基本初等函数、函数与方程专题

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基本初等函数、函数与方程专项练习-2023届高三数学二轮专题复习(含解析)

冲刺2023年高考二轮基本初等函数、函数与方程（原卷+答案）1．函数y ＝log 2(4＋3x －x 2)的一个单调增区间是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4 2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ax 2－x －14，x ≤1log a x －1，x >1，是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，12B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 3．若不等式x 2－log a x <0在⎝⎛⎭⎪⎫0，12 内恒成立，则a 的取值范围是( )A ．116 ≤a <1B ．116 <a <1 C ．0<a ≤116 D ．0<a <1164．若函数f (x )＝x ＋ax －1在(0，2)上有两个不同的零点，则a 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，14B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，145．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C ＝W log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋S N .它表示，在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN 叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，增加带宽，提高信号功率和降低噪声功率都可以提升信息传递速度，若在信噪比为1 000的基础上，将带宽W 增大到原来的2倍，信号功率S 增大到原来的10倍，噪声功率N 减小到原来的15 ，则信息传递速度C 大约增加了( )(参考数据：lg 2≈0.3) A ．87% B ．123% C ．156% D ．213%6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧||log 2x ，x >0，－x 2－4x ＋4，x <0. 若函数g (x )＝f (x )－m 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是( )A ．(0，4)B ．(4，8)C ．(0，8)D ．(0，＋∞)7．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x ＋2)＝f (－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则函数y ＝f (x )－x 3的零点个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 8.为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y (mg/m 3)与时间t (h )的函数关系为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0<t <12，1kt ，t ≥12， (如图所示)实验表明，当药物释放量y <0.75(mg/m 3)时对人体无害．(1)k ＝________；(2)为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过________分钟人方可进入房间．9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋2，x ≤0x －3＋e x，x >0 的零点个数为________. 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －1，x ≤1log 2x ，x >1 ，若1<f (a )≤2，则实数a 的取值范围为________．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x －2－102－x ，x ≤2||x －3－1，x >2，则不等式f (x )＋f (x －1)<0的解集为________．12．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 恰有两个零点，则实数c 的取值范围是________．13.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数，当x ≥0时，f ′(x )－2x >0，且f (1)＝3，则f (x )>x 2＋2的解集是( )A ．(－1，0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(0，1)14．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2－x )＝f (2＋x )，且当x ∈[0，2]时，f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，0≤x ≤12sin π2x －1，1<x ≤2，若关于x 的方程m ln ||x ＝f (x )至少有8个实数解，则实数m 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1ln 6，0 ∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1ln 5B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1ln 6，1ln 5 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1ln 6，0 ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1ln 5 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1ln 6，1ln 5参考答案1．解析：函数y ＝log 2（4＋3x －x 2）的定义域为（－1，4）. 要求函数y ＝log 2（4＋3x －x 2）的一个单调增区间，只需求y ＝4＋3x －x 2的增区间，只需x <32 . 所以－1<x <32 .所以函数y ＝log 2（4＋3x －x 2）的一个单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32 .故选C.答案：C2．解析：当函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调递减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <112a ≥1a －54≥－1，解得14 ≤a ≤12 ，因为a >0且a ≠1，所以当x ≤1时，f （x ）不可能是增函数，所以函数f （x ）在R 上不可能是增函数，综上：实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 ，故选B.答案：B3．解析：当a >1时，由x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 ，可得log a x <0，则－log a x >0，又由x 2>0，此时不等式x 2－log a x <0不成立，不合题意；当0<a <1时，函数y ＝log a x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 上单调递减，此时函数y ＝－log a x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 上单调递增，又由y ＝x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 上单调递增，要使得不等式x 2－log a x <0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 内恒成立，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2－log a 12 ≤0，解得116 ≤a <1.故选A.答案：A4．解析：函数f （x ）＝x ＋ax －1在（0，2）上有两个不同的零点等价于方程x ＋ax －1＝0在（0，2）上有两个不同的解，即a ＝－x 2＋x 在（0，2）上有两个不同的解．此问题等价于y ＝a 与y ＝－x 2＋x （0<x <2）有两个不同的交点．由下图可得0<a <14 .故选D. 答案：D5．解析：提升前的信息传递速度C ＝W log 2S N ＝W log 21 000＝3W log 210＝3Wlg 2≈10W ，提升后的信息传递速度C ′＝2W log 210S 15N ＝2W log 250SN ＝2W log 250 000＝2W ·4＋lg 5lg 2 ＝2W ·5－lg 2lg 2 ≈94W 3 ，所以信息传递速度C 大约增加了C ′－CC ＝943W －10W 10W ≈2.13＝213%.故选D.答案：D6．解析：函数g （x ）有四个不同的零点等价于函数f （x ）的图象与直线y ＝m 有四个不同的交点．画出f （x ）的大致图象，如图所示．由图可知m ∈（4，8）.不妨设x 1<x 2<x 3<x 4，则－4<x 1<－2<x 2<0，且x 1＋x 2＝－4.所以x 2＝－x 1－4，所以x 1x 2＝x 1（－x 1－4）＝－（x 1＋2）2＋4∈（0，4），则0<x 3<1<x 4，因为||log 2x 3 ＝||log 2x 4 ，所以－log 2x 3＝log 2x 4，所以log 2x －13 ＝log 2x 4，所以x 3·x 4＝1，所以x 1·x 2·x 3·x 4＝x 1·x 2∈（0，4）.故选A. 答案：A7．解析：由f （x ＋2）＝f （－x ）可得f （x ）关于x ＝1对称，由函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （x ＋2）＝f （－x ）＝－f （x ）＝－[－f （x －2）]＝f （x －2），所以f （x ）的周期为4,求函数y ＝f （x ）－x 3的零点问题即y ＝f （x ）－x 3＝0的解，即函数y ＝f （x ）和y ＝x 3的图象交点问题，根据f （x ）的性质可得如图所示图形，结合y ＝x 3的图象，由图象可得共有3个交点，故共有3个零点，故选B. 答案：B8．解析：（1）由题图可知，当t ＝12 时，y ＝1，所以2k ＝1，所以k ＝2. （2）由（1）可知，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0<t <12，12t ，t ≥12，当t ≥12 时，y ＝12t ，令y <0.75，得t >23 ，所以在消毒后至少经过23 小时，即40分钟人方可进入房间．答案：（1）2 （2）409．解析：当x ≤0时，令x 3＋2＝0，解得x ＝3－2 ，3－2 <0，此时有1个零点；当x >0时， f （x ）＝x －3＋e x ，显然f （x ）单调递增，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝－52 ＋e 12 <0，f （1）＝－2＋e>0，由零点存在定理知此时有1个零点；综上共有2个零点．答案：210．解析：若a ≤1，则f （a ）＝4a －1，故1<4a －1≤2，解得12 <a ≤log 43，故12 <a ≤log 43；若a >1，则f （a ）＝log 2a ，故1<log 2a ≤2，解得2<a ≤4；综上：12 <a ≤log 43或2<a ≤4. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，log 43 ∪（2，4]11．解析：①当x ≤2时，x －1≤1，∵f （x ）＝10x －2－102－x 在（－∞，2]上单调递增，∴f （x ）≤f （2）＝0，又f （x －1）≤f （1）<f （2）＝0， ∴f （x ）＋f （x －1）<0恒成立；②当2<x ≤3时，1<x －1≤2，f （x ）＝||x －3 －1＝2－x <0，又f （x －1）≤f （2）＝0，∴f （x ）＋f （x －1）<0恒成立；③当3<x ≤4时，2<x －1≤3，f （x ）＝||x －3 －1＝x －4，f （x －1）＝||x －4 －1＝3－x ；∴f （x ）＋f （x －1）＝－1<0恒成立；④当x >4时，x －1>3，f （x ）＝||x －3 －1＝x －4，f （x －1）＝||x －4 －1＝x －5，∴f （x ）＋f （x －1）＝2x －9<0，解得x <92 ，∴4<x <92 ；综上所述：不等式f （x ）＋f （x －1）<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，92 .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，92 12．解析：因为a ⊗b ＝⎩⎨⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.，所以f （x ）＝（x 2－2）⊗（x －1）＝⎩⎨⎧x 2－2，－1≤x ≤2x －1，x <－1或x >2 ，由图可知，当－2<c ≤－1或1<c ≤2时，函数f （x ）与y ＝c 的图象有两个公共点，∴c 的取值范围是（－2，－1]∪（1，2]. 答案：（－2，－1]∪（1，2] 13．解析：令g （x ）＝f （x ）－x 2，因为f （x ）是定义在R 上的偶函数，所以f （－x ）＝f （x ），则g （－x ）＝f （－x ）－（－x ）2＝g （x ），所以函数g （x ）也是偶函数， g ′（x ）＝f ′（x ）－2x ，因为当x ≥0时，f ′（x ）－2x >0，所以当x ≥0时，g ′（x ）＝f ′（x ）－2x ≥0，所以函数g （x ）在（0，＋∞）上递增，不等式f （x ）>x 2＋2即为不等式g （x ）>2，由f （1）＝3，得g （1）＝2，所以g （x ）>g （1），所以||x >1，解得x >1或x <－1，所以f （x ）>x 2＋2的解集是（－∞，－1）∪（1，＋∞）. 故选B. 答案：B14．解析：因为f （2－x ）＝f （2＋x ），且f （x ）为偶函数，所以f （x －2）＝f （x ＋2），即f （x ）＝f （x ＋4），所以函数f （x ）是以4为周期的周期函数，作出y＝f（x），y＝m ln x在同一坐标系的图象，如图，因为方程m ln ||x＝f（x）至少有8个实数解，所以y＝f（x），y＝m ln |x|图象至少有8个交点，根据y＝f（x），y＝m ln |x|的图象都为偶函数可知，图象在y轴右侧至少有4个交点，由图可知，当m>0时，只需m ln 5≤1，即0<m≤1ln 5，当m<0时，只需m ln 6≥－1，即－1ln 6≤m<0，当m＝0时，由图可知显然成立，综上可知，－1ln 6≤m≤1ln 5.故选B.答案：B。

高考数学一轮复习基本初等函数、函数与方程及函数的应用专题训练(1)

基本初等函数、函数与方程及函数的应用一、基础知识要记牢指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图像和性质，分0<a <1，a >1两种情况，当a >1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数．二、经典例题领悟好[例1] (1)(2012·四川高考)函数y ＝a x－1a(a >0，且a ≠1)的图像可能是( )(2)(2013·全国卷Ⅱ)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c[解析] (1)当x ＝－1时，y ＝1a －1a ＝0，所以函数y ＝a x－1a的图像必过定点(－1,0)，结合选项可知选D.(2)a ＝log 36＝log 33＋log 32＝1＋log 32， b ＝log 510＝log 55＋log 52＝1＋log 52， c ＝log 714＝log 77＋log 72＝1＋log 72， ∵log 32>log 52>log 72，∴a >b >c . [答案] (1)D (2)D比较指数函数值、对数函数值、幂函数值大小有三种方法：一是根据同类函数的单调性进行比较；二是采用中间值0或1等进行比较；三是将对数式转化为指数式，或将指数式转化为对数式，通过转化进行比较. 三、预测押题不能少1．(1)函数y ＝x －x 13的图像大致为( )解析：选A 函数y ＝x －x 13为奇函数．当x >0时，由x －x 13>0，即x 3>x ，可得x 2>1，故x >1，结合选项，选A. (2)若x ∈(e－1,1)，a ＝ln x ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln x ，c ＝e ln x，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．a >b >cD ．b >a >c解析：选B 依题意得a ＝ln x ∈(－1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln x ∈(1,2)，c ＝x ∈(e －1,1)，因此b >c >a .一、基础知识要记牢确定函数零点的常用方法：(1)解方程判定法，方程易解时用此法； (2)利用零点存在的判定定理；(3)利用数形结合，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同时多以数形结合法求解．二、经典例题领悟好[例2] (1)函数f (x )＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )＋1]的零点个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] (1)由f (－1)＝12－3<0，f (0)＝1>0及零点定理，知f (x )的零点在区间(－1,0)上．(2)当f (x )＝0时，x ＝－1或x ＝1，故f [f (x )＋1]＝0时，f (x )＋1＝－1或1.当f (x )＋1＝－1，即f (x )＝－2时，解得x ＝－3或x ＝14；当f (x )＋1＝1，即f (x )＝0时，解得x ＝－1或x ＝1.故函数y ＝f [f (x )＋1]有四个不同的零点． [答案] (1)B (2)C函数的零点、方程的根，都可以转化为函数图像与x 轴的交点，数形结合法是解决函数零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数的一个有效方法.在解决函数零点问题时，既要注意利用函数的图像，也要注意根据函数的零点存在性定理、函数的性质等进行相关的计算，把数与形紧密结合起来. 三、预测押题不能少2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．解析：当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1.因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时，函数f (x )＝2x －a 有一个零点，令f (x )＝0得a ＝2x ，因为0<2x ≤20＝1，所以0<a ≤1，所以实数a 的取值范围是0<a ≤1. 答案：(0,1]一、经典例题领悟好[例3] 某企业为打入国际市场，决定从A ，B 两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如表：(单位：万美元)其中年固定成本与年生产的件数无关，为待定常数，其值由生产产品的原材料价格决定，预计m ∈[6,8]．另外，年销售x 件B 产品时需上交0.05x 2万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．(1)写出该厂分别投资生产A ，B 两种产品的年利润y 1，y 2与生产相应产品的件数x 之间的函数关系并指明其定义域；(2)如何投资最合理(可获得最大年利润)？请你做出规划．[解] (1)由年销售量为x 件，按利润的计算公式，有生产A ，B 两产品的年利润y 1，y 2分别为y 1＝10x －(20＋mx )＝(10－m )x －20(x ∈N,0≤x ≤200)，y 2＝18x －(8x ＋40)－0.05x 2＝－0.05x 2＋10x －40(x ∈N,0≤x ≤120)．(2)因为6≤m ≤8，所以10－m >0，函数y 1＝(10－m )x －20在[0,200]上是增函数，所以当x ＝200时，生产A 产品有最大利润，且y 1max ＝(10－m )×200－20＝1 980－200m (万美元)．又y 2＝－0.05(x －100)2＋460(x ∈N,0≤x ≤120)，所以当x ＝100时，生产B 产品有最大利润，且y 2max ＝460(万美元)．因为y 1max －y 2max ＝1 980－200m －460 ＝1 520－200m ⎩⎪⎨⎪⎧>0，6≤m <7.6，＝0，m ＝7.6，<0，7.6<m ≤8.所以当6≤m <7.6时，可投资生产A 产品200件；当m ＝7.6时，生产A 产品或生产B 产品均可(投资生产A 产品200件或生产B 产品100件)；当7.6<m ≤8时，可投资生产B 产品100件．解决函数实际应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解. 二、预测押题不能少3．某集团为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t (百万元)可增加销售额约为－t 2＋5t (百万元)(0≤t ≤3)．(1)若该集团将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使集团由广告费而产生的收益最大？(2)现在该集团准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预算，每投入技术改造费x (百万元)，可增加的销售额约为－13x 3＋x 2＋3x (百万元)．请设计一个资金分配方案，使该集团由这两项共同产生的收益最大．解：(1)设投入广告费t (百万元)后由此增加的收益为f (t )(百万元), 则 f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)．所以当t ＝2时，f (t )max ＝4，即当集团投入两百万元广告费时，才能使集团由广告费而产生的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告的费用为(3－x )(百万元)，则由此两项所增加的收益为g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2＋3x ＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)．对g (x )求导，得g ′(x )＝－x 2＋4，令g ′(x )＝－x 2＋4＝0，得x ＝2或x ＝－2(舍去)．当0≤x <2时，g ′(x )>0，即g (x )在[0,2)上单调递增；当2<x ≤3时，g ′(x )<0，即g (x )在(2,3]上单调递减． ∴当x ＝2时，g (x )max ＝g (2)＝253.故在三百万元资金中，两百万元用于技术改造，一百万元用于广告促销，这样集团由此所增加的收益最大，最大收益为253百万元．函数的性质与零点的交汇函数零点(方程的根)的问题，常见的类型有： (1)零点或零点存在区间的确定； (2)零点个数的确定；(3)利用零点求参数范围问题．函数的性质与零点的交汇问题成为新的命题点．一、经典例题领悟好[例] (2012·湖南高考)设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数，当x ∈[0，π]时，0<f (x )<1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，(x －π2)f ′(x )>0.则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．8学审题——审结论之逆向分析函数y ＝f (x )－sin x 的零点――→转化 y ＝f (x )与y ＝sin x 图像交点――→作用 f (x )的范围――――→函数f x的性质确定f ′(x )的正负――――→分类讨论 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2·f ′(x )>0. 用“思想”——尝试用“转化与化归思想”解题∵⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，x ∈(0，π)且x ≠π2，∴当0<x <π2时，f ′(x )<0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减．当π2<x <π时，f ′(x )>0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增．∵当x ∈[0，π]时，0<f (x )<1.∴当x ∈[π，2π]，则0≤2π－x ≤π. 又f (x )是以2π为最小正周期的偶函数，知f (2π－x )＝f (x )．∴x ∈[π，2π]时，仍有0<f (x )<1.依题意及y ＝f (x )与y ＝sin x 的性质，在同一坐标系内作y ＝f (x )与y ＝sin x 的简图．则y ＝f (x )与y ＝sin x 在x ∈[－2π，2π]有4个交点．故函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上有4个零点． [答案] B1本题在求解时，用了转化与化归、数形结合、分类讨论思想.个别学生不会利用题设条件判定y ＝f x 的值域以及函数y ＝f x 图像的变化趋势，导致求解受阻. 2函数与方程应用转化与化归的常见类型①判断函数零点个数常转化为两函数的图像交点.②由函数的零点情况确定参数范围，常转化为利用函数图像求解. ③方程根的讨论转化为函数零点的问题. 二、预测押题不能少函数y ＝f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋54＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －54，当x ∈[－1,4]时，f (x )＝x 2－2x ，则f (x )在区间[0,2012]上零点的个数为( )A ．2 011B ．2 012C ．1 026D ．1 027解析：选D 根据f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋54＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －54，可得f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋52＝－f (x )，进而得f (x ＋5)＝f (x )，即函数y ＝f (x )是以5为周期的周期函数．当x ∈[－1,4]时，f (x )＝x 2－2x，在[－1,0]内有一个零点，在(0,4]内有x 1＝2，x 2＝4两个零点，故在一个周期内函数有三个零点．又因为2 012＝402×5＋2，故函数在区间[0,2 010]内有402×3＝1 206个零点，在区间(2 010,2 012]内的零点个数与在区间(0,2]内零点的个数相同，即只有一个零点，所以函数f (x )在[0,2 012]上零点的个数为1 207.1．(2013·广州惠州调研)已知幂函数y ＝f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 4f (2)的值为( )A.14 B ．－14 C ．2 D ．－2解析：选A 设f (x )＝x a，由其图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22得⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212⇒a ＝12，故log 4f (2)＝log 4212＝14.2．(2013·陕西高考)设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c解析：选B 利用对数的换底公式进行验证，log a b ·log c a ＝log c blog c a ·log c a ＝log c b ，则B 对．3．(2013·河北质检)若f (x )是奇函数，且x 0是y ＝f (x )＋e x的一个零点，则－x 0一定是下列哪个函数的零点( )A ．y ＝f (－x )e x －1B ．y ＝f (x )e －x＋1C ．y ＝e x f (x )－1D ．y ＝e xf (x )＋1解析：选C 由已知可得f (x 0)＝－e x 0，则e －x 0f (x 0)＝－1，e －x 0f (－x 0)＝1，故－x 0一定是y ＝e xf (x )－1的零点．4．(2013·天津一中模拟)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫340.5，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫430.4，c ＝log 34(log 34)，则( )A ．c 1，而log 34>1，c ＝log 34(log 34)，得c <0，故c <a 1，即x <1时，f (x )＝|ln(2－x )|＝ln(2－x )，此时函数f (x )在(－∞，1]上单调递减．当0<2－x ≤1，即1≤x <2时，f (x )＝|ln(2－x )|＝－ln(2－x )，此时函数f (x )在[1,2)上单调递增，故选D. 法二：f (x )＝|ln(2－x )|的图像如图所示．由图像可得，函数f (x )在区间[1,2)上为增函数，故选D.6．(2013·东北三校联合模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≤0，log 12x ，x >0.若关于x 的方程f (f (x ))＝0有且仅有一个实数解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，0)∪(0,1)C ．(0,1)D ．(0,1)∪(1，＋∞)解析：选B 若a ＝0，当x ≤0时，f (x )＝0，故f (f (x ))＝f (0)＝0有无数解，不符合题意，故a ≠0.显然当x ≤0时，a ·2x≠0，故f (x )＝0的根为1，从而f (f (x ))＝0有唯一根，即为f (x )＝1有唯一根．而x >0时，f (x )＝1有唯一根12，故a ·2x＝1在(－∞，0]上无根，当a ·2x ＝1在(－∞，0]上有根可得a ＝12x ≥1，故由a ·2x ＝1在(－∞，0]上无根可知a <0或0<a <1. 7．已知a ＝5－22，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．解析：由题意知，a ＝5－22∈(0,1)，故函数f (x )＝a x是减函数，由f (m )>f (n )得m <n . 答案：m <n 8．(2013·陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为________(m)．解析：如图，过A 作AH ⊥BC 于H ，交DE 于F ，易知DE BC ＝x 40＝AD AB ＝AF AH ⇒AF ＝x ⇒FH ＝40－x .则S ＝x (40－x )≤x ＋40－x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4022，当且仅当40－x ＝x ，即x ＝20时取等号．所以满足题意的边长x 为20(m)．答案：209．(2013·江苏扬州中学期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋ax ，x ≤1，ax －1，x >1，若∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由已知∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则需x ≤1时，f (x )不单调即可，即对称轴a 2<1，解得a <2. 答案：a <210．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0)． (1)若g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．解：(1)∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e(x >0)，当且仅当x ＝e 2x时取等号． ∴当x ＝e 时，g (x )有最小值2e.因此g (x )＝m 有零点，只需m ≥2e.∴m ∈[2e ，＋∞)．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，则函数g (x )与f (x )的图像有两个不同的交点．如图所示，作出函数g (x )＝x ＋e 2x(x >0)的大致图像． ∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2，∴其对称轴为x ＝e ，f (x )max ＝m －1＋e 2.若函数f (x )与g (x )的图像有两个交点，必须有m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1.即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，则m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．11．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．(1)设一次订购x 件，服装的实际出厂单价为p 元，写出函数p ＝f (x )的表达式；(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？解：(1)当0＜x ≤100时，p ＝60；当100＜x ≤600时，p ＝60－(x －100)×0.02＝62－0.02x .所以p ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60， 0＜x ≤100，62－0.02x ， 100＜x ≤600.(2)设利润为y 元，则当0＜x ≤100时，y ＝60x －40x ＝20x ；当100＜x ≤600时，y ＝(62－0.02x )x －40x ＝22x －0.02x 2.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 20x ， 0＜x ≤100，22x －0.02x 2， 100＜x ≤600.当0＜x ≤100时，y ＝20x 是单调增函数，当x ＝100时，y 最大，此时y ＝20×100＝2 000；当100＜x ≤600时，y ＝22x －0.02x 2＝－0.02(x －550)2＋6 050，所以当x ＝550时，y 最大，此时y ＝6 050.显然6 050＞2 000.所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元．12．(2013·江西七校联考)已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R )为偶函数．(1)求k 的值；(2)若方程f (x )＝log 4(a ·2x －a )有且只有一个根，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即log 4(4－x ＋1)－kx ＝log 4(4x ＋1)＋kx ，即(2k ＋1)x ＝0，∴k ＝－12. (2)依题意令log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x －a )，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋1＝a ·2x －a ·2x ，a ·2x －a >0.令t ＝2x ，则(1－a )t 2＋at ＋1＝0，只需其有一正根即可满足题意．①当a ＝1时，t ＝－1，不合题意，舍去．②上式有一正一负根t 1，t 2，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝a 2－41－a >0，t 1t 2＝11－a <0，经验证满足a ·2x－a >0，∴a >1. ③上式有两根相等，即Δ＝0⇒a ＝±22－2，此时t ＝a 2a －1，若a ＝2(2－1)，则有t ＝a 2a －1<0，此时方程(1－a )t 2＋at ＋1＝0无正根，故a ＝2(2－1)舍去；若a ＝－2(2＋1)，则有t ＝a 2a －1>0，且a · 2x －a ＝a (t －1)＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2a －1－1＝a 2－a 2a －1>0，因此a ＝－2(2＋1)．综上所述，a 的取值范围为{a |a >1或a ＝－2－22}．。

2024年高考数学总复习第二章函数的概念与基本初等函数真题分类10函数与方程

证明：对每个n∈N*，当x>0时，f′n(x)＝1＋2x＋…＋xnn－1>0，故fn(x)在(0，＋∞)内单调递增．
由于f1(1)＝0，当n≥2时，fn(1)＝212＋312＋…＋n12>0，故fn(1)≥0.
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真题分类10 函数与方程
又fn23＝－1＋23＋k∑＝n 223k2k ≤－13＋14k∑＝n 223k ＝－13＋14·23211－－2323n－1 ＝－13·23n－1<0，所以存在唯一的xn∈23，1，满足fn(xn)＝0.
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真题分类10 函数与方程
高考·数学
答案：C
（1－a）x，x<0，由题意，b＝f(x)－ax＝13x3－12（a＋1）x2，x≥0.
（1－a）x，x<0，设 y＝b，g(x)＝13x3－12（a＋1）x2，x≥0.
即以上两个函数的图象恰有 3 个交点，根据选项进行讨论．
高考·数学
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真题分类10 函数与方程
高考·数学
Ⅰ.函数零点存在定理法判断函数零点所在区间 Ⅱ.数形结合法Fra bibliotek断函数零点所在区间
01 判断函数在某个区间上是否存在零点的方法
(1)解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上．
(2)利用函数零点存在定理进行判断． (3)画出函数图象，通过观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断．
真题分类10 函数与方程
高考·数学
第二章函数的概念与基本初等函数
§ 2.6 函数与方程
真题分类10 函数与方程
C1.函数零点所在区间的判断 C2.函数零点个数的判断 C3.函数零点求和的问题 C4.零点与参数的综合问题

第一部分专题六第二讲基本初等函数、函数与方程

[限时训练·直通高考] 科学设题拿下高考高分[A 组基础练]1．已知函数f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)时为增函数，则实数m 的值是( ) A ．－2 B ．4 C ．3D ．－2或3解析：f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数⇒m 2－m －5＝1⇒m ＝－2或m ＝3. 又在x ∈(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝3. 答案：C2．函数y ＝a x ＋2－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过的点是( ) A ．(0,0) B ．(0，－1) C ．(－2,0)D ．(－2，－1)解析：令x ＋2＝0，得x ＝－2，所以当x ＝－2时，y ＝a 0－1＝0，所以y ＝a x ＋2－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过点(－2,0)．答案：C 3．若c ＝log 3 cos π5，则( )A ．b >c >aB ．b >a >cC ．a >b >cD ．c >a >b解析：因为0<1π<13<1，所以1＝>0，所以0<a <1，因为b ＝>e 0＝1，所以b >1.因为0<cos π5<1，所以log 3 cos π5<log 3 1＝0，所以c <0.故b >a >c ，选B. 答案：B4．(2020·西安一中月考)下列函数中，与函数y ＝2x －2－x 的定义域、单调性、奇偶性均一致的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝x 3C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝log 2 x解析：y ＝2x －2－x 是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数．而y ＝sin x 不是单调递增函数；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是非奇非偶函数；y ＝log 2 x 的定义域是(0，＋∞)；只有y ＝x 3是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数，符合题意．答案：B5．(2020·新乡模拟)若函数f (x )＝log 2(x ＋a )与g (x )＝x 2－(a ＋1)x －4(a ＋5)存在相同的零点，则a 的值为( ) A ．4或－52 B ．4或－2 C ．5或－2D ．6或－52解析：g (x )＝x 2－(a ＋1)x －4(a ＋5)＝(x ＋4)[x －(a ＋5)]，令g (x )＝0，得x ＝－4或x ＝a ＋5，则f (－4)＝log 2(－4＋a )＝0或f (a ＋5)＝log 2(2a ＋5)＝0，解得a ＝5或a ＝－2. 答案：C6．(2020·大连模拟)已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x )＝x 2－3x (x ≥0)，若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2 x ，x >0，－1x ，x <0，则y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．1B ．3C ．2D ．4解析：作出函数f (x )与g (x )的图象，如图所示，由图象可知两个函数图象有3个不同的交点，所以函数y ＝f (x )－g (x )有3个零点，故选B. 答案：B7．若函数y ＝a |x |(a >0且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )解析：若函数y ＝a |x |(a >0且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则0<a <1，故log a |x |是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，由此可知y ＝log a |x |的图象大致为A. 答案：A8．(2020·绵阳模拟)函数f (x )＝2x－2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(1,2) C ．(0,3)D ．(0,2)解析：由题意，知函数f (x )在(1,2)上单调递增，又函数的一个零点在区间(1,2)内，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，4－1－a >0，解得0<a <3，故选C. 答案：C9．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0.若当x ＝0时，f (x )取得最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－1,2] B ．[－1,0] C ．[1,2]D ．[0,2]解析：∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，且当x ＝0时，f (x )取得最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．∴2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2，∴a 的取值范围是[0,2]．故选D. 答案：D10.函数f (x )＝(3ax －b )2的图象如图所示，则( ) A ．a >0且b >1 B ．a >0且01 D ．a <0且00，则3a >1，则3ax →0，f (x )→b 2，不合题意，若a ＝0，则3ax ＝1，则f (x )＝(1－b )2，不合题意，故a <0，此时3a <1.设3ax ＝t ，则易知当t ＝b ，即3ax ＝b 时，f (x )取最小值，由图象可知此时x <0，故3ax >1，即b >1.综上所述，a <0且b >1.故选C. 答案：C11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象与直线y ＝x 恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．[－1,2) C ．[－1,2]D ．[2，＋∞)解析：由题意可得直线y ＝x 与函数f (x )＝2(x >m )有且只有一个交点．若要满足题目要求，则需满足直线y ＝x 与函数f (x )＝x 2＋4x ＋2的图象恰有两个交点，如图，由图象可知，函数y ＝x 与f (x )＝x 2＋4x ＋2的图象交点为A (－2，－2)，B (－1，－1)，故有m ≥－1.而当m ≥2时，直线y ＝x 和射线y ＝2(x >m )无交点，故实数m 的取值范围是[－1,2)．故选B. 答案：B12．(2020·武汉调研)已知函数f(x)＝e x－a ln(ax－a)＋a(a>0)，若关于x的不等式f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围为()A．(0，e2] B．(0，e2)C．[1，e2]D．(1，e2)解析：因为f(x)＝e x－a ln(ax－a)＋a>0恒成立，所以e xa>ln(x－1)＋ln a－1，e x－ln a＋x－ln a>ln(x－1)＋x－1，e x－ln a＋x－ln a>e ln(x－1)＋ln(x－1)，令g(x)＝e x＋x，易得g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以x－ln a>ln(x－1)，即－ln a>ln(x－1)－x，因为ln(x－1)－x≤x－2－x＝－2，所以－ln a>－2，所以0<a<e2，所以实数a的取值范围是(0，e2)，故选B.答案：B13．(2020·新余一中质检)已知f(x)＝22x＋1＋sin x，则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＝________.解析：∵f(x)＋f(－x)＝22x＋1＋sin x＋22－x＋1－sin x＝22x＋1＋2x＋11＋2x＝2，且f(0)＝1，∴f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＝5.答案：514．(2020·杭州期中测试)函数y＝log2(－x2＋4x)的增区间是________，值域是________．解析：函数y＝log2(－x2＋4x)的增区间，即函数t＝－x2＋4x在满足t>0的条件下，函数t的增区间，再利用二次函数的性质可得在满足t>0的条件下，函数t的增区间为(0,2]．由于0<t ≤4，故y ＝log 2 t ∈(－∞，2]．答案：(0,2] (－∞，2]15．(2020·三明模拟)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t (单位：分)后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12th ，其中T a 称为环境温度，h 称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降到40 ℃需要20分钟，那么此杯咖啡从40 ℃降温到32 ℃时，还需要________分钟．解析：由已知可得T a ＝24，T 0＝88，T ＝40，则40－24＝(88－24)×⎝ ⎛⎭⎪⎫1220h ，解得h ＝10.当咖啡从40 ℃降温到32 ℃时，可得32－24＝(40－24)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12t10，解得t ＝10.故还需要10分钟．答案：1016．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|lg (－x )|，x <0，x 2－6x ＋4，x ≥0，若关于x 的函数y ＝f 2(x )－bf (x )＋1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是________．解析：作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg (－x )|，x <0，x 2－6x ＋4，x ≥0的图象，如图所示．设f (x )＝t ，由图可知，t ∈(0,4]，f (x )＝t 有4个根，∴在(0,4]上，方程t 2－bt ＋1＝0有2个不同的解，∴⎩⎪⎨⎪⎧1>0，b2>0，Δ＝b 2－4>0，16－4b ＋1≥0，解得2<b ≤174.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤2，174[B 组创新练]1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f (x )＝2x ＋32x ＋1，则函数y ＝[f (x )]的值域为( ) A ．{0,1,2,3} B ．{0,1,2} C ．{1,2,3} D ．{1,2}解析：f (x )＝2x ＋32x ＋1＝(1＋2x )＋21＋2x＝1＋21＋2x ，又2x>0，∴21＋2x ∈(0,2)，∴1＋21＋2x∈(1,3)．∴当f (x )∈(1,2)时，y ＝[f (x )]＝1；当f (x )∈[2,3)时，y ＝[f (x )]＝2.∴函数y ＝[f (x )]的值域是{1,2}．故选D. 答案：D2．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量浓度(单位mol /L ，记作[H ＋])和氢氧根离子的物质的量浓度(单位mol /L ，记作[OH －])的乘积等于常数10－14.已知pH 值的定义为pH ＝－lg [H ＋]，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋][OH －]可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg3≈0.48)( ) A.12 B.13 C.16D.110解析：由题意可得pH ＝－lg [H ＋]∈(7.35,7.45)，且[H ＋]·[OH －]＝10－14，∴lg[H ＋][OH －]＝lg[H ＋]10－14[H ＋]＝lg [H ＋]2＋14＝2lg [H ＋]＋14.∵7.35<－lg [H ＋]<7.45，∴－7.45<lg [H ＋]<－7.35，∴－0.9<2lg [H ＋]＋14<－0.7，即－0.9<lg [H ＋][OH －]<－0.7.∵lg 12＝－lg 2≈－0.30，故A 错误，lg 13＝－lg 3≈－0.48，故B 错误，lg 16＝－lg 6＝－(lg 2＋lg 3)≈－0.78，故C 正确，lg 110＝－1，故D 错误，故选C. 答案：C3．(2020·重庆市学业质量调研)已知函数f (x )＝2x ＋log 32＋x 2－x，若不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m >3成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(－∞，1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：由2＋x 2－x >0得x ∈(－2,2)，又y ＝2x 在(－2,2)上单调递增，y ＝log 3 2＋x2－x ＝log 3x －2＋42－x ＝log 3⎝⎛⎭⎪⎫－1－4x －2在(－2,2)上单调递增，所以函数f (x )为增函数，又f (1)＝3，所以不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m >3成立等价于不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m >f (1)成立，所以⎩⎨⎧－2<1m <2，1m >1，解得12<m <1，故选D.答案：D4．对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝{a (a －b )3，a ≤b ，b (b －a )3，a >b ，设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，若函数g (x )＝f (x )－mx 2(m ∈R )恰有三个零点x 1，x 2，x 3，则m 的取值范围是________，x 1x 2x 3的取值范围是________．解析：当2x －1≤x －1，即x ≤0时，f (x )＝(2x －1)x 3，当2x －1>x －1，即x >0时，f (x )＝－(x －1)x 3，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)x 3，x ≤0，－(x －1)x 3，x >0，因为g (x )有三个零点，所以函数f (x )与y ＝mx 2的图象有三个交点，即k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)x ，x ≤0，－(x －1)x ，x >0的图象与直线y ＝m 有三个交点，作出k (x )的图象，如图，其中x >0时，函数k (x )的最大值为－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1×12＝14，所以0<m <14.不妨设x 1<x 2<x 3，易知x 2>0，且x 2＋x 3＝1，所以0<x 2x 3<⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋x 322＝14. 由⎩⎨⎧(2x －1)x ＝14，x <0，解得x ＝1－34，所以1－34<x 1<0，所以1－316<x 1x 2x 3<0，且当m 无限接近14时，x 1x 2x 3趋近于1－316，当m 无限接近0时，x 1x 2x 3趋近于0.故x 1x 2x 3的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 ⎝⎛⎭⎪⎫1－316，0。

题型专题九基本初等函数、函数与方程

题型专题九基本初等函数、函数与方程
• 基本初等函数 • 函数与方程 • 函数的应用
目录
Part
01
基本初等函数
一次函数
一次函数是形如$y=kx+b$的函数，其中$k$和$b$是常数，且$k neq 0$。
一次函数的图像是一条直线，斜率为$k$，截距为$b$。
一次函数的单调性由斜率$k$ 决定，当$k>0$时，函数单调递增；当$k<0$时，函数单调递减。
函数的奇偶性和对称性是相互联系的，它们在解决一些数学问题时可以相互转化。
详细描述
在解决一些数学问题时，可以根据奇偶性和对称性的定义进行相互转化。例如，利用奇函数的性质可以简化一些计算，或者利用对称性来理解函数的图像和性质。
函数的周期性与最值
• 总结词：函数的周期性描述了函数值重复出现的规律，而最值则是函数在某个区间内的最大值或最小值。
指数函数的图像是单调递增或递减的曲线。
指数函数的单调性由底数$a$决定，当$a>1$时，函数单调递增；当$0<a<1$时，函数单调递减。
对数函数
对数函数是形如$y=log_a x$的函数，其中$a>0$且$a neq 1$。
对数函数的图像是单调递增或递减的曲线。
对数函数的单调性由底数$a$决定，当$a>1$时，函数单调递增；当$0<a<1$时，函数单调递减。
• 详细描述：周期函数是指函数在某个固定周期内重复变化的函数，例如正弦函数和余弦函数。最值则是函数在某个区间内的最大值或最小值，可以通过求导数或者比较区间端点函数值的方法来求解。
• 总结词：函数的周期性和最值在解决一些数学问题时具有重要应用。 • 详细描述：在解决一些数学问题时，可以利用函数的周期性和最值进行求解。例如，利用周期性可以将一个复杂的问题

专题三基本初等函数、函数与方程

专题复习《基本初等函数、函数与方程》例1、二次函数1、若定义在R 上的函数()225f x ax x =++在区间()2,+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是__ __；【答案】[)0,+∞； 2、若函数()()231f x mx m x =+-+对于任意x R ∈恒有()()f x f m ≤（其中m 为常数），则函数()f x 的单调递增区间为；【答案】3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；3、已知函数()[]268,1,f x x x x a =-+∈，并且()f x 的最小值为()f a ，则实数a 的取值范围是；【答案】(]1,3； 4、设二次函数()221f x ax ax =++在区间[]3,2-上有最大值4，则实数a 值为；【答案】38或3-； 5、关于x 方程()2310mx m x +-+=的根均大于0，则实数m 的取值范围是_________。

【答案】01m ≤≤； 6、关于x 方程()22120x a x a +-+-=的一个根比1大，另一个根比1小，则有（）A 、11a -<C 、21a -<<D 、1a <-或2a > 【答案】C ； 7、（2014江苏）已知函数()21f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为 .【答案】⎛⎫ ⎪⎝⎭；8、已知关于x 的不等式240ax ax ++>的解集为R ，则实数a 的取值范围为；【答案】016a ≤<； 9、若关于x 的不等式2160x kx ++≥的解集为R ，则实数k 的取值范围为；【答案】88k -≤≤；例2、指数与指数函数1、()52-的5次方根是________； ()42-的4次方根是________；【答案】-2；2±； 2、15a a-+=，则22a a-+的值为；1122a a-+的值为；【答案】由15a a-+=得()2125a a -+= 22225a a-∴++= 2223a a-∴+=【答案】由题可知110,0a a ->> 11220a a -∴+> 又21112227a a a a --+=++=⎛⎫ ⎪⎝⎭，1122a a -∴+=3、已知函数()24x f x a n -=+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点(),2P m ，则m n += ；【答案】3；4、函数y = ）A 、1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B 、1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C 、(),-∞+∞D 、(],1-∞ 【答案】A ；5、函数y = ）A 、[)0,+∞B 、[]0,3C 、[)0,3D 、()0,3 【答案】C ；6、函数2412x xy +⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为；【答案】(]0,16；7、设函数()()()x x f x x e ae x R =+∈是偶函数，则实数a 的值为；【答案】1-；8、若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤⎪ ⎪⎝⎭⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A 、()1,+∞B 、()1,8C 、()4,8D 、[)4,8 【答案】D ；例3、对数与对数函数1、求值：①13log = ； ②21log 32.51log 6.25lg2100+++= ；【答案】①13-； ②132； 2、函数()22log 32y x =+-（0,1a a >≠且）的图象恒过定点P ，则P 点坐标为；【答案】()1,2； 3、函数()213log 32y x x =--的单调递增区间是（）A 、()3,1-B 、1,12⎛⎫⎪⎝⎭C 、()1,+∞D 、[)1,1- 【答案】D ；4、已知函数()()log ,121,1a x x f x a x x ⎧>⎪=⎨--≤⎪⎩在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是；【答案】(]2,3；5、已知函数()log 2a y ax =-在区间[]0,1上是关于x 的减函数，则实数a 的取值范围是（）A 、()0,1B 、()1,2C 、()0,2D 、[)2,+∞ 【答案】B ；6、已知函数()()212log 23f x x ax =-+在区间(],1-∞上是增函数，求实数a 的取值范围是；【答案】[)1,2；7、函数()22log 43y kx kx =++的定义域为R ，则实数k 的取值范围是_______；【答案】304k ≤<；8、已知函数()()2lg 1f x x mx =-+的值域为R ，则实数m 的取值范围为；【答案】()(),22,-∞-+∞ ；9、【2014辽宁】已知132a -=，123log b =，1132log c =则（）A 、a b c >>B 、a c b >>C 、c a b >>D 、c b a >> 【答案】C ；10、函数()lg(f x x =是（）A 、奇函数B 、偶函数C 、既是奇函数又是偶函数D 、非奇非偶函数【答案】A ；11、若函数()y f x =的反函数的图象经过点()1,5，则函数()y f x =的图象必过点（） A 、()5,1 B 、()1,5 C 、()1,1 D 、()5,5 【答案】A ；例4、幂函数1、已知点⎝在幂函数()f x 的图象上,则（） A 、()3f x x = B 、()3f x x -= C 、()12f x x = D 、()12f x x-= 【答案】B ；2、当()0,x ∈+∞时，幂函数()()121m f x m m x-+=--为减函数，则实数m = ；【答案】2；3、若函数2223()(1)m m f x m m x --=--是幂函数，且是偶函数，则实数m 的值为_______；【答案】1-；4、（2016全国III ）已知432a =，233b =，1325c =，则（）A 、b a c <<<，则函数()xf x a x b =+-的零点所在的一个区间是（）A 、()2,1--B 、()1,0-C 、()0,1D 、()1,2 【答案】B ；3、若函数()()()251f x x x =---有两个零点12,x x ，且12x x <，则（）A 、122,25x x <<>C 、122,5x x <>D 、1225,5x x <<> 【答案】C ； 4、若函数()215f x x ax =-+-（a 是常数，且a R ∈）恰有两个不同的零点，则a 的取值范围是；【答案】()2,2-；5、（2012北京）函数()1212xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为（）A 、0B 、1C 、2D 、3 【答案】B ；6、已知函数()221,02,0x x f x x x x ⎧⎪->=⎨⎪⎩--≤，若函数()y f x m =-有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是；【答案】()0,1；7、已知函数()()21,01,0x x f x f x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（）A 、(],0-∞B 、[)0,1C 、(),1-∞D 、[)0,+∞ 【答案】C ； 8、若关于x 的方程31x k -=有一解，则实数k 的取值范围为；【答案】[){}1,0+∞ ； 9、（2016山东）已知函数()2,24,x x mf x x mx m x m⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩（其中0m >），若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则实数m 的取值范围是；【答案】()3,+∞；提示：由题2224m m m m -+<；10、若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[]0,1x ∈时，()f x x =，则方程()2log 0f x x -= 的根的个数是（）A 、6B 、4C 、3D 、2 【答案】B ；11、已知定义在R 上的奇函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，当01x <≤时，()12log f x x =，则方程()10f x -=在()0,6内所有根之和为（）A 、8B 、10C 、12D 、16 【答案】C ；12、已知函数()[]ln 23f x x x =-+，其中[]x 表示不大于x 的最大整数（如[][]1.61, 2.13=-=-），则函数()f x 的零点个数是（）A 、1B 、2C 、3D 、4 【答案】B ； 13、已知函数()1312,132,1x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨⎪-+<⎩，则方程()21f x =的根的个数为（）A 、1B 、2C 、3D 、4【答案】C ；提示：由题()12f x =；当1x ≥时，11122x--= 2x ∴= 当1x <时，3132x x -+=即3330x x -+= 令()333g x x x =-+ ()233g x x '∴=-令()0g x '=得1x =或1x =-()g x ∴在(),1-∞-上是增函数，在()1,1-上是减函数又()712g -=，()112g =- ()g x ∴在区间(),1-∞上有2个零点综上方程()21f x =的根的个数为3.14、已知函数()()12,12ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若函数()()g x f x ax =-恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（）A 、10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B 、10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C 、11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D 、1,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C ；15、已知定义在(]0,2上的函数()(](]113,0,121,1,2x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨⎪-∈⎩，且()()g x f x mx =-在(]0,2内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（）A 、91,20,42⎛⎤⎛⎤-- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦B 、111,20,42⎛⎤⎛⎤-- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦C 、92,20,43⎛⎤⎛⎤-- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦D 、112,20,43⎛⎤⎛⎤-- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ 【答案】A ； 16、设函数()2lg ,02,0x x f x x x x ⎧>⎪=⎨--≤⎪⎩，若函数()()2221y f x bf x ⎡⎤=++⎣⎦有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是；【答案】3,2⎛- ⎝；【解析】令()f x t =，则2221y t bt =++ 由()f x 图象知，当()0,1t ∈时，函数()t f x =有4个交点故22210t bt ++=有两个不等实根12,t t 且()12,0,1t t ∈令()2221g x t bt =++ 则()()2480010123020122b g g b b ⎧∆=->⎪⎪=>⎪⎨=+>⎪⎪<-<⎪⎩⨯解得32b -<< 17、已知定义在R 的函数()y f x =满足1322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当11x -<≤时，()f x x =；若方程()log a f x x =恰好有6个根，则实数a 的取值范围是（）A 、11,75⎡⎤⎢⎥⎣⎦B 、[)11,5,775⎡⎫⎪⎢⎣⎭C 、[)11,3,553⎡⎫⎪⎢⎣⎭D 、11,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B ；18、设函数()[](),01,0x x x f x f x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][][]1.22,1.21,11-=-==，若直线()0y kx k k =+>与函数()y f x =的图象恰有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是（）A 、11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭B 、10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C 、11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 、11,43⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A ；19、已知函数()(),11,1x e x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，()1g x kx =+，若方程()()0f x g x -=有两个不等的实根，则实数k 的取值范围是；【答案】(]1,11,12e e -⎛⎫- ⎪⎝⎭；。

基本初等函数、函数与方程及函数的综合问题

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专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
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【解析】 (1)通解：若 0<a<1，则函数 y＝a1x是增函数，y＝logax＋12是减函数且其图象过点12，0，结合选项可知，选项 D 可能成立；若 a>1，则 y＝a1x是减函数，而 y＝logax＋12 是增函数且其图象过点12，0，结合选项可知，没有符合的图象．故选 D. 优解：分别取 a＝12和 a＝2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知选 D.
答案：－2，0
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函数的零点
[核心提炼] 1．函数的零点的定义对于函数 f(x)，我们把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 f(x)的零点．
2．确定函数零点的常用方法 (1)解方程法； (2)利用零点存在性定理； (3)数形结合，利用两个函数图象的交点求解．
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(3)若 λ＝2，则当 x≥2 时，令 x－4<0，得 2≤x<4；当 x<2 时，令 x2－4x＋3<0，得 1<x<2. 综上可知 1<x<4，所以不等式 f(x)<0 的解集为(1，4)．令 x－4＝0，解得 x＝4；令 x2－4x ＋3＝0，解得 x＝1 或 x＝3.因为函数 f(x)恰有 2 个零点，结合函数的图象(图略)可知 1<λ≤3 或 λ>4.
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[对点训练]
1．当 x∈R 时，函数 f(x)＝a|x|始终满足 0＜|f(x)|≤1，则函数 y＝loga1x的图象大致为(

小题考法专练 (二) 基本初等函数、函数与方程、函数的实际应用问题

小题考法专练（二）基本初等函数、函数与方程、函数的实际应用问题一、小题提速练1．函数f (x )＝ln x －2x 2的零点所在的区间为( )A ．(0,1) B.(1,2) C ．(2,3)D.(3,4)解析：选B 易知f (x )＝ln x －2x 2的定义域为(0，＋∞)，且在定义域上单调递增．∵f (1)＝－2<0，f (2)＝ln 2－12>0，∴f (x )的零点所在的区间为(1,2)．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，e x ，x ≥1，则f (－2)＋f (ln 6)＝( )A ．3 B.6 C ．9D.12解析：选C 由题意，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，e x ，x ≥1，则f (－2)＋f (ln 6)＝1＋log 2[2－(－2)]＋e ln 6＝1＋2＋6＝9. 3．若a ，b ，c 满足2a ＝3，b ＝log 25,3c ＝2，则( ) A ．c <a log 24，∴b >2. ∵3c ＝2,30<2<31，∴0<c <1， ∴c <a 8lg 22D.b －a >lg 6 解析：选ACD 由10a ＝4,10b ＝25，得a ＝lg 4，b ＝lg 25，∴a ＋b ＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，∴b －a ＝lg 25－lg 4＝lg254，∵lg 10＝1>lg 254>lg 6，∴b －a >lg 6，∴ab ＝4lg 2lg 5>4lg 2lg 4＝8lg 22，故正确的有A 、C 、D.5．(2020·枣庄二模)已知a >b >0，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a b ＝( )A. 2B.2 C ．2 2D.4解析：选B ∵log a b ＋log b a ＝52，∴log a b ＋1log a b ＝52，解得log a b ＝2或log a b ＝12.若log a b＝2，则b ＝a 2，代入a b ＝b a 得aa 2＝(a 2)a ＝a 2a ，a 2＝2a ，又a >0，∴a ＝2，则b ＝22＝4，不合题意；若log a b ＝12，则b ＝a 12，即a ＝b 2，代入a b ＝b a 得(b 2)b ＝b 2b ＝bb 2，∴2b ＝b 2，又b >0，∴b ＝2，则a ＝b 2＝4.综上，a ＝4，b ＝2，∴ab ＝2.故选B.6．(2020·临沂一模)已知函数f (x )＝12x 2－2x ＋1，x ∈[1,4]，当x ＝a 时，f (x )取得最大值b ，则函数g (x )＝a |x ＋b |的大致图象为( )解析：选C f (x )＝12x 2－2x ＋1＝12(x －2)2－1，故a ＝4，b ＝1，g (x )＝a |x ＋b |＝4|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋1，x ≥－1，4－x －1，x <－1，对比图象知C 满足条件．故选C.7．已知函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3) B.(1,2) C ．(0,3)D.(0,2)解析：选C 由题意知，显然函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)内连续且递增，因为f (x )的一个零点在区间(1,2)内，所以f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，解得0<a <3，故选C.8．(2020·济南期末)已知函数f (x )＝lg(x 2＋1＋x )＋12，则f (ln 5)＋f ⎝⎛⎭⎫ln 15＝( ) A ．0 B.12 C ．1D.2解析：选C ∵f (x )＝lg(x 2＋1＋x )＋12，∴f (－x )＝lg((－x )2＋1－x )＋12，∴f (x )＋f (－x )＝lg(x 2＋1＋x )＋12＋lg(x 2＋1－x )＋12＝lg(x 2＋1＋x )(x 2＋1－x )＋1＝lg [](x 2＋1)2－x 2＋1＝lg 1＋1＝0＋1＝1，∴f (ln 5)＋f ⎝⎛⎭⎫ln 15＝f (ln 5)＋f (－ln 5)＝1.故选C. 9．(2020·文登模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x <0，log 2(x ＋1)，x ≥0，若|f (x )|≥2ax ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0] B.[－1,0] C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－12，0 解析：选D 作出函数图象如图．结合图象可得，要使|f (x )|≥2ax 恒成立，当x ＞0时，必有a ≤0；当x ≤0时，只需x 2－x ≥2ax ，即x －1≤2a 恒成立，所以a ≥－12.综上所述，a ∈⎣⎡⎦⎤－12，0，故选D. 10．(多选)已知x ，y 均大于0，e x ＋x ＝e y ＋2y ，则下列结论正确的是( ) A ．log 3x <log 3y B.x －23<y －23C ．sin x >sin yD.11＋x 2<11＋y 2解析：选BD 因为x ，y 均大于0，所以e x ＋x ＝e y ＋2y ＝e y ＋y ＋y >e y ＋y .易知函数m ＝e n ＋n 在(0，＋∞)上单调递增，故x >y .根据对数函数的性质得log 3x >log 3y ，选项A 错误．因为x >y >0，函数m ＝n －23在(0，＋∞)上单调递减，所以x 23－<y 23－，选项B 正确．函数m ＝sin n 在(0，＋∞)上的单调性不确定，因此sin x >sin y 不一定成立，选项C 错误．因为x >y >0，所以x 2>y 2，所以11＋x 2<11＋y 2，选项D 正确．11．(2018·江苏高考)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________．解析：由log 2x －1≥0，即log 2x ≥log 22，解得x ≥2，所以函数f (x )＝log 2x －1的定义域为{x |x ≥2}．答案：{x |x ≥2}12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0，f (x －2)，x ≥0，则f (log 23)＝________.解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0，f (x －2)，x ≥0，log 23>0，所以f (log 23)＝f (log 23－2)＝f ⎝⎛⎭⎫log 234，又log 234<log 21＝0，所以f (log 23)＝f ⎝⎛⎭⎫log 234＝2log 234＝34. 答案：3413.已知函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a ，b 满足2a ＝3,3b＝2，则n ＝______.解析：a ＝log 23>1,0<b ＝log 32<1，令f (x )＝0，得a x ＝－x ＋b .在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝a x 和y ＝－x ＋b 的图象，如图所示．由图可知，两函数的图象在区间(－1，0)内有交点，所以函数f (x )在区间(－1,0)内有零点，所以n ＝－1.答案：－114．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间T (单位：年)的衰变规律满足N ＝N 0·25730T－(N 0表示碳14原有的质量)，则经过5 730年后，碳14的质量变为原来的______；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的37至12，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5 730年到______年之间．(参考数据：lg 2≈0.3，lg 7≈0.84，lg 3≈0.48)解析：∵N ＝N 0·25730T－，∴当T ＝5 730时，N ＝N 0·2－1＝12N 0，∴经过5 730年后，碳14的质量变为原来的12.由题意可知25730T－>37，两边同时取以2为底的对数得：log 225730T－>log 237，∴－T 5 730>lg 37lg 2＝lg 3－lg 7lg 2≈－1.2，∴T <6 876，∴推测良渚古城存在的时期距今约在5 730年到6 876年之间．答案：12 6 876二、小题拔高练15．设函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3，则函数g (x )＝|cos πx |－f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－12，32上零点的个数为( ) A ．3 B.4 C ．5D.6解析：选C 由f (－x )＝f (x )，得f (x )的图象关于y 轴对称．由f (x )＝f (2－x )，得f (x )的图象关于直线x ＝1对称．当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3，所以f (x )在[－1,2]上的图象如图．令g (x )＝|cos πx |－f (x )＝0，得|cos πx |＝f (x )．由图可知，两函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象在⎣⎡⎦⎤－12，32上的交点有5个．故选C. 16．已知函数f (x )＝|ln(x 2＋1－x )|，设a ＝f (log 30.2)，b ＝f (3－0.2)，c ＝f (－31.1)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >c B.b >a >c C ．c >a >bD.c >b >a解析：选C 法一：f (x )＝|ln(x 2＋1－x )|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln 1x 2＋1＋x ＝|ln(x 2＋1＋x )|＝f (－x )，所以函数f (x )＝|ln(x 2＋1－x )|是偶函数．当x >0时，f (x )＝ln(x 2＋1＋x )，此时函数f (x )单调递增．a ＝f (log 30.2)＝f (log 35)，b ＝f (3－0.2)，c ＝f (－31.1)＝f (31.1)，因为31.1>3>log 35>1>3－0.2>0，所以c >a >b ，故选C.法二：令g (x )＝ln(x 2＋1－x )，则g (－x )＋g (x )＝ln(x 2＋1＋x )＋ln(x 2＋1－x )＝ln 1＝0，所以g (x )为奇函数，y ＝f (x )＝|g (x )|为偶函数．当x >0时，函数f (x )＝|ln(x 2＋1－x )|＝ln(x 2＋1＋x )单调递增，又f (0)＝ln 1＝0，所以函数f (x )的大致图象如图所示．－2<log 30.2＝log 315＝－log 35<－1,0<3－0.2<1，－31.1<－3，结合图象可知f (－31.1)>f (log 30.2)>f (3－0.2)，即c >a >b ，故选C.17．(多选)若实数x ，y 满足5x －4y ＝5y －4x ，则下列关系式中可能成立的是( ) A ．x ＝y B.1<x <y C ．0<x <y <1D.y <x <0解析：选ACD 由题意，实数x ，y 满足5x －4y ＝5y －4x ，可化为4x ＋5x ＝5y ＋4y ，设f (x )＝4x ＋5x ，g (x )＝5x ＋4x ，由初等函数的性质，可得f (x )，g (x )都是单调递增函数，画出函数f (x )，g (x )的图象，如图所示．根据图象可知，当x ＝0时，f (0)＝g (0)＝1；当x ＝1时，f (1)＝g (1)＝9.当x ＝y 时，f (x )＝g (y )，所以5x －4y ＝5y －4x 成立，所以A 正确；当1<x <y 时，f (x )<g (y )，所以B 不正确；当0<x <y <1时，f (x )＝g (y )可能成立，所以C 正确；当y <x <0时，此时f (x )≤g (x )，所以f (x )＝g (y )可能成立，所以D 正确．故选A 、C 、D.18．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－2ax ＋8，x ≤1，2x －a ln x ，x >1，若函数f (x )有三个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(7，＋∞) B.(－4，＋∞) C ．[8，＋∞)D.[9，＋∞)解析：选C 当a ＝0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧8，x ≤1，2x ，x >1，易知函数f (x )无零点，舍去．当a <0，且x ≤1时，f (x )＝ax 2－2ax ＋8的图象开口向下，对称轴为直线x ＝1，且f (1)＝a －2a ＋8＝－a ＋8>0，所以当a <0，且x ≤1时，函数f (x )只有一个零点；当a <0，且x >1时，f (x )＝2x －a ln x ，f ′(x )＝2－a x ＝2x －ax >0，函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，f (x )>2，所以当a <0，且x >1时，函数f (x )无零点．故当a <0时，函数f (x )只有一个零点，与题意不符，舍去．当a >0，且x ≤1时，f (x )＝ax 2－2ax ＋8的图象开口向上，对称轴为直线x ＝1，且f (0)＝8>0，所以函数f (x )在(－∞，1]上最多有一个零点；当a >0，且x >1时，f (x )＝2x －a ln x ，f ′(x )＝2x －a x ，令f ′(x )＝0，得x ＝a 2，若0<a2≤1，则函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，若a2>1，则f (x )在⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，a 2上单调递减，f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a －a ln a2，此时函数f (x )最多有两个零点．若使得函数f (x )有三个零点，则⎩⎨⎧－a ＋8≤0，a －a ln a2<0，a2>1，解得a ≥8.19．(2020·北京高考)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W ＝f (t )，用－f (b )－f (a )b －a 的大小评价在[a ，b ]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论：①在[t 1，t 2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在t 2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在t 3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]这三段时间中，在[0，t 1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是________．解析：由题图可知甲企业的污水排放量在t 1时刻高于乙企业，而在t 2时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在[t 1，t 2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；由题图知在t 2时刻，甲企业对应的关系图象斜率的绝对值大于乙企业的，故②正确；在t 3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，③正确；甲企业在[0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]这三段时间中，在[0，t 1]的污水治理能力明显低于[t 1，t 2]时的，故④错误．答案：①②③三、大题融会练20．已知函数f (x )＝e x －cos x .(1)求f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求证：f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，＋∞上仅有2个零点．解：(1)f ′(x )＝e x ＋sin x ，f ′(0)＝1，f (0)＝0，∴f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y －0＝x －0，即y ＝x . (2)证明：令g (x )＝f ′(x )＝e x ＋sin x ，则g ′(x )＝e x ＋cos x ，当－π2<x <π2时，g ′(x )>0，∴g (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增．而g ⎝⎛⎭⎫－π2＝e 2－π－1<0，g ⎝⎛⎭⎫π2＝e 2π＋1>0，由零点存在性定理知g (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上有唯一零点， ∴f ′(x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上有唯一零点．又f ′⎝⎛⎭⎫－π2<0，f ′(0)＝1>0， ∴f ′(x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增且有唯一零点α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， ∴x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，α时，f ′(x )<0；x ∈⎝⎛⎭⎫α，π2时，f ′(x )>0. ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，α上单调递减，在⎝⎛⎭⎫α，π2上单调递增，又f (0)＝0，∴f (α)<0，结合f ⎝⎛⎭⎫－π2＝e 2－π>0，f ⎝⎛⎭⎫π2＝e 2π>0，由零点存在性定理知f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，α上有一个零点，在⎝⎛⎭⎫α，π2上有一个零点0. 当x ≥π2时，e x >1，cos x ≤1，e x －cos x >0，f (x )>0，此时f (x )无零点．综上，f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，＋∞上仅有2个零点．。

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基本初等函数、函数与方程专题1．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )解析：选A 函数f (x )的定义域为R ，由f (－x )＝ln [(－x )2＋1]＝ln(x 2＋1)＝f (x )知函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，排除C ；又由f (0)＝ln 1＝0，可排除B ，D ．故选A ．2．若0＜a ＜b ＜1，m ＝a b ，n ＝b a ，p ＝log b a ，则m ，n ，p 这三个数的大小关系正确的是( )A ．n ＜m ＜p __B ．m ＜n ＜pC ．p ＜m ＜nD ．p ＜n ＜m解析：选B 由0<a log b b ＝1，而0<a b <a a <b a <1，据此有m ＜n ＜p . 本题选择B 选项．3．已知实数a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．c ＜b ＜aD ．b ＜a ＜c解析：选B ∵b －a ＝ln 33－ln 22＝2ln 3－3ln 26＝ln 9－ln 86＞0，∴b ＞a ；又a －c ＝ln 22－ln 55＝5ln 2－2ln 510＝ln 32－ln 2510＞0，∴a ＞c ，∴b ＞a ＞c ，即c ＜a ＜b .选B ． 4．已知函数f (x )＝ln e x －e －x2，则f (x )是( )A ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增B ．奇函数，且在R 上单调递增C ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减D ．偶函数，且在R 上单调递减解析：选A 要使函数有意义，则e x ＞e －x ，解得x ＞0，即函数的定义域是(0，＋∞)，故函数是非奇非偶函数．又y ＝e x 与y ＝－e －x在(0，＋∞)上递增，所以f (x )在(0，＋∞)上递增，故选A ．5．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)A ．2020年B ．2021年C ．2022年D ．2023年解析：选C 设2018年后的第n 年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n ＞200，得1.12n ＞2013，两边取常用对数，得n ＞lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从2022年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．5．函数y ＝a －a x (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 56＋log a 485＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 当x ＝1时，y ＝0，则函数为减函数，故a ＞1，则当x ＝0时，y ＝1，即y ＝a －1＝1，即a －1＝1，解得a ＝2，则log a 56＋log a 485＝log a ⎝⎛⎭⎫56×485＝log 28＝3，故选C ． 7．(2018·邵阳模拟)若关于x 的不等式2x ＋1－2－x －a ＞0的解集包含区间(0,1)，则a 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎦⎤－∞，72 B ．(－∞，1] C ．⎝⎛⎭⎫－∞，72 D ．(－∞，1)解析：选B 由题得a ＜2·2x －12x 在(0, 1)上恒成立，设2x ＝t ，t ∈(1,2)，所以a ＜2t －1t ，t ∈(1,2)，由于函数f (t )＝2t －1t ，t ∈(1,2)是增函数，所以a ≤f (1)＝2×1－1＝1，故选B ．8．已知直线x ＝m (m ＞1)与函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，g (x )＝log b x (b ＞0且b ≠1)的图象及x 轴分别交于A ，B ，C 三点，若AB →＝2BC →，则( )A ．b ＝a 2B ．a ＝b 2C ．b ＝a 3D ．a ＝b 3解析：选C 由于AB →＝2BC →，则AC →＝3BC →，则点A 的坐标为(m ，3g (m ))，又点A 在函数f (x )＝log a x 的图象上，故log a m ＝3log b m ，即log a m ＝log b m 3，由对数运算可知b ＝a 3．9．(2018·保定月考)已知f (x )满足对∀x ∈R ，f (－x )＋f (x )＝0，且x ≥0时，f (x )＝e x ＋m (m 为常数)，则f (－ln 5)的值为( )A ．4B ．－4C ．6D ．－6解析：选B ∵f (x )满足对∀x ∈R ，f (－x )＋f (x )＝0， ∴f (－x )＝－f (x )，故f (0)＝0，∵x ≥0时，f (x )＝e x ＋m .∴f (0)＝1＋m ＝0，m ＝－1，即x ≥0时，f (x )＝e x －1，则f (－ln 5)＝－f (ln 5)＝－(e ln 5－1)＝－4，故选B ．10．已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[23，＋∞)B ．(0,1]∪[3，＋∞)C ．(0，2]∪[23，＋∞)D ．(0，2]∪[3，＋∞)解析：选B 在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2⎝⎛⎭⎫x －1m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象．分两种情形：(1)当0<m ≤1时，1m ≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题意；(2)当m >1时，0<1m <1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2，解得m ≥3或m ≤0(舍去)．综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)．11．(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝________．解析：(log 43＋log 83)(log 32＋log 92) ＝⎝⎛⎭⎫12log 23＋13log 23⎝⎛⎭⎫log 32＋12log 32 ＝56log 23×32log 32＝54．答案：5412．已知函数f (x )为偶函数且f (x )＝f (x －4)，又在区间[0,2]上f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－32x ＋5，0≤x ≤1，2x ＋2－x ，1<x ≤2，函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |＋a ，若F (x )＝f (x )－g (x )恰有2个零点，则a ＝________．解析：由题意可知f (x )是周期为4的偶函数，画出函数f (x )与g (x )的大致图象(图略)．若F (x )＝f (x )－g (x )恰有2个零点，则有g (1)＝f (1)，解得a ＝2．答案：213．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x ＞0，2－x 2，x ≤0若函数g (x )＝f (x )－kx 有4个零点，则实数k 的取值范围是________．解析：若函数g (x )＝f (x )－kx 有4个零点，即方程f (x )＝kx 有4个解，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x ＞0，2－x 2，x ≤0与y ＝kx 有4个交点，记h (x )＝ln x ，则过原点作h (x )的切线，切线斜率为1e ，∴0＜k ＜1e，则实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，1e ．答案：⎝⎛⎭⎫0，1e 14．已知f (x )是定义在R 上且以2为周期的偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.如果函数g (x )＝f (x )－(x ＋m )有两个零点，则实数m 的值为________．解析：令g (x )＝0得f (x )＝x ＋m ．①考虑函数f (x )在[0,1]上的图象，因为两个端点分别为(0,0)，(1,1)，所以过这两点的直线方程为y ＝x ，此时m ＝0；②考虑直线y ＝x ＋m 与f (x )＝x 2(x ∈[0,1])的图象相切，与区间(1,2]上的函数图象相交，则此时直线与函数f (x )也是两个交点，即g (x )仍然有两个零点，可求得此时m ＝－14，切线方程为y ＝x －14.综上，由f (x )是定义在R 上且以2为周期的偶函数，得m ＝2k 或m ＝2k －14(k∈Z)．答案：2k 或2k －14(k ∈Z)15．已知函数f (x )＝|2x －a2x |在[0,1]上单调递增，则a 的取值范围为________．解析：令2x ＝t ，t ∈[1,2]，则y ＝|t －at |在[1,2]上单调递增．当a ＝0时，y ＝|t |＝t 在[1,2]上单调递增显然成立；当a >0时，函数y ＝|t －at |，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[a ，＋∞)，此时a ≤1，即0<a ≤1时成立；当a <0时，函数y ＝|t －a t |＝t －at ，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[－a ，＋∞)，此时－a ≤1，即－1≤a <0时成立．综上可得a 的取值范围是[－1,1]．答案：[－1,1]。