5、整体思想在整式求值中的运用
整体思想在整式求值中的运用
方法指导：整式的化简求值中，当单个字母的值不易求出或化简后的结果与已知值的式子相关联时，需要将已知式子的值整体代入计算.
（2）m2-2m n+n2;
（3）2m2+m n-3n2;
练习：
1.已知－x＋2y＝5，那么5(－x＋2y)2－4(－x＋2y)－60的值为( )
A.85
B.45
C.80
D.40
2.若x－3y＝4，则1＋3y－x的值是( )
A.－3
B.5
C.3
D.－5
3.若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n的值为( )
A.3
B.2
C.1
D.－1
4.若代数式2x2＋3x＋7的值是8，则代数式4x2＋6x－9的值是( )
A.2
B.－17
C.－7
D.7
5.已知x2＋2x－1＝0，则3x2＋6x－2＝ .
6.如果m，n互为相反数，那么(3m－2n)－(2m－3n)＝ .
7.已知x＝2y＋3，则代数式4x－8y＋9的值是 .
8.若2a－b＝2，则6＋4b－8a＝ .
10.已知a2＋b2＝6，ab＝－2，求(4a2＋3ab－b2)－(7a2－5ab＋2b2)的值.
11、将(a+b)+2(a+b)-4(a+b)合并同类项后结果是
12、化简-(x-y)-4(x-y)得
13、把（x-3）看成一个整体，化简)3()3(5)3(2)3(2
2-+-----x x x x
14、把（x+y ）看作一个整体，化简求值： 35325)(3
1)(21)(34)(2)(21y x y x y x y x y x +++-+-+++，其中x=3-y
15、若m-n=2，则代数式2-3m+3n 的值为
16、已知532++x x 的值为7，则=-+2932x x
17、已知6232+-y y 的值是8，则代数式
1232+-y y 的值是 18、已知0443=+-x x ，则106323++-
x x 的值是 19、当x=1时，代数式201713=++bx ax ，则x= -1时，13++bx ax 的值为
20、当x=7时，代数式53-+bx ax 的值是7；则当x= -7时，代数式53-+bx ax 的值是
21、阅读材料：
我们知道，4x －2x ＋x ＝(4－2＋1)x ＝3x ，类似地，我们把(a ＋b)看成一个整体，则4(a ＋b)－2(a ＋b)＋(a ＋b)＝(4－2＋1)(a ＋b)＝3(a ＋b).“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.
尝试应用：
(1)把(a －b)2看成一个整体，合并3(a －b)2－6(a －b)2＋2(a －b)2的结果是 ；
(2)已知x 2－2y ＝4，求3x 2－6y －21的值；
(3)已知a －2b ＝3，2b －c ＝－5，c －d ＝10，求(a －c)＋(2b －d)－(2b －c)的值.。
“整体思想”在整式运算中的运用与思考
“整体思想”在整式运算中的运用与思考摘要：数学学习中整式运算是其重要的组成部分，是重点也是难点，在整式运算中“整体思想”的应用能够在一定程度上提升问题分析、解决的效率，深化对知识的认知。
为此，在整式运算中要要意识的将整式运算应用其中，以此深化知识认知，培养数学思想、意识，降低知识学习难度，优化学习效果。
本文重点阐述整式运算中“整体思想”的具体应用措施，以此更好的发挥“整体思想”的作用和价值，促进学生数学素养的提升。
关键词：整体思想；整式运算；运用；措施整式运算是数学教学中的重要组成部分，在教学中由于受到多种因素的影响存在很多问题，主要表现为：字母表示数、各种公式的运用、计算等方面存在明显的错误，为什么会出现这些错误，怎样避免这些错误，提升教学效果是当前教学中关注的问题。
为此，教学中，需要钻研教材、梳理知识，将“整体思想”应用其中，以此加深对运算法则的认知，优化教学效果。
一、基于“整体思想”，把握运算形式整体思想具体来说是指在对问题进行分析、解决时，是以整体进行出发，将问题作为整体进行分析、改造，深层次解剖问题具有的特征，善于应用集成、整体的眼光，将图形或者式子看成一个整体，把握之间的关联，以此提升对问题进行分析、解决的效率。
如存在的问题：-a表示负数，之所以会存在这样的错误，是因为在学习中对字母a所表示的意义不够理解，字母a可以是任何的数，可以将字母a看成是整体，前面的负号，表示a的相反数，-a到底是什么数，由a的性质来决定，具体来说，可以分为三种情况，a=0，-a为0；a为负数；-a为正数；a为正数；-a为负数。
要分情况讨论-a为什么数，不能简单地认定为负数，另外，在整式运算中学生之所以会存在各种问题，就是没有将其当成一个整体，在对其进行移动时，容易搞混其中的负号，如果将其看成一个整体，就会不会存在这种的情况。
将其作为一个整体，在移动时，也是一个整体，则能够大大的提升正确率。
为此，在整式运算中要能够意识到整体思想所具有的作用和价值。
整式的运算经典解析
整式的基本概念1、代数式的有关概念代数式：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数、表示数的字母连结而成的式子叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。
2、整式的有关概念（1）单项式的定义：都是数与字母的积的代数式叫做单项式． 说明：判断一个代数式是不是单项式，主要是根据代数式中数字和字母间是否都是乘法运算关系．如xy 2就不是一个单项式． a 2是一个单项式，因为a 2可以看作是a ·a ．特别地，单独的一个数或单独的一个字母也都是单项式，如－3，0，35 ，x ，2x等都是单项式（2）单项式次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．说明：在单项式中，系数只与数字因数有关；次数只与字母有关．如x 3yz 4的系数是1，次数为3＋1＋4＝8．（4）多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．（5）多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数．说明：在确定多项式的次数时，应先计算出多项式的每一项的次数，次数最大的项的次数作为该多项式的次数．如，多项式x 3－x 2y 2＋x 中，单项式x 3的次数是3，单项式－x 2y 2的次数是4，单项式x 的次数是1，所以多项式x 3－x 2y 2＋x 的次数是4．（6）多项式的项数：一个多项式中有几个单项式就有几项．每一个单项式就是一项。
说明：多项式的项，包括符号．如多项式5－3x 2中，二次项是－3x 2．（7）常数项的定义： 在多项式中，不含有字母的项叫做多项式的常数项。
（8）降幂排列： 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列．（9）升幂排列 ：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．说明：把多项式按升幂或降幂排列时，一定要弄清是针对哪个字母的排列，排列时只看这个字母的指数，而后按照加法交换律交换项的位置．对于不同的字母，排列后的顺序往往不同，切记重新排列多项式时，各项一定要带着符号移动位置．如： x 3＋2x 4y －7xy 3－y 4－7＝2x 4y ＋x 3－7xy 3－y 4－7 ①＝－7－y 4－7xy 3＋x 3＋2x 4y ②＝－y 4－7xy 3＋2x 4y ＋x 3－7 ③＝－7＋x 3＋2x 4y －7xy 3－y 4④其中，①是按x 的降幂排列；②是按x 的升幂排列；③是按y 的降幂排列；④是按y 的升幂排列．（10）整式的定义： 单项式和多项式统称整式．说明：知道一个代数式，不论是单项式还是多项式，都一定是整式；反之，如果已知一个代数式是整式，那么它或者是单项式，或者是多项式，二者必具其一．如单项式－3x 2，x 等都是整式，多项式3－x ，－x 3－x ＋1等都是整式；在整式2x ，x 4－1中，2x 是单项式，x 4－1是多项式．探究引导：216b π是二次单项式，这里要注意π是一个常数，不是一个字母，所以单项式中只有一个字母b ，它的指数是2，216b π就是一个二次单项式。
整式的加减专题复习与提高
教学内容整式的加减复习教学目标 1．用字母表示数与数学规律以及数量关系；2．理解整式的相关概念；3．掌握整式加减的方法；4．整体思想在整式加减中的使用；5．能准确的化简求值；重难点 教学重点：整式的相关概念的理解。
教学难点：使用整体思想解决问题。
教学过程1.用字母表示数知识框架：用字母表示问题中的数量关系的分析方式与用数字来表示数量关系在本质上是一样的。
典型例题：例1：用形状相同的两种菱形拼成如下图的图案，用a 表示第n 个图案中菱形的个数，则a n =_________（用含n 的式子表示）．a 1=4a 2=10a 3=16拓展延伸： 1、观察以下等式：（1）4=22，（2）4+12=42，（3）4+12+20=62，……根据上述规律，请你写出第n 为 ．2、（2013山东省德州一模）观察下面一列数：−1，2，−3，4，−5，6，−7…，将这列数排成以下形式：记ij a 为第行第j 列的数，如23a =4，那么87a 是 。
练习1、某市出租车收费标准为：起步价5元，3千米后每千米价1.2元，则乘坐出租车走x(x ﹥3)千米应付___________元.2、以下图是一个数值转换机的示意图，请你用x 、y 表示输出结果， …………16-1514-1312-1110-98-76-54-32-116并求输入x 的值为3，y 的值为-2时的输出结果.3、以下图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子．观察图形的变化规律，写出第n 个小房子用了 块石子．2.整式的相关概念一、代数式与有理式1、用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
单独的一个数或字母也是代数式。
2、整式和分式统称为有理式。
3、含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。
二、整式和分式1、没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。
2、有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。
三、单项式与多项式 ：1、没有加减运算的整式叫做单项式。
第二章整式的化简求值及整式中的整体思想(教案)
-举例：化简整式(2x^2 + 3x - 1)(x^2 - 2x + 1)。
在教学中，教师应针对这些难点和重点，采用适当的例题、图表、动画等教学辅助手段，帮助学生直观理解并逐步突破难点，确保学生对核心知识点的理解透彻。同时，通过反复练习和变式训练，巩固学生对重点内容的掌握。
第二章整式的化简求值及整式中的整体思想（教案）
一、教学内容
第二章整式的化简求值及整式中的整体思想：
1.章节内容：本章节主要围绕整式的化简求值和整体思想进行讲解。
a.整式的化简：包括合并同类项、去括号、整式的乘法与除法。
b.整式的求值：运用代入法、整体代入法求解整式的值。
c.整式中的整体思想：通过具体实例，引导学生理解整体思想在整式化简和求值中的应用。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了整式的化简求值的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对整式化简求值及整体思想的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“整式的化简求值在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
整体思想在解答求值问题中的应用
整体思想在解答求值问题中的应用作者：黄伟军来源：《广东教育·高中》2010年第12期整体思想是从整体角度出发,分析条件与目标之间的结构关系,对应关系,相互联系及变化规律,从而找出最优解题途径的重要的数学思想.应用整体思想解题，可以使我们站得高，看得远，想得透，用得巧，从而帮助我们从宏观上去调控“已知”与“未知”的关系，进一步帮助我们开拓解题思路，本文主要谈谈整体代入、整体设元、整体变形在求值问题中的应用，供同学们在复习时参考.一、整体代入在解答求值问题中，往往涉及到多个变量，但是我们没有必要分别求出各个量的具体值，这样做比较繁琐，而是将它们的某些关系看作为一个整体，达到顺利而又简捷地解决问题的目的.例1．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1=3，a1+a2+a3=21，求a7+a8+a9的值.分析：解答本题可以利用已知条件求出q，再分别求出a7，a8，a9即可，这样运算量比较大，我们也可挖掘题目的隐含条件，利用通项公式的变形式子am＝anqm-n可得到a7+a8+a9=a1q6+a2q6+a3q6=q6（a1+a2+a3）.解析：设公比为q，由题知a1=３，a１=a1q+a１q２＝２１，得q＝２或q＝－３点评：本题主要考查整体代入在解题中的应用，在解体时能挖掘题目的条件，充分运用整体思想解题能起到简化运算过程的作用. 一般地，an＝amqn-m，（m，n∈N*，m≠n）；ap•aq=ap+k•aq-k，（p，q，k∈N*）.解某些涉及若干量的求值解题时要有目标意识，将题中一些式子视作一个整体代入运算，可以避免一些复杂的运算.二、整体设元在解答求值问题中，往往巧设某一整体为辅助元或未知元，或将某未知元整体用另一些未知元整体代换，寻求解题思路.例2．已知2sin-cos=1，求的值.分析：已知条件是一条含有两个未知数sin，cos的方程，我们知道一条方程不能求出两个未知数sin、cos，若再得到一个关于sin，cos的方程，通过两个方程联立我们可以求出sin，cos，所以我们考虑利用整体设元思想将所求部分变成方程的形式，即设t=，则有（1-t）sin+（1+t）cos=t-1，为此我们找到了解题思路.解析：设t=，则有（1-t）sin+（1+t）cos=t-1，与已知条件2sin-cos=1联立可得sin=，cos=，由（）2+（）2=1，解得t=0或t=2.点评：解答本题巧妙运用整体设元策略，整体设元是一种重要的解题方法，是解题关键性的一步，可以化难为易，几乎每年的高考都要从不同的角度对其进行考查．应用整体思想解题，可以使我们站得高，看得远，想得透，用得巧.三、整体变形在解答求值问题中，将条件等式看成一个整体，根据题目的特点进行适当变形，有助于解题顺利进行.例3．求C111+C211+C311+C411+C511+C611+C711+C811+C911+C1011的值.分析：若我们逐一利用组合数公式来求值可以求解，但是过程烦琐、运算量大，挖掘题目的隐含条件，可以看到所求的值与二项式系数和有点相似，我们不妨利用整体思想先给原式添上C011与C1111，即得到C011+C111+C211+C311+C411+C511+C611+C711+C811+C911+C1011+C1111=211，再减去C011与C1111，则题目就变得简单了.解析：C111+C211+C311+C411+C511+C611+C711+C811+C911+C1011=（C011+C111+C211+C311+C411+C511+C611+C711+C811+C911+C1011+C1111）－C011－C1111=211-2.点评：本题还可以采用其他方法解答，而采用整体变形，沟通了“已知”与“未知”的联系，从而优化了此题的解答.小试牛刀：1．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=45，求a2009+a2010+a2011的值.2．已知＝，且＋＝，求的值.3．设n为满足C0n+C1n+2C2n+…+nCnn温馨提示：1．解析：3a2=15，所以a2=5，（a2-d）a2（a2+d）=45，将a2=5代入，得d2=16，因为公差为正数，所以d=4，a2009+a2010+a2011=3a2010=3（a2+2008d）=24111.2．解析：设＝＝t，则sin=tm，cos=tn，且sin2+cos2=t2（m2+n2）=1，代入已知条件可得：+＝＝，即：+＝，设＝x，则x+=，解得：x=3或，∴＝±或±.3．解析：令S=C0n+C1n+2C2n+...+nCnn (1)S=nCnn+（n-1）Cn-1n+（n-2）Cn-2n+...1C1n+0C0n (2)(1)+(2)得：2S=n（C0n+C1n+C2n+…+Cnn）=n•２n，所以S=n•２n-1.令f（n）=n•２n-1，则f（n）是增函数，因为f（7）=7×26=448，f（8）=8×27=1024，所以满足不等式的最大自然数为7.责任编校徐国坚。
2023年中考数学一轮复习之必考点题型全归纳与分层精练-整式的加减(原卷版)
专题03整式的加减【专题目录】技巧1：求代数式值的技巧技巧2：整式加减在几何中的应用技巧3：整体思想在整式加减中的应用【题型】一、代数式求值【题型】二、同类项【题型】三、整式的加减【题型】四、化简求值【题型】五、图形类规律探索【考纲要求】1、能并用代数式表示，会求代数式的值；能根据特定问题找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算．2、掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并；掌握同类项的有关应用．3、掌握去括号与添括号法则，充分注意变号法则的应用；会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的化简及求值．【考点总结】一、整式整式的相关概念单项式由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数。
如：单项式321abπ-系数是π21-，次数是4。
多项式几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数。
如：多项式2+4x2y﹣3231yx是五次三项式整式整式是单项式与多项式的统称。
同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项。
【考点总结】二、整式的加减运算【注意】1、去括号法则如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．(1)、去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘．(2)、去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．(3)、对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．(4)、去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．2、添括号法则添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．(2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误：如：()a b c a b c +-+- 添括号去括号，()a b c a b c -+-- 添括号去括号合并同类项把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变。
整体思想求值的技巧
ｌ Ｔ
＝
＿
７
＋
）
５
可 对 要 求 式 作 简 单 的 变 形 再代 入 即 可
．
＊ ＋ ４
ｗ
－
ｙ
３
＿
丄
（
丄
）
解 ３ ａ
例
．
２
２
＋ ６ ａ ＝３
（
ａ
＋ ２
ａ ） ＝ ３ ｘ ５ ＝ １ ５
．
２
＾
）
４
已 知 ２ Ｖ ＋
３ｘ
＋ ７
的 值 为 ７ 求６ ＊
，
＋ ９＊
－
８
３
＂
ｘ
＾
－
５
ｊ
，
１
＜ ５ ５
—
＿
＝
￣
的值
￣
分析
—
将要求式进 行转 化
凑
”
出
与 已 知 式 相 同 的 Ｙ
Ｔ７
＝
＂
Ｘ
＇
２
６
—
＋ ２ ０ １
５ ＝
－
＋ ２０
１
４ ＝
２
（
ａ；
－
＊ ＋ ２
－
）
了
（
；
ｃ
－
ｘ
－
６
－
）
２
；
ｃ
的值
．
２〇
１
４
仔 细 观 察 已 知 式 和 要 求 式 它 们 当 中 都 含 有 针 对 训 练
四讲 整体思想巧用
第四讲整体思想在整式加减运算中的巧用运用整体思想解题，常可化繁为简，变难为易，收到事半功倍之效，现就整式加减运算中运用整体思想解题的一些方法技巧举例如下：一、整体合并：例1：计算：43（2x－3y）+30(3y－2x)－12(2x－3y－120)+569分析：因为（2x－3y）=－(3y－2x)，所以可把（2x－3y）看作整体，先合并再去括号，这样较为简便。
解：原式=43（2x－3y）－30(2x－3y)－12(2x－3y)+1440+569=2x－3y+2009二、整体代入例2：若x=1时，代数式ax3+bx+7的值为4，则当x=－1时，代数式ax3+bx+7 的值为（）A.7B.10C.11D.12分析：若分别求出a和b的值再代入，既无必要也不可能，故可考虑整体代入。
解：由题意可得a+b+7=4，即a+b=－3∴－（a+b）=3当x=－1时，原式=－a－b+7=－(a+b)+7=3+7=10，故选B。
三、整体加减例3：已知3x2－3xy=28，3xy－3y2=－13，求代数式x2－y2与x2－2xy+ y2的值。
分析：若由已知条件想解方程组求出x、y的值，再代入求解，则超出初一学生所学范围，仔细观察已知式和要求式，便可发现，只要将已知式整体相加减再变形，即可求解。
解：将两式分别相加得3x2－3xy+3xy－3y2=28－13可化为3（x2－y2）=15∴x2－y2=5两式相减得3x2－3xy－3xy+3y2=28+13=41∴x2－2xy+y2=41/3一、自查：1. 单项式4333y x -的系数是 ，次数是 ． 2. 若23122++-m n y x 与41135--m y n x 是同类项，则m n n m -+)(= ．3. 己知0122=++a a ，则求3422-+a a 的值为 ．4. 如果5324331+-k ab b a 是五次多项式，那么k= ． 5. 计算：()()()()2356x y z x y z x y z x y z +---+-+-+-+= ．二、梳理：1. 知识上① ⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧分式、几次几项式系数；、次数；、概念；多项式系数、次数；、概念；单项式整式代数式4321---321--- ② 整式的加减：关键词：同类项；去括号；先化简，再求值.2. 方法上：这部分内容涉及到整体、方程、转化等数学思想，特别是运用整体思想对某些问题进行整体处理，常能化繁为简，收到事半功倍的效果．三、典型问题：例1、先化简再求值：{}a a a a a a a a 3]9)2(85[41522222-+---+--，其中51-=a例2、计算：222213344a b ab ab a b ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.变式1：一个多项减去2234ab a b +，差为22122a b ab -,求这个多项式.例3、已知：多项式a x b x c x 539+++，当x =3时，它的值为81，则当x =-3时，它的值为多少？变式1：设a b c b -=-=313，，求代数式()()3252a c c a -+--的值变式2：若4=+-b a b a ，求代数式)(2)(5b a b a b a b a -+-+-的值？四、巩固练习：1. 若 －3axy m 是关于x 、y 的单项式，且系数为－6，次数为3，则a ＝________， m ＝________．2. 3)2(42-+-x m x n 是关于x 的四次二项式，则=n m ___________.3. 若3223m n x y x y -与 是同类项，则m +n =____________.4. 若当2x =时，代数式35ax bx -+的值是4，则当2x =-时，35ax bx -+的值是 ．5. 已知05322=--a a ，那么109124234-+-a a a =____________.6. 个位上数字是a,十位上数字是b,百位上的数字是c 的三位数与把该三位数的个位数字、百位数字对调位置后所得的三位数的差为 ____________.7. 化简：=-+--)(3)3(2b a b a a ，=---24354b ab ab ． 8. 一条铁丝正好可围成一个长方形，一边长为b a +2，另一边比它大b a -，则长方形的周长是 ____________.9. 下列代数式中，①ab ·2 ②. a ÷4 ③. －4×a ×b ④. xy 213⑤. mn 35 ⑥ . －3×6 书写正确的是____________.（填序号）10. 计算：63)(41)(21y x y x y x y x --++++-=____________. 11. 若a ＜0, 则 2a+5a = ____________.12. 代数式 2)(3a x -+- 的最小值为_______，这时x =_______.13. 已知：b a A 35+=，b a a B 2223-=，2722-+=b a a C ，当a=1,b=2时， 求C B A 32+-的值.14. 先化间，再计算： )32(35)23(61)32(21)32(31y x x y y x y x --+---++--，其中x=2，y=1.。
整体思想在整式的加减求值中的运用
（ 一ｂ ｂ ）＋（ 一 ）＝３ ＋４ ＋７ ＝７ 口 ）＋（ —Ｃ２ 口 ｃ 。 ４
瓣 整 拆 求 体分值
辩 已 ｘ ：０３＋ｘ＝ ， ｘ ８ ９ 的 是 知２十 １， ２ ６ 求４＋ ＋ｙ 值 ｙ ｙ
多少 ．
解析
直接 用 ＋ｘ ｙ＝１ ０和 ３ ｙ＋２ｙ＝６两个 整体 的值 ， ｘ 需
整化求 体简值
：
ｒ
已 ｙ ， 数 ｝ 一 一 ｝ 知＝ ３ 代 式 ｙ 斋 ｙ＋ （ ＋求 ） ＋ ） 一
ｙ＋ （ ）＋ 的 ・ ）击 ， ２ 值 一）
解析 根 据式 子 的特点 ， 将整 式 中 的“ —ｙ 看 成一 个 整体 ， ” 可
使 运算 简便 ．
原＝ （ （ 式 ［ ）｝ ｝ 十
要将 乱 ＋８ｙ＋９ ｘ ｙ拆 分 成 含有 这 两个 整 体 的代 数 式 ， 答关 键 是 解 按整 体 的倍数 拆分 待求 代 数式 ．
４ ＋８ｙ ｙ＝（ｘ＋２ｙ ＋（ ｘ ｘ ＋９ ４ ｘ） ６ｙ＋９ ） （ｘ＋ ） （ ｘ ｙ ＝２ ２ ＋３ ２ｙ＋
３ ｙ）＝２× １ ０＋３×６＝３ ． ８
解析 本 题 无 法直 接 求 出 字母 ０ ｂ Ｃ的值 ， ，， 观察 后 可 直接 将
ｎ—ｂ＝３和 ｂ—ｃ＝４整体 代 人原 式 中 ， 而对 于 口 一ｃ的值 ， 则需 要
Ｅ ｅ ｙ ｎ ｓ ｏ ａ ｄ ｈ ｓａｄ ｒ ｉ ｅｗ ｉｈ ｈ ｅ ｅ ｈ ｗ ｏａ ｙ ｏ ｙ ｖ ｒ ｏ ｅｉ ａｍｏ ｎ， ｎ ａ ａ ｋｓｄ ｈ ｃ ｅ ｎ ｖ ｒ ｏ ｓｔ ｎ ｂ ｄ ． ｓ
： ２＝（ ｙ —ｙ ． — ）＋（ ） ＋２ ： 由 ＝ Ｙ＋３ 得 —Ｙ＝３ ， ，
斋（ ＋ （ ＋
典中点《提分练习18 整体思想在解题中的七种技巧》
《提分练习18 整体思想在解题中的七种技巧》典例剖析例 若实数a ，b 满足2a b b a+=，求22224a ab b a ab b ++++的值. 解题秘方：整体思想在一些复杂、非常规的命题中是一种应用非常广泛的思想，它能将复杂问题简单化.解答本题时，可将所求式子的分子、分母同时除以ab ，再进行适当变形，使之出现条件式，最后整体代入求值.解：由2a b b a+=，知ab ≠0. ∴2222144a b a ab b b a a b a ab b b a ++++=++++= ()1()4a b b a a b b a++++=211242+=+. 分类训练技巧1 整体代换在求值中的应用1.（1）已知2830a a --=，求（a -1）（a -3）+（a -5）（a -7）的值.（2）已知2222019,2020,2021a d b d c d +=+=+=，且abc =24，求a b c bc ca ab++-111a b c --的值. 技巧2 整体代换在求角的度数中的应用2.如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6.技巧3 整体代换在比较线段大小中的应用3.如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边的中点，AE 平分∠BAF ，试判断AF 与BC +CF 的大小关系，并说明理由.技巧4 整体变形在求值中的应用4.计算：2022920229202299999991999⨯+个个个.技巧5 整体设元在求值中的应用5.计算：1111111111(1)()(1)2320212342022232022----++++----- 1111()2342021++++. 技巧6 整体补形在求图形周长中的应用6.如图，凸六边形 ABCDEF 的六个角都是120°，AB =5 cm ，BC =8 cm ，CD =10 cm ，DE =6 cm.求这个六边形的周长.技巧7 整体配凑在求值中的应用7.若abc ≠0，且a +b +c =0，求222222222111a b c b c a c a b+++-+-+-的值.参考答案1.答案：解：（1）原式=221638a a -+.∵2830a a --=，∴283a a -=.∴原式=28)38442(a a -+=.（2）由已知可得a -b =-1，b -c =-1，c -a =2，则原式=2221()a b c bc ac ab abc ++--- 2221[()()()]2a b b c c a abc=-+-+- 11(114)488=⨯++=. 2.答案：解：由题图可知，∠1+∠2=∠DAB ，∠3+∠4=∠IBA ，∠5+∠6=∠GCB . 根据三角形外角和定理，得∠DAB +∠IBA +∠GCB =360°，所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°.3.答案：解：AF 与BC +CF 的大小关系为AF =BC +CF .理由如下：如图，分别延长AE ，DC 交于点G .∵E 为BC 边的中点，∴易证△ABE ≌△GCE .∴AB =GC ，∠BAE =∠CGE .又∵AB =BC ，∴BC =GC .∴BC +CF =GF .∵AE 平分∠BAF .∴∠BAE =∠F AE .∴∠F AE =∠CGE .∴AF =GF .∴AF =BC +CF .点拨：证明一条线段等于另外两条线段的和或差，常常用截长法或补短法把问题转化为证明两条线段相等的问题.本题中我们将BC +CF 转化为FG 这一整体，从而达到了解决问题的目的.4.解：原式=20229202292022920229999(9991)9991999⨯+-+个个个个 =202292022202299910001000⨯+个个0个0 =2022202291000(9991)⨯+个0个 =10004044个0. 点拨：观察式子特点，用凑整法可简化运算.整体变形是将问题中某些局部运算作整体变形处理，使之呈现规律性结构形式，从而达到简化问题或减少运算量的目的.5.答案：解：设11112342021a ++++=，则原式=11(1)()(1)20222022a a a a -⋅+--- 2211.2022202220222022a a a a a a =+---++= 点拨：本题数据较多，直接计算显然无法进行，注意到题中出现相同算式，因而考虑整体设元.整体设元是用新元去代替已知式中的某一部分，从而达到化繁为简、化难为易的目的.6.答案：解：如图，延长CB ，F A 交于点G ，延长BC ，ED 交于点H ，延长DE ，AF 交于点M .则△ABG ，△CDH ，△EFM ，△GHM 均为等边三角形，∴GB =AB =5 cm ，CH =CD =10 cm.∴GH =GB +BC +CH =23 cm.∴ME =MH -DH -DE =GH -CD -DE =23-10-6=7（cm ）.∴EF =7 cm.∴AF =GM -GA -MF = GH -AB -EF = 23-5-7=11（cm ）.∴六边形ABCDEF 的周长为5+8+10+6+7+11=47 cm.点拨：整体补形是对一些不规则的图形进行添补，从而得到常见的图形.本题通过适当向外作延长线，根据六个角都是120°，可得到等边三角形，进而求解.7.答案：解：原式=222111()()()()()()a b c b c b c a c a c a b a b ++++-+-++-+ 222111()()()a abc b b c a c c a b =++------ 111()()()a abc b b c a c c a b =++-+-+-+ 111222ab bc ca=--- 02a b c abc ++=-=. 点拨：本题是把所求式子配凑成与条件a +b +c =0相关的式子，再进行求解.。