 2a 2＝59－λ＝54，解得λ＝5， ∴所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.(2)由于无法确定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，所以可设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题设知2a ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝6，c ＝152，b 2＝814.∴双曲线的标准方程为x 236－y 2814＝1或y 236－x 2814＝1.B 级 素养提升一、选择题1．如果椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，那么双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( A )A ．52B ．54C ．2D ．2[解析] 由已知椭圆的离心率为32，得a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.∴a 2＋b 2a 2＝5b 24b 2＝54.∴双曲线的离心率e ＝52. 2．双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率大于2的充分必要条件是( C )A ．m >12B ．m ≥1C ．m >1D ．m >2[解析] 本题考查双曲线离心率的概念，充分必要条件的理解． 双曲线离心率e ＝1＋m >2，所以m >1，选C ．3．(多选题)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值可能是( BC ) A ．－1 B ．0 C ．12D ．1[解析] 由双曲线方程可知F 1(－3，0)、F 2(3，0)， ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋(－y 0)(－y 0)<0， 即x 20＋y 20－3<0，∴2＋2y 20＋y 20－3<0，y 20<13， ∴－33<y 0<33，故选BC ． 4．(多选题)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( BD ) A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2 B ．当a <b 时，e 1>e 2 C ．对任意的a ，b ，e 1<e 2 D ．当a >b 时，e 1<e 2[解析] 由条件知e 21＝c 2a 2＝1＋b 2a2，e 22＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2，当a >b 时，b ＋m a ＋m >ba ，∴e 21<e 22.∴e 1<e 2.当a <b 时，b ＋m a ＋m <ba ，∴e 21>e 22.∴e 1>e 2.所以，当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2. 二、填空题5．(2019·课标全国Ⅰ理，16)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为__2__.[解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，∵F 1B →·F 2B →＝0，∴F 1B ⊥F 2B ，∴点B 在⊙O ：x 2＋y 2＝c 2上，如图所示，不妨设点B 在第一象限，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax x 2＋y 2＝c2a 2＋b 2＝c 2x ＞0，得点B (a ，b )，∵F 1A →＝AB →，∴点A 为线段F 1B 的中点，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫a －c 2，b 2，将其代入y ＝－b a x 得b 2＝⎝⎛⎭⎫－b a ×a －c 2.解得c ＝2a ，故e ＝ca＝2.6．已知双曲线x 29－y 2a ＝1的右焦点为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为__y ＝±23x __.[解析] 由已知得9＋a ＝13，即a ＝4，故所求双曲线的渐近线为y ＝±23x .三、解答题7．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．[解析] 因为双曲线焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1(－c,0)、F 2(c,0)．因为双曲线过点P (42，－3)， 所以32a 2－9b2＝1.①又因为点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直， 所以QF 1→·QF 2→＝0，即－c 2＋25＝0. 所以c 2＝25.② 又c 2＝a 2＋b 2，③所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去)． 所以b 2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x 216－y 29＝1. 8．(2020·云南元谋一中期中)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，其斜率为－3，求双曲线的离心率．[解析] (1)由题意，ba ＝1，c ＝2，a 2＋b 2＝c 2，∴a 2＝b 2＝2，∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)由题意，设A (m ，n )，则k OA ＝33，从而n ＝33m ，m 2＋n 2＝c 2，∴A (32c ，c 2)， 将A (32c ，c 2)代入双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1得：3c 24a 2－c 24b 2＝1，∴c 2(3b 2－a 2)＝4a 2b 2，且c 2＝a 2＋b 2，∴(a 2＋b 2)(3b 2－a 2)＝4a 2b 2， ∴3b 4－2a 2b 2－a 4＝0，∴3(b a )4－2(ba )2－1＝0，∴b 2a 2＝1从而e 2＝1＋b 2a 2＝2，∴e ＝ 2.。
《双曲线》练习题经典(含答案)
2, 1.
消去
y
得：(λ＋2)x2－4
2x＋4－λ＝0.
∵方程组有两解，∴λ＋2≠0 且 Δ>0，
4－λ ∴λ>2 或 λ<0 且 λ≠－2，x1·x2＝λ＋2，
3(4－λ)
uuur uuur 而 MAgMB ＝x1x2＋(y1＋2)·(y2＋2)＝x1x2＋ 2x1· 2x2＝3x1x2＝ λ＋2 ，
4－λ 3
y2
∴λ＋2＝－2，解得 λ＝－14.∴曲线 C 的方程是 x2－14＝1.
31．(本题满分 12 分) 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 2, 0，右顶点为 3, 0 .
（Ⅰ）求双曲线 C 的方程
uuur uuur （Ⅱ）若直线 l : y kx 2 与双曲线恒有两个不同的交点 A 和 B 且 OA OB 2 （其中 O 为原点），求 k 的
3．在平面直角坐标系中，双曲线 C 过点 P（1，1），且其两条渐近线的方程分别为 2x+y=0 和 2x﹣y=0，则双曲 线 C 的标准方程为（ B ）
A．
B．
C．
或
D．
x2
y2
x2 y2
4.已知椭圆 2a 2 ＋ 2b 2 ＝1（a＞b＞0）与双曲线 a 2 － b 2 ＝1 有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ A ）
为 ，则双曲线的离心率为（ A ）
A．2 B．
C．
D．
7．已知双曲线
y2 a2
x2 9
1 的两条渐近线与以椭圆 x2 25
y2 9
1
的左焦点为圆心、半径为
16 5
的圆相切，则双曲
线的离心率为（ A ）
A． 5 B． 5 C． 4 D． 6
双曲线经典练习题总结(带答案)
双曲线经典练习题总结（带答案）一、选择题1．以椭圆x 216＋y 29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为( C )A ．x 216－y 248＝1B ．y 29－x 227＝1C ．x 216－y 248＝1或y 29－x 227＝1D ．以上都不对[解析] 当顶点为(±4,0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，双曲线方程为x 216－y 248＝1；当顶点为(0，±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，双曲线方程为y 29－x 227＝1.2．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( C ) A ．2 B ．22 C ．4 D ．42[解析] 双曲线2x 2－y 2＝8化为标准形式为x 24－y 28＝1，∴a ＝2，∴实轴长为2a ＝4.3．(全国Ⅱ文，5)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( C )A ．(2，＋∞)B ．(2，2 )C ．(1，2)D ．(1,2)[解析] 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a. ∴c 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a >1，∴0<1a 2<1，∴1<1＋1a2<2，∴1<e < 2.故选C ．4．(2018·全国Ⅲ文，10)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( D ) A ．2 B ．2 C ．322D ．22[解析] 由题意，得e ＝ca＝2，c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝b 2.又因为a >0，b >0，所以a ＝b ，渐近线方程为x ±y ＝0，点(4,0)到渐近线的距离为42＝22， 故选D ．5．(2019·全国Ⅲ卷理，10)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( A ) A ．324B ．322C ．22D ．32[解析] 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝22x ，不妨设点P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324.故选A ． 6．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( A ) A ．2 B ．3 C ．2D ．233[解析] 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3.根据点到直线的距离公式得2b a 2＋b 2＝3，解得b 2＝3a 2. 所以C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2.故选A ． 二、填空题7．(2019·江苏卷，7)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 [解析] 因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，所以9－16b 2＝1(b >0)，解得b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 22＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .8．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是__－12＜k ＜0__.[解析] 双曲线方程可变形为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝ca ＝4－k2.又因为e ∈(1,2)，即1＜4－k2＜2，解得－12＜k ＜0. 三、解答题9．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52的双曲线的方程；(2)求实轴长为12，离心率为54的双曲线的标准方程．[解析] (1)设双曲线的方程为x 29－λ－y 2λ－4＝1(4<λ<9)，则a 2＝9－λ，b 2＝λ－4，∴c 2＝a 2＋b 2＝5，∵e ＝52，∴e 2＝c 2a 2＝59－λ＝54，解得λ＝5， ∴所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.(2)由于无法确定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，所以可设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题设知2a ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝6，c ＝152，b 2＝814.∴双曲线的标准方程为x 236－y 2814＝1或y 236－x 2814＝1.B 级 素养提升一、选择题1．如果椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，那么双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( A )A ．52B ．54C ．2D ．2[解析] 由已知椭圆的离心率为32，得a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.∴a 2＋b 2a 2＝5b 24b 2＝54.∴双曲线的离心率e ＝52. 2．双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率大于2的充分必要条件是( C )A ．m >12B ．m ≥1C ．m >1D ．m >2[解析] 本题考查双曲线离心率的概念，充分必要条件的理解． 双曲线离心率e ＝1＋m >2，所以m >1，选C ．3．(多选题)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值可能是( BC ) A ．－1 B ．0 C ．12D ．1[解析] 由双曲线方程可知F 1(－3，0)、F 2(3，0)， ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋(－y 0)(－y 0)<0， 即x 20＋y 20－3<0，∴2＋2y 20＋y 20－3<0，y 20<13， ∴－33<y 0<33，故选BC ． 4．(多选题)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( BD ) A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2 B ．当a <b 时，e 1>e 2 C ．对任意的a ，b ，e 1<e 2 D ．当a >b 时，e 1<e 2[解析] 由条件知e 21＝c 2a 2＝1＋b 2a2，e 22＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2，当a >b 时，b ＋m a ＋m >ba ，∴e 21<e 22.∴e 1<e 2.当a <b 时，b ＋m a ＋m <ba ，∴e 21>e 22.∴e 1>e 2.所以，当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2. 二、填空题5．(2019·课标全国Ⅰ理，16)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为__2__.[解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，∵F 1B →·F 2B →＝0，∴F 1B ⊥F 2B ，∴点B 在⊙O ：x 2＋y 2＝c 2上，如图所示，不妨设点B 在第一象限，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax x 2＋y 2＝c2a 2＋b 2＝c 2x ＞0，得点B (a ，b )，∵F 1A →＝AB →，∴点A 为线段F 1B 的中点，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫a －c 2，b 2，将其代入y ＝－b a x 得b 2＝⎝⎛⎭⎫－b a ×a －c 2.解得c ＝2a ，故e ＝ca＝2.6．已知双曲线x 29－y 2a ＝1的右焦点为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为__y ＝±23x __.[解析] 由已知得9＋a ＝13，即a ＝4，故所求双曲线的渐近线为y ＝±23x .三、解答题7．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．[解析] 因为双曲线焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1(－c,0)、F 2(c,0)．因为双曲线过点P (42，－3)， 所以32a 2－9b2＝1.①又因为点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直， 所以QF 1→·QF 2→＝0，即－c 2＋25＝0. 所以c 2＝25.② 又c 2＝a 2＋b 2，③所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去)． 所以b 2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x 216－y 29＝1. 8．(2020·云南元谋一中期中)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，其斜率为－3，求双曲线的离心率．[解析] (1)由题意，ba ＝1，c ＝2，a 2＋b 2＝c 2，∴a 2＝b 2＝2，∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)由题意，设A (m ，n )，则k OA ＝33，从而n ＝33m ，m 2＋n 2＝c 2，∴A (32c ，c 2)， 将A (32c ，c 2)代入双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1得：3c 24a 2－c 24b 2＝1，∴c 2(3b 2－a 2)＝4a 2b 2，且c 2＝a 2＋b 2，∴(a 2＋b 2)(3b 2－a 2)＝4a 2b 2， ∴3b 4－2a 2b 2－a 4＝0，∴3(b a )4－2(ba )2－1＝0，∴b 2a 2＝1从而e 2＝1＋b 2a 2＝2，∴e ＝ 2.。
双曲线专题复习考点技巧归纳+经典例题+变式训练+综合练习
双曲线专题复习讲义题型一 双曲线定义的应用例题1已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在双曲线的右支上，点N 为2F M的中点，O 为坐标原点，2||||2ON NF b -=，则该双曲线的离心率为( )A B ．2 C D 【答案】C【解析】由N 为2F M 的中点，所以1//ON MF ，且11||||2ON MF =，故01260F MF ∠=， 2121||||(||||)2ON NF MF MF a ∴-=-=，故2a b =，设双曲线的焦距为2c ，由224a b =可得222244()a b c a ==-，即c =，故双曲线的离心率为e =，故选C ． 例题2已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，I 为△12PF F 的内心，若121213IPF IPF IF F S S S =+成立，则双曲线的离心率为( )A ．3BCD ．4【答案】A【解析】设△12PF F 的内切圆的半径为r ．I 为△12PF F 的内心，由121213IPF IPF IF F SS S =+成立，可得121111||||22232PF r PF r c r ⋅=⋅+⨯⨯⋅．∴又12||||2PF PF a -=，1223a c ∴=⋅．232ce a∴==．故选A ． 【解题技巧提炼】双曲线上的点P 与其两个焦点F 1，F 2连接而成的三角形PF 1F 2称为焦点三角形.令|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ，因|F 1F 2|＝2c ，所以有(1)定义：|r 1－r 2|＝2a . (2)余弦公式：.(3)面积公式：一般地，在△PF 1F 2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决.题型二 与双曲线有关的轨迹问题例题1（2021•重庆质检）在平面直角坐标系中，一动圆C 与x 轴切于点(4,0)A ，分别过点(5,0)M -、(5,0)N 作圆C 的切线并交于点P （点P 不在x 轴上），则点P 的轨迹方程为( )A ．221(4)169x y x -=>B ．221(4)169x y x -=<-C ．221(4)2516x y x +=>D ．221(4)2516x y x +=<-【答案】A【解析】由题意，在平面直角坐标系中，一动圆C 与x 轴切于点(4,0)A ，圆的圆心在4x =上，分别过点(5,0)M -、(5,0)N 作圆C 的切线并交于点P （点P 不在x 轴上），与圆交于S ，T ，所以||||MA MS =，||||NA NT =，||||PS PT =，所以||||||||54(54)8PM PN AM AN -=-=+--=，P 满足双曲线的定义， 是双曲线的右支，除去A 点，故选A ．【解题技巧提炼】求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，双曲线的定义，得出对应的方程．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支；(3)求出方程后要注意满足方程的解的坐标的点，是否都在所求曲线上．题型三 由双曲线的标准方程求其简单的几何性质例题1（2021秋•温州期中）已知双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．916y x =±B ．169y x =±C ．43y x =±D ．34y x =±【答案】C【解析】双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，210c ∴=，5c =，3a =，22925916b c ∴=-=-=，4b ∴=，∴双曲线C 的浙近线方程为43b y x x a =±=±． 故选C ．【解题技巧提炼】由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤1把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键. 2由标准方程确定焦点位置，确定a 、b 的值.3由c 2＝a 2＋b 2求出c 值，从而写出双曲线的几何性质.题型四 利用几何性质求双曲线的标准方程例题1（2020•新疆模拟）已知双曲线的一条渐近线方程为2y x =，且经过点(4,43)，则该双曲线的标准方程为( )A ．221416x y -=B ．221164y x -=C ．22128x y -=D ．22144176y x -=【答案】A【解析】1：根据题意知，2443⨯>(4,3)在渐近线方程2y x =的右下方，所以该双曲线的焦点在x 轴上，设标准方程为22221x y a b-=，且0a >，0b >；又2ba=，所以2b a =； 又2216481a b -=，即2221648414a a a -==，解得24a =，216b =，所以双曲线的标准方程是221416x y -=．解法2：根据渐近线方程设双曲线的标准方程是22(0)4y x k k -=≠，代入点(4，43)，计算得481644k =-=，所以双曲线的标准方程为2244y x -=，即221416x y -=．故选A ． 例题2 （2020秋•胶州市期末）与双曲线22:12x C y -=共渐近线，且经过10)点的双曲线的标准方程是()A ．22142x y -=B ．22124x y -=C ．22142y x -=D ．22124y x -=【答案】A【解析】根据题意，要求双曲线与双曲线22:12x C y -=共渐近线，设要求的双曲线为222x y t -=，(0)t ≠，又由双曲线经过点10，则有91024t -=， 解可得2t =，则要求双曲线的标准方程为22142x y -=；故选A ． 【解题技巧提炼】求双曲线的标准方程的方法与技巧(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．(2)利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确性．拓展延伸：巧设双曲线的六种方法与技巧(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2＜λ＜a 2)．(4)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(5)渐近线为y ＝kx 的双曲线方程可设为k 2x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (6)渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)．题型五 求双曲线的离心率例题1（2021秋•镇海区校级期中）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为1e ，22221(0,0)x y a b a b-=->>的离心率为2e ，则221211e e +的值为( )A ．1B ．2C ．12D ．4【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为1e ，22221(0,0)x y a b a b -=->>的离心率为2e =2222222222122211111a b a b a b e e a b a b ++=+==+++．故选A ． 例题2 （2021秋•遵义月考）已知曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>其中一条渐近线与直线:22l x y +=平行，则此双曲线的离心率是( ) ABC ．32D【解析】根据题意，双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则其渐近线方程为by x a=±，又由其一条渐近线与直线:22l x y +=平行，有12b a =，即12b a =，则c =，则其离心率c e a =B ．【解题技巧提炼】 求离心率的方法与技巧(1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a ，c ，再计算e ＝ca ；二是依据条件建立参数a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化成离心率e 的方程求解，另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba 后利用e ＝1＋b 2a2求离心率． (2)求离心率的范围一般是根据条件建立a ，b ，c 的不等式，通过解不等式得c a 或ba 的范围，再求得离心率的范围．题型六 与渐进线有关的问题例题1（2021秋•洛阳期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，若点(,0)A a -，(,0)B a ，C ，)b 是等腰三角形的三个顶点，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3y x =±B ．y =C ．13y x =±D ．y = 【答案】B【解析】依题意，要使点(,0)A a -，(,0)B a ，C ，)b 是等腰三角形的三个顶点，则必有2AB BC a ==，2a ，整理可得2220c ac a --=，解得2c a =，即可得2224a a b =+，ba=所以双曲线的渐近线方程为by x a=±=，故选B ．例题2 （2021秋•南湖区月考）已知双曲线221169x y -=的右支上一点P 到其渐近线的距离为d ，F 为双曲线的左焦点，则||PF d +的最小值为( ) A ．9B ．10C ．11D ．12【解析】由双曲线的方程可得216a =，29b =，所以22225c a b =+=，可得5c =， 设双曲线的右焦点(5,0)F '，渐近线的方程为：043x y±=，即340x y ±=， 所以右焦点F '到渐近线的距离||3DF '==，由双曲线的性质可得右支上的点P 到右焦点的距离||||2PF PF a '=-，||||2||2PF d PF a d DF a ''+=+++，当且仅当F '，P ，垂足三点共线，其值最小，所以||PF d +的最小值为：2324311a +=⨯+=，故选C ．【解题技巧提炼】1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±b a x ，双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线为y ＝±ab x ，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．2．若已知渐近线方程为mx ±ny ＝0，求双曲线方程，双曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，可用下面的方法来解决．方法一：分两种情况设出方程进行讨论．方法二：依据渐近线方程，设出双曲线方程m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)，求出λ即可． 显然方法二较好，避免了讨论． 3．有共同渐近线的双曲线的方程．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．若λ＞0，则实轴在x 轴上；若λ＜0，则实轴在y 轴上，再依据题设条件可确定λ．题型一 双曲线定义的应用1．已知1F 、2F 分别是双曲线22124y x -=的左、右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且12||||48PF PF ⋅=．则△12F PF 的面积为( )A ．8B ．16C ．24 D．【答案】C 【解析】P 是双曲线左支上的点，21||||2PF PF ∴-=，12||10F F =，在△12PF F 中，由余弦定理得222221212211212121212||||||(||||)2||||||4248100cos 02||||2||||248PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF +--+-+⨯-∠====⨯，1290F PF ∴∠=︒，即12PF PF ⊥，∴△12F PF 的面积为1211||||482422PF PF ⋅=⨯=，故选C ． 2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作倾斜角为θ的直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若1||||AB AF =，且双曲线C 的离心率为2．则cos (θ=) A ．14B ．13C ．23D ．12【答案】A【解析】由双曲线的定义知，12||||2AF AF a -=，1||||AB AF =，221||||||AF BF AF ∴+=，即122||||||2AF AF BF a -==，12||||24BF BF a a ∴=+=，在△12BF F 中，由余弦定理知，2222121212||||||cos 2||||BF F F BF BF F F θ+-=⋅，∴2222244163cos 2222a c a c a a c ac θ+--==⋅⋅，2c e a ==，∴431cos 44θ-==，故选A ．题型二 与双曲线有关的轨迹问题1．（2021秋•海曙区校级期中）与圆22(2)2x y ++=外切，且与圆2240x y x +-=内切的圆的圆心在( ) A ．抛物线上 B ．圆上C ．双曲线的一支上D ．椭圆上【答案】C【解析】由题设，22(2)2x y ++=的圆心为(2,0)A -2240x y x +-=的圆心为(2,0)B ，半径为2，∴若所求圆的圆心为C ，半径为r ，由图及已知条件易得2r >，∴|||2AC r BC r =+=-，则||||2AC BC -=，由双曲线定义知：圆心C 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上． 故选C ．题型三 由双曲线的标准方程求其简单的几何性质1．（2021秋•福建期中）双曲线2214y x -=的右顶点到渐近线的距离为( )ABC ．1D ．2【答案】B【解析】由双曲线2214y x -=，得1a =，2b =，可得右顶点为(1,0)，一条渐近线方程为2y x =，即为20x y -=，可得右顶点到该双曲线一条渐近线的距离为d =．故选B ．2．（2021秋•沙坪坝区校级期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 为双曲线C 中第一象限上的一点，12F PF ∠的平分线与x 轴交于Q ，若214OQ OF =，则双曲线的离心率取值范围为( ) A ．(1,2) B ．(1,4) C． D．【答案】B【解析】由214OQ OF =，知Q 在线段2OF 上，且234QF c =，又12F PF ∠的平分线与x 轴交于Q ，所以1122554334c PF QF PF QF c ===， 所以1253PF PF =，又122PF PF a -=， 所以2223PF a =，又点P 为双曲线C 中第一象限上的一点，所以2PF c a >-， 所以226c a a -<，所以4ce a=<，又1e >，故14e <<．故选B ．题型四 利用几何性质求双曲线的标准方程1．（2019秋•荔湾区期末）已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为8，离心率为2，则该双曲线的方程为( )A ．221204x y -= B ．221412x y -= C ．2211648x y -=D ．2216416x y -=【答案】B【解析】由题意可设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，因为双曲线的焦距为8，则28c =，所以4c =， 又双曲线的离心率为2ca=，所以2a =，则22216412b c a =-=-=， 所以双曲线的标准方程为221412x y -=，故选B ．2．（2020•梅州二模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为34y x =±，且其一个焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=【答案】B【解析】由双曲线的方程及渐近线的方程可得：34b a =，即34a b =，又由题意可得5c =，且222c a b =+， 所以解得216a =，29b =，所以双曲线的方程为：221169x y -=，故选B ．题型五 求双曲线的离心率1．（2021秋•河北期中）已知双曲线22:14x y C m -=(m = )A ．2B ．4C ．8D ．12【答案】B【解析】双曲线22:14x y C m -=，∴c a ==4m =．故选B ．题型六 与渐进线有关的问题1．（2021秋•温州期中）已知双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．916y x =±B ．169y x =±C ．43y x =±D ．34y x =±【答案】C【解析】双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，210c ∴=，5c =，3a =，22925916b c ∴=-=-=，4b ∴=，∴双曲线C 的浙近线方程为43b y x x a =±=±．故选C ．2．（2021秋•福州期中）已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的渐近线方程为( )A ．y =B ．y x =C ．2y x =±D ．12y x =±【答案】A【解析】F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x轴．若AB 的斜率为3，可得23b a c a =-，可得223()c a c a a-=-，解得2c a =，即2224a b a +=，所以ba=C 的渐近线方程为：y =．故选A ．1．（2021秋•福州期中）已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的渐近线方程为( )A ．y =B ．y x =C ．2y x =±D ．12y x =±【答案】A【解析】F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x轴．若AB 的斜率为3，可得23b a c a =-，可得223()c a c a a-=-，解得2c a =，即2224a b a +=，所以ba=C 的渐近线方程为：y =．故选A ．2．（2021秋•沙坪坝区校级期中）若双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>率的取值范围是( )A ．)+∞B ．C ．)+∞D ． 【答案】D【解析】依题意双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>经过一、三象限的渐近线斜率为k ，当k >时，可知a b >，则离心率c e a ==．故选D ．3．（2021秋•北海月考）已知双曲线22:1412x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 在C 的一条渐近线上，若2||||OP PF =，则△12PF F 的面积为( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知1(4,0)F -，2(4,0)F，渐近线的方程为y =， 因为2||||OP PF =，故点P 在线段2OF 的中垂线2x =上，故0||y = 所以△12PF F的面积为1201||||2F F y ⋅=．故选D ．4．（2021秋•河南期中）如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点．若1||||AB AF =，且△1~F AB △21F F B ，则双曲线C 的离心率为()A ．2 BC ．32D ．4【答案】A【解析】由过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点．所以12||||2AF AF a -=，1||||AB AF =， 所以，2||||2AB AF a -=，所以2||2BF a =，又12||||2BF BF a -=，所以1||4BF a =， 因为△1~F AB △21F F B ，所以1121AF F F ABF B=，又1||||AB AF =，所以112||||BF F F =，所以42a c =，所以离心率2ce a==，故选A ． 5．（2021秋•福建期中）双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，直线y kx =与曲线C交于A ，B 两点，11||3||AF BF =，且1260F AF ∠=︒，则双曲线C 的离心率是 ．【解析】设1||BF t =，因为11||3||AF BF =，则1||3AF t =，2||AF t =，所以212||||32a BF BF t t t =-=-=，2||AF a =，1||3AF a =，在三角形12AF F 中，由余弦定理可得：22212941cos 232a a c AF F a a +-∠==⨯⨯，整理可得：2c =，所以离心率e =．6．（2021秋•沙坪坝区校级期中）已知点P 在双曲线22:1169x y C -=左支上，1F ，2F 是其左、右焦点，若1260F PF ∠=︒，1211||||PF PF -= ． 【答案】29【解析】设1||PF m =，2||PF n =，由双曲线的定义可知8n m -=，在△12PF F 中，由余弦定理可得22100cos602m n mn+-︒=，22100m n mn ∴+-=，2()2100n m mn mn ∴-+-=，即36mn =， ∴211212||||1182||||||||369PF PF n m PF PF PF PF mn ---====，故答案为：29．。
双曲线常见题型与典型方法归纳(修改版 附详解答案)
双曲线常见题型与典型方法归纳考点一 双曲线标准方程及性质1.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a <的点的轨迹。
（1）距离之差的绝对值.（2）当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是同一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 【典例】到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹（ ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线 第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数)1(>e 的动点的轨迹。
2双曲线的标准方程及几何性质标准方程)0,0(12222>>=-b a by a x )0,0(12222>>=-b a bx a y 图形性 质焦点 F 1（-)0,c ，F 2（)0,c F 1（),0c -，F 2（),c o焦距 | F 1F 2|=2c 222c b a =+范围 R y a x ∈≥,|| R x a y ∈≥,||对称 关于x 轴，y 轴和原点对称顶点 （-a ，0）。
（a ，0） （0，-a ）（0，a ）轴 实轴长2a ，虚轴长2b离心率)1(>=e ace （离心率越大，开口越大） 准线ca x 2±=ca y 2±=通径22b d a=22b d a=渐近线x ab y ±= x bay ±=注意：等轴双曲线（1）定义：实轴长与虚轴长相等的双曲线 （2）方程：222x y a -=或222y x a -= （3）离心率e =渐近线y x =±（4）方法：若已知等轴双曲线经过一定点，则方程可设为22(0)x y λλ-=≠ 【典例】 已知等轴双曲线经过点1)-，求此双曲线方程 3双曲线中常用结论（1）两准线间的距离: 22a c （2）焦点到渐近线的距离为b （3）通径的长是ab 22考点二 双曲线标准方程一 求双曲线标准方程的方法（1）定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a b c 、、即可求得方程； （2）待定系数法，其步骤是①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程； ③定值：根据题目条件确定相关的系数。
双曲线练习题(含答案)
双曲线练习题(含答案)双曲线及其标准方程习题一、 单选题(每道小题 4分 共 56分 )1. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 距离之差│|PA|-|PB|│=2a(a >0)；命题乙； P 点轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 [ ] A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件2.若双曲线的一个焦点是，，则等于 ． ． ． ．2kx ky =1(04)k [ ]A B C D 22---33258332583.点到点，与它关于原点的对称点的距离差的绝对值等于，则点的轨迹方程是 ． ．． ．P (60)10P [ ]A y 11=1B y 25=1C y 6=1D y 25=12222-----x x x x 2222256125114.k 5+y 6k=1[ ]A B C D 2＜是方程表示双曲线的 ．既非充分又非必要条件 ．充要条件．必要而非充分条件 ．充分而非必要条件x k 25--5. 如果方程x 2sin α-y 2cos α=1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么角α的终边在 [ ] A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限6.下列曲线中的一个焦点在直线上的是 ． ．． ．4x 5y +25=0[ ]A y 16=1B +y 16=1C x 16=1D +x 16=12222---x x y y 22229259257. 若a ·b <0，则ax 2-ay 2=b 所表示的曲线是 [ ] A ．双曲线且焦点在x 轴上 B ．双曲线且焦点在y 轴上 C ．双曲线且焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上 D ．椭圆8.以椭圆的焦点为焦点，且过，点的双曲线方程为． ．． ．x x y y y 2222296109251150+y 25=1P(35)[ ]A y 10=1B x 6=1C x 3=1D x 2=122222----9.到椭圆的两焦点距离之差的绝对值等于椭圆短轴的点的轨迹方程是 ． ．． ．x x x x x 2222225251697+y 9=1[ ]A y 9=1B y 9=1C y 7=1D y 9=122222----10.直线与坐标轴交两点，以坐标轴为对称轴，以其中一点为焦点且另一点为虚轴端点的双曲线的方程是 ． ．． ．或2x 5y +20=0[ ]A y 16=1B y 84=1C y 84=1D y 84=1y 84=122222------x x x x x 2222284161001610011.以坐标轴为对称轴，过，点且与双曲线有相等焦距的双曲线方程是 ．或 ．或．或 ．或A(34)y 20=1[ ]A y 20=1x 20=1B y 15=1x 15=1C y 20=1x 15=1D y 5=1x 10=1222222222x x y x y x y x y 22222222255510105102015---------12.与双曲线共焦点且过点，的双曲线方程是 ． ．． ．x x x x x 2222215520916------y 10=1(34)[ ]A y 20=1B y 5=1C y 16=1D y 9=12222213. 已知ab <0，方程y=-2x +b 和bx 2+ay 2=ab 表示的曲线只可能是图中的 [ ]14.已知△一边的两个端点是、，另两边斜率的积是，那么顶点的轨迹方程是 ． ．． ．ABC A(7,0)B(70)C [ ]A x +y =49B +x 49=1C =1D 5y 147=12222---,x 355147514749492222y y x二、 填空题(每道小题 4分 共 8分 )1.已知双曲线的焦距是，则的值等于 ．x k 21+-y 5=18k 22.设双曲线，与恰是直线在轴与轴上的截距，那么双曲线的焦距等于 ．x a 22--y b=1(a >0,b >0)a b 3x +5y 15=0x y 22双曲线的标准方程及其简单的几何性质1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( )A ．双曲线B ．一条直线C ．一条线段D ．两条射线2．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－13．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．双曲线的一支B ．圆C ．抛物线D ．双曲线4．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1 C.x 23－y24＝1 D.y 23－x 24＝15．“ab <0”是“曲线ax 2＋by 2＝1为双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y24＝17．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( )A.x 29－y 27＝1B.x 29－y 27＝1(y >0)C.x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D.x 29－y 27＝1(x >0) 8．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( )A ．16B ．18C ．21D ．26 9．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程是( )A.x 212－y 24＝1B.x 24－y 212＝1 C ．－x 212＋y 24＝1D ．－x 24＋y 212＝110．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1B.y 212－x 224＝1C.y 224－x 212＝1 D.x 224－y 212＝111．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线12．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54xB ．y ＝±45xC ．y ＝±43x D ．y ＝±34x 13．双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2 D.3214．双曲线x 29－y 216＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )A. 3 B ．3 C ．4 D ．2 二、填空题15．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________．16．过双曲线x 23－y 24＝1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________．17．如果椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1的焦点相同，那么a ＝________.18．双曲线x 24＋y 2b ＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________．19．椭圆x24＋y2a2＝1与双曲线x2a2－y2＝1焦点相同，则a＝________.20．双曲线以椭圆x29＋y225＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________．双曲线及其标准方程习题答案一、单选题1. B2. C3. A4. D5. B6. C7. B8. B9. C 10. A 11. C 12. A 13.B 14. D二、填空题1. 10 2. 234双曲线的标准方程及其简单的几何性质（答案）1、[答案] D2、[答案] A [解析]由题意得(1＋k)(1－k)>0，∴(k－1)(k＋1)<0，∴－1<k<1.3、[答案] A [解析]设动圆半径为r，圆心为O，x2＋y2＝1的圆心为O1，圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为O2，由题意得|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，∴|OO2|－|OO1|＝r＋2－r－1＝1<|O1O2|＝4，由双曲线的定义知，动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支．4、[答案] B [解析]由题意知双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，双曲线方程为y2－x23＝1.5、[答案] C [解析]ab<0⇒曲线ax2＋by2＝1是双曲线，曲线ax2＋by2＝1是双曲线⇒ab<0.6、[答案] C [解析]∵c＝5，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，∴4a2＝4c2－4＝16，∴a2＝4，b2＝1.7、[答案] D [解析]由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F1、F2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x29－y27＝1(x>0)8、[答案] D [解析]|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26. 9、[答案] C [解析] ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45，∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2，∴双曲线方程为：y 24－x 212＝1.10、[答案] B [解析] 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，又因为双曲线的焦点在y 轴上， ∴方程可写为y 2－λ－x 2－2λ＝1.又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12. ∴双曲线方程为y 212－x 224＝1.11、[答案] C [解析] ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0.∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2.12、[答案] D [解析] ∵c a ＝53，∴c2a 2＝a 2＋b 2a2＝259，∴b 2a 2＝169，∴b a ＝43，∴a b ＝34. 又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x . 13、[答案] C [解析] 双曲线的两条渐近线互相垂直，则渐近线方程为：y ＝±x ，∴b a ＝1，∴b 2a 2＝c 2－a 2a2＝1，∴c 2＝2a 2，e ＝c a ＝ 2.14、[答案] C[解析] ∵焦点坐标为(±5,0)，渐近线方程为y ＝±43x ，∴一个焦点(5,0)到渐近线y ＝43x 的距离为4.15、[答案] x 273－y 275＝1 [解析] 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)又点M (3,2)、N (－2，－1)在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝14a 2－1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝73b 2＝75.16、[答案] 833 [解析] ∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ＝7，该弦所在直线方程为x ＝7，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833. 17、[答案] 1 [解析] 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1.18、[答案] －12<b <0 [解析] ∵b <0，∴离心率e ＝4－b 2∈(1,2)，∴－12<b <0.19、[答案] 62 [解析] 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62.焦点为(0，±4)，离心率e ＝c a ＝45，∴双曲线的离心率e 1＝2e ＝85，∴c 1a 1＝4a 1＝85，∴a 1＝52，∴b 21＝c 21－a 21＝16－254＝394，∴双曲线的方程为y 2254－x 2394＝1.20、[答案]y2254－x2394＝1 [解析]椭圆x29＋y225＝1中，a＝5，b＝3，c2＝16，。
高二数学双曲线试题答案及解析
高二数学双曲线试题答案及解析1.双曲线的渐近线方程是A．B．C．D．【答案】A【解析】因为双曲线的方程为，令，所以渐近线方程是.【考点】双曲线的渐近线方程.2.双曲线的虚轴长等于( )A．B．-2t C．D．4【答案】C【解析】由于双曲线，所以其虚轴长,故选C．【考点】双曲线的标准方程．3.在平面直角坐标系中，已知中心在坐标原点的双曲线经过点，且它的右焦点与抛物线的焦点相同，则该双曲线的标准方程为．【答案】．【解析】由于抛物线的焦点坐标为：，由已知得：双曲线Ｃ的右焦点Ｆ的坐标为，又因为双曲线Ｃ的中心在坐标原点，所以可设所求双曲线Ｃ的方程为：且，从而有：，故设所求双曲线Ｃ的方程为：．【考点】双曲线．4.已知、是双曲线（，）的左右两个焦点，过点作垂直于轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B是锐【解析】根据题意，易得，由题设条件可知为等腰三角形，2角三角形，只要为锐角，即即可；所以有，即解出故选B【考点】双曲线的简单性质5.设P是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于（）A．2B．18C．2或18D．16【答案】C【解析】整理准线方程得，∴，a=4，∴=2a=8或=2a=8，∴=2或18，故选C．.【考点】双曲线的简单性质；双曲线的应用．6.双曲线的渐近线方程为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】令,解得【考点】双曲线渐近线的求法.7.如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。
（1）求轨迹的方程；（2）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。
【答案】（1）（2）【解析】（1）求动点轨迹方程，一般有四步.第一步，设所求动点的坐标，第二步，将条件转化为坐标表示，本题，两边取正切，转化为斜率关系，第三步，化简关系式为常见方程形式，第四步，根据方程表示图像，去掉不满足的部分.（2）研究取值范围，首先将表示为函数关系式.因为等于,所以先求出，从而有，利用直线与双曲线有两个交点这一限制条件，得到m>1,且m2，这作为所求函数定义域，求出值域即为的取值范围是试题解析：解（1）设M的坐标为（x,y），显然有x>0,.当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，, ±3）当∠MBA≠90°时；x≠2.由∠MBA=2∠MAB,有tan∠MBA=,即化简得：3x2-y2-3=0,而又经过（2，,±3）综上可知，轨迹C 的方程为3x2-y2-3=0（x>1） 5分 (2)由方程消去y ，可得。
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二、典型例题选讲（一）考查双曲线的概念分别是双曲线的左、右焦点•若 | PF i | 3，则 |PF 2 |(B . 6C . 7分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出| PF 2 |的值.Q| PF 1 | 3,|PF 2| 0, |PF 2 | 7.故选C .归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法.（二）基本量求解则双曲线的离心率为（B . 5设P 是双曲线2x~2a2—1上一点，双曲线的一条渐近线方程为9 3x 2 y 0，F 1、F 22x解析：双曲线—a2yb 21的一条渐近线为 ybx ，由方程组 a— xa ，消去 y ,得 x 2 1x 2bx 1 a0有唯一解，所以△K 所以—a.5，故选D .D . 9a 的值，利用双曲线的定义求出2x解： 双曲线Va2才1渐近线方程为y=3 x ，由已知渐近线为3x 2y 0 ,aa 2, ||PF 1|| PF 21| 4 , |PF 2| 4 |PF i |.例2（2009山东理）设双曲线 2x~2 a2与 1的一条渐近线与抛物线b 21只有一个公共点,C .归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解. 本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能.因此选c.合思想的应用.（三）求曲线的方程切,2 x 例3 （2009全国I理）设双曲线2a则该双曲线的离心率等于（）2yb21 （a>0, b>0）的渐近线与抛物线y=x2+1 相B.2C. 5y o解析：设切点P（X o,y o），则切线的斜率为y |x X0 2x o •由题意有y。
X02X0 .又有2 2bx1，联立两式解得：x01, 2, ea(b)2a .5 •2 x 例4 （2009江西）设F-i和F2为双曲线一2a 2 yb21(a 0,b 0）的两个焦点, % F2 , P（0,2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（B.解析：由tan6c2bf 有3c2 4b2 4(c2a2)，则e 2，故选B.归纳小结：注意等边三角形及双曲线的几何特征, 从而得出tanc '一32b 3，体现数形结D. 32 2(1) 求双曲线C 的方程；(2) 已知直线x y m 0与双曲线 C 交于不同的两点 A , B ,且线段 AB 的中点在圆2 2x y 5上，求m 的值.(2)设A 、B 两点的坐标分别为x i , y 1 , x 2,y 2，线段AB 的中点为Mx 0,y 0 ,另解：设A 、B 两点的坐标分别为 x 1,y 1 , x 2,y 2，线段AB 的中点为M x 0,y 0 ,联立，再由中点坐标公式及点在圆上求出m 的值.2a解：(1)由题意，得c 3 解得 a 1,c/3.c ‘3a2.2 2 2几••• b c a 2,•••所求双曲线C 的方程为x 212分析: 1 )由已知条件列出 a,b,c 的关系，求出双曲线 例5 (2009，北京)已知双曲线C ：b 21(a 0,b 0)的离心率为.3，右准线方程C 的方程；(2)将直线与双曲线方程2由x2y1 2得x 222mx m 2 0 (判别式x y m…x 0 x 1 %2m,y 。
x 0 m 2m ,•••点 Mx 0, y ° 在圆x 2y 2 5上,2• m 2m 2 5 ,• m 1.0),2111 ③2X i由2X 2由直线的斜率为1, X ) 霸竺』。
工学 代入上式，得y 0 2x 0.又M(y o ,x 。
)在圆上，得y 。
2 X 02 5，又M(y o ,x 。
)在直线上，可求得 m 的值. 归纳小结：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识， 考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力.2 2例6过M (1,1)的直线交双曲线 —'1于A, B 两点，若M 为弦AB 的中点，求直线42AB 的方程.分析：求过定点M 的直线方程，只需要求出它的斜率•为此可设其斜率是 k ，利用M 为弦AB 的中点，即可求得 k 的值，由此写出直线 AB 的方程•也可设出弦的两端点坐标用“点差法” 求解.解法一：显然直线AB 不垂直于X 轴，设其斜率是 k ,则方程为y 1 k (X 1) •2 2X _ y_ 1由 42 消去 y 得(1 2k 2)x 24k(1 k)x 2k 2 4k 6 0 ①y 1 k(x 1)设Agy), B(X _, y _)，由于M 为弦AB 的中点， 所以x ^空兽1 k 1 •21 2k2 21 显然，当k时方程①的判别式大于零.21所以直线AB 的方程为y 1-(x 1)，即x 2y 10 •解法二：设 A(X 1,yJ, B(X _, y _)，则2 2X _y_ 421X2)(X1 X2)尹y2)(y1 y2)2 2y 20.，两式相减得(为2 X12 y1又因为 X i X 22, y i y 2，所以 X i X 2 2(y i y ?).若 X i X 2,则 y i y ，由 X i X 2 2, y i y则点A B 都不在双曲线上，与题设矛盾，所以 X iX 2.所以k 7丄.X i X 2 2i所以直线AB 的方程为y i （X i ），即X 2y i 0 .经检验直线X 2y i 0符合题意，故所求直线为 X 2y i 0 .解法三：设 A ( X , y ），由于A 、B 关于点M （i , i ）对称， 所以B 的坐标为（2 x,2 y ）,£2y i, (2 y)2则4(2-X ) 2消去平方项，得X 2y ii.0 .④4 2即点A 的坐标满足方程④，同理点 B 的坐标也满足方程④.故直线AB 的方程为X 2y i 0 .归纳总结：由于双曲线（抛物线）不是“封闭”的曲线，以定点为中点的弦不一定存在，所以 在求双曲线（抛物线）中点弦方程时，必须判断满足条件的直线是否存在.（四）轨迹问题焦点，过R 作右准线的垂线，垂足为A ,连接F 2A 并延长交y 轴于F 2.求线段P i F 2的中点P 的 轨迹E 的方程.分析：求轨迹问题有多种方法，如相关点法等，本题注意到点P 是线段P F 2的中点，可利2 得 X i X 2 i , y i y i .已知点R （X Q , y o ）为双曲线X 28b 2F 2为双曲线的右i （ b 为正常数）上任一点,用相关点法.解：由已知得F2（3b,0）, A（8b, y0），则直线F2A的方程为：y 3y0（x 3b）.3 b9y o，即巳（0,9y。
）.X o设P( X,y)，2y o 9y o5y oX o 即y o 2Xy代入52X o8b22y ob T1 得:竺8b2即P的轨迹E的方程为2X2b22丄125b(X R)归纳小结：将几何特征转化为代数关系是解析几何常用方法. （五）突出几何性质的考查2 2X V例8（ 2oo6江西）P是双曲线9 16 1的右支上一点,M , N分别是圆（X和（X 5）2 y2 1上的点，贝U |PM | | PN |的最大值为（）A.6B.7C.8D.9解析：双曲线的两个焦点Fd 5,o）与F2（5,o）恰好是两圆的圆心，欲使|PM 最大，当且仅当|PM |最大且|PN |最小，由平面几何性质知，点M在线段PF12 25） y 4 | |PN|的值的延长线上，点N是线段PF2与圆的交点时所求的值最大2) (PF ? 1) PF 」|PF 2 3 9 •因此选 D .(1)求该双曲线的方程;MA 、MB 转化为其它线段，再利用不等式的性质求解.1 (a 0,b0)，设c y 2 b 2，由准线方程为a 1,c ・、5.从而b 2, 该双曲线的方程为 x 2例9( 2009重庆)已知以原点 O 为中心的双曲线的一条准线方程为x 5 ,离心率e . 5 .5 此时 | PM | | PN | (PF i(2)如图，点A 的坐标为(. 5,0) , B 是圆 x 2 (y Z5)21上的点，点M 在双曲线右(1 )由题意可知，双曲线的焦点在X 轴上，故可设双曲线的方程为解得支上，求|MA | |MB 的最小值，并求此时 M 点的坐标•分析：(1 )比较基础，利用所给条件可求得双曲线的方程;(2 )利用双曲线的定义将（2）设点D 的坐标为（.5,0），则点A 、D 为双曲线的焦点,则 |MA| |MD | 2a 2.因为B 是圆x （y .5） 1上的点， 其圆心为C （0,「5），半径为1, 故 |BD|》|CD| 1,10 1,从而 |MA | |MB |> 2 |BD |>、10 1 • 当M , B 在线段CD 上时取等号，此时| MA | | MB |的最小值为、10 1 •Q 直线CD 的方程为y x . 5，因点M 在双曲线右支上，故 x 0•所以M 点的坐标为（二^!辽丄1）•33归纳小结：本题综合考查双曲线的知识及不等式性质，考查推理能力及数形结合思想.所以 |MA | |MB | 2 |MB || MD |> 2 | BD | •由方程组4x 2y「5 4 234.5 4.2 3D。