带电粒子在磁场中的临界极值问题
带电粒子在磁场运动的临界与极值问题考点解读
解决此类问题的关键是：找准临界点．
找临界点的方法是：以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径R和速度v(或磁场B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，常用结论如下：
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
(2)当速度v一定时，弧长(或弦长)越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．
(3)当速率v变化时，圆周角越大，运动时间越长．
典例剖析
1．磁感应强度的极值问题
例1 如图所示，一带正电的质子以速度v0从O点垂直射入，两个板间存在垂直纸面向里的匀强磁场．已知两板之间距离为d，板长为d，O点是板的正中间，为使质子能从两板间射出，试求磁感应强度应满足的条件(已知质子的带电荷量为e，质量为m)．
2．偏角的极值问题
例2 在真空中，半径r＝3×10－2 m的圆形区域内有匀强磁场，方向如图所示，磁感应强度B＝0.2 T，一个带正电的粒子以初速度v0＝1×106 m/s从磁场边界上直径ab的一端a射入
磁场，已知该粒子的比荷q
m＝1×10
8 C/kg，不计粒子重力．
(1)求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径；
(2)若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角，求入射时v0与ab的夹角θ及粒子的最大偏转角．
3．时间的极值问题
例3如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值．静止的带电粒子带电荷量为＋q，质量为m(不计重力)，从点P经
电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为θ＝45°，孔Q到板的下端C 的距离为L，当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，求：
(1)两板间电压的最大值U m；
(2)CD板上可能被粒子打中的区域的长度x；
(3)粒子在磁场中运动的最长时间t m.
4．面积的极值问题
例4如图12所示，一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽略不计。
《带电粒子在磁场运动的临界与极值》反馈训练
1. 一个质子和一个α粒子沿垂直于磁感线方向从同一点射入一个匀
强磁场中，若它们在磁场中的运动轨迹是重合的，如图1所示， 则它们在磁场中 ( ) A ．运动的时间相等 B ．加速度的大小相等 C ．速度的大小相等 D ．动能的大小相等
2. 如图3所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有两个电荷量绝对值相同、质量相同的正、负粒子(不计重力)，从A 点以相同的速度先后射入磁场中，入射方向与边界成θ角，则正、负粒子在磁场中( )
A ．运动时间相同
B ．运动轨迹的半径相同
C ．重新回到边界时速度大小和方向相同
D ．重新回到边界时与A 点的距离相等
3．如图4所示，一个质量为m 、电荷量为＋q 的带电粒子，不计重
力，在a 点以某一初速度水平向左射入磁场区域Ⅰ，沿曲线 abcd 运动，ab 、bc 、cd 都是半径为R 的圆弧．粒子在每段圆弧 上运动的时间都为t .规定垂直纸面向外的磁感应强度方向为 正，则磁场区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分的磁感应强度B 随x 变化的 关系可能是图中的 ( )
4. 如图所示，直角三角形ABC 中存在一匀强磁场，比荷相同的两个粒
子沿AB 方向自A 点射入磁场，分别从AC 边上的P 、Q 两点射出，则 ( ) A ．从P 射出的粒子速度大
B ．从Q 射出的粒子速度大
C ．从P 射出的粒子，在磁场中运动的时间长
D ．两粒子在磁场中运动的时间一样长
5．如图所示，宽l=1cm 的有界匀强磁场，纵向范围足够大，磁感应强度的方向垂直纸面向内，现有一群正粒子从O 点以相同的速率沿纸面不同方向进入磁场，若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径均为r=5cm ，则（ ） A ．右边界：-3cm ＜y ＜3cm 有粒子射出 B ．右边界：y ＞3cm 和y ＜-3cm 有粒子射出 C ．左边界：y ＞6cm 有粒子射出 D ．左边界：0＜y ＜6cm 有粒子射出
6.
如图，在一水平放置的平板MN 的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为
B ，磁场方向垂直于纸面向里．许多质量为m 带电量为
+q 的粒子，以相同的速率v 沿位于纸面内的各个方向，由小孔O 射人磁场区域．不计重力，不计粒子间的相互影响．下列图中阴影部分表示带电粒子能经过区域，其中R=mv/qB ．哪个图是正确的( )
计，求：（1）粒子能从ab 边上射出磁场的v 0大小范围.
（2）如果带电粒子不受上述v 0大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间.
11．如图所示的平行板器件中，存在相互垂直的匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度
B 1＝0.40 T ，方向垂直纸面向里，电场强度E ＝2.0×105
V/m ，PQ 为板间中线．紧靠平行
板右侧边缘xOy 坐标系的第一象限内，有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B 2＝0.25 T ，磁场边界AO 和y 轴的夹角∠AOy ＝45°.一束带电荷量q ＝8.0×10
－19
C 的正离子从P
点射入平行板间，沿中线PQ 做直线运动，穿出平行板后从y 轴上坐标为(0,0.2 m)的Q 点垂直y 轴射入磁场区，离子通过x 轴时的速度方向与x 轴正方向夹角在45°～90°之间．则：
(1)离子运动的速度为多大？ (2)离子的质量应在什么范围内？
(3)现只改变AOy 区域内磁场的磁感应强度大小，使离子都不能打到x 轴上，磁感应强度大小B 2′应满足什么条件？
12.如图所示，M 、N 为中心开有小孔的平行板电容器的两极板，相距为D ，其右侧有一边长为2a 的正三角形区域，区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，在极板M 、N 之间加上电压U 后，M 板电势高于N 板电势．现有一带正电的粒子，质量为m ，电荷量为q ，其重力和初
× × × × × × × × × × × × a b c d θ
O v 0
速度均忽略不计，粒子从极板M的中央小孔s1处射入电容器，穿过小孔s2后从距三角形A 点a3的P处垂直AB方向进入磁场，试求：
（1）粒子到达小孔s2时的速度和从小孔s1运动到s2所用的时间；
（2）若粒子从P点进入磁场后经时间t从AP间离开磁场，求粒子的运动半径和磁感应强度的大小；
（3）若粒子能从AC间离开磁场，磁感应强度应满足什么条件
带电粒子在磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解，多解形成原因一般包含下述几个方面．
1．带电粒子电性不确定
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，当粒子具有相同速度时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致多解．
如图5所示，带电粒子以速率v 垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a ，若带负电，其轨迹为b .
2．磁场方向不确定形成多解
磁感应强度是矢量，如果题述条件只给出磁感应强度大小，而未说明磁感应强度方向，则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解．
如图6所示，带正电粒子以速率v 垂直进入匀强磁场，若B 垂直纸面向里，其轨迹为a ，若B 垂直纸面向外，其轨迹为b .
图5 图6 图7 图8
3．临界状态不惟一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射面边界反向飞出，如图7所示，于是形成了多解． 4．运动的往复性形成多解
带电粒子在部分是电场，部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解．如图8所示．
典例剖析
1．带电粒子性质的不确定形成多解
例1 如图所示，直线边界MN 上方有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，磁场区域足够大．今有一质量为m ，带电荷量为q 的带电粒子，从边界MN 上某点垂直磁场方向射入，射入时的速度大小为v ，方向与边界MN 的夹角为θ，求带电粒子在磁场中的运动时间．
2．磁场方向不确定形成多解 例2 某电子以固定的正点电荷为圆心在匀强磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，磁场方向垂直于它的运动平面，电子所受正点电荷的电场力是洛伦兹力的3倍．若电子电荷量为e 、质量为m ，磁感应强度为B ，不计重力，则电子运动的角速度可能是 ( )
A.4Be
m
B.3Be m
C.2Be m
D.Be m
3．运动方向不确定形成多解
例3 如图所示，绝缘摆线长为L ，摆球带正电(电荷量为q ，质量为m )悬于O 点，当它在磁感应强度为B 的匀强磁场中来回摆动经过最低点C 时速率为v ，则摆线的拉力为多大？
4．运动的往复性形成多解
例4如图11所示，在NOQ范围内有垂直于纸面向里的匀强磁场Ⅰ，在MOQ范围内有垂直于纸面向外的匀强磁场Ⅱ，M、O、N在一条直线上，∠MOQ＝60°，这两个区域磁场的磁感应强度大小均为B.离子源中的离子带电荷量为＋q，质量为m，通过小孔O1进入两板间电压为U的加速电场区域(可认为初速度为零)，离子经电场加速后由小孔O2射出，再从O点进入磁场区域Ⅰ，此时速度方向沿纸面垂直于磁场边界MN，不计离子的重力．
(1)若加速电场两板间电压U＝U0，求离子进入磁场后做圆周运动的半径R0；
(2)在OQ上有一点P，P点到O点距离为L，若离子能通过P点，求加速电压U和从O 点到P点的运动时间．