2020年山西省高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(含答案解析)
2020年山西省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则中元素的个数是A. 0B. 1C. 2D. 32.国际上通常用年龄中位数指标作为划分国家或地区人口年龄构成的标准：年龄中位数在20岁以下为“年轻型”人口；年龄中位数在岁为“成年型”人口；年龄中位数在30岁以上为“老龄型”人口．如图反映了我国全面放开二孩政策对我国人口年龄中位数的影响．据此，对我国人口年龄构成的类型做出如下判断：建国以来直至2000年为“成年型”人口；从2010年至2020年为“老龄型”人口；放开二孩政策之后我国仍为“老龄型”人口．其中正确的是A. B. C. D.3.函数，则关于函数的说法不正确的是A. 定义域为RB. 值域为C. 在R上为增函数D. 只有一个零点4.在四边形ABCD中，，，，则该四边形的面积是A. B. C. 10 D. 205.天上有些恒星的亮度是会变化的，其中一种称为造父型变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化．第一颗被描述的经典造父变星是在1784年．如图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图，其中视星等的数值越小，亮度越高，则此变星亮度变化的周期、最亮时视星等，分别约是A. ，B. ，C. ，D. ，6.双曲线：与：的离心率之积为4，则的渐近线方程是A. B.C. D.7.某几何体的三视图如图所示，已知网格纸中小正方形的边长为1，则此几何体的体积是A.B.C.D.8.已知中，，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其内切圆半径为r，由，又，可得类比上述方法可得：三棱锥中，若，平面ABC，设的面积为，的面积为，的面积为，的面积为，则该三棱锥内切球的半径是A. B.C. D.9.展开式中，常数项是A. 220B.C. 924D.10.函数，若，则的最小值是A. B. C. D.11.已知长方体，，，M是的中点，点P在长方体内部或表面上，且平面，则动点P的轨迹所形成的区域面积是A. 6B.C.D. 912.数列中，，，则A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知复数为虚数单位，则______．14.等差数列中，，，则满足不等式的正整数n的最大值是______．15.设，分别为椭圆C：的左、右焦点，A，B分别为C上第二、四象限的点，若四边形为矩形，则该矩形的面积是______，AB所在直线的方程是______．16.已知函数其中且有零点，则实数a的最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求A；若的面积为，求a的最小值．18.如图1，已知等边的边长为3，点M，N分别是边AB，AC上的点，且，如图2，将沿MN折起到的位置．求证：平面平面BCNM；给出三个条件：；二面角大小为；在这三个条件中任选一个，补充在下面问题的条件中，并作答：在线段BC上是否存在一点P，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．注：如果多个条件分别解答，按第一个解答给分．19.已知抛物线C：．若x轴上的点A关于直线的对称点在C上，求A点的坐标；设过C的焦点F的直线l与C交于P，Q两点，PQ的延长线与y轴交于M，O为坐标原点，若的面积等于面积的3倍，求直线l的方程．20.设函数，其中．若在上为增函数，求a的取值范围；当，时，求证：．21.现有甲，乙两种不透明充气包装的袋装零食，每袋零食甲随机附赠玩具，，中的一个，每袋零食乙从玩具，中随机附赠一个．记事件：一次性购买n袋零食甲后集齐玩具，，；事件：一次性购买n袋零食乙后集齐玩具，．求概率，及；已知，其中a，b为常数，求22.在极坐标系Ox中，直线l过点与点．求直线l的极坐标方程；已知圆C：若曲线与l，C相交于A，E两点；曲线与l，C相交于M，N两点，E，N异于极点O，求证：．23.已知函数，当时的最小值是2．求a；若，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合，，，．中元素的个数是2．故选：C．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：：建国以来直至2000年为“成年型”人口，错误；从2010年至2020年为“老龄型”人口，正确，放开二孩政策之后我国仍为“老龄型”人口，正确，故选：A．根据折线统计图即可判断．本题考查了折线统计图，考查了合情推理的问题，属于基础题．3.答案：B解析：解：，的定义域为R，值域为，，且，在R上为增函数，且，只有一个零点．故选：B．根据的解析式即可判断的定义域为R，且在R上为增函数，只有一个零点，从而判断出说法不正确的选项．本题考查了函数定义域和值域的定义及求法，分段函数、指数函数和对数函数的单调性的判断，函数零点的定义及求法，考查了计算和推理能力，属于基础题．4.答案：C解析：解：根据题意，四边形ABCD中，，，若，则，解可得，则四边形的面积，故选：C．根据题意，由向量垂直与向量数量积的关系可得，解可得m的值，又由四边形的面积，计算可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直与数量积的关系，属于基础题．5.答案：A解析：解：根据图象中相邻最高点与最低点的位置，可以估计周期约为；视星等的数值越小亮度越高，故最亮时约为．故选：A．根据图象中相邻最高点与最低点的位置，可估计周期；根据视星等的数值越小，亮度越高可知最亮时的视星等．本题考查函数图象的性质与应用，考查学生的观察能力和逻辑推理能力，属于基础题．6.答案：D解析：解：由已知，即，，．变形得，，故，双曲线的渐近线方程为．故选：D．求出双曲线的离心率，列出方程，转化求出，即可得到的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．7.答案：B解析：解：由三视图还原原几何体如图，可知几何体是由一个底面半径为3，高为3的圆柱体和一个底面边长为，高为2的正四棱锥组合而成，圆柱体的体积为，正四棱锥的体积为，几何体的体积为．故选：B．由三视图还原原几何体，可知几何体是由一个底面半径为3，高为3的圆柱体和一个底面边长为，高为2的正四棱锥组合而成，再由圆柱与棱柱的体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．8.答案：B解析：解：设，，，则，又，．又，，．．，，故选：B．平面中的结论是利用分割面积法得到的，类比到空间中三棱锥，利用分割体积法即可算出结果．本题主要考查了类比推理及三棱锥的体积的计算，转化思想的应用，考查空间想象能力，计算能力．9.答案：B解析：解：由于，本题即求分子展开式中项的系数．分子二项展开式的通项为，令，解得，此时，项的系数为，故原式展开后，常数项为，故选：B．先化简式子，令分子中的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．10.答案：A解析：【分析】本题考查三角恒等变换与三角函数的综合，熟练运用三角恒等变换的相关公式和正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查学生的逻辑能力和运算能力，属于中档题．先结合余弦的二倍角公式和辅助角公式将函数进行化简得，从而得其最大值为3，最小值为，于是在，处取到最大值和最小值，然后结合正弦函数的图象与性质求出和，进而得解．【解答】解：，函数的最大值为3，最小值为，又，在，处取到最大值和最小值，不妨设在处有最大值，则，在处取到最小值，则，则，，．的最小值为．故选：A．11.答案：D解析：解：如图所示，E，F，G，H，N分别为，，，DA，AB的中点，则，，所以平面平面，所以动点P的轨迹是六边形MEFGHN及其内部．因为，，所以，，，E到GM的距离为，所以．故选：D．分别取、、、DA、AB的中点E、F、G、H、N，根据题意可得点P的轨迹为正六边形MEFGHN，由此求得该正六边形MEFGHN的面积即可．本题考查动点的轨迹所形成的区域面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．12.答案：C解析：解：由，故，记，则，两边取倒数，得，所以是以为公差的等差数列，又，所以，所以，故．故选：C．利用递推关系式推出，记，则，转化推出是以为公差的等差数列，求解通项公式，然后求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，转化思想以及换元法的应用，考查分析问题解决问题的能力，是难度比较大的题目．13.答案：解析：解：，．故答案为：．根据复数的基本运算法则进行化简，再利用复数模长的概念求解即可．本题主要考查复数模长的计算，比较基础．14.答案：59解析：解：等差数列中，由得即．又，解得，故正整数n的最大值为59．故答案为：59．根据等差数列的通项公式，列方程组求解出和d，得出数列的通项公式，解不等式即可，注意考虑．本题主要考查等差数列的通项公式，属于基础题，做题过程中注意考虑．15.答案：2解析：解：由椭圆的方程可得，，所以，由椭圆的定义可得，，得，矩形的面积为．因为矩形的外接圆方程为，与椭圆C的方程联立得．又AB过坐标原点，的斜率为，所在直线的方程为．故答案分别为：2，由椭圆的方程可得a，b的值，再由a，c，b之间的关系求出c的值，由椭圆的定义可得，再由四边形为矩形可得，两式联立求出面积，再由矩形矩形的外接圆方程为，与椭圆联立求出A的坐标，再由直线AB过原点，进而求出直线AB的方程．本题考查椭圆的定义，性质，直线与椭圆的综合，属于中档题．16.答案：解析：解：由题可知函数如有零点，即等价于函数与图象有交点，当时，如图：两函数图象恒有交点；当时，如图：因为两函数互为反函数，则若要两函数有交点且a最小，只需两函数图象均与相切，不妨设切点，则，整理可得，，所以，所以，则，解得，故答案为：．条件等价于函数与图象有交点，分类讨论当时恒成立，当时，因为两函数互为反函数，故若要满足条件只有当两函数图象与直线相切时成立，利用导数求切线的思想得到进而得到a的值．本题考查函数零点与函数图象交点之间的转换，数形结合思想，属于中档偏难题．17.答案：解：由已知得，．．由正弦定理，得．又因为，，．由的面积为，得，由余弦定理得，当且仅当时，取得等号，所以a的最小值为2．解析：由三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式，结合，可求，即可求解A的值．由已知利用三角形的面积公式可求bc的值，进而根据余弦定理，基本不等式即可求解a的最小值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，三角形的面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.答案：解：证明：由已知得，，，，，，又，平面平面BCNM，平面平面BCNM．若用条件，由得，BC和MN是两条相交直线，平面BCNM．以M为原点，MB，MN，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则0，，设，其中，则．平面的法向量为．设直线与平面所成角为，则，解得，所以不存在P满足条件．若用条件二面角大小为，由得是二面角的平面角，．过作，垂足为O，则平面BCNM．在平面BCNM中，作，点D在BM的右侧．以O为原点，OB，OD，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则，设，其中，则．平面的法向量为．设直线与平面所成角为，则，解得或舍去，所以存在P满足条件，这时．若用条件，在中，由余弦定理得．过作，垂足为O，则平面BCNM．同以O为原点，OB，OD，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则，设，其中，则．平面的法向量为．设直线与平面所成角为，则，解得，所以不存在P满足条件．解析：推导出，，，从而平面进而平面平面BCNM．条件推导出，，从而平面以M为原点，MB，MN，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．利用向量法能求出不存在P满足条件．条件二面角大小为，由是二面角的平面角，得过作，垂足为O，则平面在平面BCNM中，作，点D在BM的右侧．以O为原点，OB，OD，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．利用向量法能求出存在P满足条件，这时．条件，由余弦定理得过作，垂足为O，则平面以O为原点，OB，OD，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．利用向量法能求出不存在P满足条件．本题考查面面垂直的证明，考查满足线面角正弦值的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力，是中档题．19.答案：解：设点关于直线的对称点为，则解得，．．把点坐标代入得，或．或．设，，，O到直线l的距离为d．则，．由，得，即，得由已知直线l的斜率存在，且不为0，设l：，代入，得．，．由得，代入得．直线l的方程为或．解析：设点关于直线的对称点为，通过求解对称点的坐标，代入抛物线方程，求解即可．设，，，O到直线l的距离为通过三角形的面积，结合，得，即，得由已知直线l的斜率存在，且不为0，设l：，代入，结合韦达定理，转化求解直线的斜率，然后求解即可本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难度比较大的题目．20.答案：解：在上增函数，恒成立，即，恒成立，令，则，由得，当时，，为增函数；当时，，为减函数；，，故分证明：当时，令，则，令，得，由于时，，为增函数；由于时，，为减函数；，即，，在为增函数，又，，即分解析：由在上增函数，可得恒成立，即，恒成立，令，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．当时，令，可得，令，利用导数研究其单调性可得，进而证明结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式解法、放缩法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.答案：解：一次性购买4袋零食甲获得玩具的情况共有种不同的可能，其中能够集齐三种玩具的充要条件是，，三个玩具中，某个玩具出现两次，其余玩具各出现一次，对应的可能性为，故，一次性购买5袋零食甲获得玩具的情况共有不同的可能，其中能够集齐三种玩具的充要条件是，，三个玩具中，某个玩具出现三次，其余玩具各出现一次或某两个玩具各出现两次，另一个玩具出现一次，对应的可能性分别为，，故．一次性购买4袋零食乙获得玩具的情况共有种不同的可能，其中不能集齐两种玩具的情况只有2种，即全是，全是，故．，根据题意及的计算，不难整理得下表：n1234500由于的对立事件总是2种情形即全是，全是，容易得到．为解出待定系数a，b，令即解得或舍去，因为故，即，同理，，累加可得．当时，适合上式，解析：利用题设条件计算出其对应的古典概型中包含的基本事件的个数，利用基本事件的个数的比计算出概率；先由题设条件计算出与，再利用它们之间的关系式推出即可．本题主要考查满足古典概型的概率计算及由递归数列相互间的关系式求某项的表达式，属于有难度的题．22.答案：解：设点为直线l上的任意一点时，满足满足的关系式：，即．化简得，即l的极坐标方程为．当P在AB之间或在BA的延长线上时，可得同样的方程．证明：把代入得，由题知．把代入得；把代入得．，．解析：直接利用三角形的面积相等的应用，求出直线的极坐标方程．利用直线和曲线的位置关系和成比例求出直线平行．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，极径的应用和成比例的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：，，则．当时，．由，得．当时，，，．．由，得．综上或；证明：当时，．．当时，．．综上，．解析：由，得．分和把函数解析式变形，求出函数的最小值，由最小值为2求解a值；把中求得的a值代入，再由柯西不等式证明．本题考查分段函数最值的求法，训练了柯西不等式的应用，是中档题．。
2020年高考理科数学模拟试题及答案(解析版) (14)
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】B
【解析】 【分析】 结合图形，利用异面直线所成的角的概念，把与 A1B 成 60°角的异面直线一一列出，即得答案． 【详解】在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的八个顶点中任取两个点作直线， 与直线 A1B 异面且夹角成 60°的直线有： AD1，AC，D1B1，B1C，共 4 条． 故选 B．
3
2
故选 D.
【点睛】本题考查数量积的运算，属于基础题．
4.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《 九章算术注》 中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几
何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为 π ： 4 . 若正
方体的棱长为 2，则“牟合方盖”的体积为 (
7
10.设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，sinAsinC＝ 3 -1 ，则角 C= 4
（）
A. C＝15°或 C＝45°
B. C＝15°或 C＝30°
C. C＝60°或 C＝45°
D. C＝30°或 C＝60°
【答案】A
【解析】 【分析】 直接利用关系式的恒等变换，把关系式变形成余弦定理的形式，求出 B 的值.
【详解】二项式（ x
1 x
）n
的通项为
T r 1 C n rx （ r 1 x） n r C n rx2 r （ n0 r n ）
（ x 1 ）n 的二项展开式中存在常数项 n2r n为正偶数 x
n4 n为正偶数，
n 为正偶数推不出 n 4 ∴ n 4 是（ x 1 ）n 的二项展开式中存在常数项的充分不必要条件．
2023年山西太原高考一模考试 数学试卷(含答案解析)
2
2
2
由正弦定理得 b c a
2
2
2
选择条件②： cos A cos B sin C sin B sin C ，
2
2
2
由题意可得 1 sin A 1 sin B sin C sin B sin C ，
2
2
2
2
2
2
即 sin B sin C sin A sin B sin C ，由正弦定理得 b c a bc ， ………3 分
令 x1 1 ，则 z1 1 ， n (1,0,1) ，
x1 2 y1 z1 0，
cos m, n
mn
| m || n |
2
3
，
3
3 2
平面 PAB 与平面 PAD 夹角的余弦值为
20.解：
（1）
20
bˆ
x y
i 1
20
i
n2 n
n 1
1 1 1
1
1
.
Tn b1 b2 bn [(1 ) ( ) (
)]
4 8
3 3 5
2n 1 2n 1 4n 2
2
2
18.解：
（1）选择条件①： sin B sin C sin A(22 Nhomakorabea2
由题意可得 sin B sin C sin A
勘
误
高三数学一模：
第 11 题 C 选项
原为：
C. 若�� ⊥ ��，则线段��的最大值为 2 2
现更正为：
C. 若�� ⊥ ��恒成立，则线段��的最大值为 2 2
高考数学(理科)模拟试题含答案(一)精编版
高考数学(理科)模拟试题含答案(一)精编版高考理科数学模拟试题精编(一)注意事项：1.作答选择题时，在答题卡上涂黑对应选项的答案信息点。
如需改动，先擦干净再涂其他答案。
不得在试卷上作答。
2.非选择题用黑色钢笔或签字笔作答，写在答题卡指定区域内。
如需改动，先划掉原答案再写新答案。
不得用铅笔或涂改液。
不按要求作答无效。
3.答题卡需整洁无误。
考试结束后，交回试卷和答题卡。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
)1.设全集Q={x|2x²-5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是()A。
3B。
4C。
7D。
82.若复数z=m(m-1)+(m-1)i是纯虚数，其中m是实数，则z=()A。
iB。
-iC。
2iD。
-2i3.已知等差数列{an}的公差为5，前n项和为Sn，且a1，a2，a5成等比数列，则S6=()A。
80B。
85C。
90D。
954.XXX每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口。
已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒。
如果XXX每天到路口的时间是随机的，则XXX上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是()A。
4/5B。
3/4C。
2/3D。
3/56.已知p：a=±1，q：函数f(x)=ln(x+a²+x²)为奇函数，则p 是q成立的()A。
充分不必要条件B。
必要不充分条件C。
充分必要条件D。
既不充分也不必要条件7.(省略了一个选项) 327.(1+x²+4x)²的常数项为()A。
120B。
160C。
200D。
2408.我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤(函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)，若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为()A。
3.119B。
全国卷Ⅰ新高考理科数学仿真模拟试卷含答案解析 (4)
全国卷Ⅰ新高考理科数学仿真模拟试卷一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．已知集合A={x∈N|x+1>0},B={x|x2+2x-3≤0},则A∩B=A.{0,1}B.(0,1]C.(-1,1]D.[-1,1]2．设i为虚数单位,则复数z=1+2ii的虚部为A.-2B.-iC.iD.-13．已知a>1,则“log a x<log a y”是“x2<xy”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．已知|a|=1,|b|=√2,且a⊥(a-b),则向量a与向量b的夹角为A.π6B.π4C.π3D.2π35．设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),若函数f(x)在x=1处取得极大值,则函数y=−x f′(x)的图象可能是A. B. C. D.6．如图是甲、乙两位同学高二上学期历史成绩的茎叶图,有一个数字被污损,用a(3≤a≤8且a∈N)表示被污损的数字.则甲同学的历史平均成绩不低于乙同学的历史平均成绩的概率为A.13B.56C.16D.237．已知直线a⊥平面α,则“直线b∥平面α”是“b⊥a”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8．执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为A.-√33B.2-√3C.-2-√3D.√39．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n 2-9=4(S n -n ),数列{1a n ·a n+1}的前n 项和为T n ,则T 10=A.13B.17C.235D.22510．已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),双曲线C 2:x 2b 2−y 2a 2-2b 2=1,F 1,F 2分别为C 2的左、右焦点,P为C 1和C 2的交点,若三角形PF 1F 2的内切圆的圆心的横坐标为2,C 1和C 2的离心率之积为32,则该内切圆的半径为A.4√2-2√6B.4√2-2√3C.4√3-2√6D.4√6-2√311．已知函数f (x )= A sin(x +π3)+b (A >0)的最大值、最小值分别为3和-1,关于函数f (x )有如下四个结论:①A =2,b =1;②函数f (x )的图象C 关于直线x =-5π6对称;③函数f (x )的图象C 关于点(2π3,0)对称;④函数f (x )在区间(π6,5π6)内是减函数.其中,正确结论的个数是A.1B.2C.3D.412．如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,线段B 1D 1上有两个动点E,F,且EF=12,则下列结论中错误的是___.A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A-BEF 的体积为定值D.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．曲线f (x )=sin(x +π2)在点P (π2,f (π2))处的切线方程为 .14．已知在等比数列{a n }中,a n >0且a 3+a 4=a 1+a 2+3,记数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 6-S 4的最小值为 .15．某统计调查组从A ,B 两市各随机抽取了6个大型商品房小区调查空置房情况,并记录他们的调查结果,得到如图所示的茎叶图.已知A 市被调查的商品房小区中空置房套数的平均数为82,B 市被调查的商品房小区中空置房套数的中位数为77,则x -y = .16．已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,准线与x 轴的交点为Q ,双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线被抛物线截得的弦为OP ,O 为坐标原点.若△PQF 为直角三角形,则该双曲线的离心率等于 .三、解答题(共7题，共70分)17．(本题12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,sin 2A +sin 2B =4sin A sin B cosC.(1)求角C 的最大值;(2)若b =2,B =π3,求△ABC 的面积.18．(本题12分)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D 为BC 的中点,AB =AC ,BC 1⊥B 1D.求证:(1)A 1C ∥平面ADB 1; (2)平面A 1BC 1⊥平面ADB 1.19．(本题12分)某车床生产某种零件的不合格率为p (0<p <1),要求这部车床生产的一组5个零件中,有2个或2个以上不合格品的概率不大于0.05.为了了解该车床每天生产零件的利润,现统计了该车床100天生产的零件组数(1组5个零件),得到的条形统计图如下.现以记录的100天的日生产零件组数的频率作为日生产零件组数的概率. (1)设平均每天可以生产n 个零件,求n 的值; (2)求p 的最大值p 0;(3)设每个零件的不合格率是p 0,生产1个零件的成本是20元,每个合格零件的出厂价为120元,不合格的零件不得出厂,不计其他成本.假设每天该机床生产的零件数为n ,X 表示这部车床每天生产零件的利润,求X 的数学期望E (X ). (参考数据:0.924×1.32的取值为0.95)20．(本题12分)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(-1,32),且它的右焦点为F (1,0).直线l :y =kx +1与椭圆C 有两个不同的交点A ,B. (1)求椭圆C 的方程;(2)设点M 在y 轴上(M 不在l 上),且满足S1S 2=|AM||BM|,其中S 1,S 2分别为△OAM ,△OBM 的面积,求点M 的坐标.21．(本题12分)已知函数f (x )=e x -12ax 2+b (a >0),函数f (x )的图象在x =0处的切线方程为y =x +1.(1)当a =1时,求函数f (x )在[0,2]上的最小值与最大值; (2)若函数f (x )有两个零点,求a 的值.请考生在第 22、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。
高考理科数学模拟试卷(含答案)
高考理科数学模拟试卷(含答案)高考理科数学模拟试卷（含答案）本试卷共分为选择题和非选择题两部分，第Ⅰ卷（选择题）在1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）在3至4页，共4页，满分150分，考试时间为120分钟。
注意事项：1.答题前，请务必填写自己的姓名和考籍号。
2.答选择题时，请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，请使用橡皮擦擦干净后再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，请使用0.5毫米黑色签字笔，在答题卡规定位置上书写答案。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，请只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={-1.0.1.2.3.4}，B={y|y=x,x∈A}，则A2B=A){0.1.2}B){0.1.4}C){-1.0.1.2}D){-1.0.1.4}2.已知复数z=1/(1+i)，则|z|=A)2B)1C)2D)23.设函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=x-2，则f(f(1))=A)-1B)-2C)1D)24.已知单位向量e1，e2的夹角为π/2，则e1-2e2=A)3B)7C)3D)75.已知双曲线2x^2-y^2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±3x，则双曲线的离心率是A)10B)10/10C)10D)3/96.在等比数列{an}中，a1>0，则“a1<a4”是“a3<a5”的A)充分不必要条件B)必要不充分条件C)充要条件D)既不充分也不必要条件7.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是A)i≤6?B)i≤5?C)i≤4?D)i≤3?8.已知a、b为两条不同直线，α、β、γ为三个不同平面，则下列命题中正确的是①若α//β，α//γ，则β//γ；②若a//α，a//β，则α//β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④若a⊥α，XXXα，则a//b。
2023届高考理科数学模拟试卷四(含参考答案)
俯视图侧视图正视图2023届高考理科数学模拟试卷四(含参考答案)一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．设全集U = R ，A =10xx ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭，则U C A =（ ） A .｛x | x ≥0｝ B.｛x | x > 0｝ C. 10x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ D.1x x ⎧⎨⎩≥0⎭⎬⎫2．"1''=a 是“函数ax ax y 22sin cos -=的最小正周期为π”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设0x 是方程ln 4x x +=的解，则0x 属于区间A. （0，1）B. （1，2）C. （2，3）D.（3，4） 4．按向量)2,6(π=a 平移函数()2sin()3f x x π=-的图象，得到函数()y g x =的图象，则 A. ()2cos 2g x x =-+ B. ()2cos 2g x x =-- C. ()2sin 2g x x =-+ D. ()2sin 2g x x =--5．已知实数x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥622y x y x ,则y x z 42+=的最大值为 ( )A. 24B. 20C. 16D. 126．.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为A.B. C.2 D. 67．一水池有2个进水口，1 个出水口，进出水速度如图甲、乙所示. 某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一个水口）（第15小题）给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③ 4点到6点不进水不出水.则一定能确定正确的论断是A ．①②③B ．①② C.②③ D.①③ 8.定义在(－∞,＋∞)上的偶函数f(x)满足f(x ＋1)=－f(x), 且f(x)在[－1,0]上是增函数, 下面五个关于f(x)的命题中: ① f(x)是周期函数 ② f(x) 的图象关于x=1对称 ③ f(x)在[0,1]上是增函数, ④f(x)在[1,2]上为减函数 ⑤ f(2)=f(0) 正确命题的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C.3个 D.4个二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，其中9-12题必做,在13,14,15题中选做两题,多选以前两题计分,把答案写在答题卷上）． 9.已知0t >，若()021d 6tx x -=⎰，则t =10．sin168sin 72sin102sin198︒︒︒︒+= ． 11.函数2234log ()y x x =--的单调增区间是______________;12.符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]208.1,3-=-=π，定义函数()[]f x x x =-， 那么下列命题中正确的序号是 ．（1）函数()f x 的定义域为R ，值域为[]1,0； （2）方程()12f x =，有无数解； （3）函数()f x 是周期函数； （4）函数()f x 是增函数. 13、极坐标方程sin 2cos ρθθ=+所表示的曲线的直角坐标方程是 . 14、已知c b a ,,都是正数，且,12=++c b a 则cb a 111++15．已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A 引切线AD 和割线ABC ，圆心O 到AC 的距离为22，3AB =，则切线AD 的长为 _______.三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）已知02cos 22sin =-xx ， （Ⅰ）求x tan 的值；（Ⅱ）求xx xsin )4cos(22cos ⋅+π的值．17．（本题满分12分）已知函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数,在[0,1]上()()2ln 11xf x x =++-（Ⅰ）求函数()f x 的解析式;并判断()f x 在[]1,1-上的单调性(不要求证明) （Ⅱ）解不等式()()22110f x f x ++-≥.18．（本题满分14分）某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y （米）随着时间(024,)t t ≤≤单位小时而周期性变化，每天各时刻t 的浪高数据的平均值如下表：（Ⅰ）试画出散点图；（Ⅱ）观察散点图，从,sin(),cos()y ax b y A t b y A t ωϕωϕ=+=++=+中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；（Ⅲ）如果确定在白天7时~19时当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间。
(2024新题型)备战2024年高考数学模拟卷(新题型地区专用) 及答案
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新题型地区专用）黄金卷05（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要【解析】如上图正方体中，设平面1ABB 11D C 为β，CD 为m ，β，//m α，此时//m β，故，因为n α⊥，n β⊥，α、β是不同的平面，则必有正确；，如上图正方体中，设平面ABB【解析】：()222210x y a b a b+=>>的图象，则)0y ，()0,B y ，则(02,AF c x =- )00,c x y --，()1,BF c y =-- ，x a 223F B ，得(223322F F c B A ==- 00332232c x y -，得005332x c y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，1BF 得()()110AF BF c x c ⋅=---+000yy +=即222053032c c y +-=2021=，得2222511639c c a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，又42255090e e -+=，又椭圆离心率15，得55e =.二、多项选择题：本题共3小题，每小题要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得1z ，2z 为复数，则下列说法正确的是（∈R ，则11z z =312⎝⎭A ．4ω=B ．9π182f ⎛⎫=⎪⎝⎭C ．函数()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．若将函数()f x 的图象沿【答案】ACD【解析】令()(sin f x x ω=+由图可知：π23A x k ωϕ+=+所以1π3C B BC x x ω⎛=-=-+ ⎝所以π12π33BC AB ω⎛=-=- ⎝所以()()sin 4f x x ϕ=+，由所以ππ2π3k ϕ-+=+，k ∈所以4π2π3k =+ϕ，Z k ∈，4π因为(2023)(2025)(3)(1)2f f f f +=+=，(2024)(0)0f f ==，所以B 错误.因为(2022)(2024)(2)(0)2f f f f +=+=，(2023)(3)1f f ==，所以(2022)(2024)2(2023)f f f +=，所以(2023)f 是(2022)f 与(2024)f 的等差中项，故C 正确.因为(1)(2)(3)(4)f f f f +++()(1)(3)(2)(4)f f f f =+++2204=++=，所以20241()506[(1)(2)(3)(4)]50642024i f i f f f f ==+++=⨯=∑，故D 正确.故选：ACD第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2023届高考全国甲卷乙卷全真模拟(四)数学试卷及答案
2023年高考数学全真模拟卷四（全国卷）理科数学（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知复数z 满足2i 3i 0z z --+=，则z 的共轭复数z =（）A ．1i+B ．1i-C ．1i5+D ．1i5-2．设集合(){},A x y y x ==，(){}3,B x y y x ==，则A B ⋂的元素个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．43．设命题p ：若,x y R ∈，则“0x y >>”是“22x y >”的必要不充分条件；命题q ：“0x ∀>，21x >”的否定是“0x ∃≤，21x ≤”，则下列命题为真命题的是（）A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．p q∨D ．()p q ∧⌝4．已知()f x 是偶函数，在(－∞，0)上满足()0xf x '>恒成立，则下列不等式成立的是（）A ．()34()()5f f f <<--B ．()()()435f f f <->-C ．()()()534f f f -<-<D ．()()()453f f f <-<-5．在长方体1111ABCD A B C D -中，点E 为1AC 的中点，12AB AA ==，且AD =异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（）A ．3B ．3C ．22D ．26．美国在今年对华为实行了禁令，为了突围实现技术自主，华为某分公司抽调了含甲､乙的5个工程师到华为总部的4个不同的技术部门参与研发，要求每个工程师只能去一个部门，每个部门至少去一个工程师，且甲乙两人不能去同一个部门，则不同的安排方式一共有（）种A ．96B ．120C ．180D ．2167．将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后，所得图象经过点π,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ϕ的最小值为（）A ．π12B ．π4C ．3π4D ．11π128．在区间[]22-,上随机取一个数k ，使直线()2y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（）A ．3B ．12C D ．49．某班同学利用课外实践课，测量北京延庆会展中心冬奥会火炬台“大雪花”的垂直高度MN .在过N 点的水平面上确定两观测点,A B ，在A 处测得M 的仰角为30°，N 在A 的北偏东60°方向上，B 在A 的正东方向30米处，在B 处测得N 在北偏西60°方向上，则MN =（）A ．10米B ．12米C ．16米D ．18米10．已知函数()()3220f x x bx cx b b =+++<在=1x -处有极值，且极值为8，则()f x 的零点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．411．两个长轴在x 轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆.若A ，B 分别为外层椭圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线AC ，BD ，切点分别为C ，D ，且两切线斜率之积等于23-，则椭圆的离心率为（）A ．13B C D 12．已知3e a -=，ln1.01b =，sin 0.02c =，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a<<D ．b<c<a第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若双曲线221x my +=的焦距等于虚轴长的3倍，则m 的值为______．14．向量()2,1a =-r ，()2,3b =-r ，(),1c m =- ，c b ⊥r r，则a c -= ___．15．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知向量cos,12A B m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，且254m = ．若2c =，且ABC 是锐角三角形，则22a b +的取值范围为______．16．如图，ED 是边长为2的正三角形ABC 的一条中位线，将ADE V 沿DE 折起，构成四棱锥F BCDE -，若EF CD ⊥，则四棱锥F BCDE -外接球的表面积为__________．三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．2022年卡塔尔世界杯开幕式在美丽的海湾球场举行，中国制造在这届世界杯中闪亮登场，由中国铁建承建的卢赛尔球场是全球首个在全生命周期深入应用建筑信息模型技术的世界杯主场馆项目．场馆的空调是我们国家的海信空调，海信空调为了了解市场情况，随机调查了某个销售点五天空调销售量y （单位：台）和销售价格x （单位：百元）之间的关系，得到如下的统计数据：销售价格x 2428303236销售量y340330300270260(1)通过散点图发现销售量y 与销售价格x 之间有较好的线性相关关系，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+．(2)若公司希望每天的销售额到达最大，请你利用所学知识帮公司制定一个销售价格（注：销售额=销售价格×销售量）．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆni ii n ii x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且123n n n S S a +=++，11a =．(1)证明：数列{}3n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)若()2log 3n n n b a a =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．如图，在四棱锥M ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，4AB =，AD =，MC ==45ADC ∠︒，点M 在底面ABCD 上的射影为CD 的中点O ，E 为线段AD 上的点(含端点)．(1)若E 为线段AD 的中点，证明：平面MOE ⊥平面MAD ；(2)若3AE DE =，求二面角D ME O --的余弦值．20．已知函数()2()4e 6x f x x x x =--+，()()ln 1g x x a x =-+，1a >-．(1)求()f x 的极值；(2)若存在[]11,3x ∈，对任意的232e ,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使得不等式()()21g x f x >成立，求实数a 的取值范围．（3e 20.09≈）21．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，点P 是直线1:2l y x =-上一动点，直线l 与直线1l 交于点Q ，QF =(1)求抛物线C 的方程；(2)过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，且95FA FB -≤⋅≤，求PAB 面积的取值范围.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．(1)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C 极坐标方程；(2)若点A ，B 为曲线C 上的两个点且OA OB ⊥，求证：2211||||OA OB +为定值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|2||3|f x x x =++．(1)求函数()y f x =的最小值M ；(2)若0,0a b >>且a b M +=2023年高考数学全真模拟卷四（全国卷）理科数学（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知复数z 满足2i 3i 0z z --+=，则z 的共轭复数z =（）A ．1i +B ．1i-C ．1i5+D ．1i5-【答案】B【分析】由复数的除法运算求出z ，再根据共轭复数的概念可得z .【详解】由2i 3i 0z z --+=，得3i 12i z -=-(3i)(12i)(12i)(12i)-+=-+55i 1i 5+==+，所以1i z =-.故选：B2．设集合(){},A x y y x ==，(){}3,B x y y x ==，则A B ⋂的元素个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】联立3,y x y x ==求出交点坐标，从而得到答案.【详解】联立3y x y x=⎧⎨=⎩，即3x x =，解得：0x =或1±，即()()(){}0,0,1,1,1,1A B =-- ，故A B ⋂的元素个数为3.故选：C3．设命题p ：若,x y R ∈，则“0x y >>”是“22x y >”的必要不充分条件；命题q ：“0x ∀>，21x >”的否定是“0x ∃≤，21x ≤”，则下列命题为真命题的是（）A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．p q∨D ．()p q ∧⌝【答案】B【分析】先判断命题p 和命题q 的真假，再根据复合命题真假的判定方法，即可得出结果.【详解】根据不等式的性质，若0x y >>，则22x y >；反之，若22x y >，则220x y ->，即()()0x y x y +->，因为,x y 正负不确定，所以不能推出0x y >>，因此“0x y >>”是“22x y >”的充分不必要条件，即命题p 为假命题；所以p ⌝为真命题；命题q ：“0x ∀>，21x >”的否定是“0x ∃>，21x ≤”，故命题q 为假命题；q ⌝为真命题；所以p q ∧为假，p q ∨为假，()p q ∧⌝为假，()()p q ⌝∧⌝为真.即ACD 错，B 正确.故选：B.4．已知()f x 是偶函数，在(－∞，0)上满足()0xf x '>恒成立，则下列不等式成立的是（）A ．()34()()5f f f <<--B ．()()()435f f f <->-C ．()()()534f f f -<-<D ．()()()453f f f <-<-【答案】A【分析】由题干条件得到(),0x ∈-∞时，()0f x '<，故()f x 在(),0∞-上单调递减，结合()f x 为偶函数，得到()f x 在()0,∞+上单调递增，从而判断出大小关系.【详解】(),0x ∈-∞时，()0xf x '>即()0f x '<，∴()f x 在(),0∞-上单调递减，又()f x 为偶函数，∴()f x 在()0,∞+上单调递增．∴()()()345f f f <<，∴()()()345f f f -<<-.故选：A ．5．在长方体1111ABCD A B C D -中，点E 为1AC 的中点，12AB AA ==，且AD =面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（）A ．23B C D 【答案】C【分析】将异面直线AE 与BC 所成角转化为EAD ∠或其补角，再通过边的计算得到4EAD π∠=，即可求解.【详解】连接1,,DE AC A D ，由BC AD ∥可得EAD ∠或其补角即为异面直线AE 与BC 所成角，又1A A ⊥面ABCD ，AC ⊂面ABCD ，则1A A AC ⊥，则111222AE A C ==⨯，同理可得1A D DC ⊥，1122DE AC ==，则222AE DE AD +=，4EAD π∠=，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为cos4π=故选：C.6．美国在今年对华为实行了禁令，为了突围实现技术自主，华为某分公司抽调了含甲､乙的5个工程师到华为总部的4个不同的技术部门参与研发，要求每个工程师只能去一个部门，每个部门至少去一个工程师，且甲乙两人不能去同一个部门，则不同的安排方式一共有（）种A ．96B ．120C ．180D ．216【答案】D【解析】根据题意，先将5人分成4组，减去甲乙在一起的1组，然后4组再安排到4个不同的部门可得答案.【详解】由()24541216C A -=故选：D.7．将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后，所得图象经过点π,12⎛⎫⎪⎝⎭，则ϕ的最小值为（）A ．π12B ．π4C ．3π4D ．11π12【答案】C【分析】利用三角函数图象平移规律得到函数[]sin 2()y x ϕ=+的图象，由所得图象经过点π,12⎛⎫ ⎪⎝⎭和ϕ的范围可得答案.【详解】将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后，得到函数[]sin 2()y x ϕ=+的图象，由所得图象经过点π,12⎛⎫⎪⎝⎭，可得()sin π21ϕ+=，则ππ22π2k ϕ+=+，k ∈Z ，则ππ4k ϕ=-+，k ∈Z ，又0ϕ>，所以ϕ的最小值为3π4．故选：C ．8．在区间[]22-,上随机取一个数k ，使直线()2y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（）A B C ．6D 【答案】C【分析】求出直线与圆相交时k 的取值范围，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】因为圆221x y +=的圆心为()0,0，半径1r =，直线()2y k x =+与圆221x y +=相交，所以圆心到直线()2y k x =+的距离1d =，解得33k -<<，所以，直线()2y k x =+与圆221x y +=相交的概率为346P ==，故选：C ．9．某班同学利用课外实践课，测量北京延庆会展中心冬奥会火炬台“大雪花”的垂直高度MN .在过N 点的水平面上确定两观测点,A B ，在A 处测得M 的仰角为30°，N 在A 的北偏东60°方向上，B 在A 的正东方向30米处，在B 处测得N 在北偏西60°方向上，则MN =（）A ．10米B ．12米C ．16米D ．18米【答案】A【分析】由已知分析数据，在NAB △中，由正弦定理可求得NA ，在直角MNA △中，可求得MN .【详解】由已知得，30MAN ∠=︒，30NAB NBA ∠=∠=︒，30AB =米在NAB △中，由正弦定理可得30sin120sin 30NA=︒︒，求得NA =米在直角MNA △中，tan 3010M NA N ⋅︒==米故选：A 10．已知函数()()3220f x x bx cx b b =+++<在=1x -处有极值，且极值为8，则()f x 的零点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据题意求导后结合已知极值，得出27b c =-⎧⎨=-⎩，即可根据导数得出其单调性，再结合特值得出其零点个数.【详解】由题意得()232f x x bx c ¢=++，因为函数()()3220f x x bx cx b b =+++<在=1x -处有极值，且极值为8，则()2118f b c b -=-+-+=，()1320f b c '-=-+=，解得27b c =-⎧⎨=-⎩(经检验适合题意)，或33b c =⎧⎨=⎩（经检验不合题意舍去）故()32274f x x x x =--+，()()()2347137f x x x x x '=--=+-，当(),1x ∈-∞-或7,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，即函数()f x 单调递增，当71,3x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，即函数()f x 单调递减，又因为()30f -<，()10f ->，()10f <，()40f >，则()f x 有3个零点，故选：C.11．两个长轴在x 轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆.若A ，B 分别为外层椭圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线AC ，BD ，切点分别为C ，D ，且两切线斜率之积等于23-，则椭圆的离心率为（）A ．13B C D 【答案】B【分析】法一，用判别式等于零求两条切线得斜率，因为它们相乘等于23-，可得2223b a =，所以椭圆的离心率为e 3=；法二，用极点极线得方法得到两条切线得斜率，再根据条件即得.【详解】法一：设内椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，外椭圆为()222220x y m m a b+=>，切线AC 的方程为()1y k x ma =+，联立()1222222,,y k x ma b x a y a b ⎧=+⎨+=⎩消去y 可得：()2222322422211120b a k x ma k x m a k a b +++-=，因为直线AC 为椭圆的切线，所以()()26422224222111Δ440m a k b a k m a k a b =-+-=，化简可得：2212211b k a m =⋅-，设直线BD 的方程为：2y k x mb =+，同理可得()222221b k m a =-，因为两切线斜率之积等于23-，所以2223b a =，所以椭圆的离心率为e =故选：B.法二；设内层椭圆：22221x y a b +=，外层椭圆：22222x y m a b+=.设切点()111,P x y ，()222,P x y ，(),0A ma ，()0,B mb ，切线1l ：11221x x y ya b +=，切线2l ：22221x x y y a b+=，∴21121x b k a y =-⋅①，22222x b k a y =-⋅②，又∵11AP k k =，即211211x y b a y x ma-⋅=-，即222222111b x b m ax a y -+=，即22222222111b m ax a y b x a b =+=，∴1mx a =，同理22BP k k =，∴2my b =，∴21y b x a=，将1P ，2P 代入椭圆22221x y a b +=中得：221222y b x a =，经分析得：12y b x a =-，由①②可知22212122212x x b b k k a y y a ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，∴2223b a =，∴2221e 13b a =-=，∴e 3=.故选：B.12．已知3e a -=，ln1.01b =，sin 0.02c =，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b<c<a【答案】D【分析】先利用不等式()sin 0x x x >>比较a ，c 的大小，再构造函数，利用函数的单调性比较b ，c 的大小，即可得到结果．【详解】如图，单位圆A 中，BAC θ∠=，BD AC ⊥于D ，则BC 的长度l θ=，sin BD θ=，则由图易得，l BC BD >>，即sin θθ>，所以3321110.02sin 0.02e 350e c a -==>>=>=.设()()sin 2ln 1f x x x =-+，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()112cos 21011f x x x x '=->->++，所以()f x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则()0.010f >，即sin 0.02ln1.01>，即b c <.综上，b<c<a .故选：D ．第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若双曲线221x my +=的焦距等于虚轴长的3倍，则m 的值为______．【答案】8-【分析】先将双曲线化为标准形式，进而得到2211,a b m ==-，211c m=-，根据题意列出方程，求出m 的值.【详解】221x my +=化为标准方程：2211y x m-=-，则2211,a b m ==-，故211c m =-，则可得：=8m =-，故答案为：8-14．向量()2,1a =-r ，()2,3b =-r ，(),1c m =- ，c b ⊥r r，则a c -= ___．【答案】172【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可求得实数m 的值，再利用平面向量的坐标运算以及向量模的坐标运算可求得结果.【详解】由已知可得230c b m ⋅=--= ，解得32m =-，则3,12c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以，1,22a c ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ，因此，a c -== .15．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知向量cos,12A B m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，且254m = ．若2c =，且ABC 是锐角三角形，则22a b +的取值范围为______．【答案】20,83⎛⎤⎥⎝⎦【分析】化简254m = 可得2π3A B +=，即π3C =，由正弦定理可得22168πsin 2336a b A ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，再结合ABC 是锐角三角形，即可求出ππ62A <<，则可写出22a b +的取值范围.【详解】由题意得()221cos 5cos 11224A B A B m +++=+=+= ，所以()1cos 2A B +=-，因为0πA B <+<，所以2π3A B +=，所以()ππ3C A B =-+=，由正弦定理得sin sin sin a b c A B C ===，所以a A ，2πsin 3b B A ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，则2222162sin sin 33a b A A π⎡⎤⎛⎫+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1684cos 2cos 2333A A π⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1681cos 2cos 22332A A A ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭168πsin 2336A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．因为ABC 是锐角三角形，所以π02A <<，π02B <<，又2π3B A =-，所以ππ62A <<，即ππ5π2666A <-<，所以1πsin 2126A ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，所以20168πsin 283336A ⎛⎫<+-≤ ⎪⎝⎭，故222083a b <+≤．故答案为：20,83⎛⎤ ⎥⎝⎦.16．如图，ED 是边长为2的正三角形ABC 的一条中位线，将ADE V 沿DE 折起，构成四棱锥F BCDE -，若EF CD ⊥，则四棱锥F BCDE -外接球的表面积为__________．【答案】112π【分析】根据给定的几何体，确定四边形BCDE 外接圆圆心，进而求出外接球半径即可计算作答.【详解】取BC 中点G ，连接AG 交DE 于H ，连接,,,FH EG DG FG ，如图，因为ED 是边长为2的正ABC 平行于BC 的中位线，则,AG ED FH ED ⊥⊥，H 是AG 中点，,,AG FH H AG FH =⊂ 平面AFG ，则有ED ⊥平面AFG ，ED ⊂平面BCDE ，有平面AFG ⊥平面BCDE ，显然有112GE GD GC GB =====，则G 是四边形BCDE 外接圆圆心，在平面AFG 内过G 作直线l AG ⊥，因为平面AFG ⋂平面BCDE AG =，因此l ⊥平面BCDE ，则四棱锥F BCDE -的外接球球心O 在直线l 上，过F 作FQ AG ⊥于Q ，FQ ⊂平面AFG ，有FQ ⊥平面BCDE ，则有//OG FQ ，连接,FO BO ，四边形FOGQ 为直角梯形，因为//,EG CD FE CD ⊥，则有FE EG ⊥，FG =，在AFG 中，FH AH HG ==，则AFG 是直角三角形，90AFG ∠= ，而AG =则1AF =，于是得3AF FG FQ AG ⋅==，过O 作OP FQ ⊥于P ，有PQ OG =，2FG OP GQ AG ===OB OF R ==，Rt OBG △与Rt OFP 中，222222OB BG OG OF OP FP ⎧=+⎨=+⎩，即222214)3R OG R OG ⎧=+⎪⎨=+-⎪⎩，解得44OG R ==，所以四棱锥F BCDE -外接球的表面积为21142S R ππ==.故答案为：112π三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分三、解答题17．2022年卡塔尔世界杯开幕式在美丽的海湾球场举行，中国制造在这届世界杯中闪亮登场，由中国铁建承建的卢赛尔球场是全球首个在全生命周期深入应用建筑信息模型技术的世界杯主场馆项目．场馆的空调是我们国家的海信空调，海信空调为了了解市场情况，随机调查了某个销售点五天空调销售量y （单位：台）和销售价格x （单位：百元）之间的关系，得到如下的统计数据：销售价格x 2428303236销售量y340330300270260(1)通过散点图发现销售量y 与销售价格x 之间有较好的线性相关关系，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+．(2)若公司希望每天的销售额到达最大，请你利用所学知识帮公司制定一个销售价格（注：销售额=销售价格×销售量）．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆni ii n ii x x yy b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．【答案】(1)7.5525ˆyx =-+(2)35百元【分析】（1）根据已知求得回归方程的系数，即可得回归方程；（2）利用销售额的公式可得到()27.5359187.5zx =--+ ，利用二次函数的性质即可求解【详解】（1）2428303236305x ++++==，3403303002702603005y ++++==，6402302(30)6(40)7.536ˆ4436b-⨯-⨯+⨯-+⨯-==-+++，3007.530ˆ525a=+⨯=，∴y 关于x 的线性回归方程为7.5525ˆyx =-+（2）设销售额为 ()227.55257.5359187.5zx y x x x ==-+=--+ ，070x ≤≤，当35x =百元时，此时销售额到达最大，该值为max 9187.5z =百元18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且123n n n S S a +=++，11a =．(1)证明：数列{}3n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)若()2log 3n n n b a a =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)证明过程见详解，123n n a +=-(2)2239222n n T n n n+=⋅--【分析】（1）先利用n a 与n S 之间的关系化简已知等式，得到1n a +，n a 间的关系，从而可求得数列{}3n a +的首项和公比，即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）先求得数列{}n b 的通项公式，再根据分组求和和错位相减即可求得n T ．【详解】（1）因为123n n n S S a +=++，所以123n n n S S a +-=+，得123n n a a +=+，即()1323n n a a ++=+，又11a =，所以数列{}3n a +是首项为4，公比为2的等比数列，所以113422n n n a -++=⋅=，得123n n a +=-．（2）由题意得()()()()()1111223log 21231231n n n n n b n n n ++++=-⋅=+⋅-=+-+，所以()()2316332232122n n n n T n +++=⨯+⨯+++⨯-．令()231223212n n P n +=⨯+⨯+++⨯ ，则()3422223212n n P n +=⨯+⨯+++⨯ ，两式相减，得()()()223412222212222212412221n n n n n n P n n n ++++--=⨯++++-+⨯=+-+⨯=-⋅- ，故22n n P n +=⋅，所以2239222n n T n n n +=⋅--．19．如图，在四棱锥M ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，4AB =，AD =，MC ==45ADC ∠︒，点M 在底面ABCD 上的射影为CD 的中点O ，E 为线段AD 上的点(含端点)．(1)若E 为线段AD 的中点，证明：平面MOE ⊥平面MAD ；(2)若3AE DE =，求二面角D ME O --的余弦值．【答案】(1)证明见解析【分析】(1)在△ADO 中，利用勾股定理证明ED ⊥EO ，再结合ED ⊥MO 即可证明AD ⊥平面MOE ，从而可证明平面MOE ⊥平面MAD ；(2)连接OA ，证明DO OA ⊥，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解二面角的余弦值．【详解】（1）∵AD ⊂平面ABCD ，MO ⊥平面ABCD ，∴MO AD ⊥．∵O 为线段CD 的中点，E 为线段AD 的中点，∴2DO =，DE =∵=45ADC ∠︒，由余弦定理得22222222EO =+-⨯⨯，则222EO DE DO +=，则DE EO ⊥．∵MO EO O ⋂=，,MO EO ⊂平面MOE ，∴AD ⊥平面MOE ，又∵AD ⊂平面MAD ，∴平面MOE ⊥平面MAD ．（2）连接OA ，由(1)知当E 为线段AD的中点时，AE DE EO ===，则A 、O 、D 三点在以AD 为直径的圆上，故DO OA ⊥．故以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又MC =2MO =，∴(0,0,0)O ，(2,0,0)D ，(0,2,0)A ，(0,0,2)M ．又3AE DE =，则13,,022E ⎛⎫⎪⎝⎭，∴(0,0,2)OM = ，(2,0,2)DM =- ，(2,2,0)DA =-，13,,022OE ⎛⎫= ⎪⎝⎭．设平面MAD 的法向量为()111,,m x y z = ，则1111220220DM m x z DA m x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，，解得1111x z x y =⎧⎨=⎩，，取11x =，则平面MAD 的一个法向量为(1,1,1)m =．设平面MEO 的法向量为()222,,x n y z = ，则2221302220OE n x y OM n z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩，，解得22230x y z =-⎧⎨=⎩，，取23x =，则平面MEO 的一个法向量为(3,1,0)n =-．则30cos 15m n m n m n⋅⋅==⋅，则二面角D ME O --的余弦值为15．20．已知函数()2()4e 6x f x x x x =--+，()()ln 1g x x a x =-+，1a >-．(1)求()f x 的极值；(2)若存在[]11,3x ∈，对任意的232e ,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使得不等式()()21g x f x >成立，求实数a 的取值范围．（3e 20.09≈）【答案】(1)极大值()2ln 28ln 28-+-，极小值为39e -(2)361,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】（1）求出()f x '，令()0f x '=，得3x =或ln 2x =，再列出,(),()x f x f x '的变化关系表，根据表格和极值的概念可求出结果；（2）根据（1）求出()f x 在[]1,3上的最小值为3(3)9e f =-，则将若存在[]11,3x ∈，对任意的232e ,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使得不等式()()21g x f x >成立，转化为3ln 9e 1x a x-++<在23e ,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，再构造函数3ln 9e ()x h x x-+=，23e ,e x ⎡⎤∈⎣⎦，转化为min 1()a h x +<，利用导数求出min ()h x 代入可得解【详解】（1）由()2()4e 6x f x x x x =--+，得()()()e 4e 263e 26x x xf x x x x x '=+--+=--+()()3e 2x x =--,令()0f x '=，得3x =或ln 2x =，,(),()x f x f x '的变化关系如下表：x (),ln 2-∞ln 2()ln 2,33()3,+∞()f x '＋0－＋()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表可知，当ln 2x =时，()f x 取得极大值，为(ln 2)f =()()2ln 2ln 24e ln 26ln 2--+()2ln 28ln 28=-+-，当3x =时，()f x 取得极小值，为()32(3)34e 318f =--+39e =-.（2）由（1）知，()f x 在[]1,3上单调递减，所以当[]1,3x ∈时，3min ()(3)9e f x f ==-，于是若存在[]11,3x ∈，对任意的232e ,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使得不等式()()21g x f x >成立，则()()3ln 19e 1x a x a -+>->-在23e ,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，即3ln 9e 1x a x-++<在23e ,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，令3ln 9e ()x h x x -+=，23e ,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则min 1()a h x +<，()321ln 9e ()x x x h x x⋅--+'=3210e ln xx -+=，因为23e ,e x ⎡⎤∈⎣⎦，所以[]ln 2,3x ∈，33310e ln 12e ,13e x ⎡⎤-+∈--⎣⎦，因为3e 20.09≈，所以313e 1320.097.090-≈-=-<，所以()0h x '<，所以()h x 单调递减，故333min 33ln e e 96()(e )1e e h x h +-===-，于是3611e a +<-，得36e a <-，又1a >-，所以实数a 的取值范围是361,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．21．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，点P 是直线1:2l yx =-上一动点，直线l 与直线1l 交于点Q ，QF =(1)求抛物线C 的方程；(2)过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，且95FA FB -≤⋅≤，求PAB 面积的取值范围.【答案】(1)24x y=(2)⎡⎣【分析】（1）计算2,22p p Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，0,2p F⎛⎫⎪⎝⎭，根据距离公式计算得到2p =，得到抛物线方程.（2）求导得到导函数，计算切线方程得到AB 的直线方程为()002y y xx +=，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据向量运算得到034y -≤≤，再计算PAB S =△.【详解】（1）直线1:2l y x =-，当2p y =-时，22p x =-，即2,22p p Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，0,2p F⎛⎫⎪⎝⎭，则QF ==，解得2p =或25p =-（舍去），故抛物线C 的方程为24x y =.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，24x y =，2x y '=，PA 的直线方程为：()1112x y x x y =-+，整理得到()112y y xx +=，同理可得：PB 方程为()222y y xx +=，故()()0102020222y y x x y y x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，故AB 的直线方程为()002y y xx +=，()00224 y y xx x y ⎧+=⎨=⎩，整理得到200240x x x y -+=，12012024 x x x x x y +=⎧⎨=⎩，()()()1122121212,1,11FA FB x y x y x x y y y y ⋅=-⋅-=+-++()02221212221212000216123164x x x x x x x x y x y y +-=+-+=-++=-，09235y -≤-≤，解得034y -≤≤，设P 到AB 的距离为d，12PABS AB d =⋅=△，034y -≤≤，故[]2044,20y+∈，4,PAB S ⎡∈⎣△（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．(1)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C 极坐标方程；(2)若点A ，B 为曲线C 上的两个点且OA OB ⊥，求证：2211||||OA OB +为定值．【答案】(1)2243sin 1ρθ=+(2)证明见解析【分析】（1）先消去参数ϕ化为直角坐标方程，再根据公式cos x ρθ=，sin y ρθ=化为极坐标方程即可得解；（2）由于OA OB ⊥，故可设()1,A ρθ，2π,2B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ρθ，将,A B 的极坐标代入曲线C 的极坐标方程，根据极径的几何意义可求出结果.【详解】（1）由2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩得2222cos sin 14x y ϕϕ+=+=，所以曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=．将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入到2214x y +=，得2222cos sin 14ρθρθ+=，得2243sin 1ρθ=+，所以曲线C 的极坐标方程为：2243sin 1ρθ=+.（2）由于OA OB ⊥，故可设()1,A ρθ，2π,2B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ρθ21243sin 1ρθ=+，2222443cos 1n π23si 1ρθθ⎛⎫+ ⎝=⎭=++⎪，所以2222121111||||OA OB ρρ+=+()()223sin 13cos 1544θθ+++==．即2211||||OA OB +为定值54.[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|2||3|f x x x =++．(1)求函数()y f x =的最小值M ；(2)若0,0a b >>且a b M +=【答案】(1)3M =;试卷第17页，共17页.【分析】（1）利用零点分段法将()f x 写出分段函数的形式，画出图象，由图象可以看出函数()f x 的最小值；（2）由（1）知3a b +=，23≥，的最小值.【详解】（1）由于()()()()33323330330x x f x x x x x x x ⎧--<-⎪=++=--≤≤⎨⎪+>⎩，作出此函数图象如图所示:由图象可知函数()f x 的最小值为()03f =，即3M =．（2）由（1）知3a b +=，所以2924a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以149ab ≥，23≥，当且仅当32a b ==时等号成立，3+≥≥=,当且仅当32a b ==时等号成立．。
2020年高考模拟山西省临汾市高考数学第三次模拟试卷(理科) 含解析
2020年高考模拟高考数学第三次模拟试卷（理科）一、选择题1．已知函数f（x）＝x2﹣2x，集合A＝{x|f（x）≤0}，B＝{x|f'（x）≤0}，则A∩B＝（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，2]C．[0，1]D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）2．设i是虚数单位，若复数z＝1+i，则+z2＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．命题“∀x∈（0，1），e﹣x＞lnx”的否定是（）A．∀x∈（0，1），e﹣x≤lnxB．∃x0∈（0，1），e＞lnx0C．∃x0∈（0，1），e＜lnx0D．∃x0∈（0，1），e≤lnx04．已知||＝，||＝2，若⊥（﹣），则向量+在向量方向的投影为（）A．B．C．﹣D．﹣5．在三角形ABC中，“sin A＞sin B”是“tan A＞tan B”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）A．B．6C．D．7．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积为（）A．24π+9B．48π+9C．48π+18D．144π+188．函数y＝cos2x﹣sin2x（x∈[0，]）的单调递增区间是（）A．[0，]B．[0，]C．[，]D．[，]9．在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内存在点（x0，y0），使不等式x0+my0+1≤0成立，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，﹣]C．[4，+∞）D．（﹣∞，﹣4] 10．已知函数f（x）＝e x﹣1+x﹣2的零点为m，若存在实数n使x2﹣ax﹣a+3＝0且|m﹣n|≤1，则实数a的取值范围是（）A．[2，4]B．[2，]C．[，3]D．[2，3]11．已知双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）满足以下条件：①双曲线E的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点F重合；②双曲线E与过点P（4，2）的幂函数f（x）＝x a的图象交于点Q，且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．+112．已知函数f（x）＝xe1﹣x，若对于任意的x0∈（0，e]，函数g（x）＝lnx﹣x2+ax﹣f（x0）+1在（0，e]内都有两个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．（1，e]B．（e﹣，e]C．（e﹣，e+]D．（1，e﹣]二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．（1﹣2x）（1+x）6的展开式中x2的系数为．14．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程px2＝q中，p为“隅”，q为“实”．即若△ABC的大斜、中斜、小斜分别为a，b，c，则S2＝[a2c2﹣（）2]．已知点D是△ABC 边AB上一点，AC＝3，BC＝2，∠ACD＝45°，tan∠BCD＝，则△ABC的面积为．15．过直线y＝kx+7上一动点M（x，y）向圆C：x2+y2+2y＝0引两条切线MA，MB，切点为A，B，若k∈[1，4]，则四边形MACB的最小面积S∈[，]的概率为16．三棱锥S﹣ABC中，点P是Rt△ABC斜边AB上一点．给出下列四个命题：①若SA⊥平面ABC，则三棱锥S﹣ABC的四个面都是直角三角形；②若AC＝4，BC＝4，SC＝4，SC⊥平面ABC，则三棱锥S﹣ABC的外接球体积为32；③若AC＝3，BC＝4，SC＝，S在平面ABC上的射影是△ABC内心，则三棱锥S﹣ABC的体积为2；④若AC＝3，BC＝4，SA＝3，SA⊥平面ABC，则直线PS与平面SBC所成的最大角为60°．其中正确命题的序号是．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a4+a6＝18，S11＝121．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝（a n+3）2n，数列{b n}的前n项和为T n，求T n．18．某小学为了了解该校学生课外阅读的情况，在该校三年级学生中随机抽取了50名男生和50名女生进行调查，得到他们在过去一整年内各自课外阅读的书数（本），并根据统计结果绘制出如图所示的频率分布直方图．如果某学生在过去一整年内课外阅读的书数（本）不低于90本，则称该学生为“书虫”．（1）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并据此资料，在犯错误的概率不超过5%的前提下，你是否认为“书虫”与性别有关？男生女生总计书虫非书虫总计附：K2＝P（k2≥k）0.250.150.100.050.025k 1.323 2.072 2.706 3.814 5.024（2）从所抽取的50名女生中随机抽取两名，记“书虫”的人数为X，求X的分布列和数学期望．19．如图，己知边长为2的正三角形ABE所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且∠DAB＝60°，点F是BC的中点．（1）求证：BD⊥EF；（2）求二面角E﹣DF﹣B的余弦值．20．已知F1，F2为椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P（1，）在椭圆上，且过点F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为8．（1）求椭圆E的方程；（2）我们知道抛物线有性质：“过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F的弦AB满足|AF|+|BF|＝|AF|•|BF|．”那么对于椭圆E，问否存在实数λ，使得|AF2|+|BF2|＝λ|AF2|•|BF2|成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝e x﹣2+1．（1）求函数f（2x）在x＝1处的切线方程；（2）若不等式f（x+y）+f（x﹣y）≥mx对任意的x∈[0，+∞），y∈[0，+∞）都成立，求实数m的取值范围．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝cos（）．（Ⅰ）求直线l的普通方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2|．（1）求不等式f（2x）﹣f（x﹣4）＞2的解集；（2）当a＞0时，不等式f（ax）+af（x）≥a+1恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知函数f（x）＝x2﹣2x，集合A＝{x|f（x）≤0}，B＝{x|f'（x）≤0}，则A∩B＝（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，2]C．[0，1]D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵函数f（x）＝x2﹣2x，集合A＝{x|f（x）≤0}，B＝{x|f'（x）≤0}，∴A＝{x|x2﹣2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{2x﹣2≤0}＝{x|x≤1}，∴A∩B＝{x|0≤x≤1}．故选：C．2．设i是虚数单位，若复数z＝1+i，则+z2＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．解：复数z＝1+i，|z|＝，z2＝（1+i）2＝2i，则+z2＝＝＝1﹣i+2i＝1+i故选：A．3．命题“∀x∈（0，1），e﹣x＞lnx”的否定是（）A．∀x∈（0，1），e﹣x≤lnxB．∃x0∈（0，1），e＞lnx0C．∃x0∈（0，1），e＜lnx0D．∃x0∈（0，1），e≤lnx0【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，写出即可．解：全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“∀x∈（0，1），e﹣x＞lnx”的否定是：“∃x∈（0，1），e﹣x≤lnx”．故选：D．4．已知||＝，||＝2，若⊥（﹣），则向量+在向量方向的投影为（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】运用向量垂直的条件：数量积为0，以及向量的平方即为模的平方，和向量投影的概念，计算即可得到所求值．解：||＝，||＝2，若⊥（﹣），则•（﹣）＝0，即为•＝2＝3，（+）•＝•+2＝3+4＝7，则向量+在向量方向的投影为＝．故选：B．5．在三角形ABC中，“sin A＞sin B”是“tan A＞tan B”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．解：sin A＞sin B⇔a＞b⇔π＞A＞B＞0，∵π＞A＞B＞0推不出tan A＞tan B，tan A＞tan B推不出π＞A＞B＞0，∴“sin A＞sin B”是“tan A＞tan B”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）A．B．6C．D．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算变量n×S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：执行程序框图，可得S＝0，n＝2，满足条件，S＝，n＝4，满足条件，S＝＝，n＝6，满足条件，S＝+＝，n＝8，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为＝．故选：D．7．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积为（）A．24π+9B．48π+9C．48π+18D．144π+18【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．解：由已知中的三视图知圆锥底面半径为，圆锥的高h＝，圆锥母线l＝，截去的底面弧的圆心角为120°，底面剩余部分的面积为S＝＝，故几何体的体积为：V＝，故选：C．8．函数y＝cos2x﹣sin2x（x∈[0，]）的单调递增区间是（）A．[0，]B．[0，]C．[，]D．[，]【分析】利用辅助角公式进行转化，结合三角函数的单调性进行求解即可．解：因为y＝cos2x﹣sin2x＝2cos（2x+），由2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，k∈Z，解得2kπ﹣≤2x≤2kπ﹣，k∈Z，即kπ﹣≤x≤kπ﹣，k∈Z，即函数的增区间为[kπ﹣，kπ﹣]，k∈Z，所以当k＝1时，增区间为[，]，∵x∈[0，]，∴增区间为[，]，故选：D．9．在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内存在点（x0，y0），使不等式x0+my0+1≤0成立，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，﹣]C．[4，+∞）D．（﹣∞，﹣4]【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据线性规划的知识，结合直线斜率与区域的关系进行求解即解：作出不等式对应的平面区域，如图所示：其中A（2，6），直线x+my+1＝0过定点D（﹣1，0），当m＝0时，不等式x+1≤0表示直线x+1＝0及其左边的区域，不满足题意；当m＞0时，直线x+my+1＝0斜率﹣＜0，不等式x+my+1≤0表示直线x+my+1＝0下方的区域，不满足题意；当m＜0时，直线x+my+1＝0的斜率﹣＞0，不等式x+my+1≤0表示直线x+my+1＝0上方的区域，要使不等式组所表示的平面区域内存在点（x0，y0），使不等式x0+my0+1≤0成立，只需直线x+my+1＝0的斜率﹣≤K AD＝2，解得m．综上可得实数m的取值范围为（﹣∞，﹣]，故选：B．10．已知函数f（x）＝e x﹣1+x﹣2的零点为m，若存在实数n使x2﹣ax﹣a+3＝0且|m﹣n|≤1，则实数a的取值范围是（）A．[2，4]B．[2，]C．[，3]D．[2，3]【分析】先对函数f（x）求导，然后结合导数与函数的性质可求m，代入不等式可求n 的范围，问题转化为：使方程x2﹣ax﹣a+3＝0在区间[0，2]上有解，分离参数后结合对勾函数的性质可求．解：因为f（x）＝e x﹣1+x﹣2，且f（1）＝0，所以函数f′（x）＝e x﹣1+x﹣2单调递增且有唯一的零点为m＝1，所以|1﹣n|≤1，∴0≤n≤2，问题转化为：使方程x2﹣ax﹣a+3＝0在区间[0，2]上有解，即a＝＝＝x+1+﹣2，在区间[0，2]上有解，而根据“对勾函数”可知函数y＝x+1+﹣2，在区间[0，2]的值域为[2，3]，∴2≤a≤3，故选：D．11．已知双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）满足以下条件：①双曲线E的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点F重合；②双曲线E与过点P（4，2）的幂函数f（x）＝x a的图象交于点Q，且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．+1【分析】先根据导函数的几何意义求出点Q的坐标，再代入双曲线方程结合c＝1，c2＝a2+b2，从而求出离心率．解：依题意可得，抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），F关于原点的对称点（﹣1，0），∵2＝4α，，所以，f'（x）＝，设Q，则，解得x0＝1，∴Q（1，1），可得，又c＝1，c2＝a2+b2，可解得a＝，故双曲线的离心率是，故选：B．12．已知函数f（x）＝xe1﹣x，若对于任意的x0∈（0，e]，函数g（x）＝lnx﹣x2+ax﹣f（x0）+1在（0，e]内都有两个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．（1，e]B．（e﹣，e]C．（e﹣，e+]D．（1，e﹣]【分析】函数g（x）＝lnx﹣x2+ax﹣f（x0）+1在（0，e]内都有两个不同的零点，等价于方程lnx﹣x2+ax+1＝f（x0）在（0，e]内都有两个不同的根．利用导数可得，当x∈（0，e]，0＜f（x）≤1．设F（x）＝lnx﹣x2+ax+1，分析知F′（x）＝0在（0，e）有解，且易知只能有一个解．设其解为x1，可得当x∈（0，x1）时，F（x）在（0，x1）上是增函数；当x∈（x1，e）时，F（x）在（x1，e）上是减函数．结合∀x0∈（0，e]，方程lnx ﹣x2+ax+1＝f（x0）在（0，e]内有两个不同的根，得F（x）max＝F（x1）＞1，且F（e）≤0．由此求得1＜a＜2e．解：函数g（x）＝lnx﹣x2+ax﹣f（x0）+1在（0，e]内都有两个不同的零点，等价于方程lnx﹣x2+ax+1＝f（x0）在（0，e]内都有两个不同的根．f′（x）＝e1﹣x﹣xe1﹣x＝（1﹣x）e1﹣x，∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；当x∈（1，e]时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，因此0＜f（x）≤1．设F（x）＝lnx﹣x2+ax+1，F′（x）＝，若F′（x）＝0在（0，e）上无解，则F（x）在（0，e]上是单调函数，不合题意；F′（x）＝0在（0，e）有解，且易知只能有一个解．设其解为x1，当x∈（0，x1）时，F′（x）＞0，F（x）在（0，x1）上是增函数；当x∈（x1，e）时，F′（x）＜0，F（x）在（x1，e）上是减函数．∵∀x0∈（0，e]，方程lnx﹣x2+ax+1＝f（x0）在（0，e]内有两个不同的根，∴F（x）max ＝F（x1）＞1，且F（e）≤0．由F（e）≤0，即lne﹣e2+ae+1≤0，解得a≤e﹣．由F（x）max＝F（x1）＞1，即＞1，∴＞0．∵，∴，代入＞0，得＞0．设m（x）＝lnx+x2﹣1，m′（x）＝＞0，∴m（x）在（0，e）上是增函数，而m（1）＝ln1+1﹣1＝0，由＞0，可得m（x1）＞m（1），得1＜x1＜e．由在（1，e）上是增函数，得1＜a＜2e．综上所述1＜a≤e﹣，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．（1﹣2x）（1+x）6的展开式中x2的系数为3．【分析】由二项式定理及展开式的通项公式即可求解．解：由（1﹣x）6展开式的通项为：T r+1＝（﹣1）r x r；得（1﹣2x）（1+x）6的展开式中x2的系数为+（﹣2）＝3．故答案为：3．14．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程px2＝q中，p为“隅”，q为“实”．即若△ABC的大斜、中斜、小斜分别为a，b，c，则S2＝[a2c2﹣（）2]．已知点D是△ABC 边AB上一点，AC＝3，BC＝2，∠ACD＝45°，tan∠BCD＝，则△ABC的面积为．【分析】由已知结合两角和的三角公式及同角平方关系可求cos∠ACB，然后结合余弦定理可求AB，代入已知公式即可求解．解：因为tan∠ACB＝tan（∠ACD+∠BCD）＝＝﹣，所以cos∠ACB＝﹣，由余弦定理可知AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC cos∠ACB，＝＝16，即AB＝4，根据“三斜求积术”可得S2＝＝，所以S＝．故答案为：15．过直线y＝kx+7上一动点M（x，y）向圆C：x2+y2+2y＝0引两条切线MA，MB，切点为A，B，若k∈[1，4]，则四边形MACB的最小面积S∈[，]的概率为【分析】求出圆的圆心与半径，利用四边形面积的最小值求出MC的最小值，利用点到直线的距离求解即可．解：连接MC，由圆的切线性质可知，AC⊥MA，BC⊥MB，又因为圆C：x2+y2+2y＝0的圆心C（0，﹣1），半径r＝1，所以S MACB＝2△MAC＝2×＝MA＝，要使得四边形MACB的面积最小，则MC最小，即当CM垂直直线y＝kx+7时，满足题意，此时|MC|min＝，S MACB的最小值为，又因为1≤k≤4，解可得，，故所求的概率为：．故答案为：．16．三棱锥S﹣ABC中，点P是Rt△ABC斜边AB上一点．给出下列四个命题：①若SA⊥平面ABC，则三棱锥S﹣ABC的四个面都是直角三角形；②若AC＝4，BC＝4，SC＝4，SC⊥平面ABC，则三棱锥S﹣ABC的外接球体积为32；③若AC＝3，BC＝4，SC＝，S在平面ABC上的射影是△ABC内心，则三棱锥S﹣ABC的体积为2；④若AC＝3，BC＝4，SA＝3，SA⊥平面ABC，则直线PS与平面SBC所成的最大角为60°．其中正确命题的序号是①②③．（把你认为正确命题的序号都填上）【分析】①由线面垂直的判定定理与性质定理即可判断；②三棱锥S﹣ABC的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球，进而求出外接球的半径，即可得解；③由线面垂直的判定定理可知SO⊥平面ABC，所以SO⊥OC，再结合勾股定理以及内切圆的半径公式可求得SO＝1，最后利用三棱锥的体积公式即可得解；④因为SA⊥平面ABC，所以直线PS与平面SBC所成的角最大时，P点与A点重合，再在△SCA中，求出tan∠ASC即可得解．解：对于①，因为SA⊥平面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB，SA⊥BC，又BC⊥AC，所以BC⊥平面SAC，所以BC⊥SC，故四个面都是直角三角形，∴①正确；对于②，若AC＝4，BC＝4，SC＝4，SC⊥平面ABC，∴三棱锥S﹣ABC的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球，∴，，∴体积为，∴②正确；对于③，设△ABC内心是O，则SO⊥平面ABC，连接OC，则有SO2+OC2＝SC2，又内切圆半径，所以，SO2＝SC2﹣OC2＝3﹣2＝1，故SO＝1，∴三棱锥S﹣ABC的体积为，∴③正确；对于④，若SA＝3，SA⊥平面ABC，则直线PS与平面SBC所成的角最大时，P点与A 点重合，在Rt△SCA中，，∴∠ASC＝45°，即直线PS与平面SBC所成的最大角为45°，∴④不正确，故答案为：①②③．三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a4+a6＝18，S11＝121．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝（a n+3）2n，数列{b n}的前n项和为T n，求T n．【分析】（1）设数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）求得b n＝（n+1）•2n+1，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．解：（1）设数列{a n}的公差为d，a4+a6＝18，可得2a1+8d＝18，即a1+4d＝9，S11＝121，可得11a1+×11×10d＝121，即a1+5d＝11，解得a1＝1，d＝2，可得a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）由（1）可知b n＝（a n+3）2n＝（n+1）•2n+1，数列{b n}的前n项和为T n＝2•22+3•23+…+（n+1）•2n+1，2T n＝2•23+3•24+…+（n+1）•2n+2，两式作差，得﹣T n＝8+23+24+…+2n+1﹣（n+1）•2n+2＝8+﹣（n+1）•2n+2，化简可得T n＝n•2n+2．18．某小学为了了解该校学生课外阅读的情况，在该校三年级学生中随机抽取了50名男生和50名女生进行调查，得到他们在过去一整年内各自课外阅读的书数（本），并根据统计结果绘制出如图所示的频率分布直方图．如果某学生在过去一整年内课外阅读的书数（本）不低于90本，则称该学生为“书虫”．（1）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并据此资料，在犯错误的概率不超过5%的前提下，你是否认为“书虫”与性别有关？男生女生总计书虫非书虫总计附：K2＝P（k2≥k）0.250.150.100.050.025k 1.323 2.072 2.706 3.814 5.024（2）从所抽取的50名女生中随机抽取两名，记“书虫”的人数为X，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）由已知可得列联表，利用K2计算公式即可得出．（2）由频率分布直方图可得女生“书虫”的人数为4，X的所有可能取值为0，1，2，利用超几何分布列计算公式即可得出．解：（1）由频率分布直方图可得，男生书虫、非书虫的人数分别为12，38，女生书虫、非书虫的人数分别为4，46，故得如下2×2列联表：男生女生总计书虫12416非书虫384684总计5050100根据列联表中数据可得：K2＝＝4.762．由于4.762＞3.841，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为“书虫”与性别有关．（2）由频率分布直方图可得女生“书虫”的人数为4，X的所有可能取值为0，1，2，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，故X的分布列为X012PX的数学期望为E（X）＝0×+1×+2×＝．19．如图，己知边长为2的正三角形ABE所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且∠DAB＝60°，点F是BC的中点．（1）求证：BD⊥EF；（2）求二面角E﹣DF﹣B的余弦值．【分析】（1）取AB的中点O，连结EO，OF，AC，由题意知EO⊥AB．EO⊥平面ABCD．EO ⊥BD，由四边形ABCD为菱形，得BD⊥AC，BD⊥OF，由此能证明BD⊥平面EOF．从而BD⊥EF．（2）连结DO，由题意知EO⊥AB，DO⊥AB．推导出DO⊥平面ABE，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能求出二面角E﹣DF﹣B的余弦值．解：（1）证明：取AB的中点O，连结EO，OF，AC，由题意知EO⊥AB．又因为平面ABCD⊥平面ABE，所以EO⊥平面ABCD．因为BD⊂平面ABCD，所以EO⊥BD，因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又因为OF∥AC，所以BD⊥OF，所以BD⊥平面EOF．又EF⊂平面EOF，所以BD⊥EF．（2）解：连结DO，由题意知EO⊥AB，DO⊥AB．又因为平面ABCD⊥平面ABE，所以DO⊥平面ABE，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．则O（0，0，0），E（，0，0），D（0，0，），F（0，，），B（0，1，0），＝（，0，﹣），＝（0，）．设平面DEF的一个法向量为＝（x，y，z），则，令x＝1，所以＝（1，，1）．又由（1）可知EO⊥平面ABCD，所以平面DFB的一个法向量为＝（1，0，0），设二面角E﹣DF﹣B的平面角为θ，则cosθ＝＝．20．已知F1，F2为椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P（1，）在椭圆上，且过点F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为8．（1）求椭圆E的方程；“过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F的弦AB满足|AF|+|BF|（2）我们知道抛物线有性质：＝|AF|•|BF|．”那么对于椭圆E，问否存在实数λ，使得|AF2|+|BF2|＝λ|AF2|•|BF2|成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用椭圆的定义，结合三角形的周长，求出a，设出椭圆方程，代入点的坐标求解即可点的椭圆方程．（2）求出F2（1，0），设直线l的方程为x＝my+1，与椭圆方程联立，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，不妨设y1＞0，y2＜0，求出|AF2|，|BF2|，通过，转化求解，推出|AF2|+|BF2|＝|AF2|•|BF2|，点的存在实数．解：（1）根据椭圆的定义，可得|AF1|+|AF2|＝2a，|BF1|+|BF2|＝2a，△AF1B的周长为4a＝8，得a＝2，所以，椭圆E的方程为：+＝1，将点P（1，）代入椭圆E的方程可得b＝，所以椭圆E的方程为+＝1．（2）由（1）可知c＝＝1，得F2（1，0），依题意可知直线l的斜率不为0，故可设直线l的方程为x＝my+1，由消去x，整理得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝，，不妨设y1＞0，y2＜0，|AF2|＝＝＝，同理|BF2|＝，所以＝＝＝•＝，即|AF2|+|BF2|＝|AF2|•|BF2|，所以存在实数，使得|AF2|+|BF2|＝λ|AF2|•|BF2|成立．21．已知函数f（x）＝e x﹣2+1．（1）求函数f（2x）在x＝1处的切线方程；（2）若不等式f（x+y）+f（x﹣y）≥mx对任意的x∈[0，+∞），y∈[0，+∞）都成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解；（2））根据题意可得e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2≥mx，对任意的x∈[0，+∞），y∈[0，+∞）都成立，当x＝0时，不等式即为e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2≥0，显然成立，当x＞0时，设g（x）＝e x+y ﹣2+e x﹣y﹣2+2，则不等式e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2≥mx恒成立，即为不等式g（x）≥mx恒成立，利用基本不等式得到对x∈（0，+∞）恒成立，令h（x）＝，利用导数得到当x＝2 时，h（x）取得最小值，为h（2）＝，所以m≤2，从而求得实数m的取值范围．解：（1）设t（x）＝f（2x）＝e2x﹣2+1，则t'（x）＝2e2x﹣2，当x＝1时，t（1）＝2，t'（1）＝2，∴函数f（2x）在x＝1 处的切线方程为：y﹣2＝2（x﹣1），即2x﹣y＝0；（2）根据题意可得e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2≥mx，对任意的x∈[0，+∞），y∈[0，+∞）都成立，当x＝0时，不等式即为e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2≥0，显然成立，当x＞0时，设g（x）＝e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2，则不等式e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2≥mx恒成立，即为不等式g（x）≥mx恒成立，∵g（x）＝e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2＝e x﹣2（e y+e﹣y）+2（当且仅当y＝0时取等号），∴由题意可得2e x﹣2+2≥mx，即有对x∈（0，+∞）恒成立，令h（x）＝，则h'（x）＝2×＝2×，令h'（x）＝0，即有（x﹣1）e x﹣2＝1，令m（x）＝（x﹣1）e x﹣2，则m'（x）＝e x﹣2+（x ﹣1）e x﹣2＝xe x﹣2，当x＞0 时，m'（x）＝xe x﹣2＞0，∴m（x）在（0，+∞）上单调递增，又∵m（2）＝（2﹣1）e2﹣2＝1，∴（x﹣1）e x﹣2＝1有且仅有一个根x＝2，当x∈（2，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（0，2）时，h'（x）＜0，h （x）单调递减，∴当x＝2 时，h（x）取得最小值，为h（2）＝，∴m≤2，∴实数m的取值范围（﹣∞，2]．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝cos（）．（Ⅰ）求直线l的普通方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|AB|．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：．圆C的极坐标方程为ρ＝cos（）．转换为直角坐标方程为：．（Ⅱ）由于：直线l与圆C相交于A，B两点，故：圆心（）到直线的距离d＝，则：＝．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2|．（1）求不等式f（2x）﹣f（x﹣4）＞2的解集；（2）当a＞0时，不等式f（ax）+af（x）≥a+1恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1））利用函数f（2x）﹣f（x﹣4）＝|2x+2|﹣|x﹣2|＝，分段解不等式f（2x）﹣f（x﹣4）＞2即可；（2）当a＞0时，不等式f（ax）+af（x）≥a+1恒成立，利用绝对值不等式的意义，可得⇔，f（ax）+af（x）＝|ax+2|+|ax+2a|≥|（ax+2）﹣（ax+2a|＝|2a﹣2|，再解|2a﹣2|≥a+1即可．解：（1））函数f（2x）﹣f（x﹣4）＝|2x+2|﹣|x﹣2|＝，当x＜﹣1时，不等式即﹣x﹣4＞2，求得x＜﹣6，∴x＜﹣6；当﹣1≤x＜2时，不等式即3x＞2，求得x＞，＜x＜2；当x≥2时，不等式即x+4＞2，求得x＞﹣2，∴x≥2．综上所述，不等式的解集为{x|＞或x＜﹣6}．（2）当a＞0时，f（ax）+af（x）＝|ax+2|+a|x+2|＝|ax+2|+|ax+2a|≥|（ax+2）﹣（ax+2a|＝|2a﹣2|，∵不等式f（ax）+af（x）≥a+1恒成立，∴|2a﹣2|≥a+1，2a﹣2≥a+1或2a﹣2≤﹣1﹣a，解得a≥3或0＜a≤，∴实数a的取值范围为（0，]∪[3，+∞）．。
山西省朔州市重点中学2024届高三高考数学试题系列模拟卷(7)
山西省朔州市重点中学2024届高三高考数学试题系列模拟卷（7）注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设x ∈R ，则“327x <”是“||3x <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，过正方体中两条异面直线AB ，11A D 的中点,P Q 作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ）A ．2B 1CD ．1 3．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．设双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线与抛物线213y x =+有且只有一个公共点，且椭圆22221x y a b +=的焦距为2，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22143x y -= B ．22143y x -= C ．22123x y -= D ．22132y x -= 5．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．53π B ．2π C ．76π D ．π6．半正多面体(semiregular solid ) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．4C ．163D ．2037．已知等差数列{}n a 中，468a a +=则34567a a a a a ++++=（ ）A ．10B ．16C ．20D ．248．已知非零向量,a b 满足a b λ=，若,a b 夹角的余弦值为1930，且()()23a b a b -⊥+，则实数λ的值为（ ） A ．49- B ．23 C ．32或49- D ．32 9．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．240B ．264C ．274D ．28210．已知i 是虚数单位，则(2)i i +=（ ）A ．12i +B ．12i -+C ．12i --D ．12i -11．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x +2）＝f （x ），当x ∈[﹣3，﹣2]时，f （x ）＝﹣x ﹣2，则（ ） A ．66f sin f cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞ B ．f （sin 3）＜f （cos 3） C ．4433f sin f cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜ D ．f （2020）＞f （2019）12．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1 B ．23- C ．13- D ．34- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。