七年级数学三线八角的认识
数学三线八角模型
数学三线八角模型数学中有一种特殊的八角形模型，它被称为数学三线八角模型。
这个模型在数学领域中有着重要的应用，它是由数学三线和八角形组成的。
下面我将详细介绍数学三线和八角形的定义和性质，以及数学三线八角模型的应用。
让我们来了解一下数学三线。
数学三线是指一个多边形内部的三条特殊的直线，它们分别是：内角平分线、中线和高线。
内角平分线是指从多边形内部的一个顶点出发，将相邻两个内角平分成相等的两部分的直线。
中线是指连接多边形的两个不相邻顶点的直线，并且中线的长度等于两个顶点连线长度的一半。
高线是指从多边形的一个顶点向对边的垂直直线。
接下来，我们来了解一下八角形。
八角形是一种具有八个角的多边形。
它有八条边和八个顶点。
八角形是一种特殊的多边形，它具有许多有趣的性质。
例如，八角形的内角和为1080度，每个内角的度数为135度。
此外，八角形的对角线个数为20条，对角线的长度可以通过数学公式计算得出。
有了数学三线和八角形的定义和性质，我们可以将它们结合起来，形成数学三线八角模型。
数学三线八角模型是指通过连接八角形的顶点和边上的特殊直线，形成的一个几何模型。
这个模型具有许多有趣的性质和应用。
数学三线八角模型在几何学中有着重要的应用。
它可以帮助我们研究八角形的特性和性质，推导出八角形的各种公式和定理。
例如，通过数学三线八角模型，我们可以证明八角形的内角和为1080度，每个内角的度数为135度。
这个结论对于解决与八角形相关的几何问题非常有帮助。
数学三线八角模型在数学解题中也有着广泛的应用。
通过运用数学三线八角模型，我们可以解决各种与八角形相关的问题。
例如，给定一个八角形的边长，我们可以利用数学三线八角模型中的定理和公式计算出八角形的面积和周长。
这对于解决实际问题非常有用，如建筑设计中的八角形建筑物的设计和计算。
数学三线八角模型还可以帮助我们研究其他几何形体的特性和性质。
通过将数学三线八角模型应用到其他多边形中，我们可以推导出它们的性质和定理。
七年级三线八角课件
2023七年级三线八角课件CATALOGUE 目录•引言•三线八角的定义和性质•基础概念和定理•习题解答和分析•课堂互动与拓展•教学反思和总结01引言1课程背景23学生在小学阶段已经接触过简单的图形知识七年级数学上册第一章已经学习了线段和角本课件是为了帮助学生巩固所学知识并深入理解三线八角相关内容掌握三线八角的概念及基本性质会用符号表示三线八角能利用三线八角解决实际问题课程目标教学内容三线八角的概念及基本性质三线八角的表示方法利用三线八角解决实际问题02三线八角的定义和性质三线八角的定义七年级数学中三线八角是指由同一条直线上的三条线段或射线组成的八个角。
底角: 在三角形中，相邻两边之间的夹角小于90度，这个角叫做底角。
顶角: 在三角形中，相邻两边之间的夹角大于90度，这个角叫做顶角。
等角: 如果两个角的度数相等，那么这两个角叫做等角。
如果两个角是等角，那么它们所对的边也是相等的。
等角对等边 在两条平行线被第三条直线所截的情况下，内错角相等。
内错角相等 在两条平行线被第三条直线所截的情况下，同位角相等。
同位角相等 对顶角相等是指如果两个角是对顶角，那么它们的度数相等。
对顶角相等在几何证明中，三线八角是一种常见的几何图形，常常被用来进行各种几何证明。
在解决一些实际问题时，三线八角也常常被用来作为辅助线或者构造一些几何形状。
03基础概念和定理基础概念射线一个点沿着一定方向无限延伸形成的图形。
直线一个或多个点沿着一定路径无限延伸形成的图形。
线段两个点之间的距离形成的图形。
平行线永远不会相交的两条直线。
相交线两条直线或射线在同一点相遇形成的交点。
定理的证明和解读对顶角相等两个相交的直线或射线在形成两个角，这两个角互为对顶角，它们的大小相等。
三角形内角和为180度一个三角形内的三个角的度数之和等于180度。
四边形内角和为360度一个四边形内的四个角的度数之和等于360度。
定理的应用利用对顶角相等，可以证明两个角是否相等。
苏教版七年级下册数学知识点总结
第七章 平面图形的认识（二）一、知识点：1、“三线八角”① 如何由线找角：一看线，二看型。
同位角是“F ”型；内错角是“Z ”型；同旁内角是“U ”型。
② 如何由角找线：组成角的三条线中的公共直线就是截线。
2、平行公理：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。
简述：平行于同一条直线的两条直线平行。
补充定理：如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线也平行。
简述：垂直于同一条直线的两条直线平行。
34、图形平移的性质：图形经过平移，连接各组对应点所得的线段互相平行（或在同一直线上）并且相等。
5、三角形三边之间的关系：三角形的任意两边之和大于第三边；三角形的任意两边之差小于第三边。
若三角形的三边分别为a 、b 、c ，则b a c b a +<<-6、三角形中的主要线段：三角形的高、角平分线、中线。
注意：①三角形的高、角平分线、中线都是线段。
②高、角平分线、中线的应用。
7、三角形的内角和：三角形的3个内角的和等于180°；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。
8、多边形的内角和：n边形的内角和等于（n-2）•180°；任意多边形的外角和等于360°。
第八章幂的运算幂（power）指乘方运算的结果。
a n指将a自乘n次(n个a相乘）。
把a n看作乘方的结果，叫做a的n次幂。
对于任意底数a,b，当ｍ，ｎ为正整数时，有:aｍ•a n=a m+n (同底数幂相乘,底数不变,指数相加)aｍ÷a n=a m-n (同底数幂相除,底数不变,指数相减)(aｍ)n=a mn (幂的乘方,底数不变,指数相乘)(ab)n=a n a n (积的乘方,把积的每一个因式乘方,再把所得的幂相乘)a0=1(a≠0) (任何不等于0的数的0次幂等于1)a-n=1/a n (a≠0) (任何不等于0 的数的-n次幂等于这个数的n次幂的倒数)科学记数法:把一个绝对值大于10(或者小于1)的整数记为a×10n的形式(其中1≤|a|＜10),这种记数法叫做科学记数法.复习知识点：1.乘方的概念:a中，a 叫做底数，求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
【七年级寒假班讲义】第6讲三线八角及平行线的判定(教师版)
初一数学寒假班（教师版）同位角、内错角、同旁内角（三线八角） 若直线3被直线，所截：（1）同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做 同位角.（如N1和N5）（2）内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角 叫做内错角.（如N3和N5）（3）同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角.（如N3和N6 ） 注意：三线八角是位置关系，数量上没有确定的关系.模块一：三线八角的意义知识精讲【例1】如图，N2与N3是 角.Z2与N4是 角. N2与N5是 角. Z1与N5是 角. Z3与N5是 角. Z3与N7是 角. N3与N8是 角. N2与N8是 角.【难度】★ 【答案】邻补角、对顶角、同旁内角、同位角、内错用、同位角、同旁内角、内错角. 【解析】考查线八角的角的概念. 【总结】考查三线八角的本概念.【例2】填空(1)/3和N1是两条直线 和 被第三条直线 所截构成的 角. (2)44c3与N7是两条直线 和 被第三条直线 所截构成的 角. (3)/3与N5是两条直线 和 被第三条直线 所截构成的 角. (4)/3与NB 是两条直线 和 被第三条直线 所截构成的 角. (5)Z2与N7是两条直线 和 被第三条直线 所截构成的 角.【难度】★【答案】(1)BC 、DE 、AB 、同位角：(2) BC 、DE 、AC,同位角:(3) BA 、CA. DC 、内错角: (5) DC. AC. DE 、内错角.【解析】考查线八角的角的概念. 【总结】考查三线八角的本概念.例题解析(4) DC. BC 、BA 、同旁内角:【例3】如图，同旁内角有( )对.A. 4对B. 3对C. 2对【难度】★【答案】B【解析】任意两个角都互为同旁内角,共3对.【总结】考查同旁内角的概念.【例4】如图，同位角共有（）对.A. 1对B. 2对C. 3对【难度】★【答案】B【解析】同位角像F形，由F形找同位角.【总结】考查同位角的概念.【例5】如图，是同位角关系的是（）.N2 和N4A. N3 和N4B. N1 和/4C.【难度】★【答案】B【解析】A是内错角：B内错角：C同旁内角.【总结】考查同位角的概念.【例6】如图，内错角共有（）对.A. 1对B. 2对C. 3对【难度】★★【答案】D【解析】NEDB 与/DBC、/EDB 与NDB.4、/FDB 与/DBC、/FDB 与NDBA,共4 对【总结】考查内错角的概念.【例7】如图，同旁内角共有（）对.A. 10 对B. 8 对C. 6 对【难度】★★【答案】C【解析】四边形内有4组，四边形上方和右边各有一组, 共6组.【总结】考查同旁内角的判定.【例8】如图，N1与N2是两条直线—和—被第三条直线所截构成的角.Z3与N4是两条直线和被第三条直线所截构成的角.【难度】★★【答案】AD. BC、AC、内错角：AB. CD、AC、内错角.【解析】内错角像字母Z.【总结】考查内错角的特点及判定.［例9］如图，NC 的同位角有，同旁内角是Z1与N2是 角.直线,空和8被疝）所截，Nd 的内错角是 ZJ 与ZADC 是 角.【难度】★★【答案】Z/WE. NBDE ： ZABC. /DBC 、ZADC. /BDC ； 内错角：NAOE ：同旁内角.【解析】同位角像字母F,内错角像字母Z,同旁内角像字母U. 【总结】考查基本角的特点.【例10］如图，N1的同位角是/， N1的内错角是N , N1的同旁内角是Z, N1的对顶角是N , N1的邻补角是/【难度】★★★【答案】NDEB 、NEBH ： ZAEF. NIBF ； /BEF 、NEBF ；NCFG ； /CFD 、4GFH.【解析】同位角像字母F,内错角像字母Z,同旁内角像字母U, 找的时候要注意找全.【总结】考查基本角的特点及概念.【例11］如图，。
七年级三线八角课件
课堂练习效果评价
详细描述
知识点覆盖程度
做题时间与速度
题目难度评价
01
02
总结词
通过观察学生的问题回答情况，教师可以及时发现学生在知识掌握上的不足和问题，以便及时采取措施进行补救。
详细描述
在七年级数学教学中，学生问题回答情况反馈可以从以下几个方面展开
教学目标
教学目标与要求
三线八角的定义及性质
02
在同一个平面内，不相交的两条直线互相平行。
三线的定义
平行线
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，两条直线互相垂直。
垂线
既不平行于第一条直线，也不垂直于第二条直线。
第三条线
内错角
在两个平行直线被第三条直线所截的情况下，处于被截直线之间，且分别位于截线的两侧的两个角。
同位角
在两个平行直线被第三条直线所截的情况下，处于被截直线同侧，且分别位于截线的同侧或异侧的两个角。
同旁内角
在两个平行直线被第三条直线所截的情况下，处于被截直线之间，且位于截线的同侧的两个角。
八角的定义
三线八角的基本性质
对顶角相等；等腰三角形两底角相等；三角形三个内角之和等于180度。
等量代换；等角代换；全等三角形的对应边相等，对应角相等。
两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
三线八角的应用与判定
03
在道路交叉口设置三线八角，用于指示车辆和行人安全行驶和停靠。
指示路标
宣传工具
装饰照明
企业或组织在宣传活动中使用三线八角作为标志，以突出自己的形象和品牌。
初中数学几何专题-初一讲义三线八角
第二讲 三线八角【知识要点】（1）同位角：F 形 （2）内错角：Z 形 （3）同旁内角：U 形（4）识别方法：无公共的顶点，以同一条直线为截线【典题讲练】如图所示，直线AB ，CD 与EF 相交（或两条直线AB ，CD 被第三条直线EF 所截），构成8个角. （1）1∠和5∠这两个角分别在直线AB ，CD 的________，并且都在直线EF 的________，具有这种关系的一对角叫做同位角.（2）3∠和5∠这两个角都在直线AB ，CD 之间，并且分别在直线EF 的________，具有这种关系的一对角叫做内错角.（3）3∠和6∠这两个角都在直线AB ，CD ________，并且在直线EF 的________，具有这种关系的一对角叫做同旁内角.（4）找出图中共有多少对同位角、内错角及同旁内角.【例1】（1）1∠与5∠是两条直线_____和_____被第三条直线______所截构成的______角.（2）2∠与8∠是两条直线_____和_____被第三条直线______所截构成的______角. （3）2∠与5∠是两条直线_____和_____被第三条直线______所截构成的______角. （4）3∠与7∠是两条直线_____和_____被第三条直线______所截构成的______角.【练】如图，分别写出4∠与1∠，4∠与2∠，4∠与3∠，4∠与5∠各是由哪两条直线被哪条直线所截形成的什么角.【变1】看图填空：（1）∠1和∠4是____________角；（2）∠1和∠3是____________角； （3）∠2和∠D 是____________角；（4）∠3和∠D 是____________角； （5）∠4和∠D 是____________角；（6）∠4和∠B 是____________角．【变2】看图填空：（1）若ED ，BC 被AB 所截，则∠1与____________是同位角． （2）若ED ，BC 被AF 所截，则∠3与____________是内错角．（3）∠1 与∠3是AB 和AF 被____________所截构成的____________角．（4）∠2与∠4是____________和____________被BC 所截构成的____________角．【变3】如图，下列结论正确的有__________________．①∠ABC 与∠C 是同位角； ②∠C 与∠ADC 是同旁内角； ③∠BDC 与∠DBC 是内错角； ④∠ABD 的内错角是∠BDC ；⑤∠A 与∠ABD 是由直线AD ，BD 被直线AB 所截得到的同旁内角．【例2】（1）在图中，∠1与∠2是同位角的有__________________．（2）如下左图，与∠B 是同旁内角的角有__________________．（3）如下右图，在∠1，∠2，∠3，∠4中，是内错角的是__________________．（1）如图，AB 是一条直线，下图中∠1和∠2是同位角的是（）．B ．C ．D ．（2）如下左图所示，与∠C 构成同旁内角的有__________________．（3）如上右图，在所标识的角中，是内错角的是（ ）（2）如下中图所示，图中能与∠C 构成同旁内角的有__________个．（3）如下右图，若直线MN 与△ABC 的边AB 、AC 分别交于E 、F ，则图中的内错角有______对．【练】如图，有下列说法：①能与∠DEF 构成内错角的角的个数有2个； ②能与∠BFE 构成同位角的角的个数有2个；③能与∠C 构成同旁内角的角的个数有4个，其中结论正确的是____________.【例4】（1）图中所标出的角中，同位角一共有_______对，内错角一共有_______对，同旁内角一共有_______对．（2）如图所示，同位角一共有_______对，内错角一共有_______对，同旁内角一共有有_______对．【练】（1）如下左图，同位角一共有_______对，内错角一共有_______对，同旁内角一共有有_______对． （2）如下中图，同位角一共有_______对，内错角一共有_______对，同旁内角一共有有_______对． （3）如下右图，直线AB ∥CD ，两相交直线EF 、GH 与AB 、CD 都相交，同位角一共有_______对，内错角一共有_______对，同旁内角一共有有_______对．【拓】如图一共有__________对内错角．【家庭作业】1．如图2－1，填空：（1）∠1和∠2是直线_______和直线_______被直线_______所截形成的__________； （2）∠3和∠4是直线_______和直线_______被直线_______所截形成的__________； （3）∠5和∠8是直线_______和直线_______被直线_______所截形成的__________； （4）∠2和∠7是直线_______和直线_______被直线_______所截形成的__________．2．如图2－2，∠B 的同旁内角有_____________________．3．如图2－3，直线a 、b 、c 两两相交于A 、B 、C 三点，则图中有_______对同位角，_______对内错角，_______对同旁内角.4．如图2－4，直线a 、b 被直线c 所截，∠1＝50°，∠2＝115°. （1）求∠1的同位角的度数；（2）求∠4的内错角的度数；（3）求∠3的同旁内角的度数. 5．如图2－5，直线AB 、AC 被直线DE 所截，构成图中有数字记号的8个角和∠A.请写出这9个角中所有的同位角、内错角、同旁内角.图2-454321cba87654321EDA 图2-3图2-2图2-1c b aFED C B AE D C B A 876543216．如图2－6，△ABC ，直线l 与AB 、BC 分别相交.请写出图中标有数字的四个角和△ABC 的三个角中，共有哪些角是同旁内角，并指出每对同旁内角分别是哪两条直线被哪条直线所截.【补充训练】1、如图所示，图中共有内错角__________对2、如图所示，与∠A 是同旁内角的角共有 _________ 个．3、如图，n 条水平直线（n 为大于1的整数）与一条倾斜直线a 相交.（1）根据上述图形，完成下表：（2）归纳：n 条水平直线与倾斜直线a 相交可得_______条线段，_______对同位角，_______对内错角，_______对同旁内角.图2-6l4321CBA。
初中数学06-三线八角及平行线的判定-教师版
数学寒假班（教师版）模块一：三线八角的意义知识精讲同位角、内错角、同旁内角（三线八角）若直线 a， b 被直线l 所截：（ 1）同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．（如1和5）（ 2）内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．（如3和5 ）（ 3）同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．（如3和6 ）注意：三线八角是位置关系，数量上没有确定的关系． 2 178三线八角及平行线的判定34知∠2 与∠4 是 __ 角． ∠2 与∠5 是 __ 角． ∠1 与∠5 是 __ 角． ∠3 与∠5 是 __ 角． ∠3 与∠7 是 __ 角． ∠3 与∠8 是 __ 角． ∠2 与∠8 是 __ 角．例题解析1】如图，∠______________ 2 与∠ 3 是 角． (1)∠ B 和∠ 1 是两条直线 ___ ___和 __ ___被第三条直线 __ ___ 所截构成的 ___ __ ___(2)ACB 与∠ 7 是两条直线_____ 和 _ ___ 被第三条直线___ _ ___ 所截构成的____ __ ___ (3)∠ 3 与∠ 5 是两条直线 ____ ___和 ____被第三条直线 __所截构成的 __ ___角． (4) 3 与∠ B 是两条直线 ___和 __ __被第三条直线 ___ __所截构成的 __ ___角． (5) 2 与∠ 7 是两条直线 ___和 __ __被第三条直线 __所截构成的 __ ___角．BC 、 DE 、 AB 、同位角；( 2) BC 、 DE 、 AC 、同位角；3) BA 、 CA 、 DC 、内错角； 4) DC 、 BC 、 B A 、同旁内角；5) DC 、 AC 、 DE 、内错角．C3】如图，同旁内角有 ( A ． 4对B ． 3对C ． 2对3 对．2】角角EBD24】如图，同位角共有( )对．A． 1 对B． 2对C． 3对【答案】 BF 形，由 F 形找同位角．5】如图，是同位角关系的是( )．A．∠ 3 和∠ 4 B．∠ 1 和∠ 4【答案】 BA 是内错角；B 内错角；C 同旁内角．6】如图，内错角共有( )对．A． 1 对B． 2对C． 3对【答案】 DEDB 与∠DBC、∠ EDB 与∠DBA、∠ FDB 与∠ DBC、∠ FDB 与∠ DBA，共 4 对7】如图，同旁内角共有( )对．A． 10对B． 8对C． 6对【答案】 C4 组，四边形上方和右边各有一组，共 6 组．8】如图，∠ 1 与∠ 2 是两条直线 _____ 和被第三条直线所截构成的 _____ 角．3 与∠4 是两条直线___ _______ 和被第三条直线______ 所截构成的______ 角．AD、 BC、 AC、内错角； AB、 CD、 AC、内错角．Z．1、平行线的定义同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．9】 如图， ∠ C 的同位角有同旁内角是 _________________1 与∠2 是 _____ 角． 直线 AB 和 CD 被 AD 所截， ∠ A 的内错角是 _ _________________ ， ∠ A 与∠ ADC 是 __ 角．ADE 、∠ BDE ；∠ABC 、∠ D BC 、∠ A DC 、∠BDC ；内错角；∠ ADE ；同旁内角． F ，内错角像字母Z ，同旁内角像字母U ．10】如图，∠ 1 的同位角是∠ _____ ，∠ 1的内错角是∠ _____ ，∠ 1 的同旁内角是____ ， ∠ 1 的对顶角是∠ ___ ，∠ 1 的邻补角是∠ _____ ．DEB 、∠ EBH ；∠ AEF 、∠ IBF ；∠ BEF 、∠ EBF ； ∠ CFG ；∠ CFD 、∠ GFH ．F ，内错角像字母 Z ，同旁内角像字母找的时候要注意找全．11】 如图， DC 垂直于 AE ，已知∠ DCE 的同位角是它的一半，∠ B=2∠ ACB ，试判断 △ ABC 的形状．DC ⊥ AE ，∴∠ DCE=90 DCE 的同位角是∠BAC ，由题已知∠ BAC=45 B+∠ ACB=180° -45° =135° 又∵∠ B=2∠ ACB ∴∠ B=90°，∠ ACB=45° ∴△ ABC 为等腰直角三角形模块二：平行线的意义和性质知识精讲2、平行线的基本性质1 ）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；2）平行线之间的距离处处相等；3）平行于同一条直线的两直线平行（平行的传递性）．4）同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．5）两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离，平行线间的距离处处相等．12】已知直线________________________ a// b ，b //c，那么a c 【答案】平行13】 a、 b、 c 是直线，且a//b， b⊥ c，则a 与 c 的位置关系是．【答案】垂直a∥ b， b⊥ c，∴a⊥ c．14】下列说法中，正确的是（）．A．两直线不相交则平行B．两直线不平行则相交C．若两线段平行，那么它们不相交D．两条线段不相交，那么它们平行【答案】 CA、 B 错； D 错误．15】在同一平面内，有三条直线，其中只有两条是平行的，那么交点有（）．A． 0个B． 1 个C． 2个D． 3个C16】下列说法中，错误的有（）．①若 a 与 c相交， b与 c相交，则 a 与 b 相交；②若 a∥ b， b∥ c，那么a∥ c；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种A． 3 个B． 2 个C． 1 个D． 0 个【答案】 Aa 与b 可能平行，错误；②平行线的传递性，正确；③这个点必须不在已知直线上，错误；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交两种，错误．17】如图，按要求画平行线．（ 1）过P 点画AB 的平行线EF；（ 2）过P 点画CD 的平行线MN ．18】如图，点A， B 分别在直线 l1， l2上，（ 1 ）过点 A 画到l 2的垂线段；（ 2）过点 B 画直线 CD∥ l1．模块三：平行线的判定知识精讲平行线的三种判定方法： （ 1 ）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单地说，同位角相等，两直线平行．2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单地说，内错角相等，两【答案】∠DCE=∠ A等．CEAB19】如图，请写出能判定CE∥ AB 的一个条件．D20】如图， AB∥ CD， AC⊥BC，∠【答案】25°．AB∥ CD（已知），所以ACE BAC（两直线平行，内错角相等），因为∠BAC =65°（已知），所以BAC =65°，则∠_________ BCD = 度．ACE 65o（等量代换）．E C D ACB 90o（垂直的意义）ACE ACB BCD 180o（邻补角的意义），21】如图，下列说法错误的是（）．A．∠ 1 和∠ 3 是同位角；B．∠C．∠ 1 和∠ 2 是同旁内角；D．∠【答案】 BZ．22】已知，△ ABC 中， DE 垂直于AC 于E，1和∠ 5 是同位角；5和∠ 6 是内错角．1 2365 4△ ACB=90° ，试说明DE△ BC 的理由．E CAD因为∠ACB=90°（已知），所以∠ACB=∠ AED（等量代换），所以 DE ∥ BC（同位角相等，两直线平行）例23】如图，∠5=∠CDA =∠ABC，∠1=∠4，∠2=∠3，∠BAD +∠CDA=180° ，填空：5=∠ CDA（已知）______ // ____ （内错角相等，两直线平行）5=∠ ABC（已知）______ // ____ （同位角相等，两直线平行）2=∠ 3（已知）______ // ____ （内错角相等，两直线平行）BAD+∠ CDA=180° （已知）∴ _____ // ____ （同旁内角互补，两直线平行）∵∠5=∠ CDA（已知），又∵∠ 5 与∠ BCD 互补，∠C DA 与互补（邻补角定义）∴∠B CD=∠ 6（等角的补角相等）∴ _____ // ____ （同位角相等，两直线平行）AD、 BC； AB、CD； AB、C D；AB、CD；∠6；AD、BC．AB⊥ BC，∠1+∠ 2=90° ，∠2=∠ 3，那么BE 与24】如图，DF 平行吗 ?为什么AB⊥ BC（已知），所以∠ ABC=90 °（垂直的意义），即 3 4 90o（角的和差）因为∠2=∠ 3（已知），所以 2 4 90o（等量代换）因为∠1+∠ 2=90°（已知），所以∠1=∠ 4（同角的余角相等），所以 BE∥ DF （同位角相等，两直线平行）1+∠ 3=90° ，试说明 AB//CDE B 2 3CDAFCDGQP1C2MNBCHBAEOD10/ 18所以 GOHAC 、 BC 分别平分∠ QAB 、∠ ABNO 、点 E ， GO ⊥ OH ， OH 平分∠ AOC2=3∠1AC 、 BC 分别平分∠ QAB 、∠ ABN （已知）1∠ QAB ，∠ 2= 1 ∠ ABN （角平分线的意义）B1E所以AOH COH （角平分线的意义）．因为 BOC COA 180o（邻补角的意义），所以∠GOB+∠ HOC=90°（等式性质）因为∠EDO+∠ GOB=90°（已知）所以∠EDO =∠ HOC （同角的余角相等）所以 OH ∥ EF（同位角相等，两直线平行）【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及同角的余角相等的综合运用，解题时认真分析，找出角度间的关系．29】如图，∠ABE=∠ E+∠ D，试说明A B//CD 的理由．【答案】略D E ECD 180o（三角形内角和等于又 ECD DCB 180o（邻补角的意义）所以∠ DCB=∠ E+∠ D（等式性质）因为∠ABE=∠ E+∠ D（已知）所以∠DCB=∠ ABE（等量代换），所以AB ∥ CD（内错角相等，两直线平行）综合性较强，解题时要认真分考查平行线的判定定理及三角形内角和的综合运用，析1】观察图，下列说法中，正确的是（习题2】如图，能使AB∥ CD 的条件是（）．A. ∠ 1=∠ BC．∠1+∠ 2+∠ B=180B ．∠3=∠AC 选项满足条件．3】一学员在广场上练习驾车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次 拐弯的角度是（ ）A ．第一次向左拐 30o，第二次向右拐 30oB ．第一次向右拐 50o，第二次向左拐 130oC ．第一次向右拐 50o，第二次向右拐 130oD ．第一次向左拐 50o，第二次向左拐 130o【答案】 A B 向左拐了50°， C 、 D 都朝相反方向开去．4】如图，在下列条件中，能判定AB//CD 的是（）A ．∠ 1=∠ 3B ．∠ 2=∠ 3 CA 错误；B 能推出 AD ∥ BD ； D 错误．5】如图，图中所标号的 8 个角，是∠ C ．∠ 1=∠ 4 D ．∠ 3=∠ 4 A2143DB C1 的同位角的是 ______ ；∠ 3 的内错角是4 的同位角是 ______ ；∠ 6 的内错角是 2；∠ 5；∠ 6、∠ 8；∠ 3、∠ 7； ∠ 4；∠ 5． 习题 6】 如图，已知直线b ⊥ a ，c ⊥ a ．那么直线 b 与 如果不平行，举出反例． b ⊥ a ， c ⊥ a （已知），∴∠ 1=∠ 2=90°（垂直的意义）， ∴ b ∥ c （同位角相等，两直线平行）．76284315c 平行吗？如果平行，请给出证明； bc 1 a7】如图，已知AC⊥ AE， BD⊥ BF，∠1=35°，∠2=35°， AC 与 BD 平行吗 ?AE 与 BF平行吗?为什么?1=35° ，∠2=35°（已知），所以∠ 1=∠ 2（等量代换），因为 AC⊥ AE， BD⊥ BF（已知），所以∠ NBF=∠ BAE（等式性质）所以 AE ∥ BF（同位角相等，两直线平行）FA 8】如图，∠1+∠ 2=180° ． AE 与 FC 会平行吗? 说明理由． D【答案】平行．1+∠ 2=180°（已知），∠2+∠ BDC=180°（邻补角的意义） B1 所以∠ 1=∠ BDC（同角的补角相等）CE 所以 CF ∥ AE（同位角相等，两直线平行）9】根据图完成下列填空（括号内填写定理或公理）1 ）∵∠1= ∠ 4（已知）2）∵∠ ABC +∠ ____ =180°（已知）∴ AB∥ CD（3）∵∠______ =∠ _______ （已知）∴ AD ∥ BC（）4）∵∠5=∠ ______ （已知）∴ AB∥ CD（）1 ） AB ∥ CD、内错角相等，两直线平行；（ 2）∠ BCD 、同旁内角互补，两直线平行；（ 3）∠2=∠ 3、内错角相等，两直线平行；（ 4）∠ ABC 、同位角相等，两直线平行．10】已知DE⊥ BC， FG⊥ BC，∠ DEH=∠ GFC，试说明EH∥ FC 的理由．DE⊥ BC， FG⊥ BC（已知）所以∠ DEC=∠ FGC=90°（垂直的意义）所以∠ GFC+∠ FCG=90°（三角形内角和等于DEH =∠ GFC（已知），所以∠ HEC=所以 EH ∥ FC（内错角相等，两直线平行）AE//BC 的理由．11】已知∠EDC+∠ B=180°，∠EDC=∠ A，试说明【答案】略EDC+∠ B=180°，∠EDC=∠ A（已知）所以∠ A+∠ B=180 °（等量代换）所以 AE ∥ BC（同旁内角互补，两直线平行）习题12】已知：∠ABC＝∠ADC， BF 和DE 分别平分∠ABC 和∠ ADC， 1 2．试说明 DE∥ BF 的理由．BF 和 DE 分别平分∠ABC 和∠ ADC（已11所以 1 ADC ， ABF ABC （角平分线的意义）ABC＝∠ADC（已知），所以∠1=∠ ABF（等式性质）因为∠1=∠ 2（已知），∴∠2=∠ FBA（等量代换）所以 DE ∥ BF（同位角相等，两直线平行）13】已知直线a， b， c被直线 d所截，1 3， 3 4 1800，试说明 a∥ c．所以 a∥ b（同位角相等，两直线平行）因为∠ 3+∠ 4=180°（已知），∠3+∠ 5=180°（邻补角的意义）所以∠ 4=∠ 5（同角的补角相等）所以 b∥ c（同位角相等，两直线平行）所以 a∥ c（平行的传递性）课后作业【作业 1 】下列说法中正确的是（）A．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行B ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直D ．两条直线被第三条直线所截，内错角相等，则两条直线平行【难度】★【答案】D【解析】 A 这个点必须是直线外的点，错误； B 同位角相等的前提是两直线平行，错误；C 垂直于同一条直线的两条直线互相平行，错误；故选 D【总结】考查平面内直线的位置关系．2】在同一平面内，若a⊥ b，c⊥ b 则 a 与 c的关系是（）A．平行B．垂直C．相交 D ．以上都不对【答案】 A3】如图，∠ADE 和∠ CED 是（）A．同位角B．内错角C．同旁内角【答案】 BZ．C4】如图，属于内错角的是（）A．∠1 和∠ 2 B．∠ 2 和∠ 3 C．∠1 和∠ 4 D ．∠ 3 和∠ 4DZ．5】下列有关垂直相交的说法：①同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②一条直线如果它与两条平行线中的一条垂直，那么它与另一条也垂直；③同一平面内，一条直线不可能与两条相交直线都垂直；其中说法正确个数有（）A． 3个B． 2个C． 1 个D． 0个【答案】BC．6】下列语句：①三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；②如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（）A．①、②是正确的命题B．②、③是正确命题C．①、③是正确命题D．以上结论皆错【答案】A90°，即垂直，正确；③这个点必须是直线外的一点，错误，故选A．7】如图，能与构成同旁内角的角有（）A． 5个B． 4个C． 3个D． 2个【答案】AU8】如图，AB⊥ BD， CD⊥ MN，垂足分别是B、 D 点，∠FDC =∠ EBA．1）判断CD 与 AB 的位置关系；2） BE 与 DF 平行吗?为什么 ?1 ）平行（ 2）平行1 ）因为AB⊥ BD， CD⊥ MN（已知），所以CD ∥ AB（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）；2）因为∠CDM=∠ ABM 90o（垂直的意义），又∠FDC=所以∠MDF =∠ MBE（等式性质）所以 BE∥ DF（同位角相等，两直线平行）作业9】如图 CD⊥ AB， EF⊥ AB，∠ 1=∠ 2，试说明DG//BC 的理由．CD ⊥ AB， EF⊥ AB（已知），所以EF ∥ CD（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）所以∠2=∠ DCB（两直线平行，同位角相等）因为∠2=∠ 1 （已知），所以∠ 1=∠ DCB（等量代换）所以 DG∥ BC（内错角相等，两直线平行）作业10】如图，AB、 CD 被 EF 所截， MG 平分∠ BMN ， NH 平分∠ DNM ，已知∠GMN +∠ HNM =90°，试问：AB∥ CD 吗？请说明理由．MG 平分∠ BMN， NH 平分∠DNM（已知）所以∠BMN=2∠ GMN，∠DNM =2∠ HNM （角平分线的意义）因为∠FMG+∠ HNM =90°（已知）所以∠BMN+∠ DNM =180°（等式性质）所以A B ∥ CD（同旁内角互补，两直线平行）所以 1 A B ， 2 C D （等式性质）B=∠ C ，∠ A=∠ D （已知）， 所以 1 2（等式性质），所以 AE ∥ DF （内错角相等，两直线平行）【总结】 考查平行线的判定定理及三角形内角和定理的综合运用，择性讲解．12】如图，已知：∠ B+∠ D ＝∠BED ． AB 与 CD 平行吗，说明理由．E 作 EF ∥ AB ，则∠ B=∠ BEF （两直线平行，内错角相等） 因为∠ BED =∠ BEF+∠ FED =∠ B+∠ D （已知），所以∠ FED =∠ D （等式性质）所以 CD ∥ EF （内错角相等，两直线平行）所以 AB ∥ CD （平行的传递性） 11】 如图， 因为 A B=∠ C ，∠ B AEB又 AEB 1 180o ， 2 A=∠ D ，试说明 AE//DF ． 180o ， C D CFD 180o （三角形内角和等于CFD 180o （邻补角的意义） 180°) D 综合性较强， 建议老师选。
5七年级三线八角的认识
三线八角的认识如果把笔直的路上画出的分道线看作直线，我们看到，它们有的相交，有的不相交；有的在同一个平面上，有的不在同一个平面上。
下面我们将讨论两种直线的位置关系。
1.直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：相交和平行。
（1）相交：在同一平面内，有一个公共交点的两条直线称为相交线。
（2）平行：在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行。
2.对顶角、邻补角一、邻补角：①定义：有公共顶点，且有一条公共边，另一条边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角。
②性质：位置——互为邻角数量——互为补角（两角之和为 180°）二、对顶角：①定义：有一个公共顶点，并且有一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。
②性质：对顶角相等几何语言：∵∠1+∠2=180°∠2+∠3=180°∴∠1=∠3（同角的补角相等）3.同位角、内错角、同旁内角一、两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。
如图，直线 a,b 被直线l 所截1、∠1 与∠5 在截线l 的同侧，同在被截直线 a,b 的上方，叫做同位角（位置相同）。
2、∠5 与∠3 在截线l 的两旁（交错），在被截直线 a,b 之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）。
3、∠5 与∠4 在截线l 的同侧，在被截直线 a,b 之间（内），叫做同旁内角。
4、三线八角也可以成模型中看出。
同位角是“A”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型1. 平面内有两两相交的 4 条直线，如果最多有 m 个交点，最少有 n 个交点，那么 m-n=（）A.3B.4C.5D.62. 平面内三条直线的交点个数可能有（）.A.0,1,2,3 个B.1,3 个C.2,3 个D.1,2,3 个3. 下列说法中，正确的是（）. A．两条不相交的直线叫做平行线B．一条直线的平行线有且只有一条C．在同一平面内，若直线 a∥b，a∥c，则 b∥cD．若两条线段不相交，则它们互相平行4. 下列说法正确的是（）A．不相交的两条线段是平行线B．不相交的两条直线是平行线C．不相交的两条射线是平行线D．在同一平面内，不相交的两条直线是平行线三线八角【典题导入】【亮点题】1. 下列说法中正确的有（）①对顶角的角平分线成一条直线；②相邻二角的角平分线互相垂直；③同旁内角的角平分线互相垂直；④邻补角的角平分线互相垂直．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个2.如图，下列说法中不正确的是（）A．∠1 和∠3 是同旁内角B．∠2 和∠3 是内错角C．∠2 和∠4 是同位角D．∠3 和∠5 是对顶角【小试牛刀】1.下列所示的四个图形中，∠1 和∠2 是同位角的是（）考点A．①②B．②③C．①③D．②④2.某城市有四条直线型主干道分别为l1，l2，l3，l4，l3 和l4 相交，l1 和l2 相互平行且与l3、l4 相交成如图所示的图形，则共可得同旁内角（）对A．4 B．8 C．12 D．163. 如图所示，直线AB，CD 相交于点O，已知∠AOD=160°，则∠BOC 的大小为（）A.20°B.60°C.70°D.1604. 如图，下列各组角中，互为对顶角的是（）. A．∠1 和∠2 B．∠1 和∠3 C．∠2 和∠4 D．∠2 和∠5。
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同旁内角的认识
两条直线被第三条 直线所截，在两条 直线的你侧，且在 第三条直线的同旁 的两个角叫同旁内 角。
如图∠4与∠5、 ∠3 与∠6这样的角。
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我们认识了”三线八角”,你能 区别吗?
如图:∠１与∠C、∠2与∠B、∠3与∠C分别是哪两条直线被哪一条直线所截 成的同位角？ A 解： ∠1与∠C是DE、BC被AC所截成的同位角。 D 2 1 E ∠2与∠B是DE、BC被AB所截成的同位角。 ∠3与∠C是DF、AC被BC所截成的同位角。 3
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同位角的认识
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两条直线被第三条 直线所截，在二条 直线的同侧，且在 第三条直线的同旁 的二个角叫同位角 。
如图∠1与∠5、 ∠2 与∠6、 ∠4与∠7、 ∠3与∠8这样的角。
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内错角的认识
两条直线被第三条 直线所截，在二条 直线的内侧，且在 第三条直线的两旁 的二个角叫内错角。
三线八角的认识
教学目标:
• 能熟练找出角与角的关系 • 能熟练分辨同位角、内错角、同旁内角 • 能熟练分辨两角是哪些直线被第三直线所 截形成的
认识三线八角
如图：直线a、 b与c相交，我 们就称为直线 a、b被直线c 所截。三条直 线相交构成如 图的8个角。 其中a、b叫 做被截线，c 叫做截线。
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如图： ∠EGB与∠GHD是 AB
被 EF E ∠BGH与∠CHG是 AB B A G EF 所截而成的 内错角 所截而成的 同位角
与 CD
。
，
与 CD 。
，被
∠AGH与 ∠GHC是 AB 与 CD ，被 EF 所截而成的 同旁内角 。 C H D
你还能说出其他类似的角吗？
F
我们这节课学到了什么知识？你能用自 己的话来说说吗？