2019届高考物理复习热点题型专题3.6带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题(2)学案
高考物理知识体系总论：带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题
PART 2
利用知识体系框架来解题
DREAM OF THE FUTURE
经典例题1
(多选)空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图中的正方形为其边界。 一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射。这两种 粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含 不同速率的粒子。不计重力。下列说法正确的是(ꢀꢀ) A．入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同 B．入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同 C．在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同 D．在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大
有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出 磁感应强度的方向，此时必须考虑由磁感应强度方向
多解
不确定而形成的多解。如图所示。
4.运动的往 复性形成多
解
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题
大致框架
1.带电粒子
如图所示，带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场
电性不确定
时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能直接
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题
大致框架
突破一ꢀ 带电粒子在匀强磁场中 运动的临界极值问题
1.分析方法 2.四个结论
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运 动的轨迹与边界相切。 (2)当速率v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电 粒子在有界磁场中运动的时间越长。 (3)当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长，解题 时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草 图，找出圆心，根据几何关系求出半径及圆心角等。 (4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域 圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点 时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。
(完整版)带电粒子在有界磁场中运动的临界问题
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题当某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从一种状态变化为另一种状态时，发生这种质的飞跃的转折状态通常称为临界状态。
粒子进入有边界的磁场，由于边界条件的不同，而出现涉及临界状态的临界问题，如带电粒子恰好不能从某个边界射出磁场，可以根据边界条件确定粒子的轨迹、半径、在磁场中的运动时间等。
如何分析这类相关的问题是本文所讨论的内容。
一、带电粒子在有界磁场中运动的分析方法1．圆心的确定因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1所示。
2．半径的确定和计算利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点：①粒子速度的偏向角φ等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，如图2所示，即φ=α=2θ。
②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。
3．粒子在磁场中运动时间的确定若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，并由表达式，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t与运动轨迹的长短无关。
4．带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析①穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。
a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sinθ=L/R求出；（θ、L和R见图标）b、带电粒子的侧移由R2=L2-（R-y）2解出；（y见所图标）c、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。
②穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。
高中 高考物理专项复习 磁场 有界磁场中的临界极值问题
[解析] (1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，设半径为 R1， 运动速度为 v0。粒子能从左边界射出，临界情况如图甲所示，由几 何条件知 R1＋R1cos 30° ＝d mv2 0 又 qv0B＝ R 1 2（2－ 3）Bqd Bqd 解得 v0＝ ＝ m m（1＋cos 30° ） 所以粒子能从左边界射出时的最大速度为 2（2－ 3）Bqd vm＝v0＝ m
[ 典题 2]
(2016· 长沙质检 ) 如图所
示， 真空室内存在匀强磁场，磁场方向 垂直于纸面向里， 磁感应强度的大小 B ＝ 0.60 T ，磁场内有一块平面感光板 ab，板面与磁场方向平行，在距 ab 玻璃 l＝16 cm 处，有一个点状 的 α 放射源 S，它向各个方向发射 α 粒子，α 粒子的速度都是 v＝ q 3.0×10 m/s，已知 α 粒子的比荷m＝5.0×107 C/kg，现只考虑在图P′直线上， 将半径放缩作轨迹， 从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩法”。
[典题 1]
(2016· 浙江联考)如图甲所示，在空间中存在垂直纸
面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场，其边界 AB、CD 相距为 d， 在左边界的 Q 点处有一质量为 m、 带电量为 q 的负粒子沿与左边界 成 30° 的方向射入磁场，粒子重力不计。求：
考点二
“平移法”解决有界磁场中的临界问题
1．适用条件 (1)速度大小一定，方向不同 带电粒子进入匀强磁场时，它们在 磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若 射入初速度为 v0，则圆周运动半径为 R mv0 ＝ qB 。如图所示。
(2)轨迹圆圆心，共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点 P 为 mv0 圆心、半径 R＝ qB 的圆(这个圆在下面的叙述中称为“轨迹圆 心圆”)上。 2．方法界定 mv0 将一半径为 R＝ qB 的圆沿着“轨迹圆心圆”平移，从而 探索出临界条件，这种方法称为“平移法” 。
高中物理求解带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界与极值问题的方法
高中物理求解带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界与极值问题的方法由于带电粒子往往是在有界磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件：（1）带电体在磁场中，离开一个面的临界状态是对这个面的压力为零；（2）射出或不射出磁场的临界状态是带电体运动的轨迹与磁场边界相切。
然后应用数学知识和相应物理规律分析求解。
1、两种思路一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界条件下的特殊规律和特殊解；二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值。
2、两种方法一是物理方法：（1）利用临界条件求极值；（2）利用问题的边界条件求极值；（3）利用矢量图求极值。
二是数学方法：（1）利用三角函数求极值；（2）利用二次方程的判别式求极值；（3）利用不等式的性质求极值；（4）利用图像法等。
3、从关键词中找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示。
审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律。
例1、如图1所示，一带正电的质子从O点垂直射入，两个板间存在垂直纸面向里的匀强磁场，已知两板之间距离为d，板长为d，O 点是板的正中间，为使粒子能射出两板间，试求磁感应强度B的大小（质子的带电量为e，质量为m）。
图1解析：第一种极端情况从M点射出，此时轨道的圆心为O′点，由平面几何知识可得而带电粒子在磁场中的轨道半径，第二种极端情况是粒子从N点射出，此时粒子正好走了半个圆，其轨道半径为。
综合上述两种情况，得。
例2、如图2所示，一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从矩形区域ad边的中点O处，垂直磁场射入一速度方向与ad边夹角为30°、大小为的带电粒子。
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题突破有界磁场中临界问题的处理方法考向1 “放缩法”解决有界磁场中的临界问题1.适用条件(1)速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化(2)轨迹圆圆心一一共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度V。
越大，运动半径也越大可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线PP,上.2.方法界定以入射点P为定点，圆心位于PP,直线上，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩法”.［典例1］如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd 边的中点.一个带正电的粒子仅在洛伦兹力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t。
刚好从c点射出磁场.现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°的方向，以大小不同的速率射入正方形内，粒子重力不计.那么下列说法中正确的是()A.若该带电粒子从ab边射出，它经历的时间可能为t。
5tB.若该带电粒子从bc边射出，它经历的时间可能为十3C.若该带电粒子从cd边射出，它经历的时间号2tD.若该带电粒子从ad边射出，它经历的时间可能为43［解析］作出从ab边射出的轨迹①、从bc边射出的轨迹②、从cd边射出的轨迹③和从ad边射出的轨迹④.由带正电的粒子从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t o刚好从c点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t o.由图可知，从ab边射出经历的时间一定不大片；从bc边射出经历的时间一定不大于不从cd边射...... . 5t t出经历的时间一定是丁；从ad边射出经历的时间一定不大于可，C正确.3 3［答案］C考向2 “旋转法”解决有界磁场中的临界问题1.适用条件(1)速度大小一定，方向不同带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为一.一一、 ,.一.一 mv __ _____v,则圆周运动半径为区=”0.如图所示.o qB(2)轨迹圆圆心一一共圆mv 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R=京的圆上. qB2.方法界定mv将一半径为R=氤的圆绕着入射点旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转法”.qB［典例2］如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0.60 T.磁场内有一块平面感光板ab,板面与磁场方向平行.在距ab为l = 16 cm处，有一个点状的a粒子放射源S,它向各个方向发射a粒子，a...................... . .. ....... q . .. ...... . . 粒子的速度都是v=3.0X106 m/s.已知a 粒子的比何m=5.0X107 C/kg,现只考虑在纸面内 运动的a 粒子，求ab 板上被a 粒子打中区域的长度.［解题指导］过S 点作ab 的垂线，根据左侧最值相切和右侧最值相交计算即可.［解析］a 粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R 表示轨迹半径， 4 c V 2有 qvB=mR由此得R 瑞代入数值得R=10 cm,可见2R>l>R因朝不同方向发射的a 粒子的圆轨迹都过S,由此可知，某一圆轨迹在下图中N 左侧与 ab 相切，则此切点、就是a 粒子能打中的左侧最远点为确定、点的位置，可作平行于ab 的直线cd, cd 到ab 的距离为R,以S 为圆心，R 为半径，作圆弧交cd 于Q 点，过Q 作ab 的 垂线，它与ab 的交点即为，即：NP=R 2—(1—R) 2 = 8 cm再考虑N 的右侧.任何a 粒子在运动中离S 的距离不可能超过2R,在N 点右侧取一点P 2, 取SP=20 cm,此即右侧能打到的最远点由图中几何关系得NP 2=M (2R) 2 — 12=12 cm所求长度为P 1P 2=NP 1+NP 2代入数值得P 1P 2 = 20 cm.［答案］20 cm考向1带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度的条件 下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解.［典例3］如图所示，宽度为d 的有界匀强磁场，磁感应强度为B, MM,和NN’是磁场左 右的两条边界线.现有一质量为m 、电荷量为q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入.要使粒子 不能从右边界NN,射出，求粒子入射速率的最大值为多少？突破 带电粒子在磁场中运动的多解问题fl 兄 乂尹। x x J V X y K P 2 x b［解题指导］由于粒子电性不确定，所以分成正、负粒子讨论，不从NN,射出的临界条 件是轨迹与NN,相切.［解析］题目中只给出粒子”电荷量为q”，未说明是带哪种电荷，所以分情况讨论. 若q 为正电荷，轨迹是如图所示的上方与NN,相切的（圆弧，则轨道半径R \12 （2+ 2） Bqd ............... 一 一 一一 一 ......3 一 ........... 若q 为负电荷，轨迹是如图所示的下方与NN,相切的工圆弧，则轨道半径又—全解得『=（2-'⑵刎 m…… （2+ 2） Bqd （2— 2） Bqd,［答案］ --- 玄 ---- （q 为正电何）或 -- m ----- （q 为负电何）考向2磁场方向不确定形成多解有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要考 虑磁感应强度方向不确定而形成的多解.［典例4］（多选）一质量为m 、电荷量为q 的负电荷在磁感应强度为B 的匀强磁场中绕固mvBq又d=R 解得v=R,mv' Bq M N।■乂 ।1 ।*［典例5］（多选）长为l 的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强 度为B,板间距离也为1,板不带电.现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子（不计重力），从 左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（）定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在 负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是（不计重 力）（） A. R 瘦 D. m 2qB C .— m D. qB m［解析］根据题目中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且 这两种可能方向相反.在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力 的方向也是相反的.当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知 _ V2 _ 4BqR v 4Bq4Bqv=m 万，得v= ，此种情况下，负电何运动的角速度为3=5=-；；当负电何所受的R m R m 洛伦兹力与电场力方向相反时,有2B qv=m V2, 丫=等,此种情况下,负电荷运动的角速度v 2Bq为3=R=/",应选A 、C.［答案］AC考向3临界状态不唯一形成多解如图所示，带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状， 因此，它可能直接穿过去了，也可能转过180°从入射界面反向飞出，于是形成了多解.如图 m所示.A.使粒子的速度v<Bq15BalB.使粒子的速度v>*C.使粒子的速度丫>平D.使粒子的速度v满足Bq^vV51a1［解析］带电粒子刚好打在极板右边缘，有r2 = (r-1)+12,又因r =%，解得v =誓；i V 12 i Bq i 4m粒子刚好打在极板左边缘，有r=l=M2，解得丫=整，故A、B正确. 2 4 Bq 2 4m［答案］AB考向4带电粒子运动的往复性形成多解空间中部分是电场，部分是磁场，带电粒子在空间运动时，运动往往具有往复性，因而形成多解.［典例6］如图所示，在x轴上方有一匀强磁场，磁感应强度为B；x轴下方有一匀强电场，电场强度为E.屏MN与y轴平行且相距L. 一质量m、电荷量为e的电子，在y轴上某点A 自静止释放，如果要使电子垂直打在屏MN上，那么：(1)电子释放位置与原点O的距离s需满足什么条件？(2)电子从出发点到垂直打在屏上需要多长时间？［解题指导］解答本题可分“两步走”：(1)定性画出粒子运动轨迹示意图.(2)应用归纳法得出粒子做圆周运动的半径r和L的关系.［解析］(1)在电场中，电子从A-O,动能增加eEs=1mv0在磁场中，电子偏转，半径为mv r = o r eB据题意，有(2n+1)r=L一eL2B2 . .所以S=2Em (2n+1)2(n=0,1,2,3,”)⑵在电场中匀变速直线运动的时间与在磁场中做部分圆周运动的时间之和为电子总的2s T T , Ee 2nm运动时间 t=(2n+1)、： w+z+nj,其中 a=%, T=—B-■. । a 乙ui e一— .一 BL , 、nm, 、整理后得 t=^+(2n+1)族("=。
带电粒子在匀强磁场中的运动-临界、极值及多解问题
•
例题
有些题目只告诉了磁感应的大小，而未具体 指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁
感应强度方向不确定而形成多解
电场力方向一定指向圆心，而洛伦兹力方向可能指向圆心，也可能背离圆心， 从而形成两种情况.
• 2.方法界定将一半径为 的圆绕着入射点旋转， 从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转法”.
•
旋转法”模型示例
带电粒子在磁场中运动的多解问题
• 带电粒子电性不确定形成多解 • 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可
能带负电荷，在相同的初速度的条件下，正、负粒 子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解.
•
“放缩圆”模型示例
“旋转法”解决有界磁场中的临界问题
• 1.适用条件（1）速度大小一定，方向不同带电粒子 进入匀强磁场时，他们在磁场中做匀速圆周运动的 半径相同，若射入初速度为v0，则圆周半径为 . 如图所示.（2）轨迹圆圆心——共圆带电粒子在磁 场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、 半径 的圆上.
临界状态不唯一形成多解
• 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场 时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此， 他可能直接穿过去了，也可能转过180°从 入射界面反向飞出，于是形成了多解.如图 所示.
•
Байду номын сангаас
带电粒子在匀强磁场中的运动临界、极值及多解问题
• 1.有界磁场中临界问题的处 理方法
• 2.带电粒子在磁场中运动的 多解问题
1.有界磁场中临界问题的处理方法
• “放缩法”解决有界磁场中的临界问题 • 1.适用条件 • （1）速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定、大小
2019版物理一轮讲义：必考题突破讲座(九)带电粒子在有界磁场中的临界、极值问题
高考必考题突破讲座(九)带电粒子在有界磁场中的临界、极值问题1．带电粒子在磁场中偏转的临界、极值问题流程图错误!―→错误!―→错误!2．涉及问题（1）画轨迹：画出带电粒子在磁场中运动轨迹,并确定圆心，求半径．（2)找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系;偏转角与圆心角、运动时间相联系；在磁场中运动的时间与周期相联系．（3)用规律：牛顿运动规律和圆周运动规律，特别是周期公式、半径公式．►解题方法1．动态放缩法当粒子的入射方向不变而速度大小可变时，粒子做圆周运动的轨迹圆的圆心一定在入射点所受洛伦兹力所表示的射线上，但位置(半径R)不确定，用圆规作出一系列大小不同的轨迹圆，从圆的动态变化中即可发现“临界点”，如图甲临界情景为②和④．2．定圆旋转法当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时，所有不同方向入射的粒子的轨迹圆是一样大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋转(作图）中，也容易发现“临界点”．另外,要重视分析时的尺规作图，规范而准确的作图可突出几何关系,使抽象的物理问题更形象、直观,如图乙．3．数学解析法写出轨迹圆和边界的解析方程，应用物理和数学知识求解．[例1］（2017·江苏苏州一模)如图所示，在屏蔽装置底部中心位置O点放一医用放射源，可通过细缝沿扇形区域向外辐射速率为v＝3。
2×106m/s的α粒子．已知屏蔽装置宽AB＝9 cm，缝长AD＝18 cm,α粒子的质量m＝6.64×10－27kg，电荷量q＝3.2×10－19 C．若在屏蔽装置右侧条形区域内加一匀强磁场来隔离辐射，磁感应强度B＝0.332 T，方向垂直于纸面向里，整个装置放于真空环境中．(1)若所有的α粒子均不能从条形磁场隔离区的右侧穿出，则磁场的宽度d至少是多少？（2)若条形磁场的宽度d＝20 cm，则射出屏蔽装置的α粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间各是多少？（结果可带根号）解析(1）由题意AB＝9 cm，AD＝18 cm，可得∠BAO＝∠ODC＝45°，所有α粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，设为R,根据牛顿第二定律有Bqv＝错误!,解得R＝0.2 m＝20 cm．由题意及几何关系可知：若条形磁场区域的右边界与沿OD方向进入磁场的α粒子的圆周轨迹相切，则所有α粒子均不能从条形磁场隔离区右侧穿出，此时磁场的宽度最小，如图甲所示．设此时磁场宽度d＝d0，由几何关系得d0＝R＋R cos 45°＝（20＋10错误!)cm．则磁场的宽度至少为（20＋10错误!）×10－2 m．(2)设α粒子在磁场内做匀速圆周运动的周期为T，则T＝错误!＝错误!×10－6 s．设速度方向垂直于AD进入磁场区域的α粒子的入射点为E，如图乙所示．因磁场宽度d＝20 cm〈d0，且R＝20 cm，则在∠EOD间辐射进入磁场区域的α粒子均能穿出磁场右边界，在∠EOA间辐射进入磁场区域的α粒子均不能穿出磁场右边界,沿OE方向进入磁场区域的α粒子运动轨迹与磁场右边界相切,在磁场中运动时间最长，设在磁场中运动的最长时间为t max ,则t max ＝T 2＝错误!×10－6 s ．若α粒子在磁场中做匀速圆周运动对应的圆弧轨迹的弦长最短，则α粒子在磁场中运动的时间最短．最短的弦长为磁场宽度d .设在磁场中运动的最短时间为t min ，轨迹如图乙所示,因R ＝d ，则圆弧对应的圆心角为60°，故t min ＝错误!＝错误!×10－6 s ．答案 （1)（20＋10错误!)×10－2 m (2)t max ＝错误!×10－6 s t min ＝π48×10－6 s角度1 速度方向一定，大小不同带电粒子源发射速度方向一定,大小不同的带电粒子进入匀强磁场中，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径随速度的变化而变化．若粒子从定点P 以速度v 0射入磁场,则轨迹圆心一定在PP ′直线上（PP ′⊥v 0)，将半径放缩作轨迹,从而得到临界条件．角度2 速度方向一定，方向不同带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v 0，则圆周运动半径R ＝错误!.改变初速度v 0的方向，粒子运动的轨迹也随之改变，但所有带电粒子在磁场中运动的轨迹圆的圆心,均在以入射点为圆心，半径R ＝错误!的圆上．［例1］如图所示，在无限长的竖直边界NS和MT间充满匀强电场,同时该区域上、下部分分别充满方向垂直于NSTM平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，KL为上下磁场的水平分界线,在NS和MT边界上,距KL高h处分别有P、Q 两点，NS和MT间距为1。
近年高考物理一轮复习培优计划高考必考题突破讲座(9)带电粒子在有界磁场中的临界、极值问题突破训练(
2019版高考物理一轮复习培优计划高考必考题突破讲座（9）带电粒子在有界磁场中的临界、极值问题突破训练编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考物理一轮复习培优计划高考必考题突破讲座（9）带电粒子在有界磁场中的临界、极值问题突破训练）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019版高考物理一轮复习培优计划高考必考题突破讲座（9）带电粒子在有界磁场中的临界、极值问题突破训练的全部内容。
高考必考题突破讲座(九) 带电粒子在有界磁场中的临界、极值问题1如图所示圆形区域内，有垂直于纸面方向的匀强磁场．一束质量和电荷量都相同的带电粒子，以不同的速率，沿着相同的方向，对准圆心O射入匀强磁场，又都从该磁场中射出．这些粒子在磁场中的运动时间有的较长,有的较短．若带电粒子在磁场中只受磁场力的作用，则在磁场中运动的带电粒子( D)A．速率越大的运动时间越长B．运动时间越长的周期越大C．速率越小的速度方向变化的角度越小D．运动时间越长的半径越小2．如图所示，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面（纸面)，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，一电荷量为q、质量为m的负离子沿平行于直径ab的方向射入磁场区域，射入点与ab的距离为错误!。
已知离子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则离子的速率为（不计重力）( D)A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析设带负电离子在匀强磁场中运动轨迹的半径为r，速率为v.根据题述，带负电离子射出磁场与射入磁场时速度方向之间的夹角为60°，可知带电离子运动轨迹所对的圆心角为60°，r sin 30°＝R。
2019大一轮高考总复习物理教师用书：微专题10 带电粒
带电粒子在磁场中的临界极值和多解问题带电粒子在磁场中的临界极值问题1．试画出以下三种情形下带电粒子的临界示意图甲：改变速度v ，使粒子不射出磁场区的速度满足的条件 乙：改变速度v ，为使粒子不从PQ 边界射出速度的最大值 丙：改变速度v ，粒子能打在上极板MN 上的长度 [温馨提示]2．利用“动态圆”分析临界极值问题(1)滚动圆法：粒子速度大小不变，方向改变，则r ＝m vqB 大小不变，但轨迹的圆心位置变化，相当于圆心在绕着入射点滚动．(如图所示)(2)放缩圆法：入射粒子的速度方向不变，但大小变化，造成圆心在一条射线上变动，半径大小不断变化的放缩圆(情形如图所示)．(3)平移圆法：速度大小和方向相同的一排相同粒子进入直线边界，各粒子的轨迹圆弧可以由其他粒子的轨迹圆弧沿着边界平移得到(如图所示)．如图所示，在xOy 坐标系的第一象限有方向垂直纸面向外的有界匀强磁场，y轴是它的左边界、曲线OP 是它的右边界，OP 的曲线方程为y ＝2h x 2.在y 轴上有一点Q (0，h )，一电荷量为q (q ＞0)，质量为m 的粒子从Q 点以不同的速率沿x 轴正方向射入磁场．从磁场的右边界射出的粒子中，速率为v 0的粒子在磁场中运动位移最短．不计粒子的重力．求(1)磁感应强度的大小；(2)能从磁场的右边界射出的粒子的速率范围． 解析：(1)设粒子从M (x ，y )点射出磁场，则： MQ ＝x 2＋(y －h )2① 又：y ＝2h x 2②联立①②解得：MQ ＝y 2－32hy ＋h 2③由③可知，当y ＝34h 时，MQ 有最小值．粒子在磁场中运动的轨迹半径满足：qB v 0＝m v 20r ④O 1N ＝y －(h －r )＝r －h4⑤O 1N 2＋x 2＝r 2⑥由②④⑤⑥得B ＝8m v 07qh⑦(2)设轨迹圆与磁场右边界相切于D (x ，y )点，半径为R ，由几何关系：x ＝R sin α⑧h －R －y ＝R cos α⑨联立②⑧⑨解得：R ＝22－14h ⑩又q v m B ＝m v 2mR ，联立⑦⑩得v m ＝2(22－1)7v 0.答案：(1)8m v 07qh (2)v ＞2(22－1)7v 0带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题分析临界问题的关键是找准临界点：以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，挖掘隐含条件，分析可能的情况，必要时画出几个半径不同的轨迹，找出临界条件，如：(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．(2)当速率v 一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．(3)当速率v 变化时，圆心角越大的，运动时间越长．在直角坐标系中有P 、Q 两点，坐标如图所示，虚线是以原点O 为圆心的半圆，半圆与x 轴围成的区域只存在垂直纸面向外的匀强磁场．大量同种粒子从P 点射入磁场，入射方向均在xOy 平面内，速度方向与x 轴正方向的夹角在0°到180°的范围内．粒子在磁场中做圆周运动的半径为r ，满足L ≤r ≤2L ，所有粒子均不从半圆虚线边界射出，已知粒子的质量为m (不计重力)，带电荷量为q ＞0，磁场的磁感应强度大小B ．求：(1)经过Q 点时速度方向与y 轴垂直的粒子的速度大小．(2)虚线半圆的最小半径和从P 点运动到Q 点的所有粒子中运动时间的最大值和最小值． 解析：(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动， q v B ＝m v 2R ，由图1可知R ＝Lcos 30°，解得v ＝23qBL3m.图1(2)当粒子以最大半径R ＝2L 向x 轴负方向发出刚好与半圆相切时，运动情况如图2所示．图2由几何关系得L 2＋R 2＝(r －R )2， 解得虚线半圆的最小半径r ＝(2＋5)L ，带电粒子在磁场中的运动周期T ＝2πR v ，从P 点运动到Q 点，粒子运动时间t ＝θ360°T ，其中(θ为PQ 运动轨迹对应的圆心角)．如图3所示，以O 3为圆心的粒子，圆心角最大，图3由几何关系可知半径R ＝233L ，且满足L ≤R ≤2L ，由图可知图心角θ＝240°，从P 点运动到Q 点，粒子运动的最长时间t 1＝4πm 3qB ，以Q 4为圆心对应的圆心角最小，半径R ＝2l ， 由图可知圆心角θ＝60°，从P 点运动到Q 点，粒子运动的最短时间t 2＝πm 3qB .答案：(1)23qBL 3m (2)(2＋5)L 4πm 3qB πm3qB1．如图所示，在一个半径为R 的半圆区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B ．O 点是该半圆的圆心，OP 是垂直于直线边界的半径．两个完全相同的质量为m 、电量为＋q 的粒子以相同的速率v 分别从O 点沿OP 和从P 点沿PO 射入磁场区域，对于两个粒子的运动情况下列分析正确的是( )A ．从O 点沿OP 射入磁场的粒子将向上偏转B ．两粒子通过磁场的时间相等C ．如果v ＜qBR 2m ，则从O 点沿OP 射入磁场的粒子通过磁场的时间为πmqBD ．如果v ＝qBRm，则从O 点沿OP 射入磁场的粒子通过磁场的时间较长解析：选C 根据左手定则分析可知，从O 点沿OP 射入磁场的粒子向下偏转，选项A 错误；分析粒子以相同速率v 从O 点沿OP 和从P 点沿PO 射入磁场区域，其轨道半径相同，但在磁场中运动的弧长不相同，如下图所示，所以两粒子通过磁场的时间不相同，选项B 错误；如果v ＜qBR 2m ，则粒子在磁场中运动的轨道半径r ＝m v qB ＜R 2，从O 点沿OP 射入磁场的粒子在磁场中的运动轨迹正好是半个圆周，通过磁场的时间为t ＝T 2＝πmqB ，选项C 正确；如果v ＝qBRm ，则粒子在磁场中的轨道半径r ＝m v qB ＝R ，从O 点沿OP 射入磁场的粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为π3，从P 点沿PO 射入磁场的粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为π2，所以从O 点沿OP 射入磁场的粒子通过磁场的时间较短，选项D 错误．2．(2018·广东清远联考)如图所示，在一平面正方形MNPQ 区域内有一匀强磁场垂直于纸面向里，磁感应强度为B ．一质量为m 、电荷量为q 的粒子以速度v 从Q 点沿着与QP 边夹角为30°的方向垂直进入磁场，从QP 边射出．已知QP 边长为a ，不计粒子的重力，下列说法正确的是( )A ．该粒子带正电B ．运动过程中粒子的速度不变C ．粒子在磁场中运动的时间为πm3qBD ．粒子的速度v 的最大值为qBa2m解析：选C 粒子从PQ 边射出磁场，粒子刚射入磁场时受到的洛伦兹力垂直于速度斜向右下方，由左手定则可知，该粒子带负电，故A 错误；粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子的速度大小不变，方向发生变化，故B 错误；粒子在磁场中转过的圆心角θ＝2×30°＝60°，粒子在磁场中的运动时间t ＝θ360°T ＝60°360°×2πm qB ＝πm3qB ，故C 正确；粒子从P 点射出磁场时轨迹半径最大，粒子的速度最大，此时粒子的轨迹半径r ＝a ，由q v B ＝m v 2r 得粒子的最大速度v ＝qBr m ＝qBam，故D 错误．带电粒子在磁场中的多解问题带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解．多解形成原因一般包含下述几个方面：①带电粒子电性不确定形成多解．受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解．如图所示，宽度为d 的有界匀强磁场，磁感应强度为B ，MM ′和NN ′是它的两条边界．现有质量为m ，电荷量为q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入．要使粒子不能从边界NN ′射出，则粒子入射速率v 的最大值可能是________.[温馨提示]题目中只给出粒子“电荷量为q ”，未说明是带哪种电荷．若带正电荷，轨迹是如图所示的上方与NN ′相切的1/4圆弧，轨道半径：R ＝m vBq，又d ＝R －R /2， 解得v ＝(2＋2)Bqd /m .若带负电荷，轨迹如图所示的下方与NN ′相切的3/4圆弧，则有： R ′＝m v ′Bq ，d ＝R ′＋R ′/2， 解得v ′＝(2－2)Bqd /m . 所以本题应填(2＋2)Bqd m 或(2－2)Bqdm. ②磁场方向不确定形成多解．有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解．③临界状态不唯一形成多解．带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，如图所示．于是形成了多解．④运动的往复性形成多解．带电粒子在部分是电场，部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解，如图所示．如图，一足够大的绝缘弹性挡板水平放置，挡板上方M 点与挡板的距离为h＝3 m ，M 点与挡板上的N 点的连线垂直于挡板．挡板上方空间存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度B ＝1 T ．一质量m ＝1×10－3 kg ，电荷量q ＝1×10－3 C 的带负电微粒，从挡板上某点出发，以垂直于挡板的速度进入电磁场区域后恰能做圆周运动．微粒若与挡板碰撞时，将以原速率被弹回，且电荷量不变，忽略重力的影响，g ＝10 m/s 2，求：(1)若微粒运动过程中能击中M 点，求其速度的最小值和以该速度运动时出发点与N 点的距离d .(2)若微粒从距N 点距离s ＝9 m 的A 点出发，到击中M 点的运动时间的可能值． 解析：(1)微粒能击中M 点，且速度最小，则半径r ＝3 m 由r ＝m v qB 可得v ＝qBrm ＝3 m/sd ＝2rn ＋r ＝3(2n ＋1) (n ＝0,1,2…)(2)设微粒与挡板碰撞n 次，则最大半径趋近于s 2n要击中M 点，则s2n ≥h即n ≤1.5，故n 可能取0,1 当n ＝0时，轨迹如图中①所示由几何关系：r 2＝h 2＋(s －r )2得 r ＝5 m sin α＝h r ＝35，故α＝37°此时时间t 1＝180－37360·2πm qB ＝143π180s当n ＝1时，由几何关系r 2＝h 2＋(3r －s )2得r 1＝3 m ， r 2＝3.75 mr 1＝3 m 时运动轨迹如图中②所示， 此时时间 t 2＝34·2πm qB ＝3π2sr 2＝3.75 m 时运动轨迹如图中③所示， sin β＝h r 2＝45，故β＝53°此时t 3＝180＋53360·2πm qB ＝233π180s所以时间的可能值为：143π180 s ，3π2 s ，233π180 s.答案：(1)3 m/s d ＝3(2n ＋1) ，n ＝0,1,2… (2)143π180 s ，3π2 s ，233π180s带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的多解问题要充分考虑带电粒子的电性、磁场方向、轨迹及临界条件的多种可能性，画出其运动轨迹，分阶段、分层次地求解．1．分析题目特点，确定题目多解性形成的原因． 2．作出粒子运动轨迹示意图(全面考虑多种可能性)．3．如果是周期性重复的多解问题，应列出通项式．如果是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件．(2017·汕头一模)如图所示，xOy 坐标系中，在y 轴右侧有一平行于y 轴的边界PQ ，PQ 左侧和右侧存在磁感应强度大小分别为B 与B2的匀强磁场，磁场方向均垂直于xOy 平面向里．y 轴上有一点A 与原点O 的距离为l .带电荷量为q 、质量为m 的带正电粒子，以某一速度从坐标原点O 处沿x 轴正方向射出，经过时间t ＝4πm 3qB 时恰好到达A 点，不计粒子的重力．(1)求边界PQ 与y 轴的距离d 和粒子从O 点射出的速度大小v 0.(2)若相同的粒子以更大的速度从原点O 处沿x 轴正方向射出，为使粒子能经过A 点，粒子的速度大小应为多大？解析：带电粒子在PQ 左侧和右侧的磁场中做匀速圆周运动，分别有 q v 0B ＝m v 20r 1，q v 0B 2＝m v 20r 2，可得半径r 1＝m v 0qB ，r 2＝2r 1，由T ＝2πr v 可得T 1＝2πm qB，T 2＝2T 1.(1)粒子射出后经过时间t ＝4πm3qB时恰好到达A 点，运动情况如图甲所示．设图中圆弧DE对应的圆心角为θ，则粒子从O 点运动到A 点的时间为θ360°T 2＋180°－θ360°T 1＝4πm3qB.解得θ＝60°. △C 1C 2C 3为等边三角形，根据几何关系得l ＝2r 1＋(r 2－r 1)，d ＝r 1cos 30°， 解得PQ 与y 轴的距离d 和粒子从O 点射出的速度大小v 0分别为d ＝36l ，v 0＝qBl3m.(2)以更大的速度从原点O 处沿x 轴正方向射出的相同的粒子，必然是从y 轴最高点转向下方时经过A 点，粒子运动一个周期，运动情况如图乙所示，设图中∠C 1DF ＝α，则粒子运动一个周期在y 轴上的位移y ＝2r 1′＋2(r 2′－r 1′)sin α－2r 1′(或y ＝2r 1′sin α)，cos α＝dr 1′，经过A 点的条件是ny ＝l (n ＝1,2,3，…) 解得v ＝qBl2m13＋1n 2(n ＝1,2,3，…)， 考虑到v ＞v 0＝qBl3m ，故n 只能取1或2，即粒子的速度大小为v ＝qBl 3m或v ＝21qBl 12m .⎝⎛⎭⎫或v ＝qBl2m 13＋1n 2(n ＝1，2)答案：(1)36l qBl 3m (2)qBl2m13＋1n 2(n ＝1,2)3．(2018·长沙模拟)如图所示，虚线MN 上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，MN 下方存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小均为B ． O 、A 为MN 上的两点，距离为d ，两个质量均为m 、电荷量均为－q 的带电粒子(不计重力)P 、Q 同时从O 点以大小相等、方向相反的速度分别射入上方磁场和下方磁场，之后带电粒子P 、Q 都通过A 点．若两粒子从O 点运动到A 点所用时间之比为1∶5.求：(1)带电粒子P 射入磁场时的速度大小；(2)P 、Q 两带电粒子从O 点运动到A 点的时间差．解析：(1)由题意可知，带电粒子的运动轨迹如图所示．根据两粒子从O 点运动到A 点所用时间之比为1∶5可知θ＝60° OC ＝r由Bq v ＝m v 2rr ＝d n(n ＝1,2,3，…) 解得v ＝dBq nm(n ＝1,2,3，…) (2)设粒子从O 运动到A 所用的时间分别为t 和5tnT ＝t ＋5tT ＝2πm BqΔt ＝5t －t解得Δt ＝4n πm 3Bq(n ＝1,2,3，…) 答案：见解析4．(2018·广州普通高中模拟)半径为R 的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，圆心O 到直线MN 的距离为35R .一个带电的粒子以初速度v 0沿MN 方向飞进磁场，不计粒子的重力，已知粒子飞出磁场时速度方向偏转了90°.求：(1)带电粒子的比荷q m； (2)带电粒子在磁场中运动的时间t .解析：情况一 (1)若粒子带正电，进入磁场后做匀速圆周运动，轨迹如图甲所示，设轨道半径为r ，由几何关系得r ＝R cos θ＋35R cos θ＝R 2－⎝⎛⎭⎫35R 2R ＝45 解得r ＝75R 根据牛顿第二定律q v 0B ＝m v 20r解得q m ＝5v 07BR(2)T ＝2πr v 0＝14πR 5v 0又因为t ＝T 4解得t ＝7πR 10v 0情况二 (1)若粒子带负电，轨迹如图乙所示，设其轨道半径为r ，由几何关系得r ＝R cos θ－35R r ＋R sin θ＝45R 得r ＝15R根据牛顿第二定律q v 0B ＝m v 20r解得q m ＝5v 0BR(2)T ＝2πr v 0＝2πR 5v 0又因为t ＝T 4解得t ＝πR 10v 0所以粒子的比荷为5v 07BR 或5v 0BR ，在磁场中运动的时间为7πR 10v 0或πR 10v 0. 答案：见解析。
带电粒子在有界磁场中的临界,极值,多解问题
带电粒子在匀强磁场中的运动---临界问题、极值问题与多解问题一、带电粒子在有界磁场中运动的临界和极值问题带电粒子在有界磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件，然后应用数学知识和相应物理规律分析求解．找临界点的方法是：以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径R和速度v(或磁场B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，常用结论如下：（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切；（2）当速率v一定时，弧长越长，轨迹对应的圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长；（3）当速率v变化时，圆心角大的，运动时间越长。
【例1】如图所示真空中狭长区域的匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，宽度为d，速度为v的电子从边界CD外侧垂直射入磁场，入射方向与CD间夹角为θ．电子质量为m、电量为q．为使电子从磁场的另一侧边界EF射出，则电子的速度v应为多大?二、带电粒子在有界磁场中运动的多解问题1. 带电粒子电性不确定形成多解.受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度下，正负粒子在磁场中的运动轨迹不同，形成多解．2. 磁场方向不确定形成多解．3. 临界状态不唯一形成多解：带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧形的，它可能穿过去，也可能转过１８０°从磁场的入射边界边反向飞出，于是形成多解．4. 运动的重复性形成多解：带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往具有重复性，形成多解．【例2】 长为L ，间距也为L 的两平行金属板间有垂直向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B ，今有质量为m 、带电量为q 的正离子从平行板左端中点以平行于金属板的方向射入磁场。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题3.6 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题（2）1.(2018江苏高考15)如图所示,真空中四个相同的矩形匀强磁场区域,高为4d,宽为d,中间两个磁场区域间隔为2d,中轴线与磁场区域两侧相交于O 、O'点,各区域磁感应强度大小相等。
某粒子质量为m 、电荷量为+q,从O 沿轴线射入磁场。
当入射速度为v 0时,粒子从O 上方2d处射出磁场。
取sin 53°=0.8,cos 53°=0.6。
(1)求磁感应强度大小B 。
(2)入射速度为5v 0时,求粒子从O 运动到O'的时间t 。
(3)入射速度仍为5v 0,通过沿轴线OO'平移中间两个磁场(磁场不重叠),可使粒子从O 运动到O'的时间增加Δt,求Δt 的最大值。
【答案】:(1)04mv qd (2)0(53π+72)180d v (3)05dv 【解析】(1)粒子圆周运动的半径00mv r qB=由题意知r 0=4d ,解得04mv B qd= (2)设粒子在矩形磁场中的偏转角为α,半径为r, 由r=mvqB得r=5r 0=54d由d=rsin α,得sin α=45,即α=53° 在一个矩形磁场中的运动时间12π360mt qBα=⨯︒,解得t 1=053π720d v直线运动的时间t 2=2d v ,解得t 2=025dv则120(53π+72)4180dt t t v =+=(3)将中间两磁场分别向中央移动距离x, 粒子向上的偏移量y=2r(1-cos α)+xtan α 由y≤2d,解得x≤34d 则当x m =34d 时,Δt 有最大值2.（2017新课标Ⅱ 18）如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P 点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入的速度为1v ，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速度为2v ，相应的出射点分布在三分之一圆周上，不计重力及带电粒子之间的相互作用，则21:v v 为D.3【答案】C【解析】当粒子在磁场中运动半个圆周时，打到圆形磁场的位置最远，则当粒子射入的速度为1v ，如图，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为11cos 602r R R ==；同理，若粒子射入的速度为2v ，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为23cos302r R R ==；根据mv r v qB =∝，则 2121:=:v v r r =，故选C.3．(2017·全国卷Ⅱ)如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P 点，在纸面内沿不同方向射入磁场。
若粒子射入的速率为v 1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v 2，相应的出射点分布在三分之一圆周上。
不计重力及带电粒子之间的相互作用。
则v 2∶v 1为( )A.3∶2B.2∶1C.3∶1 D ．3∶ 2【答案】C【解析】由于是相同的粒子，粒子进入磁场时的速度大小相同，由qvB ＝m v 2R 可知，R ＝mvqB，即粒子在磁场中做圆周运动的半径相同。
若粒子运动的速度大小为v 1，如图所示，通过旋转圆可知，当粒子在磁场边界的出射点A 离P 点最远时，则AP ＝2R 1；同样，若粒子运动的速度大小为v 2，粒子在磁场边界的出射点B 离P 点最远时，则BP ＝2R 2，由几何关系可知，R 1＝R 2，R 2＝R cos 30°＝32R ，则v 2v 1＝R 2R 1＝3，C 项正确。
4．(2016·四川高考)如图所示，正六边形abcdef 区域内有垂直于纸面的匀强磁场。
一带正电的粒子从f点沿fd 方向射入磁场区域，当速度大小为v b 时，从b 点离开磁场，在磁场中运动的时间为t b ，当速度大小为v c 时，从c 点离开磁场，在磁场中运动的时间为t c ，不计粒子重力。
则( )A ．v b ∶v c ＝1∶2，t b ∶t c ＝2∶1B ．v b ∶v c ＝2∶1，t b ∶t c ＝1∶2C ．v b ∶v c ＝2∶1，t b ∶t c ＝2∶1D ．v b ∶v c ＝1∶2，t b ∶t c ＝1∶2 【答案】A 【解析】如图所示，5. (2016·海南高考)如图，A 、C 两点分别位于x 轴和y 轴上，∠OCA ＝30°，OA 的长度为L 。
在△OCA 区域内有垂直于xOy 平面向里的匀强磁场。
质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，以平行于y 轴的方向从OA 边射入磁场。
已知粒子从某点入射时，恰好垂直于OC 边射出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为t 0。
不计重力。
(1)求磁场的磁感应强度的大小；(2)若粒子先后从两不同点以相同的速度射入磁场，恰好从OC 边上的同一点射出磁场，求该粒子这两次在磁场中运动的时间之和；(3)若粒子从某点射入磁场后，其运动轨迹与AC 边相切，且在磁场内运动的时间为53t 0，求粒子此次入射速度的大小。
【答案】 (1)πm 2qt 0 (2)2t 0 (3)3πL7t 0【解析】 (1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，在时间t 0内其速度方向改变了90°，故其周期T ＝4t 0①设磁感应强度大小为B ，粒子速度为v ，圆周运动的半径为r 。
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得qvB ＝m v 2r②匀速圆周运动的速度满足v ＝2πrT③联立①②③式得B ＝πm 2qt 0。
④(2)设粒子从OA 边两个不同位置射入磁场，能从OC 边上的同一点P 射出磁场，粒子在磁场中运动的轨迹如图(a)所示。
设两轨迹所对应的圆心角分别为θ1和θ2。
由几何关系有 θ1＝180°－θ2⑤粒子两次在磁场中运动的时间分别为t 1与t 2， 则t 1＋t 2＝T2＝2t 0。
⑥(3)如图(b)，联立①⑦⑧⑨式得v 0＝3πL7t 0。
⑩ 6．(2016四川理综，11) 如图所示，图面内有竖直线DD ′，过DD ′且垂直于图面的平面将空间分成Ⅰ、Ⅱ两区域。
区域Ⅰ有方向竖直向上的匀强电场和方向垂直于图面的匀强磁场B (图中未画出)；区域Ⅱ有固定在水平地面上高h ＝2l 、倾角α＝π4的光滑绝缘斜面，斜面顶端与直线DD ′距离s ＝4l ，区域Ⅱ可加竖直方向的大小不同的匀强电场(图中未画出)；C 点在DD ′上，距地面高H ＝3l 。
零时刻，质量为m 、带电量为q 的小球P 在K 点具有大小v 0＝gl 、方向与水平面夹角θ＝π3的速度，在区域Ⅰ内做半径r ＝3lπ的匀速圆周运动，经C 点水平进入区域Ⅱ。
某时刻，不带电的绝缘小球A 由斜面顶端静止释放，在某处与刚运动到斜面的小球P 相遇。
小球视为质点，不计空气阻力及小球P 所带电量对空间电磁场的影响。
l 已知，g 为重力加速度。
(1)求匀强磁场的磁感应强度B 的大小；(2)若小球A 、P 在斜面底端相遇，求释放小球A 的时刻t A ； (3)若小球A 、P 在时刻t ＝βlg(β为常数)相遇于斜面某处，求此情况下区域Ⅱ的匀强电场的场强E ，并讨论场强E 的极大值和极小值及相应的方向。
【答案】 (1)πm3qLgl (2)(3－22)l g(3)（11－β2）mg q （β－1） 极大值7mg 8q，竖直向上；极小值0【解析】 (1)由题知，小球P 在区域Ⅰ内做匀速圆周运动，有m v 20r＝qv 0B ① 代入数据解得B ＝m π3lqgl ②(2)小球P 在区域Ⅰ做匀速圆周运动转过的圆心角为θ，运动到C 点的时刻为t C ，到达斜面底端时刻为t 1，有t C ＝θr v 0③s －h cot α＝v 0(t 1－t C )④小球A 释放后沿斜面运动加速度为a A ，与小球P 在时刻t 1相遇于斜面底端，有mg sin α＝ma A ⑤hsin α＝12a A (t 1－t A )2⑥ 联立以上方程可得t A ＝(3－22)l g⑦ (3)设所求电场方向向下，在t A ′时刻释放小球A ，小球P 在区域Ⅱ运动加速度为a P ，有s ＝v 0(t －t C )＋12a A (t －t A ′)2cos α⑧ mg ＋qE ＝ma P ⑨H －h ＋12a A (t －t A ′)2sin α＝12a P (t －t C )2⑩联立相关方程解得E ＝（11－β2）mgq （β－1）对小球P 的所有运动情形讨论可得3≤β≤5由此可得场强极小值为E min ＝0；场强极大值为E max ＝7mg8q，方向竖直向上。
7. (2015山东理综，24) 如图所示，直径分别为D 和2D 的同心圆处于同一竖直面内,O 为圆心，GH 为大圆的水平直径．两圆之间的环形区域(Ⅰ区)和小圆内部(Ⅱ区)均存在垂直圆面向里的匀强磁场．间距为d 的两平行金属极板间有一匀强电场，上极板开有一小孔．一质量为m 、电量 为＋q 的粒子由小孔下方d2处静止释放，加速后粒子以竖直向上的速度v 射出 电场，由H 点紧靠大圆内侧射入磁场．不计粒子的重力．(1)求极板间电场强度的大小；(2)若粒子运动轨迹与小圆相切，求Ⅰ区磁感应强度的大小；(3)若Ⅰ区、Ⅱ区磁感应强度的大小分别为2mv qD 、4mvqD,粒子运动一段时间后再次经过H 点，求这段时间粒子运动的路程．【答案】 (1)mv 2qd (2)4mv qD 或4mv3qD(3)5.5πD【解析】 (1)设极板间电场强度的大小为E ，对粒子在电场中的加速运动，由动能定理得qE ·d 2＝12mv 2①解得E ＝mv 2qd②(2)设Ⅰ区磁感应强度的大小为B ，粒子做圆周运动的半径为R ，由牛顿第二定律得qvB ＝mv 2R③甲(3)设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做圆周运动的半径分别为R 1、R 2，由题意可知，Ⅰ区和Ⅱ区磁感应强度的大小分别为B 1＝2mv qD 、B 2＝4mvqD，由牛顿第二定律得qvB 1＝m v 2R 1，qvB 2＝m v 2R 2⑧代入数据得R 1＝D 2，R 2＝D4⑨设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做圆周运动的周期分别为T 1、T 2，由运动学公式得T 1＝2πR 1v ，T 2＝2πR 2v⑩乙据题意分析，粒子两次与大圆相切的时间间隔内，运动轨迹如图乙所示，根据对称可知，Ⅰ区两段圆弧所对圆心角相同，设为θ1，Ⅱ区内圆弧所对圆心角设为θ2，圆弧和大圆的两个切点与圆心O 连线间的夹角设为α，由几何关 系得θ1＝120°⑪ θ2＝180°⑫ α＝60°⑬丙粒子重复上述交替运动回到H 点，轨迹如图丙所示，设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做圆周运动的时间分别为t 1、t 2可得t 1＝360°α×θ1×2360°T 1， t 2＝360°α×θ2360°T 2⑭ 设粒子运动的路程为s ，由运动学公式得s ＝v (t 1＋t 2) ⑮联立⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮式得s ＝5.5πD ⑯8．（2019北京市通州区潞河中学高三开学检测）如图所示，虚线框MNQP 内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。