专题：带电粒子在有界磁场中的运动和临界问题

例、如图，在PMN区域内分布有磁感应强度为B的匀强磁场， 磁场方向垂直于纸面向里，有一束正离子流(不计重力)，
沿纸面垂直于磁场边界MN方向从A点垂直边界射入磁场，
已知MA=d，∠PMN45º ，离子的质量为m、带电荷量为q、 要使离子不从MP边射出，离子进入磁场的速度最大不能超
过多少？
P
B v0 M O A
O1
mv 0 2mv 0 综上所述， B 13ed ed
三、出射点不确定引起的临界问题
O
例、如图，长为L的水平不带电极板间
有垂直纸面向内的匀强磁场B，板间
距离也为L，现有质量为m，电量为q 的带正电粒子（不计重力），从左边
极板间中点处垂直磁场以速度v平行
极板射入磁场，欲使粒子不打在极板 上，则入射速度v应满足什么条件？
例、如图，在第I象限范围内有垂直xOy平面的匀强磁场B。质量 为m、电量大小为q的带电粒子(不计重力)，在xOy平面里经原 点O射入磁场中，初速度为v0，且与x轴成60º 角，试分析计算： （1）穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大？ （2）带电粒子在磁场中运动时间多长？ y B
如粒子带正电，则：
60º
强调： 本规律是在单边界磁场中总结出的，但是适用于任何类型的磁场
例如图所示，在y < 0的区域内存在匀强磁场， 磁场方向如图，磁感应强度为B。一带正电的粒 子以速度v从O点射入磁场，入射方向在xoy平面 内，与x轴正向的夹角为θ。若粒子射出磁场的 位置与O点的距离为L，求该粒子的比荷q/m。
y
p
o
O d
v
30°
v
θ
B
答案:
R 2d
2dqB v m
t
m
6qB
附：电偏转与磁偏转的区别
注意： （1）电偏转是类平抛运动 磁偏转是匀速圆周运动 （2）这里射出速度的反向延长线与 初速度延长线的交点不再是宽度 线段的中点。这点与带电粒子在 匀强电场中的偏转结论不同！ θ
O
L v
y
R B
练 一个质量为m电荷量为q的带电粒子（不计重力） 从x轴上的P(a，0)点以速度v，沿与x正方向成
v
60º
如粒子带负电，则：
O
120º
x
二、入射点不确定引起的临界问题
例
如下图所示，两块长度均为5d的金属板相距d， 平行放置，下板接地，两极间有垂直只面向里的匀强 磁场，一束宽为d的电子束从两板左侧垂直磁场方向 射入两极间，设电子的质量为m，电量为e，入射速度 为v0，要使电子不会从两极间射出，求匀强磁场的磁 感应强度B应满足的条件。
——周期T与R和v无关 仅由粒子种类（m、q） 2 m 决定，和磁感应强度B 2 r = 运动周期： T = qB 决定。 v
qB 角速度： ω m
1 qB 频率： f T 2 m
2 1 (qBR) 动能： E mv 2 k 2 2m
解题的基本过程与方法
1 找圆心：
已知任意两点速度方向：作垂线 可找到两条半径，其交点是圆心。 已知一点速度方向和另外一点的 位置：作速度的垂线得半径，连 接两点并作中垂线，交点是圆心。
60º的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰
好垂直于y轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感
应强度B和射出点的坐标。
解析 ：
r
v
y B
2a
mv 3 Bq
O′ O
3mv 得 B 2aq 射出点坐标为（0， 3 a ）
a
v 60º
x
单边界磁场
练、如图，虚线上方存在磁感应强度为B的磁场， 一带正电的粒子质量m、电量q，若它以速度v沿与 虚线成300、900、1500、1800角分别射入， 1.请作出上述几种情况下粒子的轨迹 2.观察入射速度、出射速度与虚线夹角间的关系 3.求其在磁场中运动的时间。
不计重力。求磁感强度B和磁场区域的半径R。 y 解析： 基本思路： 1）作出运动轨迹；
v 30° P r
L=3r 2）找出有关半径的几何关系： 3）结合半径、周期公式解。 mv2 3mv qvB = B R qL 3 R L 3
L
R v B x
O
我们学了什么
1.带电粒子进入有界磁场,运动轨迹为一段弧线.
例、如图，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于 纸面向里，PQ为 该磁场的右边界线，磁场中有一点O到PQ的距离为r。现从点 O以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内各个不同的方向射 出，它们均做半径为r的匀速圆周运动，求带电粒子打在边界 PQ上的范围（粒子的重力不计）。 P P M 2r O O O r Q N Q Q r P
O′ 解： 作入射速度的垂线与ab的垂直平分线交于 O′点， O′点即为轨迹圆的圆心。画出离子在磁 场中的轨迹如图示： ∠a O′b=2 =60º ， 则r=2R=0.2m
2 mv qvB = r
A．4×105 m/s C． 4×106 m/s
B． 2×105 m/s D． 2×106 m/s
r r
①B较大时，R较小，电子恰好从左侧 飞出有:
5d
O2
R2
d
mv 0 d 2mv 0 d R2 , 即 ，得 B 2 eB 2 ed
②B较小时，R较大，电子恰好从右侧 飞出,有:
(R1 d ) (5d ) R , 得R1 13d
2 2
2 1
R1
mv 0 mv 0 13d 得B eB 13ed
L 5L 5qBL 2 从右边出， ( R1 ) 2 L2 R1 , 得R1 ，从而 v1 2 4 4m
L
v +q , m
B
L
qBL 5qBL 或者 v 4m 4m
L qBL 从左边出， R 2 ，从而 v2 4 4m
综上所述， v
四、速度方向确定，大小不确定引起的临界问题
mv 解：（1） R eB (本题是物理方法求半径 ）
（2）由几何知识得：圆心角： α = θ
m t T 2 eB

2 r R
R θ 2 O1
v
（3）由如图所示几何关系可知， tan

mv tan 所以：r eB 2
练、如图虚线所示区域内有方向垂直于纸面的匀强磁场，
一束速度大小各不相同的质子正对该区域的圆心O射入

2
θ2
R2
练、某离子速度选择器的原理图如图，在半径为R=10cm
的圆形筒内有B= 1×10－4 T 的匀强磁场，方向平行于轴 线。在圆柱形筒上某一直径两端开有小孔a、b。现有一 束比荷为q/m=2 ×1011 C/kg的正离子，以不同角度α入射， 其中入射角 α =30º ，且不经碰撞而直接从出射孔射出的 αa 离子的速度v大小是 （ ） C
带电粒子在圆形磁场中的运动
从平面几何的角度看，是粒子轨迹圆与磁场边界圆的两圆 相交问题。
一般情形：
B O C A B 有用规律三：（记下P96） 磁场圆心O和运动轨迹圆心O′都 在入射点和出射点连线AB的中 垂线上。 或者说两圆心连线OO′与两个交 点的连线AB垂直。
边 界 圆
O＇
轨迹圆
例如图虚线所围圆形区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场B。 电子束沿圆形区域的直径方向以速度v射入磁场，经过磁场 区后，电子束运动的方向与原入射方向成θ角。设电子质量 为m，电荷量为e，不计电子之间的相互作用力及所受的重力。 求： （1）电子在磁场中运动轨迹的半径R； r B （2）电子在磁场中运动的时间t； v O θ （3）圆形磁场区域的半径r。
• 3、常见的五种有界磁场：单边界磁场、双 边界磁场、矩形磁场、圆形磁场、三角形 磁场 • 4、解题关键有三点： • ①粒子圆轨迹的圆心O的确定 • ②运动半径R的确定 • ③运动周期T的确定
带电粒子在匀强磁场中的运动
由洛伦兹力提v qvB = r
θ
x v
入射速度与边界夹角= 出射速度与边界夹角
y v pθ o
θ
L R sin 4
q 2v si n m LB
f洛
θθ
x v
带电粒子在圆形磁场中的运动
从平面几何的角度看，是粒子轨迹圆与磁场边界圆的两圆 相交问题。
特殊情形：
v α B
O θ 边 界 圆
θ
O′
轨 迹 圆
有用规律二（请记下P96） 在圆形磁场内,入射速度沿径 向,出射速度也必沿径向.
O
b
qBr v 2 1011 10 4 0.2 4 106 m/s m
练、一磁场方向垂直于xOy平面，分布在以O为中心的圆形
区域内。质量为m、电荷量为q的带电粒子，由原点O开 始运动，初速为v，方向沿x正方向。粒子经过y轴上的P
点，此时速度方向与y轴的夹角为30º ，P到O的距离为L。
v θ
v
θ
O
v
α α α
2 画圆弧： 3 定半径： 几何法求半径 公式求半径
O 4 算时间：先算周期，再用圆心角 2m 算时间 θ = 2α T t T qB 2 注意：θ 应以弧度制表示
双边界磁场（一定宽度的无限长磁场）
例、一正离子,电量为q ,质量为m， 垂直射入磁感应强度为B、宽度为d 的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向 与其原来入射方向的夹角是30°， （1）离子的运动半径是多少？ （2）离子射入磁场时速度是多少？ （3）穿越磁场的时间又是多少？
N
例、如图，若电子的电量e，质量m，斜向上与
边界成60º射入磁感应强度B，宽度d的磁场， 若要求电子不从右边界穿出，则初速度v0应满
B
足什么条件？斜向下与边界成60º射入时，初
速度又应该满足什么条件？ v0 e
e
v0
B