上海中考数学压轴题解题策略-学生版

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上海中考数学解题策略大全

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1. 仔细阅读题目:在开始解题之前,先仔细阅读题目,理解问题的要求和条件。

注意关键词和关键信息,这有助于明确解题思路。

2. 分析问题:对问题进行分析,确定所需要使用的数学知识和方法。

考虑使用代数、几何、函数等不同领域的知识来解决问题。

3. 画图辅助:对于几何问题,画图可以帮助更好地理解问题和找到解题思路。

尝试画出准确的图形,并标注已知条件和要求。

4. 列式求解:根据问题的条件和要求,列出相应的数学式子或方程式,并进行求解。

注意运算的准确性和步骤的清晰性。

5. 检查答案:在完成解题后,务必检查答案的合理性和正确性。

可以通过代入验证、反向推导等方法检查答案是否符合题目要求。

6. 多做练习:多做数学练习题可以帮助熟悉不同类型的题目和解题方法。

通过练习,可以提高解题的熟练度和速度。

7. 掌握基础知识:牢固掌握数学的基础知识是解题的关键。

对于中考数学,熟悉各种数学概念、定理和公式是必要的。

8. 注意时间管理:在考试中,合理安排时间非常重要。

对于难题可以先跳过,先解决容易的部分,然后再回过头来解决难题。

9. 学会推理和证明:数学中的推理和证明能力也是解题的重要部分。

学会运用逻辑推理和数学证明来解决问题。

10. 请教老师或同学:如果遇到困难或不理解的问题,可以向老师或同学请教。

他们可以提供不同的思路和解释,帮助你更好地理解和解决问题。

上海中考数学压轴题思路(以浦东考题为例)

上海中考数学压轴题思路(以浦东考题为例)

《上海市浦东新区2012学年初三二模考试试卷 第25题 试题分析》【原题】已知如图,在中, 90=∠C ,4=BC ,21tan =∠CAB ,点O 在边AC 上,以点O 为圆心的圆过A 、B 两点,点P 为AB 上一动点.(1)求⊙O 的半径;(2)联结AP 并延长,交边CB 延长线于点D ,设x P A =,y D B =,求y 关于x 的函数解析式,并写出定义域;(3)联结P B ,当点P 是AB 的中点时,求△ABP 的面积与△ABD 的面积比ABDABPS S ∆∆的值.CB B【分析】已知如图,在中, 90=∠C ,4=BC ,21tan =∠CAB (通过锐角三角比的概念,可以得出AC=8,进而由勾股定理得出AB=),点O 在边AC 上,以点O 为圆心的圆过A 、B 两点(说明OA 和OB 都为圆的半径),点P 为AB 上一动点. (1) 求⊙O 的半径;方法1:过点O 坐AB 的垂线,设垂足为E ,由垂径定理可以算出AE ,由所给角的正切,可以算出OE ,最后由勾股定理可以得到OA 的长,即所求的半径;方法2:连结OB ,设半径为r ,△OBC 的三条边可以通过r 全部表示出来,通过勾股定理得到关于r 的方程,解出即可。

(2) 联结AP 并延长,交边CB 延长线于点D ,设x P A =,y D B =,求y 关于x 的函数解析式,并写出定义域;方法1:延长OC 到F ,使得OF=OA ,所以OF 也为圆的一条半径;连结PF ,可以得出角APF 为直角;通过两角对应相等两三角形相似,得出△APF 和△ACD 是相似的,其中角D 和角F 是对应角,对应边成比例,可以得出所求解析式;或者直接通过角D 和角F 相等,所以正弦值也相等,最后也能求出来。

至于自变量的取值范围,通过已知知道点P 是弧AB 上的点,很容易求出来。

解法2:过O 坐AD 的垂线,也是AP 的垂线,垂足是AP 的中点,设垂足为G 。

上海中考数学23题解题技巧

上海中考数学23题解题技巧

上海中考数学23题解题技巧(最新版3篇)目录(篇1)1.上海中考数学 23 题概述2.解题技巧一:审题与分析3.解题技巧二:善于使用公式4.解题技巧三:逻辑思维与推理5.解题技巧四:熟练掌握解题方法6.解题技巧五:提高计算能力与速度7.总结正文(篇1)【上海中考数学 23 题概述】上海中考数学 23 题,作为中考数学压轴题,一直以来都是考生们关注的焦点。

这类题目不仅考察考生的数学知识储备,还涉及到解题技巧和速度。

因此,对于考生来说,掌握一定的解题技巧显得尤为重要。

【解题技巧一:审题与分析】要想成功解答上海中考数学 23 题,首先要做的就是仔细审题,理解题意。

审题时,要注意挖掘题目中的隐含条件,对题目进行分析,判断出题目涉及的知识点,为接下来的解题做好准备。

【解题技巧二:善于使用公式】中考数学 23 题往往涉及到复杂的计算,这时运用公式可以简化计算过程。

因此,考生在解题过程中要善于运用已掌握的公式,提高解题效率。

【解题技巧三:逻辑思维与推理】在解答这类题目时,逻辑思维与推理能力尤为重要。

考生需要根据题目条件进行逻辑推理,找出解题思路。

此外,遇到困难时,要尝试变换思路,寻找解题突破口。

【解题技巧四:熟练掌握解题方法】中考数学 23 题涉及多种解题方法,考生要想取得好成绩,就需要熟练掌握这些解题方法。

例如,代数法、几何法、逻辑法等。

在解题过程中,考生要根据题目要求灵活运用这些方法。

【解题技巧五:提高计算能力与速度】要想在有限的时间内完成中考数学 23 题,考生需要具备较强的计算能力和速度。

为此,考生在平时的学习中要加强计算能力的训练,提高解题速度。

【总结】总之,要想成功解答上海中考数学 23 题,考生需要掌握一定的解题技巧。

目录(篇2)1.上海中考数学 23 题概述2.解题技巧一:审题与分析3.解题技巧二:选择题的解题方法4.解题技巧三:填空题的解题方法5.解题技巧四:解答题的解题方法6.总结正文(篇2)【上海中考数学 23 题概述】上海中考数学 23 题,是上海市初中毕业生学业考试数学科目中分值较高、难度较大的一部分。

上海数学中考三道压轴题的发展、趋势与解题方法

上海数学中考三道压轴题的发展、趋势与解题方法

上海数学中考三道压轴题的发展、趋势与解题方法自我介绍2022/6/11我是来自市二初级中学初二(5)班的倪启嘉。

我在本学期做了近18年的上海中考压轴,并写了一份有关报告。

我热爱数学,校内数学成绩名列前茅,经常喜欢研究压轴题和高年级有挑战性的题目。

对于数学我有着浓厚的兴趣,我简单自学了初中课程和高中的函数、数列部分的内容。

我渴望了解更多未知领域的事物,探索并解决他们使我乐在其中。

普里尼曾说过,在希望与失望的决斗中,如果你用勇气与坚决的双手紧握着,胜利必属于希望。

所以我的字典里没有放弃可言,对于数学的热爱始终不渝。

唯有数学不可辜负!这种热爱使我不断坚持,相信在接下来的日子里,它可以不限于书面,向更多领域发展!上海数学中考三道压轴题的发展、趋势与解题方法填空压轴题(第18题)我总结了近18年(2021-2014)填空压轴题的考点和题目特点。

其中题目特点主要有作图、图形运动、材料理解、知文绘图等(根据给的文字语言转化为图形语言)。

总结:填空压轴的难度整体有所上升,从表格中可以看出考点上也逐渐增加,以综合的几何为主。

在题目特点上,12年来都有图形运动,多为长度求解,知文绘图,近5年有考到材料理解,其中近2年都考了取值范围。

图形运动可以考察到考生的空间想象能力,而知文绘图和材料理解都考察到了考生的画草图和理解能力,无图无真相,让题目变得更加有趣。

对于文本的理解能力也是为接下来高中抽象的集合、逻辑语言等学习打下基础。

预测:我大胆预测在2022中考填空压轴会有类似的难度适中、综合几何考点、材料理解的题型,并且大概率还会考取值范围和长度求解。

方法:考前要多加练习,找到理解文本的感觉;考试时可以利用工具画草图以模拟图形运动,若文本一时不得理解,可以选择适当跳过,在做完基础题后,回来再细看。

函数综合问题(第24题)总结:难度上逐年略有减小,但综合性有所增加。

自2006年,倒数第二道综合压轴(第24题),都有二次函数的身影,多次考察到待定系数求二次函数、二次函数的顶点、对称轴和二次函数的平移等,看似在考察二次函数,实则其中综合了全等三角形、相似三角形、四边形等几何知识。

上海中考数学压轴题

上海中考数学压轴题

上海中考数学压轴题近年来,上海中考数学压轴题备受关注。

这些题目难度较大,出题精细,考察学生对数学知识的理解和应用能力。

下面我们来分析一下近年来的上海中考数学压轴题的特点和解题技巧。

首先,上海中考数学压轴题在难度上相对较高。

这是因为上海地区的中考要求学生掌握更高层次的数学知识和技能。

压轴题往往涉及多个知识点的综合运用,需要学生具备较强的分析和解决问题的能力。

例如,一道常见的压轴题可能涉及到几何、代数、概率等多个领域的知识,考察学生对数学的综合应用能力。

其次,上海中考数学压轴题注重思维的拓展。

在解题过程中,学生需要进行逻辑推理、问题转化和数学模型的建立等思维活动。

这些题目往往需要学生灵活运用数学知识解决实际问题,培养学生的数学思维和创新能力。

因此,学生在备考中需要注重培养解决问题的思维方式,通过多做一些综合性的题目来提高解题能力。

另外,上海中考数学压轴题注重实践能力的考察。

在解题过程中,学生需要将数学知识运用到实际生活中的问题中去。

这样的题目能够培养学生的实际运用能力和解决实际问题的能力。

例如,一道压轴题可能涉及到购物打折、旅行路线规划等实际问题,学生需要将数学知识应用到这些问题中去解决。

因此,学生在备考中需要注重实际问题的练习,多思考数学知识与实际问题的联系。

最后,上海中考数学压轴题注重数学思想的培养。

这些题目旨在培养学生的数学思维方式和解决问题的能力,而不仅仅是对知识的简单记忆和运用。

学生在解题过程中需要思考问题的本质,从中抽象出数学模型,并运用数学知识解决问题。

因此,学生在备考中需要注重培养数学思维的培养,通过多做一些思维拓展的题目来提高数学思维的能力。

综上所述,上海中考数学压轴题在难度、思维拓展、实践能力和数学思想的培养等方面具有一定的特点。

学生在备考中需要注重综合能力的培养,多做一些综合性的题目,培养解决问题的思维方式,提高数学的应用能力和创新能力。

只有这样,才能在上海中考数学压轴题中取得较好的成绩。

上海初三数学一模填空压轴多种解法

上海初三数学一模填空压轴多种解法

上海初三数学一模填空压轴多种解法上海初三数学一模填空题的解法可以有多种,以下是一些可能的解法示例:
1. 利用代数求解:
- 首先将题目中给出的已知条件用字母表示,设待求变量为x。

- 根据题意列出方程或不等式。

- 进一步化简和计算,解出x的值。

2. 利用图形几何关系:
- 根据题目中给出的图形信息,运用几何定理、相似三角形、勾股定理等进行分析和推导。

- 利用所得到的几何关系,推导出待求答案。

3. 运用逻辑推理:
- 根据题目中的条件和限制,利用逻辑推理和思维分析,得出可能的解答。

4. 利用特殊性质:
- 对于某些题目,可能存在特殊的性质、规律或公式可以直接应用,利用这些特殊性质来求解。

5. 使用试错法:
- 如果其他方法不起作用,可以尝试使用试错法,将可选答案一个个填入题目中进行验证,找到符合所有条件的正确答案。

上海市中考压轴题解题策略平行四边形的存在性问题

上海市中考压轴题解题策略平行四边形的存在性问题

中考数学压轴题解题策略平行四边形的存在性问题解题策略2015年9月13日星期日专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步:第一步寻找分类标准,第二步画图,第三步计算.难点在于寻找分类标准,分类标准寻找的恰当,可以使解的个数不重复不遗漏,也可以使计算又好又快.如果已知三个定点,探寻平行四边形的第四个顶点,符合条件的有3个点:以已知三个定点为三角形的顶点,过每个点画对边的平行线,三条直线两两相交,产生3个交点.如果已知两个定点,一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况.根据平行四边形的对边平行且相等,灵活运用坐标平移,可以使得计算过程简便.根据平行四边形的中心对称的性质,灵活运用坐标对称,可以使得解题简便.例题解析例❶如图1-1,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,顶点为P,如果以点P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形,求点D的坐标.图1-1【解析】P、A、C三点是确定的,过△P AC的三个顶点分别画对边的平行线,三条直线两两相交,产生3个符合条件的点D(如图1-2).由y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,得A(-3,0),C(0, 3),P(-1, 4).由于A(-3,0)33右,上D1(2, 7).右,上C(0, 3),所以P(-1, 4)33由于C(0, 3)33下,左D2(-4, 1).下,左A(-3,0),所以P(-1, 4)33由于P(-1, 4)11右,下C(0, 3),所以A(-3,0)11右,下D 3(-2, -1).我们看到,用坐标平移的方法,远比用解析式构造方程组求交点方便多了.图1-2例❷如图2-1,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点,点M在这条抛物线上,点P在y轴上,如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标.图2-1【解析】在P、M、A、B四个点中,A、B是确定的,以AB为分类标准.由y=-x2+2x+3=-(x+1)(x-3),得A(-1,0),B(3,0).①如图2-2,当AB是平行四边形的对角线时,PM与AB互相平分,因此点M与点P 关于AB的中点(1,0)对称,所以点M的横坐标为2.此时M(2,3).②如图2-3,图2-4,当AB是平行四边形的边时,PM//AB,PM=AB=4.所以点M的横坐标为4或-4.所以M (4,-5)或(-4,-21).我们看到,因为点P的横坐标是确定的,在解图2-2时,根据对称性先确定了点M的横坐标;在解图2-3和图2-4时,根据平移先确定了点M的横坐标.图2-2 图2-3 图2-4 例❸如图3-1,在平面直角坐标系中,直线y=-x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C在直线AB上,在平面直角坐标系中求一点D,使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形.图3-1【解析】由y =-x +4,得A (4, 0),直线AB 与坐标轴的夹角为45°.在O 、A 、C 、D 四个点中,O 、A 是确定的,以线段OA 为分类标准.如图3-2,如果OA 是菱形的对角线,那么点C 在OA 的垂直平分线上,点C (2,2)关于OA 的对称点D 的坐标为(2,-2).如果OA 是菱形的边,那么又存在两种情况:如图3-3,以O 为圆心,OA 为半径的圆与直线AB 的交点恰好为点B (0, 4),那么正方形AOCD 的顶点D 的坐标为(4, 4).如图3-4,以A 为圆心,AO 为半径的圆与直线AB 有两个交点C (422,22)-和C ′(422,22)+-,点C 和C ′向左平移4个单位得到点D (22,22)-和D ′(22,22)-.图3-2 图3-3 图3-4例❹ 如图4-1,已知抛物线241633y x x =+与x 轴的负半轴交于点C ,点E 的坐标为(0,-3),点N 在抛物线的对称轴上,点M 在抛物线上,是否存在这样的点M 、N ,使得以M 、N 、C 、E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.图4-1【解析】C (-4,0)、E (0,-3)两点是确定的,点N 的横坐标-2也是确定的.以CE 为分类标准,分两种情况讨论平行四边形:①如图4-2,当CE 为平行四边形的边时,由于C 、E 两点间的水平距离为4,所以M 、N 两点间的水平距离也为4,因此点M 的横坐标为-6或2.将x =-6和x =2分别代入抛物线的解析式,得M (-6,16)或(2, 16).②如图4-3,当CE 为平行四边形的对角线时,M 为抛物线的顶点,所以M 16(2,)3--.图4-2 图4-3例❺如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-2ax-3a(a<0)与x轴交于A、B 两点(点A在点B的左侧),点D是第四象限内抛物线上的一点,直线AD与y轴负半轴交于点C,且CD=4AC.设P是抛物线的对称轴上的一点,点Q在抛物线上,以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.图5-1【解析】由y=ax2-2ax-3a=a(x+1)(x-3),得A(-1, 0).由CD=4AC,得x D=4.所以D(4, 5a).已知A(-1, 0)、D(4, 5a),x P=1,以AD为分类标准,分两种情况讨论:①如图5-2,如果AD为矩形的边,我们根据AD//QP,AD=QP来两次平移坐标.由于A、D两点间的水平距离为5,所以点Q的横坐标为-4.所以Q(-4,21a).由于A、D两点间的竖直距离为-5a,所以点P的纵坐标为26a.所以P(1, 26a).根据矩形的对角线相等,得AP2=QD2.所以22+(26a)2=82+(16a)2.整理,得7a2=1.所以7a=-.此时P267(1)-,.②如图5-3,如果AD为矩形的对角线,我们根据AP//QD,AP=QD来两次平移坐标.由于A、P两点间的水平距离为2,所以点Q的横坐标为2.所以Q(2,-3a).由于Q、D两点间的竖直距离为-8a,所以点P的纵坐标为8a.所以P(1, 8a).再根据AD2=PQ2,得52+(5a)2=12+(11a)2.整理,得4a2=1.所以12a=-.此时P(14)-,.我们从图形中可以看到,像“勾股图”那样构造矩形的外接矩形,使得外接矩形的边与坐标轴平行,那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系.上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程,还可以根据定义“有一个角是直角的平行四边形叫矩形”来列方程.如图5-2,如果∠ADP =90°,那么MA ND MD NP =;如图5-3,如果∠QAP =90°,那么GQ KA GA KP=.图5-2 图5-3例❻ 如图6-1,将抛物线c 1:233y x =-+沿x 轴翻折,得到抛物线c 2.现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为M ,与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ;将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为N ,与x 轴的交点从左到右依次为D 、E .在平移过程中,是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形?若存在,请求出此时m 的值;若不存在,请说明理由.图6-1【解析】没有人能精确画好抛物线,又怎么平移抛物线呢?我们去伪存真,将A 、B 、D 、E 、M 、N 六个点及它们的坐标在图中都标注出来(如图6-2),如果您看到了△MAB 和△NED 是边长为2的等边三角形,那么平移就简单了.如图6-3,在两个等边三角形平移的过程中,AM 与EN 保持平行且相等,所以四边形ANEM 保持平行四边形的形状,点O 为对称中心.【解法一】如果∠ANE =90°,根据30°角所对的直角边等于斜边的一半,可得AE =2EN =4.而AE =AO +OE =2AO ,所以AO =2.已知AB =2,此时B 、O 重合(如图6-4),所以m =BO =1.【解法二】如果对角线MN =AE ,那么OM =OA ,此时△MAO 是等边三角形.所以等边三角形MAB 与△MAO 重合.因此B 、O 重合,m =BO =1.【解法三】在平移的过程中,(1,0)A m --、(1,0)B m -,M (3)m -,根据OA 2=OM 2列方程(1+m )2=m 2+3.解得m =1.图6-2 图6-3 图6-4 例❼如图7-1,菱形ABCD的边长为4,∠B=60°,E、H分别是AB、CD的中点,E、G分别在AD、BC上,且AE=CG.(1)求证四边形EFGH是平行四边形;(2)当四边形EFGH是矩形时,求AE的长;(3)当四边形EFGH是菱形时,求AE的长.图7-1 【解析】(1)证明三角形全等得EF=GH和FG=HE大家最熟练了.(2)平行四边形EFGH的对角线FH=4是确定的,当EG=FH=4时,四边形EFGH 是矩形.以FH为直径画圆,你看看,这个圆与AD有几个交点,在哪里?如图7-2.如图7-3,当E为AD的中点时,四边形ABGE和四边形DCGE都是平行四边形.如图7-4,当E与A重合时,△ABG与△DCE都是等边三角形.(3)如果平行四边形EFGH的对角线EG与FH互相垂直,那么四边形EFGH是菱形.过FH的中点O画FH的垂线,EG就产生了.在Rt△AOE中,∠OAE=60°,AO=2,此时AE=1.又一次说明了如果会画图,答案就在图形中.图7-2 图7-3 图7-4 图7-5例❽如图8-1,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴、y轴分别交于点A(4, 0)、B(0, 3),点C的坐标为(0, m),过点C作CE⊥AB于点E,点D为x轴正半轴的一动点,且满足OD =2OC,连结DE,以DE、DA为边作平行四边形DEF A.(1)如果平行四边形DEF A为矩形,求m的值;(2)如果平行四边形DEF A为菱形,请直接写出m的值.图8-1【解析】这道题目我们着重讲解怎样画示意图.我们注意到,点A和直线AB(直线l)是确定的.如图8-2,先画x轴,点A和直线l.在直线l上取点E,以AE为对角线画矩形DEF A.如图8-3,过点E画直线l的垂线.画∠MDN,使得DN=2MN,MN⊥DN,产生点C.如图8-4,过点C画y轴,产生点O和点B.图8-2 图8-3 图8-4 您是否考虑到,画∠MDN时,还存在DM在x轴下方的情况?如图8-5.同样的,我们可以画如图8-6,如图8-7的两个菱形.图8-5 图8-6 图8-7。

上海中考初三数学压轴题方法整理汇总(18题24题25题压轴题解题方法)

上海中考初三数学压轴题方法整理汇总(18题24题25题压轴题解题方法)

第18题:图形的运动1平移:平移的方向和距离2旋转:三不变找旋转(图形的形状大小旋转角不变)3翻折:两点一线找勾股(对称点,垂直平分线上海中考初三数学压轴题方法整理汇总)第23题几何证明(书写规范)证明边角相等:全等,相似,等腰证明平行线:角,比例线段,中位线,平行四边形证明等积式:三点定形找相似(等线段代换,等比代换,等积代换)(添平行线构造A 形,八形)证明四边形:常用辅助线:联结对角线第24题代数型综合题求坐标的方法1一作二设法②两点公式法③代入解析法④平移法二次函数与相似三角形1先找死角:由边出发,死角的两边对应成比例求边长;2先找死角:由角出发,利用三角比求边长二次函数与直角三角形1一线三等角②勾股定理二次函数与等腰三角形:两点间距离公式二次函数与角相等:1找相似三角形②找三角比二次函数与45度角1先找45度角转化为角相等,然后找相似或三角比2加高,转换为等腰直角三角形二次函数与四边形1由四边形的性质求边或角(等腰梯形加双高,两腰相等,加顶)2由边或角转化为相似或三角比第25题几何型综合题读题圈划五寻找(边,角,辅助线,基本图形,解题工具)解题工具:三角比,相似,勾股,面积法基本图形:一线三等角,母子三角形,角平分线+平行=等腰三角形,A形八形,特殊三角形……常用辅助线:中位线,三线合一,斜中,平行线,四边形对角线,,圆的半径与弦心距……等腰三角形:①相似转化;②分论讨论;③三线合一三角比:转角;加高(面积法);设K面积:①直接求;②相似;③等底等高求定义域:①极端位置;②解析式本身;③三边关系。

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上海中考数学压轴题解题策略 宝龙教育中心整理(2017.3)一、面积的存在性问题解题策略 专题攻略面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类:第一类,先根据几何法确定存在性,再列方程求解,后检验方程的根. 第二类,先假设关系存在,再列方程,后根据方程的解验证假设是否正确.例题解析例❶ 如图1-1,矩形ABCD 的顶点C 在y 轴右侧沿抛物线y =x 2-6x +10滑动,在滑动过程中CD //x 轴,CD =1,AB 在CD 的下方.当点D 在y 轴上时,AB 落在x 轴上.当矩形ABCD 在滑动过程中被x 轴分成两部分的面积比为1:4时,求点C 的坐标.图1-1例❷ 如图2-1,二次函数y =(x +m )2+k 的图象与x 轴交于A 、B 两点,顶点M 的坐标为(1,-4),AM 与y 轴相交于点C ,在抛物线上是否还存在点P ,使得S △PMB =S △BCM ,如存在,求出点P 的坐标.图2-1例❸ 如图3-1,直线y =x +1与抛物线y =-x 2+2x +3交于A 、B 两点,点P 是直线AB 上方抛物线上的一点,四边形PAQB 是平行四边形,当四边形PAQB 的面积最大时,求点P 的坐标.图3-1例❹ 如图4-1,在平行四边形A BCD 中,AB =3,BC =5,AC ⊥AB ,△ACD 沿AC 方向匀速平移得到△PNM ,速度为每秒1个单位长度;同时点Q 从点C 出发,沿CB 方向匀速移动,速度为每秒1个单位长度;当△PNM 停止运动时,点Q 也停止运动,如图4-2,设移动时间为t 秒(0<t <4).是否存在某一时刻t ,使S △QMC ∶S四边形ABQP =1∶4?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由.图4-1 图4-2例❺ 如图5-1,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(0, 1),直线y =2x -4与抛物线214y x相交于点B ,与y 轴交于点D .将△ABD 沿直线BD 折叠后,点A 落在点C 处(如图5-2),问在抛物线上是否存在点P ,使得S △PCD =3S △PAB ?如果存在,请求出所有满足条件的点P 的坐标;如果不存在,请说明理由.图1 图2例❻ 如图6-1,抛物线21584y x x =-+经过点E (6, n ),与x 轴正半轴交于点A ,若点P 为抛物线上位于第一象限内的一个动点,以P 、O 、A 、E 为顶点的四边形的面积记作S ,则S 取何值时,相应的点P 有且只有3个?图6-1例❼ 如图7-1,点P 是第二象限内抛物线2188y x =-+上的一个动点,点D 、E 的坐标分别为(0, 6)、(-4, 0).若将“使△PDE 的面积为整数” 的点P 记作“好点”,请写出所有“好点”的个数.例❽ 如图8-1,在平面直角坐标系中,已知点A 的坐标为(a , 3)(其中a >4),射线OA 与反比例函数12y x =的图象交于点P ,点B 、C 分别在函数12y x=的图象上,且AB //x 轴,AC //y 轴.试说明ABPACPS S △△的值是否随a 的变化而变化?图8-1例❾ 如图9-1,已知扇形AOB 的半径为2,圆心角∠AOB =90°,点C 是弧AB 上的一个动点,CD ⊥OA 于D ,CE ⊥OB 于E ,求四边形ODCE 的面积的最大值.图9-1例❿ 如图10-1,在△ABC 中,∠C =90°,A C =6,BC =8,设直线l 与斜边AB 交于点E ,与直角边交于点F ,设AE =x ,是否存在直线l 同时平分△ABC 的周长和面积?若存在直线l ,求出x 的值;若不存在直线l ,请说明理由.图10-1二、平行四边形的存在性问题解题策略 专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步: 第一步寻找分类标准,第二步画图,第三步计算.难点在于寻找分类标准,分类标准寻找的恰当,可以使解的个数不重复不遗漏,也可以使计算又好又快. 如果已知三个定点,探寻平行四边形的第四个顶点,符合条件的有3个点:以已知三个定点为三角形的顶点,过每个点画对边的平行线,三条直线两两相交,产生3个交点.如果已知两个定点,一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况. 根据平行四边形的对边平行且相等,灵活运用坐标平移,可以使得计算过程简便. 根据平行四边形的中心对称的性质,灵活运用坐标对称,可以使得解题简便.例题解析例❶ 如图1-1,在平面直角坐标系中,已知抛物线y =-x 2-2x +3与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧),与y 轴交于点C ,顶点为P ,如果以点P 、A 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形,求点D 的坐标.图1-1例❷ 如图2-1,在平面直角坐标系中,已知抛物线y =-x 2+2x +3与x 轴交于A 、B 两点,点M 在这条抛物线上,点P 在y 轴上,如果以点P 、M 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形,求点M 的坐标.图2-1例❸ 如图3-1,在平面直角坐标系中,直线y =-x +4与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,点C 在直线AB 上,在平面直角坐标系中求一点D ,使得以O 、A 、C 、D 为顶点的四边形是菱形.图 3-1例❹ 如图4-1,已知抛物线241633y x x =+与x 轴的负半轴交于点C ,点E 的坐标为(0,-3),点N 在抛物线的对称轴上,点M 在抛物线上,是否存在这样的点M 、N ,使得以M 、N 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.图4-1 例❺如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2-2ax -3a (a <0)与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),点D是第四象限内抛物线上的一点,直线AD与y轴负半轴交于点C,且CD=4AC.设P是抛物线的对称轴上的一点,点Q在抛物线上,以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.图5-1例❻如图6-1,将抛物线c1:2=-+沿x轴翻折,得到抛物线c2.33y x现将抛物线c1向左平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A、B;将抛物线c2向右也平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为N,与x轴的交点从左到右依次为D、E.在平移过程中,是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形?若存在,请求出此时m的值;若不存在,请说明理由.图6-1例❼如图7-1,菱形ABCD的边长为4,∠B=60°,E、H分别是AB、CD的中点,E、G分别在AD、BC上,且AE=CG.(1)求证四边形EFGH是平行四边形;(2)当四边形EFGH是矩形时,求AE的长;(3)当四边形EFGH是菱形时,求AE的长.图7-1例❽如图8-1,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴、y轴分别交于点A(4, 0)、B(0, 3),点C的坐标为(0, m),过点C作CE⊥AB于点E,点D为x轴正半轴的一动点,且满足OD=2OC,连结DE,以DE、DA为边作平行四边形DEFA.(1)如果平行四边形DEFA为矩形,求m的值;(2)如果平行四边形DEFA为菱形,请直接写出m的值.图8-1三、梯形的存在性问题解题策略 专题攻略解梯形的存在性问题一般分三步: 第一步分类,第二步画图,第三步计算.一般是已知三角形的三个顶点,在某个图象上求第四个点,使得四个点围成梯形.过三角形的每个顶点画对边的平行线,这条直线与图象的交点就是要探寻的梯形的顶点.因为梯形有一组对边平行,因此根据同位角或内错角,一定可以构造一组相等的角,然后根据相似比列方程,可以使得解题简便.例题解析例❶ 如图1-1,四边形ABCD 是直角梯形,AD //BC ,∠B =90°,AD =24cm ,BC =28cm .点P 从点A 出发以1cm/s 的速度向点D 运动;点Q 从点C 同时出发,以3cm/s 的速度向点B 运动,其中一个动点到达终点时,另一个点也随之停止运动.从运动开始,经过多长时间,四边形PQCD 成为平行四边形?成为等腰梯形?图1-1例❷ 如图2-1,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =3,AB =5.点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动;同时点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动.当点P 到达点A 时停止运动,点Q 也随之停止.伴随着P 、Q 的运动,DE 保持垂直平分PQ ,DE 交BC 于点E .设P 、Q 运动的时间是t 秒(t >0),在运动的过程中,四边形QBED 能否成为直角梯形?若能,求出t 的值;若不能,请说明理由.图2-1例❸如图,已知A 、B 是双曲线2y x=上的两个点,A 、B 的横坐标分别为2和-1,BC ⊥x 轴,垂足为C .在双曲线上是否存在点D ,使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是梯形?如果存在,求出点D 的坐标;如果不存在,请说明理由.图3-1例❹如图4-1,已知抛物线233384y x x =--与x 轴的交点为A 、D (A 在D 的右侧),与y 轴的交点为C ,设点C关于抛物线对称轴的对称点为B,在抛物线上是否存在点P,使得以A、B、C、P为顶点的四边形为梯形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.图4-1例❺如图5-1,把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中,使直角边OB、OD在x轴上.已知点A(1,2).抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点.(1)求该抛物线的函数解析式;(2)点P为线段OC上的一个动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点M,交x轴于点N,问是否存在这样的点P,使得四边形ABPM为等腰梯形?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.图5-1例❻如图6-1,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P从点D出发沿DA向终点A运动,同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动.过点P作PE//DC,交AC于点E,动点P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度,当点P运动到点A时,P、Q两点同时停止运动,设运动时间为x秒,当x为何值时,四边形PQBE为梯形?图6-1四、线段和差最值的存在性问题解题策略 专题攻略两条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“牛喝水”问题,关键是指出一条对称轴“河流”(如图1). 三条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题,关键是指出两条对称轴“反射镜面”(如图2).两条线段差的最大值问题,一般根据三角形的两边之差小于第三边,当三点共线时,两条线段差的最大值就是第三边的长.如图3,PA 与PB 的差的最大值就是AB ,此时点P 在AB 的延长线上,即P ′.解决线段和差的最值问题,有时候求函数的最值更方便,本讲不涉及函数最值问题.图1 图2 图3例题解析例❶ 如图1-1,抛物线y =x 2-2x -3与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,点P 是抛物线对称轴上的一个动点,如果△PAC 的周长最小,求点P 的坐标.图1-1例❷如图,抛物线21442y x x =-+与y 轴交于点A ,B 是OA 的中点.一个动点G 从点B 出发,先经过x 轴上的点M ,再经过抛物线对称轴上的点N ,然后返回到点A .如果动点G 走过的路程最短,请找出点M 、N 的位置,并求最短路程.图2-1例❸ 如图3-1,抛物线248293y x x =-++与y 轴交于点A ,顶点为B .点P 是x 轴上的一个动点,求线段PA与PB 中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值,并求出相应的点P 的坐标.图3-1例❹如图4-1,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点,求PK+QK的最小值.图4-1例❺如图5-1,菱形ABCD中,∠A=60°,AB=3,⊙A、⊙B的半径分别为2和1,P、E、F分别是边CD、⊙B和⊙A上的动点,求PE+PF的最小值.图5-1例❻如图6-1,已知A(0, 2)、B(6, 4)、E(a, 0)、F(a+1, 0),求a为何值时,四边形ABEF周长最小?请说明理由.图6-1例❼如图7-1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=1.点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上,当点A 在x轴上运动时,点C也随之在y轴上运动.在整个运动过程中,求点B到原点的最大距离.图7-1例❽如图8-1,已知A(-2,0)、B(4, 0)、(5,33)D .设F为线段BD上一点(不含端点),连结AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止.当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少?图8-1例❾ 如图9-1,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =6,BC =8.点E 是BC 边上的点,连结AE ,过点E 作AE 的垂线交AB 边于点F ,求AF 的最小值.图9-1例❿ 如图10-1,已知点P 是抛物线214y x 上的一个点,点D 、E 的坐标分别为(0, 1)、(1, 2),连结PD 、PE ,求PD +PE 的最小值.图10-1五、相切的存在性问题解题策略 专题攻略一、圆与圆的位置关系问题,一般无法先画出比较准确的图形.解这类问题,一般分三步走,第一步先罗列三要素:R 、r 、d ,第二步分类列方程,第三步解方程并验根. 第一步在罗列三要素R 、r 、d 的过程中,确定的要素罗列出来以后,不确定的要素要用含有x 的式子表示.第二步分类列方程,就是指外切与内切两种情况.二、直线与圆的位置关系问题,一般也无法先画出比较准确的图形.解这类问题,一般也分三步走,第一步先罗列两要素:R 和d ,第二步列方程,第三步解方程并验根. 第一步在罗列两要素R 和d 的过程中,确定的要素罗列出来以后,不确定的要素要用含有x 的式子表示.第二步列方程,就是根据直线与圆相切时d =R 列方程.例题解析例❶ 如图1-1,已知抛物线y =x 2-1与x 轴相交于A 、B 两点. (1)有一半径为r 的⊙P ,且圆心P 在抛物线上运动,当⊙P 与两坐标轴都相切时,求半径r 的值;(2)半径为1的⊙P 在抛物线上,当点P 的纵坐标在什么范围内取值时,⊙P 与y 轴相离、相交?图1-1例❷ 如图2-1,△ABC 中,BC =AC =5,AB =8,CD 为AB 边上的高.如图2-1,A 在原点处,点B 在y 轴的正半轴上,点C 在第一象限.若A 从原点出发,沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动,则点B 随之沿y 轴下滑,并带动△ABC 在平面上滑动.如图2-2,设运动的时间为t 秒,当B 到达原点时停止运动.当以点C 为圆心、CA 为半径的圆与坐标轴相切时,求t 的值.图2-1 图2-2例❸ 如图3-1,A (-5,0),B (-3,0),C (0, 3),四边形OADC 是矩形.点P 从点Q (4,0)出发,沿x 轴向左以每秒1个单位长的速度运动,以PC 为半径的⊙P 随点P 的运动而变化,当⊙P 与四边形ABCD 的边(或边所在的直线)相切时,求运动时间t 的值.图3-1例❹ 如图4-1,已知抛物线y =mx 2+bx +c (m >0)经过A (1, 0)、B (-3,0)两点,顶点为P ,与y 轴交于点D .⊙C 的直径为A 、B ,当m 为何值时,直线PD 与⊙C 相切?图4-1例❺ 如图5-1,在梯形ABCD 中,∠ABC =90°,AD ∥BC ,AB =8,BC =18,54sin =∠BCD ,点P 从点B 开始沿BC 边向终点C 以每秒3个单位的速度移动,点Q 从点D 开始沿DA 边向终点A 以每秒2个单位的速度移动,设运动时间为t 秒.如果⊙P 的半径为6,⊙Q 的半径为4,在移动的过程中,试探索:t 为何值时⊙P 与⊙Q 外离、外切、相交?图5-1例❻ 如图6-1,Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =4厘米,BC =3厘米,⊙O 为△ABC 的内切圆. (1)求⊙O 的半径;(2)动点P 从点B 沿BA 向点A 以每秒1厘米的速度匀速运动,以P 为圆心,PB 为半径作圆.设点P 运动的时间为t 秒,若⊙P 与⊙O 相切,求t 的值.图6-1例❼ 如图7-1,已知直线l :443y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ,⊙O 的半径为1,点C 是y 轴正半轴上的一点,如果⊙C 既与⊙O 相切,也与直线l 相切,求圆心C 的坐标.图7-1例❽ 如图8-1,已知在等腰△ABC 中,AB =AC =5,BC =6,点D 为BC 边上一动点(不与点B 重合),过点D 作射线DE 交AB 于点E ,∠BDE =∠A ,以点D 为圆心,DC 的长为半径作⊙D .设BD =x .(1)当⊙D 与边AB 相切时,求x 的值;(2)如果⊙E 是以E 为圆心,AE 的长为半径的圆,当⊙D 与⊙E 相切时,求x 的值.图8-1例❾ 如图9-1,一个Rt △DEF 的直角边DE 落在AB 上,点D 与点B 重合,过A 点作射线AC 与斜边EF 平行,已知AB =12,DE =4,DF =3.如图9-2,点P 从A 点出发,沿射线AC 方向以每秒2个单位的速度运动,Q 为AP 的中点.同时Rt △DEF 沿着BA 方向以每秒1个单位的速度运动,当点D 运动到点A 时,两个运动都停止.在运动过程中,是否存在以点Q 为圆心的圆与Rt △DEF 的两条直角边所在直线都相切?若存在,求运动时间t ,若不存在,说明理由.图9-1 图9-2六、相似三角形的存在性问题解题策略 专题攻略相似三角形的判定定理有3个,其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件,因此探求两个三角形相似的动态问题,一般情况下首先寻找一组对应角相等.判定定理2是最常用的解题依据,一般分三步:寻找一组等角,分两种情况列比例方程,解方程并检验,如例题1、2、3、4.应用判定定理1解题,先寻找一组等角,再分两种情况讨论另外两组对应角相等,如例题6. 应用判定定理3解题不多见,如例题5,根据三边对应成比例列连比式解方程(组).例题解析例❶ 如图1-1,抛物线213482y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点(A 点在B 点左侧),与y 轴交于点C .动直线EF(EF//x轴)从点C开始,以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移,且分别交y轴、线段BC于E、F两点,动点P同时从点B出发,在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动.是否存在t,使得△BPF与△ABC 相似.若存在,试求出t的值;若不存在,请说明理由.图1-1例❷如图2-1,在平面直角坐标系中,顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a>0)经过点A和x轴正半轴上的点B,AO=BO=2,∠AOB=120°.(1)求这条抛物线的解析式;(2)连结O M,求∠AOM的大小;(3)如果点C在x轴上,且△ABC与△AOM相似,求点C的坐标.图2-1 例❸如图3-1,抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A(1, 0)、B(3, 0)两点,与y轴交于点D,顶点为C.(1)求此抛物线的解析式;(2)在x轴下方的抛物线上是否存在点M,过M作MN⊥x轴于点N,使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.图3-1例❹如图4-1,在平面直角坐标系中,A(8,0),B(0,6),点C在x轴上,BC平分∠OBA.点P在直线AB上,直线CP与y轴交于点F,如果△ACP与△BPF相似,求直线CP的解析式.图4-1例❺如图5-1,二次函数y=x2+3x的图象经过点A(1,a),线段AD平行于x轴,交抛物线于点D.在y轴上取一点C(0, 2),直线AC交抛物线于点B,连结OA、OB、OD、BD.求坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E的坐标;图5-1例❻如图6-1,在△ABC中,AB=AC=42,BC=8.⊙A的半径为2,动点P从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动.延长BA交⊙A于点D,连结AP交⊙A于点E,连结DE并延长交BC于点F.设点P运动的时间为t秒,当△ABP与△FBD相似时,求t的值.图6-1七、直角三角形的存在性问题解题策略专题攻略解直角三角形的存在性问题,一般分三步走,第一步寻找分类标准,第二步列方程,第三步解方程并验根.一般情况下,按照直角顶点或者斜边分类,然后按照三角比或勾股定理列方程.有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便.解直角三角形的问题,常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起.如果直角边与坐标轴不平行,那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线,可以构造两个新的相似直角三角形,这样列比例方程比较简便.在平面直角坐标系中,两点间的距离公式常常用到.怎样画直角三角形的示意图呢?如果已知直角边,那么过直角边的两个端点画垂线,第三个顶点在垂线上;如果已知斜边,那么以斜边为直径画圆,直角顶点在圆上(不含直径的两个端点).例题解析例❶如图1-1,在△ABC中,AB=AC=10,cos∠B=45.D、E为线段BC上的两个动点,且DE=3(E在D右边),运动初始时D和B重合,当E和C重合时运动停止.过E作EF//AC交AB于F,连结DF.设BD=x,如果△BDF为直角三角形,求x的值.图1-1例❷如图2-1,已知A、B是线段MN上的两点,4=MN ,1=MA,1>MB.以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC ,设AB =x ,若△ABC 为直角三角形,求x 的值.图2-1例❸ 如图3-1,已知在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(-2, 0),点B 是点A 关于原点的对称点,P 是函数)0(2>=x xy 图象上的一点,且△ABP 是直角三角形,求点P 的坐标.图3-1例❹ 如图4-1,已知直线y =kx -6经过点A (1,-4),与x 轴相交于点B .若点Q 是y 轴上一点,且△ABQ 为直角三角形,求点Q 的坐标.图4-1例❺ 如图5-1,抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧).若直线l 过点E (4, 0),M 为直线l 上的动点,当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有....三个时,求直线l 的解析式.图5-1例❻ 如图6-1,在△ABC 中,CA =CB ,AB =8,4cos 5A ∠=.点D 是AB 边上的一个动点,点E 与点A 关于直线CD 对称,连结CE 、DE .(1)求底边AB 上的高;(2)设CE 与AB 交于点F ,当△ACF 为直角三角形时,求AD 的长; (3)连结AE ,当△ADE 是直角三角形时,求AD 的长.图6-1。

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