二次函数数学题拔高

二次函数综合性训练题1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y += 与该二次函数的图象交于A 、B两点，其中A 点的坐标为(3,4)，B 点在轴y 上.（1）求m 的值及这个二次函数的关系式；（2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A 、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E 点，设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段ABDCEPP2、如图2，已知二次函数24y ax x c =-+的图像经过点A 和点B ．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P （m ，m ）与点Q 均在该函数图像上（其中m ＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点Q 到x 轴的距离3、如图3，已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB ，过点B 作BC ∥x轴交该抛物线于点C.（1） 求这条抛物线的函数关系式.（2） 两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段0A 向A 点运动，点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ＜4)，△PQA 的面积记为S. ① 求S 与t 的函数关系式；② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状；③ 是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由.图1图2PB ACO xyQ图34、某公司推出了一种高效环保型除草剂，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程. 图4的二次函数图象（部分）刻车了该公司年初以来累积利润S （万元）与时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系）.根据图象提供信息，解答下列问题： （1）公司从第几个月末开始扭亏为盈； （2）累积利润S 与时间t 之间的函数关系式； （3）求截止到几月末公司累积利润可达30万元； （4）求第8个月公司所获利是多少元？5、如图5，已知抛物线c x b x a y ++=2的顶点坐标为E （1,0），与y 轴的交点坐标为（0,1）. （1）求该抛物线的函数关系式.（2）A 、B 是x 轴上两个动点，且A 、B 间的距离为AB=4，A 在B 的左边，过A 作AD ⊥x 轴交抛物线于D ，过B 作BC ⊥x 轴交抛物线于C. 设A 点的坐标为（t ,0），四边形ABCD 的面积为S. ① 求S 与t 之间的函数关系式.② 求四边形ABCD 的最小面积，此时四边形ABCD 是什么四边形？③ 当四边形ABCD 面积最小时，在对角线BD 上是否存在这样的点P ，使得△PAE 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及这时△PAE 的周长；若不存在，说明理由.x yD图5 E BA CO 1xyEO 1备用图-30 -1 -2 12 3 4 S(万元)图41 2 3 4 5 6 t(月)6)如图6，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C两点，其中C 点的横坐标为2。

（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由。

7、如图7，直线434+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B.（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒23个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C →A 的路线运动，当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ∆的面积为S .①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = .8、如图8，抛物线c bx x y ++=2与x 轴交于 A(-1,0),B(3,0) 两点.图6CAM yBOx图7(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线上有一个动点P ，当点P 在该抛物线上 滑动到什么位置时，满足S △PAB =8,并求出此时P 点的坐标； (3)设(1)中抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标； 若不存在，请说明理由.9、如图9、已知抛物线y=x 2+(2n-1)x+n 2-1 (n 为常数). (1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；(2)设A 是(1)所确定的抛物线上位于x 轴下方、且在对称轴左侧 的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ， 再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C. ①当BC=1时，求矩形ABCD 的周长；②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值， 并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由.10、如图10，已知点A(0,8)，在抛物线221x y =上，以A 为 顶点的四边形ABCD 是平行四边形，且项点B ，C ，D 在抛物线 上，AD ∥x 轴，点D 在第一象限. (1)求BC 的长；(2)若点P 是线段CD 上一动点，当点P 运动到何位置时，△DAP 的面积是7.(3)连结AC ，E 为AC 上一动点，当点E 运动到何位置时， 直线OE 将 ABCD 分成面积相等的两部分？并求此时E 点的 坐标及直线OE 的函数关系式.11、一座拱桥的截面轮廓为抛物线型(如图11-1),拱高6米, 跨度20米,相邻两支柱间的距离均为5米.（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图11-2所示)， 其表达式是c ax y +=2的形式. 请根据所给的数据求出c a ,的值. （2）求支柱MN 的长度.（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间DE 是一条宽2米 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2米、高3米的 三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.二次函数综合题训练题型集合答案1、 (1) ∵ 点A(3,4)在直线y=x+m 上，∴ 4=3+m. ………………………………（1分） ∴ m=1. ………………………………（2分）图10设所求二次函数的关系式为y=a(x-1)2. ………………………………（3分）∵ 点A(3,4)在二次函数y=a(x-1)2的图象上，∴ 4=a(3-1)2,∴ a=1. ………………………………（4分）∴ 所求二次函数的关系式为y=(x-1)2.即y=x 2-2x+1. ………………………………（5分） (2) 设P 、E 两点的纵坐标分别为y P 和y E .∴ PE=h=y P -y E ………………………………（6分）=(x+1)-(x 2-2x+1) ………………………………（7分）=-x 2+3x. ………………………………（8分）即h=-x 2+3x (0＜x ＜3). ………………………………（9分） (3) 存在. ………………………………（10分）解法1：要使四边形DCEP 是平行四边形，必需有PE=DC. …………………（11分） ∵ 点D 在直线y=x+1上, ∴ 点D 的坐标为(1,2),∴ -x 2+3x=2 .即x 2-3x+2=0 . ………………………………（12分） 解之，得 x 1=2，x 2=1 (不合题意，舍去) ………………………………（13分） ∴ 当P 点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP 是平行四边形. ……………（14分） 解法2：要使四边形DCEP 是平行四边形，必需有BP ∥CE. ………………（11分） 设直线CE 的函数关系式为y=x+b. ∵ 直线CE 经过点C(1,0), ∴ 0=1+b, ∴ b=-1 .∴ 直线CE 的函数关系式为y=x-1 .∴ ⎩⎨⎧+-=-=1212x x y x y 得x 2-3x+2=0. ………………………………（12分）解之，得 x 1=2，x 2=1 (不合题意，舍去) ………………………………（13分） ∴ 当P 点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP 是平行四边形. ……………（14分）2、解：（1）将x =-1，y =-1；x =3，y =-9分别代入c x ax y +-=42得⎩⎨⎧+⨯-⨯=-+-⨯--⨯=-.3439,)1(4)1(122c a c a 解得 ⎩⎨⎧-==.6,1c a ∴二次函数的表达式为642--=x x y ．（2）对称轴为2=x ；顶点坐标为（2，-10）．（3）将（m ，m ）代入642--=x x y ，得 642--=m m m ， 解得121,6m m =-=．∵m ＞0，∴11-=m 不合题意，舍去．∴ m =6．∵点P 与点Q 关于对称轴2=x 对称，∴点Q 到x 轴的距离为6． 3、（1）∵ 抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧==+=+03390416c b a b a .解得 0,334,33==-=c b a . ………（2分） ∴ 所求抛物线的函数关系式为x x y 334332+-=. ………………（3分） (注：用其它方法求抛物线的函数关系式参照以上标准给分.)（2）① 过点B 作BE ⊥x 轴于E ，则BE=3，AE=1，AB=2.由tan ∠BAE=3=AEBE，得∠BAE =60°. …………（4分） （ⅰ）当点Q 在线段AB 上运动，即0＜t ≤2时，QA=t ，PA=4-t .过点Q 作QF ⊥x 轴于F ，则QF=t 23，∴ S=21PA ·QF t t 23)4(21⋅-=t t 3432+-=. ……（6分） （ⅱ）当点Q 在线段BC 上运动，即2≤t ＜4这时，S=3)4(21⋅-t 3223+-=t ②（ⅰ）当0＜t ≤2时，3)2(4334322+--=+-=t t t S . ∵ 043<-，∴ 当t =2时，S 有最大值，最大值S=3. ……（9分） （ⅱ）当2≤t ＜4时，3223+-=t S∵ 023<-， ∴ S 随着t 的增大而减小. ∴ 当t =2时，S 有最大值，最大值332223=+⋅-=S . 综合（ⅰ）（ⅱ），当t =2时，S 有最大值，最大值为3.△PQA 是等边三角形. ③ 存在.当点Q 在线段AB 上运动时，要使得△PQA 是直角三角形，必须使得∠PQA =90°，这时PA=2QA ，即4-t =2t ，∴ 34=t .∴ P 、Q 两点的坐标分别为P 1(34,0)，Q 1(310,332). ……（13分）当点Q 在线段BC 上运动时，Q 、P 两点的横坐标分别为5-t 和t ，要使得△PQA是直角三角形，则必须5-t =t ，∴ 25=t∴ P 、Q 两点的坐标分别为P 2(25,0)，Q 2(25,3). ………………（14分）(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)4、（1）由图象可知公司从第4个月末以后开始扭亏为盈. ………………………（1分） （2）由图象可知其顶点坐标为(2,-2)，故可设其函数关系式为：y=a(t-2)2-2. …………（2分 ∵ 所求函数关系式的图象过(0,0)，于是得a(t-2)2-2=0，解得a=21 . ……（4分）∴ 所求函数关系式为：S=21t-2)2-2或S=21t 2-2t. …………（6分）（3）把S=30代入S=21t-2)2-2，得21t-2)2-2=30. …………（7分）解得t 1=10，t 2=-6（舍去）. ……………………（8分）答：截止到10月末公司累积利润可达30万元. ………………………（9分）（4）把t=7代入关系式，得S=21×72-2×7=10.5 ……………………………（10分）把t=8代入关系式，得S=21×82-2×8=1616-10.5=5.5答：第8个月公司所获利是5.5万元. 5、（1）∵ 抛物线c x b x a y ++=2顶点为F （1,0）∴ 2)1(-=x a y ………（1分） ∵ 该抛线经过点E （0,1） ∴ 2)10(1-=a∴ 1=a∴ 2)1(-=x y ，即所求抛物线的函数关系式为122+-=x x y . ………（3分）（2）① ∵ A 点的坐标为（t ,0）, AB=4，且点C 、D 在抛物线上，∴ B 、C 、D 点的坐标分别为(t +4,0)，(t +4, (t +3)2)，(t ,(t -1)2). …（5分）∴ 20844])3()1[(21)(21222++=⋅++-=⋅+=t t t t AB BC AD S .………（7分）② 16)1(4208422++=++=t t t S . ………（8分） ∴ 当t =-1时，四边形ABCD 的最小面积为16， ………（9分）此时AD=BC=AB=DC=4，四边形ABCD 是正方形. ………（10分） ③ 当四边形ABCD 的面积最小时，四边形ABCD 是正方形，其对角线BD 上存在点P, 使得ΔPAE 的周长最小. ………（11分）∵AE=4（定值），∴要使ΔPAE 的周长最小，只需PA+PE 最小.∵此时四边形ABCD 是正方形，点A 与点C 关于BD 所在直线对称,∴由几何知识可知，P 是直线CE 与正方形ABCD 对角线BD 的交点. ∵点E 、B 、C 、D 的坐标分别为（1,0）（3,0）（3,4）（-1,4） ∴直线BD ，EC 的函数关系式分别为：y=-x+3, y=2x-2.∴ P(35,34) ………（13分）在Rt △CEB 中，CE=524222=+,∴ △PAE 的最小周长=AE+AP+PE=AE+CP+PE=AE+CE=2+52. ………（14分）6、解：（1）令y=0，解得11x =-或23x =（1分）∴A （－1，0）B （3，0）；（1分）将C 点的横坐标x =2代入223y x x =--得y=－3，∴C （2，－3）（1分） ∴直线AC 的函数解析式是y=－x －1（2）设P 点的横坐标为x （－1≤x ≤2）（注：x 的范围不写不扣分） 则P 、E 的坐标分别为：P （x ，－x －1），（1分） E （2(,23)x x x --（1分）∵P 点在E 点的上方，PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++（2分） ∴当12x =时，PE 的最大值=94（1分）（3）存在4个这样的点F ，分别是1234(1,0),(3,0),(4(4F F F F - 7、解：（1）令0=x ，则4=y ； 令0=y 则3=x .∴()0,3A 、()4,0C ∵二次函数的图象过点()4,0C ， ∴可设二次函数的关系式为42++=bx ax y ┄1分又∵该函数图象过点()0,3A 、()0,1-B∴⎩⎨⎧+-=++=.40,4390b a b a ┄2分解之，得34-=a ，38=b ∴所求二次函数的关系式为438342++-=x x y ┄3分 （2）∵438342++-=x x y =()3161342+--x∴顶点M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛316,1 ┄4分 过点M 作MF x ⊥轴于F∴FOCM AFM AOCM S S S 梯形四边形+=∆ =()1013164213161321=⨯⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯-⨯ ∴四边形AOCM 的面积为10 ┄6分 （3）①不存在DE ∥OC ┄7分∵若DE ∥OC ，则点D 、E 应分别在线段OA 、CA 上，此时 1<t<2,在Rt △AOC 中，AC=5. 设点E 的坐标为()11,y x ∴54431-=t x ，∴512121-=t x ∵DE ∥OC ， ∴t t 2351212=- ∴38=t ┄8分 ∵38=t >2，不满足1<t<2.∴不存在DE ∥OC. ┄9分 ②根据题意得D 、E 两点相遇的时间为1124423543=+++（秒） ┄10分 现分情况讨论如下： ⅰ当0 <t ≤ 1时，2342321t t t S =⋅⨯=； ┄11分ⅱ当1<t ≤2时，设点E 的坐标为()22,y x∴()544542--=t y ，∴516362ty -=∴t t t t S 5275125163623212+-=-⨯⨯=┄12分 ⅲ当2 <t <1124时，设点E 的坐标为()33,y x ，类似ⅱ可得516363t y -=设点D 的坐标为()44,y x∴532344-=t y ， ∴51264-=t y∴AOD AOE S S S ∆∆-=512632151636321-⨯⨯--⨯⨯=t t =572533+-t ┄13分③802430=S ┄14分10、（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC. ∵A(0,8),∴设D 点坐标为(x 1,8), 代入221x y = 又∵D 点在第一象限，∴ x 1=4，∴（2）∵C(2,2)，D(4,8)，∴直线CD 的函数关系式为设点P 在线段CD 上，P(x 2,y 2)，∴y 2=3x 2-4.∵AD=BC=4,∴21×4(8-y 2)=7， ∴y 2=29.∴3x 2-4=29， ∴x 2=617. ∴P(617,29),即当点P 在(617,29)的位置时，△DAP 的面积是7.（3）连接AC ，当点E 运动到AC 的中点（或AC 与BD 的交点）时，即E 点为☐ ABCD 的中心，其坐标为E （1,5）,直线OE 将☐ ABCD 分成面积相等的两部分. 设直线OE 的函数关系式为y=kx,∴k=5，∴直线OE 的函数关系式为y=5x.11、(1) 根据题目条件，A 、B 、C 的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).将B 、C 的坐标代入c ax y +=2，得 ⎩⎨⎧+==.1000,6c a c解得6,503=-=c a . ∴抛物线的表达式是65032+-=x y . (2) 可设N(5,N y )， 于是5.4655032=+⨯-=N y . 从而支柱MN 的长度是10-4.5=5.5米.(3) 设DE 是隔离带的宽，EG 是三辆车的宽度和，则G 点坐标是(7,0)(7=2÷2＋2×3).过G 点作GH 垂直AB 交抛物线于H ，则35013675032>+=+⨯-=H y . 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.报童卖报问题1某报亭从报社买进某种日报的价格是每份0.30元，卖出价格的每份0.50元，卖不出的报纸可以按每份0.10元的价格退还给报社，经验表面，在一个月内（30天）里。