古典概型与几何概型基础复习习题练习

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古典概型与几何概型精选习题.doc

古典概型和几何概型检测试题1.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4. 8g的概率为0.3,质量小于4. 85g的概率为0.32,那么质量在［4. 8,4.85］（g）范围内的概率是（）A. 0. 62B. 0. 382.在长为10 cm的线段4"上任取一点只率为（）3 1A. —B.—10 5C. 0. 02并以线段"^边作正方形,、2C.—5D.D. 0.68这个正方形的而积介于25 ck与49 ck之间的概3.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为*,转盘乙得到的数为y,构成数对（x, *）,则所有数对（％y）中满足*y=4的概率为（）1 2 3）1 D.-4.—•种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为（I 3 n 3A. —B.—4 85.两人相约7点到8点在某地会面，1 4A. —B.—现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂C. -D.-4 8先到者等候另一人20分钟，过时离去.则求两人会面的概率为（c. 9 796如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，,2 .1 八2A. —B. —C.—71 713C-7.如图,有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为45°,若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为（1A.—8)1B.-4C.—28.现有］00湖的蒸馄水,（）A.—100B.—20假定里而有一个细曲，现从中抽取20诚的蒸馄水，则抽到细曲的概率为C.—109. 一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口 ,6:00,则该船在一昼夜内可以进港的概率是（D. 15已知该港口每夭涨潮的时间为早晨5:00至7:00和下午5 :00至）1A. 41B. 81C.】1D. 1210.在区间［0,10］中任意取一个数，则它与4之利大于10的概率是（1A. 52B. 53C. 52D. 711.若过正三角形ABC的顶点人任作一条直线乙，则£与线段8C相交的概率为（1 1 1 1A. 1 2 3B. 3C. 6D. 1212.在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2i时水样放到显微镜卜•观察，则发现草履虫的概率是（）A. 0.5B. 0.4C. 0. 004D.不能确定13.平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率（）r r a - r a - rA. ci B・ 2cz C・ Q D. 2cz14.已知地铁列车每10min-班，在车站停Imin.则乘客到达站台立即乘上车的概率为.15.随机向边长为2的正方形ABCD中投一点P,则点P与A的距离不小于1且与ZCPD为锐角的概率是19.一只海豚在水池中游弋，水池为长30m ,宽20〃z的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2〃?的概率.20.在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段，求这三段可以构成三角形的概率.21.已知射手甲射击一■次，命中9环（含9环）以上的概率为0.56,命中8环的概率为0.22,命中7环的概率为0.12.（1）求甲射击一次，命中不足8环的概率；（2）求甲射击一次，至少命中7环的概率.22.口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1, 2, 3, 4, 5,甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记卜.编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢.⑴、甲、乙按以上规则各摸一个球，求事件呷赢且编号的和为6”发勺I翘率;⑵、这种游戏规则公平吗?试说明理由.16.在区间（0,1）中随机地取出两个数，则两数之和小于。

古典概型练习题(有详细答案)

古典概型练习题1.从12个同类产品(其中10个正品,2个次品)中任意抽取3个,下列事件是必然事件的是A.3个都是正品B.至少有一个是次品C.3个都是次品D.至少有一个是正品2.给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件②“当x为某一实数时可使20x<”是不可能事件③“明天要下雨”是必然事件④“从100个灯泡中取出5个,5个都是次品”是随机事件.其中正确命题的个数是( )A. 0B. 1C.2D.34.袋中有3个白球和2个黑球,从中任意摸出2个球,则至少摸出1个黑球的概率为（）A. 37B.710C.110D.3105.从标有1,2,3,4,5,6,7,8,9的9张纸片中任取2张,那么这2 张纸片数字之积为偶数的概率为( )A. 12B.718C.1318D.11186.某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2名代表,至少有1名女当选的概率为( )A.715B.815C.35D. 17.下列对古典概型的说法中正确的个数是 ( )①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③基本事件的总数为n,随机事件A包含k个基本事件,则()kP An=；④每个基本事件出现的可能性相等；A. 1B. 2C. 3D. 48.从装有2个红球和2个白球的口袋中任取两球,那么下列事件中互斥事件的个数是( )⑴至少有一个白球,都是白球；⑵至少有一个白球,至少有一个红球；⑶恰有一个白球,恰有2个白球；⑷至少有一个白球,都是红球.A.0B.1C.2D.39.下列各组事件中,不是互斥事件的是（）A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6B.统计一个班数学期中考试成绩,平均分数不低于90分与平均分数不高于90分C.播种菜籽100粒,发芽90粒与发芽80粒D.检查某种产品,合格率高于70%与合格率为70%10.若事件A 、B 是对立事件,则P(A)+P(B)=________________.11.从1,2,3,4,5这5个数中任取两个,则这两个数正好相差1的概率是________。

古典概型与几何概型

古典概型与几何概型基础训练：1．甲乙两人从{0，1，2，3，4，5}中各取一个数a,b,则“恰有a+b 3”的概率等于______________2.箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，先摸出1只球，记下颜色后放回箱子，然后再摸出1只球，则摸到两只不同颜色的球的概率为_____3.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为4.若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是5.已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，那么甲排在乙前面值班的概率为_________6.一只口袋装有形状大小都相同的6只球，其中有2只白球，2只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则2只球都是红色的概率为_______，2只球同色的概率为________，恰有一只球是白球的概率为_________典型例题：袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球，（I）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率。

设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（Ⅰ）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率．9．当A ，B ∈{1，2，3}时，在构成的不同直线Ax －By ＝0中，任取一条，其倾斜角小于45︒的概率是．检测与反馈：1.已知集合{}21503x A x |x ,B x |x -⎧⎫=-<<=>⎨⎬-⎩⎭，在集合A 任取一个元素x ，则事件“x A B ∈⋂”的概率是 ________ ．2.一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则使目标受损但未被击毁的概率为_______3．已知米粒等可能地落入如图所示的四边形内，如果通过大量的实验发现米粒落入△BCD 内的频率稳定在附近，那么点和点到直线的距离之比约为．4．如图所示，墙上挂有一边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a 的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是__ ___．5.分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数，依次记为m 和n ，则m n >的概率为 ABCD 49A C BD D6.（2010江苏）盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ _ _。

古典概型与几何概型专题训练(答案版)

古典轮廓与几何轮廓专题训练1.在集合{}04M x x =<≤中随机选取一个元素，2log y x =函数大于1的概率为( ) A. 1 湾。

14 C 。

12 D. 34答案与分析： 1. C2. 考虑一元二次方程20x mx n ++=，其,m n 值等于掷骰子两次后连续出现的点数，则方程有实根的概率为 ( ) 一个。

3619 湾。

187 C 。

94 D.3617 答案与分析： 2. A3.如图，大正方形的面积为34，四个全等直角三角形组成一个小正方形，直角三角形短边的长度3是一朵小花落在一个小方块上的概率是A .117 B .217 C .317 D .417答案与分析： 3 B .因为大正方形的面积343落在5小3正方形4上2的概率是423417P ==。

所以选择B 。

【解题与探索】本题考查几何概率的计算。

求解几何概率问题的关键是求两个区间的长度（面积或体积），然后用几何概率的概率计算公式()=A P A 构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）求解。

所以在这道题中求小花落在小方块上的概率，关键是求小方块的面积和大方块的面积。

4 、如图所示，在3个地方有一只迷失方向的小青蛙。

每次跳跃都可以进入任意相邻格子（如果跳跃5个地方只能进入3个地方，3个可以等待一次跳跃后进入1、2、4、5的机会），然后在第三跳，第一次进5的概率是( ) A.316B. 14C 。

16D.12答案与分析： 4. A一个盒子6里有好的晶体管和4坏的晶体管。

取两次，每次取一个，每次取后不要放回去。

知道第一个是好晶体管，第二个也是好晶体管的概率是 ( ) 一个。

13 湾。

512 C 。

59 D.925答案与分析：（1） C一个盒子6里有好的晶体管和4坏的晶体管。

服用任意两次，每次服用一次，每次服用拿走不放回去后，第一次和第二次都是好晶体管的概率是 ( ) 一个。

13 湾。

古典概型与几何概型练习及答案(文)-教师版

古典概型及几何概型练习题一、选择题1．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．25B．15C．310D．110【答案】A【解析】将第一次抽取的卡片上的数记为a，第二次抽取的卡片上的数记为b，先后两次抽取的卡片上的数记为(),a b，则共有()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,1，()2,2，()2,3，()2,4，()2,5，()3,1，()3,2，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25种抽取方法，其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的抽取方法有10种，所以所求概率102255P==，故选A．2．袋中有9个大小相同的小球，其中4个白球，3个红球，2个黑球，现在从中任意取一个，则取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为（）A．79B．49C．23D．59【答案】D【解析】从袋中9个球中任取一个球，取出的球恰好是一个红色或黑色小球的基本事件数为5，因此，取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为59，故选D．3．在一个不透明的箱子中装有4件同型号的产品，其中合格品3件、不合格品1件，现在从这4件产品中随机抽取2件检测，则抽到的都是合格品的概率是（）A．14B．13C．12D．34【答案】C【解析】记合格品为a ，b ，c ；不合格为d ，这4件产品中随机抽取2件的基本事件为(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d ，抽到的都是合格品的基本事件为(),a b ，(),a c ，(),b c ，即抽到的都是合格品的概率3162P ==，故选C ． 4．在一项自“一带一路”沿线20国青年参与的评选中“高铁”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”被称作中国“新四大发明”，曾以古代“四大发明”推动世界进步的中国，正再次以科技创新向世界展示自己的发展理念．某班假期分为四个社会实践活动小组，分别对“新四大发明”对人们生活的影响进行调查．于开学进行交流报告会．四个小组随机排序，则“支付宝”小组和“网购”小组不相邻的概率为（）A ．14B ．16C ．13D ．12【答案】D【解析】将“支付宝”小组，“网购”小组，“高铁”小组，“共享单车”小组分别记为1A ，2A ，1B ，2B ．则四个小组随机排序的所有情况有()1212,,,A A B B ，()1221,,,A A B B ，()2112,,,A A B B ，()2121,,,A A B B ，()1122,,,A B A B ，()1221,,,A B A B ，()2112,,,A B A B ，()2211,,,A B A B ，()1122,,,B A A B ，()1212,,,B A A B ，()2121,,,B A A B ，()2211,,,B A A B ，()1122,,,A B B A ，()1122,,,A B B A ，()2121,,,A B B A ，()2211,,,A B B A ，()1212,,,B B A A ，()1221,,,B B A A ，()2112,,,B B A A ，()2112,,,B B A A ，()1122,,,B A B A ，()1221,,,B A B A ，()2112,,,B A B A ，()2211,,,B A B A ，共24种，其中“支付宝”小组与“网购”小组不相邻的有12种，由古典概型的概率公式得所求概率为12．故选D ．5．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）A ．110 B ．15C ．310D ．120【答案】A【解析】从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件为：()1,2,3，()1,2,4，()1,2,5，()1,3,4，()1,3,5，()1,4,5，()2,3,4，()2,3,5，()2,4,5，()3,4,5共10个，其中满足勾股数的只有()3,4,5，共1个，∴所求概率110p =，本题正确选项A ． 6．先后抛掷3枚均匀的硬币，至少出现一次反面的概率是（）A ．18B ．38C ．58D ．78【答案】D【解析】基本事件的总数为2228⨯⨯=，全是正面的的事件数为1，故全是正面的概率为18，所以至少出现一次反面的概率为17188-=，故选D ． 7．如图，一个边长为4的正方形里有一个月牙形的图案，为了估算这个月牙形图案的面积，向这个正方形里随机投入了1000粒芝麻，经过统计，落在月牙形图案内的芝麻有350粒，则这个月牙图案的面积约为（）A ．5.6B ．3.56C ．1.4D ．0.35【答案】A【解析】月牙形图案的面积约为：35044 5.61000⨯⨯=，本题正确选项A ．8．刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，即从半径为1尺的圆内接正六边形开始计算面积，如图是一个圆内接正六边形，若向圆内随机投掷一点，则该点落在正六边形内的概率为（）A ．3πB．πC．2πD．2π【答案】D【解析】由图可知642S P S ===ππ正六边形圆，故选D ． 9．如图，在直角梯形ABCD 中，2AD CD ==，B 是OC 的中点，若在直角梯形ABCD 中投掷一点(,)P x y ，则以x ，y ，2为三边构成的三角形为钝角三角形的概率为（）A ．π14-B ．π24-C ．π13-D ．π23-【答案】C【解析】由题，2x ≤，2y ≤，故设2为最长边长，∵以x ，y ，2为三边构成的三角形为钝角三角形，∴224x y +<，即以原点为圆心，半径为2的圆，∴()1π21ππ12131222AOB ABCDS P S -⨯⨯--===⨯+⨯，故选C ．10．如图，线段MN 是半径为2的圆O 的一条弦，且MN 的长为2．在圆O 内，将线段MN 绕N 点按逆时针方向转动，使点M 移动到圆O 上的新位置，继续将线段MN 绕M 点按逆时针方向转动，使点N 移动到圆O 上的新位置，依此继续转动，点M 的轨迹所围成的区域是图中阴影部分．若在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分内的概率为（）A ．4π-B ．1 C ．πD 【答案】B【解析】由题意得：阴影部分的面积21π26224π2S =⨯-⨯⨯⨯=-，∴1P ==，本题正确选项B ． 11．梅赛德斯-奔驰（Mercedes Benz -）创立于1900年，是世界上最成功的高档汽车品牌之一，其经典的“三叉星”商标象征着陆上、水上和空中的机械化．已知该商标由1个圆形和6个全等的三角形组成（如图），点O 为圆心，15OAB ∠=︒，若在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A ．B C D 【答案】D【解析】由已知可得60AOB ∠=︒，则105ABO ∠=︒．又()1sin15sin 4530()2224︒=︒-︒=-=，()1sin105sin 4560(22︒=︒+︒=+=不妨设4OA =，则由正弦定理可得4sin158sin105OA OB ⨯⋅︒===-︒，则(148sin 60122AOB S =⨯⨯-⨯︒=△，所以阴影部分的面积为'336AOB S S ==△，圆O 的面积为16πS =，则在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为'S P S ===．故选D ．12．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（）A ．B C D【答案】A【解析】如下图所示，设2BC =，则以点B 为圆心的扇形面积为21π2π2=233⨯⨯，等边ABC △的面积为21π2sin 23⨯⨯=2π3 所以，勒洛三角形的面积可视为一个扇形面积加上两个弓形的面积，即2π2π+⨯=-2(2π33∴在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形外部的概率1=，故选A．二、填空题13．已知两个袋子中装有大小和形状相同的小球，其中甲袋中有3个小球编号为1,2,3，乙袋中有4个小球编号为1,2,3,4，若从两个袋中各取出1球，则取出的两个小球编号相同的概率为______．【答案】14【解析】设A为“取出的两个小球编号相同”，从两个袋中各取出1球，共有12种取法，取出的两个小球编号相同，共有3种取法，故()31P A==．12414．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取3支不同颜色的彩笔，则取出的3支彩笔中含有红色彩笔的概率为________．【答案】35【解析】从这5支彩笔中任取3支不同颜色的彩笔，共有10种不同的取法，从这5支彩笔中任取3支不同颜色的彩笔，则取出的3支彩笔中含有红色彩笔，共有6种不同的取法，则取出的3支彩笔中含有红色彩笔的概率为63105=，故答案为35． 15．向边长为2的正方形内随机投10000粒豆子，其中1968粒豆子落在到正方形的顶点A 的距离不大于1的区域内（图中阴影区域），由此可估计π的近似值为______．（保留四位有效数字）【答案】3.149【解析】依题意得，正方形的面积4S =正方形，阴影部分的面积4π，故落在到正方形的顶点A 的距离不大于1的区域内（图中阴影区域）的概率44π1π6P ==，随机投10000粒豆子，其中1968粒豆子落在到正方形的顶点A 的距离不大于1的区域内（图中阴影区域）的频率为196810000，即有19681610π000p ==，解得π 3.1488=，故答案为3.149． 16．在[0,20]中任取一实数作为x ，则使得不等式12log (1)4x ->-成立的概率为______．【答案】45P =【解析】依题意，111222log (1)4log (1)log 160116117x x x x ->-⇔->⇔<-<⇔<<，故所求概率17142005P -==-，故答案为45P =．。

2021年高三数学一轮复习古典概型与几何概型练习

2021年高三数学一轮复习古典概型与几何概型练习五、课外练习一、填空题1．同时抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，二枚反面的概率为________．38解析共23＝8(种)情况，符合要求的有(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)3种．∴P＝38.2．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为________．1936解析一枚骰子掷两次，其基本事件总数为36，方程有实根的充要条件为b2≥4c.P＝1936.3．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目．若选到男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有________人．120解析设男教师有n人，则女教师有(n＋12)人．由已知从这些教师中选一人，选到男教师的概率P＝n2n＋12＝920，得n＝54，故参加联欢会的教师共有120人．4．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为________．0.2解析从5根竹竿中一次随机抽取2根竹竿共有10种抽取方法，而抽取的两根竹竿长度恰好相差0.3 m的情况是2.5和2.8,2.6和2.9两种，∴概率P＝210＝0.2.5．四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为________．1－π4解析当以O为圆心，1为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O的距离小于或等于1，故所求事件的概率为P(A)＝μAμΩ＝S长方形－S半圆S长方形＝1－π4.6．已知正三棱锥S—ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得V P—ABC<12VS—ABC的概率为________．78解析当P在三棱锥的中截面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P＝1－18＝78.7．已知正方体ABCD—A1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体ABCD—A1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是________．π6解析设正方体棱长为a，则正方体的体积为a3，内切球的体积为43π⎝⎛⎭⎪⎫a23＝16πa3，故M在球O内的概率为16πa3a3＝π6.8. 如图所示，半径为10 cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm的小圆．现将半径为1 cm的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为________．7781解析由题意知，硬币的中心应落在距圆心2～9 cm的圆环上，圆环的面积为π×92－π×22＝77π，故所求概率为77π81π＝7781.p 39305 9989 馉28867 70C3 烃Y 29844 7494 璔20468 4FF4 俴29482 732A 猪33863 8447 葇35733 8B95 讕 27696 6C30 氰38690 9722 霢。

《古典概型》基础训练

《古典概型》基础训练一、单项选择题1.甲、乙、丙是同班同学，假设他们三个人早上到学校先后的可能性是相同的，则事件“甲比乙先到学校，乙又比丙先到学校”的概率是（）A.12B.13C.14D.162.如图所示，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1,2,3,4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A.12B.14C.34D.383.某班有男生30人，女生20人，按分层抽样的方法从班级中选5人负责校园开放日的接待工作.现从这5人中随机选取2人，至少有1名男生的概率是（）A.110B.310C.710D.9104.边长为2的正三角形的顶点和各边的中点共6个点，从中任选两点，所选出的两点之间的距离大于1的概率是（）A.13B.12C.25D.355.袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个，从中任取3个球，则恰有两个球同色的概率为（）A.15B.310C.35D.45二、多项选择题6.以下试验是古典概型的有（）A.从6名同学中选出4名同学参加学校文艺汇演，每个人被选中的可能性大小B.同时掷两枚骰子，点数和为7的概率C.近三天中有一天降雪的概率D.3个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率三、填空题7.有5张卡片，上面分别标有数字1,2,3,4,5，从中任取2张，则卡片上数字之积为偶数的概率为________.8.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_________.四、解答题a b是一颗骰子掷两9.已知关于x的一元二次方程22---+=.若(,)2(2)160x a x b次所得的点数.（1）求方程有两个正根的概率；（2）求方程没有实根的概率.10.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次，得到甲、乙两位学生成绩的茎叶图.（1）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均成绩状况和方差的角度考虑，你认为哪位学生的成绩更稳定？请说明理由；（2）在乙同学的6次预赛成绩中，从不小于70分的成绩中随机抽取2个成绩，列出所有结果，并求抽取的2个成绩均大于80分的概率.参考答案一、单项选择题1.答案：D解析：甲、乙、丙三人到学校的次序共有甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲6种结果，而事件“甲比乙先到学校，乙又比丙先到学校”含“甲乙丙”1种结果，因此其概率16P=，故选D.2.答案：D解析：只考虑A，B两个方格的填法，不考虑大小，A，B两个方格有16种填法要使填入A方格的数字大于B方格的数字，则从1,2,3,4中选2个数字，大的放入A格，小的放入B格，有{(4,3),(4, 2) ,(4,1),(3,2),(3,1),(2,1)}，共6个样本点，故填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为63 168=.3.答案：D解析：由分层抽样知识得，男生中抽取530350⨯=人，设为,,a b c；女生中抽取520250⨯=人，设为,d e.从中任取2人的样本空间{,,,,,,,,,}ab ac ad ae bc bd be cd ce deΩ=，共10个样本点.设“至少有1名男生”为事件A，则A为2人全是女生，所以A中含{}de，共1个样本点，因此11(),()11010P A P A=∴=-910=，故选D.4.答案：C解析：如图，从,,,,,6A B C D E F个点中任选两个点，样本空间{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),A B A C A D A E A F B C B D B E B F C D C E C F Ω=(,),(,),(,)}D E D F E F，共15个样本点，其中所选出的两点之间的距离大于1包含6个样本点，即{(,)(,),(,),(,),(,),(,)}A B A C A E B C B F C D ，故所求概率62155P ==.5. 答案：C解析：设2个红球为12,a a ，2个黄球为12,b b ，2个蓝球为12,c c ，从中任取3个，其样本空间{121122121122112111112121122112,,,,,,,,,a a b a a b a a c a a c a bb a b c a b c a b c a b c a c c Ω=, }212211212221222212121122112212,,,,,,,,,a bb a b c a b c a b c a b c a c c bb c bb c b c c b c c ，共20个样本点设“恰有两球同色”为事件A ，则A中含有{121122121122112112212212121122,,,,,,,,,a a b a a b a a c a a c a bb a c c a bb a c c bb c bb c }112212,b c c b c c ，共12个样本点.123()205P A ∴==，故选C. 二、多项选择题 6.答案：ABD解析：对于A ，从6名同学中选出4名同学参加学校文艺汇演，每个人被选中的可能性相等，满足有限性和等可能性，是古典概型；在B 中，同时掷两枚骰子，点数和为7的事件是随机事件，满足有限性和等可能性，是古典概型；在C 中，不满足等可能性，不是古典概型；在D 中，3个人站成一排，其中甲，乙相邻的概率，满足有限性和等可能性，是古典概型. 三、填空题 7. 答案：710解析：从标有数字1,2,3,4,5的5张卡片中任取2张，其样本空间{(1,2)Ω=，(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}，共10个样本点.解法一：卡片上数字之积为偶数的有{(1,2),(1,4),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(4,5)}，共7个样本点，故所求概率710P =. 解法二：从5张卡片中任取2张，有“卡片上数字之积为奇数”“卡片上数字之积为偶数”两种结果，且二者必居其卡片上数字之积为奇数有{(1,3),(1,5),(3,5)}，共3个样本点，则“卡片上数字之积为奇数”的概率为310，所以所求概率3711010P =-=. 8.答案：23解析：设2本不同的数学书为12,,a a 语文书为b ，在书架上的排法为{}121221211221,,,,,a a b a ba a a b a ba ba a ba a ，共6个样本点，其中2本数学书相邻的有{}12211221,,,a a b a a b ba a ba a ，共4个样本点，因此2本数学书相邻的概率4263P ==. 四、解答题 9.答案：见解析解析：（1）样本空间中的样本点共有36个，方程有两个正根等价于22(2)0,160,0,a b ->⎧⎪->⎨⎪∆⎩即222,44,(2)16.a b a b >⎧⎪-<<⎨⎪-+⎩设“方程有两个正根”为事件A ，则事件A 包含4个样本点，即{(6,1),(6,2),(6,3),(5,3)}，故所求概率为41()369P A ==. （2）方程没有实根等价于0∆<，即22(2)16a b -+<.设“方程没有实根”为事件B ，则事件B 包含的样本点有14个，即{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2)}，故所求概率为147()3618P B ==.10.答案：见解析解析：（1） 1(69787979867+88)=80x =⨯++++甲，22222221(6980)(7880)(7980)(7980)(8780)(8880)6s ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-+-⎣⎦甲40= . 1(657779828889)806x =⨯+++++=乙，22222221(6580)(7780)(7980)(8280)(8880)(8980)64.6s ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-+-=⎣⎦乙 22,x x s s =<甲乙甲乙，∴甲学生的成绩更稳定. （2）在乙同学的6次预赛成绩中，从不小于70分的成绩中随机抽取2个成绩，样本空间(77,88),(77,89),(79,82),(79,88{(7),(7,79),(779,89),(78,82)2,,,88)Ω=(82,89),(88,89)}，共10个样本点，2个成绩均大于80分的有{(82,88),(82,89)(88,89)}，，共3个样本点，∴抽取的2个成绩均大于80分的概率310P =.。

(完整版)古典概型与几何概型专题训练(答案版)

古典概型与几何概型专题训练1.在集合{}04M x x =<≤中随机取一个元素，恰使函数2log y x =大于1的概率为( ) A ．1 B.14 C. 12 D. 34答案及解析：1.C2.考虑一元二次方程20x mx n ++=，其中,m n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数,则方程有实根的概率为( ) A.3619 B.187 C.94 D.3617答案及解析：2.A3.如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为A .117 B .217 C .317 D .417答案及解析：3.B .因为大正方形的面积是34，所以大正方形的边长是34，由直角三角形的较短边长为3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4.所以小花朵落在小正方形内的概率为423417P ==.故选B . 【解题探究】本题考查几何概型的计算. 几何概型的解题关键是求出两个区间的长度（面积或体积），然后再利用几何概型的概率计算公式()=A P A 构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）求解．所以本题求小花朵落在小正方形内的概率，关键是求出小正方形的面积和大正方形的面积.4.如图所示，现有一迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格（若它在5处，跳动一次，只能进入3处，若在3处，则跳动一次可以等机会进入1，2，4，5处），则它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是（）A ．316 B ．14 C ． 16 D ．12答案及解析：4.A5.（1）一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为 ( ) A.13 B.512 C.59 D.925答案及解析：（1）C（2）一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，则第一次和第二次取到的都是好晶体管的概率为 ( ) A.13 B.512 C.59 D. 925答案及解析：（2）A（3）一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后再放回，则第一次和第二次取到的都是好晶体管的概率为( ) A.13 B.512 C.59 D. 925答案及解析：（3）D6.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是（） A ．49 B ．13 C ．29D ．19答案及解析：6.D7.一个袋子里装有编号为1,2,3,,12的12个相同大小的小球，其中1到6号球是红色球，其余为黑色球，若从中任意透出一个球，记录它的颜色和号码后再放回到袋子里，然后再摸出一个球，记录它的颜色和号码，则两次摸出的球都是红球，且至少有一个球的号码是偶数的概率是（） A ．316 B ．14 C ．716 D ．34答案及解析：7.A8.已知点(,)P a b ，,a b 满足221a b +≤，则关于x 的二次方程224430x bx a ++=有实数根的概率为( )A ．16B ．13C ．23D ．56答案及解析：8.B9. 4名学生从3个体育项目中每人选择1个项目参加，而每个项目都有学生参加的概率为（） A ．B ．C ．D ．答案及解析：10.C10.小赵和小王约定在早上7:00至7:30之间到某公交站搭乘公交车去上学.已知在这段时间内，共有3班公交车到达该站，到站的时间分别为7:10,7:20,7:30，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（）A.13B.12C.14D.16答案及解析：9.A考点：几何概型11.三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生都排在一起的概率是（A）130（B）115（C）110（D）15答案及解析：11.C12.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（）A．B．C．D．答案及解析：12.D13.一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为（）A ．41004901C C -B ．4100390110490010C C C C C + C ．4100110C C D ．4100390110C C C答案及解析：13.D14.如图1所示的是甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )答案及解析：14.C15.在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b =α，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为t ，在区间[1，3t]和[2，4]分别各取一个数，记为m 和n ，则方程表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是（）A ．31 B. 43 C. 32D. 12答案及解析：15. D16.执行右图的程序框图，任意输入一次()()0101x x y y ≤≤≤≤与，则能输出数对(),x y 的概率为________答案及解析：16. 14π-17.甲和乙等五名志愿者被随机地分到A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲和乙不在同一岗位服务的概率为（A ）110（B ）910 （C ） 14 （D ） 48625答案及解析：17.B18.下列对古典概型的说法中正确的个数是 ( ) ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ②每个事件出现的可能性相等；③基本事件的总数为n,随机事件A 包含k 个基本事件,则()k P A n=； ④每个基本事件出现的可能性相等； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4答案及解析：18.C19.已知一个三角形的三边长分别是5,5,6,一只蚂蚁在其内部爬行,若不考虑蚂蚁的大小,则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是（ ☆ ）A. 12π-B.13π-C.16π-D.112π-答案及解析：19.C20.一次实验：向下图所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形中的豆子的总数为N 粒，其中)(N m m ＜粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率π为 (A)N m (B)N m 2 (C)N m 3 (D)Nm 4答案及解析：20.D 【知识点】几何概型K3设圆的半径为1．则正方形的边长为2，根据几何概型的概率公式可以得到2122π⨯⨯=Nm，即π=4mN. 【思路点拨】根据几何概型的概率公式，即可以进行估计，得到结论．21.已知P 是△ABC 所在平面内一点，20PB PC PA ++=，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是（）A.14 B.13 C.23 D.12答案及解析：21.【知识点】几何概型K3 D 由得，设BC 边中点为D ，则,P 为AD 中点，所以黄豆落在内的概率是，故选D.【思路点拨】：由得P 为BC 边中线AD 的中点，由此可得黄豆落在PBC ∆内的概率.22.设A 是半径为1的圆周上一定点，P 是圆周上一动点，则弦PA ＜1的概率是 A.13 B. 23 C. 16 D. 12答案及解析：22.A23.甲、乙两人约定某天晚上7：00～8：00之间在某处会面，并约定甲早到应等乙半小时，而乙早到无需等待即可离去，那么两人能会面的概率是（） A ．B ．C ．D ．答案及解析：23.C24.已知不等式015<+-x x 的解集为P 。

几何概型、古典概型常考经典好题(史上最全面含答案)

几何概型、古典概型常考经典题（史上最全面）1．在长为2的线段AB 上任意取一点C ，则以线段AC 为半径的圆的面积小于π的概率为( ) A .14 B.12 C .34 D.π42．已知正棱锥S-ABC 的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P ，使得V P-ABC ＜12V S-ABC 的概率是( ) A .34 B.78 C .12 D.143.如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )A .12 B.32 C .13 D.144．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上随机取一个数x ，则sin x ＋cos x ∈[1， 2 ]的概率是( ) A .12 B.34 C .38 D.585．若m ∈(0,3)，则直线(m ＋2)x ＋(3－m)y －3＝0与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为________．6.如图，正四棱锥S-ABCD 的顶点都在球面上，球心O 在平面ABCD 上，在球O 内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________．7．平面区域A 1＝{}(x ，y )|x 2＋y 2＜4，x ，y ∈R ，A 2＝{(x ，y )||x |＋|y |≤3，x ，y ∈R}．在A 2内随机取一点，则该点不在A 1内的概率为________．8．在边长为4的等边三角形OAB 及其内部任取一点P ，使得OA ―→·OP ―→≤4的概率为( )A.12B.14C.13D.189．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为35，则AD AB ＝________. 10．某人对某台的电视节目进行了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目时，看不到广告的概率为910，那么该台每小时约有________分钟的广告．11．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．12.在面积为S 的ABC ∆ 的边AB 上任取一点P ，则PBC ∆的面积大于4S 的概率为 .13．在ABC ∆中，060,2,6ABC AB BC ∠===，在BC 上任取一点D ，则使ABD ∆为钝角三角形的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．23 14.从区间[0,1]上随机抽取2n 个数1212,,,,,,,n n x x x y y y ，构成n 个数对11(,)x y ，22(,)x y ，[来源:学+,(,)n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为__________. A ．4n m B ．2n m C ．4m n D ．m n15. 在等腰Rt △ABC 中， (1)在斜边A B 上任取一点M ，求AM 的长小于AC 的长的概率.（2）过直角顶点C 在ACB ∠内作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM<AC 的概率.（3）已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB ＋PC ＋2PA ＝0，现将一粒黄豆随机撒在△PBC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A ．14B ．13C ．23D ．1216.节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在4秒内为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率。

古典概型、几何概型检测卷及答案

古典、几何概型一、选择题1．一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为( )A.23B.14C.13D.122．甲、乙两人各写一张贺年卡，随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是( )A.12B.13C.14D.153．从0,1,2,3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是( )A.13B.14C.49D.59 4．已知实数x ∈[－1,1]，y ∈[0,2]，则点P (x ，y )落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内的概率为（ )A.316B.38C.34D.125．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )A.15B.25C.35D.456．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A.14B.13C.12D.23 二、填空题7．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．8．如图所示，边长为2的正方形内有一内切圆．在图形上随机投掷一个点，则该点落到圆内的概率是__________．9．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4，先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，则n<m＋2的概率为__________．三、解答题如为解答，则是“解”或“证明”不能打成“解析”了10.在3件产品中，有2件正品，记为a1，a2，有1件次品，记为b1，从中任取2件，每次取1件产品．(1)若每次取出后不放回，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)若每次取出后再放回，求两次取出的产品中恰有一次取次品的概率．11．为了解某校高三9月调考数学成绩的分布情况，从该校参加考试的学习成绩中抽取一个样本，并分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一组至第五组数据的频率之比为1∶2∶8∶6∶3，最后一组数据的频数是6.(1)估计该校高三学生9月调考数学成绩在[125,140]的概率，并求出样本容量；(2)从样本成绩在[65,95)的学生中任选2人，求至少有1人成绩在[65,80)的概率．12．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A，B，(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．古典、几何概型一、选择题1．一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为( )A.23B.14C.13D.12解析：一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，而只有一次出现正面的事件包括(正，反)，(反，正)，故其概率为24＝12.故选D. 答案：D2．甲、乙两人各写一张贺年卡，随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是( )A.12B.13C.14D.15解析：(甲送给丙，乙送给丁)，(甲送给丁，乙送给丙)，(甲、乙都送给丙)，(甲、乙都送给丁)，共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以P ＝24＝12.答案：A3．从0,1,2,3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是( )A.13B.14C.49D.59解析：所有没有重复数字的两位数有10,12,13,20,21,23,30,31,32，共9个，其中所得两位数为偶数的有10,12,20,30,32，共5个，所以所求概率为59. 答案：D4．已知实数x ∈[－1,1]，y ∈[0,2]，则点P (x ，y )落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内的概率为（ )A.316B.38C.34D.12解析：如图所示，(x ，y )在矩形ABCD 内取值，不等式组所表示的区域为△AEF ，由几何概型的概率公式，得所求概率为38，故选B. 答案：B5．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )A.15B.25C.35D.45解析：记1个红球为A,2个白球为B 1，B 2,3个黑球为C 1，C 2，C 3，则从中任取2个球，基本事件空间Ω＝{(A ，B 1)，(A ，B 2)，(A ，C 1)，(A ，C 2)，(A ，C 3)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 1，C 3)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(B 2，C 3)，(C 1，C 2)，(C 1，C 3)，(C 2，C 3)}，共计15种，而两球颜色为一白一黑的有如下6种：(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 1，C 3)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(B 2，C 3)，所以所求概率为615＝25. 答案：B6．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A.14B.13C.12D.23 解析：设BC 中点为M ， ∴PB →＋PC →＝2PM → ∵PB →＋PC →＋2P A →＝0， ∴PM →＝－P A →， ∴P 为AM 中点， ∴PM AM ＝12，∴S △PBC S △ABC ＝12，∴一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 的概率是12，故选C. 答案：C二、填空题7．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．解析：设2本数学书分别为A 、B ，语文书为C ，则所有的排放顺序有ABC 、ACB 、BAC 、BCA 、CAB 、CBA ，共6种情况，其中数学书相邻的有ABC 、BAC 、CAB 、CBA ，共4种情况，故2本数学书相邻的概率P ＝46＝23.答案：238．如图所示，边长为2的正方形内有一内切圆．在图形上随机投掷一个点，则该点落到圆内的概率是__________．解析：所求概率P ＝π×122×2＝π4.答案：π49．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4，先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，则n <m ＋2的概率为__________．解析：设取出的两球的编号为(m ，n )，则所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，其中满足n <m ＋2的基本事件有(1,1)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(1,2)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(3,4)，(4,4)，共13个，故所有满足n <m ＋2的概率为1316.答案：1316三、解答题10．在3件产品中，有2件正品，记为a 1，a 2，有1件次品，记为b 1，从中任取2件，每次取1件产品． (1)若每次取出后不放回，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)若每次取出后再放回，求两次取出的产品中恰有一次取次品的概率．解：(1)取后不放回，所有可能结果组成的基本事件为：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，取出的两件中，恰有一件次品的事件A 包括：(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，所以P (A )＝46＝23.(2)每次取后放回，所有可能结果为：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(a 1，a 1)，(a 2，a 2)，(b 1，b 1)，两件中恰好只有一件是次品的事件B 包括：(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，所以P (B )＝49.11．为了解某校高三9月调考数学成绩的分布情况，从该校参加考试的学习成绩中抽取一个样本，并分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一组至第五组数据的频率之比为1∶2∶8∶6∶3，最后一组数据的频数是6.(1)估计该校高三学生9月调考数学成绩在[125 , 140]的概率，并求出样本容量； (2)从样本成绩在[65,95)的学生中任选2人，求至少有1人成绩在[65,80)的概率．解：(1)估计该校高三学生9月调考数学成绩在[125,140]上的概率为P ＝31＋2＋8＋6＋3＝320，设样本容量为n ，则6n ＝320，解得n ＝40.(2)样本中成绩在[65,80)上的学生有120×40＝2人，记为x ，y ，成绩在[80,95)上的学生有220×40＝4人，记为a ，b ，c ，d .从上述6人中任选2人的基本事件有：{x ，y }，{x ，a }，{x ，c }，{x ，d }，{y ，a }，{y ，b }，{y ，c }，{y ，d }，{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{b ，c }，{b ，d }，{c ，d }，共15个，记“从上述6人中任选2人，至少有1人在[65,80)上”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有：{x ，y }，{x ，a }，{x ，b }，{x ，c }，{x ，d }，{y ，a }，{y ，b }，{y ，c }，{y ，d }，共9个．故所求概率P (A )＝915＝35.12．海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A ，B ，(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．所以P(D)＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.。

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课题：古典概型与几何概率
考纲要求：
① 理解古典概型及其概率计算公式；② 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；③了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；④了解几何概型的意义.
教材复习
1.古典概型：把同时具有：
“()1每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的，每次试验只出现其中一个结果；()2每一个结果出现的可能性相同”的两个特征的随机试验的数
学模型称为古典概型：基本步骤：①计算一次试验中基本事件的总数n ；②事件A 包含的基本事件的个数m ；
③由公式n
m
A P =
)(计算. 注：必须在解题过程中指出等可能的..
2.几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成事件的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.
特性：每一次试验中所有可能出现的结果都是无限的，每一个结果出现的可能性都是相等的.
基本步骤：（1）构设变量（2）集合表示（3）作出区域（4）计算求解.
几何概型的计算：()P A = 积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）
的区域长度（面积或体构成事件A
3.随机数：是在一定范围内随机产生的数，并且在这个范围内得到每一个数的机会相等.
随机数的一个重要应用就是用计算机产生随机数来模拟设计实验.
模拟是利用模型来研究某些现象的性质的一种有效方法，可以节约大量的人力、物力.
典例分析：
考点一古典概型的概念
问题1．判断下列命题正确与否：
()1 掷两枚硬币，可能出现“两个正面”
，“两个反面”，“一正一反”3种结果；()2某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能行相同；()3从4,3,2,1,0,1,2----中任取一数，取到的数小于0和不小于0的可能性相同； ()4分别从3名男同学，4名女同学中各选一名做代表，那么每个同学当选的可能性相同； ()55人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某中奖签的可能性肯定不同.
考点二古典概型的概率
问题2．一个口袋中装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，求：()1基本事件总数；()2事件：“摸出2个黑球”包含的基本事件是多少个？()3“摸出2个黑球”的概率是多少？；
问题3．同时掷两个骰子，计算：()1一共有多少种不同的结果？()2其中向上的点数之和是5的结果又多少种？()3“向上的点数之和是5”的概率是多少？
问题4．将一个骰子先后抛掷三次，求向上点数之和不是6的倍数的概率.
问题5．（08山东文）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123A A A ,,通晓日语，
123B B B ,,通晓俄语，12C C ,通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．()1求1A 被选中的概率；()2求1B 和1C 不全被选中的概率．
考点三与长度有关的几何概型
问题6．()1(2013福建) 利用计算机产生01之间的均匀随机数a ，则时间“310a ->”发生的概率为
()2在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 不大于AC 的概率.
A
B
C
M
考点四与面积有关的几何概型
问题7.()1(2013陕西) 如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源,
基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．
信号的概率是 .A 14
π- .
B 12
π
- .C 22
π
-
.
D 4
π
()2(2013四川)节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，
若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是
.
A 14 .
B 12 .
C 34 .
D 78
1
D
E
F
问题8.（08枣庄三中模拟）甲乙两人约定上午7:00到8:00之间到某个汽车站乘车，在
这段时间内有3班公共汽车，他们开车的时刻分别为7:20、7:40、8:00，如果他们约定，见车就乘，则甲乙两人同乘一班车的概率为 .
A 21 .
B 14 .
C 31 .
D 1
6
考点五与体积有关的几何概型
问题9.已知正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，则在正方体ABCD -
1111A B C D 内任取一点M ，点M 在球O 内的概率是.
A 4π .
B 6π .
C 8
π
.D 12π
考点六与角度有关的几何概型
问题10：()1(2011湖南文) 已知圆C ：2212x y +=,直线l :4325x y +=. ①圆C 的圆心到直线l 的距离为
②圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为
()2在Rt ABC △中，30A =︒，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于M ，
求使AM AC >的概率.
课后作业：
1.在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段，求这三段可以构成三角形的概率.
2.（2013黄冈模拟）在区间[]0,1上任意取两个实数,a b ，则函数3
1()2
f x x ax b =
+- 在区间[]1,1-上有且仅有一个零点的概率为 .A 18 .B 14 .C 34 .D 7
8
走向高考：
C
A
B
M
1.（07广东文）在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注
的数字外完全相同。

现从中随机地取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是 .A
3
10
.
B 15 .
C 110
.
D 1
12
2.（09安徽文）从长度分别为2345,
,,的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是
3.（09江苏文）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，
若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为
4. (09山东文)在区间[,]22ππ
-
上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到2
1
之间的概率为 .A 31 .B π
2
.C 21 .D 32
5.（09辽宁文）ABCD 为长方形，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为
.
A 4
π
.B 14π-
.C 8
π .D 18
π
-
6.（09福建文）点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为
7.（2012辽宁）在长为12cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线
段,AC CB 的长，则该矩形面积小于2
32cm 的概率为 .
A 16 .
B 13 .
C 23 .
D 45
8.（2012湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，
分别以OA ，OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
.A 2
1π
-
.
B 112π- .
C 2π .
D 1
π
9.（07海南文）设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=.
()1若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，若b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；()2若a 是从区间[]0,3任取的一个数，若b 是从区间[]0,2三个
数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.。