双曲线-题型归纳-含答案
双曲线常见题型归纳
数学
HONG DIANJ IE XI
⊙ 湖 北大 学附 属中 学 章雄 钢 ⊙ 武 汉市 东湖 中学 卢 昕
题型一 运用双曲线的定义 例 1 某中心接到其 正东、正西、正北方向三个观 测点 的报告 ：正 西、正北 两个观测 点同时 听到了 一声 巨 响，正 东观 测点 听到 的 时间 比其 它两 个观 测点 晚 4s. 已知 各观测点 到该中 心的距离 都是 1 02 0m. 试确 定 该巨 响发 生的位 置（. 假 定当 时声音 传播 的速 度为 34 0m/s，相关各点均在同一平面上.） 解析 如图，以接报中心为原点 O ，正东、正北方 向为 x 轴、y 轴 正向，建立 直角坐标 系.设 A , B, C 分 别是 西、东 、北观测 点，则 A ( - 1 02 0, 0 ) ，B(1 02 0, 0) ， C(0 , 1 02 0).
线方程.
题型五 直线与双曲线的位置关系
例5
x2 （1）过点 P ( 7, 5 ) 与 双曲线 -
2
y =1有
7 25
且 只 有 一 个 公 共 点 的 直 线 有 几 条 ，求 出 它 们 的 方 程 ；
（2）直 线
y = kx + 1 与 双曲 线 3x 2 -
2
y
=
1
相交 于
A , B 两点，当 a 为 何值时 ，A, B 在 双曲 线的 同一 支
近 代 物 理 学 之 父 、近 代 科 学 之 父 、实 验 物 理 学 之 父 —— 伽 利 略·伽 利 雷
Z 数学
重点解析
HO NGDI ANJ I EXI
右焦 点 分 别为 F 1, F 2 ，点 P 在 双 曲线 的 右 支上 ，且
双曲线习题(含答案)
课后训练1．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1，F 是其右焦点，过F 的直线l 只与双曲线的右支有惟一的交点，则直线l 的斜率等于( )．A ．1B ．－1C ．±1D ．±2 2．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )．A ．B ．C 2D 23．双曲线22163xy-=的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )．A ．B ．2C ．3D ．64．设F 1、F 2分别是双曲线2219yx -=的左、右焦点．若P 在双曲线上，且120PF PF ⋅=，则12PF PF +等于( )．A ．B ．C ． D5．双曲线x 2－y 2＝1左支上一点P(a ，b )到直线y ＝x a ＋b ＝________.6．过点A(6,1)作直线l 与双曲线221164xy-=相交于两点B 、C ，且A 为线段BC 的中点．则直线l 的方程为________．7．如图，已知F 1、F 2为双曲线22221x y ab-= (a ＞0，b ＞0)的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P 且∠PF 1F 2＝30°，求双曲线的渐近线方程．8．已知双曲线2213xymm-=的一个焦点为(2,0)．(1)求双曲线的实轴长和虚轴长；(2)若已知M(4,0)，点N(x ，y )是双曲线上的任意一点，求|MN|的最小值．设直线l ：y ＝ax ＋1与双曲线C ：3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)a 为何值时，以AB 为直径的圆过原点？(2)是否存在实数a ，使O A O B =且OA OB + ＝λ(2,1)?若存在，求a 的值，若不存在，说明理由．参考答案1. 答案：C解析：由题意知l 与渐近线平行，∴k l ＝b a±＝±1.2. 答案：D解析：∵双曲线一条渐近线过点(4，－2)，∴12b a =⇒2214b a=⇒22214c a a-=⇒2254c a=⇒2e =.3. 答案：A解析：双曲线的渐近线方程为2y x =±，圆心坐标为(3,0)，由点到直线的距离公式和渐近线与圆相切可得，圆心到渐近线的距离等于r ，即r.4. 答案：C解析：由题意，可知双曲线两焦点的坐标分别为F 1(0)、F 20)．设点P(x ，y )，则1P F ＝(x ，－y )，2PF ＝x ，－y )，∵120PF PF ⋅=，∴x 2＋y 2－10＝0，即x 2＋y 2＝10.∴||21PF PF +.5. 答案：12-解析：由题意知：双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，又P(a ，b )在左支上，∴a ＜b .又P(a ，b )到直线y ＝x，=⇒|a －b |＝2即a －b ＝－2.又P(a ，b )在双曲线上，∴a 2－b 2＝1. ∴(a ＋b )(a －b )＝1，∴a ＋b ＝12-.6. 答案：3x －2y －16＝0解析：设B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，则有2211222211641164x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩⇒12121212()()()()164x x x x y y y y +--+-＝0又A 为BC 的中点，∴x 1＋x 2＝12，y 1＋y 2＝2 ∴123()4x x -＝122y y -⇒k BC ＝121232y y x x -=-∴直线l 的方程为：y －1＝32(x －6)，即3x －2y －16＝0.7. 解：设F 2(c ,0)(c ＞0)，P(c ，y 0)，则220221y c ab-=，解得20by a=±.∴|PF 2|＝2ba.在Rt △PF 2F 1中，∠PF 1F 2＝30°，则|F 1F 2||PF 2|，即2c2ba，将c2＝a 2＋b 2代入，解得b 2＝2a 2，故b a =∴双曲线的渐近线方程为y =. 8. 解：(1)由题意可知，m ＋3m ＝4，∴m ＝1. ∴双曲线方程为2213yx -=.∴双曲线实轴长为2，虚轴长为(2)由2213yx -=，得y 2＝3x 2－3，∴|MN|＝.又∵x ≤－1或x ≥1， ∴当x ＝1时，|MN|取得最小值3.解：(1)由22131y ax x y =+⎧⎨-=⎩， 消去y 整理得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0. 依题意得3－a 2≠0，Δ＝4a 2＋8(3－a 2)＞0， ∴a 2＜6且a 2≠3，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由根与系数的关系 得x 1＋x 2＝223a a-，x 1x 2＝223a -，又以AB 为直径的圆过原点， 即x 1·x 2＋y 1·y 2＝0， (a 2＋1)x 1·x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0， ∴a ＝±1.(2)假设存在实数a 满足条件． ∵1212y y a x x -=-，OA OB +＝λ(2,1)，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝λ(2,1)，121212y y x x +=+.又O A O B = ，故22221122x y x y +=+，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 所以12121212y y x x x x y y -+=--+，∴a ＝－2.故存在实数a ＝－2满足题意．。
秒杀题型 双曲线的渐近线(双曲线)(详细解析版)
秒杀题型一：由双曲线的方程求渐近线:
秒杀思路： 已知双曲线方程求渐近线方程: ;
若焦点在x轴上，渐近线为 ；
若焦点在y轴上，渐近线为 。
1.(高考题)双曲线 的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
【解析】：选C。
2.(2013年新课标全国卷 4)已知双曲线 : ( )的离心率为 ,则 的渐近线方程为( )
12.(2018年新课标全国卷I11)已知双曲线 , 为坐标原点, 为 的右焦点,过 的直线
与 的两条渐近线的交点分别为 .若 为直角三角形,则 = ( )
A. B.3C. D.4
【解析】：渐近线方程为 ，∵ 为直角三角形，假设 ， ,
∴ ，∴ ，选B。
13.(2018年新课标全国卷 11)设 是双曲线 的左，右焦点， 是坐标原
A. B. C. D.
【解析】：由上题，选C。
7.(2009年新课标全国卷4)双曲线 - =1的焦点到渐近线的距离为( )
A. B.2 C. D.1
【解析】：由秒杀公式得 ，选A。
8.(2014年新课标全国卷I4)已知 是双曲线 : 的一个焦点,则点 到 的一条渐近线的距离为( )
A. B.3 C. D.
【解析】：由秒杀公式得 ，选A。
9.(高考题)已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线
的距离等于( )
A. B. C.3 D.5
【解析】：抛物线与双曲线的焦点为 ，则b= ，所以双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 ，选
A。
10.(2018年江苏卷)在平面直角坐标系 中，若双曲线 的右焦点 到一条渐近线的距离为 ，则其离心率的值是．
秒杀思路： 。
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x2 y2 9 已知 F1、F2 分别为双曲线 C: - =1 的左、右焦点，点 A∈C，点 M 的坐标为(2，0)，
9 27
AM 为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2| = .
10 已知 F1 、 F2 为双曲线 C : x2 y2 2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，| PF1 | 2 | PF2 | ，
A.3 B.2 C. 3 D. 2
6 设圆锥曲线 I’的两个焦点分别为 F1，F2，若曲线 I’上存在点 P 满足 PF1 ：
F1F2 ： PF2 = 4:3:2，则曲线 I’的离心率等于
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C. 1 或2 2
D. 2 或 3 32
7． 设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐
y2 b2
1
(a>0,b>0)的两个焦点.若在 C 上存在一点 P.使
PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为___________. 5 如图，中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N 是双曲线的两顶点。若 M，O，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是
（ ）
4
过双曲线
C：x a
2 2
y2 a2
1（a） 0,b 0
的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交 C 于
点 P .若点 P 的横坐标为 2a ,则 C 的离心率为
.
66 已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的一条渐近线平行于直线 l :
y
2x 10, 双曲线的
打印双曲线基础训练题(含答案)
双曲线基础训练题（一）1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ D ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2．方程11122=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（D ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3． 双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是（ C ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关4．已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程m x －y+n=0与n x 2+my 2=mn 所表示的 曲线可能是 （ C ）5．焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ B ）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x6．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-by a x 有 （ D ）A ．相同的虚轴B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ． 相同的焦点7．过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ A ）A ．28B ．22C ．14D ．128．双曲线方程为152||22=-+-ky k x ，那么k 的取值范围是 （ D ）A ．k ＞5B ．2＜k ＜5C ．－2＜k ＜2D ．－2＜k ＜2或k ＞59．双曲线的渐近线方程是y=±2x ，那么双曲线方程是（ D ）A ．x 2－4y 2=1 B ．x 2－4y 2＝1 C ．4x 2－y 2=－1 D ．4x 2－y 2=110．设P 是双曲线19222=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF（C ）A ．1或5B ． 6C ． 7D ． 911．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则双曲线的离心率e 的最大值为 （ B ）A ．43B ．53C ．2D ．7312．设c 、e 分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线12222=-by a x (a>0, b>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离是 （ D ）A ．caB ．c bC ．ea D ．eb 13．双曲线)1(122>=-n y nx 的两焦点为F 1，F 2，P 在双曲线上，且满足|PF 1|+|PF 2|=,22+n 则△PF 1F 2的面积为 （ B ）A ．21 B ．1 C ．2 D ．414．二次曲线1422=+my x ，]1,2[--∈m 时，该曲线的离心率e 的取值范围是（ C ）A ．]23,22[B ．]25,23[C ．]26,25[D ．]26,23[15．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =_____6416．设双曲线12222=-by a x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若以AB 为直径的圆恰好过F17．双曲线122=-by ax 的离心率为5，则a :b= 4或4118．求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．（12分）[解析]：设双曲线方程为：λ=-22169y x ，∵双曲线有一个焦点为（4，0），0>∴λ双曲线方程化为：2548161691169222=⇒=+⇒=-λλλλλy x ，∴双曲线方程为：1251442525622=-y x ∴455164==e ．19．(本题12分)已知双曲线12222=-b y a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23求双曲线的方程； [解析]∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-by a x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b c ab b a ab d .故所求双曲线方程为 .1322=-y x双曲线基础练习题（二）一. 选择题1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0),(4,0)-，则双曲线的方程是A. 221412x y -=B. 221124x y -= C. 221106x y -= D. 221610x y -=2.设椭圆1C 的离心率为513，焦点在x 上，长轴长为26，若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点距离差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程是A. 2222143x y -=B. 22221135x y -=C. 2222134x y -= D. 222211312x y -=3. 已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率等于A ．53B ．43C ．54D ．324. 已知双曲线22112x y n n+=-n = A.2- B .4 C.6 D. 8-5.设1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=的两个焦点,若1F 、2F 、(0,2)P b 是正三角形的三个顶点，那么其离心率是A.32 B. 52C. 2D. 3 6．已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线距离之比等于A C. 2 D.4 7．如果双曲线22142x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 的距离是C. 8.设12F F ，是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点,若其右支上存在一点P 使得1290F PF ∠=,且12PF =,则e =1 D 1 9. 若双曲线22221x y a b-=的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2，则双曲线的离心率是A ．3B ．5C D 10. 设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为A ．221+ B ．231+C ． 21+D ．31+11. 双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为 ABC ．D ．312. 设1,a >则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是A ．2)B ．C ．(25)，D ．(213．已知双曲线()222102x y b b-=>的左、右焦点分别为1F 、2F ，它的一条渐近线方程为y x =，点0)P y 在该双曲线上，则12PF PF =A ．12-B ．2-C ．0D ．414．双曲线22221x y a b-=的两个焦点为1F 、2F ，若P 为其上一点，且122PF PF =，则离心率e 的取值范围是A ．(1)，3B ．(1，3]C ．(3)∞，+D ．)+[3，∞15．设P 为双曲线22112y x -=上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，若1PF ：2PF =3：2，则12PF F ∆的面积为A ．B ．12C ．D ．2416．设1F 、2F 是双曲线2219y x -=的左、右焦点，P 为该双曲线上一点，且120PF PF =，则12PF PF +=AB ．CD ．二．填空题17．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程是y x =，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为18．以1(60)F -，，2(60)F ，为焦点,离心率2e =的双曲线的方程是19．中心在原点,一个焦点是1(30)F -，20y ±=的双曲线的方程为20．过点(20)N ，且与圆2240x y x ++=外切的动圆圆心的轨迹方程是21．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 22． 已知双曲线22291(0)ym x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =23．已知双曲线2221(2x y a a -=>的两条渐近的夹角为3π，则双曲线的离心率为24．已知双曲线22221x y a b -=的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，OAF ∆的面积为22a ，（O 为坐标原点），则该双曲线的两条渐近线的夹角为25．过双曲线22143x y -=左焦点1F 的直线交双曲线的左支于M N ，两点，2F 为其右焦点，则22MF NF MN+-=26． 若双曲线22221x y a b-=的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则e 取值范围是27．.P是曲线22221x y a b-=的右支上一点,F为其右焦点,M 是右准线:2x =与x 轴的交点,若60,PMF ∠=45PFM ∠=,则双曲线方程是28．过双曲线221916x y -=的右焦点F 且平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B, A 为右顶点，则FAB ∆的面积等于 三．解答题29.分别求满足下列条件的双曲线方程（1）中心在原点，一条准线方程是5x=，离心率e =（2）中心在原点，离心率2e =30. 已知双曲线22221(00)x y C a b a b -=>>：，的两个焦点为1(20)F -，，2(20)F ，，点()P 在双曲线C 上．⑴求双曲线C 的方程； ⑵记O 为坐标原点，过点(02)Q ，的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F ，，若O E F =△S l 方程．双曲线练习题答案（二）一．选择题1．A 2. A3.A4. B 5. C6． C7． A8D9. D10. B11. B12. B13．C14．B15．B16B 二．填空题17．223144x y-=18．221927x y-=19．22145x y-=20．()22113yx x-=≥21． 322．423．324．2π25． 826．(11⎤⎦27．2211260x y-=28．3215二．解答题29.分别求满足下列条件的双曲线方程（1）中心在原点，一条准线方程是5x=，离心率e=2214yx-=（2）中心在原点，离心率e=2214xy-=30. 已知双曲线22221(00)x yC a ba b-=>>：，的两个焦点为1(20)F-，，2(20)F，，点()P在双曲线C上．⑴求双曲线C的方程；⑵记O为坐标原点，过点(02)Q，的直线l与双曲线C相交于不同的两点E F，，若OEF=△S l方程．⑴解略：双曲线方程为22122x y-=．⑵解：直线:l2y kx=+，代入双曲线C的方程并整理，得22(1)460k x kx---=. ①直线l与双曲线C相交于不同的两点E F，，222110(4)46(1)0kkkk k≠±⎧⎧-≠⎪⎪∴⇔⎨⎨<<∆=-+⨯->⎪⎪⎩⎩，，，,(1)(11)(13)k∴∈--，，. ②设1122()()E x yF x y，，，，则由①式得12241kx xk+=-，12261x xk=--，EF ∴21k -而原点O 到直线l 的距离d =1122OEFS d EF ∴=⋅==△．若OEFS =△，即422201k k k=⇔--=-，解得k =此满足②故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为2y =+和2y =+双曲线基础练习题（三）一、选择题（每题5分）1．已知a=3,c=5，并且焦点在x 轴上，则双曲线的标准程是（ ）A ．116922=+y x B. 116922=-y x C. 116922=+-y x 1916.22=-y x D 2．已知,5,4==c b 并且焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）A ．191622=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D.116922=-y x 3．.双曲线191622=-y x 上P 点到左焦点的距离是6，则P 到右焦点的距离是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 184．.双曲线191622=-y x 的焦点坐标是 （ ） A. （5，0）、（-5，0）B. （0，5）、（0，-5） C. （0，5）、（5，0） D.（0，-5）、（-5，0） 5、方程6)5()5(2222=++-+-y x y x 化简得：A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 6．已知实轴长是6，焦距是10的双曲线的标准方程是（ ）A ．.116922=-y x 和116922=+-y x B. 116922=-y x 和191622=+-y x C.191622=-y x 和191622=+-y x D. 1162522=-y x 和1251622=+-y x 7．过点A （1，0）和B （)1,2的双曲线标准方程（ ）A ．1222=-y x B ．122=+-y x C ．122=-y x D. 1222=+-y x8．P 为双曲线191622=-y x 上一点，A 、B 为双曲线的左右焦点，且AP 垂直PB ，则三角形PAB 的面积为（ ） A ． 9 B ． 18 C ． 24 D ． 369．双曲线191622=-y x 的顶点坐标是 （ ） A ．（4，0）、（-4，0） B ．（0，-4）、（0，4）C ．（0，3）、（0，-3） D ．（3，0）、（-3，0）10．已知双曲线21==e a ，且焦点在x 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）A ．1222=-y x B ．122=-y x C ．122=+-y x D. 1222=+-y x11．双曲线191622=-y x 的的渐近线方程是（ ） A ． 034=±y x B ．043=±y x C ．0169=±y x D ．0916=±y x12．已知双曲线的渐近线为043=±y x ，且焦距为10，则双曲线标准方程是（ ）A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 二、填空题（每题5分共20分）13．已知双曲线虚轴长10，焦距是16，则双曲线的标准方程是________________. 14．已知双曲线焦距是12，离心率等于2，则双曲线的标准方程是___________________.15．已知16522=++-t y t x 表示焦点在y 轴的双曲线的标准方程，t 的取值范围是___________.16.椭圆C 以双曲线122=-y x 焦点为顶点，且以双曲线的顶点作为焦点，则椭圆的标准方程是___________________三、解答题17．（本小题（10分）已知双曲线C ：191622=+-y x ，写出双曲线的实轴顶点坐标，虚轴顶点坐标，焦点坐标，准线方程，渐近线方程。
(完整版)双曲线练习题(含标准答案)
双曲线及其标准方程习题一、 单选题(每道小题 4分 共 56分 )1. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 距离之差│|PA|-|PB|│=2a(a >0)；命题乙； P 点轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 [ ] A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件2.若双曲线的一个焦点是，，则等于 ． ． ． ．2kx ky =1(04)k [ ]A B C D 22---33258332583.点到点，与它关于原点的对称点的距离差的绝对值等于，则点的轨迹方程是 ． ．． ．P (60)10P [ ]A y 11=1B y 25=1C y 6=1D y 25=12222-----x x x x 2222256125114.k 5+y 6k=1[ ]A B C D 2＜是方程表示双曲线的 ．既非充分又非必要条件 ．充要条件．必要而非充分条件 ．充分而非必要条件x k 25--5. 如果方程x 2sin α-y 2cos α=1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么角α的终边在 [ ] A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 6.下列曲线中的一个焦点在直线上的是 ． ．． ．4x 5y +25=0[ ]A y 16=1B +y 16=1C x 16=1D +x 16=12222---x x y y 22229259257. 若a ·b <0，则ax 2-ay 2=b 所表示的曲线是 [ ] A ．双曲线且焦点在x 轴上 B ．双曲线且焦点在y 轴上 C ．双曲线且焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上 D ．椭圆 8.以椭圆的焦点为焦点，且过，点的双曲线方程为． ．． ．x x y y y 2222296109251150+y 25=1P(35)[ ]A y 10=1B x 6=1C x 3=1D x 2=122222----9.到椭圆的两焦点距离之差的绝对值等于椭圆短轴的点的轨迹方程是 ． ．． ．x x x x x 2222225251697+y 9=1[ ]A y 9=1B y 9=1C y 7=1D y 9=122222----10.直线与坐标轴交两点，以坐标轴为对称轴，以其中一点为焦点且另一点为虚轴端点的双曲线的方程是 ． ．． ．或2x 5y +20=0[ ]A y 16=1B y 84=1C y 84=1D y 84=1y 84=122222------x x x x x 2222284161001610011.以坐标轴为对称轴，过，点且与双曲线有相等焦距的双曲线方程是 ．或 ．或．或 ．或A(34)y 20=1[ ]A y 20=1x 20=1B y 15=1x 15=1C y 20=1x 15=1D y 5=1x 10=1222222222x x y x y x y x y 22222222255510105102015---------12.与双曲线共焦点且过点，的双曲线方程是 ． ．． ．x x x x x 2222215520916------y 10=1(34)[ ]A y 20=1B y 5=1C y 16=1D y 9=12222213. 已知ab <0，方程y=-2x +b 和bx 2+ay 2=ab 表示的曲线只可能是图中的 [ ]14.已知△一边的两个端点是、，另两边斜率的积是，那么顶点的轨迹方程是 ． ．． ．ABC A(7,0)B(70)C [ ]A x +y =49B +x 49=1C =1D 5y 147=12222---,x 355147514749492222y y x二、 填空题(每道小题 4分 共 8分 )1.已知双曲线的焦距是，则的值等于 ．x k 21+-y 5=18k 22.设双曲线，与恰是直线在轴与轴上的截距，那么双曲线的焦距等于 ．x a 22--y b=1(a >0,b >0)a b 3x +5y 15=0x y 22双曲线的标准方程及其简单的几何性质1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．两条射线 2．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－13．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．双曲线的一支 B ．圆 C ．抛物线 D ．双曲线4．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1 C.x 23－y 24＝1D.y 23－x 24＝1 5．“ab <0”是“曲线ax 2＋by 2＝1为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2， |PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 2＝1D ．x 2－y 24＝1 7．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( ) A.x 29－y 27＝1 B.x 29－y 27＝1(y >0) C.x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D.x 29－y 27＝1(x >0) 8．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( )A ．16B ．18C ．21D ．269．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程是( )A.x 212－y 24＝1B.x 24－y 212＝1 C ．－x 212＋y 24＝1 D ．－x 24＋y 212＝1 10．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1 B.y 212－x 224＝1 C.y 224－x 212＝1 D.x 224－y 212＝1 11．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线12．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54xB ．y ＝±45xC ．y ＝±43xD ．y ＝±34x13．双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A ．2B. 3C. 2D.3214．双曲线x 29－y 216＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )A. 3 B ．3 C ．4 D ．2二、填空题15．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________． 16．过双曲线x 23－y 24＝1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________．17．如果椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1的焦点相同，那么a ＝________.18．双曲线x 24＋y 2b ＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________．19．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a2－y 2＝1焦点相同，则a ＝________.20．双曲线以椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________．双曲线及其标准方程习题答案一、单选题1. B2. C3. A4. D5. B6. C7. B8. B9. C 10. A 11. C 12. A 13. B 14. D 二、填空题1. 10 2.234双曲线的标准方程及其简单的几何性质（答案）1、[答案] D2、[答案] A [解析] 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1.3、[答案] A [解析] 设动圆半径为r ，圆心为O ， x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4， 由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．4、[答案] B [解析] 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2， ∴b 2＝3，双曲线方程为y 2－x 23＝1. 5、[答案] C [解析] ab <0⇒曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线，曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线⇒ab <0. 6、[答案] C [解析] ∵c ＝5，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1. 7、[答案] D [解析] 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点， 实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 29－y 27＝1(x >0)8、[答案] D [解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21， ∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26.9、[答案] C [解析] ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45，∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2， ∴双曲线方程为：y 24－x 212＝1.10、[答案] B [解析] 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，又因为双曲线的焦点在y 轴上， ∴方程可写为y 2－λ－x 2－2λ＝1.又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12. ∴双曲线方程为y 212－x 224＝1.11、[答案] C [解析] ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0.∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2.12、[答案] D [解析] ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝259，∴b 2a 2＝169，∴b a ＝43，∴a b ＝34.又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x .13、[答案] C [解析] 双曲线的两条渐近线互相垂直，则渐近线方程为：y ＝±x ，∴b a ＝1，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝1，∴c 2＝2a 2，e ＝ca＝ 2. 14、[答案] C[解析] ∵焦点坐标为(±5,0)，渐近线方程为y ＝±43x ，∴一个焦点(5,0)到渐近线y ＝43x 的距离为4.15、[答案] x 273－y 275＝1 [解析] 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)又点M (3,2)、N (－2，－1)在双曲线上，∴⎩⎨⎧ 9a 2－4b 2＝14a 2－1b 2＝1，∴⎩⎨⎧a 2＝73b 2＝75.16、[答案]833[解析] ∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ＝7， 该弦所在直线方程为x ＝7，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833.17、[答案] 1 [解析] 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1.18、[答案] －12<b <0 [解析] ∵b <0，∴离心率e ＝4－b2∈(1,2)，∴－12<b <0. 19、[答案]62 [解析] 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62. 焦点为(0，±4)，离心率e ＝c a ＝45，∴双曲线的离心率e 1＝2e ＝85，∴c 1a 1＝4a 1＝85，∴a 1＝52，∴b 21＝c 21－a 21＝16－254＝394，∴双曲线的方程为y 2254－x 2394＝1.20、[答案]y2254－x2394＝1 [解析]椭圆x29＋y225＝1中，a＝5，b＝3，c2＝16，。
双曲线解答题练习(含答案).doc
双曲线解答题练习1.如图，在以点。
为圆心，|AB|二4为直径的半圆ADB中，0D丄AB , P是半圆弧上一点，ZPOB = 30° ,曲线C是满足\\MA\-\MB\\为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.(I )建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；(II)设过点D的直线I与曲线C相交于不同的两点E、F・若AOEF的血积不小于,求直线/斜率的取值范围.• • •2.双曲线的中心为原点0,焦点在兀轴上，两条渐近线分别为/卩12,经过右焦点F垂直于£的直线分别交厶于人B两点.已知|网、阿网成等差数列，且丽与丽同向.(I )求双曲线的离心率；(II)设4B被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.3.已知双曲线x2-/=2的左、右焦点分别为片，"，过点厲的动直线与双曲线相交于A, B两点.（I）若动点M满足丽二帀+丽+而（其中0为坐标原点），求点M的轨迹方程；（II）在x轴上是否存在定点C,使冯・质为常数？若存在，求111点C的坐标；若不存在，请说明理由.4已知双曲线c的方程为召嶋W>OQO），离心率“孕顶点到渐近线的距离为芈（1）求双曲线C的方程；（2）如图，P是双曲线C上一点，A, B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若—- —- 1AP=APB9A E[-,2],求AAOB面积的収值范围35.求一条渐近线方程是3x + 4v = 0, 一个焦点是（4,0）的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率.（12分）6.双曲线x2-y2=a2（a>0）的两个焦点分别为巧,的，P为双曲线上任意一点，求证:\PF^\PO\.\PF2\成等比数列（O为坐标原点）.（22分）7.已知动点P与双曲线x2~y2=l的两个焦点Fi，F2的距离Z和为定值，且cosZF^的最1小值为一亍（1）求动点P的轨迹方程；（2）设M（0, —1）,若斜率为k（30）的直线/与P点的轨迹交于不同的两点A、B,若要使\MA\ = \MB\,试求k的取值范围.（12分）8.已知不论b取何实数，直线y=kx+b与双曲线x2-2y2= 1总有公共点，试求实数k的取值范围.（12分）x2 y29.设双曲线Ci的方程为=一刍= l(d>0,b>0), A、B为其左、右两个顶点，P是双曲a~ h~线Ci上的任意一点，引QB丄PB, QA丄PA, AQ与BQ交于点Q.(1)求Q点的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹为C2，Ci、C2的离心率分别为©、勺，当> V2时，幺2的取值范围(14分)10.某屮心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.（假定当吋声咅传播的速度为340m/ s湘关各点均在同一平面上）.（14分）双曲线练习题答案1.如图，在以点0为圆心，\AB\=4为直径的半圆ADB中,0D丄AB, P是半圆弧上一点，ZPOB = 30° ,曲线C是满足\\MA\-\MB\\为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.(I )建立适当的平血直角坐标系，求曲线C的方程;(II)设过点D的直线I与曲线C相交于不同的两点E、F. 若厶OEF的面积不小于2近,求直线/斜率的取值范围.• • •解：(I )以0为原点,AB. OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A (・2,0), B (2, 0), D(0,2),P ( V3,l ),依题意得I MA | ・ I MB \ = \ PA \・ I PB I =(2 +V3)2 +12 -V(2-V3)2+12=2A/2 < I AB I =4.・・・曲线C是以原点为中心，A、3为焦点的双曲线.设实半轴长为0,虚半轴长为b,半焦距为c, 则c=2, 20=2-72 , /.a2=2,b2=c2-a2=2.・・・曲欽的方程为于才1.解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得丨MA \ - \ MB \ = \ PA \ - \ PB \ < I AB I =4.・•・曲线C是以原点为中心，&、B为焦点的双曲线.X2 y2设双曲线的方程为一^一厶~ = 1(。
高中高考考点难点常见题型(带答案解析)双曲线(解析版)
(a+m)2 +(b+m)2 (a+m)2
所以,当a>b时,e1<e2;
当a<b时,e1>e2.
简单 已测：3518次 正确率：92.9%
22
6.
设双曲线 x2 a2
−
y2 b2
=
1(a>0, b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于
B, C两点,过B, C分别作AC, AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于
=1
D. x2 4
−
y2 3
=1
考点：双曲线的标准方程的求解、双曲线的渐近线问题
知识点：双曲线的标准方程、双曲线的渐近线
答案：D
解析：由题意可得
b a
=
3 2
,
c
=
7,又c2
=
7 = a2+b2,解得a2
= 4, b2
=
3,故双曲线的方程为
x2 4
−
y2 3
=
1.
一般 已测：1871次 正确率：76.7%
,所以 ,则由题意知 ,即 ,所 (
b2 a
)2
=
(c
−
a)∣F D∣
∣F D∣
=
a2
b4 (c−a)
a2
b4 (c−a)
<a+
a2 + b2
a2
b4 (c−a)
<a
+
c
以b4<a2(c
−
a)(a
+
c),即b4
<a2
(c2 −a2
,即) b4<a2b2
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三、典型例题选讲 （一）考查双曲线的概念
例1 设P是双曲线19222yax上一点，双曲线的一条渐近线方程为023yx，1F、2F分别是双曲线的左、右焦点．若3||1PF，则||2PF
（ ） A．1或5 B．6 C．7 D．9 分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出a的值，利用双曲线的定义求出2||PF的值．
解：双曲线19222yax渐近线方程为xa3，由已知渐近线为023yx， 122,||||||4aPFPF，||4||12PFPF.
12||3,||0PFPFQ，7||2PF. 故选C． 归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法． （二）基本量求解
例2(2009山东理)设双曲线12222byax的一条渐近线与抛物线21yx
只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）
A．45 B．5 C．25 D．5 解析：双曲线12222byax的一条渐近线为xaby，由方程组21byxayx
，消去y，得210bxxa有唯一解，所以△=2()40ba，
所以2ba，2221()5cabbeaaa，故选D． 归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解．本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能．
例3（2009全国Ⅰ理）设双曲线22221xyab（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( ) A.3 B.2 C.5 D.6 解析：设切点00(,)Pxy，则切线的斜率为0'0|2xxyx．由题意有
00
0
2yxx．又有2001yx，联立两式解得:2201,2,1()5bbxeaa．
因此选C． 例4（2009江西）设1F和2F为双曲线22221xyab(0,0ab)的两个焦点，若12FF，，(0,2)Pb是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ） A．32 B．2 C．52 D．3 解析：由3tan623cb有2222344()cbca，则2cea，故选B． 归纳小结：注意等边三角形及双曲线的几何特征，从而得出3tan623cb
，体现数形结合思想的应用．
（三）求曲线的方程 例5（2009，北京）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率
为3，右准线方程为33x． （1）求双曲线C的方程； （2）已知直线0xym与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段的中点在圆225xy上，求m的值． 分析：（1）由已知条件列出,,abc的关系，求出双曲线C的方程；（2）将直线与双曲线方程联立，再由中点坐标公式及点在圆上求出m的值．
解：（1）由题意，得2333acca，解得1,3ac.
∴2222bca，∴所求双曲线C的方程为2212yx． （2）设A、B两点的坐标分别为1122,,,xyxy，线段的中点为00,Mxy，
由22120yxxym得22220xmxm（判别式0）， ∴12000,22xxxmyxmm， ∵点00,Mxy在圆225xy上， ∴2225mm，∴1m． 另解：设A、B两点的坐标分别为1122,,,xyxy，线段的中点为00,Mxy，
由221122221212yxyx，两式相减得121212121()()()()02xxxxyyyy. 由直线的斜率为1，121200,22xxyyxy代入上式，得002yx. 又00(,)Myx在圆上，得22005yx，又00(,)Myx在直线上，可求得m的值. 归纳小结：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
例6 过(1,1)M的直线交双曲线22142xy于,AB两点，若M为弦AB的中点，求直线AB的方程． 分析：求过定点M的直线方程，只需要求出它的斜率．为此可设其斜率是k，利用M为弦AB的中点，即可求得k的值，由此写出直线AB的方程．也可设出弦的两端点坐标用“点差法”求解． 解法一：显然直线AB不垂直于x轴，设其斜率是k，则方程为1(1)ykx．
由221421(1)xyykx消去y得222(12)4(1)2460①kxkkxkk 设),(),(221,1yxByxA，由于M为弦AB的中点， 所以1222(1)1212xxkkk，所以12k． 显然，当12k时方程①的判别式大于零. 所以直线AB的方程为11(1)2yx，即210xy． 解法二：设),(),(221,1yxByxA，则 2211
2222
1②421③42xyxy
①－②得12121212()()2()()0xxxxyyyy.
又因为12122,2xxyy，所以12122()xxyy． 若12,xx则12yy，由12122,2xxyy得121xx，121yy． 则点AB、都不在双曲线上，与题设矛盾，所以12xx． 所以121212yykxx． 所以直线AB的方程为11(1)2yx，即210xy． 经检验直线210xy符合题意，故所求直线为210xy． 解法三：设A（xy，），由于AB、关于点M（1，1）对称，所以B
的坐标为（22xy，），则2221,42(2)1.2xyy2(2-x)4消去平方项，得210xy． ④ 即点A的坐标满足方程④，同理点B的坐标也满足方程④． 故直线AB的方程为210xy． 归纳总结：由于双曲线（抛物线）不是“封闭”的曲线，以定点为中点的弦不一定存在，所以在求双曲线（抛物线）中点弦方程时，必须判断满足条件的直线是否存在． （四）轨迹问题
例7 已知点100(,)Pxy为双曲线222218xybb（b为正常数）上任一点，2F为双曲线的右焦点，过1P作右准线的垂线，垂足为A，连接2FA
并延长交y轴于2P．求线段1P2P的中点P的轨迹E的方程． 分析：求轨迹问题有多种方法，如相关点法等，本题注意到点P
是线段1P2P的中点，可利用相关点法． 解：由已知得208(3,0),(,)3FbAby，则直线2FA的方程为：03(3)yyxbb．
令0x得09yy，即20(0,9)Py．
设Pxy（，），则0000 2952xxyyyy， 即0025xxyy代入22002218xybb得：222241825xybb， 即P的轨迹E的方程为22221225xybb．()xR 归纳小结：将几何特征转化为代数关系是解析几何常用方法． （五）突出几何性质的考查
例8（2006江西）P是双曲线221916xy的右支上一点，M，N分别是圆22(5)4xy和22(5)1xy上的点，则||||PMPN的最大值为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 解析：双曲线的两个焦点1(5,0)F与2(5,0)F恰好是两圆的圆心，欲使||||PMPN的值最大，当且仅当||PM最大且||PN最小，由平面几何性质知，点M在线段1PF的延长线上，点N是线段2PF与圆的交点时所求的值最大.
此时12||||(2)(1)PMPNPFPF9321PFPF．因此选D． 例9（2009重庆）已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为55x，离心率5e． （1）求该双曲线的方程； （2）如图，点A的坐标为(5,0)，B是圆22(5)1xy上的点，点M在双曲线右支上，求MAMB的最小值，并求此时M点的坐标.
分析：（1）比较基础，利用所给条件可求得双曲线的方程；（2）利用双曲线的定义将MAMB、转化为其它线段，再利用不等式的性质求解． 解：（1）由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线
的方程为22221(0,0)xyabab，设22cab，由准线方程为55x得255a
c，
由5e得5ca． 解得1,5ac.从而2b，该双曲线的方程为2214yx. （2）设点D的坐标为(5,0)，则点A、D为双曲线的焦点，