人大附中2021届高三数学试卷及答案

人大附中2021届高三数学试卷一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{sin ,0}A x y x x π==<<，{cos 0}A y y x x π==<<，，则A B =（ ）A.{}4πB.}C.{(}4πD. 以上答案都不对2．已知向量(,1)t =a ，(1,2)=b .若⊥a b ，则实数t 的值为（ ）A ．2- B.2 C.12-D.123．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（ ）A.12y x = B.1sin sin y x x=+C.2log y x =D.x x y e e -=-4. 已知抛物线212y x =-的焦点与双曲线2214x y a -=的一个焦点重合，则a =（ ）C.5D.5. 已知3log 6a =，54log b =，若12log a m b >>，m *∈N ，则满足条件的m 可以为（ ）A.18B.14C.12D.16．圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个7. “3a =”是“直线21:+60l ax a y +=和直线2:(2)320l a x ay a -++=平行”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）A. (2)(2)(0)f f f <-<B.(0)(2)(2)f f f <<-C. (2)(0)(2)f f f -<<D.(2)(0)(2)f f f <<-9．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（ ） A ．3 B ．2 C ．52 D ．3210.某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们 还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（ ） A. 每场比赛的第一名得分a 为4 B.甲至少有一场比赛获得第二名 C.乙在四场比赛中没有获得过第二名 D.丙至少有一场比赛获得第三名二、填空题；共5小题，每小题5分，共25分 11．设i 为虚数单位，则11ii-+的虚部为 ． 12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的离心率为 ．13．数列}{n a 的前n 项和为S n ，且111,2,1,2,3,n n a a S n +===.则3=_______;a234+1_______.n a a a a +++⋅⋅⋅+=14. 椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且同时满足：①是等腰三角形； ②是钝角三角形； ③线段12F F 为的腰； ④椭圆上恰好有4个不同的点P . 则椭圆的离心率的取值范围是 ．15.已知集合{}22()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,, .由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论：① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）；2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F P 12F F P ∆12F F P ∆12F F P ∆C C②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3；③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则23CD =+；④白色“水滴”图形的面积是1136π-.其中正确的有 ．三、解答题：共3小题，共35分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. （本小题满分11分）已知2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+.（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅰ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.17. （本小题满分12分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．18. （本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>经过两点2P ，(Q . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅰ）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点F ），求AB EF ⋅的最大值.四、选做题（本小题满分10分）设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数．（Ⅰ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭内的零点，其中n ∈N ，证明20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．人大附中2021届高三数学试卷答案一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{sin ,0}A x y x x π==<<，{cos 0}A y y x x π==<<，，则A B =（ D ）A.{}4πB.}C.{(}4πD. 以上答案都不对2．已知向量(,1)t =a ，(1,2)=b .若⊥a b ，则实数t 的值为（ A ）A ．2- B.2 C.12-D.123．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（ D ）A.12y x = B.1sin sin y x x=+C.2log y x =D.x x y e e -=-4. 已知抛物线212y x =-的焦点与双曲线2214x y a -=的一个焦点重合，则a =（ C ）C.5D.5. 已知3log 6a =，54log b =，若12log a m b >>，m *∈N ，则满足条件的m 可以为（ C ） A.18B.14C.12D.16．圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( C )A.1个B.2个C.3个D.4个7. “3a =”是“直线21:+60l ax a y +=和直线2:(2)320l a x ay a -++=平行”的（ D ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ A ） （A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<- 9．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（ B ） A ．3 B ．2 C ．52 D ．3210.某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们 还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（C ）A. 每场比赛的第一名得分a 为4B.甲至少有一场比赛获得第二名C.乙在四场比赛中没有获得过第二名D.丙至少有一场比赛获得第三名二、填空题；共5小题，每小题5分，共25分 11．设i 为虚数单位，则11ii-+的虚部为 ．-112．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的离心率为 ． （答案：21-5）13．数列}{n a 的前n 项和为S n ，且111,2,1,2,3,n n a a S n +===.则3=_______;a234+1_______.n a a a a +++⋅⋅⋅+= 63 1.n-；14. 椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且同时满足：①是等腰三角形；②是钝角三角形； ③线段12F F 为的腰； ④椭圆上恰好有4个不同的点P .则椭圆的离心率的取值范围是___________.1(,2-1)315.已知集合{}22()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,, .由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论： ① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）； ②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3； ③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则23CD =+；④白色“水滴”图形的面积是1136π-.其中正确的有__________．②④三、解答题：共3小题，共35分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. （本小题满分11分） 设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+.2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F P 12F F P ∆12F F P ∆12F F P ∆C C（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅰ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.解：（Ⅰ）由题意1cos(2)12()sin 222x f x x π++=- x x 2sin 21212sin 21+-= 212sin -=x . …………………………………………2分 由 ππππk x k 223222+≤≤+, 得ππππk x k +≤≤+434(Z k ∈), 所以)(x f 的单调递增区间是]4,4[ππππk k ++-（Z k ∈）. ……………………4分（II ）11()sin 0,sin 222A fA A =-=∴= 由题意A 是锐角，所以 cos 2A =, …………………………………………6分 由余弦定理：A bc c b a cos 2222-+= 2212b c bc=+≥可得32321+=-≤∴bc ，且当c b =时成立. (9)分2sin 4bc A +∴≤,ABC ∆∴面积最大值为432+.………………………11分 17. （本小题满分12分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围． 解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=，即22e()3e 3xx m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立，所以0m =. ……………… 1分此时3()()3h x xf x x x ==-+，则2()33h x x '=-+.由()0h x '=，解得1x =±. ……………… 2分 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以(h 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-上单调递增.………… 4分 所以()h x 有极小值(1)2h -=-，()h x 有极大值(1)2h =. ……………… 5分（Ⅰ）由2()e 30xf x m x =-+=，得23ex x m -=.所以“()f x 在区间[2,4]-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点”. ……………… 6分对函数()g x 求导，得223()exx x g x -++'=. ……………… 7分 由()0g x '=，解得11x =-，23x =. ……………… 8分 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以g 在(2,1)--，上单调递减，在(1,3)-上单调递增. ………… 10分 又因为2(2)e g -=，(1)2e g -=-，36(3)(2)e g g =<-，413(4)(1)e g g =>-， 所以当4132e e m -<<或36e m =时，直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点. 即当4132e em -<<或36e m =时，函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点.…… 12分 18. （本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>经过两点2P ，(Q . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅰ）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点F ），求AB EF ⋅的最大值.18.解：（Ⅰ）因为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>过点(1,2P ，(Q ，所以22111,2a a b⎧=⎪⎨+=⎪⎩得1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C 的标准方程为2212x y +=．……………………………4分 （Ⅰ）由题易知直线l 的斜率不为0，设l ：1x ty =+，由221,1,2x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210t y ty ++-=，显然0∆>.设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122221,22t y y y y t t --+==++.……5分又12AB y =-===………………………7分以FP为直径的圆的圆心坐标为(1,4，半径为4r =， 故圆心到直线l的距离为d ==所以EF ===分所以AB EF ⋅=== 因为211≥t +，所以221(1)21≥t t +++，即221114(1)21≤t t ++++．所以1≤AB FE ⋅=．…………………………………11分当0t =时，直线与椭圆有交点，满足题意，且1AB FE ⋅=， 所以AB FE ⋅的最大值为1．………………………………12分四、选做题（本小题满分10分）设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数．（Ⅰ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭内的零点，其中n ∈N ，证明20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．（Ⅰ）证明：记()()()2h x f x g x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭．依题意有()e (cos sin )x g x x x =-，从而()2e sin x g'x x =-．当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0()g'x <，故()()()()(1)()022h'x f 'x g'x x g x g'x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．………………….2分因此，()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫≥== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭．…….……………………….4分（Ⅱ）证明：依题意，()()10n n u x f x =-=，即cos e 1n x n x =．记2n n y x n =-π，则,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()()()22e cos e cos 2e n n y x n n n n n f y y x n n π--π==-π=∈N ．因为()()20e 1n n f y f y -π==≤及（Ⅰ），所以0n y y ≥． (6)分由（I ）知当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数， 因此()()004n g y g y g π⎛⎫≤<= ⎪⎝⎭． 又由（I ）知，()()02n n n f y g y y π⎛⎫+-≥⎪⎝⎭， ………………………………….8分 故()()()()()022********s e e e e e in cos sin cos n n n n n n y n n f y y g y g y g y y y x x -π-π-π-ππ--=-≤-=--≤<． 所以，20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．…………………………………………….10分。