苏教版高中数学选修1-1椭圆同步练习(1)
苏教版高中数学选修椭圆同步练习
高中苏教选修（2-1）圆锥曲线及椭圆水平测试题一、选择题1．椭圆22143x y +=的右焦点到直线y x =的距离是（ ）Ａ．12Ｃ．1答案：Ａ2．语句甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和2PA PB a += (0a >，且a 为常数)；语句乙：P 点的轨迹是椭圆，则语句甲是语句乙的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件 答案：Ｂ3．过点(32)-，且与22194x y +=有相同焦点的椭圆的方程是（ ） Ａ．2211510x y += Ｂ．221225100x y += Ｃ．2211015x y += Ｄ．221100225x y += 答案：Ａ4．设P 是椭圆2211612x y +=上一点，P 到两焦点12F F ，的距离之差为2，则12PF F △是（ ） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．等腰直角三角形答案：Ｂ5．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的面积为πS ab =．现有一个椭圆，其中心在坐标原点，一个焦点坐标为（4，0），且长轴长与短轴长的差为2，则该椭圆的面积为（ ） Ａ．15π Ｂ．15π4Ｃ．3πＤ．255π4答案：Ｄ6．(0)F c ，是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为m ，最小值为n ，则椭圆上与点F 距离为2m n+的点是（ ） Ａ．2b c a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，Ｂ．b c a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，Ｃ．(0)b ±，Ｄ．不存在答案：Ｃ二、填空题7．若椭圆的长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是，则椭圆的标准方程 是 ．答案：2218020x y += 8．一条线段的长等于10，两端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，点M 在线段AB 上且4AM MB =u u u u r u u u r，则点M 的轨迹方程是 ．答案：221664x y +=9．若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m 等于 ． 答案：3210．已知椭圆的方程是2221(5)25x y a a +=>，它的两个焦点分别为12F F ，，且128F F =，弦AB 过1F ，则2ABF △的周长为 ．答案：11．椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是 ． 答案：[45]，12．已知102A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，是圆221:42F x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ (F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为 ． 答案：22413x y += 三、解答题13．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且2cos 3OFA ∠=，求椭圆的方程． 解：Q 椭圆的长轴长是6，2cos 3OFA ∠=，∴点A 不是长轴的端点，而是短轴的端点，OF c ∴=，3AF a ==． 233c ∴=． 2c ∴=，222325b =-=．∴椭圆的方程是22195x y +=或22159x y +=．14．P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F 为它的一个焦点，求证：以1PF 为直径的圆与以长轴为直径的圆相切． 证明：如右图，设1PF 的中点为M ， 则两圆圆心之间的距离为211111(2)222OM PF a PF a PF ==-=-， 即两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差．∴两圆内切，即以1PF 为直径的圆与以长轴为直径的圆相切．15．在平面直角坐标系中，已知ABC △的两个顶点(30)B -，，(30)C ，且三边AC 、BC 、AB 的长成等差数列，求顶点A 的轨迹方程．解：Q 三边AC 、BC 、AB 的长成等差数列，212AC AB BC BC ∴+==>，∴顶点A 的轨迹是以B C ，为焦点，长轴长为12的椭圆（长轴端点除外）．由212a =，26c =，得6a =，3c =，则22236927b a c =-=-=．∴顶点A 的轨迹方程为221(6)3627x y x +=≠±． 椭圆第1题. 如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ． （I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； （II ）求面积S 的最大值． 答案：解：（I ）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O xy -（如图），则点C 的横坐标为x ． 点C 的纵坐标y 满足方程22221(0)4x y y r r+=≥，解得)y x r =<<1(22)2S x r =+g2()x r =+ 其定义域为{}0x x r <<．（II ）记222()4()()0f x x r r x x r =+-<<，， 则2()8()(2)f x x r r x '=+-．令()0f x '=，得12x r =． 因为当02r x <<时，()0f x '>；当2rx r <<时，()0f x '<，所以12f r ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值． 因此，当12x r =时，S22r =．即梯形面积S2．第2题. 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｂ．02⎛ ⎝⎦，Ｃ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，Ｄ．12⎫⎪⎪⎣⎭答案：Ｄ第3题. 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +u u u r u u u r 与AB u u u r共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．答案：解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为y kx =+代入椭圆方程得22(12x kx +=．整理得221102k x ⎛⎫+++=⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭，解得2k <-或2k >．即k 的取值范围为22⎛⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++u u u r u u u r，，由方程①，12212x x k +=-+． ②又1212()y y k x x +=++ ③而(01)(A B AB =u u u r，，．所以OP OQ +u u u r u u u r 与AB u u u r共线等价于1212)x x y y +=+，将②③代入上式，解得2k =．由（Ⅰ）知2k <-或2k >，故没有符合题意的常数k ．第4题. （2007海南、宁夏理）在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +u u u r u u u r 与AB u u u r共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．答案：解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为y kx =+代入椭圆方程得22(12x kx +=．整理得221102k x ⎛⎫+++=⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭，解得2k <-或2k >．即k 的取值范围为22⎛⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++u u u r u u u r，，由方程①，12212x x k +=-+． ②又1212()y y k x x +=++ ③而(01)(A B AB =u u u r，，．所以OP OQ +u u u r u u u r 与AB u u u r共线等价于1212)x x y y +=+，将②③代入上式，解得2k =．由（Ⅰ）知2k <-或2k >，故没有符合题意的常数k ．第5题. （2007湖南理）设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在点,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．02⎛ ⎝⎦，B ．03⎛ ⎝⎦，C ．12⎫⎪⎪⎣⎭ D ．13⎫⎪⎪⎣⎭答案：D第6题. (2007湖南文)设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，P 是（c 为半焦距）的点，且122||||F F F P =，则椭圆的离心率是（ ）A ．12B ．12C ．12D ．2答案：D第7题. (2007江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC △的顶点(40)A -，和(40)C ，，顶点B 在椭圆221259x y +=上，则sin sin sin A CB+=_____． 答案：54第8题. (2007江西理)设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ） Ａ．必在圆222x y +=内 Ｂ．必在圆222x y +=上 Ｃ．必在圆222x y +=外Ｄ．以上三种情形都有可能答案：A第9题. (2007江西文)设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ） Ａ．必在圆222x y +=上 Ｂ．必在圆222x y +=外 Ｃ．必在圆222x y +=内Ｄ．以上三种情形都有可能答案：Ｃ第10题. （全国卷I 理）已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．答案：证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200021132222y x y x ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+21221)32k BD x x k +=-==+g ；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-，所以，2211132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+ 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦g ≥．当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625．第11题. (2007全国I 文)已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于B ，D 两点，过2F 的直线交椭圆于A ，C 两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值． 答案：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200001132222x y x y ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+，21221)32kBD x xk+=-==+g；因为AC与BC相交于点p，且AC的斜率为1k-．所以，2211132kACk⎫+⎪⎝⎭==⨯+四边形ABCD的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k kS BD ACk k k k+24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦g g≥．当21k=时，上式取等号．（ⅱ）当BD的斜率0k=或斜率不存在时，四边形ABCD的面积4S=．综上，四边形ABCD的面积的最小值为9625．第12题. (2007全国II文)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A．13B．3C．12D．2答案：D第13题. 已知椭圆22221(0)x yC a ba b+=>>：，短轴一个端点到右焦点的距离．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A B，两点，坐标原点O到直线l，求AOB△面积的最大值．答案：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意3caa⎧=⎪⎨⎪=⎩1b∴=，∴所求椭圆方程为2213xy+=．（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，． （1）当AB x ⊥轴时，AB =． （2）当AB 与x 轴不垂直时， 设直线AB 的方程为y kx m =+．=，得223(1)4m k =+．把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631kmx x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+． 22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤．当且仅当2219k k=，即3k =±时等号成立．当0k =时，AB =， 综上所述max 2AB =．∴当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 1222S AB =⨯⨯=．第14题. (2007安徽文)椭圆2241x y +=的离心率为（ ）Ａ．2Ｂ．34Ｃ．2Ｄ．23答案：A第15题. (2007福建理)已知正方形ABCD ，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为______．1第16题. (2007福建文)已知长方形ABCD ，4AB =，3BC =，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为______． 答案：12第17题. (2007广东文)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为C 与直线y x =相切于坐标原点O ，椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．（1）求圆C 的方程；（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 答案：解:(1) 设圆C 的圆心为 (m ，n )则m n n =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 解得22m n =-⎧⎨=⎩所求的圆的方程为 22(2)(2)8x y ++-=(2) 由已知可得 210a = 5a =椭圆的方程为221259x y += ， 右焦点为 F ( 4，0) ； 假设存在Q点()2,2θθ-++使QF OF =，4=整理得 sin 3cos θθ=+ 代入 22sin cos 1θθ+=得:210cos 70θθ++=，cos 11010θ--==<-因此不存在符合题意的Q 点.第18题. (2007辽宁文)设椭圆2212516x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的1左焦点，若点M 满足1()2OM OP OF =+u u u u r u u u r u u u r ，则||OM =u u u u r．答案：2第19题. (2007上海文)我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12222=+cx b y(0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ． 如图，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是“果圆” 与x ，y轴的交点，M 是线段21A A 的中点．（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求该 “果圆”的方程；（2）设P 是“果圆”的半椭圆12222=+cx b y(0)x ≤上任意一点．求证：当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处；（3）若P 是“果圆”上任意一点，求PM 取得最小值时点P 的横坐标．答案：解：（1）Θ((012(0)00F c F F -，，，，，021211F F b F F ∴=====，，于是22223744c a b c ==+=，，所求“果圆”方程为2241(0)7x y x +=≥，2241(0)3y x x +=≤．（2）设()P x y ，，则2222||y c a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222()1()04b a c x a c x b c x c ⎛⎫-=---++- ⎪⎝⎭，≤≤， 0122<-cb Θ，∴ 2||PM 的最小值只能在0=x 或c x -=处取到．即当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处． （3）||||21MA M A =Θ，且1B 和2B 同时位于“果圆”的半椭圆22221(0)x y x a b+=≥和半椭圆22221(0)y x x b c +=≤上，所以，由（2）知，只需研究P 位于“果圆”的半椭圆22221(0)x y x a b +=≥上的情形即可． 2222||y c a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222222224)(4)(2)(c c a a c a b c c a a x a c ---++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=． 当22()2a a c x ac -=≤，即2a c ≤时，2||PM 的最小值在222)(c c a a x -=时取到， 此时P 的横坐标是222)(cc a a -． 当a cc a a x >-=222)(，即c a 2>时，由于2||PM 在a x <时是递减的，2||PM 的最小值在a x =时取到，此时P 的横坐标是a ．综上所述，若2a c ≤，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是222)(cc a a -；若c a 2>，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是a 或c -．第20题. (2007四川文)设1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点． （Ⅰ）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且1254PF PF ⋅=-u u u r u u u u r ，求点P 的作标；（Ⅱ）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为作标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．答案：解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力． （Ⅰ）易知2a =，1b =，c =∴1(F，2F ．设(,)P x y (0,0)x y >>．则22125(,,)34PF PF x y x y x y ⋅=--=+-=-u u u r u u u u r ，又2214x y +=，联立22227414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2211342x x y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，P ． （Ⅱ）显然0x =不满足题设条件．可设l 的方程为2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ．联立22222214(2)4(14)1612042x y x kx k x kx y kx ⎧+=⎪⇒++=⇒+++=⎨⎪=+⎩∴1221214x x k =+，1221614kx x k +=-+ 由22(16)4(14)120k k ∆=-⋅+⋅>22163(14)0k k -+>，2430k ->，得234k >．① 又AOB ∠为锐角cos 00AOB OA OB ⇔∠>⇔⋅>u u u r u u u r，∴12120OA OB x x y y ⋅=+>u u u r u u u r又212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++ ∴1212x x y y +21212(1)2()4k x x k x x =++++2221216(1)2()41414kk k k k=+⋅+⋅-+++ 22212(1)21641414k k kk k +⋅=-+++ 224(4)014k k -=>+ ∴2144k -<<．② 综①②可知2344k <<，∴k的取值范围是(2,,2)22--U第21题. (2007天津文)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．（Ⅰ）证明a =；（Ⅱ）求(0)t b ∈，使得下述命题成立：设圆222x y t +=上任意点00()M x y ，处的切线交椭圆于1Q ，2Q 两点，则12OQ OQ ⊥．答案：（Ⅰ）证法一：由题设212AF F F ⊥及1(0)F c -，，2(0)F c ，，不妨设点()A c y ，，其中 0y >，由于点A 在椭圆上，有22221c y a b+=，222221a b y a b-+=， 解得2b y a =，从而得到2b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，直线2AF 的方程为2()2b y x c ac =+，整理得 2220b x acy b c -+=．由题设，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ，即23c =将222c a b =-代入原式并化简得222a b =，即a =．证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，，过点O 作1OB AF ⊥，垂足为H ，易知112F BC F F A △∽△211BO F AOF F A= 由椭圆定义得122AF AF a +=，又113BO OF =，所以 2212132F AF A F A a F A==-，解得22aF A =，而22b F A a =，得22b a a =，即a =． （Ⅱ）解法一：圆222x y t +=上的任意点00()M x y ，处的切线方程为200x x y y t +=．当(0)t b ∈，时，圆222x y t +=上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A 处的切线必交椭圆于两个不同的点1Q 和2Q ，因此点111()Q x y ，，222()Q x y ，的坐标是方程组20022222x x y y t x y b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ① ②的解．当00y ≠时，由①式得 200t x xy y -=代入②式，得22220022t x x x b y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即22224220000(2)4220x y x t x x t b y +-+-=，于是2012220042t x x x x y +=+，422122200222t b y x x x y -=+ 2201121201t x x t x x y y y y --=g422012012201()t x t x x x x x y ⎡⎤=-++⎣⎦ 242242200002222200000422122t x t b y t x t x y x y x y ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭422220022t b x x y -=+． 若12OQ OQ ⊥，则42242242220000121222222200000022232()0222t b y t b x t b x y x x y y x y x y x y ---++=+==+++． 所以，42220032()0t b x y -+=．由22200x y t +=，得422320t b t -=．在区间(0)b ，内此方程的解为t =．当00y =时，必有00x ≠，同理求得在区间(0)b ，内的解为3t =．另一方面，当3t b =时，可推出12120x x y y +=，从而12OQ OQ ⊥．综上所述，(0)3t b =∈，使得所述命题成立．。
苏教版高中数学选修1-1第1课时 椭圆.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第1课时 椭圆1. 椭圆141622=+y x 上有两点P 、Q ,O 为原点,若OP 、OQ 斜率之积为41-,则22OQ OP + 为 ( ) A . 4 B. 64 C. 20 D. 不确定 答案: C解析: 设直线方程为 kx y =,解出2OP ,写出2OQ2. 过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦点F(c, 0)的弦中最短弦长是 ( )A. a b 22B. b a 22C. a c 22D. bc 22答案: A3. 过椭圆左焦点F 且倾斜角为60的直线交椭圆于A 、B 两点，若FB FA 2=，则椭圆的离心率为 （ ） A ． 32 B. 22 C. 21 D. 32 答案: D解析: 同(2)4. 过原点的直线l 与曲线C:1322=+y x 相交,若直线l 被曲线C 所截得的线段长不大于6,则直线l 的倾斜角α的取值范围是 ( )A 656παπ≤≤B 326παπ<<C 323παπ≤≤ D. 434παπ≤≤ 答案: D解析: 用弦长公式5. 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且901=∠BDB ,则椭圆的离心率为 ( ) A213- B 215- C 215- D 23答案: B解析:6. 椭圆)10(,2222<<=+a a y x a 上离顶点A(0,a )最远点为(0,)a -成立的充要条件为( ) A 10<<A B 122<<a C 122<≤a D.220<<a 答案: C解析: 构造二次函数.7. 若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 和圆c c b y x (,)2(222+=+为椭圆的半焦距),有四个不同的交点,则椭圆的离心率e 的取值范围是 ( )A )53,55(B )55,52(C )53,52(D )55,0( 答案: A解析: 解齐次不等式:a c bb <+<2,变形两边平方. 8. 已知c 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的半焦距,则a cb +的取值范围是 ( )A (1, +∞)B ),2(∞+C )2,1(D ]2,1(答案: D解析: 焦三角形AFO,如图: θθθ,cos sin +=+acb 为锐角. 转化为三角函数问题.9. P 是椭圆上一定点,21,F F 是椭圆的两个焦点,若βα=∠=∠1221,F PF F PF ,则βαβαsin sin )sin(++=e解析: 正弦定理、合比定理、更比定理.10.(2000全国高考) 椭圆14922=+y x 的焦点为21,F F ,点P 为其上的动点,当21PF F ∠ 为钝角时,点P 横坐标的取值范围是 5353<<-x 解析: 焦半径公式.11. 圆心在y 轴的正半轴上,过椭圆14522=+y x 的右焦点且与其右准线相切的圆的方程 为 25)62(22=-+y x解析: 略.12. 已知21,F F 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若3:2:1::211221=∠∠∠PF F F PF F PF , 则此椭圆的离心率为13-解析: 同填空(1)13. 已知圆柱底面直径为2R,一个与底面成30角的平面截这个圆柱,截面边界为椭圆,则此椭圆离心率为21 解析: 求b a , R c R b R a R a 33,,332,230cos 2===∴= 14. 如果y x ,满足,369422=+y x 则1232--y x 的最大值为 2612+ 解析: 三角代换.16. 设椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率23=e .已知点)23,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离为7,求这个椭圆方程.解:设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x , ),(y x M 为椭圆上的点,由23=a c 得b a 2=)(,34)21(3)23(22222b y b b y y x AM ≤≤-+++-=-+=若21<b ,则当b y -=时2AM 最大,即7)33(2=--b , 21237>-=∴b ,故矛盾.若21≥b 时,21-=y 时7342=+b , 12=b所求方程为1422=+y x17.已知曲线0444222=++++y x y x 按向量)1,2(=a 平移后得到曲线C. ① 求曲线C 的方程;②过点D(0, 2)的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间,设MN DM λ=,求实数λ的取值范围.解:① 由已知设点P(),00y x 满足1)1(2)2(2020=+++y x ,点P 的对应点Q(),y x 则⎩⎨⎧=-=-1200y y x x 11222=+∴y x . ② 当直线的斜率不存在时,)1,0(),1,0(-N M ,此时21=λ; 当直线的斜率存在时,设ｌ:2+=kx y 代入椭圆方程得:068)12(22=+++kx x k0)12(246422>+-=∆k k 得232>k 设),(),,(2211y x N y x M ,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⋅+-=+126128221221k x x k k x x , MN DM λ=)(121x x x -=∴λ又,12121x x x x x -=∴≠λ 则λλ+=121x x .λλλλ+++=+∴111221x x x x .又2)12(3322)12(3322222122211221-+=-+=+=+∴k k k x x x x x x x x 由232>k ,得316)12(33242<+<k,即31021221<+<∴x x x x即310112<+++<∴λλλλ,又210>∴>λλ综上:),21[∞+∈λ第2课时 双曲线1. 已知21,F F 是双曲线1222=-y x 的左、右焦点,P 、Q 为右支上的两点,直线PQ 过2F ,且倾斜角为α,则PQ QF PF -+11的值为 ( )A. 24B. 8C. 22D. 随α的大小变化答案: A解析: 用双曲线定义列方程可解2. 过双曲线02222=--y x 的右焦点作直线l 交曲线于A 、B 两点,若4=AB 则这样的直线存在 ( ) A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 答案: D解析: ⊥l x 轴时的焦点弦长AB=4最短为通径,故交右半支弦长为4的直线恰有一条; 过右焦点交左右两支的符合要求的直线有两条.3. 直线531+-=x y 与曲线12592=+y x x 的交点个数是 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个.答案: D解析: (0, 5)点为完整双曲线和椭圆的极值点,故y=5为其切线,当直线斜率不为0时,直线必与每个曲线交于两点.4. P 为双曲线12222=-by a x 上一点,1F 为一个焦点,以1PF 为直径的圆与圆222a y x =+的位置关系为 ( )A. 内切B. 外切C. 内切或外切D. 无公共点或相交. 答案: C解析: 用两圆内切或外切的条件判断5. 已知是双曲线13=-m 的离心率2=e ,则该双曲线两条准线间的距离为 ( )A. 2B. 23C. 1D. 21答案: C 解析:23,0=+>mm m6. 设)4,0(πθ∈,则二次曲线1tan cot 22=-θθy x 的离心率的取值范围是 ( )A. )21,0(B. )22,21( C. ),2(∞+ D. )2,22(答案: C 解析: θθθθ2cot 1tan cot tan +=+=e7. 设21,F F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足 9021=∠PF F , 则21F PF ∆的面积为 ( )A. 1B.25C. 2D. 5答案: A解析: 勾股定理,双曲线定义联立方程组.8. 设21,F F 是双曲线1422=-y x 的左、右焦点,P 在双曲线上,当21PF F ∆的面积为1时, 21PF PF ⋅的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 21D. 2 答案: A解析: 不妨设,p x ,0>p y 由511221=∴=⋅⋅p p y y c , )55,5302(P )55,53025(1---=∴PF , )55,53025(2--=PF ,021=⋅∴PF PF9.设圆过双曲线1169=-的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离为 316解析: 略10. 双曲线两条渐进线方程为034=±y x ,一条准线方程为59=x ,则双曲线方程为 116922=-y x 解析: 可设双曲线方程为:116922=-λλy x ()0>λ 11. 设双曲线)0(,12222b a by a x <<=-的半焦距为c ,直线l 过点)0,(a ,),0(b 两点.已知原点到直线l 的距离为c 43,则双曲线的离心率为 2解析: 由2>∴<e b a12. 已知双曲线中心在原点,以坐标轴为对称轴且与圆1722=+y x 相交于A(4, -1),若此圆在点A 的切线与双曲线的一条渐进线平行,则双曲线的方程为 2551622=-y x解析:设双曲线方程为: ,12222±=-b y a x 4=ab,再用待定系数法.13. 直线1:+=kx y m 和双曲线122=-y x 的左支交于不同两点,则k 的取值范围是21<<k解析: 用判别式和韦达定理14. 21,F F 是双曲线116922=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足3221=⋅PF PF , 则=∠21PF F90解析: 列方程组解.15. 以圆锥曲线的焦点弦AB 为直径作圆,与相应准线l 有两个不同的交点,求证:①这圆锥曲线一定是双曲线;②对于同一双曲线,l 截得圆弧的度数为定值. 解:①如图:ST QH ⊥, QH AB 2> eABe BF e AF BB AA QH =+=+=112 1>∴e 所以圆锥曲线为双曲线. ②eAB BB AA QF QH QS QH SQH 122cos 11=+===∠为定值 所以弧ST 的度数为定值.16. M 为双曲线)0(,12222>>=-b a b y a x 上异于顶点的任一点,双曲线的焦点为)0,(),0,(21c F c F -,设βα=∠=∠1221,F MF F MF ,求2cot2tanβα⋅的值.解:αββααβsin sin )sin(2sin sin 2121--=+==r r c r r 2sin2sinsin sin )sin(αββααββα-+=-+=∴a c 2sin 2cos )(2cos2sin)(βαβαa c a c -=+∴, ac ac +-=⋅∴2cot 2tan βα 17.(2000全国高考)已知梯形ABCD 中,CD AB 2=,点E 分有向线段AC 所成的比为λ,双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点,当4332≤≤λ时,求双曲线离心率e 的取值范围.解:如图建系:设双曲线方程为: 12222=-by a x则B(c,0), C(),2h c,A(-c,0) )1,)1(22(λλλλ++-∴hc E ,代入双曲线方程得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-⋅+-⋅=-⋅22222222222222)1()1(4)2(4b a b a c b ba h a cb λλλλ, ]43,32[,1122∈-+=∴λλλe107≤≤∴e第3课时 抛物线1. 过点(0, 2)与抛物线x y 82=只有一个公共点的直线有 ( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条. 答案: C解析: 相切与相交均能产生一个公共点.2. 一个酒杯的轴截面为抛物线的一部分,它的方程为y x 22= )200(≤≤y ,在杯内放一个玻璃球,要使球触及到杯的底部,则玻璃球的半径r 的范围为 ( ) A. 10≤<r B. 10<≤r C. 10≤<r D. 20<<r 答案: C解析: 设圆心A(0,t),抛物线上的点为P(x,y), 列出2222)22()(t y t y t y x PA +-+=-+=转化为二次函数问题.3. 抛物线)0(22>=p px y 的动弦AB 长为)2(p a a ≥,则AB 中点M 到y 轴的最短距离是 ( ) (A)2a (B) 2p (C) 2p a + (D) 2p a - 答案: D解析: 可证弦AB 通过焦点F 时,所求距离最短.4. 直线l 过抛物线)0()1(2>+=a x a y 的焦点,并且与x 轴垂直,若l 被抛物线截得的线段长为4,则=a ( ) A. 4 B. 2 C. 41 D. 21 答案: A解析: 所截线段长恰为通径4=a 5. (2000全国高考)过抛物线)0(2>=a axy 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与FQ 的长分别为p 、q,则qp 11+等于 ( ) A. a 2 B. a 21 C. a 4 D. a4 答案: C解析: 考虑特殊位置,令焦点弦PQ 平行于x 轴,6. 设抛物线)0(22>=p px y 的轴和它的准线交于E 点,经过焦点F 的直线交抛物线于P 、Q两点(直线PQ 与抛物线的轴不垂直),则FEP ∠与QEF ∠的大小关系为 ( ) A. QEF FEP ∠>∠ B. QEF FEP ∠<∠ C. QEF FEP ∠=∠ D. 不确定 答案: C解析: 向量解法: 由A 、F 、B 共线得221p y y -=(重要结论),进而得出QE PE k k =7. 已知抛物线12-=x y 上一定点)0,1(-B 和两动点P 、Q ,当P 点在抛物线上运动时,PQ BP ⊥,则点Q 的横坐标的取值范围是 ( )A. ]3,(--∞B. ),1[∞+C. [-3, -1]D. ),1[]3,(∞+--∞ 答案: D解析: 均值不等式8. 过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A 、B,若A 、B 在抛物线准线上的射影为11,B A ,则=∠11FB A ( ) A.45 B.60 C.90 D.120 答案: C解析: 如图, ),,22(121y pp y FA -= ),,22(222y p p y FB -=因为A 、F 、B 三点共线所以22112212221,221221p y y y p y y p y p y y p -=∴-=- 0),(),(2122111=+=-⋅-=⋅y y p y p y p FB FA9. 一动点到y 轴距离比到点(2, 0)的距离小2,则此动点的轨迹方程为)0(0)0(82<=≥=x y x x y 或解析: 用抛物线定义.10. 过点P(-2, -4)的抛物线的标准方程为 x y y x 8,22-=-=解析: 考虑两种可能.11. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米,测量水面宽度为8米.当水面上升1米后,水面宽度为24米 解析: 坐标法12. 以椭圆1162522=+y x 的中心为顶点,以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A 、B 两点,则=AB 3100解析: 略13. 设A 、B 为抛物线px y 22=上的点,且90=∠AOB (O 为原点),则直线必过的定点坐标为)0,2(p解析: 设直线方程为 kx y =,解出A 点坐标,再写出B 点坐标;写出直线方程. 14. 抛物线x y =2的焦点弦AB,求OB OA ∙的值.解:由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==)21(22x k y xy 得1,012212-=∴=--y y y k y 43412122212121-=+=+=⋅∴y y y y y y x x OB OA 15.设一动直线过定点A(2, 0)且与抛物线22+=x y 相交于B 、C 两点,点 B 、C 在x 轴上的射影分别为11,C B , P 是线段BC 上的点,且适合11CC BB PC BP =,求POA ∆的重心Q 的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形. 解析: 设),(),,(),,(002211y x P y x C y x B ,),(y x Qλ===∴2111y y CC BB PC BP , 2121212211021y y y y y y y y y y y +=+⋅+=∴ 由⎩⎨⎧-=+=)2(22x k y x y 得06)4(222=+--k y k k y 412462220-=-⋅=∴k kk k k y --------------------------------------------------------①又k x y =-200代入①式得4400+=x y -----------------------------------------②由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=33200y y x x 得⎩⎨⎧=-=y y x x 32300 代入②式得:04312=--y x由0>∆得624-<k 或624+>k , 又由①式知0y 关于k 是减函数且120≠y641264120+<<-∴y ,36443644+<<-y 且4≠y 所以Q 点轨迹为一线段(抠去一点): 04312=--y x(36443644+<<-y 且4≠y ) 16. 已知抛物线)0(22>=p px y ,焦点为F,一直线l 与抛物线交于A 、B 两点,且8=+BF AF ,且AB 的垂直平分线恒过定点S(6, 0) ①求抛物线方程;②求ABS ∆面积的最大值.解析: ①设),(),,(2211y x B y x A , AB 中点 ),(00y x M 由8=+BF AF 得24,8021p x p x x -=∴=++ 又⎪⎩⎪⎨⎧==22212122px y px y 得k p y x x p y y =∴-=-0212221),(2所以 ),24(kp p M - 依题意1624-=⋅--k p k p, 4=∴p抛物线方程为 x y 82= ②由),2(0y M 及04y k l =, )2(4:00-=-x y y y l AB 令0=y 得20412y x K -=又由x y 82=和)2(4:00-=-x y y y l AB 得: 01622202=-+-y y y y )162(44)414(212120202012--+=-⋅⋅=∴∆y y y y y KS S ABS 6964)364(82)232)(16(24132020=≤-+=∴∆y y S ABS第4课时 轨迹与轨迹方程1. 与圆x 2+y 2-4y =0外切, 又与x 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ( ).A. y 2=8xB. y 2=8x (x >0) 和 y =0C. x 2=8y (y >0)D. x 2=8y (y >0) 和 x =0 (y <0) 答案: D解析: 设所求圆的圆心为),(y x O , 已知圆圆心)2,0('O , 半径为2, 则y OO +=2'或O 点在y 轴负半轴.2. 点M (x ,y )与定点F (1,0)的距离比它到直线x =8的距离大1, 则动点M 的轨迹方程为( ).A. y 2=16(x -5)B. x 2=16(y -5)C. x 2=-16(y -5)D. y 2=-16(x -5) 答案: D解析: 点M (x ,y )与定点F (1,0)的距离等于它到直线x =9的距离. 所以动点M 的轨迹是以点F (1,0)为焦点, 直线x =9为准线的的抛物线. 3. 已知3=AB , A 、B 分别在y 轴和x 轴上运动, O 为原点, OB OA OP 3231+=则动点P 的轨迹方程是 ( ).A. 1422=+y xB. 1422=+y x C. 1922=+y x D. 1922=+y x答案: A 解析: 由OB OA OP 3231+=知: P 点是AB 的三等分点(靠近B ), 设P (x ,y ), 则)0,23(),3,0(x B y A , 又3=AB , 由距离公式即得.4. A 、B 、C 是不共线的三点, O 是空间中任意一点, 向量)2(BC AB OA OP ++=λ, 则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的( ).A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心 答案: C解析: 向量)21(2)2(BC AB BC AB +=+λλ与BC 边中线的向量是平行向量, )2(BC AB OA OP ++=λ, 则点P 在BC 边中线上.5. 已知两定点F 1(-1,0) 、F 2(1,0), 且2121F F 是1PF 与2PF 的等差中项,则动点P 的轨迹是( ).A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 线段 答案: D解析: ,22121==+F F PF PF 作图可知点P 的轨迹为线段.6. 已知点P (x ,y )对应的复数z 满足1=z , 则点Q (x +y ,xy )的轨迹是 ( ). A. 圆 B. 抛物线的一部分 C. 椭圆 D. 双曲线的一部分 答案: B解析: 设),(Y X Q , 则,12,,222=-=+==+=Y X y x z xy Y y x X122+=∴Y X , ]1,1[],1,1[-∈-∈y x , ∴轨迹为抛物线的一部分.7. 已知△ABC 的两个顶点A 、B 分别是椭圆192522=+y x 的左、右焦点, 三个内角A 、B 、C 满足C B A sin 21sin sin =-, 则顶点C 的轨迹方程是( ). A.112422=-y x B. 112422=-y x (x <0) C.112422=-y x (x .<-2 ) D. 112422=+y x 答案: C解析: 821),0,4(),0,4(==+∴-c b a B A , 点C 的轨迹是以A 、B 为焦点长轴长为8的双曲线的右支且点C 与A 、B 不共线.8. 抛物线y =x 2+(2m +1)x +m 2-1的焦点的轨迹是 ( ). A. 抛物线 B. 直线 C. 圆 D. 线段 答案: B解析: 设焦点坐标为M (x ,y ), 顶点)45,21(----m m , 0122,14145,21=--∴--=+--=--=∴y x m m y m x .9. 点P 在以F 1、F 2为焦点的椭圆14322=+y x 上运动, 则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程是 .答案: )0(149322≠=+x y x 解析:设y n x m n y m x n m P F F y x G 3,3,311,3),(),1,0(),1,0(),,(21==∴+-==-则, 代入14322=+y x 即得, 再注意三角形三顶点不共线. 10. 过椭圆14922=+y x 内一点M (2,0) 引椭圆的动弦AB , 则弦AB 的中点N 的轨迹方程是 . 答案: 149)1(22=+-y x 解析: 设N (x ,y ), 动弦AB 方程为)2(-=x k y , 与14922=+y x 联立, 消去y 得: 2222222948,9418,0363636)94(k ky k k x k x k x k +-=+=∴=-+-+, 消参即得.11. 直线l 1: x -2y +3=0, l 2: 2x -y -3=0, 动圆C 与l 1、l 2都相交, 并且l 1、l 2被圆截得的线段长分别是20和16, 则圆心C 的轨迹方程是 .答案:160)3(60)3(22=---y x 解析: 设C (x ,y ), 点C 到21,l l 距离分别为532,532--+-y x y x , 5)32(85)32(102222--+=+-+∴y x y x , 化简即得.12. 点P 是曲线f (x , y )=0上的动点, 定点Q (1,1), MQ MP 2-=,则点M 的轨迹方程是 . 答案: 0)23,23(=--y x f 解析: 设),,(),,(n m P y x M 则:23,23),1,1(2),(-=-=∴---=--y n x m y x y n x m , 代入f (x , y )=0即得. 13. 已知圆的方程为x 2+y 2=4, 动抛物线过点A (-1,0), B (1,0), 且以圆的切线为准线, 则抛物线的焦点的轨迹方程是 .答案: )0(13422≠=+y y x 解析: 设抛物线焦点为F , 过A 、B 、O 作准线的垂线111,,OO BB AA , 则42111==+OO BB AA , 由抛物线定义得: FB FA BB AA +=+11,4=+∴FB FA , 故F 点的轨迹是以A 、B 为焦点, 长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点) 14. 设O 为坐标原点, P 为直线1=y 上动点, OQ OP //, 1=⋅OQ OP , 求Q 点的轨迹方程.解: 设),(),1,(y x Q a P , 则由OQ OP // 得: x ay =, 即 yxa =, 由1=⋅OQ OP 得: 1=+y ax , 将yx a =代入得: y y x =+22, 且0>y . ∴所求点Q 的轨迹方程为: )0(022>=-+y y y x .15. 半径为R 的圆过原点O , 圆与x 轴的另一个交点为A , 构造平行四边形OABC , 其中BC为圆在x 轴上方的一条切线, C 为切点, 当圆心运动时, 求B 点的轨迹方程. 解: 设圆心为M (x 0, y 0), B (x ,y ), 则),,(),0,2(000R y x C x A +CB OA = ,30x x =∴ 又 BC 为圆的切线, 得: R y y +=0,R OM R y y xx =-==∴ 00,3, )0()(922222020≠=-+∴=+∴x R R y x Ry x 16. 如图, 已知线段AB 在直线2=x 上移动, O 为原点. ))2,0((πθθ∈=∠AOB , 动点P 满足222PO PB PA ==.(Ⅰ) 求动点P 的轨迹方程;(Ⅱ) 当4πθ=时, 动点P 的轨迹与直线OA 交于D C ,两点(点C 在点D 的下方), 且OC CD 4-=, 求直线OA 的方程.解: (Ⅰ) 由222PO PB PA ==得: PO PB PA ==, 则P 为ABO ∆的外心, 设),(y x P , 作N AB PN 于⊥, 则N 为AB 中点, θ=∠∴APN . 在APN Rt ∆中, 044cos sin 2cos cos 222222=+-⋅-⋅∴+-=∴==x y x y x x POPN PAPN θθθθθθθθθ2222sin cos 22sin cos 22044sin +≥-≤∴≥+-⋅x x x x 或 , 又 2<x θθ2s i n c o s 22-≤∴x , 因此点P 的轨迹方程为: )sin cos 22(044cos sin 22222θθθθ-≤=+-⋅-⋅x x y x (Ⅱ) 当4πθ=时, 动点P 的轨迹方程为: )224(8)4(22-≤=--x y x设直线OA 的方程为: ),(),,(),1(2211y x D y x C k kx y ±≠=, 直线OA 的方程与8)4(22=--y x 联立, 得: 088)1(22=+--x x k ,)(18,18221221*-=-=+∴ k x x k x x , 由OC CD 4-=, 得: 1233x x OC OD -=∴-=, 代入)(*得: 7±=k , 因点C 在点D 的下方, 知: 7=k 不合题意, 舍去.故所求直线OA 的方程为: x y 7-=.第5课时 直线与圆锥曲线（1）1．若倾角为4π的直线通过抛物线24y x =的焦点且与抛物线相交于M 、N 两点，则线段MN 的长为（ ）（A ）13 （B ）8 （C ）16 （D ）82（目的：掌握抛物线的焦点弦长的求法） 【答案】（B ）【解析】由条件，过焦点的直线为1y x =-代入抛物线方程，并由抛物线的定义求得128MN x x p =++=2．直线10x y --=与实轴在y 轴上的双曲线22x y m -=的交点在以原点为中心，边长为2且边平行于坐标轴的正方形内部，那么m 的取值范围是（ ）（A ）01m << （B ）1m >- （C ）0m < （D ）10m -<< （目的：利用不等式判断直线与双曲线的交点的位置） 【答案】（D ） 【解析】将直线10x y --=代入双曲线22x y m -=求得12m y -=，则有12m y -=(1,1)∈-13m ∴-<<同理亦得31m -<<，又对实轴在y 轴上的双曲线有0m <，故10m -<<。
高二数学选修1-1椭圆练习卷
高二数学选修1-1椭圆练习卷一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的)1．－12的绝对值是()3．如图M1－1所示几何体的主视图是()4．如图M1－2，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′.若∠A＝40°，∠B′＝110°，则∠BCA′的度数是()5．将二次函数y＝x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为() A．y＝x2－1 B．y＝x2＋1C．y＝(x－1)2 D．y＝(x＋1)26．已知点P(a＋1,2a－3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是()A．a<－1 B．－1<a<32C．－32<a<1 D．a>327．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()8．如图M1－3，已知D，E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B＝60°，∠AED＝40°，则∠A的度数为()9．依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形(可认为是一般四边形的性质)，则这个图形一定是()A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形10．如图M1－4，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD＝5，DC＝4，DE∥AB交BC于点E，且EC＝3，则梯形ABCD的周长是()二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)11．使式子m－2有意义的最小整数m是________________________________________________________________________．12．若代数式－4x6y与x2ny是同类项，则常数n的值为__________．13．如图M1－5，在等边三角形ABC中，AB＝6，D是BC上一点，且BC＝3BD，△ABD 绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为__________．14．若A(x1，y1)和B(x2，y2)在反比例函数y＝2x的图象上，且0＜x1＜x2，则y1与y2的大小关系是y1________y2.15．如图M1－6，双曲线y＝kx(k>0)与⊙O在第一象限内交于P，Q两点，分别过P，Q两点向x轴和y轴作垂线，已知点P坐标为(1,3)，则图中阴影部分的面积为____________．16．如图M1－7，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC＝1，则EF＝__________.三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题5分，共15分)17．计算：2－2sin45°－(1＋8)0＋2－1.18．如图M1－8，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°.(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D(保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．19．观察下列等式：第1个等式：a1＝11×3＝12×；第2个等式：a2＝13×5＝12×；第3个等式：a3＝15×7＝12×；第4个等式：a4＝17×9＝12×；……请解答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：a5＝____＝____；(2)用含有n的代数式表示第n个等式：an＝____＝____(n为正整数)；(3)求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100的值．四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题8分，共24分)20．如图M1－9，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A(3,2)，B(1,3)．△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1.(直接填写答案)(1)点A关于点O中心对称的点的坐标为________________________________________________________________________；(2)点A1的坐标为________；(3)在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，那么弧BB1的长为________．21．如图M1－10，直线y＝2x－6与反比例函数y＝kxx>0的图象交于点A(4,2)，与x轴交于点B.(1)求k的值及点B的坐标；(2)在x轴上是否存在点C，使得AC＝AB？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图M1－11，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα＝34，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB(结果取整数。
【数学】高中苏教版选修1-1课时训练222椭圆的几何性质.doc
・、填空题X X 1X V1. 若椭圆应+?= 1的离心率&=§，则&的值为2. 已知椭圆的中心在原点，焦点在/轴上，长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程是 _____________・3. 己知椭圆的焦点在/轴上，长、短半轴之和为10,焦距为4书，则该椭圆的标准方程为4. 设椭圆的两个焦点分別为斤、F2,过尺作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P •若\F\F2P 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ________ •5. 以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为 _________ .2 2 2 26. 已知两椭圆合+彳=1与古+#7=1⑼，则它们有相同的 ____________________ •2 27. ____________________________________________________________________ 若尽用是椭圆C ：专+寸=1的焦点，则在Q 上满足/竹丄处的点/啲个数为 ___________________2 28. 若椭圆宇+$=1（曰>方>0）焦距的一半为c,直线与椭圆的一个交点的横坐标恰为c,则该椭圆的离心率为 ________ ・9. 已知点（/〃，刀）在椭圆8/+3/=24±,则2/〃+4的取值范围是 ______________ . 10. 一条线段的长等于10,两端点力、〃分别在“轴和y 轴上滑动，点〃在线段力〃上且AM = 4MB ,则点於的轨迹方程是 _____________2 211. F （C,O ）是椭圆4 + 4 = l （d > b > 0）的一个焦点，尸与椭圆上点的距离的最大值为/〃,0 lrI rB 是圆F ：卜二+卄4 （尸为圆心）上-动点，线段初的垂直平分线交〃F 于点P,则动点"的轨迹方程为椭圆的几何性质m 4- n最小值为"则椭圆上与点尸距离为丁的点坐标是 _______________12.已知 --,02二、解答题13.如图，椭圆花+寸=1的左、右焦点分别为幷、用，一条直线/经过幷与椭圆交于力、〃两点.⑴求△/!阴的周长；(2)若直线/的倾斜角为45°,求△/!处的面枳.w 6X V14.如图，点畀、〃分别是椭圆—=1长轴的左、右顶点，点厂是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA丄PF.(1)求Q点坐标；⑵设対是椭圆长轴肋上的一点，〃到直线〃的距离等于MB,求椭圆上的点到点肘的距离〃的最小值.2 215.已知半椭圆二+ ¥ = 1()70)和半圆x2 + y2=/72(y<0)组成曲线C ,其中少a2 2a>b>0；如图，半椭圆^- +2_ = i(y>0)内切于矩形ABCD,且CD交y轴I T crC 点P是半圆x2 + y2=b2(y<0)±异于A、B的任意一点,当点P位于点M(*A A 时，AAGP的面积最大。
苏教版高中数学选修1-1同步全解答案
选修1-1参考答案第一章 常用逻辑用语 第一节 针对训练答案：1．必要不充分 2. 32,10x x x ∃∈-+>R 3 若12,m m+≥则m>0 4 _存在矩形对角线不相等 5 ②③④ ①正确, ②中B ≤0时不成立, ③中的定义域为φ, ④中应是随机抽样. 6 ②④ 7 必要不充分 8充分而不必要条件 9 ② ③ 10,11a b a b ≤-≤-若则 11充分不必要 12充分非必要 13 （3）14 C 15A 16 2，217A 18C 19 A 20 逆命题：若有两个不等实根则（假） 否命题：若则没有两个不等实根（假） 逆否命题：若没有两个不相等实根则（真）21D 22A 23 A 24B 25A 26D 27C 28. D 29. A 30 D 31. C . 32. 33. 真命题：或，非；假命题：且，非 第二节 针对训练1B2．D 原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题3．A ①，仅仅是充分条件 ② ，仅仅是充分条件；③，仅仅是充分条件4．B “”为假，则为真，而（且）为假，得为假 5．D 当时，都满足选项，但是不能得出 当时，都满足选项，但是不能得出6．B 当时，，所以“过不去”；但是在△中， ，即“回得来” 02=++c bx ax 0<ac 0≥ac 02=++c bx ax 02=++c bx ax 0≥ac 20<<m p q p p q q 220a b a b >>⇒>0a b >>⇒ba 11<330a b a b >>⇒>p ⌝p p q ∧q 1,0a b ==,A B 1a b +>0.5,0.5a b ==C 1a b +>0170A =001sin170sin102=<ABC 0001sin 30150302A A A >⇒<<⇒>7．D 当时，从不能推出，所以假，显然为真 8．解：而，即。
椭圆的几何性质-苏教版选修1-1同步分层练习
(七)椭圆的几何性质(建议用时：45分钟) ［基础达标练］F i 、F 2为椭圆的两个焦点，以 F 2为圆心作圆F a ,已知圆F 2经过椭圆的中心, 且与椭圆的一个交点为 M 若直线MF 恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率 e 为 【解析】 由题意知圆F 2的半径为C ,在Rt△ MFF 2中, |MF | = c , I MF I = 2a - c , | F 1F 2I = 2c 且 MF 丄 MF . 所以(2 a — c )2+ c 2= 4c 2,一、填空题 1.已知椭圆C:^2= 1(a >b >0)的离心率为1焦距为2,则C 的方程为[:95902097】【解析】根据已知条件知 c 1 __________________ 2 2 2 —=-，又 2c = 2,得 a = 2，又 b = a — c = 4 — 1= 3,椭圆方 a 21.【答案】2•设 【答案】 ■73-13.直线2 2x y_ y = k ( x — 2) + 1与椭圆+肖=1的位置关系是16 9[:95902098】【解析】直线y = k (x — 2) + 1过定点R2,1)，将P (2,1)代入椭圆方程，得16+9< 1,16 9••• P(2,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.【答案】 相交X 2 V 2\［34.已知椭圆C ：孑+ 皆1( a >b >0)的左、右焦点为 F 1、F 2，离心率为 专，过F 2的直线I交C 于A 、B 两点，若△ AFB 的周长为4^3,则C 的方程为【解析】 根据条件可知号二申，且4a = 4品 ••• a =^/3, c = 1, b = \/2,2 2X y椭圆的方程为；+:= 1.9’ 4 = 1，则以A(1,1)为中点的弦MN所在的直线方程为【解析】 方法一：易知直线MN 的斜率存在，设为k 则其直线方程为y — 1 = k (x — 1),5.已知椭圆的短半轴长为1，离心率ovew %3.则长轴长的取值范围为[:95902099】【解析】 2 21■/ b = 1, • c 2= a 2— 1，又字=a1 1 • a 2A 4, 2 2 ••• a <4,又••• a2—1>0, • a >1,•••1<a w2,故长轴长 2<2a w4.【答案】 (2,4]6.已知椭圆的中心在坐标原点, 焦点在 y 轴上，且长轴长为 112,离心率为3,则椭圆方程为【解析】 因为椭圆的焦点在 y 轴上， 所以设椭圆的方程为 a b 2=1(a >b >0).f2a= 12, 由紀[a 3' 由a 2= b 2+ C 2，得b 2=32.故椭圆的方程为：36+32=1.【答案】 3^32= 17.椭圆2鲁=1的左焦点为 4 3F ,直线x = m 与椭圆相交于点 A B.当△FAB 的周长最大时，△ FAB 的面积是[:95902100】【解析】 如图, 解得 y =± 3，•丨 AB = 3. ••• S = 1X 3X 2= 3.【答案】 3&已知椭圆方程是 当直线由|X =1, 2y 3=1,得(4 + 9k )x — 18k (k — 1)x + 9k — 18k — 27 = 0,又设直线与942,解得k =— 4，则所求的直线方程为y — 1 = — 9(X — 1),即 4x + 9y — 13= 0.2 2X 1 y 1方法二：设 Mx 1, y 1) , N (X 2, y 2)，则-+ : = 12 2X 2 y 2—+ — = 1 9十4 '①—②得X 1十X^1— X 2= — y 1十河—y 2y 1 — y 2 4X 1 十 X 2 4x2 4 X 1 — X 2 9y 1 十 y 29X29.•••直线 I 的方程为 y — 1 = — 4(x — 1)，即 4X + 9y — 13= 0.9 【答案】 4x + 9y — 13 = 0 二、解答题9. (1)已知椭圆的焦距与短轴长相等，求椭圆的离心率.⑵若椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率.e=¥椭圆的交点为 Mx i , y i )、N X 2, y 2),则x i 、X 2是方程的两个根,于是X i + X 2=18k k —[ 4+ 9k【解】(1)由题意得:b =c ,⑵由题意得：2b = a + c ,• 4 b 2= (a + C )2.2222' 又••• a = b + C ,• 4( a 2 2 2)=a 十 2ac 十22即 3a — 2ac — 5C =22•3-a —5・ £)=0,即 5・(a )+a —3=c 3」e= a= 5.2 2X y10.过椭圆一+十=1内点M 2,1)引一条弦，使弦被 M 平分，求此弦所在直线的方程[:95902101】【解】 方法一：依题意，该直线 I 的斜率存在•设所求直线方程为y — 1 = k (x — 2),代入椭圆方程并整理，得 (4 k 2+ 1)x 2— 8(2 k 2— k )x + 4(2 k — 1)2— 16= 0.又设直线与椭圆的交点为 A (X 1, y 1)、B (X 2, y 2)，贝U X 1、X 2是方程的两个根，于是X 1 +82k 2— kX 2=汞匚1.2又M 为AB 的中点，••• 筈兰=攀二匚2，解之得24k 十 I故所求直线的方程为 x + 2y — 4 = 0. 方法二：设直线与椭圆的交点为 A (X i , y i )、政X 2,M 2,1)为AB 的中点.二X i + X 2 = 4, y i + y 2= 2.又A B 两点在椭圆上，则 两式相减得（X ?— X 2） + 4（ y i — y 2） = 0.于是（x i + X 2）（ x i — X 2）+ 4（ y i + y 2）（ y i — y 2）= o..y i — y 2_ x i 十 X 2 _ 1 X i — X 2 4y i 十 y 2^i即k AB = — 2故所求直线方程为 X + 2y — 4 = 0.［能力提升练］2 2X yi •已知椭圆一+£= i(a >b >0)的左顶点为 A,左焦点为F ,上顶点为B,若/ BAOF / BFOa b=90°,则椭圆离心率为所以/ BAO / BF O= 902222% / 5 1•••（ a , b ） •（ c ，— b ） = ac — b = ac — a + c = 0,得 e + e — 1 = 0，求得 e = —【答案】号2 22.如图2-2-3 , P 是椭圆 名+ J = 1在第一象限上的动点，F i,F 2是椭圆的焦点，M 是/ F i PF25 16k =-2.X 2 + 4y 11= 16, X 2+ 4y 2= 16.yfNdF OF /【解析】 令右焦点为F ' ，连结 BF ，由题意得 A — a,0)，B (0，b )，F'( c, 0)，由椭圆的对称性知/ BF(=/ BFO 又/ BAOH / BFO- 90°,的平分线上的一点，且F a M- M F= 0(1)求椭圆C 的标准方程;(3)设直线y = X + k 与椭圆C 相交于A, B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，求【解析】 而 a — c <PF 2<a , 【答案】 [:95902102】延长F 2M 交PF 于点N,由已知条件可知 OM t 畀日=2( PF — PF 2) = a — PF , 所以 OM (0 , C )，即OM (0,3).(0,3)2 23.已知椭圆36+ 9 =i以及椭圆内一点 R4,2) ，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为【解析】 设弦的端点 A (x i , y i )，B (X 2, y 2),2 2< X i y i 则 x i + X 2 = 8, y i + y 2 = 4, { 一+ —= i36 92 2X 2 y 2 136 ‘ 6两式相减,l 36+n = 1,x i + X 2X i — X 2 y i + y 2y i —讨2得 ---- - --- + ------ ----- = 0, 36 2x i — X 24y i — yX i — X 22'【答案】 -4.如图2-2-4，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 x yC ：孑+合=i(a > b > 0)的左、右焦点分别为F i , F 2，点P (3,1)在椭圆上,⑵若点Q 在椭圆C 上，且/F i Qf 2= n7，求 QF • QF 的值;3实数k的值.[:95902103】【解】（1）•••椭圆过点 R3,1）,9 1• a2+b2=j1又S^p F F2= 2" e x 1= 2寸2，解得c= 2©又a2= b2+ c2,解得a2= 12, b2= 4,2 2•椭圆的标准方程为12+鲁=1.⑵当/ F1QF=n^时,jQF + QF= 2a = 4p3,^Q F + Q F— 2QF • QF cos 专=1 32c 2= 32,16QF • QF=—.(3)设A(x i, y i), 0X2, y2),”2 2二+y-= 1 由“2 4，!y = X + k,2 2得 4x + 6kx + 3k —12 = 0.故X1 + X2= —3k,2 23k — 12 k — 12 X1X2= 一4一, y1y2=—4—•••以AB为直径的圆经过坐标原点,••• OA SB= X i X2 + y i y2= k2— 6= 0 解得k =±窃，•••此时△ = 120>0，满足条件，因此k=±76.。
高二数学选修1--1椭圆练习题
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2012·上海高考)对于常数m ，n ，“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知椭圆：x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( ) A ．4 B ．8C ．4或8D ．以上均不对3．矩形ABCD 中，|AB |＝4，|BC |＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的短轴的长为( )A ．2 3B ．2 6C ．4 2D ．4 34．(2013·汕尾模拟)已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．155．以椭圆上任意一点与焦点所连接的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．相离D ．无法确定6．(2012·新课标全国卷)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与曲线x 2＋y 2＝a 2－b 2恒有公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围是__________．8．(2012·江西高考)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为________．9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点．若AF ＝3FB ，则k ＝________.三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．求以坐标轴为对称轴，一焦点为(0,52)且截直线y ＝3x －2所得弦的中点的横坐标为12的椭圆方程． 11．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程；(2)求△P AB 的面积．12．(2012·天津高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点P ⎝⎛⎭⎫55a ，22a 在椭圆上． (1)求椭圆的离心率；(2)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点．若点Q 在椭圆上且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ 的斜率的值．12．(2012·天津高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点P ⎝⎛⎭⎫55a ，22a 在椭圆上． (1)求椭圆的离心率；(2)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点．若点Q 在椭圆上且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ 的斜率的值．。
《椭圆》同步练习1(苏教版选修1-1)
椭圆一、选择题1、与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是 ( ) (A)185y 80x )D (145y 20x )C (125y 20x )B (120y 25x 22222222=+=+=+=+ 2、椭圆的两个焦点和短轴两个顶点，是一个含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )(A) (B) (C) (D)或3、椭圆中,F 1、F 2为左、右焦点,A 为短轴一端点,弦AB 过左焦点F 1,则ABF 2的面积为( )（A ）3 （B ） （C ） （D ）44、方程=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ( )(A)-16<m<25 (B)-16<m< (C)<m<25 (D)m>5、已知椭圆的离心率e=，则m 的值为 ( )(A)3 (B)3或 (C) (D)或6、椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的( )(A)倍 (B)2倍 (C)倍 (D)倍7、椭圆ax 2＋by 2＋ab=0(a<b<0)的焦点坐标为 ( )(A)(0，±) (B)(±，0)(C)(0，±) (D)(±，0)8、椭圆x 2+4y 2=1的离心率为 ( )(A)9、从椭圆短轴的一个端点看两焦点的视角是1200,则这个椭圆的离心率e= ( )(A) (B) (C) (D)10、曲线与曲线(m<9)一定有 ( )(A)相等的长轴长 (B)相等的焦距 (C)相等的离心率 (D)相同的准线二、填空题11.(1)中心在原点，长半轴长与短半轴长的和为9，离心率为0.6的椭圆的方程为________；(2)对称轴是坐标轴,离心率等于，且过点(2，0)的椭圆的方程是_______12.(1)短轴长为6，且过点(1，4)的椭圆标准方程是__________；(2)顶点(-6，0)，(6，0)过点(3，3)的椭圆方程是__________13.已知椭圆=1的焦距为4，则这个椭圆的焦点在_____轴上，坐标是_____14.已知椭圆的离率为，则m=三、解答题15、求椭圆的内接矩形面积的最大值16．已知圆＝１，从这个圆上任意一点P向轴作垂线段ＰＰ′，求线段ＰＰ′的中点M的轨迹.17．△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(0，-6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是-，求顶点A的轨迹方程.18．已知椭圆的焦点是,Ｐ为椭圆上一点，且是和的等差中项.(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且∠＝120°，求.参考答案1.B2.D3.D4.C5.B6.B7.C8.A9.A 10.B11. (1)或；(2)或12. (1)；(2) 13. y，(0，-2).(0，2)14. 3或1516解：设点M的坐标为，则点P的坐标为.∵P在圆上，∴，即.∴点M的轨迹是一个椭圆17.解：设顶点A的坐标为.依题意得，∴顶点A的轨迹方程为 .说明：方程对应的椭圆与轴有两个交点，而此两交点为（０，－６）与(0，6)应舍去. 18解：(1)由题设｜｜＋｜｜＝２｜｜＝4∴， 2c=2，∴ｂ＝∴椭圆的方程为.（２）设∠，则∠＝60°－θ由正弦定理得：由等比定理得：整理得：故.。
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椭圆同步练习（1）
一．选择题：
1．已知椭圆的焦点，，是椭圆上一点，且是，的等差中项，则椭圆的方程是（）
A． B．C． D．
2．椭圆的焦点坐标是（）．
A． B．C． D．
3．已知，是椭圆上的动点，是线段上的点，且满足
，则动点的轨迹方程是（）
A． B．
C． D．
二．填空题：
4．与椭圆有相同焦点且过点的椭圆方程是。
5．点是椭圆上一点，是其焦点，若，则的面积为．
6．已知，是椭圆内的点，是椭圆上的动点，则的最大值为______________，最小值为___________．
三．解答题：
7．椭圆的焦距为6且经过点，求焦点在轴上的椭圆的标准方程．
8．椭圆的一个焦点是，且截直线，所得弦的中点横坐标为，求椭圆的标准方程．
9．已知方程，，对不同范围内的值分别指出方程所代表的曲线的类型，并画出显示其特征的草图．
10．已知直线交椭圆于，两点，点坐标为（0，4），当椭圆右焦点恰
为的重心时，求直线的方程．
11．椭圆与直线相交于，两点，是的中点，若
，为原点，的斜率为，求椭圆的方程．
参考答案：
一．选择题：
1．C 2．C 3．B
二、填空题：
4． 5． 6．，
三．解答题：
7．
8．设所求椭圆方程为，由，得，将
与
联立消去得
．
设，，则，解出、，所求椭圆方程为
．
9．当时，方程的图形为直线；当时方程的图形为中心在原点、焦点在
轴上的椭圆；当时方程的图形为以原点为圆心、2为半径的圆；当时方程的图形
为中心在原点、焦点在轴上的椭圆．画图略．
10．设，，由及为的重心有，
得，，．所以中点为（3，－2）．又、
在椭圆上，故，．
两式相减得到，
可得即为的斜率，由点斜式可得的方程为．
四、由直线方程与椭圆方程联立消去得
．设，，，则，
，，所以…①；又由
可得…②．由①，②解
得，，所求椭圆为．。