北京市人大附中2019届高三数学4月月考试题文(含解析)
北京市人大附中2019届高三高考信息卷(一)理科数学试题含答案解析
北京市人大附中2019届高考信息卷(一)理科数学试题一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若集合，或，则A. 或B. 或C. D.【答案】B【解析】【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【详解】∵，或则A∪B= 或，故选：B．【点睛】本题主要考查集合的并集运算，利用好数轴是解题的关键，比较基础．2.已知，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：取，利用排除法，逐一排除即可的结果.详解：因为时，, , ,所以可排除选项，故选D.点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.3.关于函数,下列说法错误的是A. 是奇函数B. 不是的极值点C. 在上有且仅有3个零点D. 的值域是【答案】C【解析】分析：利用函数的奇偶性、极值、零点、值域分析每一个选项得解.详解：对于选项A,f(-x)=sin(-x)+xcos(-x)=-sinx+xcosx=-(sinx-xcosx)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数，所以选项A 是正确的.对于选项B,，可以得到函数f(x)在是增函数，在也是增函数，所以0不是函数的极值点，所以选项B正确.对于选项C,由于函数在是增函数，在是增函数，且f(0)=0,所以函数在上有且仅有1个零点，所以选项C错误.对于选项D,当x时，当x时，所以函数的值域为R，所以选项D正确.故选C.点睛：本题主要考查函数的奇偶性、极值、单调性和值域，意在考查函数的基础知识，属于基础题. 4.向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线,则实数A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图中可知，即可得到答案。
北京市人大附中2019届高三高考信息卷(一)理科数学试题精编含解析
9 月 2 日 5:42
3 月 22
日
6:15
6 月 22
日
4:46
9 月 20
日
5:59
日期
升旗时 刻
10 月 8 日
6:17
10 月 26 6:36
日
11 月 13 6:56
日
12 月 1 日
7:16
12 月 20
日
7:31
表 2：某年 2 月部分日期的天安门广场升旗时刻表
日期
升旗时 日期
刻
升旗时 日期
的单调递增区间；（Ⅱ）由
，根据正弦定理可得
（ ），即可得到 f(x) ，
再根据三角形的性质以及二倍角的余弦公式可得
得
，进而利用正弦函数的单调性可得 的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）由题知
.
由
（ ），
解得
.
所以 单调递增区间为
（ ）.
（Ⅱ）依题意，由正弦定理，
.
因为在三角形中
，所以
即
，求出 . 从而可
当
刻
升旗时 刻
2月1 日
7:23
2 月 11 7:13
日
2 月 21 6:59
日
2月3 日
7:22
2 月 13
日
7:11
2 月 23
三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15.已知函数
.
（1）求 的单调递增区间；
（2）在
中, 为角 的对边，且满足
，且
，求 的取值范围.
【答案】（Ⅰ） 【解析】
（ ）（Ⅱ）
.
试题分析：（Ⅰ）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式化简函数
北京市人大附中近年届高考数学信息卷(二)文(含解析)(最新整理)
A。 立方丈
B. 立方丈
【详解】根据程序框图，第一次运算：
；第二次运算:
；第三次运算:
；
第四次运算：
;此时结束循环输出 ，即 。
易知点 在圆
内部，且与圆心的距离为 2，由圆的性质可得,当直线与过点
的直径垂直时,所得弦长最小.此时弦长为
。
【点睛】本题主要考查程序框图的识别和圆的弦长求解，过圆内一点的直线被圆所截得的最长
5
北京市人大附中 2019 届高考数学信息卷（二）文（含解析）
弦是圆的直径,最短弦是与该直径垂直的弦。
6.已知数列 和 的前 项和分别为 和 ，且 ，
，
，若对任意的
, 恒成立，则 的最小值为( ）
A。
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据和项与通项关系得数列 递推关系式，根据等差数列定义以及通项公式得 再根据裂
项相消法求 ，最后根据 最值得结果.
【详解】因为
C. 立方丈
【答案】C
【解析】
【分析】
利用三视图还原为几何体,对几何体切割求解。
【详解】根据三视图还原为几何体，如图，
D。 立方丈
把几何体切割，如图，
4
北京市人大附中 2019 届高考数学信息卷（二）文（含解析）
由图可知几何体是由一个三棱柱和两个四棱锥组成的，结合三视图中的数据可得
北京市人大附中2019年高考文科数学练习卷(2019.5.14)
Tn，求证：
1 6
≤Tn＜
3 8.
16.（本小题满分 13 分）
的内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、b、c，且满足
．
Ⅰ 求 的值；
Ⅱ若
外接圆半径为 3，
，求
的面积．
17．（本小题满分 13 分）
已知如图， 长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB BC 4 ， BB1 2 2 ，点 E ， F ，M 分别为 C1D1， A1D1 ， B1C1 的中点，过点 M 的平面 与平面 DEF 平行，且与长方体的面相交，交线围成一个几 何图形 .
11.若角 的顶点与原点重合， 始边与 x π)
4
12.己知点 P 在直线 x+2y-l =0 上，点 Q 在直线 x+2y+3=0，PQ 的中点为 M（ x0，y0），且-1≤y0-x0≤７， 则 的取值范围是 ______．
x2 y2 13.椭圆 C : a2 b2 1 的右焦点为 F 1,0 ，左顶点为 A ，线段 AF 的中点为 B ，圆 F 过点 B ，
北京市人大附中 2019 年高考文科数学练习卷（ 2019.5.14）
注意事项： 1 ．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。用 2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3 ．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改 动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4 ．考生必须保持答题卡整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期月考(二)数学理试卷
北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期理科月考（二）数学试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共8小题）1.函数的值域为A. B.RC. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数在定义域上是单调增函数，且满足，判断的值域为R．【详解】解：函数在定义域上是单调增函数，且满足，的值域为R．故选：B．【点睛】本题考查了基本初等函数的单调性与值域应用问题，是基础题．2.若集合，，则是A. B.C. 或D.【答案】C【解析】【分析】化简A，B再根据并集的定义即可求出．【详解】解：由于，即，解得，，由，即，解得或，或，，或，故选：C．【点睛】本题考查集合的并集的运算，解题时要认真审题，熟练掌握并集的概念和运算法则．3.已知是定义在R上的偶函数且以2为周期，则“为上的增函数”是“为上的减函数”的A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【答案】C【解析】【分析】由题意，可由函数的性质得出在上是减函数，再由函数的周期性即可得出为上的减函数，由此证明充分性，再由为上的减函数结合周期性即可得出为上是减函数，再由函数是偶函数即可得出为上的增函数，由此证明必要性，即可得出正确选项【详解】解：是定义在R上的偶函数，若为上的增函数，则为上是减函数，又是定义在R上的以2为周期的函数，且与相差两个周期，两区间上的单调性一致，所以可以得出为上的减函数，故充分性成立．若为上的减函数，同样由函数周期性可得出为上是减函数，再由函数是偶函数可得出为上的增函数，故必要性成立．综上，“为上的增函数”是“为上的减函数”的充要条件．故选：C．【点睛】本题考查充分性与必要性的判断，解题的关键是理解充分性与必要性证明的方向，即由哪个条件到哪个条件的证明是充分性，那个方向是必要性，初学者易搞不清证明的方向导致表述上出现逻辑错误.4.设函数一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A选项函数的极大值不一定是函数的最大值，所以错；对于B中的是将的图像关于Y轴对称，所以是其极大值点；对于C中的是将的图像关X轴对称，所以才是其极小值点；而对于D中的是将的图像关原点对称，故是其极小值点，故正确.【考点定位】本题主要考查学生对于函数极值与最值关系及函数图像的变换，牢记几种常见变换.属于难度较大的题目.5.设集合，或. 若，则正实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】作出不等式或表示的区域，可知要想满足,须满足x<0时，,所以6.设，，均为实数，且，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意将，，分别看做是两个函数图象交点的横坐标，故画出函数的图象，利用数形结合进行判断即可．【详解】由题意得，，，分别是函数与图象的交点横坐标．在同一坐标系内作出函数的图象，如图所示，由图可得．故选A．【点睛】本题考查函数图象的应用，即结合函数的图象比较大小，解题的关键是根据题意得到，，的几何意义，然后利用数形结合求解，体现了函数图象在解题中的应用．7.若是的最小值，则的取值范围为（）.A. [-1,2]B. [-1，0]C. [1，2]D.【答案】D【解析】由于当时，在时取得最小值，由题意当时，应该是递减的，则，此时最小值为，因此，解得，选D．8.据统计某超市两种蔬菜连续天价格分别为和，令，若中元素个数大于，则称蔬菜在这天的价格低于蔬菜的价格，记作：，现有三种蔬菜，下列说法正确的是A. 若，，则B. 若，同时不成立，则不成立C.，可同时不成立D.，可同时成立【答案】C【解析】特例法：例如蔬菜连续天价格为，蔬菜连续天价格分别为时，，同时不成立，故选C.点睛：本题主要考查了“新定义”问题，属于中档题.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.在该题中，可以采取特例法，直接根据定义得到结果.二、填空题（本大题共6小题）9.定积分______．【答案】【解析】【分析】直接利用牛顿莱布尼兹公式计算定积分即可．【详解】解：由定积分公式可得，故答案为：．【点睛】本题考查定积分的计算，解决本题的关键在于寻找被积函数的原函数，属于基础题．10.若，，，则a，b，c按从大到小的顺序排列依次为______．【答案】【解析】【分析】可看出，从而比较出a，b，c的大小．【详解】解：，，；．故答案为：．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，根据单调性比较数的大小的方法．11.在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则.【答案】【解析】曲线过点，则①，又，所以②，由①②解得所以．【考点】导数与切线斜率．【此处有视频，请去附件查看】12.某食品的保鲜时间（单位：时间）与储存温度（单位：℃）满足函数关系，（为自然对数的底数，，为常数）．若食品在℃的保险时间设计小时，在℃的保险时间是小时，该食品在℃的保鲜时间是__________小时．【答案】【解析】分析：利用该食品在℃的保险时间设计小时，在℃的保险时间是小时，可得，解得，进而可得结果.详解：∵某食品的保鲜时间（单位：时间）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（，是常数）．该食品在℃的保险时间设计小时，在℃的保险时间是小时，∴，解得，∴，∴该食品在℃的保鲜时间．故答案为．点睛：本题主要考查指数函数模型解决实际问题，属于中档题.解答本题的关键是利用待定系数法求得，从而使问题得以解决.13.若不等式对于一切恒成立，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】分离参数a，得，只需求在的最小值【详解】解：，，在的最小值为，实数a的取值范围为．故答案为．【点睛】此题考查求参数范围，一般用分离参数法，进而求函数的值域．14.已知函数f（x）＝2x，g（x）＝x2＋ax（其中a∈R）.对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x，x2，都有m＞0；1②对于任意的a及任意不相等的实数x，x2，都有n＞0；1③对于任意的a，存在不相等的实数x，x2，使得m＝n；1④对于任意的a，存在不相等的实数x，x2，使得m＝－n.1其中真命题有___________________（写出所有真命题的序号）.【答案】①④【解析】对于①，因为f '（x）＝2x ln2＞0恒成立，故①正确对于②，取a＝－8，即g'（x）＝2x－8，当x1，x2＜4时n＜0，②错误对于③，令f '（x）＝g'（x），即2x ln2＝2x＋a记h（x）＝2x ln2－2x，则h'（x）＝2x（ln2）2－2存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，可知函数h（x）先减后增，有最小值.因此，对任意的a，m＝n不一定成立.③错误对于④，由f '（x）＝－g'（x），即2x ln2＝－2x－a令h（x）＝2x ln2＋2x，则h'（x）＝2x（ln2）2＋2＞0恒成立，即h（x）是单调递增函数，当x→＋∞时，h（x）→＋∞当x→－∞时，h（x）→－∞因此对任意的a，存在y＝a与函数h（x）有交点.④正确考点：本题主要考查函数的性质、函数的单调性、导数的运算等基础知识，考查函数与方程的思想和数形结合的思想，考查分析问题和解决能提的能力.【此处有视频，请去附件查看】三、解答题（本大题共2小题，共30.0分）15.已知函数．当时，求曲线在处的切线方程；讨论函数的单调性；当时，求函数在区间的最小值．【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】当时，，求其导函数，得到，又，可得曲线在处的切线方程为；求出原函数的导函数，分，，三类求函数的单调区间；由知，当时，的减区间为，增区间为，然后分，，三类求函数的最小值．【详解】解：当时，，．，又，曲线在处的切线方程为；．当时，，在上为增函数；当时，在上有，当上，有，的减区间为，增区间为；当时，在上有，当上，有，的减区间为，增区间为；由知，当时，的减区间为，增区间为，若，即时，在单调递增，；若，即，在上单调递减，在上单调递增，；若，即时，在单调递减，．综上，．【点睛】本题考查利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性及最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．16.若函数在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．已知函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；设是定义在上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．【答案】（1）是“局部奇函数”；（2）；（3）.【解析】【分析】运用两角和与差的正弦公式，化简，再由由局部奇函数的定义，即可判断；根据局部奇函数的定义，可得方程在上有解，运用换元法，令，则，求出右边的值域即可；根据“局部奇函数”的定义可知，有解即可设，则，即有方程等价为在时有解，设，由对称轴和区间的关系，列出不等式，解出即可．【详解】解：由于，，则，由于，则，当时，成立，由局部奇函数的定义，可知该函数为“局部奇函数”；根据局部奇函数的定义，时，可化为，因为的定义域为，所以方程在上有解，令，则，设，则，当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，所以时，所以，即．根据“局部奇函数”的定义可知，函数有解即可，即，，即有解即可．设，则，方程等价为在时有解，设，对称轴，若，则，即，，此时，若，要使在时有解，则，即，解得，综上得，【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查方程有解的条件及二次函数的图象和性质的运用，以及指数函数的图象和性质的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．。
北京市人大附中2019届高考信息卷(二)文科数学试题(含答案)
北京市人大附中2019届高考信息卷(二)文科数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
全卷满分150分, 考试用时120分钟。
注意事项：1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。
选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。
非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。
4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知复数z 满足1+34z i i =+（），则复数z 在复平面内表示的点所在的象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.已知01b a <<<，则在b a ，a b ，a a ，b b 中最大值是（ ） A ．a bB ．a aC ．b aD ．b b3.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象向左平移π6个单位后所得图象关于y 轴对称，则()f x 的单调递增区间为（ ） A ．5πππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈ZB ．πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈ZC ．5ππ2π,2π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈ZD ．π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z4．《九章算术》卷五商功中有如下描述：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。
北京市人大附中2019届高考信息卷(一)文科数学试题
中网格纸上小正方形的边长为 1 丈，则该楔体的体积为（单位：立方丈）（
）
A ． 5.5
B． 5
C．6
D． 6.5
5. 从写有电子字体的 “ 2，”“ 0，”“ 1，”“ 9的”四张卡片（其中 “ 2可”作 “ 5用”，“ 9可”作 “ 6用”），随 机抽出两张卡片，则能使得两张卡片的数字之差的绝对值等于 1 的概率为
B. BD1∥平面 EFG 的有且只有②； BD1 平面 EFG 的有且只有① C.. BD1∥ 平面 EFG 的有且只有①； BD1 平面 EFG 的有且只有②
D. BD1∥平面 EFG 的有且只有②； BD1 平面 EFG 的有且只有③
7．已知函数 f x
1 2cos2 x sin 3 2
2sin x cos xcos 2
11.
复数
z 满足
1
z 2i
2 i （ i 为虚数单位），则 z 的模是．
12.程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果 S 1320 ，则判断框中应填入．
北京市人大附中 2019 届高考信息卷 (一)
文科数学试题
注意事项： 1 ．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。用 2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3 ．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改 动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4 ．考生必须保持答题卡整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
北京市人大附中2019届高考数学模拟预测卷四文(含解析)
7.某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项
目只设置一个一等奖．在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队
获奖结果预测如下：
小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；
小王说：“丁团队获得一等奖”；
小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；
小赵说：“甲团队获得一等奖”．
分析：由题意可知直线通过圆的圆心，求出圆心坐标代入直线方程，即可得到 的值.
详解：圆的方程
可化为
，
可得圆的圆心坐标为 ，半径为 ，
因为直线
是圆
的一条对称轴，
所以，圆心 在直线
上，
可得
，即 的值为 ，故选 B.
点睛：本题主要考查圆的一般方程化为标准方程，以及由标准方程求圆心坐标，意在考查学
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A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】 【分析】 利用对数函数、指数函数的单调性直接求解． 【详解】
. 故选：C． 【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个
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实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性， 当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值 的 应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．
C.
D.
【答案】B 【解析】 【分析】 由题意作出可行域，利用直线过定点，结合直线的斜率，求得满足直线 ax-y=0 上存在区域 D 上的点时的 a 的范围．
【详解】解：由不等式组
作出可行域如图，
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北京市人大附中2019届高三高考模拟预测考试一数学试卷(解析版)
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ,求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ；(2) ．【解析】【分析】
（1）由等差数列的通项公式写出 ，由等比中项的定义列式可求得 ，从而得 ；（2）用裂项相消法计算数列 的前 项和．
【详解】（1）由题意可知：a2＝1+d，a3＝1+2d，a4＝1+3d，
详解：（1）证明：(1)取 中点 ,连接 ,
, 为 中点，
又 , 为 中点，
又 ， 面
又 面 ，
(2)(i)取 中点 ,连接 , ,则 ， 即为所作直线 ,
理由如下:
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形的内切圆半径，然后分别计算出内切圆和三角形的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案.
【详解】
如图所示，直角三角形的斜边长为 ，
设内切圆的半径为 ，则 ，解得 .
所以内切圆的面积为 ，
所以豆子落在内切圆外部的概率 ，故选C．
2.设复数 （是虚数单位），则在复平面内，复数 对应 点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
，所以复数 对应的点为 ，故选A.
3.若向量 ， ，则 （ ）
A. B. C.3D.
【答案】D
【解析】
分析】
先求出 的坐标，再求模长即可.
【详解】 则 =
故选D.
【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，模长公式，熟记加减运算性质，准确计算是关键，是基础题.4.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )
北京市人大附中2019届高考数学模拟预测考试一+Word版含解析
北京市人大附中2019届高考数学模拟预测考试一数学试题（文）一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用集合并集的定义求解.【详解】因为，，所以.故答案为：B【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 2.设复数（是虚数单位），则在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以复数对应的点为，故选A.3.若向量，，则（）A. B. C. 3 D.【答案】D【解析】【分析】先求出的坐标，再求模长即可.【详解】则=故选：D.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，模长公式，熟记加减运算性质，准确计算是关键，是基础题.4.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随意投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出直角三角形内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而利用几何概型概率公式得出结论.【详解】直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得，内切圆的面积为，豆子落在其内切圆外部的概率是，故选C.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.5.若函数与的对称轴完全相同，则函数在哪个区间上单调递增（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函数g（x）的对称轴，然后求出ω的值，利用三角函数的单调性进行求解即可．【详解】由2x kπ得x，即函数f（x）的对称轴为x，由ωx kπ得x，则ω＝2，即f（x）＝2sin（2x），由2kπ2x2kπ，k∈Z，得kπx≤kπ，k∈Z，∵x∈[0，π]，∴当k＝0时，x，即0≤x，则函数f（x）在[0，π]上的递增区间是[0，]，故选：A．【点睛】本题主要考查三角函数单调区间的求解，根据函数的对称性求、求出对称轴和ω是解决本题的关键．6.若函数的最小值为，则实数的取值范围为（）A. 或；B. 或；C. 或；D. 或；【答案】D【解析】【分析】先确定单调递减，则转化为在的最小值大于等于f(2)即可.【详解】由题函数单调递减，所以在;则在的最小值大于等于f(2)=1；令t= ，则t≥2在恒成立，即-2≥0恒成立，令g(x)=-2,其对称轴x=,∴或综上解得或故选:D.【点睛】本题考查函数的单调性，二次函数根的分布问题，熟练运用函数单调性，灵活转化为函数-2≥0恒成立是本题关键，是难题.7.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据几何概率的求法：一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【详解】观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为1，面积为4﹣2故飞镖落在阴影区域的概率为1．故选：C．【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率；关键是得到两个正方形的边长．8.已知直线y=2b与双曲线的斜率为正的渐近线交于点A，曲线的左、右焦点分别为,若则双曲线的离心率为（）A. 4或B.C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析】由题意表示出点的坐标，又得到关于离心率的方程即可求出结果【详解】由渐近线方程与直线求出点A的坐标为,过A点作轴于点B，则由已知可得当时，则故舍去，综上故选D【点睛】本题考查了求双曲线的离心率问题，在求解过程中一定依据题目已知条件，将其转化为关于离心率的方程，继而求出结果，本题属于中档题二、填空题共6小题。
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北京市人大附中2019届高三数学4月月考试题文（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】A【解析】【分析】由集合的交集运算直接直接求出答案即可.【详解】解：因为故选：A.【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.）【答案】C【解析】,通分得:,设,时,画出大致图象如下.又内唯一交点,又,也为公切点,为交点3.( )【答案】D【解析】【分析】.故选：D【点睛】本题考查了平面向量平行的坐标表示.4.如图,网格纸上小正方形的边长为若四边形,( )【答案】B【解析】【分析】D处取得最大值，代入点D坐标求出最大值.【详解】解：在图中画出直线D处取得最大值因为点 2故选：B.【点睛】本题考查了简单线性规划问题，属于基础题.5.,那么下列选项中能成立的是( )【答案】A【解析】【分析】将选项BCD一一当做条件，都会得出与题中矛盾的结论，故选项BCD错误，选项A得不出矛盾，选项A正确.【详解】解：不符合题意，选项B错误；C D错误. 故选：A.【点睛】本题考查了空间中线面平行与垂直关系的判定与性质，属于基础题.6.( )B.【答案】B【解析】【分析】先将圆化为标准式，写出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，由垂径定理列方程解出即可.圆心到直线的距离，即故选：B.【点睛】本题考查了直线与圆相交弦长，属于基础题.7.某校高一年级有400名学生,高二年级有360名学生,现用分层抽样的方法在这760名学生中抽取一个样本.已知在高一年级中抽取了60名学生,则在高二年级中应抽取的学生人数为( )【答案】B【解析】【分析】先算出总人数中高二与高一学生人数之比，再由抽取的样本中高二与高一学生人数之比不变求出高二应抽取人数.【详解】解：在总人数中高二与高一学生人数之比为360：400=9:10所以在抽取的样本中高二与高一学生人数之比仍为360：400=9:10因为高一抽取了60人，所以高二应抽取54人故选：B.【点睛】本题考查了分层抽样，属于基础题.8.已知四边形ABCDPA⊥平面ABCD，QC∥PA，且异面直线QD与PA所成的角为30°，则四棱锥Q－ABCD外接球的表面积等于( )【答案】C【解析】【分析】先找到异面直线QD与PA所成的角为∠DQC=30°，求出QC长，再由QC⊥平面ABCD，且四边形ABCD为正方形，所以四棱锥Q－ABCD面积.【详解】解：因为QC∥PA，所以异面直线QD与PA所成的角为∠DQC=30°，因为四边形ABCD所以QC又因为PA⊥平面ABCD，QC∥PA，得QC⊥平面ABCD所以四棱锥Q－ABCD所以外接球的半径为所以四棱锥Q－ABCD外接球的表面积故选：C.【点睛】本题考查了异面直线的夹角，空间几何体的外接球，将本题中四棱锥的外接球转化为长方体外接球可简化本题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9.__________.【答案】【解析】【分析】全称命题否定，为特称命题，结论要否定.【点睛】本题考查全称命题的否定，只否定结论，全称量词变为存在量词.10.________.【答案】【解析】【分析】观察抛物线方程易得抛物线焦点在y轴正半轴，然后写出焦点即可.【详解】解：因为所以抛物线故答案为：【点睛】本题考查了抛物线的方程与焦点，属于基础题.11.甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测试中的成绩分别为：甲组：88,89,90；乙组：87,88,92.如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是________．【答案】【解析】只有当选取的成绩为88,92时不满足题意，由对立事件概率公式可知：这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是12..则称这个数列为“有限和数列”,试写出一个“有限和数列”________.【答案】.【解析】【分析】答案不唯一，列出出一个符合题意的数列即可.故答案为：.【点睛】本题考查了数列前n项和的概念，属于基础题.13.,范围__________。
【答案】【解析】由题意得在上单调递增,所以的性质(2)(3)由(4);求减区间14.某几何体的主视图和俯视图如图所示,在下列图形中,可能是该几何体左视图的图形是________.（写出所有可能的序号）【答案】①②③【解析】分析：根据几何体的主视图和俯视图，在正方体中分别找到符合题意的多面体，即可得结果. 详解：如图三棱锥；；，故答案为①②③.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1（2【答案】（1）1；（2）见解析【解析】【分析】（1（2f(x)的范围，得证.【详解】解：1∵．证明： 2，当时，时，【点睛】本题主要考查了三角函数的变形以及告知x的取值，求三角函数值域的问题，解题的关键是能否把三角函数化简，属于基础题型.16.n（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ），n项和，求出m的值；若不存在，说明理由．【答案】【解析】【分析】（Ⅰ）先设等差数列的公差，再由题中条件，列出等量关系，即可求出结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果，确定求出结果.【详解】解：，，所以，．（Ⅱ）因为假设存在，使得，所以满足题意．【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，熟记通项公式与求和公式即可求解，属于常考题型.17.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）.将统计数据按（1值；（2）20分钟”，概率；（3）假设同组中的每个数据用该组区间左端点值来估计，记在上班高峰时段甲、乙两站各抽取的50系.【答案】（1（2（3【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图小长方形面积之和为1确定a的值即可；（2）由题意，利用频率近似概率值，计算事件A的概率即可；（3.【详解】（1（2）由题意知，该乘客在甲站平均等待时间少于20分钟的频率为：（3【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.18.如图，是平行四边形，.请说明理由.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）的中点时，【解析】【分析】即可得到（Ⅱ）取（Ⅲ）取得出结论.【详解】平面平面.又因为平面（Ⅱ）取中，因为.所以四边形.上存在点平面,中，因为分别是【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，及线面位置关系的应用，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．19.（Ⅰ）当时，求函数的极小值；（Ⅱ）当.【答案】（Ⅱ）详见解析；【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，当（Ⅱ）由，由数的单调区间；（Ⅲ）由（1）和（2）可得出相应的结论，进而得到结论.详解】解：又因为当..当（ⅱ）若，则.故当时，.时，.（Ⅲ）（1所以此时.（2（ⅰ）当.（ⅱ）当时，由（Ⅱ）的单调性结合只需讨论时，.(ⅲ)当.综上所述，.【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.20.两点，点为椭圆(1)求椭圆的离心率及左焦点(2)(3)【答案】（1（2）证明见解析；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1（2（3结合韦达定理和平面向量的数量积运【详解】（1所以离心率（2）由题知，时直线方程为（3时，，，因为．所以，即【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。