2020年河北省石家庄市高考数学一模试卷(文科)(带答案)
所以椭圆的方程为：
=1；
（2）由（1）可得右焦点 F2 的坐标（1，0），假设存在 P（t，0） i）当直线 MN 的斜率不为 0 时，设直线 MN 的方程为：x=my+1，设 M（x1，y1），N（x2， y2），
联立直线与椭圆的方程
，整理可得：（4+3m2）y2+6my-9=0，
∴y1+y2=
，y1y2=
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∴cosB= ，又 B∈（0，π），
∴B= ；
（2）∵b= ，B= ，
∴cosB=
，
∴a2+c2-3=ac， ∴（a+c）2=3ac+3，
∵a＞0，c＞0，∴ac
，
∴
，
∴（a+c）2≤12，又 b= ，
∴
，
∴△ABC 周长的最大值为 2
．
18. 解：（1）根据统计表中数据知， = lnx+ 更适合刻画 x，y 之间的关系，
16. 已知函数 f（x）= -m，若 f2（k）-f（k）-2=0 有两个不同的实数解，则实数 m 的
取值范围是______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）
17. 设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且
．
（1）求角 B 的大小； （2）设 b= ，求△ABC 周长的最大值．
2. 设复数 z 满足（1-i）z=2i，则 z 在复平面内对应的点在（
A. 第四象限
B. 第三象限
C. 第二象限
）
D. 第一象限
3. 已知实数 x，y 满足约束条件
，则 z= 的取值范围为（ ）
A. [ ， ]
B. [ ， ]
C. （-∞， ]∪[ ，+∞）
D. （-∞， ]∪[ ，+∞）
4. 已知| |=| |= ，且（ -2 ）与 垂直，则 与 的夹角是（ ）
（-2- ，0）•（2- ，0）= -4= ，
综上所述：所以存在 P（ ，0），使 • 为定值．
21. 解：（1）定义域（0，+∞），
由题意可得，f′（1）=2a-1+b=0 即 b=1-2a，
所以 f′（x）=2ax
=
=
， ，
由函数存在极值可知，a ，
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（i）a= 时，由 f′（x）＞0 可得，x＞1，函数在（1，+∞）单调递增，由 f′（x）＜0
则=
，
∴BG∥A1C， ∵BG∩FG=G，A1C∩CC1=C，∴平面 EFG∥平面 A1C1C， ∵EF⊂平面 EFG，∴EF∥平面 ACC1A1． （2）解：∵在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AC⊥BC， ∴BC⊥AA1，又 AC∩AA1=A，∴BC⊥平面 ACA1，
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=29.2-20×0.96=10，
∴所求的回归方程为 =20lnx+10．
当 x=8 时，销售额为 =20ln8+10=52（万元）．
19. 解：（1）证明：在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，
AC=BC=CC1=2， E，F 分别在 A1B，B1C1 上，且满足|C1F|： |C1B1|=|A1E|：|A1B|． 过点 F 作 FG∥CC1，交 BC 于 G，连结 GE，
22. 解：（1）曲线 C 的参数方程为
（α 为参数），转换为直角坐标方
程为（x-2）2+（y+1）2=4．
直线 1 的极坐标方程为 ρ=
．转换为直角坐标方程为
．
（2）把
转换为参数方程为
（t 为参数），代入（x-2）2+
（y+1）2=4，
得到：
，
所以
，t1t2=4．
所以
=
=．
23. 解：（1）两个正数 a，b 满足 a+2b=2，可得 a=2-2b，
a2+b2=（2-2b）2+b2=5b2-8b+4=5（b- ）2+ ，
由 a＞0，b＞0，可得 2-2b＞0，即有 0＜b＜1，
则当 b= 时，a2+b2 的最小值为 ；
（2）不等式|2x-4|+|x+1|+1≥3a+4b-2ab 对任意的 x∈R 恒成立， |2x-4|+|x+1|+1=|x-2|+（|x-2|+|x+1|）+1≥0+|x-2-x-1|+1=4，当且仅当 x=2 时取得等号， 则|2x-4|+|x+1|+1 的最小值为 4， 可得 3a+4b-2ab≤4，
∴BC⊥A1C，
∴
=
=
=2 ，
=
=2，
设点 F 到平面 A1BC 的距离为 h，
∵
，
∴
，∴
，
解得 h= ． ∴点 F 到平面 A1BC 的距离为 ．
20. 解：（1）由题意可得上顶点 B（0，b），AB⊥BF2，所以： + =1，
=0，
即（3c，b）•（c，-b）=0 即 b2=3c2，a2=b2+c2， 解得：a2=4，b2=3，
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22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为极点．x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已 知曲线 C 的参数方程为
（α 为参数），直线 1 的极坐标方程为 ρ=
．
（1）求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（2）若直线 l 与曲线 C 的交点分别为 A，B，点 P（0，1），求
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12. 已知定义在 R 上的偶函数 f（x），其导函数为 f′（x），若 xf′（x）-2f（x）＞0，
f（-2）=1，则不等式 ＜ 的解集是（ ）
A. （-2，2）
B. （-∞，-2）∪（2，+∞）
C. （-2，0）∪（0，2）
D. （-∞，0）∪（0，2）
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
5. D
6. B
7. D8. C源自9. C10. B 11. A 12. C
13. 10
14.
15. 1010
16. { -2}∪（1，1+ ）
17. 解：（1）∵
．
由正弦定理，边化角得：
，即 2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C）， 又∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA， ∴2sinAcosB=sinA，又 A∈（0，π），sinA≠0，
理由如下：x 值每增加 1，函数值的增加量分别为 14，8，6，4， 增加得越来越缓慢，适合对数型函数的增长规律， 与直线型函数的均匀增长存在较大差异，
故 = lnx+ 更适合刻画 x，y 之间的关系；
（Ⅱ）令 zi=lnxi，计算知 = （y1+y2+y3+y4+y5）= =29.2，
∴=
≈
=20，
A.
B.
C.
D.
8. 某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的最大棱长为
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A.
B.
C.
D. 8
9. 将函数 f（x）= cos2x+sinxcosx 的图象横坐标变成原来的 2 倍，再向左平移 t（t＞
0）个单位，所得函数 g（x）关于 x= 对称，则 t 的最小值为（ ）
A.
A.
B.
C.
D.
5. 已知正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，S4=3（a1+a2），则公比 q 的值为（ ）
A. 2
B.
C.
D.
6. 已知 tanα+ =4（α∈（π， π）），则 sinα+cosα=（ ）
A.
B. -
C.
D. -
7. 某校早读从 7 点 30 分开始，若张认和钱真两位同学均在早晨 7 点至 7 点 30 分之间 到校，且二人在该时段的任何时刻到校都是等可能的，则张认比钱真至少早到 10 分钟的概率为（ ）
0）使得 • 为定值？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，说明理由．
21. 设函数 f（x）=ax2-x+blnx（a≥ ）． （1）若 x=1 是函数 f（x）的一个极值点，求函数 f（x）的单调区间； （2）当 a=1 时，对于任意的 x∈（1，e）（e 为自然对数的底数）都有 f（x）＜0 成立，求实数 b 的取值范围．
，
∴x1+x2=m（y1+y2）+2=
，x1x2=m2y1y2+m（y1+y2）+1=
+
+1=
，
因为 • =（x1-t，y1）•（x2-t，y2）=x1x2-t（x1+x2）
+t2+y1y2=
-
+t2-
=
=
，
要使 • 为定值，则 =
，解得：t= ，这时 • = 为定值，
ii）当直线 MN 的斜率为 0 时，则 M（-2，0），N（2，0），P 为（ ，0），则 • =
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又 2b=2-a＞0，即 0＜a＜2，① 再由 3a+4b-2ab=3a+2（2-a）-a（2-a）≤4，化为 a2-a≤0，即 0≤a≤1，② 由①②可得 0＜a≤1． 【解析】
1. 解：∵全集 U=R，集合 A={x|2x-1＞0}={x|x＞ }，
可得，0＜x＜1，函数在（0，1）上单调递减
2020年河北省高考文科科数学仿真模拟试题一(附答案)
y b?x a?，将 y [bx?] [a] ? 视为气温与当天热饮销售杯数的函数关系 . 已知气温 x 与当天热饮每杯
的销售利润 f x 的关系是 f ( x)
x7 2
（ 2）（i ）因为 b?
n
i 1 xi x
n
i 1 xi
yi y
2
x
.
3953 1340
2.95 ， a? 100 2.95 15 144.25 .
所以气温与当天热饮销售杯数的线性回归方程为
y 2.95 x 144.25 .
（ ii ）由题意可知气温 x 与当天热饮销售杯数 y 的关系为 y 3x 144 .
（ 1）求证： EF AD ； （ 2）若 EF 2CD 2AB ，且 AB / / EF ，求该五面体的体积 .
19. （12 分） 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮饮料销售的影响，经过统计，得到一个
卖出的热饮杯数与当天气温的散点图和对比表：
3
摄氏温度
5
4
7
10
15
23
30
36
热饮杯数
面积为 2 6 ，求直线 l 的方程． 7
21. （12 分）
已知函数 f ( x) ex a( x ln x) . x
（ 1）若 a e ，求 f (x) 的单调区间；
（ 2）若 f ( x) 0 ，求 a 的取值范围 .
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计
分。
22． [ 选修 4— 4：坐标系与参数方程 ] （ 10 分）
石家庄市2020届高中毕业班综合训练(一)文科数学试卷含答案
（Ⅱ）到 2035 年底对应的年份代号为 23，由（Ⅰ）的回归方程 yˆ 6.60x 50.36 得我国国内生产总值为
6.60 23 50.36=202.16万亿元人民币，………… 8 分
又 202.16 14.04 ， 所 以 到 2035 年 底 我 国 人 均 国 民 生 产 总 值 约 为 14.04 万 元 人 民 14.4
整理得： b2 4b 12 0 ， 解得 b 2 或 b 6 （舍），即 AC 2 ………………………6 分 在△ ABC 中，由（1）结论可知：
sin ACB 5 …………………………………………………7 分 3
由正弦定理得 3 21 ，所以 sin A 5 ……………8 分
sin A 5
解得 b 12 或者 b 0 （舍去），且 b 12 满足 0
………………………9 分
SABF
1 2
AF
BF
1 2
x1
1
x2
1
1 2
x1
x2
x1x2
1
……… 10 分
由 b 12 得 x1 x2 13, x1x2 36 ，从而 SABF 25
所以△ ABF 的面积为 25 ；
………………………12 分
币，
……………… 10 分
由直方图，假设的 2035 年世界主要中等发达国家的人均国民生产总值平均数的估计值为：
7.50.312.50.35+17.50.2+22.50.1+27.50.05 13.75，
又13.75 14.04 ，
所以以（Ⅰ）的结论为依据，可预测我国在 2035 年底人均国民生产总值可以超过假设的 2035 年世界主要中等发达
2020石家庄高考模拟文数
C. n N, 2n 1000
D. n N, 2n 1000
3．己知复数 z 满足 (1− i)z = −i2019 （其中 i 为虚数单位），则 | z |= （ ）
A． 1
2
B． 2
2
C．1
D． 2
4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初
1
行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔
河北省石家庄二中 2020 届高三年级数学试题
数 学（文科）
本试卷共 4 页，23 题，满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的
答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答
2
取值范围；
（2）设 a 0 ，方程 af (x) − x2 + ax = 0 在区间 (1, e) 上有实数解，求实数 a 的取值范围.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，
则按所做的第一题计分。
22．【选修 4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分）
+
(m
−1)n,
n
5
.若
a5
是 {an } 中的最大值，则实
数 m 的取值范围是_____．
16．设
F1,
F2
为椭圆
C
:
x2 4
+
y2
=
1
的两个焦点.
M 为 C 上的点，MF1F2 的内心 I 的纵
2020届河北省石家庄市4月高考一模考试数学模拟试题(文)有答案
石家庄市高中毕业班模拟考试（一）文科数学（A 卷）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,3,4,5,6,7}U =，{|3,}A x x x N =≥∈，则U C A =（ ）A ．{1,2}B ．{3,4,5,6,7}C ．{1,3,4,7}D ．{1,4,7}2.复数121ii -=+（ ）A ．iB ．i -C ．132i --D ．332i-3.已知四个命题：①如果向量a r 与b r 共线，则a b =r r 或a b =-r r；②3x ≤是3x ≤的必要不充分条件；③命题p ：0(0,2)x ∃∈，200230x x --<的否定p ⌝：(0,2)x ∀∈，2230x x --≥；④“指数函数xy a =是增函数，而1()2x y =是指数函数，所以1()2xy =是增函数” 此三段论大前提错误，但推理形式是正确的.以上命题正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34.若数列{}n a 满足12a =，111nn n a a a ++=-，则2018a 的值为（ ）A ．2B ．-3C ．12-D ．135.函数()2(0)xf x x =<，其值域为D ，在区间(1,2)-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．236. 程序框图如图所示，该程序运行的结果为25s =，则判断框中可填写的关于i 的条件是（ ）A ．4?i ≤B ．4?i ≥C ．5?i ≤D ．5?i ≥ 7. 南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积.”（即：2222221[()]42c a b S c a +-=-a b c >>），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（ ）A ．84平方里B ．108平方里C ．126平方里D ．254平方里8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．23πB ．43πC ．2πD ．83π9.设()f x 是定义在[2,3]b b -+上的偶函数，且在[2,0]b -上为增函数，则(1)(3)f x f -≥的解集为（ ）A ．[3,3]-B ．[2,4]-C ．[1,5]-D ．[0,6]10.抛物线C ：214y x=的焦点为F ，其准线l 与y 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，当2MA MF =时，AMF ∆的面积为（ ）A ．1B ．2C ．22D ．411.在ABC ∆中，2AB =，6C π=，则3AC BC +的最大值为（ ）A 7B ．27C ．37D ．712.已知1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点和右焦点，过2F 的直线l 与双曲线的右支交于A ，B两点，12AF F ∆的内切圆半径为1r ，12BF F ∆的内切圆半径为2r ，若122r r =，则直线l 的斜率为（ ）A ．1B 2C ．2D ．2二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.设向量(1,2)a m =r ，(1,1)b m =+r ，若a b ⊥r r ，则m = ．14.x ，y 满足约束条件：11y xx y y ≤⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为 ．15.甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委的大，甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小.据此推断班长是 ．16.一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.已知{}n a 是公差不为零的等差数列，满足37a =，且2a 、4a 、9a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足1n n n b a a +=⋅，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S.18.四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，222AB BC CD ===，SAD∆为正三角形.（Ⅰ）点M 为棱AB 上一点，若//BC 平面SDM ，AM AB λ=u u u u r u u u r，求实数λ的值； （Ⅱ）若BC SD ⊥，求点B 到平面SAD 的距离.19.小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元.（Ⅰ）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y （单位：元）与送货单数n 的函数关系式；日均派送单数 52 54 56 58 60 频数（天） 20 30 20 20 10 ①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X （单位：元），试分别求出这100天中甲、乙两种方案的日薪X 平均数及方差；②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由.（参考数据：20.60.36=，21.4 1.96=，22.6 6.76=，23.411.56=，23.612.96=，24.621.16=，215.6243.36=，220.4416.16=，244.41971.36=）20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且离心率为2，M 为椭圆上任意一点，当1290F MF ∠=o时，12F MF ∆的面积为1.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点A 是椭圆C 上异于椭圆顶点的一点，延长直线1AF ，2AF 分别与椭圆交于点B ，D ，设直线BD 的斜率为1k ，直线OA 的斜率为2k ，求证：12k k ⋅为定值. 21.已知函数()()()xf x x b e a =+-，(0)b >，在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=. （Ⅰ）求a ，b ；（Ⅱ）若0m ≤，证明：2()f x mx x ≥+. （二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，若直线l 与曲线C 相切；（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上取两点M ，N 与原点O 构成MON ∆，且满足6MON π∠=，求面积MON ∆的最大值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()f x =R ；（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）设实数t 为m 的最大值，若实数a ，b ，c 满足2222a b c t ++=，求222111123a b c +++++的最小值.石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试题文科数学答案一、选择题1-5: ACDBB 6-10: CABBB 11、12：DD 二、填空题13.13-14. 3 15. 乙 16. 23三、解答题17. 解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，且0d ≠由题意得242937a a a a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即21(7)(7)(76)27d d d a d ⎧+=-+⎨+=⎩，解得13,1d a ==，所以数列{}n a 的通项公式32n a n =-.（2）由（1）得1(32)(31)nn n b a a n n +=⋅=-+1111()33231n b n n ∴=--+，12111111111......(1)34473231n n S b b b n n =+++=-+-++--+L 11(1)33131n n n =-=++. 18．（1）因为//BC 平面SDM ，BC ⊂平面ABCD ，平面SDM I 平面ABCD=DM ， 所以DM BC //，因为DC AB //，所以四边形BCDM 为平行四边形，又CD AB 2=，所以M 为AB 的中点.因为AB AM λ=，12λ∴=.（2）因为BC ⊥SD ， BC ⊥CD ， 所以BC ⊥平面SCD ， 又因为BC ⊂平面ABCD ， 所以平面SCD ⊥平面ABCD ， 平面SCD I 平面ABCD CD =，在平面SCD 内过点S 作SE ⊥直线CD 于点E ，则SE ⊥平面ABCD ，在Rt SEA V和Rt SED V 中， 因为SA SD =，所以AE DE ==，又由题知45EDA ∠=o， 所以AE ED ⊥，由已知求得AD =1AE ED SE ===，连接BD ，则111133S ABD V -=⨯⨯=三棱锥， 又求得SAD V的面积为， 所以由B ASD S ABDV V --=三棱锥三棱锥点B 到平面SAD的距离为3. 19.解：（1）甲方案中派送员日薪y （单位：元）与送货单数n 的函数关系式为： N ,100∈+=n n y ， 乙方案中派送员日薪y （单位：元）与送单数n 的函数关系式为：⎩⎨⎧∈>-∈≤=N),55(,52012N),55(,140n n n n n y ，k.KS5U（2）①、由表格可知，甲方案中，日薪为152元的有20天，日薪为154元的有30天，日薪为156元的有20天，日薪为158元的有20天，日薪为160元的有10天，则1=15220+15430+15620+15820+16010100x ⨯⨯⨯⨯⨯甲（）=155.4， ()()()()()2222221=[20152155.4+30154155.4+20156155.4+20158155.4+10010160155.4]=6.44S ⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-甲，乙方案中，日薪为140元的有50天，日薪为152元的有20天，日薪为176元的有20天，日薪为200元的有10天，则1=14050+15220+17620+20010100x ⨯⨯⨯⨯乙（）=155.6， ()()()()222221=[50140155.6+20152155.6+20176155.6+10200155.6]100=404.64S ⨯-⨯-⨯-⨯-乙， ②、答案一：由以上的计算可知，虽然x x <乙甲，但两者相差不大，且2S 甲远小于2S 乙，即甲方案日薪收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案. 答案二：由以上的计算结果可以看出，x x <乙甲，即甲方案日薪平均数小于乙方案日薪平均数，所以小明应选择乙方案. 20解：（1）设,,2211r MF r MF ==由题122221212224112c e a r r a r r c r r ⎧==⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪⋅=⎪⎩，解得1a c ==，则21b =， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设0000(,)(0)A x y x y ⋅≠，1122(,),(,)B x yC x y ，当直线1AF 的斜率不存在时，设(1,)2A -，则(1,)2B --，直线2AF的方程为(1)4y x =--代入2212x y +=，可得25270x x --=，275x ∴=，210y =-，则7(,510D -，∴直线BD的斜率为1(10276(1)5k ---==--，直线OA的斜率为2k =，121()626k k ∴⋅=⋅-=-，当直线2AF 的斜率不存在时，同理可得1216k k ⋅=-. 当直线1AF 、2AF 的斜率存在时，10±≠x ，设直线1AF 的方程为00(1)1y y x x =++，则由0022(1)112y y x x x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 可得：22222200000[(1)2]422(1)0x y x y x y x ++++-+=，又220012x y +=，则220022y x =-，代入上述方程可得 2220000(32)2(2)340x x x x x x ++---=，2000101003434,3232x x x x x x x x ----∴⋅=∴=++，则000100034(1)13232y x y y x x x --=+=-+++ 000034(,)2323x y B x x +∴--++，设直线2AF 的方程为00(1)1y y x x =--，同理可得000034(,)2323x y D x x ---，∴直线BD 的斜率为000000001220000002323434341224362323y y x x x y x y k x x x x x x +-+===-+--+-+，Q 直线OA 的斜率为20y k x =，∴20200001222200001123636366x x y y y k k x x x x -⋅=⋅===----. 所以，直线BD 与OA 的斜率之积为定值16-，即1216k k ⋅=-. 21．解：（Ⅰ）由题意()10f -=，所以()1(1)10f b a e ⎛⎫-=-+-= ⎪⎝⎭，又()()1xf x x b e a '=++-，所以1(1)1b f a e e '-=-=-+， 若1a e =，则20b e =-<，与0b >矛盾，故1a =，1b =. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()()11x f x x e =+-， (0)0,(1)0f f =-=，由0m ≤，可得2x mx x ≥+，令()()()11x g x x e x=+--，()()22x g x x e '=+-，当2x ≤-时，()()2220x g x x e '=+-<-<，当2x >-时， 设()()()22x h x g x x e '==+-，()()30x h x x e '=+>，故函数()g x '在()2,-+∞上单调递增，又(0)0g '=， 所以当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，当()0,x ∈+∞时，()0g x '>，所以函数()g x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，故()()2()(0)011x g x g x e x mx x ≥=⇒+-≥≥+故2()f x mx x ≥+. 法二：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()()11x f x x e =+-， (0)0,(1)0f f =-=，由0m ≤，可得2x mx x ≥+，令()()()11x g x x e x=+--，()()22x g x x e '=+-，令当时，，单调递减，且；当时，，单调递增；且，所以在上当单调递减，在上单调递增，且，故()()2()(0)011x g x g x e x mx x≥=⇒+-≥≥+，故2()f x mx x ≥+. 选作题22（1）由题意可知直线l 的直角坐标方程为32y x =+，曲线C 是圆心为(3,1)，半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，可得：33122r ⋅-+==；可知曲线C的方程为22(3)(1)4x y -+-=， 所以曲线C 的极坐标方程为223cos 2sin 0ρρθρθ--=，即4sin()3ρθπ=+. (2)由（1）不妨设M （1,ρθ），)6,(2πθρ+N ，（120,0ρρ>>），6sin21πON OM S MON =∆，，当12πθ=时， 32+≤∆MON S ，所以△MON 面积的最大值为23.23. 【解析】 （1）由题意可知32x x m--≥恒成立，令3()2x g x x-=-，去绝对值可得：36,(3)()263,(03)6,(0)x x x g x x x x x x --≥⎧⎪=-=-<<⎨⎪-≤⎩，画图可知()g x 的最小值为-3，所以实数m 的取值范围为3m ≤-；（2）由（1）可知2229a b c ++=，所以22212315a b c +++++=，222222222111()(123)11112312315a b c a b c a b c ++⋅++++++++++=+++22222222222221313239312132315155b a c a c b a b a c b c ++++++++++++++++++=≥=，当且仅当2221235a b c +=+=+=，即2224,3,2a b c ===等号成立，所以222111123a b c +++++的最小值为35.石家庄市2017-2018学年高中毕业班第一次模拟考试试题 文科数学答案选择题（A 卷答案）1-5 ACDBB 6-10CABBB 11-12 DD （B 卷答案）1-5 BCDAA 6-10CBAAA 11-12 DD 二、填空题13.13-14. 3 15. 乙 16. 23三、解答题(解答题仅提供一种解答，其他解答请参照此评分标准酌情给分）17. 解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，且0d ≠由题意得242937a a a a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，……………2分即21(7)(7)(76)27d d d a d ⎧+=-+⎨+=⎩，解得13,1d a ==，……………4分所以数列{}n a 的通项公式32n a n =-,………………………………6分（2）由（1）得1(32)(31)nn n b a a n n +=⋅=-+1111()33231n b n n ∴=--+，…………………………8分12111111111......(1)34473231n n S b b b n n =+++=-+-++--+L…………………10分11(1)33131n n n =-=++ (12)分.18．（1）因为//BC 平面SDM,BC ⊂平面ABCD,平面SDM I 平面ABCD=DM,所以DM BC //……………………2分因为DC AB //,所以四边形BCDM 为平行四边形，又， CD AB 2=,所以M 为AB 的中点。
2020石家庄一模文科数学 05-29
17.（Ⅰ）解法 1：根据正弦定理，由 3c cos B 3a 2b 得
3sin C cos B 3sin B C 2sin B ，
………………………2 分
整理得 3sin B cos C 2sin B 0 .
因为 sin B 0 ，所以 cos C
2. 3
…………………………………4 分
19.解：（Ⅰ） x 1 2 3 4 5 6 7 4 ， …………………… 1 分 7
2333.5 7 4 537.2
bˆ
7 ，…………………………3 分
140 112
2333.5 2148.8 184.7 6.60 …………………………4 分
28
28
aˆ 537.2 184.7 4 352.5 50.36
所以 MG∥平面 DEF. ………………2 分 在菱形 ABCD 中，BM∥DE， 因为 DE 平面 DEF，BM 平面 DEF， 所以 BM∥平面 DEF. ……………………………………………4 分 又因为 MG∩BM=M，且 MG，BM 平面 BMG， 所以平面 BMG∥平面 DEF. 因为 BG 平面 BMG， 所以 BG∥平面 DEF. ……………………………………………5 分 （Ⅱ）如图 3，在等边△DEF 中取 DE 边中点 O， 连接 FO， 则 FO⊥DE， 因为平面 DEF⊥平面 ABCD 且平面 DEF∩平面 ABCD=DE 所以 FO⊥平面 ABCD. 在菱形 ABCD 中，∠BCD=60°=∠BAD，E 是线段 AB 的中点， 所以 DE AB . ……………………………………………………7 分
由 S1 3S2 ，得 BE 3ED ， EB 3ED
设
x
an
4 3
河北2020届高三模拟考试 文科数学(含答案)
河北2019-2020学年高三模拟考试数学试题（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共 4 页．考试结束后，将答题纸和机读卡一并交回．注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，请认真核准准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．第Ⅰ卷：选择题（60分）一. 选择题：（本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合{}1,2A =，{}|,,B x x a b a A b A ==+∈∈，则集合=B A Y （ ） A ．{1，2} B ．{1，2,3}C ．{1，2,4}D ．{1，2,3,4}2.设复数z 满足11=+z ii，则||z =（ ） A ．1 B ．5 C ．2 D ．2 3．已知等比数列{}n a 中，37a =，前三项之和321S =，则公比q 的值为（ ）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．112-或 4．如图是一位发烧病人的体温记录折线图，下列说法不正确的是（ ）A ．病人在5月13日12时的体温是38℃B ．从体温上看，这个病人的病情在逐渐好转C ．病人体温在5月14日0时到6时下降最快D ．病人体温在5月15日18时开始逐渐稳定 5．已知直线m 、n ，平面α、β，给出下列命题：①若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥ ②若//m α，βn//，且//m n ，则//αβ ③若m α⊥，βn//，且m n ⊥，则αβ⊥ ④若m α⊥，βn//，且//m n ，则//αβ 其中正确的命题是（ ） A ．①③ B ．②④C ．③④D ．①6．定义21a a122121b a b a b b -=，已知22110a b +≠，22220a b +≠，则“11220a b a b =”是“直线1110a x b y c ++=与直线2220a x b y c ++=平行”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要7．下列格式中正确的是（ ） A ．43tan 77ππ> B ．1317tan tan 45ππ-<⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- C ．tan281tan665︒>︒ D ．tan4tan3>8．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从（ ）年开始，快递业产生的包装垃圾超过4000万吨.（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈） A ．2020B ．2021C ．2022D ．20139．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ） A ．20i <，1S S i=-，2i i = B ．20i ≤，1S S i=-，2i i = C ．20i <，2SS =，1i i =+ D ．20i ≤，2SS =，1i i =+ 10．已知双曲线()22221,0x y a b a b-=>的两条渐近线分别与抛物线24y x =交于第一、四象限的A ，B 两点，设抛物线焦点为F ，若7cos 9AFB ∠=-，则双曲线的离心率为（ ）A 2B 3C 5D ．2211．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且2(1)n n S a n -=-，22na n nb S =，则数列{}n b 的最小项为（ ） A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项12．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在 1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷：非选择题（90分）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若α，β为锐角，且4παβ+=，则()()1tan 1tan αβ++=__________；()()()()1tan11tan 21tan31tan 45++++=ooooL __________.14.若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，且()3,6-∈m ，则m x y z +=仅在点1(1,)2A -处取得最大值的概率为 ．15．天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2016年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为________年.16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是正方形11BB C C 的中心，M 为11C D 的中点，过1A M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为______. 三、解答题：共70分。
2020年河北省高考文科科数学仿真模拟试题(附答案)
2020年河北省高考文科数学仿真模拟试题（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{|07}U x N x =∈<<，{2,5}A =，{}1,3,5B =，则()U A B =ð（ ）A. {5}B. {}1,5C. {2,5}D. {}1,32. 已知复数z 满足()11z i +=-+，则复数z 的共轭复数为（ ）A. 1i -+B. 1i --C. 1i +D. 1i -3. 已知ABC ∆中，(2,8)AB =，(3,4)AC =-，若BM MC =，则AM 的坐标为 （ ） A. 1(,6)2-B. 5(,2)2C. (1,12)-D. (5,4)4. 在某次数学测验后，将参加考试的500名学生的数学成绩制成频率分布直方图（如图），则在该次测验中成绩不低于100分的学生数是（ ）A. 210B. 205C. 200D. 1955. 执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ）A. 2B. 4C. 5D. 6 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 10B. 12C.D. 207．已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且f(x+3)=f(x-1).若当]0,2[-∈x 时,13)(+=-xx f ,f(2019)= （ ） A ．6B ．4C ．2D ．18．函数y ＝||xxa x (a>1)的图象的大致形状是 （ ）9. 为得到函数cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）A. 向左平移512π个长度单位 B. 向右平移6π个长度单位 C. 向左平移6π个长度单位 D. 向右平移512π个长度单位10.设函数()()()ln f x x x ax a R =-∈在区间()0,2上有两个极值点，则a 的取值范围是（ ）A. 1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B. ln 210,4+⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ln 211,42+⎛⎫⎪⎝⎭ 11．设O 在△ABC 的内部，且有OA ＋2OB ＋3OC ＝0，则△ABC 的面积和△AOC 的面积之比为( )A ．3B ．53C ．2D ．32121x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===（ ）A ．()0,12B ．()0,16C ．()9,21D ．()15,25二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省石家庄市建华中学2020年高三数学文模拟试题含解析
河北省石家庄市建华中学2020年高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 过点M(2，0)的直线与函数的图像交于A、B两点，则等于A. 2B.4C. 6D.8参考答案：D函数的图象关于点对称，所以点关于点对称，那么点的中点是点，由向量加法的平行四边形法则可知：，因此。
2. 已知矩形ABCD，AB=1，BC=．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直参考答案：B【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】先根据翻折前后的变量和不变量，计算几何体中的相关边长，再分别筛选四个选项，若A成立，则需BD⊥EC，这与已知矛盾；若B成立，则A在底面BCD上的射影应位于线段BC上，可证明位于BC中点位置，故B成立；若C成立，则A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的；D显然错误【解答】解：如图，AE⊥BD，CF⊥BD，依题意，AB=1，BC=，AE=CF=，BE=EF=FD=，A，若存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直，则∵BD⊥AE，∴BD⊥平面AEC，从而BD⊥EC，这与已知矛盾，排除A；B，若存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直，则CD⊥平面ABC，平面ABC⊥平面BCD取BC中点M，连接ME，则ME⊥BD，∴∠AEM就是二面角A﹣BD﹣C的平面角，此角显然存在，即当A 在底面上的射影位于BC的中点时，直线AB与直线CD垂直，故B正确；C，若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则BC⊥平面ACD，从而平面ACD⊥平面BCD，即A 在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的，排除CD，由上所述，可排除D故选 B3. 如图是2019年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图，给出下列4个结论①深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高；②深圳和度厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降；③平均价格从高到低位于前三位的城市为北京，深圳，广州；④平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海.其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案：C【分析】根据图表逐项判定即可【详解】变化幅度看折线图，越接近零轴者变化幅度越小，位于零轴下方者表明价格下跌；平均价格看条形图，条形图越高平均价格越高，所以结论①②③都正确，结论④错误.故选.【点睛】本题考查折线图和条形图，准确理解题意是关键，是基础题4. 已知为偶函数,且,当时,,若,,则(A)2006 (B)4 (C) (D)参考答案：C略5. f（x）=x3﹣x2+ax﹣1己知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为( )A．（3，+∞）B．（3，）C．（﹣∞，] D．（0，3）参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】求得f（x）的导数，由题意可得2x2﹣2x+a﹣3=0有两个不等的正根，运用判别式大于0，两根之和大于0，两根之积大于0，解不等式即可得到a的范围．【解答】解：f（x）=x3﹣x2+ax﹣1的导数为f′（x）=2x2﹣2x+a，由题意可得2x2﹣2x+a=3，即2x2﹣2x+a﹣3=0有两个不等的正根，则△=4﹣8（a﹣3）＞0，x1+x2=1＞0，x1x2=（a﹣3）＞0，解得3＜a＜．故选B．【点评】本题考查导数的几何意义，考查二次方程实根的分布，以及韦达定理的运用，考查运算能力，属于中档题．6. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为底面ABCD上的动点，PE⊥A1C于E，且PA=PE，则点P的轨迹是（）A．线段B．圆弧C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分参考答案：A【考点】平面与平面之间的位置关系；轨迹方程．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由PE⊥A1C于E，且PA=PE，得到点E是定点，然后根据PA=PE，得到点P位于A，E的中垂面上，从而得到点P的轨迹．【解答】解：连接A1P，由题意知A1A⊥AP，因为PE⊥A1C，且PA=PE，所以△A1AP≌△A1EP，所以A1A=A1E，即E为定点．因为PA=PE，所以点P位于线段 AE的中垂面上，又点P在底面上，所以点P的轨迹为两平面的交线，即点P的轨迹是线段．故选A．【点评】本题主要考查空间直线的位置关系的判断，以及空间点的轨迹的求法，综合性较强，难度较大． 7. 已知向量，，，且，则取得最小值时，=（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案：D 略8. 已知函数是奇函数,则函数的图象( )A ．有对称轴B ．有对称轴C ．有对称点D ．有对称点参考答案： D 9. 设条件：，条件，则条件是条件的A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 参考答案： B10. 是等腰三角形，，则以为焦点且过点的椭圆的离心率为A. B.C.D.参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. ___________ .参考答案：12. 已知.参考答案：略13. 已知“|x－a|<1”是“x 2－6x<0”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为 .参考答案：（1,5）14. 已知，则＝_____▲_____．参考答案：答案：15. 双曲线x 2-2y 2=1的渐近线方程为______．参考答案：由双曲线的方程知，所以双曲线的渐近线方程为．16. 若对任意实数x ，都有｜x －a ｜＋｜x －1｜≥3成立，则实数a 的取值范围是＿＿参考答案：17. （不等式选讲）不等式对于任意恒成立的实数a 的集合为 。
2020年河北省石家庄市高考数学一模试卷(文科)
2020年河北省石家庄市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知全集U R =，集合{|210}A x x =->，{|02}B x x =<<，则()(U A B =) A ．∅B ．1{|0}2x x <<C ．1{|0}2x x< D ．{|0}x x <2．（5分）设复数z 满足(1)2i z i -=，则z 在复平面内对应的点在( ) A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限3．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件13010x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪--⎩，则11y z x +=+的取值范围为( )A ．1[2，3]2B ．1[2，2]3C ．(-∞，13][22，)+∞D ．(-∞，12][23，)+∞4．（5分）已知||||2a b ==，且(2)a b -与a 垂直，则a 与b 的夹角是( ) A ．3πB ．6π C ．34π D ．4π 5．（5分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，4123()S a a =+，则公比q 的值为( )A ．2BCD6．（5分）已知13tan 4((,))tan 2ααππα+=∈，则sin cos (αα+=) AB ．CD ． 7．（5分）某校早读从7点30分开始，若张认和钱真两位同学均在早晨7点至7点30分之间到校，且二人在该时段的任何时刻到校都是等可能的，则张认比钱真至少早到10分钟的概率为( ) A ．112B ．19C ．16D ．298．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大棱长为( )A ．42B ．43C ．214D ．89．（5分）将函数2()3cos sin cos f x x x x =+的图象横坐标变成原来的2倍，再向左平移(0)t t >个单位，所得函数()g x 关于3x π=对称，则t 的最小值为( )A ．3π B ．6π C ．56πD ．23π 10．（5分）根据下面的流程图，输出的值是( )A ．1261009B ．2521009C ．5044032D ．1008403211．（5分）已知双曲线2222:(0,0)x y C l a b a b -=>>，椭圆222:1(1)y M x n n+=>，若双曲线C 的渐近线与椭圆M 相交的四个交点与椭圆M 的两个焦点形成了一个正六边形，则这个正六边形的面积为( ) A ．3B ．63C 33D ．3912．（5分）已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(2)1f -=，则不等式2()14f x x <的解集是( ) A ．(2,2)-B ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞C ．(2-，0)(0⋃，2)D ．(-∞，0)(0⋃，2)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题纸上.）13．（5分）由小到大排列的一列数：5，8，9，x ，13的平均数和中位数相同，则x 的值为 ． 14．（5分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，11AA =，O 是正方形ABCD 的中心，则直线1OD 与平面11ADD A 所成的角的余弦值是 ．15．（5分）已知数列{}n a 满足11a =，且11009(*)n n a a n n N ++=-∈，该数列的前n 项和为n S ，则2019S = ．16．（5分）已知函数()lnx f x m x=-，若2()()20f k f k --=有两个不同的实数解，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17．（12分）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2cos cos a c bC B-=． （1）求角B 的大小；（2）设3b ABC ∆周长的最大值．18．（12分）某学校门口的小超市纯净水的销售水量y （千瓶）随着月份z 的变化而有所变化，为了预估2019年8月份的销售水量，销售员从2019年1月开始统计，得到了x ，y 的一组统计数据如表：月份x1 2 3 4 5 销售水量y （千瓶）1024323842（1）从函数ˆˆˆybx a =+与ˆˆˆy dlnx c =+中选出你认为更适合刻画x ，y 之间关系的模型，并说明理由；（2）根据你的判断及下面的数据和公式，求出y 关于x 的回归方程，并估计8月份小超市需要准备的水量．（结果精确到0.1)参考公式及数据：线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，122ˆni ii nix ynx y b xnx --=-∑∑，ˆˆay b x =-． 51i i x -∑51ii lnx -∑51i ii x y -∑51()iii lnx y -∑521()ii lnx -∑2ln15 4.8 516 172 6.2 0.719．（12分）如图．在直三棱柱111ABC A B C -，中，AC BC ⊥，12AC BC CC ===，E ，F 分别在1A B ，11B C 上，且满足11111||:||||:||C F C B A E A B =． （1）求证：//EF 平面11ACC A ； （2）求点F 到平面1A BC 的距离．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点3(1,)2在椭圆C 上，点(3,0)A c -满足以2AF 为直径的圆过椭圆的上顶点B ． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 过右焦点2F 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在点(,0)P t 使得PM PN 为定值？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由．21．（12分）设函数21()()4f x ax x blnx a=-+． （1）若1x =是函数()f x 的一个极值点，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，对于任意的(1x ∈，)(e e 为自然对数的底数）都有()0f x <成立，求实数b 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.若多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点．x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的参数方程为22cos (12sin x y ααα=+⎧⎨=-+⎩为参数），直线1的极坐标方程为ρ （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 的交点分别为A ，B ，点(0,1)P ，求11||||PA PB +的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知两个正数a ，b 满足22a b +=． （1）求22a b +的最小值；（2）若不等式|24||1|1342x x a b ab -++++-对任意的x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围．2020年河北省石家庄市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知全集U R =，集合{|210}A x x =->，{|02}B x x =<<，则()(U A B =) A ．∅B ．1{|0}2x x <<C ．1{|0}2x x< D ．{|0}x x <【解答】解：全集U R =，集合1{|210}{|}2A x x x x =->=>，1{|}2U C A x x∴=， {|02}B x x =<<， 1(){|0}2U A B x x∴=<． 故选：C ．2．（5分）设复数z 满足(1)2i z i -=，则z 在复平面内对应的点在( ) A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限【解答】解：(1)2i z i -=， (1)(1)2(1)i i z i i ∴+-=+，化为1z i =-则z 在复平面内对应的点(1,1)-在第二象限． 故选：C ．3．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件13010x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪--⎩，则11y z x +=+的取值范围为( )A ．1[2，3]2B ．1[2，2]3C ．(-∞，13][22，)+∞D ．(-∞，12][23，)+∞【解答】解：作出的可行域为三角形（包括边界），11y z x +=+可看作点(,)x y 和(1,1)P --之间的斜率， 由可行域可知(1,0)B ，(1,2)C ， 且PB PC K z K ； 则1322z， 故选：A ．4．（5分）已知||||2a b ==，且(2)a b -与a 垂直，则a 与b 的夹角是( ) A ．3πB ．6π C ．34π D ．4π 【解答】解：||||2a b ==，(2)a b a -⊥，∴2(2)2220a b a a a b a b -=-=-=， ∴1a b =， ∴1cos ,2||||a b a b a b <>==，且0,a b π<>， ∴a 与b 的夹角是3π． 故选：A ．5．（5分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，4123()S a a =+，则公比q 的值为( ) A ．2B 3C 5D 2【解答】解：4123()S a a =+，1q ≠．∴411(1)3(1)1a q a q q -=+-，化为：22q =，解得q =． 故选：D ．6．（5分）已知13tan 4((,))tan 2ααππα+=∈，则sin cos (αα+= ) AB． CD． 【解答】解：1tan 4tan αα+=，2tan 4tan 10αα∴-+=，解得tan 2α=， 又3(,)2αππ∈，tan 2α∴=sin 0α<，cos 0α<，222sin cos tan 1sin cos 14sin cos tan αααααααα∴===++， ∴213(sin cos )1242αα+=+⨯=， sin cos αα∴+=， 故选：B ．7．（5分）某校早读从7点30分开始，若张认和钱真两位同学均在早晨7点至7点30分之间到校，且二人在该时段的任何时刻到校都是等可能的，则张认比钱真至少早到10分钟的概率为( ) A ．112B ．19C ．16D ．29【解答】解：如图所示，设张认和钱真两位同学到校的时间分别为y ，x 时，且y ，[7x ∈，7.5]时，16y x -． 43(7,)6A ，43(7B ，15)2． 则张认比钱真至少早到10分钟的概率111223311922⨯⨯==⨯． 故选：D ．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大棱长为( )A ．42B ．43C ．214D ．8【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：P ABCD -是长方体的一部分， 最长棱长为：22242656214PB =++==． 故选：C ．9．（5分）将函数2()3sin cos f x x x x =+的图象横坐标变成原来的2倍，再向左平移(0)t t >个单位，所得函数()g x 关于3x π=对称，则t 的最小值为( )A ．3π B ．6π C ．56πD ．23π 【解答】解：21cos213133()3cos sin cos 3sin 2sin 2cos2sin(2)2223x f x x x x x x x x π+=+=⨯+=++=++，将函数()f x 的图象横坐标变成原来的2倍，得到3sin()3y x π=++，再向左平移(0)t t >个单位，所得函数()g x ，则3()sin()3g x x t π=+++，若关于3x π=对称，则332t k ππππ++=+，得6t k ππ=-，0t >，∴当1k =时，t 取得最小值为566πππ-=， 故选：C ．10．（5分）根据下面的流程图，输出的值是( )A ．1261009B ．2521009C ．5044032D ．10084032【解答】解：模拟程序的运行，可得 0S =，2n =，1i =不满足条件1008i >，执行循环体，124S =⨯，4n =，2i = 不满足条件1008i >，执行循环体，112446S =+⨯⨯，6n =，3i = 不满足条件1008i >，执行循环体，111244668S =++⨯⨯⨯，8n =，4i = ⋯观察规律可知，2016n =，1008i =时， 不满足条件1008i >，执行循环体，111124466820162018S =+++⋯⨯⨯⨯⨯，2018n =，1009i = 此时满足条件1008i >，退出循环，输出S 的值， 得1111111111111111252()()244668201620182244668201620182220181009S =+++⋯=-+-+-+⋯+-=-=⨯⨯⨯⨯．故选：B ．11．（5分）已知双曲线2222:(0,0)x y C l a b a b -=>>，椭圆222:1(1)y M x n n+=>，若双曲线C 的渐近线与椭圆M 相交的四个交点与椭圆M 的两个焦点形成了一个正六边形，则这个正六边形的面积为( ) A ．3B ．63C ．33D ．639-【解答】解：由题意可得双曲线的渐近线方程为：by x a =±，与椭圆2221y x n +=，联立可得222222a n x a n b =+所以222222b n y a n b =+， 由得到的正六边形可得3b a =，所以22222222222()431a b n n OA x y a n b n +=+==++， 2211OF n =-，所以221OA OF =，即2224113n n n =-+，解得：22133n =+，即2231n -=， 所以正六边形的面积为2333236(1)323n -==， 故选：A ．12．（5分）已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(2)1f -=，则不等式2()14f x x <的解集是( ) A ．(2,2)-B ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞C ．(2-，0)(0⋃，2)D ．(-∞，0)(0⋃，2)【解答】解：令2()()f x g x x=，则243()2()()2()()x f x xf x xf x f x g x x x '-'-'==，因为()2()0xf x f x '->，所以，当0x >时，()0g x '>，即()g x 在区间(0,)+∞单调递增；又()f x 是R 上的偶函数， 所以2()()f x g x x =是(-∞，0)(0⋃，)+∞上的偶函数， 又f （2）(2)1f =-=； 故g （2）2(2)124f ==， 于是，不等式2()14f x x <化为()g x g <（2）， 故||2x <，解得22x -<<，又0x ≠， 故选：C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题纸上.）13．（5分）由小到大排列的一列数：5，8，9，x ，13的平均数和中位数相同，则x 的值为 10 ．【解答】解：由题意知，数据5，8，9，x ，13的中位数是9， 平均数是1(58913)95x ⨯++++=，解得10x =． 故答案为：10．14．（5分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，11AA =，O 是正方形ABCD 的中心，则直线1OD 与平面11ADD A 所成的角的余弦值是6．【解答】解：取AD 中点M ，连接OM ，1D M ，因为1111ABCD A B C D -为长方体，O 是正方形ABCD 的中心，M 为AD 中点， 所以显然1OD M ∠为所求直线1OD 与平面11ADD A 所成的角， 且1111,112,1232OM AB MD OD ==+=+∴11126cos 3MD OD M OD ∠===，即直线1OD 与平面11ADD A 所成的角的余弦值是6． 故答案为：6．15．（5分）已知数列{}n a 满足11a =，且11009(*)n n a a n n N ++=-∈，该数列的前n 项和为n S ，则2019S = 1010 ． 【解答】解：由题意，可知20191234520182019S a a a a a a a =+++++⋯++ 1234520182019()()()a a a a a a a =+++++⋯++1(21009)(41009)(20181009)=+-+-+⋯+- 1(242018)10091009=+++⋯+-⨯ 1009(22018)1100910092⨯+=+-⨯1010=．故答案为：1010． 16．（5分）已知函数()lnx f x m x=-，若2()()20f k f k --=有两个不同的实数解，则实数m 的取值范围是 11{2}(1,1)e e-+ ．【解答】解：2()()20f k f k --=可化为[()2][()1]0f k f k -+=，解得()2f k =或()1f k =-， 即有2lnk m k =+或1lnk m k=-，则方程2()()20f k f k --=有两个不同的实数解，等价于： ①2lnk m k =+有2解，1lnk m k =-无解；②2lnk m k =+有1解，1lnk m k=-有1解；③2lnk m k =+无解，1lnk m k=-有2解； 令函数()lnx g x x =，(0)x >，21()0lnxg x x -'==时，x e =，即有()g x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，()max g x g =（e ）1e=，作出函数()g x 的图象如图：则①2lnk m k =+有2解，1lnk m k =-无解，此时10211m em e ⎧<+<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，此时无解，舍去； ②2lnk m k =+有1解，1lnk m k =-有1解，此时因为21m m +>-，则需1210m e m ⎧+=⎪⎨⎪-<⎩，解得12m e=-；③2lnk m k =+无解，1lnk m k =-有2解，此时12101m em e ⎧+>⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得111m e <<+， 综上，11{2}(1,1)m e e ∈-+，故答案为：11{2}(1,1)e e-+．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17．（12分）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2cos cos a c bC B-=． （1）求角B 的大小；（2）设3b ABC ∆周长的最大值． 【解答】解：（1）2cos cos a c bC B-=． 由正弦定理，边化角得：2sin sin sin cos cos A C BC B-=，即2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=，2sin cos sin()A B B C ∴=+，又A B C π++=，sin()sin B C A ∴+=，2sin cos sin A B A ∴=，又(0,)A π∈，sin 0A ≠，1cos 2B ∴=，又(0,)B π∈， 3B π∴=；（2）3b =，3B π=，2221cos 22a cb B ac +-∴==，223a c ac ∴+-=，2()33a c ac ∴+=+，0a >，0c >，2()4a c ac+∴， ∴223()()3334a c a c ac ++=++，2()12a c ∴+，又b =，∴23a c<+，ABC ∴∆周长的最大值为=18．（12分）某学校门口的小超市纯净水的销售水量y （千瓶）随着月份z 的变化而有所变化，为了预估2019年8月份的销售水量，销售员从2019年1月开始统计，得到了x ，y 的一组统计数据如表：（1）从函数ˆˆˆybx a =+与ˆˆˆy dlnx c =+中选出你认为更适合刻画x ，y 之间关系的模型，并说明理由；（2）根据你的判断及下面的数据和公式，求出y 关于x 的回归方程，并估计8月份小超市需要准备的水量．（结果精确到0.1)参考公式及数据：线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆni ii nii x ynx y b xnx ---=-∑∑，ˆˆay b x =-．51i i x -∑51ii lnx -∑51i ii x y -∑51()iii lnx y -∑521()ii lnx -∑2ln15 4.8 516 172 6.2 0.7【解答】解：（1）根据统计表中数据知，ˆˆˆydlnx c =+更适合刻画x ，y 之间的关系， 理由如下：x 值每增加1，函数值的增加量分别为14，8，6，4， 增加得越来越缓慢，适合对数型函数的增长规律， 与直线型函数的均匀增长存在较大差异， 故ˆˆˆydlnx c =+更适合刻画x ，y 之间的关系； （Ⅱ）令i i z lnx =，计算知123451146()29.255y y y y y y =++++==，∴51152221517250.9629.2ˆ206.250.965i i ii z yzydzz ==--⨯⨯=≈=-⨯-∑∑，ˆˆ29.2200.9610cy dz =-=-⨯=， ∴所求的回归方程为ˆ2010ylnx =+． 当8x =时，销售额为ˆ2081052y ln =+=（万元）．19．（12分）如图．在直三棱柱111ABC A B C -，中，AC BC ⊥，12AC BC CC ===，E ，F 分别在1A B ，11B C 上，且满足11111||:||||:||C F C B A E A B =． （1）求证：//EF 平面11ACC A ； （2）求点F 到平面1A BC 的距离．【解答】解：（1）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC CC ===，E ，F 分别在1A B ，11B C 上，且满足11111||:||||:||C F C B A E A B =．过点F 作1//FG CC ，交BC 于G ，连结GE ，则11111C F A FCG CB C BA B==， 1//BG AC ∴， BGFG G =，11A CCC C =，∴平面//EFG 平面11A C C ，EF ⊂平面EFG ，//EF ∴平面11ACC A ．（2）解：在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥， 1BC AA ∴⊥，又1ACAA A =，BC ∴⊥平面1ACA ，1BC AC ∴⊥， ∴11114422222A BCSAC BC =⨯⨯=⨯+⨯=， 11122222BCF S BC CC ∆=⨯⨯=⨯⨯=，设点F 到平面1A BC 的距离为h ， 11F A BC A BCF V V --=，∴11133A BCBCF S h S AC ∆=，∴1222233h ⨯=⨯⨯，解得2h =．∴点F 到平面1A BC 的距离为2．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点3(1,)2在椭圆C 上，点(3,0)A c -满足以2AF 为直径的圆过椭圆的上顶点B ． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 过右焦点2F 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在点(,0)P t 使得PM PN 为定值？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由．【解答】解：（1）由题意可得上顶点(0,)B b ，2AB BF ⊥，所以：221914a b +=，20AB BF =，即(3c ，)(b c ，)0b -=即223b c =，222a b c =+， 解得：24a =，23b =，所以椭圆的方程为：22143x y +=；（2）由（1）可得右焦点2F 的坐标(1,0)，假设存在(,0)P t)i 当直线MN 的斜率不为0时，设直线MN 的方程为：1x my =+，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 联立直线与椭圆的方程22134120x my x y =+⎧⎨+-=⎩，整理可得：22(43)690m y my ++-=，122643m y y m -∴+=+，122943y y m -=+，121228()243x x m y y m ∴+=++=+，222121212229412()14343m m x x m y y m y y m m--=+++=++， 因为1(PM PN x t=-，12)(y x t-，22222222221212122222241289(43)12853(4)(485))()4343434343m t t m m t m t t t y x x t x x t y y t m m m m m -+----+--=-+++=-+-==+++++，要使PM PN 为定值，则22448514t t t ---=，解得：118t =，这时13564PM PN =为定值， )ii 当直线MN 的斜率为0时，则(2,0)M -，(2,0)N ，P 为11(8，0)，则11(28PM PN =--，110)(28-，2111350)()4864=-=， 综上所述：所以存在11(8P ，0)，使PM PN 为定值．21．（12分）设函数21()()4f x ax x blnx a=-+． （1）若1x =是函数()f x 的一个极值点，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，对于任意的(1x ∈，)(e e 为自然对数的底数）都有()0f x <成立，求实数b 的取值范围．【解答】解：（1）定义域(0,)+∞，()21bf x ax x'=-+，由题意 可得，f '（1）210a b =-+=即12b a =-，所以2122(12)[2(12)](1)()21a ax x a ax a x f x ax x x x--+----'=-+==， 由函数存在极值可知，14a ≠，1()2i a =时，由()0f x '>可得，1x >，函数在(1,)+∞单调递增，由()0f x '<可得，01x <<，函数在(0,1)上单调递减 1()2ii a >时，由()0f x '<可得，01x <<，函数在(0,1)上单调递减，由()0f x '>可得，1x >在(1,)+∞单调递增； ()iii 当1142a <<时，由()0f x '>可得，1x >或1202a x a -<<，由()0f x '<可得，1212ax a-<<，故函数的单调递增区间(1,)+∞，( 0，122aa- )，单调递减区间12(,1)2a a -；（2）1a =时，2()0f x x x blnx =-+<可得，2x x b lnx -<，令2()x x g x lnx-=，1x e <<，则()g x '，令()(12)1h x x lnx x =--+，1x e <<，则()21h x lnx x '=-+-在(1,)e 上单调递减， 所以()h x h '<'（1）0=，所以()h x 在(1,)e 上单调递减，()h x h <（1）0=，即()0g x '<， 所以()g x 在(1,)e 上单调递减，()g x g >（e ）2e e =-， 故2b e e -．故b 的范围(-∞，2]e e -．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.若多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点．x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的参数方程为22cos (12sin x y ααα=+⎧⎨=-+⎩为参数），直线1的极坐标方程为ρ （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 的交点分别为A ，B ，点(0,1)P ，求11||||PA PB +的值． 【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为22cos (12sin x y ααα=+⎧⎨=-+⎩为参数），转换为直角坐标方程为22(2)(1)4x y -++=． 直线1的极坐标方程为ρ0x +-=．（2）把0x +-=转换为参数方程为(112x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数），代入22(2)(1)4x y -++=，得到：22)40t t -+=，所以122t t +=-，124t t =．所以1212||11||||||t t PA PB t t ++== [选修4-5：不等式选讲]23．已知两个正数a ，b 满足22a b +=． （1）求22a b +的最小值；（2）若不等式|24||1|1342x x a b ab -++++-对任意的x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）两个正数a ，b 满足22a b +=，可得22a b =-， 22222244(22)5845()55a b b b b b b +=-+=-+=-+，由0a >，0b >，可得220b ->，即有01b <<， 则当45b =时，22a b +的最小值为45； （2）不等式|24||1|1342x x a b ab -++++-对任意的x R ∈恒成立，|24||1|1|2|(|2||1|)10|21|14x x x x x x x -+++=-+-++++---+=，当且仅当2x =时取得等号，则|24||1|1x x -+++的最小值为4， 可得3424a b ab +-，2020年河北省石家庄市高考数学一模试卷(文科)第21页（共21页）又220b a =->，即02a <<，① 再由34232(2)(2)4a b ab a a a a +-=+---，化为20a a -，即01a ，② 由①②可得01a <．。
2019-2020学年河北省石家庄市高考数学一模文科试卷(A)(有答案)
河北省石家庄市高考数学一模试卷（文科）（A卷）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|﹣2，﹣1，2，3}，B={x|﹣1＜x＜3}，则A∩B=（）A．（﹣2，3）B．（﹣1，3）C．{2} D．{﹣1，2，3}2．若复数（i是虚数单位），则=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．已知双曲线的渐近线为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．4．设变量，y满足约束条件，则目标函数z=3x+4y的最小值为（）A．1 B．3 C．D．﹣195．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则的值为（）A．B．C．D．﹣1x，若a=f（﹣3），，6．已知函数y=f（x）的图象关于直线x=0对称，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2c=f（2），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b7．程序框图如图，当输入x为2016时，输出的y的值为（）A．B．1 C．2 D．48．为比较甲、乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的5天中11时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：①甲地该月11时的平均气温低于乙地该月11时的平均气温②甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温③甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差④甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④9．如图所示的数阵中，用A（m，n）表示第m行的第n个数，则依此规律A（8，2）为（）A．B．C．D．10．某几何体的三视图如图所示，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的体积是（）A ．4B ．C ．D ．1211．A ，B ，C 是圆0上不同的三点，线段C0与线段AB 交于点D ，若=λ+μ（λ∈R ，μ∈R ），则λ+μ的取值范围是（ ） A ．（1，+∞）B ．（0，1）C ．（1，] D ．（﹣1，0）12．若函数f （x ）=x 3+ax 2+bx （a ，b ∈R ）的图象与x 轴相切于一点A （m ，0）（m ≠0），且f （x ）的极大值为，则m 的值为（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知命题p ：“”，则￢p 为 ．14．已知椭圆的左、右焦点为F 1、F 2，点F 1关于直线y=﹣x 的对称点P 仍在椭圆上，则△PF 1F 2的周长为 ． 15．已知△ABC 中，AC=4，BC=2，∠BAC=60°，AD ⊥BC 于D ，则的值为 ．16．在三棱锥P ﹣ABC 中，PA=BC=4，PB=AC=5，，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知等差数列{a n }中，2a 2+a 3+a 5=20，且前10项和S 10=100． （I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）若，求数列{b n }的前n 项和．18．在平面四边形ACBD （图①）中，△ABC 与△ABD 均为直角三角形且有公共斜边AB ，设AB=2，∠BAD=30°，∠BAC=45°，将△ABC 沿AB 折起，构成如图②所示的三棱锥C′﹣ABC ． （Ⅰ）当时，求证：平面C′AB⊥平面DAB ；（Ⅱ）当AC′⊥BD 时，求三棱锥C′﹣ABD 的高．19．某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员在篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：（Ⅰ）依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；（Ⅱ）若从该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离为2到5米的这三组中，用分层抽样的方法抽取7次成绩（单位：米，运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离越远越好），并从抽到的这7次成绩中随机抽取2次．规定：这2次成绩均来自到篮筐中心的水平距离为4到5米的这一组，记1分，否则记0分．求该运动员得1分的概率．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点M（m，2），其焦点为F，且|MF|=2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C和圆F：（x﹣1）2+y2=1相切，切点分别为A，B，求证：A、B、F三点共线．21．已知函数f（x）=e x﹣3x+3a（e为自然对数的底数，a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当，且x＞0时，．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，过点P分别做圆O的切线PA、PB和割线PCD，弦BE交CD于F，满足P、B、F、A四点共圆．（Ⅰ）证明：AE∥CD；（Ⅱ）若圆O的半径为5，且PC=CF=FD=3，求四边形PBFA的外接圆的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，已知曲线C 1：ρ=2cosθ和曲线C 2：ρcosθ=3，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 1和曲线C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P 是曲线C 1上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线C 2于点Q ，求线段PQ 长度的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f （x ）=|x|+|x ﹣1|．（Ⅰ）若f （x ）≥|m ﹣1|恒成立，求实数m 的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a ，b 满足a 2+b 2=M ，证明：a+b ≥2ab ．河北省石家庄市高考数学一模试卷（文科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|﹣2，﹣1，2，3}，B={x|﹣1＜x＜3}，则A∩B=（）A．（﹣2，3）B．（﹣1，3）C．{2} D．{﹣1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】直接找出两集合的交集即可．【解答】解：集合A={x|﹣2，﹣1，2，3}，B={x|﹣1＜x＜3}，则A∩B={2}，故选：C．2．若复数（i是虚数单位），则=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵=，∴．故选：B．3．已知双曲线的渐近线为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，由题意可得a=4，b=3，求得c，运用离心率公式即可得到所求值．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，由渐近线为，可得a=4，又b=3，可得c==5，检验离心率e==．故选：C．4．设变量，y满足约束条件，则目标函数z=3x+4y的最小值为（）A．1 B．3 C．D．﹣19【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣1，），化目标函数z=3x+4y为y=，由图可知，当直线y=过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3，故选：B．5．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则的值为（）A．B．C．D．﹣1【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据顶点的纵坐标求A，根据周期求出ω，由五点法作图的顺序求出φ的值，从而求得f（x）的解析式，进而求得f（）的值【解答】解：由图象可得A=， =﹣，解得ω=2．再由五点法作图可得2×+φ=π，解得：φ=，故f（x）=sin（2x+），故f（）=sin（2×+）=﹣sin=﹣=﹣1．故选：D．6．已知函数y=f（x）的图象关于直线x=0对称，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=logx，若a=f（﹣3），，2c=f（2），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b【考点】函数的图象．【分析】根据函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．【解答】解：函数y=f（x）的图象关于直线x=0对称，∴f（﹣3）=f（3），x，在x（0，+∞）为增函数，∵f（x）=log2∴f（3）＞f（2）＞f（），∴a＞c＞b，故选：D．7．程序框图如图，当输入x为2016时，输出的y的值为（）A．B．1 C．2 D．4【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第1次执行循环体后，x=2013，满足进行循环的条件，第2次执行循环体后，x=2010，满足进行循环的条件，第3次执行循环体后，x=2007，满足进行循环的条件，…第n次执行循环体后，x=2016﹣3n，满足进行循环的条件，…第672次执行循环体后，x=0，满足进行循环的条件，第673次执行循环体后，x=﹣3，不满足进行循环的条件，故y=，故选：A8．为比较甲、乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的5天中11时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：①甲地该月11时的平均气温低于乙地该月11时的平均气温②甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温③甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差④甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【考点】茎叶图．【分析】根据茎叶图中的数据，分别求出甲、乙两地某月11时气温这两组数据的平均数、方差即可．【解答】解：由茎叶图中的数据知，乙两地某月11时的气温分别为：甲：28，29，30，31，32乙：26，28，29，31，31；可得：甲地该月11时的平均气温为=（28+29+30+31+32）=30，乙地该月11时的平均气温为=（26+28+29+31+31）=29，故甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温；①错误，②正确；又甲地该月11时温度的方差为= [（28﹣30）2+（29﹣30）2+（30﹣30）2+（31﹣30）2+（32﹣30）2]=2乙地该月14时温度的方差为= [（26﹣29）2+（28﹣29）2+（29﹣29）2+（31﹣29）2+（31﹣29）2]=3.6，故＜，所以甲地该月11时的气温标准差小于乙地该月11时的气温标准差，③正确，④错误．综上，正确的命题是②③．故选：C．9．如图所示的数阵中，用A（m，n）表示第m行的第n个数，则依此规律A（8，2）为（）A．B．C．D．【考点】数列递推式．【分析】由已知中的数阵，可得第n行的第一个数和最后一个数均为：，其它数字等于上一行该数字“肩膀“上两个数字的和，结合裂项相消法，可得答案．【解答】解：由已知中：归纳可得第n行的第一个数和最后一个数均为：，其它数字等于上一行该数字“肩膀“上两个数字的和，故A（8，2）=A（7，1）+A（7，2）=A（7，1）+A（6，1）+A（6，2）=A（7，1）+A（6，1）+A（5，1）+A （5，2）=A（7，1）+A（6，1）+A（5，1）+A（4，1）+A（4，2）=A（7，1）+A（6，1）+A（5，1）+A（4，1）+A（3，1）+A（3，2）=A（7，1）+A（6，1）+A（5，1）+A（4，1）+A（3，1）+A（2，1）+A（2，2）=++++++=2（）+==，故选：D．10．某几何体的三视图如图所示，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的体积是（）A．4 B．C．D．12【考点】由三视图求面积、体积．【分析】画出图形，说明几何体的形状，然后利用三视图的数据求解即可．【解答】解：由三视图可知几何体的图形如图．是三棱柱截去两个四棱锥的几何体，原三棱柱的高为：4，底面是等腰直角三角形，直角边长为2．截去的四棱锥如图：几何体的体积为：﹣=．故选：B．11．A，B，C是圆0上不同的三点，线段C0与线段AB交于点D，若=λ+μ（λ∈R，μ∈R），则λ+μ的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．（1，] D．（﹣1，0）【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】可作图：取∠AOB=120°，∠AOC=∠BOC=60°，从而便得到四边形AOBC为菱形，这样便有，从而根据平面向量基本定理即可得到λ+μ=2，这样便可排除选项B，C，D，从而便可得出正确选项．【解答】解：∵A，B，C是圆0上不同的三点，线段C0与线段AB交于点D；∴如图所示，不妨取∠AOB=120°，∠AOC=∠BOC=60°，则四边形AOBC为菱形；∴；又；∴λ=μ=1，λ+μ=2，∴可排除B，C，D选项．故选：A．12．若函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象与x轴相切于一点A（m，0）（m≠0），且f（x）的极大值为，则m的值为（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】联立方程组，求出a，b，求出f（x）的导数，通过讨论m的范围，得到函数f（x）的单调区间，求出f（x）的极大值，得到关于m的方程，解出即可．【解答】解：∵f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R），∴f′（x）=3x2+2ax+b，∵f（x）的图象与x轴相切于一点A（m，0）（m≠0），∴，解得，∴f′（x）=（3x﹣m）（x﹣m），m＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞m或x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜m，∴f（x）在（﹣∞，）递增，在（，m）递减，在（m，+∞）递增，=f（）=，解得：m=，∴f（x）极大值m＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＜m或x＞，令f′（x ）＜0，解得：＞x ＞m ，∴f （x ）在（﹣∞，m ）递增，在（m ，）递减，在（，+∞）递增， ∴f （x ）极大值=f （m ）=，而f （m ）=0，不成立， 综上，m=， 故选：D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知命题p ：“”，则￢p 为 ∀x∈R，|x|+x 2≥0 ．【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p ：“”，则￢p 为：∀x ∈R ，|x|+x 2≥0．故答案为：∀x ∈R ，|x|+x 2≥0．14．已知椭圆的左、右焦点为F 1、F 2，点F 1关于直线y=﹣x 的对称点P 仍在椭圆上，则△PF 1F 2的周长为 2+2 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设出椭圆的左焦点，关于直线y=﹣x 的对称点P （m ，n ），由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及中点坐标公式解得m=0，n=c ，由椭圆方程可得b=c=1，进而得到a 的值，再由椭圆的定义可得周长为2a+2c ．【解答】解：设椭圆的左焦点为（﹣c ，0）， 点F 1关于直线y=﹣x 的对称点P （m ，n ）， 由=1， =﹣，解得m=0，n=c ，即P （0，c ），由题意方程可得b=c=1，a==，由题意的定义可得△PF 1F 2的周长为2a+2c=2+2．故答案为：2+2．15．已知△ABC 中，AC=4，BC=2，∠BAC=60°，AD ⊥BC 于D ，则的值为 6 ．【分析】设AB=x ，由余弦定理可得： =x 2+42﹣2x ×4ccos60°，解得x=6．设BD=m ，CD=n ．由于AD ⊥BC 于D ，可得=，m+n=2，解出即可得出．【解答】解：设AB=x ， 由余弦定理可得： =x 2+42﹣2x ×4ccos60°， 化为x 2﹣4x ﹣12=0， 解得x=6． 设BD=m ，CD=n ． ∵AD ⊥BC 于D ， ∴=，m+n=2，解得m=，n=，∴==6．故答案为：6．16．在三棱锥P ﹣ABC 中，PA=BC=4，PB=AC=5，，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为 26π ．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，则长方体的对角线长等于三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径，即可求出三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积． 【解答】解：∵三棱锥P ﹣ABC 中，PA=BC=4，PB=AC=5，，∴构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，则长方体的对角线长等于三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径．设长方体的棱长分别为x ，y ，z ，则x 2+y 2=16，y 2+z 2=25，x 2+z 2=11， ∴x 2+y 2+z 2=26∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径为，∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为4=26π．故答案为：26π．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知等差数列{a n }中，2a 2+a 3+a 5=20，且前10项和S 10=100． （I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）若，求数列{b n }的前n 项和．【分析】（I ）利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出． （II ）==，利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（I ）设等差数列{a n }的公差为d ，∵2a 2+a 3+a 5=20，且前10项和S 10=100， ∴4a 1+8d=20， d=100，联立解得a 1=1，d=2． ∴a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1． （II ）==，∴数列{b n }的前n 项和=+…+==．18．在平面四边形ACBD （图①）中，△ABC 与△ABD 均为直角三角形且有公共斜边AB ，设AB=2，∠BAD=30°，∠BAC=45°，将△ABC 沿AB 折起，构成如图②所示的三棱锥C′﹣ABC ． （Ⅰ）当时，求证：平面C′AB⊥平面DAB ；（Ⅱ）当AC′⊥BD 时，求三棱锥C′﹣ABD 的高．【考点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【分析】（I ）取AB 的中点O ，连C′O，DO ，利用直角三角形的性质解出OC′，DO ，利用勾股定理的逆定理得出OC′⊥OD ，由等腰三角形三线合一得OC′⊥AB ，故OC′⊥平面ABD ，于是平面C′AB⊥平面DAB ； （II ）由AC′⊥BC′，AC′⊥BD 得出AC′⊥平面BC′D，故AC′⊥C′D，利用勾股定理解出C′D，由勾股定理的逆定理得出BD ⊥C′D，使用等积法求出棱锥的高． 【解答】解：（I ）取AB 的中点O ，连C'O ，DO ，∵△ABC′，△ABD 是直角三角形，∠AC′B=∠ADB=90°，AB=2， ∴C′O=DO==1，又C′D=，∴C′O2+DO2=C′D2，即C′O⊥OD，∵∠BAC′=45°，∴AC′=BC′，∵O是AB中点，∴OC′⊥AB，又∵AB∩OD=O，AB⊂平面ABD，OD⊂平面ABD，∴C′O⊥平面ABD，∵OC′⊂平面ABC′，∴平面C′AB⊥平面DAB．（II）∵AC′⊥BD，AC′⊥BC′，BD⊂平面BC′D，BC′⊂平面BC′D，∴AC′⊥平面BDC′，又C′D⊂平面BDC'，∴AC′⊥C′D，∴△AC′D为直角三角形．∵AB=2，∠BAC′=45°，∠BAD=30°，∠AC′B=∠ADB=90°，∴AC′=BC′=，BD=1，AD=，∴C′D==1，∴C′D2+BD2=BC′2，∴VA﹣BC′D =S△BC′D•AC′==，设三棱锥C'﹣ABD的高为h，则VC′﹣ABD===，解得．19．某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员在篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：（Ⅰ）依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；（Ⅱ）若从该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离为2到5米的这三组中，用分层抽样的方法抽取7次成绩（单位：米，运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离越远越好），并从抽到的这7次成绩中随机抽取2次．规定：这2次成绩均来自到篮筐中心的水平距离为4到5米的这一组，记1分，否则记0分．求该运动员得1分的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）由中位数两边矩形的面积相等列式求得中位数的估计值；（Ⅱ）由题意知，抽到的7次成绩中，有1次来自到篮筐的水平距离为2到3米的这一组，记作A1；有2次来自到篮筐的水平距离为3到4米的这一组，记作B1，B2；有4次来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组，记作C1，C2，C3，C4，然后由古典概型概率计算公式得答案．【解答】解：（ I）设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为x，∵0.05×2+0.10+0.20＜0.5，且（0.40+0.20）×1=0.6＞0.5，∴x∈[4，5]，由0.40×（5﹣x）+0.20×1=0.5，x=4.25，∴该运动员到篮筐的水平距离的中位数是4.25（米）．（II）由题意知，抽到的7次成绩中，有1次来自到篮筐的水平距离为2到3米的这一组，记作A1；有2次来自到篮筐的水平距离为3到4米的这一组，记作B1，B2；有4次来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组，记作C1，C2，C3，C4．从7次成绩中随机抽取2次的所有可能抽法如下：（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A1，C2），（A1，C3），（A1，C4），（B1，B2），（B1，C1），（B1，C2），（B1，C3），（B1，C4），（B2，C1），（B2，C2），（B2，C3），（B2，C4），（C1，C2），（C1，C3），（C1，C4），（C2，C3），（C2，C4），（C3，C4）共21个基本事件．其中两次成绩均来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组的基本事件有6个．所以该运动员得的概率P=．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点M（m，2），其焦点为F，且|MF|=2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C和圆F：（x﹣1）2+y2=1相切，切点分别为A，B，求证：A、B、F三点共线．【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）利用抛物线的定义，结合抛物线C：y2=2px（p＞0）过点M（m，2），且|MF|=2，求出p，即可求抛物线C的方程；（Ⅱ）设EA：y=kx+t联立，消去y，可得k2x2+（2kt﹣4）x+t2=0，利用直线EA与抛物线C相切，得到kt=1代入，求出A的坐标；由几何性质可以判断点O，B关于直线EF：y=﹣tx+t对称，求出B的坐标，证明kAF =kBF，即A，B，F三点共线；当t=±1时，A（1，±2），B（1，±1），此时A，B，F共线．【解答】（I）解：抛物线C的准线方程为：，∴，又抛物线C：y2=2px（p＞0）过点M（m，2），∴4=2pm，即…∴p2﹣4p+4=0，∴p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x．…（II）证明；设E（0，t）（t≠0），已知切线不为y轴，设EA：y=kx+t联立，消去y，可得k2x2+（2kt﹣4）x+t2=0∵直线EA与抛物线C相切，∴△=（2kt﹣4）2﹣4k2t2=0，即kt=1．代入，∴x=t2，即A（t2，2t），…设切点B（x0，y），则由几何性质可以判断点O，B关于直线EF：y=﹣tx+t对称，则，解得：，即…直线AF的斜率为，直线BF的斜率为，∴kAF =kBF，即A，B，F三点共线．…当t=±1时，A（1，±2），B（1，±1），此时A，B，F共线．综上：A，B，F三点共线．…21．已知函数f（x）=e x﹣3x+3a（e为自然对数的底数，a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当，且x＞0时，．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；选择结构．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，列出变化表，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）问题等价于，设，根据函数的单调性证明即可．【解答】（ I）解由f（x）=e x﹣3x+3a，x∈R知f′（x）=e x﹣3，x∈R．…令f′（x）=0，得x=ln 3，…于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表．x （﹣∞，ln 3）ln 3 （ln 3，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）↓3（1﹣ln 3+a）↑故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln 3]，单调递增区间是[ln3，+∞），…f（x）在x=ln 3处取得极小值，极小值为f（ln 3）=e ln3﹣3ln 3+3a=3（1﹣ln 3+a）．…（II）证明：待证不等式等价于…设，x∈R，于是g'（x）=e x﹣3x+3a，x∈R．由（ I）及知：g'（x）的最小值为g′（ln 3）=3（1﹣ln 3+a）＞0．…于是对任意x∈R，都有g'（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．于是当时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．…而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．即，故…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，过点P分别做圆O的切线PA、PB和割线PCD，弦BE交CD于F，满足P、B、F、A四点共圆．（Ⅰ）证明：AE∥CD；（Ⅱ）若圆O的半径为5，且PC=CF=FD=3，求四边形PBFA的外接圆的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接AB ，利用P 、B 、F 、A 四点共圆，PA 与圆O 切于点A ，得出两组角相等，即可证明：AE ∥CD ；（Ⅱ）四边形PBFA 的外接圆就是四边形PBOA 的外接圆，OP 是该外接圆的直径，由切割线定理可得PA ，即可求四边形PBFA 的外接圆的半径． 【解答】（ I ）证明：连接AB ．∵P 、B 、F 、A 四点共圆，∴∠PAB=∠PFB ． … 又PA 与圆O 切于点A ，∴∠PAB=∠AEB ，… ∴∠PFB=∠AEB ∴AE ∥CD ．…（ II ）解：因为PA 、PB 是圆O 的切线，所以P 、B 、O 、A 四点共圆， 由△PAB 外接圆的唯一性可得P 、B 、F 、A 、O 共圆，四边形PBFA 的外接圆就是四边形PBOA 的外接圆，∴OP 是该外接圆的直径．… 由切割线定理可得PA 2=PC•PD=3×9=27 … ∴． ∴四边形PBFA 的外接圆的半径为．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，已知曲线C 1：ρ=2cosθ和曲线C 2：ρcosθ=3，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 1和曲线C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P 是曲线C 1上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线C 2于点Q ，求线段PQ 长度的最小值． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）根据极坐标和普通坐标之间的关系进行转化求解即可． （Ⅱ）设出直线PQ 的参数方程，利用参数的几何意义进行求解即可． 【解答】解：（ I ）C 1的直角坐标方程为（x ﹣1）2+y 2=1，…，C的直角坐标方程为x=3；…2（ II）设曲线C与x轴异于原点的交点为A，1∴PQ过点A（2，0），设直线PQ的参数方程为，可得t2+2tcosθ=0，解得，代入C1|=|2cosθ|…可知|AP|=|t2可得2+tcosθ=3，解得，代入C2可知…所以PQ=，当且仅当时取等号，所以线段PQ长度的最小值为．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x|+|x﹣1|．（Ⅰ）若f（x）≥|m﹣1|恒成立，求实数m的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a，b满足a2+b2=M，证明：a+b≥2ab．【考点】函数恒成立问题．【分析】（ I）求出函数的解析式，然后求解函数的最小值，通过|m﹣1|≤1，求解m的范围，得到m的最大值M．（ II）法一：综合法，利用基本不等式证明即可．法二：利用分析法，证明不等式成立的充分条件即可．【解答】解：（ I）由已知可得，所以f（x）=1，…min所以只需|m﹣1|≤1，解得﹣1≤m﹣1≤1，∴0≤m≤2，所以实数m的最大值M=2…（ II）法一：综合法∴ab≤1∴，当且仅当a=b时取等号，①…又∴∴，当且仅当a=b时取等号，②…由①②得，∴，所以a+b≥2ab…法二：分析法因为a＞0，b＞0，所以要证a+b≥2ab，只需证（a+b）2≥4a2b2，即证a2+b2+2ab≥4a2b2，，所以只要证2+2ab≥4a2b2，…即证2（ab）2﹣ab﹣1≤0，即证（2ab+1）（ab﹣1）≤0，因为2ab+1＞0，所以只需证ab≤1，下证ab≤1，因为2=a2+b2≥2ab，所以ab≤1成立，所以a+b≥2ab…。