导数在经济中的应用
导数在经济中的应用
导数在经济中的应用1. 引言导数是微积分中的一个重要概念，它在经济学中有许多重要的应用。
导数可以用于解决一系列经济问题，如利润最大化、边际分析和最优化问题等。
本文将介绍导数在经济学中的应用，包括边际效益、弹性、生产函数和消费函数等。
2. 边际效益在经济学中，边际效益指的是增加或减少一单位生产或消费所带来的额外效益。
导数可以用来计算边际效益。
例如，在生产中，我们可以通过计算产出的边际效益来确定最有效的生产水平。
导数可以帮助我们计算出增加一单位产出所带来的额外收益。
同样，在消费中，导数可以帮助我们计算出消费品的边际效益，从而确定最佳消费水平。
3. 弹性在经济学中，弹性指的是经济变量相对于另一个变量的变化率。
导数可以用来计算弹性。
例如，价格弹性是指商品需求量对价格变化的敏感程度。
导数可以帮助我们计算出商品需求量对商品价格变化的弹性。
这对于企业定价、市场分析和政府政策制定等都非常重要。
4. 生产函数在经济学中，生产函数描述了生产要素（如劳动力和资本）与产出之间的关系。
导数在生产函数中有重要的应用。
导数可以帮助我们理解生产要素的边际效用和生产效率。
通过计算生产函数的导数，我们可以确定最优的生产要素组合，从而实现生产效率的最大化。
5. 消费函数在经济学中，消费函数描述了消费者通过消费来获得效用的方式。
导数在消费函数中也有重要的应用。
导数可以帮助我们计算消费者对不同消费品的边际效用，从而确定最佳的消费组合。
通过计算消费函数的导数，我们可以了解到在不同价格水平下，消费者对不同商品的需求变化情况。
6. 最优化问题在经济学中，最优化问题是经常遇到的问题之一。
最优化问题指的是在一定的约束条件下，寻找使某一目标函数取得最大值或最小值的变量值。
导数在解决最优化问题中发挥了重要的作用。
通过计算目标函数的导数，我们可以找到目标函数取得最大值或最小值的变量值，从而解决最优化问题。
7. 结论导数在经济学中有许多重要的应用。
它可以帮助我们解决一系列经济问题，如边际效益、弹性、最优化问题等。
浅谈导数在经济分析中的应用
浅谈导数在经济分析中的应用导数是微积分中的一个基本概念，在经济学分析中也有着广泛的应用。
导数可以用来描述某个变量对另一个变量的变化率，以及确定该变量达到最大值或最小值时的状态。
本文将探讨导数在经济分析中的应用。
一、导数在经济学中的定义与作用导数是指某个函数在某一点处的瞬时变化率，或者说是该点处的切线斜率。
在经济学中，它可以用来描述经济变量在某个时刻的瞬时变化率，例如商品价格的瞬时变化率可以帮助生产者决定最优售价。
导数也可以用来确定某个变量的最大值或最小值，以帮助经济学家做出最优决策。
在经济学中，导数可以用来解决诸如生产最大化、成本最小化、市场需求和供给、价格确定等问题。
在需求和供给的分析中，导数可以用来衡量某个商品价格的弹性，即价格对需求量的影响程度。
价格弹性可以帮助生产者决定最优价格，以达到最大利润；也可以帮助政府确定最佳的税收政策，以最大限度地提高税收收入。
价格弹性公式为：价格弹性=（需求量变化率÷价格变化率）×平均价格÷平均需求量。
在成本和收益的分析中，导数可以用来确定某个生产过程中成本和收益的最优决策。
如果一个生产者知道边际成本和边际收益的大小，并且把它们相等化，就可以决定什么时候应该增加或减少生产量，以优化收益。
边际成本和边际收益的公式分别为：边际成本=（总成本的变化量÷生产量的变化量），边际收益=（销售收入的变化量÷生产量的变化量）。
当边际收益等于边际成本时，生产者达到最大利润或最低成本。
在投资分析中，导数可以用来估算资本回报率的大小，以决定是否将资金投入某个项目。
资本回报率公式为：资本回报率=（投资收益÷投资成本）× 100%。
如果某个项目的资本回报率大于投资者的预期收益率，那么这个项目就是值得投资的。
总之，导数在经济学中的应用非常广泛。
在不同的经济领域中，导数可用于描述和分析多种经济变量的变化率和最优决策，从而在理论和实践中发挥重要的作用。
浅谈导数在经济分析中的应用
浅谈导数在经济分析中的应用导数是微积分中的重要概念，它在经济分析中有着十分重要的应用。
在经济学领域中，导数在描述市场变化、成本分析和边际效益等方面发挥着重要作用。
本文将从以上几个方面来探讨导数在经济分析中的应用。
导数在描述市场变化方面具有重要作用。
在市场经济中，市场需求和供给的变化对市场价格有着重要影响。
导数可以帮助分析市场需求曲线和供给曲线的斜率，从而帮助理解市场变化。
当市场需求曲线的导数为负数时，表示当价格上涨时市场需求下降的速度；当市场需求曲线的导数为正数时，表示当价格上涨时市场需求上涨的速度。
这样，利用导数来描述市场变化可以帮助经济学家更加准确地理解市场的运行规律，为经济政策的制定提供更加可靠的依据。
导数在成本分析方面也有着重要的应用。
在企业生产中，成本是一个非常重要的方面，对于企业的经营状况和利润水平有着重要影响。
在经济学中，导数可以帮助分析企业成本函数的变化。
企业的边际成本就是通过对成本函数进行求导得到的。
通过分析边际成本的变化，可以帮助企业决定最优的生产规模和生产方式，从而提高生产效率，降低生产成本，实现良好的经济效益。
导数在经济分析中具有十分重要的应用价值。
通过对市场变化、成本分析和边际效益等方面的导数分析，可以帮助理解经济运行的规律，为经济政策的制定和企业经营的决策提供重要的依据。
对于经济学家、企业家和政策制定者来说，掌握导数分析方法是十分重要的，可以帮助他们更好地理解和解决相关的经济问题。
希望本文的介绍可以帮助读者更好地理解导数在经济分析中的重要作用。
浅谈导数在经济分析中的应用
浅谈导数在经济分析中的应用导数在经济分析中有广泛的应用，主要体现在以下几个方面：1. 边际效应分析：导数可以衡量一个经济变量对另一个经济变量的边际影响。
对于一个生产函数来说，生产量对于投入变量的边际影响可以通过对生产函数求导得到。
这种边际效应分析可以帮助经济学家和决策者理解不同变量之间的相互关系，并制定相应的政策。
2. 最优化问题：很多经济问题可以通过最优化理论求解，而求解最优化问题往往需要使用导数。
生产者在确定生产量时通常会面临成本最小化问题，这个问题可以通过对成本函数求导得到最小化成本对应的生产量。
消费者在确定消费组合时也会面临效用最大化问题，同样可以通过对效用函数求导得到最大化效用对应的消费组合。
3. 弹性分析：弹性是衡量变量之间相互影响的一种度量，而导数可以用来计算弹性。
常见的有价格弹性、收入弹性等。
价格弹性可以告诉我们当价格发生变化时，需求量或供应量的相应变化幅度。
收入弹性可以告诉我们消费者的购买力提高或降低时，对于不同商品需求的变化情况。
通过弹性分析，我们可以更好地理解市场的运行规律，为政策调控提供有力的依据。
4. 经济模型的建立和分析：经济模型是经济学中用来描述经济系统的一种工具，而模型的建立和分析往往需要使用导数。
在宏观经济学中，凯恩斯经济学模型通过对消费函数的导数进行分析，揭示了收入对消费的影响；在微观经济学中，供求模型通过对供给曲线和需求曲线的导数进行分析，揭示了价格和数量之间的关系。
导数在经济分析中具有重要的应用价值。
通过对经济变量之间的边际效应、最优化问题、弹性分析以及经济模型的建立和分析等进行导数的运用，我们可以更好地理解经济现象，分析经济问题，制定经济政策。
导数也为经济学提供了强大的工具和方法，使得经济学成为一门严谨而科学的学科。
浅谈导数在经济分析中的应用
浅谈导数在经济分析中的应用导数在经济分析中有广泛的应用。
导数是微积分的基本概念之一，指的是函数的变化率。
在经济学中，我们常常需要研究经济变量随时间、价格或其他因素的变化情况，而导数为我们提供了一个量化经济变量变化的工具。
导数在经济需求和供给分析中起到了重要的作用。
需求和供给曲线是经济学中研究市场均衡的基本工具。
需求曲线描述了消费者对商品的需求量随价格的关系，供给曲线则描述了生产者愿意出售商品的数量随价格的关系。
通过求导数，我们可以计算出需求和供给曲线的斜率，从而获得市场的均衡价格和数量。
导数在边际效应分析中也有重要的应用。
在经济学中，边际效应指的是增加一单位投入或消费对产出或满足程度的最后一单位影响。
边际生产力衡量了增加一单位劳动力对产出的额外贡献。
通过求导数，我们可以计算边际生产力的大小，从而进行优化决策，如确定最优的生产要素组合和劳动力数量。
导数在经济最优化问题中也发挥着重要的作用。
经济最优化问题是经济学中一个重要的研究领域，研究如何在特定的约束条件下最大化效用或利润。
通过求导，我们可以计算出效用函数或利润函数的最大值或最小值，从而得到最优的决策。
导数还可以用于经济政策评估。
经济政策通常会对经济变量产生影响，如通货膨胀率、失业率等。
通过构建经济模型，我们可以建立政策变量与经济变量之间的关系，并通过求导数来计算政策对经济变量的影响程度。
这样可以帮助政策制定者评估政策的有效性和可能的副作用。
导数还可以用于经济预测和风险管理。
通过对历史数据进行建模，并通过求导数计算出经济变量的趋势和变化率，我们可以进行经济预测。
这对于企业的生产计划、投资决策以及金融市场的投资策略都有重要的意义。
导数还可以用于评估金融风险，如统计价值风险、股票价格波动等，为金融机构和投资者提供决策支持。
导数在经济分析中应用广泛，可以帮助我们理解经济变量的变化规律，优化决策，评估政策效果和管理风险。
熟练运用导数的原理和技巧，将有助于经济学家和决策者更好地理解和应对经济问题。
导数在经济中的应用
二、 弹性分析
(3)当η=1时,即当需求的变化幅 度等于价格变化的幅度时,R′(P)=0, 即R(P)取得最大值.经济学中,这种商 品称为单位弹性商品.
二、 弹性分析
【例57】
设某商品的需求函数为Q(P)=150－2P2. (1)求需求弹性函数ηP. (2)求当P=3时的需求弹性,并说明其经济意义. (3)当P=3时,若价格上涨1%,总收益变化百分之几?是增加还是减少? (4)当P=6时,若价格上涨1%,总收益变化百分之几?是增加还是减少?
一、 边际分析
所以，边际函数值f′(x0)的经济意义为：在 点x=x0处，当自变量x改变1个单位时，因变量 y将近似地改变f′(x0)个单位.解释边际函数值的 具体意义时,通常略去“近似”二字.
将边际函数的概念具体到不同的经济函数, 则常用的有边际成本、边际收益、边际利润.
1. 边际成本
一、 边际分析
为平均收益. 边际收益函数值R′Q0的经济意义是：在销售量为Q0的基 础上，再多销售一个单位产品所增加的收益.
一、 边际分析
【例54】
设某产品的需求函数为Q=1 000－2P(元/件),求销售量为 300件时的总收益、平均收益与边际收益，并说明边际收益的 经济意义.
P=500－0.5Q,
R(Q)=QP=Q(500－0.5Q)=500Q－0.5Q2, 当Q=300时,
二、 弹性分析
定义分析
2. 需求弹性
二、 弹性分析
定义7
设商品的需求函数为Q=Q(P),则该商品在价格为P时的需
一般来说,由于需求函数是单调递减的函数,则Q′(P)一般为 负值,所以需求弹性η也为负值.需求弹性反映了产品的需求量 对价格变动反映的强烈程度，其经济意义是:当某商品价格为P 时，价格上涨(下降)1%时，需求量近似减少(增加)η%.在具体 的经济问题解释时，通常略去“近似”二字.
浅谈导数在经济分析中的应用
浅谈导数在经济分析中的应用导数是微积分的基础概念之一，它在经济学分析中具有重要的应用价值。
本文将从经济学的角度，简要探讨导数在经济分析中的应用。
导数在经济学中的应用主要有以下几个方面。
一、边际分析边际分析是微观经济学的重要工具之一，它用来研究某个决策在某个点的响应。
在经济学中，边际效应通常是指经济变量的微小变化所引起的效应。
例如，产量的边际效应是指增加一单位生产量所带来的额外效益。
而在微积分中，边际效应可以通过导数来描述。
以需求函数为例，需求函数通常被表示为Q=D(p)，其中Q表示需求量，p表示价格，D 为价格的函数。
当p发生微小变化时，需求量也会随之发生微小变化。
设p0为某个价格点，Q0为该价格点下的需求量，则需求函数在p0处的导数D'(p0)即为该点互补需求（即边际需求）的大小。
二、最优化理论在经济学中，最优化问题是指在满足某些约束条件下，选择某个变量的取值，使得某个目标函数的值最大或最小。
而最优化问题可以通过导数来解决。
例如，企业在确定生产规模时，需要考虑生产成本以及市场需求等因素，以求获得最大利润。
假设生产成本为C(Q)，市场需求为D(p)，企业的利润为R(Q)=pQ-C(Q)，则企业通过对R(Q)求导数，确定R(Q)取极值时的生产规模Q*，即可达到最大化利润的目标。
三、计量经济学计量经济学中的许多方法都是基于微积分理论和导数的应用。
例如，回归分析中的弹性系数就是导数的一种应用。
回归分析通常用于研究因变量和自变量之间的关系。
在经济学中，通常用线性模型表示因变量和自变量之间的关系。
例如，GDP与货币供应量之间的关系可以表示为y=ax+b，其中y表示GDP，x表示货币供应量，a和b为常数。
这时，a即为GDP对货币供应量的弹性系数，可以通过对y关于x的导数指标来计算。
总之，导数是微积分的基础概念之一，它在经济学中具有广泛的应用。
无论是研究边际效应、还是最优化决策，都需要用到导数的知识。
导数在经济学中的应用
导数在经济学中的应用一、边际和弹性（一）边际与边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。
而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，确实是边际分析方法。
1、总成本、平均成本、边际成本总成本是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成。
用c(x)表示，其中x 表示产品的产量，c(x)表示当产量为x 时的总成本。
不生产时，x=0，这时c(x)=c(o)，c(o)确实是固定成本。
平均成本是平均每个单位产品的成本，若产量由x 0变化到x x ∆+0，则：xx c x x c ∆-∆+)()(00称为c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均成本，它表示总成本函数c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均变化率。
而x x c /)(称为平均成本函数，表示在产量为x 时平均每单位产品的成本。
例1，设有某种商品的成本函数为：x x x c 30135000)(++=其中x 表示产量（单位：吨），c(x)表示产量为x 吨时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本及平均成本分别为：（元）1080040030400135000)(400=⨯+⨯+==x x c 吨）（元/2740010800)(400===x xx c 假如产量由400吨增加到450吨，即产量增加x ∆=50吨时，相应地总成本增加量为：4.686108004.11468)400()450()(=-=-=∆c c x c 728.13504.686)()(500400==∆∆+=∆∆=∆=x x xx x c x x c 这表示产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率，即产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本13.728元。
类似地运算可得：当产量为400吨时再增加1吨，即x ∆=1时，总成本的变化为：7495.13)400()401()(=-=∆c c x c 7495.1317495.13)(1400=∆∆=∆=x x xx c表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。
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可见, 当产量水平 x x 0最大利润.
17
例39 .某商家销售某种商品的价格满足关系p = 7–0.2x (万元/吨), 且x为销售量(单位:吨)、商品的成本函数为 C(x) = 3x + 1(万元) (1)若每销售一吨商品, 政府要征税t (万元), 求该商家
1
定义 经济学中,把函数ƒ(x)的导函数 f ( x ) 称为ƒ(x)的边际 函数. 在点 x 0 的值 f ( x 0 ) 称为ƒ(x)在 x 0 处的边际值(或变化 率、变化速度等).
fx (0 x ) fx (0 ) f ( x ) l i m 0 x 0 x
f ( x xf ) () x 0 0 fx () ( l i m 0 ) 0 x 0 x
f ( x x ) f ( x ) 0 0 f ( x ) 当 x 0 ( 即 很 小 ) 时 ,有 0 x
在经济学中, 通常取Δx =1, 就认为Δx达到很小(再小无意义). 故有 f ( x xf ) ( x ) fx ( ) 0 0 0
CC ( 9 0 ) C ( 7 5 ) 1 0 1 . 2 5 ( 元 / 件 ) x 9 07 5
4
(3)当日产量为75件时的边际成本 1 C ( 7 5 ) C () x 9 7 . 5 ( 元 ) C (x) x6 0 x 7 5 2 注:当销售量为x, 总利润为L=L(x)时, 称L ( x )为销售量 为x时的边际利润,它近似等于销售量为x时再多销售一 个单位产品所增加或减少的利润. 例34 某糕点加工厂生产A类糕点的总成本函数和总收
3
0
的基础上再增加一个
求(1)日产量75件时的总成本和平均成本;
(2)当日产量由75件提高到90件时, 总成本的平均改变量;
(3)当日产量为75件时的边际成本. 解 (1)日产量75件时的总成本和平均成本C(75)=7956.25(元) C(75)/75=106.08(元/件)
(2)当日产量由75件提高到90件时,总成本的平均改变量
1
(称为高弹性)时, 则 ΔR 与 Δp 异号. 此时,
降价(Δp<0)将使收益增加; 提价(Δp > 0)将使收益减少;
(2)若
p
1 (称为低弹性)时, 则 ΔR 与 Δp 同号.此时,
降价(Δp<0)将使收益减少; 提价(Δp > 0)将使收益增加; (3)若
p
1 (称为单位弹性)时, 则 R 0 . 此时, 无论
x 处 的 弹 性 , 记 为 ( x ) . 极 限 值 为 函 数 fx () 在 点 0 0
8
由弹性定义可知(1)若 y = ƒ(x) 在点 x 在 x 0 处的弹性为
0
处可导. 则它
( 2 ) ( x ) 的 意 是 : 在 x 生 1 % 的 改 , 0 0x
f ( x ) yx 0 0 ( x ) l i m ( ) x 0 0 x 0 xy f ( x ) 0 0
C ( 3 0 0 0 ) 4 6 ( 元 /件 )
而 边 际 成 本 函 数 为 C ( x ) 4 0 0 . 0 0 2 x
故 x 3 0 0 0 时 相 应 的 边 际 成 本 为 C ( 3 0 0 0 ) 4 6 ( 元 / 件 ) .
16 显 然 , 最 小 平 均 成 本 等 于 其 相 应 的 边 际 成 本 .
Qp () p d Q p p Q (p ) Q (p ) d p
价 格 p 的 微 小 变 化 ( 即 p 很 小 时 ) 而 引 起 的 需 求 量 的 改 变 为 d Q p d Q p p Q d Q p Q Q p d p Q d pp p Q p 需 求 量 的 相 对 改 变 量 为 Q pp
( x x ) f ( x ) x y f 0 0 与 x y f ( x ) 0 0 0
分别为自变量 x与ƒ(x)在点 x 0 处的相对增量.
y y 0 x 0 时 , 极 限 l i m 存 在 ,则 称 此 定义 设y =ƒ(x)当 x 0 x x 0
销 售 收 入 R ( p ) p Q 的 改 变 量 为
12 R ()() p Q d p Q Q d p p d Q ( 1 ) Q d p p
由知 0 ,p R ( 1 ) Q p 从而有结论: p p p
(1)若
p
C (x)
1800 0 3 x
令 C ( x ) 0 得 x 3 0 0 0 .从 而 驻 点 唯 一
故 x 3 0 0 0 是 区 间 ( 0 , ) 唯 一 的 极 小 值 点
当 产 量 x 3 0 0 0 件 时 , 平 均 成 本 达 到 最 小 , 且 最 小 平 均 成 本 为
§4.7 导数在经济中的应用
导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济
管理等许多领域都有十分广泛的应用. 下面介绍导数(或微 分)在经济中的一些简单的应用. 一.边际分析与弹性分析 边际和弹性是经济学中的两个重要概念. 用导数来研 究经济变量的边际与弹性的方法, 称之为边际分析与弹性 分析. 1.边际函数
2 2 入函数分别是 C ( x ) 1 0 0 2 x 0 . 0 2 x 和 R ( x ) 7 x 0 . 0 1 x .
求边际利润函数和当日产量分别是200公斤,250公斤和
300公斤时的边际利润.并说明其经济意义.
5
x 1 0 0 0 . 0 1 x 解 (1)总利润函数为L(x) = R(x) – C(x) = 5 边际利润函数为 L ( x ) 50 . 0 2 x
2.最大利润 设总成本函数为C(x), 总收益函数为R(x), 其中x为 产量, 则在假设产量和销量一致的情况下, 总利润函数
为
L(x) = R(x) – C(x) 假设产量为 x
0
时, 利润达到最大, 则由极值的
必要条件和极值的第二充分条件, L(x)必定满足:
() xxx R ( x ) C ( x ) 0 L () xxx R ( x ) C ( x ) 0L 0 0 0 0 0 0
2 C () x 9 0 0 0 4 0 x 0 . 0 0 1 x
求该厂生产多少件产品时, 平均成本达到最小? 并 求出其最小平均成本和相应的边际成本.
C () x 9 0 0 0 4 00 . 0 0 1 x 15 x x
解 平 均 成 本 函 数 是 C () x
9 0 0 0 C(x ) 2 0 .0 0 1 x
提价使收益减少. 例37 某商品的需求量为2660单位,需求价格弹性为–1.4.
若该商品价格计划上涨8%(假设其他条件不变),问该商
品的需求量会降低多少?
解 设该商品的需求量为Q,在价格上涨时的改变量为 ΔQ=Q–2660 且 p p Q Q 1 . 4 8 % 2 6 6 0 2 9 8 ( 单 位 ) 8 % ,p 1 .4 p p p 课后考虑: 用类似方法, 对供给函数、成本函数等常用经济函数
b x ( 1 )( f xa ) e ( 2 )( f x ) x
9
f () x x b x 解 ( 1 ) 由 () x x b a b e b x 故 ( 1 )b x fx () a e
η(1)的经济意义是: 在x = 1处, 当b > 0 时, x 增加(或减少)1%, ƒ(x)就增加(或减少) b% ; 当b < 0 时, x 增加(或减少)1%, ƒ(x)就减少(或增加) –b% .
2
实际问题中, 略去“近似”二字, 就得ƒ(x)在 x 0 处的 边际值 f ( x ) 的 0 经济意义: 即当自变量 x 在 x 单位时, 函数y的改变量. 例33 某机械厂, 生产某种机器配件的最大生产能力为每 日100件, 假设日产品的总成本C(元)与日产量 x (件)的 函数为
1 2 Cx ( ) x 6 0 x 2 0 5 0 4
( 2 ) 0 . 9 2 , p 1 , p 1 . 1 5 . p p 4 p 4 . 3 5 p 5
p
易知: 任何需求函数对价格之弹性
, 均满足 p 0 .
11
在商品经济中, 商品经营者关心的的是提价(Δp>0) 或降价(Δp<0)对总收益的影响.下面利用需求弹性的概念, 可以得出价格变动如何影响销售收入的结论.
14 . 进行弹性分析, 以预测市场的饱和状态及商品的价格变动等
二.函数最值在经济中的应用
在经济管理中, 需要寻求企业的最小生产成本或制定
获得利润最大的一系列价格策略等. 这些问题都可归结为 求函数的最大值和最小值问题.下面举例说明函数最值在经 济上的应用. 1.平均成本最小
例38 某工厂生产产量为 x (件)时, 生产成本函数(元)为
则反而亏损1元.
6
结论: 当企业的某一产品的生产量超越了边际利润的 零点时 (L (x )0 ),反而使企业无利可图. 2.弹性 弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量
变化时, 所作出反映的强弱程度. 即弹性是用来描述
一个量对另一个量的相对变化率的一个量.
7
定义 若函数y =ƒ(x)在点 x 0 ( 0) 的某邻域内有定义, 且 f ( x0 ) 0 则称 Δ x 和 Δy 分别是 x 和 y 在点 x 0 处的绝 对增量, 并称