陕西省黄陵中学高新部2019-2020学年高二上学期期中考试数学(理)试题
一、单选题
1. “ ”是“ A．充要条件
”的（） B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
2. 若
是假命题，则（ ）
A． 是真命题， 是假命题
C． 至少有一个是假命题
B． 均为假命题 D． 至少有一个是真命题
，则 ，则
5. 命题“存在实数x,，使x > 1”的否定是（） A．对任意实数x, 都有x > 1 C．对任意实数x, 都有x 1
陕西省黄陵中学高新部2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题
B．不存在实数x，使x 1 D．存在实数x，使x 1
6. 已知椭圆C: A．点A在椭圆C上
，点
，则点A与椭圆C的位置关系是（ ）．
B．点A在椭圆C内
C．点A在椭圆C外
D．无法判断
7. 已知抛物线 A．1
上有一点 B．2
，它到焦点 的距离为5，则 C．
的面积（ 为原点）为（ ） D．
8. 已知双曲线 A． C．
的离心率
，且其右焦点
,则双曲线 的方程为（ ） B． D．
9. 椭圆 A．5
的焦距为2，则m的值等于（ ） B．3
的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
19. （1）已知抛物线标准方程是
，求它的焦点坐标和准线方程.
（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2），求它的标准方程.
20. 求过点（3，﹣2）且与椭圆4x2+9y2=36有相同焦点的椭圆方程．
21. 圆 经过点
且与圆
内切，求圆心 的轨迹方程．
22. 有公共边的等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，求异面直线AB和CD所成角的余弦值．
3. 命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( ) A．若x＋y不是偶数，则x，y都不是偶数 B．若x＋y是偶数，则x，y不都是偶数 C．若x＋y是偶数，则x，y都不是偶数 D．若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数
4. 已知 A．若 C．若
，命题“若 ，则 ，则
”的否命题是 B．若 D．若
C．
D．
12. 已知向量
，
，且
与
互相垂直，则 的值是（ ）
A．-1
B．
C．
D．
二、填空题
13. “若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是________．
14. 若命题p的否定是“对所有正数x， >x＋1”，则命题p是________．
15. 若椭圆
C．5或3
D．8
10. 设平面α的法向量为（1，2，﹣2），平面β的法向量为（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k=（）
A．2
B．﹣4
C．4
D．﹣2
11. 在平行六面体
陕西省黄陵中学高新部2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题
中，M为 与 的交点，若
,
，则与 相等的向量是（ ）
A．
B．
上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离是________.
16. 焦点在x轴的正半轴，且焦点到准线的距离为4的抛物线标准方程为________.
三、解答题
17. 若“
，
”为真命题，求实数m的最大值。
18. 已知
或
是
陕西省黄陵中学高新部2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题
2019-2020学年高二理科数学上学期期中卷(考试版)_PDF压缩
销售量 y
11
n
8
6
5
由散点图可知，销售量 y 与价格 x 之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是 yˆ 3.2x 40 ，且
m n 20 ，则其中的 n
A．12
B．11
C．10
D．10.5
6．下列结论错误的是
A．命题“若 x2 3x 2 0 ，则 x 2 ”的逆否命题是“若 x 2 ，则 x2 3x 2 0 ” B．“ a b ”是“ ac2 bc2 ”的充分不必要条件 C．命题：“ x R ， x2 x 0 ”的否定是“ x R ， x2 x 0 ” D．若“ p q ”为假命题，则 p, q 均为假命题
某学习小组在研究性学习中，对昼夜温差大小与绿豆种子一天内出芽数之间的关系进行研究，该小组在 4 月份记录了 1 日至 6 日每天昼夜最高、最低温度(如图 1)，以及浸泡的 100 颗绿豆种子当天内的出芽数 (如图 2).
（1）试预测：高三 6 次测试后，甲、乙两个学生的平均成绩分别为多少？谁的成绩更稳定？
1 个，标号为 2 的小球 2 个，从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球，记第一次取出的小球标号为 a ，第 二次取出的小球标号为 b . （1）记事件 A 表示“ a b 2 ”，求事件 A 的概率； （2）在区间[0, 2] 内任取 2 个实数 x, y ，记 (a b)2 的最大值为 M ，求事件“ x2 y2 M ”的概率.
（2）若已知甲、乙两个学生的高二 6 次考试成绩分别由低到高进步的，定义 y 为高三的任意一次考试 后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值，求 y 的平均值.
20．（本小题满分 12 分）
已知命题 p ： x R ， tx2 x t 0 . （1）若 p 为真命题，求实数 t 的取值范围； （2）命题 q ： x [2,16] ， t log2 x 1 0 ，当 p q 为真命题且 p q 为假命题时，求实数 t 的取值
陕西省延安市黄陵中学高新部高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年陕西省延安市黄陵中学高新部高二上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．设a b >， a ， b ， c R ∈则下列命题为真命题的是（ ） A ．22ac bc > B ．1ab> C ．a c b c ->- D ．22a b > 【答案】C【解析】对A ， 0c =时不成立；对B ， 0b ≤时不成立；对C ，正确；对D ， 0a ≤时不正确，故选C.2．若p 是真命题，q 是假命题，则 A ．p q ∧是真命题 B ．p q ∨是假命题 C ．p ⌝是真命题 D ．q ⌝是真命题【答案】D【解析】试题分析：因为p 是真命题，q 是假命题，所以p q ∧是假命题，选项A 错误，p q ∨是真命题，选项B 错误，p ⌝是假命题，选项C 错误，q ⌝是真命题，选项D 正确，故选D.【考点】真值表的应用.3．已知双曲线2222:1x y C a b-=的离心率54e =，且其右焦点2(5,0)F ,则双曲线C 的方程为（ ）A ．22143x y -= B ．221169x y -= C ．221916x y -=D ．22134x y -= 【答案】B【解析】 由双曲线2222:1x y C a b-=的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F ，可得554c c a =⇒=，所以4,3a b ===， 所求双曲线的方程为221169x y -=，故选B ．4．曲线2y x =在()1,1处的切线方程是（ ）A ．230x y ++=B ．230x y --=C ．210x y ++=D ．210x y --=【答案】D【解析】先求出导数，再把1x =代入求出切线的斜率，代入点斜式方程并化为一般式． 【详解】解：由题意知，2y x '=，∴在(1,1)处的切线的斜率2k =，则在(1,1)处的切线方程是：12(1)y x -=-， 即210x y --=， 故选：D ． 【点睛】本题考查了导数的几何意义，即在某点处的切线斜率是该点处的导数值，以及直线方程的点斜式和一般式的应用，属于基础题． 5．若()()000im1l x f x x f x x∆→+∆-=∆，则()0'f x 等于（ ）A ．0B ．1C ．3D ．13【答案】B【解析】根据题意，由导数的定义可得答案． 【详解】解：根据题意，若000()()lim1x f x x f x x →+-=，则000000000()()()()()lim lim 1()()x x f x x f x f x x f x f x x x x x→→+-+-'===+-， 即0()1f x '=； 故选：B ． 【点睛】本题考查导数的定义，掌握导数与极限的关系即可． 6．下列各式正确的是( ) A ．()sin cos a a '=(a 为常数) B ．()cos sin x x '= C ．()sin cos x x '=D ．()5615xx '--=-【解析】由基本的求导公式可得：()'sin 0a =(a 为常数)； ()'c o s s i n x x =-； ()'sin cos x x = ；()'565x x --=-.本题选择C 选项.7．已知函数()y f x =，其导函数()'y f x =的图象如下图所示，则()y f x =（ ）A ．在(),0-∞上为减函数B ．在0x =处取极小值C ．在()4,+∞上为减函数D ．在2x =处取极大值【答案】C【解析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点． 【详解】解：根据导函数图象可知当()()0,24,x ∈+∞时，()0f x '<，在()(),02,4x ∈-∞时，()0f x '>，∴函数()y f x =在()0,2和()4,+∞上单调递减，在(),0-∞和()2,4上单调递增，0x ∴=、4x =为函数()y f x =的极大值点，2x =为函数()y f x =的极小值点，则正确的为C . 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了导函数图象与函数的性质的关系，以及函数的单调性、极值等有关知识，属于中档题．8．若函数()329f x x ax =+-在2x =-处取得极值，则a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由()f x 在2x =-时取得极值，求出()f x '得(2)0f '-=，解出a 的值．解：32()9f x x ax =+-，2()32f x x ax ∴'=+；又()f x 在2x =-时取得极值，(2)1240f a ∴'-=-=； 3a ∴=．故选：B ． 【点睛】本题考查了应用导数求函数极值的问题，是基础题． 9．()21i i -⋅=（ ） A ．22i - B ．22i + C ．2 D ．2-【答案】C【解析】()()21i i 2i i 2-=-=，故选C. 10．由“1223<， 2435<， 2547<”得出：“若0a b >>且0m >，则b b m a a m +<+”这个推导过程使用的方法是（ ）A ．数学归纳法B ．演绎推理C ．类比推理D ．归纳推理 【答案】D【解析】根据部分成立的事实，推断出一个整体性的结论，这种推理是归纳推理中的不完全归纳法，所以选D ．11．函数()y f x =在点0x 取极值是()0'0f x =的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．必要非充分条件 【答案】A【解析】函数可导，取极值时导数为0，但导数为0并不一定会取极值． 【详解】解：若函数()y f x =在点0x 处可导，且函数()y f x =在点0x 取极值， 则0()0f x '=，若0()0f x '=，则连续函数()y f x =在点0x 处不一定取极值，例如：3()f x x =．故选：A ． 【点睛】本题考查了函数的极值与导数之间的关系，属于基础题．12．函数的定义域为，其导函数在的图象如图所示，则函数在内的极小值点共有( )A ．个B ．个C ．个D ．个【答案】C【解析】根据极小值点存在的条件，可以判断出函数的极小值的个数。
2019-2020学年陕西省延安市黄陵中学(重点班)高二上学期期末数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年陕西省延安市黄陵中学（重点班）高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．数列1,3,7,15,…的通项公式n a 等于（ ） A ．2n B ．21n + C ．21n - D ．12n -【答案】C【解析】11211a =-=，22213a =-=，33217a =-=，442115a =-=，故可得21n n a =-，故选C.2．在△ABC 中，“A ＝4π”是“cos A ＝2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据在ABC ∆中，根据角得范围和特殊角的三角函数值，及充要条件的判定方法，即可判定，得到答案. 【详解】在ABC ∆中，则0A π<<，所以cos 42A A π=⇒=且cos 24A A π=⇒=，所“4A π=”是“cos A =的充要条件，故选C. 【点睛】本题主要考查了充要条件的判定问题，其中熟记充要条件的判定方法，以及特殊角的三角函数值是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 3．命题:p ∀x ∈R ，210x +>，命题:q ∃R θ∈，223sin cos 2θθ+=，则下列命题中是真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧C ．p q ⌝∨D ．()p q ∧⌝【答案】D【解析】由于命题p ：∀x ∈R ，x 2+1＞0，为真命题，而命题q ：∃θ∈R ，sin 2θ+cos 2θ=1.5为假命题再根据复合命题的真假判定，一一验证选项即可得正确结果．【详解】命题p ：由于对已知∀x ∈R ，x 2≥0，则x 2+1≥1＞0， 则命题p ：∀x ∈R ，x 2+1＞0，为真命题，￢p 为假命题； 命题q ：由于对∀θ∈R ，sin 2θ+cos 2θ=1，则命题q ：∃θ∈R ，sin 2θ+cos 2θ=1.5为假命题，￢q 为真命题． 则p ∧q 、￢p ∧q 、￢p ∨q 为假命题，p ∧（￢q ）为真命题． 故选D ． 【点睛】题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断． 4．不等式223x x -≤+的解集是( ) A ．{x |x ＜－8或x ＞－3} B ．{x |x ≤－8或x ＞－3} C ．{x |－3≤x ≤2} D ．{x |－3＜x ≤2}【答案】B【解析】先将分式不等式223x x -≤+转化为整式不等式(3)(8)030x x x ++≥⎧⎨+≠⎩，再解二次不等式即可得解. 【详解】 解:因为223x x -≤+,所以803x x +≥+,所以(3)(8)030x x x ++≥⎧⎨+≠⎩ ,解得8x ≤-或3x >-, 故选：B. 【点睛】本题考查了分式不等式的解法，主要要注意分母不为0，重点考查了二次不等式的解法及运算能力，属基础题.5．若a ＜1，b ＞1，那么下列不等式中正确的是( ) A ．11a b> B ．1ba> C ．a 2＜b 2 D ．ab ＜a ＋b【答案】D【解析】举反例说明ABC 错误，利用不等式性质证明D 正确. 【详解】当2,2a b =-=时满足a ＜1，b ＞1，但221111,11,422ba b a b a=-<==-<==，即A,B,C 错误；()(1)(1)1ab a b a b -+=---Q ，又a ＜1，b ＞1，所以(1)(1)1010a b ab a b ---<-<∴<+， 故选:D 【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题. 6．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64【答案】A【解析】根据等差数列性质解得8a ，再根据等差数列性质得结果. 【详解】因为79881284162168216115a a a a a a a +=∴=∴=∴=-=-= 故选:A 【点睛】本题考查等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.7．双曲线2239x y -=的实轴长是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：化方程为双曲线的标准方程得：22139x y -=，所以223,9a b ==，故实轴长为2a =，故选A ．【考点】1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质．8．空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．无法确定【答案】A【解析】由已知得AB u u u r =（﹣2，﹣2，2），CD uuu r =（1，1，﹣1），AB u u u r=﹣2CD uuu r ，从而得到直线AB 与CD 平行． 【详解】∵空间直角坐标系中，A （1，2，3），B （﹣1，0，5），C （3，0，4），D （4，1，3），∴AB u u u r=（﹣2，﹣2，2），CD uuu r =（1，1，﹣1），∴AB u u u r =﹣2CD uuu r， ∴直线AB 与CD 平行． 故选：A ． 【点睛】本题考查空间两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题． 9．已知向量()1,0,1a =-r ，则下列向量中与a r成60o 的是（ ） A ．()1,1,0- B ．()1,1,0- C ．()0,1,1- D ．()1,0,1- 【答案】B【解析】试题分析：对于A 选项中的向量()11,0,1a =-u r，1111cos ,2a a a a a a ⋅〈〉===-⋅u r r u r r u r r ，则1,120a a 〈〉=o ur r ；对于B 选项中的向量()21,1,0a =-u u r ，2221cos ,2a a a a a a ⋅〈〉===⋅u u r r u u r ru u r r ，则2,60a a 〈〉=o u ur r ；对于C 选项中的向量()30,1,1a =-u u r ，2321cos ,2a a a a a a ⋅〈〉===-⋅u u r r u u r ru u r r ，则2,120a a 〈〉=o u ur r ；对于D 选项中的向量()41,0,1a =-u u r ，此时4a a =-u u r r ，两向量的夹角为180o.故选B.【考点定位】本题考查空间向量数量积与空间向量的坐标运算，属于中等题. 10．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则33a b +的最小值是( ) A ．18 B ．6C ．D ．【答案】B【解析】由重要不等式可得33a b +≥=，再根据a ＋b ＝2，代入即可得解.【详解】解：由实数a ，b 满足a ＋b ＝2，有336a b +≥==，当且仅当33a b =，即1a b ==时取等号， 故选:B. 【点睛】本题考查了重要不等式的应用及取等的条件，重点考查了运算能力，属基础题.11．钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，，则AC=( )A ．5BC ．2D ．1【答案】B【解析】由面积公式得：1122B =，解得sin B =，所以45B o =或135B =o ，当45B o =时，由余弦定理得：21245AC =+-o =1，所以1AC =，又因为AB=1，，所以此时ABC ∆为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以135B =o ，由余弦定理得：212AC =+-o =5，所以AC = B.【考点】本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式，考查解三角形的基础知识.12．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A【解析】试题分析：如图取P 与M重合，则由2(,0),(,)b A a M c a--⇒直线22:()(0,)b b a AM y x a Ec a a c=+⇒-+-同理由222221(,0),(,)(0,)33b b b b B a Mc G a c e a a c a c a c -⇒⇒=⇒=⇒=+-+,故选A.【考点】1、椭圆及其性质；2、直线与椭圆.【方法点晴】本题考查椭圆及其性质、直线与椭圆，涉及特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 如图取P 与M重合，则由2(,0),(,)b A a M c a--⇒直线22:()(0,)b b a AM y x a E c a a c=+⇒-+-同理由2(,0),(,)(0,b B a M c G a -⇒22221)33b b b ac e a c a c a c ⇒=⇒=⇒=+-+.二、填空题 13．命题“∃x 0∈(0,)2π，tan x 0≤sin x 0”的否定是______________________．【答案】(0,),tan sin 2x xx p "?【解析】根据特称命题的否定直接求解. 【详解】因为命题,x P $的否定为,x P "?故答案为: (0,),tan sin 2x x x p "?【点睛】本题考查特称命题的否定，考查基本分析求解能力，属基础题. 14．已知椭圆5x 2－ky 2＝5的一个焦点是(0，2)，则k ＝________． 【答案】1-【解析】先化成椭圆标准形式，再根据方程列等量关系，解得结果.【详解】222255151yx x ky k-=\+=-Q 因为椭圆5x 2－ky 2＝5的一个焦点是(0，2)， 所以25121k k-=\=-- 故答案为: 1- 【点睛】本题考查椭圆标准方程形式以及基本量计算，考查基本分析求解能力，属基础题.15．已知()()()241312a x b y c z =-=-=-r r r ，，，，，，，，，且a b c r r r ，，两两垂直，则(x ，y ，z)＝________． 【答案】(－64，－26，－17)【解析】根据向量的数量积等于0列方程组得出x ，y ，z 的值． 【详解】∵a b c rrr，，两两垂直，∴0a b ⋅=rr ，0a c ⋅=r r，0b c ⋅=r r，∴21204401230x y x z y z -+-=⎧⎪--=⎨⎪--+=⎩， 解得：x=﹣64，y=﹣26，z=﹣17． 故答案为：(－64，－26，－17)． 【点睛】本题考查了空间向量垂直与数量积的关系，属于基础题．16．如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，则点B 1到平面ABC 1的距离为 ．【答案】【解析】试题分析：在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题采用的是“找垂面法”：即找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段．观察点的位置可知：点B1到平面ABC1的距离就等于点C到平面ABC1的距离，取AB得中点M，连接CM，C1M，过点C作CD⊥C1M，垂足为D，则平面ABC1⊥平面C1CM，所以CD⊥平面C1AB，故CD的长度即为点C 到平面ABC1的距离，在Rt△C1CM中，利用等面积法即可求出CD的长度．解：如图所示，取AB得中点M，连接CM，C1M，过点C作CD⊥C1M，垂足为D∵C1A=C1B，M为AB中点，∴C1M⊥AB∵CA=CB，M为AB中点，∴CM⊥AB又∵C1M∩CM=M，∴AB⊥平面C1CM又∵AB⊂平面ABC1，∴平面ABC1⊥平面C1CM，平面ABC1∩平面C1CM=C1M，CD⊥C1M，∴CD⊥平面C1AB，∴CD的长度即为点C到平面ABC1的距离，即点B1到平面ABC1的距离在Rt△C1CM中，C1C=1，CM=，C1M=∴CD=，即点B1到平面ABC1的距离为故答案为：【考点】点、线、面间的距离计算．三、解答题17．已知命题p ：2lg(22)0x x --≥；命题q ：112x-<.若p 是真命题，且q 是假命题，求实数x 的取值范围. 【答案】4x ≥或1x ≤-【解析】p 为真:等价于不等式2221x x --≥ q 为假等价于不等式112x-≥的解。
2020-2021学年陕西省黄陵中学高二上学期期末考试数学(理)试题及答案 解析版
绝密★启用前黄陵中学2020-2021学年度第一学期高二年级理科数学期终试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知命题p ：20,x x e x ∀<≥，则p ⌝为（）A ．00x ∃<，020x e x <B ．00x ∃≥，020x e x <C ．0x ∀<，2x e x <D ．0x ∀≥，2x e x <2．关于x 的不等式2450x x -++>的解集为（）A ．(5,1)-B ．(1,5)-C ．(,5)(1,)-∞-+∞D ．(,1)(5,)-∞-+∞3．已知平面α、β的法向量分别为)41(，，y a -= 、)21(--=，，x b 且β⊥α，则y x +的值为()。
A 、8-B 、4-C 、4D 、84．设直线l 的方向向量是，平面α的法向量是n ，则“⊥”是“α//l ”的()。
A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件5．已知实数x ，y 满足不等式组40,0,1,x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩，则23z x y =+的最小值为（）A ．0B ．2-C ．3-D ．5-6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，五人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配)。
”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得()。
A 、一鹿、三分鹿之一B 、一鹿C 、三分鹿之二D 、三分鹿之一7．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（）A ．64B ．81C ．128D ．2438.已知椭圆x 225+y 216=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点的距离为( ) A.2B.3C.5D.7 9．若双曲线122=-my x 的一个焦点为)03(，-，则=m ()。
2019-2020学年陕西省黄陵中学(重点班)高二上学期期末考试数学(理)试题
2019-2020学年度第一学期黄陵中学高二重点班期末考试数学（理）试题★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．） 1．数列1，3，7，15，…的通项公式a n 可能是( )A ．2nB ．2n ＋1C ．2n －1D ．2n －12．在△ABC 中，“A ＝π4”是“cos A ＝22”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0，命题q ：∃θ∈R ，sin 2θ＋cos 2θ＝1.5，则下列命题中真命题是( )A ．p ∧qB ．（¬p )∧qC ．(¬p )∨qD ．p ∨(¬q )4．不等式x －2x ＋3≤2的解集是( )A ．{x |x ＜－8或x ＞－3}B ．{x |x ≤－8或x ＞－3}C ．{x |－3≤x ≤2}D ．{x |－3＜x ≤2}5．若a ＜1，b ＞1，那么下列不等式中正确的是( )A.1a ＞1bB ．b a ＞1C ．a 2＜b 2D ．ab ＜a ＋b6．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．647．双曲线3x 2－y 2＝9的实轴长是( )A ．2 3B ．2 2C ．4 3D ．4 28．空间直角坐标中A (1，2，3)，B (－1，0，5)，C (3，0，4)，D (4，1，3)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法确定9．已知向量a ＝(1，0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( )A ．(－1，1， 0)B ．(1，－1，0)C ．(0，－1，1)D ．(－1，0，1)10.若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )A ．18B ．6C ．2 3 D.4 311．已知钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5B ． 5C ．2D ．112.已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） A. 13B. 12C.23D.34二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．命题“∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x 0≤sin x 0”的否定是______________________．14．已知椭圆5x 2－ky 2＝5的一个焦点是(0，2)，则k ＝________． 15．已知a ＝(x ，2，－4)，b ＝(－1，y ，3)，c ＝(1，－2，z )，且a ，b ，c 两两垂直，则(x ，y ，z )＝________．16.在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，则点B 1到平面ABC 1的距离为________．三、解答题（本大题共7小题，共80分）17．(本小题满分10分)已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0，命题q ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x 2<1.若p 是真命题，q 是假命题，求实数x 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知空间三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k 的值．19．(本小题满分12分)求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)焦点在坐标轴上，顶点在原点，且过点(－3，2)；(2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点在直线x －2y －4＝0上． 20．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4.(1)证明：AC ⊥BC 1；(2)求二面角C 1AB C 的余弦值大小21．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π3，sin B ＝3sin C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．22．(本小题满分12分)已知双曲线方程为x 2－y 22＝1，问：是否存在过点M (1，1)的直线l ，使得直线与双曲线交于P ，Q 两点，且M 是线段PQ 的中点？如果存在，求出直线的方程，如果不存在，请说明理由．23．(本小题满分10分)如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝4，点E 在线段AB 上．过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置(点A 与P 重合)，使得∠PEB ＝60°.(1)求证：EF⊥PB.(2)试问：当点E在线段AB上移动时，二面角P-FC-B的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由．解：由p 是真命题，知lg(x 2－2x －2)≥0，所以x 2－2x －2≥1⇔x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.由q 是假命题知⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x 2≥1，故1－x 2≤－1或1－x 2≥1， 解得x ≥4或x ≤0.所以x 的取值范围是{x |x ≤－1或x ≥4}．解：＝＝－，1，2)－(－2，0，2)＝(1，1，0)，b ＝AC →＝(－3，0，4)－(－2，0，2)＝(－1，0，2)．(1)cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010，所以a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010.(2)ka ＋b ＝(k ，k ，0)＋(－1，0，2)＝(k －1，k ，2)，ka －2b ＝(k ，k ，0)－(－2，0，4)＝(k ＋2，k ，－4)，所以(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0. 即2k 2＋k －10＝0，所以k ＝－52或k ＝2.解：(1)当焦点在x 轴上时，设抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)．把(－3，2)代入，得22＝－2p ×(－3)，解得p ＝23.所以所求抛物线的标准方程为y 2＝－43x .当焦点在y 轴上时，设抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)．把(－3，2)代入，得(－3)2＝4p ，解得p ＝94.所以所求抛物线的标准方程为x 2＝92y .(2)直线x －2y －4＝0与x 轴的交点为(4，0)，与y 轴的交点为(0，－2)，故抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)．当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则p 2＝4，所以p ＝8.所以抛物线方程为y 2＝16x .当焦点为(0，－2)时，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则－p2＝－2解：直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，故AC ，BC ，CC 1两两垂直，建立空间直角坐标系(如图)，20（12分） 19（12分）则C (0，0，0)，A (3，0，0)，C 1(0，0，4)，B (0，4，0)，B 1(0，4，4)．(1)证明：AC →＝(－3，0，0)，BC 1→＝(0，－4，4)，所以AC →·BC 1→＝0.故AC ⊥BC 1.(2)解：平面ABC 的一个法向量为m ＝(0，0，1)，设平面C 1AB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，AC 1→＝(－3，0，4)，AB →＝(－3，4，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC 1→＝0，n ·AB →＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4z ＝0，－3x ＋4y ＝0， 令x ＝4，则y ＝3，z ＝3，n ＝(4，3，3)，故cos 〈m ，n 〉＝334＝33434.即二面角C 1AB C 的余弦值为33434.解：(1)因为A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－C ＝3sin C ，所以32cos C ＋12sin C ＝3sin C ，即 3 2cos C ＝52sin C ，得tan C ＝35.(2)由b sin B ＝c sin C ，sin B ＝3sin C ，得b ＝3c .在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2 bc cos A ＝9c 2＋c 2－2×(3c )×c ×12＝7c 2，又因为a ＝7，所以c ＝1，b ＝3，所以△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝334.解：显然x ＝1不满足条件，设l ：y －1＝k (x －1)．联立y －1＝k (x －1)和x 2－y 22＝1，消去y 得(2－k 2)x 2＋(2k 2－2k )x －k 2＋2k －3＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由Δ＞0，得k ＜32，x 1＋x 2＝2（k －k 2）2－k 2，由M (1，1)为PQ 的中点，得x 1＋x 22＝k －k 22－k 2＝1，解得k ＝2，这与k ＜32 矛盾，所以不存在满足条件的直线l .(1)证明：在Rt △ABC 中，因为EF ∥BC ，所以EF ⊥AB ，所以EF ⊥EB ，EF ⊥EP ，又因为EB ∩EP ＝E ，EB ，EP ⊂平面PEB ，所以EF ⊥平面PEB . 又因为PB ⊂平面PEB ，所以EF ⊥PB .(2)解：在平面PEB 内，过点P 作PD ⊥BE 于点D ，由(1)知EF ⊥平面PEB ，所以EF ⊥PD ，又因为BE ∩EF ＝E ，BE ，EF ⊂平面BCFE ，所以PD⊥平面BCFE .在平面PEB 内过点B 作直线BH ∥PD ，则BH ⊥平面BCFE .如图所示，以B 为坐标原点，BC →，BE →，BH →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．设PE ＝x (0＜x ＜4)，又因为AB ＝BC ＝4，所以BE ＝4－x ，EF ＝x .在Rt △PED 中，∠PED ＝60°，所以PD ＝32x ，DE ＝12x ，所以BD ＝4－x －12x ＝4－32x ，所以C (4，0，0)，F (x ，4－x ，0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4－32x ，32x .从而CF →＝(x －4，4－x ，0)，CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，4－32x ，32x .设n 1＝(x 0，y 0，z 0)是平面PCF 的一个法向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧n 1·CF →＝0，n 1·CP →＝0，即⎩⎨⎧x 0（x －4）＋y 0（4－x ）＝0，－4x 0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－32x y 0＋32xz 0＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝0，3y 0－z 0＝0， 取y 0＝1，得n 1＝(1，1，3)是平面PFC 的一个法向量． 又平面BFC 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)，设二面角P -FC -B 的平面角为α， 则cos α＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝155.因此当点E 在线段AB 上移动时，二面角P -FC -B 的平面角的余弦值为定值，且定值为155.- 11 -。
陕西省黄陵中学高新部2019_2020学年高二数学上学期期中试题理(含解析)
2.若 p q 是假命题，则（ ）
A. p 是真命题， q是假命题
B. p, q 均为假命题
C. p, q 至少有一个是假命题
D. p, q 至少有一个是真命题
【答案】C
【解析】
试题分析：当 p 、 q都是真命题 pq 是真命题，其逆否命题为： pq 是假命题 p 、
q至少有一个是假命题，可得 C 正确.
15.若椭圆x2 25 Nhomakorabeay2 16
1 上一点
P
到焦点
F1 的距离为
6，则点
P
到另一个焦点
F2 的距离是
________.
【答案】4；
【解析】
【分析】
根据椭圆性质 PF1 PF2 2a 10 ，计算的答案.
【详解】 x2 y2 25 16
1 ，则
PF1
PF2
2a 10 ，
PF1
6 ，则
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陕西省黄陵中学高新部 2019-2020 学年高二数学上学期期中试题 理
（含解析）
一、选择题（每小题 5 分，12 小题共 60 分）.
1.“ x 1 ”是“ x2 3x 2 0 ”的（ ）
A. 充分不必要条件 C. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】
点评：本题主要考查了向量语言表述面面的垂直、平行关系，以及平面的法向量，属于基础
题．
11.如图所示，在平行六面体
ABCD
A1B1C1D1
中，M
为
A1C1
与
B1D1
的交点．若
AB
a
，
AD
b
，
AA1
c
，则下列向量中与
陕西省黄陵中学2019_2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)
15.在△ABC 中，若 b＝ 2 a，B＝2A，则△ABC 为______三角形．
【答案】等腰直角
【解析】
【分析】
由 B＝2A，得 sin B sin 2A ，由正弦的二倍角公式可得 sin B 2sin Acos A ，
又 b＝
2 a，由正弦定理可得 cos A
2 ，再运算即可得解. 2
【详解】解：因为在△ABC 中，若 b＝ 2 a，B＝2A，
A. 160
B. 180
C. 200
D. 220
【答案】B
【解析】
由
a1+a2+a3=-24，a18+a19+a20=78，得
aa118aa219a3a20
24 78
得
a1+a20=
24 3
78
18
所以 S20= 20 a1 a20 180
2
故选 D
7.在△ABC 中，B＝135°，C＝15°，a＝5，则此三角形的最大边长为( )
(2)由二次不等式的解法，结合不等式与方程的关系即可得解.
【详解】解：(1)因为方程 ax2＋bx＋2＝0的两根为 1 和 2. 2
由根与系数的关系，得
1 2 1 2
2 2
2 a
b a
解得 a＝－2，b＝3.
(2)由（1）可知二次不等式 ax2＋bx－1>0 即为 2x2－3x＋1<0，
7
x x
2 3
2
的解集是(
)
1
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A. {x|x＜－8 或 x＞－3}
B. {x|x≤－8 或 x＞－3}
C. {x|－3≤x≤2}
D. {x|－3＜x≤2}
陕西省黄陵中学2019_2020学年高二数学上学期期中试题
陕西省黄陵中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．数列1，3，7，15，…的通项公式a n 可能是( )A ．2nB ．2n＋1 C ．2n －1D ．2n －12．若a ＜1，b ＞1，那么下列不等式中正确的是( )A.1a ＞1bB ．b a＞1 C ．a 2＜b 2D ．ab ＜a ＋b3．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64 4．不等式x －2x ＋3≤2的解集是( ) A ．{x |x ＜－8或x ＞－3} B ．{x |x ≤－8或x ＞－3} C ．{x |－3≤x ≤2} D ．{x |－3＜x ≤2}5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( )A ．81B ．120C ．168D ．1926．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于( )A ．160B ．180C ．200D ．2207．在△ABC 中，B ＝135°，C ＝15°，a ＝5，则此三角形的最大边长为( )A ．5 2B ．53C ．2 5D ．358．已知钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5B ． 5C ．2D ．1 9.若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b的最小值是( )A ．18B ．6C ．2 3 D.4 3 10．若f (x )＝－x 2＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是( )A ．m <－2或m >2B ．－2<m <2C ．m ≠±2D ．1<m <311．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形12．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝6，b ＝4，那么满足条件的△ABC ( )A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，则a 5＝________；前8项的和S 8＝________(用数字作答)． 14.给出四个条件：①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0.能得出1a <1b成立的有_______．(填序号)15．在△ABC 中，若b ＝2a ，B ＝2A ，则△ABC 为________三角形． 16．函数y ＝2－x －4x(x ＞0)的值域为________．三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．(本小题满分10分)已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2.(1)求a ，b 的值； (2)解不等式ax 2＋bx －1>0.18．(本小题满分12分)已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0. (1)求{a n }的通项公式；(2)若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n 项和．19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π3，sin B ＝3sinC .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．20（本小题12分）已知{a n }是等差数列，{b n }是等差数列，且b 2=3，b 3=9，a 1=b 1，a 14=b 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设c n = a n + b n ，求数列{c n }的前n 项和.21（本小题满分12分）在A B C 中，内角C B A ,,所对应的边分别为a,b,c ，已知sin 2sin a B A =.(1)求B ； (2)若1cos A 3=，求sinC 的值. 22．(本小题满分12分)正数x ，y 满足1x ＋9y＝1. (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值．17(本小题满分10分)解：(1)因为方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2＝－b a，－12×2＝2a ，解得a ＝－2，b ＝3.(2)易知ax 2＋bx －1>0，即2x 2－3x ＋1<0，解得12<x <1.所以不等式ax 2＋bx －1>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x <1.18．(本小题满分12分)解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .因为a 3＝－6，黄陵中学高二年级数学期中考试试卷答案a 6＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝2. 所以a n ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12. (2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8， 所以－8q ＝－24，即q ＝3.所以数列{b n }的前n 项和为b 1（1－q n ）1－q＝4(1－3n)．19．(本小题满分12分)解：(1)因为A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－C ＝3sin C ，所以32cos C ＋12sin C＝3sin C ，即3 2cos C ＝52sin C ，得tan C ＝35. (2)由b sin B ＝csin C ，sin B ＝3sin C ，得b ＝3c . 在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝9c 2＋c 2－2×(3c )×c ×12＝7c 2，又因为a ＝7，所以c ＝1，b ＝3，所以△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝334.20（本小题12分）（II ）由（I ）知，21n a n =-，13n n b -=．因此1213n n n n c a b n -=+=-+．从而数列{}n c 的前n 项和()11321133n n S n -=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()12113213n n n +--=+-2312n n -=+．21（本小题满分12分）22． (本小题满分12分) 解：(1)由1＝1x ＋9y≥21x ·9y 得xy ≥36，当且仅当1x ＝9y，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36.(2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x y≥19＋22y x ·9x y ＝19＋62，当且仅当2yx＝9x y，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2.。
2019-2020学年陕西省延安市黄陵中学高二(普通班)上学期期末数学(理)试题解析
2019-2020学年陕西省延安市黄陵中学高二（普通班）上学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知集合A={}|ln(2)x y x =+,B={x|(x+5)(x -2)≤0},则A ∩B=( ) A ．(-2,+∞) B ．[-2,2]C ．(-2,2]D ．[-5,+∞)答案C利用对数函数的定义域、一元二次不等式的解法化简集合A 、B ,再利用交集的定义求解即可. 解：∵A={}|ln(2)x y x =+={}|2x x >-,B={x|(x+5)(x -2)≤0}={}|52x x -≤≤,∴A ∩B={}|22x x -<≤. 故选C. 点评：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合.2．某中学初一、初二、初三的学生人数分别为500,600,700,现用分层抽样的方法从这三个年级中选取18人参加学校的演讲比赛,则应选取的初二年级学生人数为( ) A ．5 B ．6C ．7D ．8答案B直接利用分层抽样中，每个层次被抽取的概率相等求解即可. 解：因为分层抽样中，每个层次在总体中所占的比例与在样本中所占的比例相等， 所以，应选取的初二年级学生人数为600500600700++×18=6，故选B .点评：分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.3．若直线220ax y a -++=与3(5)50x a y +-+=平行，则a 的值为（ ） A ．2 B ．1或3C ．3D ．2或3答案A根据直线平行得到(5)23a a -=-⨯，排除重合情况，计算得到答案. 解：因为直线220ax y a -++=与3(5)50x a y +-+=平行 所以(5)23a a -=-⨯，解得2a =或3a = 当3a =时，这两条直线重合，排除，故2a =. 故选：A 点评：本题考查了根据直线平行求参数，忽略掉重合的情况是容易犯的错误.4．已知α，β，γ是三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，下列判断正确的是( )A ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβB ．若m γ⊥，n γ⊥，则//m nC ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥D ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n 答案B由空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面位置关系的判定逐一核对四个选项得答案． 解：解：对于A ，由αγ⊥，βγ⊥，得//αβ或α与β相交，故A 错误； 对于B ，由m γ⊥，n γ⊥，利用线面垂直的性质可得//m n ，故B 正确；对于C ，由αβ⊥，m α⊂，n β⊂，得m n ⊥或//m n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故C 错误；对于D ，由//αβ，m α⊂，n β⊂，得//m n 或m 与n 异面．∴判断正确的是B ．故选：B ． 点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，属于基础题．5．已知等比数列{}n a 为单调递增数列，设其前n 项和为n S ，若22a =，37S =，则5a 的值为（ ） A ．16 B ．32C ．8D ．14答案A利用等比数列的通项公式、前n 项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出5a ． 解：解：Q 等比数列{}n a 为单调递增数列， 设其前n 项和为n S ，22a =，37S =，∴213132(1)71a a q a q S q ==⎧⎪-⎨==⎪-⎩， 解得11a =，2q =，44511216a a q ∴==⨯=． 故选：A ． 点评：本题考查数列的第5项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．6．下列不等式或 命题一定成立的是（ ） ①()21lg lg 04x x x ⎛⎫+≥> ⎪⎝⎭； ②()1sin 2,k sin x x k xπ+≥≠∈Z ； ③()212x x x +≥∈R ；④)22y x R x =∈+最小值为2. A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．②④答案C根据基本不等式的性质一一验证. 解：解：①0x Q >，由基本不等式可得211242x x x +≥⋅⋅= ()21lg lg 04x x x ⎛⎫∴+≥> ⎪⎝⎭当且仅当12x =时取等号，故正确；②sin x 可以取负值，故()1sin 2,k sin x x k xπ+≥≠∈Z 不成立，故错误； ③由基本不等式可得21212x x x +≥⋅⋅=当且仅当1x =时取等号，故正确；④当0x =时2y ==<故错误. 故选：C 点评：本题考查基本不等式的应用，属于基础题.7．已知关于x 的不等式()()224210a x a x -+--≥的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．6,25⎛⎤-⎥⎝⎦D ．(][),22,-∞+∞U答案C由题意得出关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R ，由此得出240a -=或240a ⎧-<⎨∆<⎩，在240a -=成立时求出实数a 的值代入不等式进行验证，由此解不等式可得出实数a 的取值范围. 解：由题意知，关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .（1）当240a -=，即2a =±．当2a =时，不等式()()224210a x a x -+--<化为10-<，合乎题意；当2a =-时，不等式()()224210a x a x -+--<化为410x --<，即14x >-，其解集不为R ，不合乎题意；（2）当240a -≠，即2a ≠±时．Q 关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .2400a ⎧-<∴⎨∆<⎩，解得265a -<<．综上可得，实数a 的取值范围是6,25⎛⎤- ⎥⎝⎦．故选：C ．点评：本题考查二次不等式在R 上恒成立问题，求解时根据二次函数图象转化为二次项系数和判别式的符号列不等式组进行求解，考查化归与转化思想，属于中等题. 8．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足23n n S a =-，则6S =（ ） A ．192 B ．96C ．93D ．189答案D根据1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求数列{}n a 的通项公式，利用等比数列的前n 项和求6S . 解：解：23n n S a =-Q当1n =时，1123S a =-，解得13a =，当1n ≥时，1123n n S a --=-，()112323n n n n S S a a --∴-=---，122n n n a a a -∴=- 12n n a a -∴= 12nn a a -∴= 故{}n a 是以13a =，2q =的等比数列，132n n a -∴=⋅()6631218912S -∴==-故选：D 点评：本题考查利用n S 求n a ，以及等比数列的前n 项和，属于基础题.9．已知()3,0A ，()0,3B ，从点()0,2P 射出的光线经x 轴反射到直线AB 上，又经过直线AB 反射回到P 点，则光线所经过的路程为（ ） A．B ．6C．D直线AB 的方程为：3x y +=，点()0,2P 关于x 轴的对称点()10,2P -，设点()10,2P -关于直线AB 的对称点()2,P a b ，可得()211b a +⨯-=-，2322a b-++=， 联立解得a ，b 可得光线所经过的路程2PP . 解：直线AB 的方程为：3x y +=，点()0,2P 关于x 轴的对称点()10,2P -，设点()10,2P -关于直线AB 的对称点()2,P a b ，如图，则()211b a +⨯-=-，2322a b-++=，联立解得5a =，3b =． ()25,3P ∴，∴光线所经过的路程为2225(32)26PP =+-= 故选：D ． 点评：本题考查了直线的方程、两点之间的距离公式、光线反射的性质，考查了推理能力与计算能力，属中档题．10．设椭圆2211128x y C +=：与双曲线2221(0):C mx y m -=>有公共的焦点1F ，2F ，点P 是1C 与2C 的一个公共点，则12cos F PF ∠的值为（ ） A ．79B ．29C ．14D ．19答案A根据焦点坐标得出双曲线方程，根据椭圆定义和双曲线定义求出12PF F △的边长，利用余弦定理计算12cos F PF ∠的值即可．由椭圆方程可知：()12,0F -，()22,0F ，由双曲线性质可得：114m +=，故13m =，则222:13x C y -=，不妨设P 在第一象限，由椭圆定义可知：12PF PF +=由双曲线的定义可知：12PF PF -=1PF ∴=2PF =124F F =，22212121212||||7cos 29PF PF F F F PF PF PF +-∴∠==． 故选：A ． 点评：本题考查了椭圆与双曲线的定义与性质，余弦定理的应用，注意仔细审题，认真计算，属中档题．11．已知()f x 为奇函数，当0x ≥时，()()121(01)1xx f x x x -⎧-≤<⎪=⎨≥⎪⎩，()g x 为偶函数，当0x ≥时，()242g x x x =-+-，若对任意实数a ，不等式()()f a g b <恒成立，则实数b 的取值范围是（ ） A ．()(),33,-∞-+∞U B ．()()3,11,3--⋃ C ．()1,1- D ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭答案B分别求函数()f x ，()g x 的解析式，并画出图象，对任意实数a ，不等式()()f a g b <恒成立，则()()max f a g b <，由此结合图象和奇偶性可得b 的范围． 解：()f x 为奇函数，当0x ≥时，()121,01,1x x f x x x -⎧-≤<=⎨≥⎩， 由奇函数的性质易得，当0x <时，()121,10(),1x x f x x x --⎧-+-<<=⎨--≤-⎩，()g x 为偶函数，当0x ≥时，()242g x x x =-+-，由偶函数的性质易得，当0x <时，()242g x x x =---，分别画出()f x 的图象和()g x 的图象如下图，对任意实数a ，不等式()()f a g b <恒成立，则()()max f a g b <， 结合图象可得()max 1f a =，则()1g b >，即2421(0)b b b -+->≥或2421(0)b b b ---><， 解不等式可得b 的范围为()()3,11,3--⋃. 故选：B ． 点评：本题考查了函数的奇偶性和函数图象的画法和函数图象的应用，注意恒成立问题可转化为最值问题，属中档题．12．已知F 为椭圆C ：22132x y +=的左焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则四边形ADBE 的面积最小值为（ ）A ．4B ．277C ．9625D ．195答案C先计算直线1l 斜率为0时或直线2l 斜率为0时对应的四边形的面积，再设1l 斜率为k ，利用弦长公式计算AB ，DE ，得出四边形的面积关于k 的函数，利用换元法求出面积的最小值从而得出结论． 解：椭圆的左焦点为()1,0F -．（1）当直线1l 斜率为0时，直线2l 的方程为1x =-， 或当直线2l 斜率为0时，直线1l 的方程为1x =-， 把1x =-代入椭圆方程得y = ∴四边形ADBE的面积为142S =⨯=． （2）当直线1l 有斜率且斜率不为0时，设直线1l 的方程为()1y k x =+，直线2l 的方程为()11y x k=-+． 联立方程组()221 132y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消元得：()2222236360k x k x k +++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122623k x x k +=-+，21223623k x x k -=+，)22123k AB k+∴==+， 用1k -替换k可得)22221113232k k DE k k⎫+⎪+⎝⎭==++， ∴四边形ADBE 的面积为()()2222124(1)23223k S AB DE k k +=⋅=++，令21(1)k t t +=>，则()()22224242411112531216()24t S t t t t t ===-+-+--+，∴当112t =即2t =时，S 取得最小值249625254=．综上，四边形ABDE 的面积的最小值为9625．故选：C ． 点评：本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式，面积公式的应用，考查换元法与设而不求法的运用，计算较难，注意认真检查，同时注意讨论直线方程的特殊情况，属难题．二、填空题13．已知复数(1)(1)a a i ++-为纯虚数，则a =______. 答案-1根据复数的分类求解． 解： 由题意1010a a +=⎧⎨-≠⎩，解得1a =-．故答案为：－1 点评：本题考查复数的分类，属于基础题． 14．若函数3()128[-33]f x x x =-+在，上的最大值与最小值分别为M 、m,则M-m= ____.答案32 略15．函数()3 123,f x x x =-+g(x)=3x m -，，若[]11,5x ∀∈-，[]20,2x ∃∈，f(1x )()2g x ≥，则实数m 的最小值是____. 答案14利用导数以及指数函数的性质，分别求出函数f （x ），g （x ）的最值，将问题转为求f （x ）min ≥g （x ）min 即可． 解：()()()2312=322f x x x x =-'-+，()f x 在[]1,2-递减，在[]25，递增，所以()()min 2824313f x f ==-+=-，()3x g x m =-在[]0,2单调递增，()()min 01g x g m ==-，由已知对[]11,5x ∀∈-，[]20,2x ∃∈，()()12f x g x ≥，可知只需f （x ）min ≥g （x ）min 即13114m m ，解得-≥-≥， 故答案为：14. 点评：本题主要考查转化思想，函数最值的求解，导函数的应用，考查学生转化能力和计算求解能力.三、解答题16．设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2sin a b A =.(1)求B 的大小．(2)若a =，5c =，求b .答案(1) 6B π= (2) b =（1）根据正弦定理sin sin a b A B=可解得角B ；（2）由余弦定理，将已知代入，可得b ． 解： 解：（1）由2sin a b A =，得sin 2sin sin A B A =，又因B 为锐角，解得6B π=．(2)由题得2222cos 272525524572b ac ac B =+-=+-⨯⨯=-=，解得b =点评：本题考查正，余弦定理解三角形，属于基础题．17．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求和：13521n b b b b -++++…．答案（1）a n =2n −1.（2）312n - 试题分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为d ，代入建立方程进行求解；（Ⅱ）由{}n b 是等比数列，知{}21n b -依然是等比数列，并且公比是2q ，再利用等比数列求和公式求解. 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d .因为a 2+a 4=10，所以2a 1+4d =10.解得d =2.所以a n =2n −1.（Ⅱ）设等比数列的公比为q .因为b 2b 4=a 5，所以b 1qb 1q 3=9.解得q 2=3.所以2212113n n n b b q---==. 从而21135213113332n n n b b b b L L ---++++=++++=. 【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：（1）分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；（2）裂项相消法求和，一般适用于，,等的形式；（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列⨯等比数列的形式；（4）倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和.18．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如16313=+.现从不超过16的素数中，随机选取两个不同的数（两个数无序）.（注：不超过16的素数有2，3，5，7，11，13）（1）列举出满足条件的所有基本事件；（2）求“选取的两个数之和等于16”事件发生的概率.答案（1）(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(2,13)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(3,13)，(5,7)，(5,11)，(5,13)，(7,11)，(7,13)，(11,13)；（2）215. （1）直接列举即可；（2）先求出选取的两个数之和等于16所包含基本事件的个数，再按古典概型的概率计算公式直接计算即可.解：（1）不超过16的素数有2，3，5，7，11，13共6个，随机选取两个不同的数，基本事件总数为(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(2,13)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(3,13)， (5,7)，(5,11)，(5,13)，(7,11)，(7,13)，(11,13)共有15个基本事件；（2）记“选取两个数之和等于16”为事件A ，因为31351116+=+=，所以其和等于16的有2个基本事件，故概率为2()15P A =. 点评：本题主要考查古典概型的问题，属基础题.19．已知曲线221:149x y C +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （I ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（II ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，PA 的最大值与最小值．答案（I ）2cos ,{3sin ,x y θθ==260x y +-=；（II . 试题分析：（I ）由椭圆的标准方程设cos ,sin 22x y θθ==，得椭圆的参数方程为2cos ,{3sin ,x y θθ==，消去参数t 即得直线的普通方程为260x y +-=；（II ）关键是处理好PA 与角30︒的关系．过点P 作与l 垂直的直线，垂足为H ，则在PHA ∆中，12PH d PA ==，故将PA 的最大值与最小值问题转化为椭圆上的点(2cos P θ，3sin )θ到定直线260x y +-=的最大值与最小值问题处理．试题解析：（I ）曲线C 的参数方程为2cos ,{3sin ,x y θθ==（θ为参数）．直线l 的普通方程为260x y +-=．（II ）曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到l 的距离为3sin 6d θθ=+-．则0)6sin 30d PA θα==+-．其中α为锐角，且4tan 3α=．当sin()1θα+=-时，PA 取到最大值，最大值为5．当sin()1θα+=时，PA ． 【考点定位】1、椭圆和直线的参数方程；2、点到直线的距离公式；3、解直角三角形．20．已知函数()()ln 0f x kx x k =->．（1）若1k =，求()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有且只有一个零点，求实数k 的值；答案（1）()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞；（2）1k e=； （1）先由1k =得()ln f x x x =-，对其求导，解对应不等式，即可得出单调区间；（2）先由题意，得到方程ln 0kx x -=仅有一个实根，令()()ln 0x g x x x=>，则()ln ()0=>x g x x x 与y k =有且仅有一个交点，对()ln x g x x=求导，用导数的方法判断函数单调性，进而可确定结果.解：（1）由1k =得()ln f x x x =-，定义域为()0,∞+，则()111x f x x x-'=-=， 由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得01x <<，所以()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞.（2）由题意知方程ln 0kx x -=仅有一个实根，由ln 0kx x -=得()ln 0x k x x=>， 令()()ln 0x g x x x =>，则()ln ()0=>x g x x x 与y k =有且仅有一个交点， 又()21ln x g x x -'=， 由()21ln 0-'=>x g x x 得0x e <<；由()21ln 0-'=<x g x x得x e >； 所以()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，所以()()max 1g x g e e==. 当x →+∞时，()0g x →.又0k >，所以要使()f x 仅有一个零点，则1k e=. 点评：本题主要考查求函数单调区间，以及导数的方法研究函数零点，通常需要对函数求导，利用导函数判断函数单调性等，属于常考题型.21．已知点（1，2）是函数()(0,1)x f x a a a =>≠的图象上一点，数列{}n a 的前n 项和是()1n S f n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1log n a n b a +=，求数列{}n n a b •的前n 项和n T答案（1）a n ＝2n －1；（2）T n ＝(n －1)2n＋1. （1）由点（1,2）在()x f x a =图像上求出2a =，再利用n S 法求出n a ．（2）利用错位相减法求和，注意相减时项的符号，求和时项数的确定．解：(1)把点(1,2)代入函数f (x )＝a x 得a ＝2，所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝f (n )－1＝2n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1，对n ＝1时也适合，∴a n ＝2n －1.(2)由a ＝2，b n ＝log a a n ＋1得b n ＝n ，所以a n b n ＝n ·2n －1.T n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1，①2T n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n.② 由①－②得：－T n ＝20＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ，所以T n ＝(n －1)2n ＋1.点评：（1）主要考查了n S 法求通项公式，即11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ （2）用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.。