安徽省江南十校2019届高三第二次联考数学(文科)试题(精编含解析)
江南十校2019届高三第二次大联考数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，则化简的结果为（ ）i 20181(1i i+-A.B.C. -1D. 1i i -【答案】C 【解析】【分析】先用复数的除法运算，化简，然后再利用的周期性求得最终化简的结果.1i 1i+-i n【详解】依题意，.故选C.()()()()1i 1i 1i 2ii 1i 1i 1i 2+++===--+201820162450422i i i i 1+´+====-【点睛】本小题主要考查复数的运算，考查复数的除以运算、乘法运算以及乘方运算.要记忆的是是一个i n周期出现的量，以此类推.复数的除12345i i,i 1,i i,i 1,i i,==-=-== 4142434i i,i 1,i i,i 1k k k k +++==-=-=法运算，主要的思想方法是将分母转化为实数.2.已知集合，，则有（ ）{|1}A x x =<{|21}xB x =<A. B. C.D. {|10}A B x x Ç=-<<A B R È={}1A B x x È=A B fÇ=【答案】A 【解析】【分析】解绝对值不等式求得集合A 中的范围，解指数不等式求得集合B 中的范围，再根据选项逐一判断正误.x x 【详解】由解得，故集合，由解得，故集合.故1x <11x -<<()1,1A =-0212x <=0x <(),0B =-¥，A 选项正确，D 选项错误，，故B,C 选项错误.所以选A.()1,0A B Ç=-(),1A B È=-¥【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查指数不等式的解法，考查集合交集以及并集的求法.属于基础题.含有单个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边，小于在中间”，即或，.指数不等式的解法主要是化为同底()()f x a f x a >Û<-()f x a >()()f x a a f x a <Û-<<来计算.3.若，则“”是“”的（ ）,R a b Îa b ¹sin sin a b ¹A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】B 【解析】【分析】两个角不相等，正弦值可能相等，两个角的正弦值不相等，那么两个角必定不相等——由此判断出正确选项.【详解】当两个角不相等时，正弦值可能相等，如；如果两个角的正弦值不相等，那么sin 60sin120= 两个角必定不相等，故“”是“”的必要不充分条件.故选B.a b ¹sin sin a b ¹【点睛】本小题主要考查充要条件的判断.如果，则是的充分条件，是的必要条件；否则，p q Þp q q p 不是的充分条件，不是的必要条件.在判断具体问题时，可以采用互推的方法，进行和p q q p p q Þ各一次，判断是否能被推出，由此判断是什么条件.还可以采用集合的观点来判断：小范围是大范q p Þ围的充分不必要条件，大范围是小范围的充要不充分条件.如果两个范围相等，则为充要条件.如果没有包含关系，则为既不充分也不必要条件.4.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的值为（ ）0x =xA.B. C. D. 151634783132【答案】A 【解析】【分析】运行程序，当时退出循环，令输出的值为零，解方程求得输入的的值.5i =x 【详解】运行程序，输入，，，判断否，，判断否，x 1i =21,2x x i =-=()221143,3x x x i =--=-=，判断否，，判断是，退出循环.依题意()243187,4x x x i =--=-=()28711615,5x x x i =--=-=可知，解得.故选A.16150x -=1516x =【点睛】本小题主要考查程序框图循环结构，考查利用输出结果，推导输入的数值，属于基础题.5.在递增等比数列中，，，则（ ）{}n a 1510a a +=34a =19a =A. B.C.D. 19220292102【答案】D 【解析】【分析】将已知条件转化为的形式，解方程组求得的值，从而求得任意一项的值.1,a q 1,a q 【详解】由于数列为等比数列，故，由于数列是递增的数列，故解得，故41121104a a q a q ì+=ïí=ïî212,2q a ==，故选D.()91829101912222a a q q ==´=´=【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查一元二次方程方程的解法，属于基础题.6.已知直线，，若，则之间的距离为（ ）1:360l mx y -+=2:43120l x my -+=12//l l 12,l l【答案】A 【解析】【分析】根据两直线平行，求得的值，再利用两平行直线间的距离公式，求得两直线的距离.m 【详解】由于两条直线平行，属于，解得，当时，两直线方程都是()()3340m m ×---×=2m =±2m =故两直线重合，不符合题意.当时，，，故两2360x y -+=2m =-1:2360l x y +-=2:2360l x y ++=.故选A.【点睛】本小题主要考查两条直线平行的条件，考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题.7.已知，则（ ）2sin(43pa +=sin 2a =A.B. D. 1919--【答案】B 【解析】【分析】将已知条件利用两角和的正弦公式展开后，两边平方得到，化简后可得到所求的三角函数值.【详解】依题意，两边平方得，解得.)π2sin sin cos 43a a a æöç÷++=ç÷èø()141sin 229a +=1sin 29a =-【点睛】本小题主要考查两角和的正弦公式，考查同角三角函数的基本关系式，以及二倍角公式，属于基础题.8.如图（1）所示的是三棱台，其三视图如图（2）所示（其中正视图是直角三角形，侧视图和俯视图为直角梯形），则该三棱台的表面积为（ ）A.B. 52C.D. 34+34+34+【答案】B 【解析】【分析】根据正视图计算两个直角三角形的面积，根据侧视图和俯视图计算左侧和底部两个梯形的面积，然后解直角三角形求得几何体右侧梯形的上底、下底和高，并求得其面积.个面面积相加得到棱台的表面积.5【详解】两个直角三角形的面积之和为.左侧和底部两个梯形是全等的，面积之和1122441022´´+´´=为.，2424242+´´====，.故表面积为=18=，故选B.10241852++=【点睛】本小题主要考查三视图和直观图的对应，考查几何体表面积的计算，主要是梯形和直角三角形面积的计算.属于基础题.9.在中，三个内角的对边分别为，且，则（）ABC D ,,A B C ,,a b c cos sina b C B =B =A.B. C. D. 23p 3p 4p 6p【答案】D 【解析】【分析】利用正弦定理将已知条件中的边转化为角的形式，再利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式展开化简，由此求得的大小.B 【详解】由正弦定理得，即，sin sin cos sin A B C C B =()sin sin cos sin B C B C C B +=即，故，故sin cos cos sin sin cos sin B C B C B C C B +=cos B B =tan B .所以选D.π6B =【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查三角形内角和定理以及两角和的正弦公式，属于基础题.10.已知曲线，，要想由得到，下面结论正确的是（ ）1:sin(2)3C y x p=+2:cos C y x =2C 1C A. 把上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位2C 6pB. 把上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位2C 12pC. 把上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位2C 126pD. 把上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位2C 1212p【答案】D 【解析】【分析】先将转化为正弦函数的形式，然后利用三角函数图像变换的知识进行图像变换，得出正确的选项.2C 【详解】依题意，横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）得到，然πcos sin 2y x x æöç÷==+ç÷èø12πsin 22x æöç÷+ç÷èø后再向右平移个单位，得到.故选D.12pπππsin 2sin 21223x x éùæöæöêúç÷ç÷-+=+ç÷ç÷êúèøèøëû【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查三角函数图像变换的知识，属于基础题.11.设为负实数且，则下列说法正确的是（ ）,x y 23x y =A. B.C.D. 以上都不对32y x =32y x <23x y <【答案】C 【解析】【分析】令，指数式化为对数式，用来表示，然后利用换底公式比较和的大小，由此得出23x y z ==z ,x y 2x 3y 正确选项.【详解】令，则，.由于23x y z ==2212ln log ,22log ln 2z x z x z ===3313ln log ,33log ln 3z y z y z ===为负实数，故，所以.由于，所以，所以,x y 01z <<ln 0z <66113228,39æöæöç÷ç÷==ç÷ç÷èøèø113223<，所以，两边乘以得，即.故选C.11320ln 2ln 3<<112311ln 2ln 3>ln z 1123ln ln ln 2ln 3z z <23x y <【点睛】本小题主要考查指数式化为对数值，考查利用换底公式以及对数函数的单调性比较大小.属于中档题.12.设是定义在上的偶函数的导函数，且，当时，不等式'()f x (,0)(0,)p p -È()f x ()02f p=(0,)xp Î恒成立，若，，，则的大小关'()sin ()cos 0f x x f x x ->2()6a f p=--2()6b f p =()4c p=,,a b c 系是（ ）A. B.C.D. c a b <<b a c <<a c b <<b c a<<【答案】D 【解析】【分析】构造函数，根据函数的奇偶性求得的奇偶性，再根据函数的导数确定()()sin f x F x x=()f x ()F x ()F x 单调性，由此比较三个数的大小.,,a b c 【详解】构造函数，由于是偶函数，故是奇函数.由于()()sin f x F x x=()f x ()F x ，故函数在上递增.由于，故当()()()2sin cos 0sin f x x f x xF x x-=¢>¢()F x ()0,πππ0,022f F æöæöç÷ç÷==ç÷ç÷èøèø时，，当时，.所以，π0,2x æöç÷Îç÷èø()0F x >π,π2x æöç÷Îç÷èø()0F x <πππ60π66sin 6f a F F æöç-÷ç÷æöæöèøç÷ç÷==-=->ç÷ç÷æöèøèøç-÷ç÷èø，，根据单调性有πππ620π66sin 6f b f F æöç÷ç÷æöæöèøç÷ç÷===<ç÷ç÷èøèøπππ40π44sin 4f c F æöç÷ç÷æöæöèøç÷ç÷==<ç÷ç÷èøèø()F x.故，即，故选D.ππ46F F æöæöç÷ç÷>ç÷ç÷èøèøπππ0646F F F æöæöæöç÷ç÷ç÷->>>ç÷ç÷ç÷èøèøèøa cb >>【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查构造函数法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图所示，在矩形中，，沿对角线将其折成直二面角，连结，则该三ABCD 22AB AD ==AC BD 棱锥的体积为__________．D ABC-【解析】【分析】利用等面积法求得直角三角形的边上的高，也即三棱锥的高，由此计算出三棱锥的体ACD AC D ABC -积.【详解】依题意，，设直角三角形的边上的高为，根据等面积有AC =ACD AC h ，解得，故三棱锥的体积为1122AC h AD CD ××=××h 1132D ABC V AB BC h -=´´´´112132=´´´´=【点睛】本小题主要考查折叠问题，考查三棱锥体积的求法，考查等面积法求平面图形的高，属于基础图.14.设满足约束条件，则的最小值为__________．,x y 2210x y x y ì+£ïí-£ïî32z x y =-【答案】-【解析】【分析】画出约束条件对应的可行域，通过向上平移基准直线到可行域边界位置，由此求得目标函数的320x y -=最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，当直线平移到和圆弧相切时，取得最小值，此时直线方程z 为，，即的最小值320x y z --=1z =-z 为.-【点睛】本小题主要考查线性规划的知识，考查线性型目标函数的最值的求法，属于基础题.题目所给的约束条件中，表示的是圆心为，半径为的圆的圆上和圆内的点构成的区域.对于目标函()()222x a y b r -+-£(),a b r 数，由于，当直线截距最大时，取得最小值，这个在解题过程中要特别注意.32z x y =-23y x z =-z 15.已知扇形的圆心角为，半径为2，是其弧上一点，若，则OAB 090AOB Ð=C OC OA OB l m =+的最大值为__________．·l m 【答案】12【解析】【分析】以为基底，表示，这是一个正交的基底，故，再,OA OBOC ()()22222444OAOBOC l m l m +=+== 由基本不等式求得的最大值.l m ×【详解】以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，画出图像如下图所示.由于O ,OB OA ,x y 相互垂直，以为基底，这是一个正交的基底，表示，根据图像可知,OA OB ,OA OBOC ，即，故，当且仅当()()22222444OA OBOC l m l m +=+== 221l m +=22122l m l m +×£=时，等号成立.故的最大值为.l m =l m ×12【点睛】本小题考查平面向量的基本定理，考查正交基底的应用，考查利用基本不等式求乘积的最大值.平面内不共线的两个向量可以作为基底表示其它任何的向量，当这两个不共线的向量相互垂直时，为正交基.基本不等式不但要记得.a b +³22222a b a b ab æö++ç÷££ç÷èø16.已知定义在的两个函数和（是自然对数的底），若在(1,)+¥2()ef x m x=+()ln g x x =e 的解集内有且只有两个整数，则实数的范围是__________．()()1f x g x >m 【答案】121(,ln 33ln 42e e --【解析】【分析】化简不等式，变为，即左边函数在右边函数()()1f x g x ×>2e ln ln 1x m x x>-ln y m x =图像上方只有两个横坐标为整数的点.利用导数画出的图像，结合图像列出不2e ln 1x y x =-2e ln 1x y x=-等式组，解不等式组求得的取值范围.m 【详解】化简不等式，得，构造函数和，()()1f x g x ×>2e ln ln 1x m x x >-()ln h x m x =2e ln 1x y x =-需要满足图像在图像上方的点的横坐标有且只有两个整数.m ()ln h x m x =()2e ln 1x n x x=-，故函数在上递减，在上递增，且当时，'22e ln ln 112e x x x x æö-ç÷-=×ç÷èø()2e ln 1x n x x =-()1,e ()e,+¥e x >函数值小于零.当时，在上递增，画出图像如下图所示，由图可知0m >()ln h x mx =()1,+¥图像在图像上方的点不止两个整数.故不符合题意.()ln h x m x =()2e ln 1x n x x=-当时，显然不符合题意.当时，画出图像如下图所示，由图可知，即0m =0m <()()()()()()223344h n h n h n ì>ïï>íï£ïî，解得.即的取值范围是.2eln 2ln 2122eln 3ln 3132eln 4ln 414m m m ì>-ïïïï>-íïïï£-ïî121e e ln 33ln 42m -<£-m 121e e,ln 33ln 42æùç--úçúèû【点睛】本小题主要考查利用数形结合的数学思想方法解不等式，考查了对数函数的图像与性质，考查了利用导数研究函数图像与性质.对于题目给定的，转为两个函数的图像来研究，这是化归与转化的数学思()()1f x g x <想方法.导数在本题中是一个工具的作用，用于画图函数的图像.属于中档题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，三内角的对边分别为，已知向量，，ABC D,,A B C ,,a b c (2sin ,cos 2)m x x =,1)n x = 函数且.()·f x m n = ()1f B =（1）求角的值；B （2）若且成等差数列，求.BA BC += ,,a b c b 【答案】（1）；（2）23B p =【解析】【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算，以及辅助角公式，化简的表达式，利用求得的大()f x ()1f B =B 小.（2）利用等差数列的性质、余弦定理，以及向量模的运算，列方程，解方程可求得的值.b 【详解】（1） ()·cos cos2f x m n x x x ==+cos2x x +整理得：，()2sin 26f x x p æöç÷=+ç÷èø∵，()1f B =∴ ，2sin 216B p æöç÷+=ç÷èø1sin 262B p æöç÷Þ+=ç÷èø∵，∴；()0,B p Î3B p=（2）由成等差数列，得：，,,a b c 2b a c =+由余弦定理得：，222a c acb +-=由，得：，BA BC += 2212a c ac ++=三个等式联立解得：.2b =【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，辅助角公式化简求值，考查等差中项的性质，考查余弦定理解三角形，还考查了向量模的运算.属于中档题.18.若数列的前项和，且，等比数列的前项和，且.{}n a n n S 2n S n n =+{}n b n n T 2n n T m =+（1）求和的通项；{}n a {}n b （2）求数列的前项和.{}·n n a b n 【答案】（1） ；(2)2n a n =()*n N Î12n n b -=()121·2n n ++-【解析】【分析】（1）利用，求得数列的通项公式.同理也求得的通项公式.（2）利用错位相减求和11,1,2n n n S n a S S n -ì=ï=í-³ïîn a n b 法求得前项和.n 【详解】（1）由，2n S n n =+得：，()()22111n S n n n n -=-+-=-()122n n n a S S n n -=-=³∵符合公式， 211112a S ==+=2n a n =()*n N Î同理：由，2n n T m =+推得：，()122n n b n -=³12b m=+∵是等比数列，{}n b ∴ 11b =1m Þ=-12n n b -Þ=（2）设，是其前项和，··2n n n n c a b n ==n Q n ∵123122232·2nn Q n =´+´+´++ ∴()234121222321·2·2n n n Q n n +=´+´+´++-+ 两式相减得：2312222·2n n n Q n +-=++++- ∴()121·2n n Q n +=+-另解：∵，()()1·21·22·2n n n n c n n n +==---∴()()()21324310·21·21·20·22·21·21·22·2n nn Q n n +=--+-+-++--- ()121·2n n +=+-【点睛】本小题主要考查已知求得方法，考查错位相减求和法. 已知求得方法是利用n S n a n S n a 来求数列的通项公式.属于中档题.11,1,2n nn S n a S S n -ì=ï=í-³ïî19.已知两个定点，，动点到点的距离是它到点距离的2倍.(1,0)A -(2,0)B (,)P x y A B （1）求点的轨迹；P E （2）若过点作轨迹的切线，求此切线的方程.(1,1)C E 【答案】（1）见解析；（2）或1x =3410x y -+=【解析】【分析】（1）利用两点间的距离公式列方程，化简后可求得轨迹的方程.（2）由于轨迹是圆，故设切线方程为E E 点斜式，然后利用圆心到直线的距离等于半径列方程，求得切线的斜率.验证斜率不存在时直线也满足题意，由此求得题目所求的切线方程，有两条.【详解】（1）设动点，则，(),P x y 2PAPB =，=化简得：()2234x y -+=所以动点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆；P E ()3,0（2）设是圆的切线，则有：():11l y k x -=-E ，324k Þ=当不存在时，恰好与圆切于点，k :1l x =E ()1,0综合得：切线方程为：或.1x =3410x y -+=【点睛】本小题主要考查利用直接法求动点的轨迹方程，考查圆的切线方程的求法，属于中档题.直接法求动点的轨迹方程，首先设出动点的坐标为，然后代入题目所给的已知条件中，如本题中的长度关系(),x y 式，然后化简即可得到所求点的轨迹方程，要注意验证特殊位置是否满足.20.已知函数（为常数，）.3211()32a f x x x ax +=-+a a R Î（1）求函数的单调递增区间；()f x （2）若函数在上单调递减，求的取值范围.()f x (31,2)a a -a 【答案】（1）见解析；（2）12【解析】【分析】（1）对函数求导后，对分成三类，讨论函数的单调递增区间.（2）根据题目所给区间求a 1,1,1a a a >=<得的范围，根据导数求得函数的减区间，题目所给区间是这个区间的子集，由此求得的取值范围.a a【详解】（1）∵，()()()()2'11f x x a x a x x a =-++=--所以，当时，，1a =()()2'10f x x =-³递增区间为；()f x (),-¥+¥当时， 或，1a >()()()'10f x x x a =-->x a Þ>1x <∴递增区间为和；()f x (),1-¥(),a +¥当时， 或，1a <()()()'10f x x x a =-->1x Þ>x a <∴递增区间为和；()f x (),a -¥()1,+¥（2）∵， ∴，312a a -<1a <当时， ，1a <()()()'10f x x x a =--<1a x Þ<<即的递减区间为，()f x (),1a ∴ .()()31,2,1a a a -Í3121a a a ì-³ïÞí£ïî12a Þ=【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调递增区间，考查利用导数研究函数在给定区间上递减求参数的问题.导数在研究函数中，主要是一个工具的作用，在导数为正数的区间，函数是单调递增的，在导数为负数的区间，函数是单调递减的.本小题属于中档题.21.一幅标准的三角板如图（1）中，为直角，，为直角，，且ABC Ð060A Ð=DEF Ð045D Ð=，把与拼齐使两块三角板不共面，连结如图（2）.BC DF =BC DF AE （1）若是的中点，求证：；M AC EM BC ^（2）在《九章算术》中，称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”，若图（2）中，三棱锥AB a =的体积为，则图（2）是否为鳖臑？说明理由.A BEC -314a【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）取的中点，连接，通过证明直线平面，证得直线.（2）根据BC N ,MN EN BC ^MNE BC BM ^的长度，求得的长度，求得三角形的面积，利用体积公式后求得三棱锥的高为，AB ,,BC BE CE BEC a 由此证得平面，进而证得四个三角形都是直角三角形.AB ^BEC 【详解】（1）证明：设中点为，连结，BC N ,MN EN∵，，AB BC ^//MN AB ∴，MN BC ^∵，，，BE EC ^BE EC =BN CN =∴EN BC^∵，MN EN N Ç=∴平面，BC ^MNE 故；ME BC ^（2）此时三棱锥时鳖臑A BEC -∵ ， AB a =BC ÞBE CE ==234BEC S a D Þ=又三棱锥的体积高，314V a =Þh a =所以平面，AB ^BEC 那么，在三棱锥中，显然是直角，A BEC -,,ABC ABE BEC ÐÐÐ∵，，平面CE BE ^CE AB ^AB EB B CE Ç=Þ^ABE也是直角CE AE Þ^AEC ÞÐ那么，该三棱锥的四个面都是直角三角形，所以它是鳖臑.【点睛】本小题主要考查空间两条直线垂直的证明，考查新定义概念的理解和三棱锥的体积公式，以及线面垂直的证明，属于中档题.22.已知函数.()(1)ln 1f x a x x x =+-+（1）当时，求在处的切线方程；3a =()f x (1,(1))f （2）若在上恒成立，求实数的取值范围.()0f x >(1,)+¥a 【答案】（1）；（2）550x y --=1[,)2a Î+¥【解析】【分析】（1）当时，求得切点和斜率，由此求出切线方程.（2）求出函数的导数后，对分成3a =a 三类，讨论函数的单调区间以及最值，由此求得的取值范围.110,0,22a a a £<<³a 【详解】（1） ，()()331ln 1a f x x x x =Þ=+-+()'15f Þ=∵，∴所求切线方程为，()10f =()51y x =-即所求切线方程是；550x y --=（2）()()11'ln 1ln 11a x f x a x a x x x æö+ç÷=+-=++-ç÷èø若，∵单调递减，0a £()()1'0x f x f x >Þ<Þ∵在上，，不合题意；()10f =Þ()1,+¥()0f x <若，由 ，0a >()()1'ln 1a x f x a x x +=+-()()21''a x f x x -Þ=∵单调递增，()()1''0'x f x f x >Þ>Þ由于，()'121f a =-那么，时，，102a <<()'1210f a =-<11'110a a f e a ae -æöç÷=++->ç÷èø则，101,a x e æöç÷$Îç÷èø()0'0f x =那么在上，，单调递减，()01,x ()'0f x <()f x ∵，∴在上，，不合题意；()10f =()01,x ()0f x <若，单调递增，12a ³()()1''0'x f x f x >Þ>Þ单调递增，()()()'1210'0f a f x f x =-³Þ³Þ∵，∴，，符合题意.()10f =1x >()0f x >综合上述得：.1,2a éö÷Î+¥ê÷êëø【点睛】本小题主要考查利用导数求函数图像的切线方程，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于难题.。
安徽省江南十校2019届高三数学冲刺联考二模试题文20190531016
年“江南十校”高三学生冲刺联考(二模）文科数学本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，第卷第至第页，第卷第至 第页。
全卷满分分，考试时间分钟。
考生注意事项：.答题前，务必在试题卷规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中座位号与本人座位号是否一致，务必在答題卡规定的地方填写考场座位号、姓名、班级。
.答第卷时，每小题选出答案后，用铅笔把答題卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
.答第Ⅱ卷时，必须使用亳米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰，作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
. 第卷(选择题共分）―、选择题(本大题共小题，每小题分，共分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
.集合 {1＜|x x }， {2|-≥x x }，则(∩) . {2＜|-x x } . {1|≥x x }. {1x 2＜|≥-或x x } . {x ＞＞2|或-≤x x }.设iiz 2332+-=，复数2+z 位于复平面 .第一象限 .第二象限 .第三象限 .第四象限 . 执行如图所示的程序框图，输出的的值为 .25 . 290941 . 1029. 已知抛物线方程为2ax y =,它的准线方程为81-=y ，则a 的值为. 21-. 21. 已知圆台上、下两底面与侧囿都与球相切，它的侧面积为π16,则该圆台上、下两个底面圆的周长之和为. π4 . π6 . π8 . π10. 已知: 31log ,)31(,411ln 11e e c b a ===，则 ，，的大小关系为. > >. > >> > > >. 在平行四边形中，为的中点，点在上, 且，连接、交于点，则=DG.7154- . 7476- . AD AB 7275- . AD AB 7173- . 已知函数)(3cos 33sin )(R x x x x f ∈+=，曲线)(x f 与直线3=y 的交点中，相邻交点的距离最小值与最大值分别为 .54,3ππ .65,6ππ .95,9ππ .125,12ππ.△中，角，，的对边分别为，，，且满足BBA A C bc a c b cos sin 3cos sin 3sin 2)2(,33)(3)1(222=-+=+，则角为.6π . 65π . 3π . 32π. 如图所示，正方形的边长为，等腰直角△绕其直角边转动，另一直角边与正方形一边成θ角(0018＜90θ≤)，则异面直钱与所成角的取值范围为 . ]2,0(π. ]6,0(π . ]3,0(π . ]2,6[ππ.已知双曲线方程12222=-by a x (>>≠), ，是它的两条渐近线上的点，△为直角三角形，则，两点横坐标的绝对值之比为. abb a 或 . ||2222b a b a -+ . 2222||b a b a +- . ||2222b a b a -+或2222||b a b a +-. 已知函数xx ee xf -+=4)(，则.)(x f 在(∞)单调递增，在(, ∞)单调递减 .)(x f 在(∞)单调递减，在(, ∞)单调递增 .函数)(x f 的图象不关于直线2=x 对称 .函数)(x f 的图象关于点(，)对称(在此卷上答题无效）绝密★启用前年“江南十校”高三学生冲剌联考(二模）文科数学 第Ⅱ卷(非选择题共分)考生注意事项：请用毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
2019年安徽省江南十校高考数学二模试卷(文科)(有答案解析)
2019年安徽省江南十校高考数学二模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x＜1}，B={x|x≥-2}，则∁R（A∩B）=（）A. {x|x＜-2}B. {x|x≥1}C. {x|x＜-2或x≥1}D. {x|x≤-2或x＞1}2.设z=，则位于复平面（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A. 2B.C.D.4.已知抛物线方程为y=ax2，它的准线方程为y=-，则a的值为（）A. -B.C. -2D. 25.已知圆台上、下两底面与侧面都与球相切，它的侧面积为16π，则该圆台上、下两个底面圆的周长之和为（）A. 4πB. 6πC. 8πD. 10π6.已知a=ln，b=（），c=log，则a、b、c的大小关系为（）A. c＞a＞bB. c＞b＞aC. b＞a＞cD. a＞b＞c7.在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，点F在CD上，且DF=2FC，连接AE，BF交于G点，则=（）A. -B. -C. -D. -8.已知函数f（x）=sin3x+cos3x（x∈R），曲线f（x）与直线y=的交点中，相邻交点的距离最小值与最大值分别为（）A. ，B. ，C. ，D. ，9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（1）（b2+c2）=+3bc，（2）=，则角C为（）A. B. C. D.10.如图所示，正方形ABCD的边长为1，等腰直角△SAD绕其直角边AD转动，另一直角边SD与正方形一边DC成θ角（90°≤θ＜180°），则异面直钱SA与DB所成角的取值范围为（）A. （0，]B. （0，]C. （0，]D. [，]11.已知双曲线方程-=1（a＞0，b＞0，a≠b），A，B是它的两条渐近线上的点，△OAB为直角三角形，则A，B两点横坐标的绝对值之比为（）A. 或B.C. D. 或12.已知函数f（x）=e x+e4-x，则（）A. f（x）在（-∞，2）单调递增，在（2，+∞）单调递减B. f（x）在（-∞，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增C. 函数f（x）的图象不关于直线x=2对称D. 函数f（x）的图象关于点（2，0）对称二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知f（x）=e x-t，若f（2）=e，则f（ln2）=______．14.已知x，y满足约束条件，若z=-kx+y取得最小值的最优解不唯一，则实数k的值为______．15.直线x+2ay-4a-1=0恒过定点M，则点M到圆x2+y2+4x-6y+12=0上的点的距离的最大值为______．16.定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），且f（1）=1，则f（2019）=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}满足a1=3，a n=3a n-1+2×3n，令b n=．（1）判断{b n}是否为等差数列并说明理由；（2）求数列{a n}的前n项和S n18.如图所示，已知四棱锥S-ABCD中，∠BAD=90°，AD=5，AB=，SB=SD=4，侧面SAD为直角三角形，∠ASD=90°．（1）求证：平面SCD⊥平面SAB；（2）设E为SD上的一点，且DE=2SE，求三棱锥A-EBD的体积．19.某校共有学生3600人，其中男生2000人，女生1600人，为了调查该校学生每周平均课外阅读时间，采用分层抽样的确方法，收集该校180名学生每周课外阅读时间（单位：小时）．（1）应抽查男生与女生各多少人？（2）根据收集180人的样本数据，得到学生每周平均课外阅读时间的概率分布直方图（如右图）．其中样本数据分组区间为[0，1]，（1，2]，（2，3]，（3，4]，（4，5]，（5，6]，估计该校学生每周平均课外阅读时间超过2小时的概率；（3）在样本数据中有70名女学生平均每周课外阅读时间超过2小时，请完成每周课外阅读时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均阅读时间与性别有关”男生女生总计每周平均阅读时间不超过2小时每周平均阅读时间超过2小时总计附：统计量K2=P（K2≥k0）0.100.050.0100.005k0 2.706 3.841 6.6357.87920.已知点F1（-，0），F2（，0），曲线C上的任一点P满足2-2=4（-）（1）求曲线C的方程；（2）设O为原点，过O的直线交曲线C（非直线）于Q，R两点，过F1作QR的平行线交曲线C与M，N两点，求证：|QR|2=4|MN|．21.已知函数f（x）=ax2-ln x-x（x＞0）（1）设x=1是f（x）的一个极值点，求a的值并求f（x）的单调区间（2）设a≥3，求证f（x）≥22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴为非负半轴的极轴建立极坐标系，已知点A（，），直线l的坐标方程为ρcos（）=a，且点A在直线l上（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）求直线截圆（θ为参数）的弦长．23.已知函数f（x）=|x-1|-|x+2|．（1）若a=1时，求不等式f（x）≥ax的解集；（2）若不等式f（x）≤ax对x≤1恒成立求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：根据题意，集合A={x|x＜1}，B={x|x≥-2}，则A∩B={x|-2≤x＜1}，则∁R（A∩B）={x|x＜-2或x≥1}；故选：C．根据题意，先求出A∩B，进而由补集的定义计算可得答案．本题考查了集合的交集和补集计算，关键是掌握集合交集、并集的定义，属于基础题．2.答案：A解析：解：∵z==，∴=2+i，在复平面内对应点的坐标为（2，1），位于第一象限．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简z，得到在复平面内对应点的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得k=0，S=1满足条件k＜4，执行循环体，k=1，S=2满足条件k＜4，执行循环体，k=2，S=满足条件k＜4，执行循环体，k=3，S=满足条件k＜4，执行循环体，k=4，S=此时，不满足条件k＜4，退出循环，输出S的值为．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.答案：D解析：解：y由y=ax2可得x2=y，∴p=，∴-=-，∴=，∴a=2．故选：D．把抛物线方程化成标准形式后可得．本题考查了抛物线的性质，属中档题．5.答案：C解析：解：圆台的轴截面如图所示，S侧=π（R+r）2=16π，∴R+r=4，∴该圆台上、下两个底面圆的周长之和为：2π（R+r）=8π．故选：C．由S侧=π（R+r）2=16π，得到R+r=4，由此能求出该圆台上、下两个底面圆的周长之和．本题考查圆台的上、下两个底面圆的周长之和的求法，考查圆台的性质等基础知识，运算求解能力，是中档题．6.答案：A解析：解：∵1=ln e＜a=ln＜c=log=ln3，0＜b=（）＜（）0=1，∴a、b、c的大小关系为c＞a＞b．故选：A．利用指数函数、对数函数的性质直接求解．本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.答案：B解析：解：∵E为BC的中点，点F在CD上，且DF=2FC，连接AE，BF交于G点，如图所示，∴存在实数m，n使得，，∴====，==，∴，∴，∴=-故选：B．由条件可知存在实数m，n使得，，然后在三角形ADG和三角形DFG中分别表示，利用向量相等得到关于m，n的方程，解方程即可．本题考查了平面向量的加法运算，平面向量共线与相等，考查了方程思想，属中档题．8.答案：C解析：解：f（x）=sin3x+cos3x=2sin（），由f（x）=2sin（）=，得sin（3x+）=，则3x+=或3x+=，取k=0，得x=0或x=；取k=1，得x=或x=．∴相邻交点的距离最小值为，最大值为．故选：C．利用辅助角公式化积，求出f（x）=2sin（）=的根，则答案可求．本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查y=A sin（ωx+φ）型函数的图象与性质，是基础题．9.答案：D解析：解：∵（b2+c2）=+3bc，∴整理可得：b2+c2-a2=bc，∴cos A===，可得：A=，∵=，可得：2sin C cos B-cos B=sin B，∴2sin（A+B）cos B=sin（B+），即：2sin（+B）cos B=sin（B+），∵B∈（0，），可得：B+∈（，π），sin（B+）≠0，∴解得：cos B=，∵B∈（0，π），∴B=，可得：C=π-A-B=．故选：D．由已知整理可得：b2+c2-a2=bc，利用余弦定理可求cos A=，可得A=，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求2sin（+B）cos B=sin（B+），由sin（B+）≠0，解得：cos B=，结合范围B∈（0，π），可求B=，根据三角形的内角和定理可求C的值．本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的内角和定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．10.答案：C解析：解：如图，取SC的中点E，连结AC，BD，交于点F，连结EF，DE，则EF∥SA，则∠EFD为异面直线SA与DB所成角，设∠EFD=β，则在Rt△SDE中，DE=cos，∴cosβ==sin2，90°≤θ≤180°，∴45°≤，∴，∴，∴0＜．故选：C．取SC的中点E，连结AC，BD，交于点F，连结EF，DE，则EF∥SA，则∠EFD为异面直线SA与DB所成角，由此能求出异面直钱SA与DB所成角的取值范围．本题考查角的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.答案：D解析：解：渐近线方程为y=±x，由于a≠b，可得△OAB为以∠OAB或∠OBA为直角的直角三角形，设A（m，-m），B（n，n），可得=（n-m，（n+m）），可得•=0或•=0，即有m（n-m）-m（n+m）=0，或n（n-m）+n（n+m）=0，化为=或=，即有则A，B两点横坐标的绝对值之比为||或||．故选：D．求得双曲线的渐近线方程，由题意可得△OAB为以∠OAB或∠OBA为直角的直角三角形，运用向量垂直的条件：数量积为0，化简整理可得所求值．本题考查双曲线的渐近线方程，考查向量数量积的性质：向量垂直的条件为数量积为0，考查化简运算能力，属于基础题．12.答案：B解析：解：根据题意，函数f（x）=e x+e4-x=e x+，设t=e x，则y=t+，（t＞0）t=e x在R上为增函数，y=t+在（0，e2）上为减函数，在（e2，+∞）上为增函数，e x＜e2，则有x＜2，则f（x）在（-∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，则B正确，A错误；又由f（x）=e x+e4-x，则f（4-x）=e4-x+e x，则函数f（x）的图象关于直线x=2对称，则C、D错误. 故选：B．根据题意，分析可得函数f（x）=e x+e4-x=e x+，设t=e x，则y=t+（t＞0）,由复合函数的单调性判定方法分析可得f（x）在（-∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，又由f（x）=e x+e4-x，则f （4-x）=e4-x+e x，则函数f（x）的图象关于直线x=2对称，据此分析选项可得答案．本题考查复合函数的单调性的判定，关键是掌握复合函数单调性的判断方法，属于基础题．13.答案：解析：解：∵f（x）=e x-t，f（2）=e，∴f（2）=e2-t=e，解得t=1，∴f（x）=e x-1，∴f（ln2）=e ln2-1=．故答案为：．推导出f（2）=e2-t=e，解得t=1，从而f（x）=e x-1，由此能求出f（ln2）的值．本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：±1解析：解：由约束条件作出可行域如图，化z=-kx+y为y=kx+z，∵z=-kx+y取得最小值的最优解不唯一，∴k=±1．故答案为：±1．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图可得使z=-kx+y取得最小值的最优解不唯一的实数k的值．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．15.答案：+1解析：解：根据题意，直线x+2ay-4a-1=0变形可得a（2y-4）=-（x-1），则直线恒过定点（1，2），则M（1，2）；圆x2+y2+4x-6y+12=0，即（x+2）2+（y-3）2=1，其圆心为（-2，3），半径r=1，点M到圆心的距离d==，则点M到圆x2+y2+4x-6y+12=0上的点的距离的最大值为d+r=+1；故答案为：+1．根据题意，将直线方程变形分析可得M的坐标，由圆的方程分析可得圆心的坐标以及半径，结合点与圆的位置关系分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线过定点问题，属于基础题．16.答案：-1解析：解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），且f（1）=1，∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），∴f（x）是以4为周期的周期函数，∴f（2019）=f（3）=-f（1）=-1．故答案为：-1．推导出f（x+4）=-f（x+2）=f（x），从而f（x）是以4为周期的周期函数，进崦f（2019）=f（3）=-f（1），由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.答案：解：（1）a1=3，a n=3a n-1+2×3n，可得=+2令b n=，可得b n=b n-1+2，{b n}为首项为1，公差为2的等差数列；（2）由b n==1+2（n-1）=2n-1，可得a n=（2n-1）•3n，前n项和S n=1•3+3•9+5•27+…+（2n-1）•3n，3S n=1•9+3•27+5•54+…+（2n-1）•3n+1，两式相减可得-2S n=3+2（9+27+…+3n）-（2n-1）•3n+1=3+2•-2n-1）•3n+1，化简可得S n=3+（n-1）•3n+1．解析：（1）对递推式两边除以3n，再由等差数列的定义，即可得到结论；（2）由等差数列的通项公式，可得a n=（2n-1）•3n，再由数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，化简可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．18.答案：（1）证明：连接BD，在Rt△ABD中，==，在△SBD中，SB2+SD2=16+16=32=BD2，∴SD⊥SB，由已知∠ASD=90°，即SD⊥SA，∴SD⊥平面SAB，∴平面SCD⊥平面SAB；（2）解：由已知，SA=3，AB=，AB2+SA2=7+9=16=SB2，∴AB⊥SA，又AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，∴V A-EBD=V B-AED==．解析：（1）利用勾股定理去证SD⊥SB，再结合SD⊥SA可得SD⊥平面SAB，得证；（2）先证AB⊥平面SAD，进而把求A-EBD转化为求B-AED的体积，就容易了．此题考查了线面垂直，面面垂直，转化法求体积，难道适中．19.答案：解：（1）根据男生人数与女生人数的比为2000：1600=5：4，所以应抽查男生为×180=100（人），女生为180-100=80（人）；（2）由概率分布直方图，估计该校学生每周平均课外阅读时间超过2小时的概率为p=1×0.300+1×0.250+1×0.150+1×0.050=0.75=75%；（3）根据题意填写列联表如下，男生女生总计每周平均阅读时间不超过2小351045时每周平均阅读时间超过2小时6570135总计10080180计算统计量K2==12＞3.841，所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均阅读时间与性别有关”．解析：（1）根据男生人数与女生人数的比，计算应抽查的男生与女生人数；（2）由概率分布直方图计算该校学生每周平均课外阅读时间超过2小时的概率值；（3）根据题意填写列联表，计算K2，对照数表得出结论．本题考查了频率分布直方图，以及列联表与独立性检验的应用问题，也考查了计算能力，是中档题．20.答案：解：（1）由已知2-2=4（-）得（||+||）（||-||）=4（||-||），∴||+||=4或||=||，∴曲线C的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆或者直线y轴，∴曲线C的方程为+y2=1或x=0；（2）设QR：x=my交曲线C于Q（x1，y1），R（x2，y2）两点，联立方程组消去x得：（m2+4）y2=4，∴y1+y2=0，y1y2=-，∴|QR|2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=，又设M（x3，y3），N（x4，y4），联立方程组，MN：x=my-，消去x得（m2+4）y2-2my-1=0，y3+y4=，y3y4=，∴|MN|=|y3-y4|===，∴|QR|2=4|MN|．解析：（1）利用平方差公式分解因式以及椭圆的定义可得曲线C的轨迹是一个椭圆和y轴，由此可得到其方程；（2）分别联立QR和MN与椭圆的方程，求出弦长|QR|2和|MN|，比较可得．本题考查了椭圆的性质，属中档题．21.答案：解：（1）f′（x）=2ax--1=，∵x=1是f（x）的一个极值点，∴f′（1）=2a-2=0，解得a=1．此时可得：f′（x）==（x＞0），∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．（2）证明：a≥3，f（x）=ax2-ln x-x≥3x2-ln x-x（x＞0），令g（x）=3x2-ln x-x（x＞0）．g′（x）=6x--1=（x＞0）．∴x=时，函数g（x）取得极小值，∴g（x）≥g（）=+ln2．∴f（x）≥．解析：（1）f′（x）=2ax--1=，根据x=1是f（x）的一个极值点，可得f′（1）=2a-2=0，解得a．即可得出函数f（x）的单调区间．（2）a≥3，f（x）=ax2-ln x-x≥3x2-ln x-x（x＞0），令g（x）=3x2-ln x-x（x＞0），利用导数研究函数的单调性极值与最值．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.答案：解：（1）点A（，）在直线l：）=a上，∴a=，直线l的极坐标方程为ρcos（）=，∴ρcosθ+-=0⇒x+-=0．∴直线l的直角坐标方程为：．（2）圆（θ为参数）的直角坐标方程为：（x-1）2+y2=1，圆心C（1，0），半径为1，圆心C到直线l的距离为d==，∴弦长为2=2=1．解析：（1）代入A的极坐标到l的极坐标方程可得a=，再根据互化公式可得l的直角坐标方程；（2）根据点到直线的距离公式以及勾股定理可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：f（x）=|x-1|-|x+2|=，（1）当a=1时，由f（x）≥ax得，f（x）≥x，∴或或，∴x∈∅或或x＜-2，∴，∴不等式的解集为：{x|}，（2）∵不等式f（x）≤ax对x≤1恒成立，∴当x＜-2时，f（x）=3≤ax恒成立，∴a≤恒成立，∵，∴a≤，当-2≤x≤1时，f（x）=-2x-1≤ax恒成立，即（2+a）x+1≥0恒成立，∴只需满足，∴，综上，a的取值范围为：[]解析：（1）去绝对值然后分别解不等式即可；（2）根据f（x）≤ax对x≤1恒成立，分x＜-2和-2≤x≤1两种情况分别考虑即可．本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式，属中档题．。
安徽省江南十校2019届高三第二次联考数学(文科)试题
江南十校2019届高三第二次大联考数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，则化简20181()1i i的结果为（ ） A. i B.i C. -1 D. 12.已知集合{|1}A x x ，{|21}x B x ，则有（ ）A. {|10}A B x xB. A B RC. 1A Bx x D. A B3.若,R ，则“”是“sinsin”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要4.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x ，则一开始输入的x 值为（ ）A.1516 B. 34 C. 78 D.31325.在递增等比数列n a 中，1510a a ，34a ，则19a （ ）A. 192B. 202C. 92D. 1026.已知直线1:360l mx y ，2:43120l x my ，若12//l l ，则12,l l 之间的距离为（ ）A.121313 B. 81313 C. 91313D. 13 7.已知2sin()43，则sin 2（ ）A.19 B. 19 C. 459 D.4598.如图（1）所示的是三棱台，其三视图如图（2）所示（其中正视图是直角三角形，侧视图和俯视图为直角梯形），则该三棱台的表面积为（ ）A. 3466B. 52C. 3493D. 34122 9.在ABC 中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 3sin a b Cc B ，则B （ ）A.23 B. 3 C.4 D. 610.已知曲线1:sin(2)3C yx，2:cos C y x ，要想由2C 得到1C ，下面结论正确的是（ ）A. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6个单位B. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移12个单位C. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移6个单位 D. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移12个单位11.设,x y 为负实数且23x y ，则下列说法正确的是（ ）A. 32yx B. 32y x C. 23x y D. 以上都不对12.设'()f x 是定义在(,0)(0,)上的偶函数()f x 的导函数，且()02f ，当(0,)x 时，不等式'()sin ()cos 0f x xf x x 恒成立，若2()6a f ，2()6b f ，2()4c f ，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. ca b B. b a c C. a c b D. b c a二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图所示，在矩形ABCD 中，22AB AD ，沿对角线AC 将其折成直二面角，连结BD ，则该三棱锥DABC 的体积为__________．14.设,x y 满足约束条件221x y x y ，则32z x y 的最小值为__________．15.已知扇形OAB 的圆心角为090AOB ，半径为2，C 是其弧上一点，若OCOAOB ，则·的最大值为__________． 16.已知定义在(1,)的两个函数2()ef x mx和()ln g x x （e 是自然对数的底），若在()()1f x g x 的解集内有且只有两个整数，则实数m 的范围是__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC 中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知向量(2sin ,cos 2)m x x ，(3cos ,1)n x ，函数()?f x m n 且()1f B .（1）求角B 的值； （2）若23BA BC且,,a b c 成等差数列，求b .18.若数列n a 的前n 项和n S ，且2n S n n ，等比数列n b 的前n 项和n T ，且2n nT m .（1）求n a 和n b 的通项； （2）求数列·n n a b 的前n 项和.19.已知两个定点(1,0)A ，(2,0)B ，动点(,)P x y 到点A 的距离是它到点B 距离的2倍. （1）求P 点的轨迹E ；（2）若过点(1,1)C 作轨迹E 的切线，求此切线的方程. 20.已知函数3211()32a f x x x ax （a 为常数，a R ）.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在(31,2)a a 上单调递减，求a 的取值范围. 21.一幅标准的三角板如图（1）中，ABC 为直角，060A，DEF 为直角，045D ，且BC DF ，把BC 与DF 拼齐使两块三角板不共面，连结AE 如图（2）. （1）若M 是AC 的中点，求证：EMBC ；（2）在《九章算术》中，称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”，若图（2）中AB a ，三棱锥A BEC 的体积为314a ，则图（2）是否为鳖臑？说明理由.22.已知函数()(1)ln 1f x a x x x .（1）当3a时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()0f x 在(1,)上恒成立，求实数a 的取值范围.江南十校2019届高三第二次大联考数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，则化简20181()1i i的结果为（ ） A. i B.i C. -1 D. 1【答案】C 【解析】 【分析】先用复数的除法运算，化简1i1i，然后再利用i n 的周期性求得最终化简的结果. 【详解】依题意1i 1i 1i 2i i 1i1i 1i2，201820162450422i i i i 1.故选C.【点睛】本小题主要考查复数的运算，考查复数的除以运算、乘法运算以及乘方运算.要记忆的是i n 是一个周期出现的量，12345i i,i 1,i i,i 1,i i,以此类推4142434i i,i 1,i i,i 1kkkk.复数的除法运算，主要的思想方法是将分母转化为实数. 2.已知集合{|1}A x x ，{|21}x B x ，则有（ ）A. {|10}A B x xB. A B RC. 1A Bx x D. A B【答案】A 【解析】 【分析】解绝对值不等式求得集合A 中x 的范围，解指数不等式求得集合B 中x 的范围，再根据选项逐一判断正误. 【详解】由1x解得11x ，故集合1,1A ，由0212x 解得0x ，故集合,0B.故1,0A B ，A 选项正确，D 选项错误，,1A B，故B,C 选项错误.所以选A.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查指数不等式的解法，考查集合交集以及并集的求法.属于基础题.含有单个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边，小于在中间”，即f xa f x a 或f x a ，f x a a f x a .指数不等式的解法主要是化为同底来计算. 3.若,R ，则“”是“sin sin”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】两个角不相等，正弦值可能相等，两个角的正弦值不相等，那么两个角必定不相等——由此判断出正确选项.【详解】当两个角不相等时，正弦值可能相等，如sin 60sin120；如果两个角的正弦值不相等，那么两个角必定不相等，故“”是“sinsin ”的必要不充分条件.故选B.【点睛】本小题主要考查充要条件的判断.如果pq ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；否则，p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件.在判断具体问题时，可以采用互推的方法，进行pq 和q p 各一次，判断是否能被推出，由此判断是什么条件.还可以采用集合的观点来判断：小范围是大范围的充分不必要条件，大范围是小范围的充要不充分条件.如果两个范围相等，则为充要条件.如果没有包含关系，则为既不充分也不必要条件.4.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x ，则一开始输入的x 值为（ ）A.1516 B. 34 C. 78 D. 3132【答案】A 【解析】 【分析】 运行程序，当5i时退出循环，令输出的值为零，解方程求得输入的x 的值.【详解】运行程序，输入x ，1i ，21,2x x i，判断否，221143,3x x x i ，判断否，243187,4x x x i ，判断否，28711615,5x x x i ，判断是，退出循环.依题意可知16150x ，解得1516x.故选A. 【点睛】本小题主要考查程序框图循环结构，考查利用输出结果，推导输入的数值，属于基础题. 5.在递增等比数列n a 中，1510a a ，34a ，则19a （ ）A. 192B. 202C. 92D. 102 【答案】D 【解析】 【分析】将已知条件转化为1,a q 的形式，解方程组求得1,a q 的值，从而求得任意一项的值. 【详解】由于数列为等比数列，故41121104a a q a q，由于数列是递增的数列，故解得212,2q a ，故91829101912222a a q q ，故选D.【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查一元二次方程方程的解法，属于基础题. 6.已知直线1:360l mx y ，2:43120l x my ，若12//l l ，则12,l l 之间的距离为（ ）A.13B. 13C. 13D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行，求得m 的值，再利用两平行直线间的距离公式，求得两直线的距离. 【详解】由于两条直线平行，属于3340mm ，解得2m ，当2m 时，两直线方程都是2360x y 故两直线重合，不符合题意.当2m时，1:2360l x y ，2:2360l x y ，故两平66121313.故选A. 【点睛】本小题主要考查两条直线平行的条件，考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题. 7.已知2sin()43，则sin 2（ ）A. 19B.19C.459D.459【答案】B【解析】【分析】将已知条件利用两角和的正弦公式展开后，两边平方得到，化简后可得到所求的三角函数值.【详解】依题意π22sin sin cos423，两边平方得141sin229，解得1sin29.【点睛】本小题主要考查两角和的正弦公式，考查同角三角函数的基本关系式，以及二倍角公式，属于基础题.8.如图（1）所示的是三棱台，其三视图如图（2）所示（其中正视图是直角三角形，侧视图和俯视图为直角梯形），则该三棱台的表面积为（）A. 3466B. 52C. 3493D. 34122【答案】B【解析】【分析】根据正视图计算两个直角三角形的面积，根据侧视图和俯视图计算左侧和底部两个梯形的面积，然后解直角三角形求得几何体右侧梯形的上底、下底和高，并求得其面积.5个面面积相加得到棱台的表面积.【详解】两个直角三角形的面积之和为1122441022.左侧和底部两个梯形是全等的，面积之和为2424242.222222，224442，224225，为等腰梯形，故高为22422225322，故面积为224232182.故表面积为10241852，故选B.【点睛】本小题主要考查三视图和直观图的对应，考查几何体表面积的计算，主要是梯形和直角三角形面积的计算.属于基础题.9.在ABC 中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 3sin a b Cc B ，则B （ ）A.23 B. 3 C.4 D. 6【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理将已知条件中的边转化为角的形式，再利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式展开化简，由此求得B 的大小. 【详解】由正弦定理得sin sin cos 3sin sin AB C C B ，即sin sin cos 3sin sin B C B C C B ，即sin cos cos sin sin cos 3sin sin B C B CB CC B cos B B ，故3tan 3B，故π6B.所以选D. 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查三角形内角和定理以及两角和的正弦公式，属于基础题.10.已知曲线1:sin(2)3C yx，2:cos C y x ，要想由2C 得到1C ，下面结论正确的是（ ）A. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6个单位B. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移12个单位C. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移6个单位 D. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移12个单位【答案】D 【解析】 【分析】先将2C 转化为正弦函数的形式，然后利用三角函数图像变换的知识进行图像变换，得出正确的选项.【详解】依题意πcos sin 2y x x，横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变）得到πsin 22x ，然后再向右平移12个单位，得到πππsin 2sin 21223xx.故选 D. 【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查三角函数图像变换的知识，属于基础题. 11.设,x y 为负实数且23x y ，则下列说法正确的是（ ）A. 32yx B. 32y x C. 23x y D. 以上都不对【答案】C 【解析】 【分析】 令23xyz ，指数式化为对数式，用z 来表示,x y ，然后利用换底公式比较2x 和3y 的大小，由此得出正确选项. 【详解】令23xyz ，则2212ln log ,22log ln 2z x z x z，3313ln log ,33log ln 3z yz y z.由于,x y 为负实数，故01z ，所以ln 0z .由于66113228,39，所以113223，所以11320ln 2ln 3，所以112311ln 2ln 3，两边乘以ln z 得1123ln ln ln 2ln 3z z ，即23xy .故选C.【点睛】本小题主要考查指数式化为对数值，考查利用换底公式以及对数函数的单调性比较大小.属于中档题.12.设'()f x 是定义在(,0)(0,)上的偶函数()f x 的导函数，且()02f ，当(0,)x 时，不等式'()sin ()cos 0f x xf x x 恒成立，若2()6a f ，2()6b f ，2()4c f ，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. ca b B. b a c C. a c b D. b c a【答案】D 【解析】 【分析】构造函数sin f x F xx，根据函数f x 的奇偶性求得F x 的奇偶性，再根据函数F x 的导数确定单调性，由此比较,,a b c 三个数的大小.【详解】构造函数sin f x F xx，由于f x 是偶函数，故F x是奇函数.由于2sin cos 0sin f x x f x xF xx，故函数F x 在0,π上递增.由于ππ0,022fF，故当π0,2x 时，0F x ，当π,π2x时，0F x .所以πππ60π66sin6faFF，πππ620π66sin 6fb fF，πππ420π44sin 4fc fF，根据F x 单调性有ππ46FF.故πππ0646F FF，即a c b ，故选D. 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查构造函数法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图所示，在矩形ABCD 中，22AB AD ，沿对角线AC 将其折成直二面角，连结BD ，则该三棱锥DABC 的体积为__________．25【解析】 【分析】利用等面积法求得直角三角形ACD 的边AC 上的高，也即三棱锥DABC 的高，由此计算出三棱锥的体积.【详解】依题意，225ACAD CD ，设直角三角形ACD 的边AC 上的高为h ，根据等面积有1122AC h AD CD ，解得25h，故三棱锥的体积为1132DABCV AB BC h 112252132155. 【点睛】本小题主要考查折叠问题，考查三棱锥体积的求法，考查等面积法求平面图形的高，属于基础图.14.设,x y 满足约束条件221x y x y ，则32z x y 的最小值为__________．【答案】13【解析】 【分析】画出约束条件对应的可行域，通过向上平移基准直线320x y 到可行域边界位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，当直线平移到和圆弧相切时，z 取得最小值，此时直线方程为320x y z ，由点到直线的距离公式得221132z z ，13z（取负值），即z 的最小值为13.【点睛】本小题主要考查线性规划的知识，考查线性型目标函数的最值的求法，属于基础题.题目所给的约束条件中，222x a y br 表示的是圆心为,a b ，半径为r 的圆的圆上和圆内的点构成的区域.对于目标函数32zx y ，由于23y x z ，当直线截距最大时，z 取得最小值，这个在解题过程中要特别注意.15.已知扇形OAB 的圆心角为090AOB ，半径为2，C 是其弧上一点，若OCOA OB ，则·的最大值为__________． 【答案】12【解析】 【分析】以,OA OB 为基底，表示OC ，这是一个正交的基底，故22222444OAOBOC，再由基本不等式求得的最大值.【详解】以O 为坐标原点，,OB OA 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，画出图像如下图所示.由于,OA OB 相互垂直，以,OA OB 为基底，这是一个正交的基底，表示OC ，根据图像可知22222444OA OB OC ，即221，故22122，当且仅当22时，等号成立.故的最大值为12.【点睛】本小题考查平面向量的基本定理，考查正交基底的应用，考查利用基本不等式求乘积的最大值.平面内不共线的两个向量可以作为基底表示其它任何的向量，当这两个不共线的向量相互垂直时，为正交基.基本不等式不但要记得2a bab这个基本的形式，还要注意它的变形22222a b a b ab . 16.已知定义在(1,)的两个函数2()ef x mx和()ln g x x （e 是自然对数的底），若在()()1f x g x 的解集内有且只有两个整数，则实数m 的范围是__________． 【答案】121(,]ln 33ln 42e e 【解析】 【分析】化简不等式1f xg x ，变为2eln ln 1x m x x ，即左边函数ln y m x 在右边函数2eln 1xy x图像上方只有两个横坐标为整数的点.利用导数画出2eln 1xy x的图像，结合图像列出不等式组，解不等式组求得m 的取值范围. 【详解】化简不等式1f x g x ，得2eln ln 1x m x x ，构造函数ln h x m x 和2eln 1xy x ，m 需要满足ln h xm x 图像在2eln 1xn xx图像上方的点的横坐标有且只有两个整数.'22eln ln 112ex x xx，故函数2eln 1xn x x在1,e 上递减，在e,上递增，且当ex 时，函数值小于零.当0m时，ln h xm x 在1,上递增，画出图像如下图所示，由图可知ln h x m x 图像在2eln 1xn xx图像上方的点不止两个整数.故不符合题意.当0m 时，显然不符合题意.当0m 时，画出图像如下图所示，由图可知223344h n h n h n ，即2eln 2ln 2122eln 3ln 3132eln 4ln 414m m m ，解得121ee ln 33ln 42m.即m 的取值范围是121ee,ln 33ln 42. 【点睛】本小题主要考查利用数形结合的数学思想方法解不等式，考查了对数函数的图像与性质，考查了利用导数研究函数图像与性质.对于题目给定的1f x g x，转为两个函数的图像来研究，这是化归与转化的数学思想方法.导数在本题中是一个工具的作用，用于画图函数的图像.属于中档题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC 中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知向量(2sin ,cos 2)m x x ，(3cos ,1)n x ，函数()?f x m n 且()1f B .（1）求角B 的值； （2）若23BA BC 且,,a b c 成等差数列，求b . 【答案】（1）3B ；（2）2【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算，以及辅助角公式，化简f x 的表达式，利用1f B 求得B 的大小.（2）利用等差数列的性质、余弦定理，以及向量模的运算，列方程，解方程可求得b 的值. 【详解】（1）·23sin cos cos2f x m n x x x3sin2cos2x x整理得：2sin 26f x x，∵1f B，∴2sin 216B1sin 262B， ∵0,B，∴3B；（2）由,,a b c 成等差数列，得：2b a c ，由余弦定理得：222a c ac b ，由23BA BC，得：2212a c ac ，三个等式联立解得：2b .【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，辅助角公式化简求值，考查等差中项的性质，考查余弦定理解三角形，还考查了向量模的运算.属于中档题. 18.若数列n a 的前n 项和n S ，且2n S n n ，等比数列n b 的前n 项和n T ，且2n nT m .（1）求n a 和n b 的通项； （2）求数列·n n a b 的前n 项和. 【答案】（1）2n a n *nN ；12n nb (2)121?2n n【解析】 【分析】 （1）利用11,1,2nn n S n a S S n ，求得数列n a 的通项公式.同理也求得n b 的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得前n 项和. 【详解】（1）由2nS n n ，得：22111nS n n n n ，122nn n a S S n n∵211112a S 符合公式，2na n *n N同理：由2n n T m ，推得：122n n b n ，12b m∵n b 是等比数列，∴11b1m12n nb（2）设··2n n n nc a b n ，n Q 是其前n 项和，∵123122232?2n n Q n∴234121222321?2?2n n nQ n n两式相减得：2312222?2nn n Q n∴121?2n nQ n 另解：∵1·21?22?2nn n n c n n n ，∴21324310?21?21?20?22?21?21?22?2n n nQ n n121?2n n【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a 得方法，考查错位相减求和法. 已知n S 求n a 得方法是利用11,1,2nn n S n a S S n 来求数列的通项公式.属于中档题.19.已知两个定点(1,0)A ，(2,0)B ，动点(,)P x y 到点A 的距离是它到点B 距离的2倍. （1）求P 点的轨迹E ；（2）若过点(1,1)C 作轨迹E 的切线，求此切线的方程. 【答案】（1）见解析；（2）1x 或3410x y 【解析】【分析】（1）利用两点间的距离公式列方程，化简后可求得轨迹E 的方程.（2）由于轨迹E 是圆，故设切线方程为点斜式，然后利用圆心到直线的距离等于半径列方程，求得切线的斜率.验证斜率不存在时直线也满足题意，由此求得题目所求的切线方程，有两条. 【详解】（1）设动点,P x y ，则2PA PB ，2222122x y x y ，化简得：2234x y所以动点P 的轨迹E 是以3,0为圆心，以2为半径的圆； （2）设:11l y k x 是圆E 的切线，则有：1324k k，当k 不存在时，:1l x 恰好与圆E 切于1,0点， 综合得：切线方程为：1x 或3410x y .【点睛】本小题主要考查利用直接法求动点的轨迹方程，考查圆的切线方程的求法，属于中档题.直接法求动点的轨迹方程，首先设出动点的坐标为,x y ，然后代入题目所给的已知条件中，如本题中的长度关系式，然后化简即可得到所求点的轨迹方程，要注意验证特殊位置是否满足. 20.已知函数3211()32a f x x x ax （a 为常数，a R ）.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在(31,2)a a 上单调递减，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）12【解析】 【分析】（1）对函数求导后，对a 分成1,1,1a a a 三类，讨论函数的单调递增区间.（2）根据题目所给区间求得a 的范围，根据导数求得函数的减区间，题目所给区间是这个区间的子集，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）∵2'11f x x a x ax x a ，所以，当1a 时，2'10f xx ，f x 递增区间为,；当1a 时，'10f x x x a x a 或1x ，∴f x 递增区间为,1和,a ；当1a 时，'10f x x x a 1x 或x a ，∴f x 递增区间为,a 和1,；（2）∵312a a ， ∴1a ， 当1a 时，'10f xx x a 1a x ，即f x 的递减区间为,1a ， ∴31,2,1a a a3121a aa12a. 【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调递增区间，考查利用导数研究函数在给定区间上递减求参数的问题.导数在研究函数中，主要是一个工具的作用，在导数为正数的区间，函数是单调递增的，在导数为负数的区间，函数是单调递减的.本小题属于中档题. 21.一幅标准的三角板如图（1）中，ABC 为直角，060A，DEF 为直角，045D ，且BC DF ，把BC 与DF 拼齐使两块三角板不共面，连结AE 如图（2）. （1）若M 是AC 的中点，求证：EMBC ；（2）在《九章算术》中，称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”，若图（2）中AB a ，三棱锥A BEC 的体积为314a ，则图（2）是否为鳖臑？说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）取BC 的中点N ，连接,MN EN ，通过证明直线BC 平面MNE ，证得直线BC BM .（2）根据AB 的长度，求得,,BC BE CE 的长度，求得三角形BEC 的面积，利用体积公式后求得三棱锥的高为a ，由此证得AB 平面BEC ，进而证得四个三角形都是直角三角形.【详解】（1）证明：设BC 中点为N ，连结,MN EN ，∵AB BC ，//MN AB ，∴MN BC ，∵BE EC ，BE EC ，BN CN ，∴EN BC∵MN EN N ，∴BC 平面MNE ，故ME BC ；（2）此时三棱锥A BEC 时鳖臑∵AB a 3BC a ，62BE CE a 234BEC S a 又三棱锥的体积314V a 高h a ，所以AB 平面BEC ，那么，在三棱锥A BEC 中，,,ABC ABE BEC 显然是直角，∵CE BE ，CE AB ，AB EB B CE 平面ABECE AE AEC 也是直角那么，该三棱锥的四个面都是直角三角形，所以它是鳖臑.【点睛】本小题主要考查空间两条直线垂直的证明，考查新定义概念的理解和三棱锥的体积公式，以及线面垂直的证明，属于中档题.22.已知函数()(1)ln 1f x a x x x . （1）当3a 时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()0f x 在(1,)上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）550x y ；（2）1[,)2a 【解析】【分析】 （1）当3a 时，求得切点和斜率，由此求出切线方程.（2）求出函数的导数后，对a 分成110,0,22a aa 三类，讨论函数的单调区间以及最值，由此求得a 的取值范围. 【详解】（1）331ln 1af x x x x '15f ， ∵10f ，∴所求切线方程为51y x ，即所求切线方程是550xy ； （2）11'ln 1ln 11a x f x a x a x x x若0a ，∵1'0x f x f x 单调递减， ∵10f 在1,上，0f x ，不合题意；若0a ，由1'ln 1a x f xa x x 21''a x f x x ， ∵1''0'x f x f x 单调递增， 由于'121f a ， 那么，102a 时，'1210f a ， 11'110a a f e a ae则101,a x e ，0'0f x那么在01,x 上，'0f x，f x 单调递减， ∵10f ，∴在01,x 上，0f x ，不合题意； 若12a ，1''0'x f xf x 单调递增， '1210'0f a f x f x 单调递增，∵10f ，∴1x ，0f x，符合题意. 综合上述得：1,2a. 【点睛】本小题主要考查利用导数求函数图像的切线方程，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于难题.。
安徽省江南十校2019届高三第二次联考数学(文科)试题
安徽省江南十校2019届高三第二次联考数学（文科）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，则化简20181()1i i+-的结果为（ ） A. i B. i - C. -1 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先用复数的除法运算，化简1i1i+-，然后再利用i n 的周期性求得最终化简的结果. 【详解】依题意()()()()1i 1i 1i 2ii 1i 1i 1i 2+++===--+，201820162450422i i i i 1+?====-.故选C.【点睛】本小题主要考查复数的运算，考查复数的除以运算、乘法运算以及乘方运算.要记忆的是i n 是一个周期出现的量，12345i i,i 1,i i,i 1,i i,==-=-==以此类推4142434i i,i 1,i i,i 1k k k k +++==-=-=.复数的除法运算，主要的思想方法是将分母转化为实数.2.已知集合{|1}A x x =<，{|21}x B x =<，则有（ ） A. {|10}A B x x ?-<< B. A B R ? C. {}1A Bx x ? D. A B f ?【答案】A 【解析】 【分析】解绝对值不等式求得集合A 中x 的范围，解指数不等式求得集合B 中x 的范围，再根据选项逐一判断正误.【详解】由1x <解得11x -<<，故集合()1,1A =-，由0212x <=解得0x <，故集合(),0B =-?.故()1,0A B?-，A 选项正确，D 选项错误，(),1A B ?-?，故B,C 选项错误.所以选A.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查指数不等式的解法，考查集合交集以及并集的求法.属于基础题.含有单个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边，小于在中间”，即()()f x a f x a >?-或()f x a >，()()f x a a f x a <?<<.指数不等式的解法主要是化为同底来计算. 3.若,R a b Î，则“a b ¹”是“sin sin a b ¹”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】两个角不相等，正弦值可能相等，两个角的正弦值不相等，那么两个角必定不相等——由此判断出正确选项.【详解】当两个角不相等时，正弦值可能相等，如sin 60sin120=；如果两个角的正弦值不相等，那么两个角必定不相等，故“a b ¹”是“sin sin a b ¹”的必要不充分条件.故选B.【点睛】本小题主要考查充要条件的判断.如果p q Þ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；否则，p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件.在判断具体问题时，可以采用互推的方法，进行p q Þ和q p Þ各一次，判断是否能被推出，由此判断是什么条件.还可以采用集合的观点来判断：小范围是大范围的充分不必要条件，大范围是小范围的充要不充分条件.如果两个范围相等，则为充要条件.如果没有包含关系，则为既不充分也不必要条件. 4.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的x 值为（ ）A.1516 B. 34 C. 78 D. 3132【答案】A 【解析】 【分析】运行程序，当5i =时退出循环，令输出的值为零，解方程求得输入的x 的值.【详解】运行程序，输入x ，1i =，21,2x x i =-=，判断否，()221143,3x x x i =--=-=，判断否，()243187,4x x x i =--=-=，判断否，()28711615,5x x x i =--=-=，判断是，退出循环.依题意可知16150x -=，解得1516x =.故选A. 【点睛】本小题主要考查程序框图循环结构，考查利用输出结果，推导输入的数值，属于基础题.5.在递增等比数列{}n a 中，1510a a +=，34a =，则19a =（ ） A. 192 B. 202 C. 92 D. 102 【答案】D 【解析】 【分析】将已知条件转化为1,a q 的形式，解方程组求得1,a q 的值，从而求得任意一项的值.【详解】由于数列为等比数列，故41121104a a q a q ì+=ïí=ïî，由于数列是递增的数列，故解得212,2q a ==，故()91829101912222a a q q ==??，故选D.【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查一元二次方程方程的解法，属于基础题.6.已知直线1:360l mx y -+=，2:43120l x my -+=，若12//l l ，则12,l l 之间的距离为（ ）【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行，求得m 的值，再利用两平行直线间的距离公式，求得两直线的距离. 【详解】由于两条直线平行，属于()()3340m m ?--?，解得2m =?，当2m =时，两直线方程都是2360x y -+=故两直线重合，不符合题意.当2m =-时，1:2360l x y +-=，2:2360l x y ++==.故选A. 【点睛】本小题主要考查两条直线平行的条件，考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题.7.已知2sin()43p a +=，则sin 2a =（ ）A.19 B. 19- C. 9 D. 9- 【答案】B 【解析】 【分析】将已知条件利用两角和的正弦公式展开后，两边平方得到，化简后可得到所求的三角函数值.【详解】依题意)π2sin sin cos 423a a a 骣琪+=+=琪桫，两边平方得()141sin 229a +=，解得1sin 29a =-. 【点睛】本小题主要考查两角和的正弦公式，考查同角三角函数的基本关系式，以及二倍角公式，属于基础题.8.如图（1）所示的是三棱台，其三视图如图（2）所示（其中正视图是直角三角形，侧视图和俯视图为直角梯形），则该三棱台的表面积为（ ）A. 34+34+34+【答案】B 【解析】 【分析】根据正视图计算两个直角三角形的面积，根据侧视图和俯视图计算左侧和底部两个梯形的面积，然后解直角三角形求得几何体右侧梯形的上底、下底和高，并求得其面积.5个面面积相加得到棱台的表面积.【详解】两个直角三角形的面积之和为1122441022创+创=.左侧和底部两个梯形是全等的，面积之和为2424242+创=.右侧梯形上底为=，下底为=，腰长为=，为等腰梯形，故高为22=，故面积为()182?.故表面积为10241852++=，故选B.【点睛】本小题主要考查三视图和直观图的对应，考查几何体表面积的计算，主要是梯形和直角三角形面积的计算.属于基础题.9.在ABC D中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos sin a b C B =，则B =（ ） A.23p B. 3p C. 4p D. 6p【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理将已知条件中的边转化为角的形式，再利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式展开化简，由此求得B 的大小. 【详解】由正弦定理得sin sin cossin A B C C B =，即()s i n s i c o s 3s i ns i nB C B C B +=，即s inc oBCB C +=+，化简得cos B B =，故t a n 3B =，故π6B =.所以选D.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查三角形内角和定理以及两角和的正弦公式，属于基础题.10.已知曲线1:sin(2)3C y x p=+，2:cos C y x =，要想由2C 得到1C ，下面结论正确的是（ ） A. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6p个单位 B. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移12p个单位C. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移6p个单位D. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移12p个单位【答案】D 【解析】 【分析】先将2C 转化为正弦函数的形式，然后利用三角函数图像变换的知识进行图像变换，得出正确的选项.【详解】依题意πcos sin 2y x x 骣琪==+琪桫，横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变）得到πsin 22x 骣琪+琪桫，然后再向右平移12p 个单位，得到πππsin 2sin 21223x x 轾骣骣犏琪琪-+=+琪琪犏桫桫臌.故选D. 【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查三角函数图像变换的知识，属于基础题. 11.设,x y 为负实数且23x y =，则下列说法正确的是（ ） A. 32y x = B. 32y x < C. 23x y < D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】令23x y z ==，指数式化为对数式，用z 来表示,x y ，然后利用换底公式比较2x 和3y 的大小，由此得出正确选项.【详解】令23x y z ==，则2212ln log ,22log ln 2z x z x z ===，3313ln log ,33log ln 3z y z y z ===.由于,x y 为负实数，故01z <<，所以ln 0z <.由于66113228,39骣骣琪琪==琪琪桫桫，所以113223<，所以11320ln 2ln 3<<，所以112311ln 2ln 3>，两边乘以ln z 得1123ln ln ln 2ln 3z z <，即23x y <.故选C.【点睛】本小题主要考查指数式化为对数值，考查利用换底公式以及对数函数的单调性比较大小.属于中档题.12.设'()f x 是定义在(,0)(0,)p p -?上的偶函数()f x 的导函数，且()02f p=，当(0,)x p Î时，不等式'()sin ()cos 0f x x f x x ->恒成立，若2()6a f p =--，2()6b f p =，()4c p=，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. c a b <<B. b a c <<C. a c b <<D. b c a << 【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数()()sin f x F x x=，根据函数()f x 的奇偶性求得()F x 的奇偶性，再根据函数()F x 的导数确定单调性，由此比较,,a b c 三个数的大小.【详解】构造函数()()sin f x F x x=，由于()f x 是偶函数，故()F x 是奇函数.由于()()()2s i n c o s 0s i n f x x f x xF x x-=¢>¢，故函数()F x 在()0,π上递增.由于ππ0,022f F 骣骣琪琪==琪琪桫桫，故当π0,2x 骣琪Î琪桫时，()0F x >，当π,π2x 骣琪Î琪桫时，()0F x <.所以πππ60π66sin 6f a F F 骣??琪骣骣桫琪琪==-=->琪琪骣桫桫??琪桫，πππ620π66sin 6f b f F 骣琪琪骣骣桫琪琪===<琪琪桫桫，πππ40π44sin 4f c F 骣琪琪骣骣桫琪琪===<琪琪桫桫，根据()F x 单调性有ππ46F F 骣骣琪琪>琪琪桫桫.故πππ0646F F F 骣骣骣琪琪琪->>>琪琪琪桫桫桫，即a c b >>，故选D.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查构造函数法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图所示，在矩形ABCD 中，22AB AD ==，沿对角线AC 将其折成直二面角，连结BD ，则该三棱锥D ABC -的体积为__________．【答案】15【解析】 【分析】利用等面积法求得直角三角形ACD 的边AC 上的高，也即三棱锥D ABC -的高，由此计算出三棱锥的体积.【详解】依题意，AC ACD 的边AC 上的高为h ，根据等面积有1122AC h AD CD 鬃=鬃，解得h =，故三棱锥的体积为1132D ABC V AB BC h -=创创112132=创创=【点睛】本小题主要考查折叠问题，考查三棱锥体积的求法，考查等面积法求平面图形的高，属于基础图.14.设,x y 满足约束条件2210x y x y ì+?ïí-?ïî，则32z x y =-的最小值为__________．【答案】- 【解析】 【分析】画出约束条件对应的可行域，通过向上平移基准直线320x y -=到可行域边界位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，当直线平移到和圆弧相切时，z 取得最小值，此时直线方程为320x y z --=，1=，z =负值），即z的最小值为-.【点睛】本小题主要考查线性规划的知识，考查线性型目标函数的最值的求法，属于基础题.题目所给的约束条件中，()()222x ay b r -+-?表示的是圆心为(),a b ，半径为r 的圆的圆上和圆内的点构成的区域.对于目标函数32z x y =-，由于23y x z =-，当直线截距最大时，z 取得最小值，这个在解题过程中要特别注意. 15.已知扇形OAB 的圆心角为090AOB?，半径为2，C 是其弧上一点，若OC OA OB l m =+，则·l m 的最大值为__________． 【答案】12【解析】 【分析】以,OA OB 为基底，表示OC，这是一个正交的基底，故()()22222444OA OBOC l m l m +=+==，再由基本不等式求得l m ×的最大值.【详解】以O 为坐标原点，,OB OA 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，画出图像如下图所示.由于,OA OB 相互垂直，以,OA OB 为基底，这是一个正交的基底，表示OC ，根据图像可知()()22222444OA OB OC l m l m +=+==，即221l m +=，故22122l m l m +祝=，当且仅当2l m ==时，等号成立.故l m ×的最大值为12.【点睛】本小题考查平面向量的基本定理，考查正交基底的应用，考查利用基本不等式求乘积的最大值.平面内不共线的两个向量可以作为基底表示其它任何的向量，当这两个不共线的向量相互垂直时，为正交基.基本不等式不但要记得a b +?22222a ba b ab 骣++琪＃琪桫. 16.已知定义在(1,)+?的两个函数2()ef x m x=+和()ln g x x =（e 是自然对数的底），若在()()1f x g x >的解集内有且只有两个整数，则实数m 的范围是__________．【答案】121(,]ln 33ln 42e e --【解析】 【分析】化简不等式()()1f x g x?，变为2e ln ln 1xm x x>-，即左边函数ln y m x =在右边函数2e ln 1x y x =-图像上方只有两个横坐标为整数的点.利用导数画出2e ln 1xy x=-的图像，结合图像列出不等式组，解不等式组求得m 的取值范围. 【详解】化简不等式()()1f x g x?，得2e ln ln 1xm x x>-，构造函数()ln h x m x =和2e ln 1x y x =-，m 需要满足()ln h x m x =图像在()2e ln 1xn x x=-图像上方的点的横坐标有且只有两个整数.'22eln ln 112e xx x x骣-琪-=?琪桫，故函数()2e ln 1x n x x =-在()1,e 上递减，在()e,+?上递增，且当e x >时，函数值小于零.当0m >时，()ln h x m x =在()1,+?上递增，画出图像如下图所示，由图可知()ln h x m x =图像在()2e ln 1xn x x=-图像上方的点不止两个整数.故不符合题意.当0m =时，显然不符合题意.当0m <时，画出图像如下图所示，由图可知()()()()()()223344h n h n h n ì>ïï>íï£ïî，即2e ln 2ln 2122e ln 3ln 3132e ln 4ln 414m m m ì>-ïïïï>-íïïï?ïî，解得121ee ln 33ln 42m -<?.即m 的取值范围是121e e,ln 33ln 42纟ç--úçú棼. 【点睛】本小题主要考查利用数形结合的数学思想方法解不等式，考查了对数函数的图像与性质，考查了利用导数研究函数图像与性质.对于题目给定的()()1f x g x <，转为两个函数的图像来研究，这是化归与转化的数学思想方法.导数在本题中是一个工具的作用，用于画图函数的图像.属于中档题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC D 中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知向量(2sin ,cos 2)m x x =，(3cos ,1)n x =，函数()?f x m n =且()1f B =. （1）求角B 的值；（2）若23BA BC +=且,,a b c 成等差数列，求b .【答案】（1）3B p=；（2）2 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算，以及辅助角公式，化简()f x 的表达式，利用()1f B =求得B 的大小.（2）利用等差数列的性质、余弦定理，以及向量模的运算，列方程，解方程可求得b 的值.【详解】（1）()·23sin cos cos2f x m n x x x ==+ cos2x x + 整理得：()2sin 26f x x p骣琪=+琪桫， ∵()1f B =， ∴2sin 216B p骣琪+=琪桫 1sin 262B p 骣琪?=琪桫， ∵()0,B p Î，∴3B p=； （2）由,,a b c 成等差数列，得：2b a c =+， 由余弦定理得：222a c ac b +-=，由23BA BC +=2212a c ac ++=， 三个等式联立解得：2b =.【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，辅助角公式化简求值，考查等差中项的性质，考查余弦定理解三角形，还考查了向量模的运算.属于中档题.18.若数列{}n a 的前n 项和n S ，且2n S n n =+，等比数列{}n b 的前n 项和n T ，且2n n T m =+. （1）求{}n a 和{}n b 的通项； （2）求数列{}·n n a b 的前n 项和.【答案】（1）2n a n = ()*n N Î；12n n b -=(2)()121?2n n ++- 【解析】 【分析】（1）利用11,1,2n n n S n a S S n -ì=ï=í-?ïî，求得数列n a 的通项公式.同理也求得n b 的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得前n 项和. 【详解】（1）由2n S n n =+， 得：()()22111n S n n nn -=-+-=-，()122n n n a S S n n -=-=?∵211112a S ==+=符合公式，2n a n = ()*n N Î 同理：由2n n T m =+，推得：()122n n b n -=?，12b m =+ ∵{}n b 是等比数列， ∴11b = 1m?- 12n nb -?（2）设··2n n n n c a b n ==，n Q 是其前n 项和， ∵123122232?2n n Q n =???+∴()234121222321?2?2n n n Q n n +=???+-+两式相减得：2312222?2n n n Q n +-=++++-∴()121?2n n Q n +=+-另解：∵()()1·21?22?2n n n n c n n n +==---， ∴()()()21324310?21?21?20?22?21?21?22?2n n n Q n n +=--+-+-++---()121?2n n +=+-【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a 得方法，考查错位相减求和法. 已知n S 求n a 得方法是利用11,1,2n n n S n a S S n -ì=ï=í-?ïî来求数列的通项公式.属于中档题. 19.已知两个定点(1,0)A -，(2,0)B ，动点(,)P x y 到点A 的距离是它到点B 距离的2倍. （1）求P 点的轨迹E ；（2）若过点(1,1)C 作轨迹E 的切线，求此切线的方程. 【答案】（1）见解析；（2）1x =或3410x y -+= 【解析】 【分析】（1）利用两点间的距离公式列方程，化简后可求得轨迹E 的方程.（2）由于轨迹E 是圆，故设切线方程为点斜式，然后利用圆心到直线的距离等于半径列方程，求得切线的斜率.验证斜率不存在时直线也满足题意，由此求得题目所求的切线方程，有两条. 【详解】（1）设动点(),P x y ，则2PA PB =，=化简得：()2234x y -+=所以动点P 的轨迹E 是以()3,0为圆心，以2为半径的圆； （2）设():11l y k x -=-是圆E 的切线，则有：324k=?， 当k 不存在时，:1l x =恰好与圆E 切于()1,0点， 综合得：切线方程为：1x =或3410x y -+=.【点睛】本小题主要考查利用直接法求动点的轨迹方程，考查圆的切线方程的求法，属于中档题.直接法求动点的轨迹方程，首先设出动点的坐标为(),x y ，然后代入题目所给的已知条件中，如本题中的长度关系式，然后化简即可得到所求点的轨迹方程，要注意验证特殊位置是否满足. 20.已知函数3211()32a f x x x ax +=-+（a 为常数，a R Î）.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在(31,2)a a -上单调递减，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）12【解析】【分析】（1）对函数求导后，对a 分成1,1,1a a a >=<三类，讨论函数的单调递增区间.（2）根据题目所给区间求得a 的范围，根据导数求得函数的减区间，题目所给区间是这个区间的子集，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）∵()()()()2'11f x x a x a x x a =-++=--，所以，当1a =时，()()2'10f x x =-?，()f x 递增区间为(),-??；当1a >时，()()()'10f x x x a =--> x a ?或1x <，∴()f x 递增区间为(),1-?和(),a +?；当1a <时，()()()'10f x x x a =--> 1x ?或x a <，∴()f x 递增区间为(),a -?和()1,+?；（2）∵312a a -<， ∴1a <， 当1a <时，()()()'10f x x x a =--< 1ax ?<，即()f x 的递减区间为(),1a ， ∴()()31,2,1a a a -? 3121a a a ì-?ïÞí£ïî12a?. 【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调递增区间，考查利用导数研究函数在给定区间上递减求参数的问题.导数在研究函数中，主要是一个工具的作用，在导数为正数的区间，函数是单调递增的，在导数为负数的区间，函数是单调递减的.本小题属于中档题. 21.一幅标准的三角板如图（1）中，ABC Ð为直角，060A?，DEF Ð为直角，045D ?，且BC DF =，把BC 与DF 拼齐使两块三角板不共面，连结AE 如图（2）. （1）若M 是AC 的中点，求证：EM BC ^；（2）在《九章算术》中，称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”，若图（2）中A B a =，三棱锥A BEC -的体积为314a ，则图（2）是否为鳖臑？说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）取BC 的中点N ，连接,MN EN ，通过证明直线BC ^平面MNE ，证得直线BC BM ^.（2）根据AB 的长度，求得,,BC BE CE 的长度，求得三角形BEC 的面积，利用体积公式后求得三棱锥的高为a ，由此证得AB ^平面BEC ，进而证得四个三角形都是直角三角形. 【详解】（1）证明：设BC 中点为N ，连结,MN EN ，∵AB BC ^，//MN AB ， ∴MN BC ^，∵BE EC ^，BE EC =，BN CN =， ∴EN BC ^ ∵MN ENN ?，∴BC ^平面MNE ， 故ME BC ^；（2）此时三棱锥A BEC -时鳖臑∵AB a = BC?，2BE CE a ==234BEC S a D ?又三棱锥的体积314V a =?高h a =， 所以AB ^平面BEC ，那么，在三棱锥A BEC -中，,,ABC ABE BEC 行?显然是直角， ∵CE BE ^，CE AB ^，AB EBB CE ?轣平面ABECE AE 轣 AEC 扌也是直角那么，该三棱锥的四个面都是直角三角形，所以它是鳖臑.【点睛】本小题主要考查空间两条直线垂直的证明，考查新定义概念的理解和三棱锥的体积公式，以及线面垂直的证明，属于中档题. 22.已知函数()(1)ln 1f x a x x x =+-+.（1）当3a =时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （2）若()0f x >在(1,)+?上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）550x y --=；（2）1[,)2a ?? 【解析】 【分析】（1）当3a =时，求得切点和斜率，由此求出切线方程.（2）求出函数的导数后，对a 分成110,0,22a a a ?<?三类，讨论函数的单调区间以及最值，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）()()331ln 1a f x x x x =?+-+ ()'15f ?，∵()10f =，∴所求切线方程为()51y x =-， 即所求切线方程是550x y --=；（2）()()11'ln 1ln 11a x f x a x a x xx 骣+琪=+-=++-琪桫若0a £，∵()()1'0x f x f x >??单调递减，∵()10f =?在()1,+?上，()0f x <，不合题意；若0a >，由()()1'ln 1a x f x a x x+=+- ()()21''a x f x x-?，∵()()1''0'x f x f x >??单调递增，由于()'121f a =-， 那么，102a <<时，()'1210f a =-<， 11'110a af e a ae -骣琪=++->琪桫则101,a x e 骣琪$?琪桫，()0'0f x =那么在()01,x 上，()'0f x <，()f x 单调递减， ∵()10f =，∴在()01,x 上，()0f x <，不合题意； 若12a ³，()()1''0'x f x f x >??单调递增，()()()'1210'0f a f x f x =-侈侈单调递增，∵()10f =，∴1x >，()0f x >，符合题意. 综合上述得：1,2a 轹÷??ê÷ê滕.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数图像的切线方程，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于难题.- 21 -。
2019届安徽省江南十校高三下学期联考文科数学试卷【含答案及解析】
2019届安徽省江南十校高三下学期联考文科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合，，则中的元素个数为（A）（B）____________________ （C）（D）2. 已知复数满足（为虚数单位），则（A）（B）（C）（D）3. 随机抛掷一枚质地均匀的骰子，记正面向上的点数为，则函数有两个不同零点的概率为（A）（B）（C）（D）4. 已知函数，则（A）（B）______________ （C）（D）5. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，且其渐近线方程为，则双曲线的方程为（A）（B）（C）（D）6. 设，则下列说法错误的是（ A ）是奇函数___________________________________（B）在上单调递增（ C ）的值域为___________________________________（D）是周期函数7. 设满足约束条件则的最小值为（A）（B）（C）（D）8. 在平面直角坐标系中，满足的点的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系中，满足，的点的集合对应的空间几何体的体积为（A）（B）（C）（D）9. 已知各项均为正数的等比数列中，，则数列的前项和为（A）________________________ （B）（C）________________________ （D）10. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的（A）（B）（C）（D）11. 已知函数的最小正周期为，且，则的一个对称中心坐标是（A）（B）___________（C）（D）12. 已知函数，若的图象与轴正半轴有两个不同的交点，则实数的取值范围为（A）（B）（C）（D）二、填空题13. 已知向量，，若，则实数=____________________ ．14. 在数列中，，为的前项和．若，则______________ ．15. 椭圆的右顶点为，是椭圆上一点，为坐标原点．已知，且，则椭圆的离心率为___________________________________ ．16. 某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为___________________________________ ．三、解答题17. 如图，平面四边形中，，，，，，求（Ⅰ ）；（Ⅱ ）．18. 第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日—21日在巴西里约热内卢举行．下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）．p19. ly:Calibri; font-size:10.5pt"> 第30届伦敦第29届北京第28届雅典第27届悉尼第26届亚特兰大中国 38 51 32 28 16 俄罗斯 24 23 27 32 26（Ⅰ ）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（Ⅱ ）下表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和（从第26届算起，不包括之前已获得的金牌数）随时间变化的数据：p20. ly:宋体; font-size:10.5pt">时间x（届） 26 27 28 29 30 金牌数之和y（枚）16 44 76 127 165作出散点图如下：（ i ）由图可以看出，金牌数之和与时间之间存在线性相关关系，请求出关于的线性回归方程；（ ii ）利用（ i ）中的回归方程，预测今年中国代表团获得的金牌数．参考数据：，，，附：对于一组数据，，……， ,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，21. 设函数．（ 1 ）当时，讨论的单调性；（ 2 ）当时，设在处取得最小值，求证：．22. 如图，过外一点作的两条切线，其中为切点，为的一条直径，连并延长交的延长线于点．（Ⅰ ）证明：；（Ⅱ）若 ,求的值．23. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，，圆的方程为（ 1 ）求在平面直角坐标系中圆的标准方程；（ 2 ）已知为圆上的任意一点，求面积的最大值．24. 已知函数，记的解集为．（ 1 ）求；（ 2 ）已知 ,比较与的大小．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第22题【答案】。
安徽省江南十校2019届高三数学冲刺联考二模试题文(含答案)
2019年“江南十校”高三学生冲刺联考(二模）文科数学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至 第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
第1卷(选择题共60分）―、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合 A= {1＜|x x }，B = {2|-≥x x }，则C R (A∩B )= A. {2＜|-x x } B. {1|≥x x }C. {1x 2＜|≥-或x x }D. {x ＞＞2|或-≤x x } 2.设iiz 2332+-=，复数2+z 位于复平面 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限3. 执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为 A.2 B.25 C. 290941 D. 10294. 已知抛物线方程为2ax y =,它的准线方程为81-=y ，则a 的值为 A. 21-B. 21C.-2D.25. 已知圆台上、下两底面与侧囿都与球相切，它的侧面积为π16,则该圆台上、下两个底面圆的周长之和为A. π4B. π6C. π8D. π106. 已知: 31log ,)31(,411ln 11e e c b a ===，则 a ，b ，c 的大小关系为A. c > a > bB. c > b > aC.b > a > cD.a > b > c7. 在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，点F 在CD 上, 且DF=2FCC ，连接AE 、BF 交于G 点，则=DGA.7154- B. 7476- C. AD AB 7275- D. AD AB 7173-8. 已知函数)(3cos 33sin )(R x x x x f ∈+=，曲线)(x f 与直线3=y 的交点中，相邻交点的距离最小值与最大值分别为 A.54,3ππ B.65,6ππ C.95,9ππ D.125,12ππ9.△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足BBA A C bc a c b cos sin 3cos sin 3sin 2)2(,33)(3)1(222=-+=+，则角C 为A.6π B. 65π C. 3π D. 32π10. 如图所示，正方形ABCD 的边长为1，等腰直角△SAD 绕其直角边AD转动，另一直角边SD 与正方形一边DC 成θ角(0018＜90θ≤)，则异面直钱SA 与DB 所成角的取值范围为 A. ]2,0(πB. ]6,0(πC. ]3,0(πD. ]2,6[ππ11.已知双曲线方程12222=-by a x (a>0,b>0,a ≠b), A ，B 是它的两条渐近线上的点，△OAB 为直角三角形，则A ，B 两点横坐标的绝对值之比为A. abb a 或 B. ||2222b a b a -+ C. 2222||b a b a +- D. ||2222b a b a -+或2222||b a b a +- 12. 已知函数xxee xf -+=4)(，则A.)(x f 在(-∞,2)单调递增，在(2, +∞)单调递减B.)(x f 在(-∞,2)单调递减，在(2, +∞)单调递增C.函数)(x f 的图象不关于直线2=x 对称D.函数)(x f 的图象关于点(2，0)对称(在此卷上答题无效）绝密★启用前2019年“江南十校”高三学生冲剌联考(二模）文科数学第Ⅱ卷(非选择题共90分)考生注意事项：请用0.3毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
2019届安徽省江南十校高三上学期第二次联考数学(文科)试题(word版)
江南十校2019届高三第二次大联考数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，则化简20181()1i i+-的结果为（ ） A. i B. i - C. -1 D. 1【答案】C2.已知集合{|1}A x x =<，{|21}x B x =<，则有（ ）A. {|10}A B x x ?-<<B. A BR ? C. {}1A B x x ? D. A B f ? 【答案】A3.若,R a b Î，则“a b ¹”是“sin sin a b ¹”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】B4.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的x 值为（ ）A. 1516B. 34C. 78D. 3132【答案】A5.在递增等比数列{}n a 中，1510a a +=，34a =，则19a =（ ）A. 192B. 202C. 92D. 1026.已知直线1:360l mx y -+=，2:43120l x my -+=，若12//l l ，则12,l l 之间的距离为（ ）【答案】A7.已知2sin()43p a +=，则sin 2a =（ ）A. 19B. 19-C. 9D. 9- 【答案】B8.如图（1）所示的是三棱台，其三视图如图（2）所示（其中正视图是直角三角形，侧视图和俯视图为直角梯形），则该三棱台的表面积为（ ）A. 34+34+34+【答案】B9.在ABC D 中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos sin a b C B =，则B =（ ） A. 23p B. 3p C. 4p D. 6p 【答案】D 10.已知曲线1:sin(2)3C y x p=+，2:cos C y x =，要想由2C 得到1C ，下面结论正确的是（ ）A. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6p 个单位 B. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移12p 个单位 C. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移6p 个单位 D. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移12p 个单位 【答案】D11.设,x y 为负实数且23x y =，则下列说法正确的是（ ）A. 32y x =B. 32y x <C. 23x y <D. 以上都不对【答案】C12.设'()f x 是定义在(,0)(0,)p p -?上的偶函数()f x 的导函数，且()02f p=，当(0,)x p Î时，不等式'()sin ()cos 0f x x f x x ->恒成立，若2()6a f p =--，2()6b f p =，()4c p ，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. c a b << B. b a c << C. a c b << D. b c a <<【答案】D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图所示，在矩形ABCD 中，22AB AD ==，沿对角线AC 将其折成直二面角，连结BD ，则该三棱锥D ABC -的体积为__________．【答案】1514.设,x y 满足约束条件2210x y x y ì+?ïí-?ïî，则32z x y =-的最小值为__________．【答案】15.已知扇形OAB 的圆心角为090AOB?，半径为2，C 是其弧上一点，若OC OA OB l m =+，则·l m 的最大值为__________． 【答案】1216.已知定义在(1,)+?的两个函数2()e f x m x =+和()ln g x x =（e 是自然对数的底），若在()()1f x g x >的解集内有且只有两个整数，则实数m 的范围是__________． 【答案】121(,]ln 33ln 42e e -- 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC D 中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知向量(2sin ,cos 2)m x x =，(3cos ,1)n x =，函数()?f x m n =且()1f B =.（1）求角B 的值；（2）若23BA BC +=且,,a b c 成等差数列，求b .【答案】（1）3B p =；（2）2 【解析】【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算，以及辅助角公式，化简()f x 的表达式，利用()1f B =求得B 的大小.（2）利用等差数列的性质、余弦定理，以及向量模的运算，列方程，解方程可求得b 的值.【详解】（1）()·23sin cos cos2f x m n x x x ==+ cos2x x +整理得：()2sin 26f x x p 骣琪=+琪桫， ∵()1f B =， ∴2sin 216B p 骣琪+=琪桫 1sin 262B p 骣琪?=琪桫， ∵()0,B p Î，∴3B p =； （2）由,,a b c 成等差数列，得：2b a c =+， 由余弦定理得：222a c ac b +-=， 由23BA BC +=，得：2212a c ac ++=，三个等式联立解得：2b =.【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，辅助角公式化简求值，考查等差中项的性质，考查余弦定理解三角形，还考查了向量模的运算.属于中档题.18.若数列{}n a 的前n 项和n S ，且2n S n n =+，等比数列{}n b 的前n 项和n T ，且2n n T m =+.（1）求{}n a 和{}n b 的通项；（2）求数列{}·n n a b 的前n 项和.【答案】（1）2n a n = ()*n N Î；12n n b -=(2)()121?2n n ++-【解析】【分析】（1）利用11,1,2n n n S n a S S n -ì=ï=í-?ïî，求得数列n a 的通项公式.同理也求得n b 的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得前n 项和.【详解】（1）由2n S n n =+，得：()()22111n S n n n n -=-+-=-，()122n n n a S S n n -=-=?∵211112a S ==+=符合公式，2n a n = ()*n N Î同理：由2n n T m =+，推得：()122n n b n -=?，12b m =+∵{}n b 是等比数列，∴11b = 1m ?- 12n n b -?（2）设··2n n n n c a b n ==，n Q 是其前n 项和，∵123122232?2n n Q n =???+ ∴()234121222321?2?2n n n Q n n +=???+-+两式相减得：2312222?2n n n Q n +-=++++- ∴()121?2n n Q n +=+- 另解：∵()()1·21?22?2n n n n c n n n +==---，∴()()()21324310?21?21?20?22?21?21?22?2n n n Q n n +=--+-+-++---()121?2n n +=+-【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a 得方法，考查错位相减求和法. 已知n S 求n a 得方法是利用11,1,2n n n S n a S S n -ì=ï=í-?ïî来求数列的通项公式.属于中档题. 19.已知两个定点(1,0)A -，(2,0)B ，动点(,)P x y 到点A 的距离是它到点B 距离的2倍.（1）求P 点的轨迹E ；（2）若过点(1,1)C 作轨迹E 的切线，求此切线的方程.【答案】（1）见解析；（2）1x =或3410x y -+=【解析】【分析】（1）利用两点间的距离公式列方程，化简后可求得轨迹E 的方程.（2）由于轨迹E 是圆，故设切线方程为点斜式，然后利用圆心到直线的距离等于半径列方程，求得切线的斜率.验证斜率不存在时直线也满足题意，由此求得题目所求的切线方程，有两条.【详解】（1）设动点(),P x y ，则2PA PB =，= 化简得：()2234x y -+=所以动点P 的轨迹E 是以()3,0为圆心，以2为半径的圆；（2）设():11l y k x -=-是圆E 的切线，则有：324k =?， 当k 不存在时，:1l x =恰好与圆E 切于()1,0点，综合得：切线方程为：1x =或3410x y -+=.【点睛】本小题主要考查利用直接法求动点的轨迹方程，考查圆的切线方程的求法，属于中档题.直接法求动点的轨迹方程，首先设出动点的坐标为(),x y ，然后代入题目所给的已知条件中，如本题中的长度关系式，然后化简即可得到所求点的轨迹方程，要注意验证特殊位置是否满足.20.已知函数3211()32a f x x x ax +=-+（a 为常数，a R Î）. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在(31,2)a a -上单调递减，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）12【解析】【分析】（1）对函数求导后，对a 分成1,1,1a a a >=<三类，讨论函数的单调递增区间.（2）根据题目所给区间求得a 的范围，根据导数求得函数的减区间，题目所给区间是这个区间的子集，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）∵()()()()2'11f x x a x a x x a =-++=--， 所以，当1a =时，()()2'10f x x =-?，()f x 递增区间为(),-??； 当1a >时，()()()'10f x x x a =--> x a ?或1x <， ∴()f x 递增区间为(),1-?和(),a +?； 当1a <时，()()()'10f x x x a =--> 1x ?或x a <， ∴()f x 递增区间为(),a -?和()1,+?； （2）∵312a a -<， ∴1a <，当1a <时，()()()'10f x x x a =--< 1a x ?<， 即()f x 的递减区间为(),1a ， ∴()()31,2,1a a a -? 3121a a a ì-?ïÞí£ïî 12a ?. 【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调递增区间，考查利用导数研究函数在给定区间上递减求参数的问题.导数在研究函数中，主要是一个工具的作用，在导数为正数的区间，函数是单调递增的，在导数为负数的区间，函数是单调递减的.本小题属于中档题.21.一幅标准的三角板如图（1）中，ABC Ð为直角，060A ?，DEF Ð为直角，045D ?，且B C D F =，把BC 与DF 拼齐使两块三角板不共面，连结AE 如图（2）.（1）若M 是AC 的中点，求证：EM BC ^；（2）在《九章算术》中，称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”，若图（2）中A B a =，三棱锥A BEC -的体积为314a ，则图（2）是否为鳖臑？说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）取BC 的中点N ，连接,MN EN ，通过证明直线BC ^平面MNE ，证得直线BC BM ^.（2）根据AB 的长度，求得,,BC BE CE 的长度，求得三角形BEC 的面积，利用体积公式后求得三棱锥的高为a ，由此证得AB ^平面BEC ，进而证得四个三角形都是直角三角形.【详解】（1）证明：设BC 中点为N ，连结,MN EN ，∵AB BC ^，//MN AB ，∴MN BC ^，∵BE EC ^，BE EC =，BN CN =，∴EN BC ^∵MN EN N ?，∴BC ^平面MNE ，故ME BC ^；（2）此时三棱锥A BEC -时鳖臑∵AB a = BC?，BE CE == 234BEC S a D ? 又三棱锥的体积314V a =?高h a =， 所以AB ^平面BEC ，那么，在三棱锥A BEC -中，,,ABC ABE BEC 行?显然是直角，∵CE BE ^，CE AB ^，AB EB B CE ?轣平面ABECE AE 轣 AEC 扌也是直角那么，该三棱锥的四个面都是直角三角形，所以它是鳖臑.【点睛】本小题主要考查空间两条直线垂直的证明，考查新定义概念的理解和三棱锥的体积公式，以及线面垂直的证明，属于中档题.22.已知函数()(1)ln 1f x a x x x =+-+.（1）当3a =时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()0f x >在(1,)+?上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）550x y --=；（2）1[,)2a ??【解析】【分析】（1）当3a =时，求得切点和斜率，由此求出切线方程.（2）求出函数的导数后，对a 分成110,0,22a a a ?<?三类，讨论函数的单调区间以及最值，由此求得a 的取值范围. 【详解】（1）()()331ln 1a f x x x x =?+-+ ()'15f ?，∵()10f =，∴所求切线方程为()51y x =-，即所求切线方程是550x y --=； （2）()()11'ln 1ln 11a x f x a x a x x x 骣+琪=+-=++-琪桫 若0a £，∵()()1'0x f x f x >??单调递减，∵()10f =?在()1,+?上，()0f x <，不合题意；若0a >，由()()1'ln 1a x f x a x x +=+- ()()21''a x f x x -?， ∵()()1''0'x f x f x >??单调递增，由于()'121f a =-， 那么，102a <<时，()'1210f a =-<， 11'110a a f e a ae -骣琪=++->琪桫则101,a x e 骣琪$?琪桫，()0'0f x =那么在()01,x 上，()'0f x <，()f x 单调递减，∵()10f =，∴在()01,x 上，()0f x <，不合题意； 若12a ³，()()1''0'x f x f x >??单调递增，()()()'1210'0f a f x f x =-侈侈单调递增， ∵()10f =，∴1x >，()0f x >，符合题意. 综合上述得：1,2a 轹÷??ê÷ê滕.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数图像的切线方程，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于难题.- 11 -。
安徽省江南十校2019届高三第二次联考数学(文科)试题(解析版)
江南十校2019届高三第二次大联考数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，则化简20181()1i i+-的结果为（ ） A. i B. i - C. -1 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先用复数的除法运算，化简1i1i+-，然后再利用i n 的周期性求得最终化简的结果. 【详解】依题意()()()()1i 1i 1i 2ii 1i 1i 1i 2+++===--+，201820162450422i i i i 1+?====-.故选C. 【点睛】本小题主要考查复数的运算，考查复数的除以运算、乘法运算以及乘方运算.要记忆的是i n 是一个周期出现的量，12345i i,i 1,i i,i 1,i i,==-=-==以此类推4142434i i,i 1,i i,i 1k k k k +++==-=-=.复数的除法运算，主要的思想方法是将分母转化为实数.2.已知集合{|1}A x x =<，{|21}x B x =<，则有（ ） A. {|10}A B x x ?-<< B. A B R ? C. {}1A Bx x ? D. A B f ?【答案】A 【解析】 【分析】解绝对值不等式求得集合A 中x 的范围，解指数不等式求得集合B 中x 的范围，再根据选项逐一判断正误. 【详解】由1x <解得11x -<<，故集合()1,1A =-，由0212x <=解得0x <，故集合(),0B =-?.故()1,0A B?-，A 选项正确，D 选项错误，(),1A B ?-?，故B,C 选项错误.所以选A.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查指数不等式的解法，考查集合交集以及并集的求法.属于基础题.含有单个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边，小于在中间”，即()()f x a f x a >?-或()f x a >，()()f x a a f x a <?<<.指数不等式的解法主要是化为同底来计算.3.若,R a b Î，则“a b ¹”是“sin sin a b ¹”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】两个角不相等，正弦值可能相等，两个角的正弦值不相等，那么两个角必定不相等——由此判断出正确选项.【详解】当两个角不相等时，正弦值可能相等，如sin 60sin120=；如果两个角的正弦值不相等，那么两个角必定不相等，故“a b ¹”是“sin sin a b ¹”的必要不充分条件.故选B.【点睛】本小题主要考查充要条件的判断.如果p q Þ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；否则，p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件.在判断具体问题时，可以采用互推的方法，进行p q Þ和q p Þ各一次，判断是否能被推出，由此判断是什么条件.还可以采用集合的观点来判断：小范围是大范围的充分不必要条件，大范围是小范围的充要不充分条件.如果两个范围相等，则为充要条件.如果没有包含关系，则为既不充分也不必要条件.4.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的x 值为（ ）A.1516 B. 34 C. 78 D. 3132【答案】A 【解析】 【分析】运行程序，当5i =时退出循环，令输出的值为零，解方程求得输入的x 的值.【详解】运行程序，输入x ，1i =，21,2x x i =-=，判断否，()221143,3x x x i =--=-=，判断否，()243187,4x x x i =--=-=，判断否，()28711615,5x x x i =--=-=，判断是，退出循环.依题意可知16150x -=，解得1516x =.故选A. 【点睛】本小题主要考查程序框图循环结构，考查利用输出结果，推导输入的数值，属于基础题. 5.在递增等比数列{}n a 中，1510a a +=，34a =，则19a =（ ） A. 192 B. 202 C. 92 D. 102 【答案】D 【解析】 【分析】将已知条件转化为1,a q 的形式，解方程组求得1,a q 的值，从而求得任意一项的值.【详解】由于数列为等比数列，故41121104a a q a q ì+=ïí=ïî，由于数列是递增的数列，故解得212,2q a ==，故()91829101912222a a q q ==??，故选D.【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查一元二次方程方程的解法，属于基础题. 6.已知直线1:360l mx y -+=，2:43120l x my -+=，若12//l l ，则12,l l 之间的距离为（ ）A.B.C.D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行，求得m 的值，再利用两平行直线间的距离公式，求得两直线的距离. 【详解】由于两条直线平行，属于()()3340m m ?--?，解得2m =?，当2m =时，两直线方程都是2360x y -+=故两直线重合，不符合题意.当2m =-时，1:2360l x y +-=，2:2360l x y ++=，故两平.故选A. 【点睛】本小题主要考查两条直线平行的条件，考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题. 7.已知2sin()43p a +=，则sin 2a =（ ） A.19 B. 19- C.D. -【答案】B 【解析】【分析】将已知条件利用两角和的正弦公式展开后，两边平方得到，化简后可得到所求的三角函数值. 【详解】依题意)π2sin sin cos 43a a a 骣琪++=琪桫，两边平方得()141sin 229a +=，解得1sin 29a =-. 【点睛】本小题主要考查两角和的正弦公式，考查同角三角函数的基本关系式，以及二倍角公式，属于基础题.8.如图（1）所示的是三棱台，其三视图如图（2）所示（其中正视图是直角三角形，侧视图和俯视图为直角梯形），则该三棱台的表面积为（ ）A. 34+B. 52C. 34+D. 34+【答案】B 【解析】 【分析】根据正视图计算两个直角三角形的面积，根据侧视图和俯视图计算左侧和底部两个梯形的面积，然后解直角三角形求得几何体右侧梯形的上底、下底和高，并求得其面积.5个面面积相加得到棱台的表面积. 【详解】两个直角三角形的面积之和为1122441022创+创=.左侧和底部两个梯形是全等的，面积之和为2424242+创=.===为等腰梯形，故高为=()182?.故表面积为10241852++=，故选B.【点睛】本小题主要考查三视图和直观图的对应，考查几何体表面积的计算，主要是梯形和直角三角形面积的计算.属于基础题.9.在ABC D中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos sin a b C B =，则B =（ ） A.23p B. 3p C. 4p D. 6p【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理将已知条件中的边转化为角的形式，再利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式展开化简，由此求得B 的大小.【详解】由正弦定理得sin sin cossin A B C C B =，即()s i n s i n c o s s i nB C B C C B +=+，即sin cos cos sin sin cos sin B C B C B C C B +=cos B B =，故tan 3B =，故π6B =.所以选D. 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查三角形内角和定理以及两角和的正弦公式，属于基础题.10.已知曲线1:sin(2)3C y x p =+，2:cos C y x =，要想由2C 得到1C ，下面结论正确的是（ ）A. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6p个单位 B. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移12p个单位C. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移6p个单位D. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移12p个单位【答案】D 【解析】 【分析】先将2C 转化为正弦函数的形式，然后利用三角函数图像变换的知识进行图像变换，得出正确的选项. 【详解】依题意πcos sin 2y x x 骣琪==+琪桫，横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变）得到πsin 22x 骣琪+琪桫，然后再向右平移12p 个单位，得到πππsin 2sin 21223x x 轾骣骣犏琪琪-+=+琪琪犏桫桫臌.故选D. 【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查三角函数图像变换的知识，属于基础题. 11.设,x y 为负实数且23x y =，则下列说法正确的是（ ） A. 32y x = B. 32y x < C. 23x y < D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】令23x y z ==，指数式化为对数式，用z 来表示,x y ，然后利用换底公式比较2x 和3y 的大小，由此得出正确选项.【详解】令23x y z ==，则2212ln log ,22log ln 2z x z x z ===，3313ln log ,33log ln 3z y z y z ===.由于,x y 为负实数，故01z <<，所以ln 0z <.由于66113228,39骣骣琪琪==琪琪桫桫，所以113223<，所以11320ln 2ln 3<<，所以112311ln 2ln 3>，两边乘以ln z 得1123ln ln ln 2ln 3z z <，即23x y <.故选C.【点睛】本小题主要考查指数式化为对数值，考查利用换底公式以及对数函数的单调性比较大小.属于中档题.12.设'()f x 是定义在(,0)(0,)p p -?上的偶函数()f x 的导函数，且()02f p =，当(0,)x p Î时，不等式'()sin ()cos 0f x x f x x ->恒成立，若2()6a f p =--，2()6b f p =，()4c p=，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. c a b <<B. b a c <<C. a c b <<D. b c a << 【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数()()sin f x F x x=，根据函数()f x 的奇偶性求得()F x 的奇偶性，再根据函数()F x 的导数确定单调性，由此比较,,a b c 三个数的大小.【详解】构造函数()()sin f x F x x=，由于()f x是偶函数，故()F x是奇函数.由于()()()2s i n c o s 0s i n f x xf x x F x x-=¢>¢，故函数()F x 在()0,π上递增.由于ππ0,022f F 骣骣琪琪==琪琪桫桫，故当π0,2x 骣琪Î琪桫时，()0F x >，当π,π2x 骣琪Î琪桫时，()0F x <.所以πππ60π66sin 6f a F F 骣??琪骣骣桫琪琪==-=->琪琪骣桫桫??琪桫，πππ620π66sin 6f b f F 骣琪琪骣骣桫琪琪===<琪琪桫桫，πππ40π44sin 4f c F 骣琪琪骣骣桫琪琪==<琪琪桫桫，根据()F x 单调性有ππ46F F 骣骣琪琪>琪琪桫桫.故πππ0646F F F 骣骣骣琪琪琪->>>琪琪琪桫桫桫，即a c b >>，故选D.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查构造函数法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图所示，在矩形ABCD 中，22AB AD ==，沿对角线AC 将其折成直二面角，连结BD ，则该三棱锥D ABC -的体积为__________．【解析】 【分析】利用等面积法求得直角三角形ACD 的边AC 上的高，也即三棱锥D ABC -的高，由此计算出三棱锥的体积.【详解】依题意，AC ，设直角三角形ACD 的边AC 上的高为h ，根据等面积有1122AC h AD CD 鬃=鬃，解得h =，故三棱锥的体积为1132D ABC V AB BC h -=创创112132=创创=. 【点睛】本小题主要考查折叠问题，考查三棱锥体积的求法，考查等面积法求平面图形的高，属于基础图.14.设,x y 满足约束条件2210x y x y ì+?ïí-?ïî，则32z x y =-的最小值为__________．【答案】- 【解析】 【分析】画出约束条件对应的可行域，通过向上平移基准直线320x y -=到可行域边界位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，当直线平移到和圆弧相切时，z取得最小值，此时直线方程为320 x y z--=，由点到直线的距离公式得1=，z=-，即z的最小值为-.【点睛】本小题主要考查线性规划的知识，考查线性型目标函数的最值的求法，属于基础题.题目所给的约束条件中，()()222x a y b r-+-?表示的是圆心为(),a b，半径为r的圆的圆上和圆内的点构成的区域.对于目标函数32z x y=-，由于23y x z=-，当直线截距最大时，z取得最小值，这个在解题过程中要特别注意.15.已知扇形OAB的圆心角为090AOB?，半径为2，C是其弧上一点，若OC OA OBl m=+，则·l m的最大值为__________．【答案】12【解析】【分析】以,OA OB为基底，表示OC，这是一个正交的基底，故()()22222444OA OB OCl m l m+=+==，再由基本不等式求得l m×的最大值.【详解】以O 为坐标原点，,OB OA 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，画出图像如下图所示.由于,OA OB 相互垂直，以,OA OB 为基底，这是一个正交的基底，表示OC ，根据图像可知()()22222444OA OB OC l m l m +=+==，即221l m +=，故22122l m l m +祝=，当且仅当22l m ==时，等号成立.故l m ×的最大值为12.【点睛】本小题考查平面向量的基本定理，考查正交基底的应用，考查利用基本不等式求乘积的最大值.平面内不共线的两个向量可以作为基底表示其它任何的向量，当这两个不共线的向量相互垂直时，为正交基.基本不等式不但要记得a b +?这个基本的形式，还要注意它的变形22222a ba b ab 骣++琪＃琪桫. 16.已知定义在(1,)+?的两个函数2()ef x m x=+和()ln g x x =（e 是自然对数的底），若在()()1f x g x >的解集内有且只有两个整数，则实数m 的范围是__________． 【答案】121(,]ln 33ln 42e e --【解析】【分析】化简不等式()()1f x g x ?，变为2e ln ln 1x m x x >-，即左边函数ln y m x =在右边函数2e ln 1x y x=-图像上方只有两个横坐标为整数的点.利用导数画出2e ln 1x y x =-的图像，结合图像列出不等式组，解不等式组求得m 的取值范围.【详解】化简不等式()()1f x g x ?，得2e ln ln 1x m x x >-，构造函数()ln h x m x =和2e ln 1x y x=-，m 需要满足()ln h x m x =图像在()2e l n 1x n x x =-图像上方的点的横坐标有且只有两个整数.'22eln ln 112e x x x x 骣-琪-=?琪桫，故函数()2e ln 1x n x x =-在()1,e 上递减，在()e,+?上递增，且当e x >时，函数值小于零.当0m >时，()ln h x m x =在()1,+?上递增，画出图像如下图所示，由图可知()ln h x m x =图像在()2e ln 1x n x x=-图像上方的点不止两个整数.故不符合题意.当0m =时，显然不符合题意.当0m <时，画出图像如下图所示，由图可知()()()()()()223344h n h n h n ì>ïï>íï£ïî，即2e ln 2ln 2122e ln 3ln 3132e ln 4ln 414m m m ì>-ïïïï>-íïïï?ïî，解得121e e ln 33ln 42m -<?.即m 的取值范围是121e e,ln 33ln 42纟ç--úçú棼. 【点睛】本小题主要考查利用数形结合的数学思想方法解不等式，考查了对数函数的图像与性质，考查了利用导数研究函数图像与性质.对于题目给定的()()1f x g x <，转为两个函数的图像来研究，这是化归与转化的数学思想方法.导数在本题中是一个工具的作用，用于画图函数的图像.属于中档题. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC D 中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知向量(2sin ,cos 2)m x x =，(3cos ,1)n x =，函数()?f x m n =且()1f B =.（1）求角B 的值；（2）若23BA BC +=且,,a b c 成等差数列，求b .【答案】（1）3B p =；（2）2 【解析】【分析】 （1）利用向量的数量积的坐标运算，以及辅助角公式，化简()f x 的表达式，利用()1f B =求得B 的大小.（2）利用等差数列的性质、余弦定理，以及向量模的运算，列方程，解方程可求得b 的值.【详解】（1）()·23sin cos cos2f x m n x x x ==+ cos2x x +整理得：()2sin 26f x x p 骣琪=+琪桫， ∵()1f B =， ∴2sin 216B p 骣琪+=琪桫 1sin 262B p 骣琪?=琪桫， ∵()0,B p Î，∴3B p =； （2）由,,a b c 成等差数列，得：2b a c =+， 由余弦定理得：222a c ac b +-=， 由23BA BC +=，得：2212a c ac ++=，三个等式联立解得：2b =.【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，辅助角公式化简求值，考查等差中项的性质，考查余弦定理解三角形，还考查了向量模的运算.属于中档题.18.若数列{}n a 的前n 项和n S ，且2n S n n =+，等比数列{}n b 的前n 项和n T ，且2n n T m =+.（1）求{}n a 和{}n b 的通项；（2）求数列{}·n n a b 的前n 项和.【答案】（1）2n a n = ()*n N Î；12n n b -=(2)()121?2n n ++-【解析】【分析】（1）利用11,1,2n n n S n a S S n -ì=ï=í-?ïî，求得数列n a 的通项公式.同理也求得n b 的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得前n 项和.【详解】（1）由2n S n n =+，得：()()22111n S n n n n -=-+-=-，()122n n n a S S n n -=-=?∵211112a S ==+=符合公式，2n a n = ()*n N Î同理：由2n n T m =+，推得：()122n n b n -=?，12b m =+∵{}n b 是等比数列，∴11b = 1m ?- 12n n b -?（2）设··2n n n n c a b n ==，n Q 是其前n 项和，∵123122232?2n n Q n =???+ ∴()234121222321?2?2n n n Q n n +=???+-+两式相减得：2312222?2n n n Q n +-=++++- ∴()121?2n n Q n +=+- 另解：∵()()1·21?22?2n n n n c n n n +==---，∴()()()21324310?21?21?20?22?21?21?22?2n n n Q n n +=--+-+-++---()121?2n n +=+-【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a 得方法，考查错位相减求和法. 已知n S 求n a 得方法是利用11,1,2n n n S n a S S n -ì=ï=í-?ïî来求数列的通项公式.属于中档题. 19.已知两个定点(1,0)A -，(2,0)B ，动点(,)P x y 到点A 的距离是它到点B 距离的2倍.（1）求P 点的轨迹E ；（2）若过点(1,1)C 作轨迹E 的切线，求此切线的方程.【答案】（1）见解析；（2）1x =或3410x y -+=【解析】【分析】（1）利用两点间的距离公式列方程，化简后可求得轨迹E 的方程.（2）由于轨迹E 是圆，故设切线方程为点斜式，然后利用圆心到直线的距离等于半径列方程，求得切线的斜率.验证斜率不存在时直线也满足题意，由此求得题目所求的切线方程，有两条.【详解】（1）设动点(),P x y ，则2PA PB =，= 化简得：()2234x y -+=所以动点P 的轨迹E 是以()3,0为圆心，以2为半径的圆；（2）设():11l y k x -=-是圆E 的切线，则有：324k =?， 当k 不存在时，:1l x =恰好与圆E 切于()1,0点，综合得：切线方程为：1x =或3410x y -+=.【点睛】本小题主要考查利用直接法求动点的轨迹方程，考查圆的切线方程的求法，属于中档题.直接法求动点的轨迹方程，首先设出动点的坐标为(),x y ，然后代入题目所给的已知条件中，如本题中的长度关系式，然后化简即可得到所求点的轨迹方程，要注意验证特殊位置是否满足.20.已知函数3211()32a f x x x ax +=-+（a 为常数，a R Î）. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在(31,2)a a -上单调递减，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）12【解析】【分析】（1）对函数求导后，对a 分成1,1,1a a a >=<三类，讨论函数的单调递增区间.（2）根据题目所给区间求得a 的范围，根据导数求得函数的减区间，题目所给区间是这个区间的子集，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）∵()()()()2'11f x x a x a x x a =-++=--， 所以，当1a =时，()()2'10f x x =-?，()f x 递增区间为(),-??； 当1a >时，()()()'10f x x x a =--> x a ?或1x <， ∴()f x 递增区间为(),1-?和(),a +?； 当1a <时，()()()'10f x x x a =--> 1x ?或x a <， ∴()f x 递增区间为(),a -?和()1,+?； （2）∵312a a -<， ∴1a <，当1a <时，()()()'10f x x x a =--< 1a x ?<， 即()f x 的递减区间为(),1a ， ∴()()31,2,1a a a -? 3121a a a ì-?ïÞí£ïî 12a ?. 【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调递增区间，考查利用导数研究函数在给定区间上递减求参数的问题.导数在研究函数中，主要是一个工具的作用，在导数为正数的区间，函数是单调递增的，在导数为负数的区间，函数是单调递减的.本小题属于中档题.21.一幅标准的三角板如图（1）中，ABC Ð为直角，060A ?，DEF Ð为直角，045D ?，且B C D F =，把BC 与DF 拼齐使两块三角板不共面，连结AE 如图（2）.（1）若M 是AC 的中点，求证：EM BC ^；（2）在《九章算术》中，称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”，若图（2）中AB a =，三棱锥A BEC -的体积为314a ，则图（2）是否为鳖臑？说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）取BC 的中点N ，连接,MN EN ，通过证明直线BC ^平面MNE ，证得直线BC BM ^.（2）根据AB 的长度，求得,,BC BE CE 的长度，求得三角形BEC 的面积，利用体积公式后求得三棱锥的高为a ，由此证得AB ^平面BEC ，进而证得四个三角形都是直角三角形.【详解】（1）证明：设BC 中点为N ，连结,MN EN ，∵AB BC ^，//MN AB ，∴MN BC ^，∵BE EC ^，BE EC =，BN CN =，∴EN BC ^∵MN EN N ?，∴BC ^平面MNE ，故ME BC ^；（2）此时三棱锥A BEC -时鳖臑∵AB a = BC ?，2BE CE a == 234BEC S a D ?又三棱锥的体积314V a =?高h a =， 所以AB ^平面BEC ，那么，在三棱锥A BEC -中，,,ABC ABE BEC 行?显然是直角，∵CE BE ^，CE AB ^，AB EB B CE ?轣平面ABECE AE 轣 AEC 扌也是直角那么，该三棱锥的四个面都是直角三角形，所以它是鳖臑.【点睛】本小题主要考查空间两条直线垂直的证明，考查新定义概念的理解和三棱锥的体积公式，以及线面垂直的证明，属于中档题.22.已知函数()(1)ln 1f x a x x x =+-+.（1）当3a =时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()0f x >在(1,)+?上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）550x y --=；（2）1[,)2a ??【解析】【分析】（1）当3a =时，求得切点和斜率，由此求出切线方程.（2）求出函数的导数后，对a 分成110,0,22a a a ?<?三类，讨论函数的单调区间以及最值，由此求得a 的取值范围. 【详解】（1）()()331ln 1a f x x x x =?+-+ ()'15f ?，∵()10f =，∴所求切线方程为()51y x =-，即所求切线方程是550x y --=； （2）()()11'ln 1ln 11a x f x a x a x x x 骣+琪=+-=++-琪桫 若0a £，∵()()1'0x f x f x >??单调递减，∵()10f =?在()1,+?上，()0f x <，不合题意；若0a >，由()()1'ln 1a x f x a x x +=+- ()()21''a x f x x -?，∵()()1''0'x f x f x >??单调递增，由于()'121f a =-， 那么，102a <<时，()'1210f a =-<， 11'110a a f e a ae -骣琪=++->琪桫则101,a x e 骣琪$?琪桫，()0'0f x = 那么在()01,x 上，()'0f x <，()f x 单调递减，∵()10f =，∴在()01,x 上，()0f x <，不合题意； 若12a ³，()()1''0'x f x f x >??单调递增，()()()'1210'0f a f x f x =-侈侈单调递增，∵()10f =，∴1x >，()0f x >，符合题意. 综合上述得：1,2a 轹÷??ê÷ê滕.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数图像的切线方程，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于难题.。
2019届安徽省江南十校高三冲刺联考(二模)试题 数学(文)(word版)
绝密★启用前2019年“江南十校”高三学生冲刺联考(二模）文科数学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至 第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中座位号与本人座位号是否一致，务必在答題卡规定的地方填写考场/座位号、姓名、班级。
2.答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答題卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5亳米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰，作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
. 第1卷(选择题共60分）―、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合 A= {1＜|x x }，B = {2|-≥x x }，则C R (A∩B )=A. {2＜|-x x }B. {1|≥x x }C. {1x 2＜|≥-或x x }D. {x ＞＞2|或-≤x x }2.设ii z 2332+-=，复数2+z 位于复平面 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 3. 执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为A.2B. 25C. 290941D. 1029 4. 已知抛物线方程为2ax y =,它的准线方程为81-=y ，则a 的值为 A. 21- B. 21 C.-2 D.2 5. 已知圆台上、下两底面与侧囿都与球相切，它的侧面积为π16,则该圆台上、下两个底面圆的周长之和为A. π4B. π6C. π8D. π106. 已知: 31log ,)31(,411ln 11e e c b a ===，则 a ，b ，c 的大小关系为 A. c > a > b B. c > b > a C.b > a > c D.a > b > c7. 在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，点F 在CD 上, 且DF=2FCC ，连接AE 、BF 交于G 点，则=DGA.AD AB 7154- B. AD AB 7476- C. AD AB 7275- D. AD AB 7173- 8. 已知函数)(3cos 33sin )(R x x x x f ∈+=，曲线)(x f 与直线3=y 的交点中，相邻交点的距离最小值与最大值分别为A. 54,3ππB. 65,6ππC. 95,9ππD. 125,12ππ9.△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足B B A AC bc a c b cos sin 3cos sin 3sin 2)2(,33)(3)1(222=-+=+，则角C 为 A. 6π B. 65π C. 3π D. 32π 10. 如图所示，正方形ABCD 的边长为1，等腰直角△SAD 绕其直角边AD 转动，另一直角边SD 与正方形一边DC 成θ角(0018＜90θ≤)，则异面直钱SA 与DB 所成角的取值范围为 A. ]2,0(π B. ]6,0(π C. ]3,0(π D. ]2,6[ππ 11.已知双曲线方程12222=-by a x (a>0,b>0,a ≠b), A ，B 是它的两条渐近线上的点，△OAB 为直角三角形，则A ，B 两点横坐标的绝对值之比为A. ab b a 或 B. ||2222b a b a -+ C. 2222||b a b a +- D. ||2222b a b a -+或2222||b a b a +- 12. 已知函数x x e e x f -+=4)(，则A.)(x f 在(-∞,2)单调递增，在(2, +∞)单调递减B.)(x f 在(-∞,2)单调递减，在(2, +∞)单调递增C.函数)(x f 的图象不关于直线2=x 对称D.函数)(x f 的图象关于点(2，0)对称(在此卷上答题无效）绝密★启用前2019年“江南十校”高三学生冲剌联考(二模）文科数学第Ⅱ卷(非选择题共90分)考生注意事项：请用0.3毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
2019届安徽省江南十校高三第二次联考数学(文科)试题(解析版)
江南十校2019届高三第二次大联考数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，则化简的结果为（）A. B. C. -1 D. 1【答案】C【解析】【分析】先用复数的除法运算，化简，然后再利用的周期性求得最终化简的结果.【详解】依题意，.故选C.【点睛】本小题主要考查复数的运算，考查复数的除以运算、乘法运算以及乘方运算.要记忆的是是一个周期出现的量，以此类推.复数的除法运算，主要的思想方法是将分母转化为实数.2.已知集合，，则有（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解绝对值不等式求得集合A中的范围，解指数不等式求得集合B中的范围，再根据选项逐一判断正误. 【详解】由解得，故集合，由解得，故集合.故，A选项正确，D选项错误，，故B,C选项错误.所以选A.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查指数不等式的解法，考查集合交集以及并集的求法.属于基础题.含有单个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边，小于在中间”，即或，.指数不等式的解法主要是化为同底来计算.3.若，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】两个角不相等，正弦值可能相等，两个角的正弦值不相等，那么两个角必定不相等——由此判断出正确选项.【详解】当两个角不相等时，正弦值可能相等，如；如果两个角的正弦值不相等，那么两个角必定不相等，故“”是“”的必要不充分条件.故选B.【点睛】本小题主要考查充要条件的判断.如果，则是的充分条件，是的必要条件；否则，不是的充分条件，不是的必要条件.在判断具体问题时，可以采用互推的方法，进行和各一次，判断是否能被推出，由此判断是什么条件.还可以采用集合的观点来判断：小范围是大范围的充分不必要条件，大范围是小范围的充要不充分条件.如果两个范围相等，则为充要条件.如果没有包含关系，则为既不充分也不必要条件.4.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】运行程序，当时退出循环，令输出的值为零，解方程求得输入的的值.【详解】运行程序，输入，，，判断否，，判断否，，判断否，，判断是，退出循环.依题意可知，解得.故选A.【点睛】本小题主要考查程序框图循环结构，考查利用输出结果，推导输入的数值，属于基础题.5.在递增等比数列中，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将已知条件转化为的形式，解方程组求得的值，从而求得任意一项的值.【详解】由于数列为等比数列，故，由于数列是递增的数列，故解得，故，故选D.【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查一元二次方程方程的解法，属于基础题.6.已知直线，，若，则之间的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行，求得的值，再利用两平行直线间的距离公式，求得两直线的距离.【详解】由于两条直线平行，属于，解得，当时，两直线方程都是故两直线重合，不符合题意.当时，，，故两平行直线的距离为.故选A.【点睛】本小题主要考查两条直线平行的条件，考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题.7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将已知条件利用两角和的正弦公式展开后，两边平方得到，化简后可得到所求的三角函数值.【详解】依题意，两边平方得，解得.【点睛】本小题主要考查两角和的正弦公式，考查同角三角函数的基本关系式，以及二倍角公式，属于基础题.8.如图（1）所示的是三棱台，其三视图如图（2）所示（其中正视图是直角三角形，侧视图和俯视图为直角梯形），则该三棱台的表面积为（）A. B. 52 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据正视图计算两个直角三角形的面积，根据侧视图和俯视图计算左侧和底部两个梯形的面积，然后解直角三角形求得几何体右侧梯形的上底、下底和高，并求得其面积.个面面积相加得到棱台的表面积.【详解】两个直角三角形的面积之和为.左侧和底部两个梯形是全等的，面积之和为.右侧梯形上底为，下底为，腰长为，为等腰梯形，故高为，故面积为.故表面积为，故选B. 【点睛】本小题主要考查三视图和直观图的对应，考查几何体表面积的计算，主要是梯形和直角三角形面积的计算.属于基础题.9.在中，三个内角的对边分别为，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理将已知条件中的边转化为角的形式，再利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式展开化简，由此求得的大小.【详解】由正弦定理得，即，即，化简得，故，故.所以选D.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查三角形内角和定理以及两角和的正弦公式，属于基础题.10.已知曲线，，要想由得到，下面结论正确的是（）A. 把上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位B. 把上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位C. 把上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位D. 把上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位【答案】D【解析】【分析】先将转化为正弦函数的形式，然后利用三角函数图像变换的知识进行图像变换，得出正确的选项.【详解】依题意，横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）得到，然后再向右平移个单位，得到.故选D.【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查三角函数图像变换的知识，属于基础题.11.设为负实数且，则下列说法正确的是（）A. B. C. D. 以上都不对【答案】C【解析】【分析】令，指数式化为对数式，用来表示，然后利用换底公式比较和的大小，由此得出正确选项.【详解】令，则，.由于为负实数，故，所以.由于，所以，所以，所以，两边乘以得，即.故选C.【点睛】本小题主要考查指数式化为对数值，考查利用换底公式以及对数函数的单调性比较大小.属于中档题.12.设是定义在上的偶函数的导函数，且，当时，不等式恒成立，若，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，根据函数的奇偶性求得的奇偶性，再根据函数的导数确定单调性，由此比较三个数的大小.【详解】构造函数，由于是偶函数，故是奇函数.由于，故函数在上递增.由于，故当时，，当时，.所以，，，根据单调性有.故，即，故选D.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查构造函数法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图所示，在矩形中，，沿对角线将其折成直二面角，连结，则该三棱锥的体积为__________．【答案】【解析】【分析】利用等面积法求得直角三角形的边上的高，也即三棱锥的高，由此计算出三棱锥的体积. 【详解】依题意，，设直角三角形的边上的高为，根据等面积有，解得，故三棱锥的体积为.【点睛】本小题主要考查折叠问题，考查三棱锥体积的求法，考查等面积法求平面图形的高，属于基础图.14.设满足约束条件，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】画出约束条件对应的可行域，通过向上平移基准直线到可行域边界位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，当直线平移到和圆弧相切时，取得最小值，此时直线方程为，由点到直线的距离公式得，（取负值），即的最小值为.【点睛】本小题主要考查线性规划的知识，考查线性型目标函数的最值的求法，属于基础题.题目所给的约束条件中，表示的是圆心为，半径为的圆的圆上和圆内的点构成的区域.对于目标函数，由于，当直线截距最大时，取得最小值，这个在解题过程中要特别注意.15.已知扇形的圆心角为，半径为2，是其弧上一点，若，则的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】以为基底，表示，这是一个正交的基底，故，再由基本不等式求得的最大值.【详解】以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，画出图像如下图所示.由于相互垂直，以为基底，这是一个正交的基底，表示，根据图像可知，即，故，当且仅当时，等号成立.故的最大值为.【点睛】本小题考查平面向量的基本定理，考查正交基底的应用，考查利用基本不等式求乘积的最大值.平面内不共线的两个向量可以作为基底表示其它任何的向量，当这两个不共线的向量相互垂直时，为正交基.基本不等式不但要记得这个基本的形式，还要注意它的变形.16.已知定义在的两个函数和（是自然对数的底），若在的解集内有且只有两个整数，则实数的范围是__________．【答案】【解析】【分析】化简不等式，变为，即左边函数在右边函数图像上方只有两个横坐标为整数的点.利用导数画出的图像，结合图像列出不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】化简不等式，得，构造函数和，需要满足图像在图像上方的点的横坐标有且只有两个整数.，故函数在上递减，在上递增，且当时，函数值小于零.当时，在上递增，画出图像如下图所示，由图可知图像在图像上方的点不止两个整数.故不符合题意.当时，显然不符合题意.当时，画出图像如下图所示，由图可知，即，解得.即的取值范围是.【点睛】本小题主要考查利用数形结合的数学思想方法解不等式，考查了对数函数的图像与性质，考查了利用导数研究函数图像与性质.对于题目给定的，转为两个函数的图像来研究，这是化归与转化的数学思想方法.导数在本题中是一个工具的作用，用于画图函数的图像.属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，三内角的对边分别为，已知向量，，函数且.（1）求角的值；（2）若且成等差数列，求.【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算，以及辅助角公式，化简的表达式，利用求得的大小.（2）利用等差数列的性质、余弦定理，以及向量模的运算，列方程，解方程可求得的值.【详解】（1）整理得：，∵，∴，∵，∴；（2）由成等差数列，得：，由余弦定理得：，由，得：，三个等式联立解得：.【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，辅助角公式化简求值，考查等差中项的性质，考查余弦定理解三角形，还考查了向量模的运算.属于中档题.18.若数列的前项和，且，等比数列的前项和，且.（1）求和的通项；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；(2)【解析】【分析】（1）利用，求得数列的通项公式.同理也求得的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得前项和.【详解】（1）由，得：，∵符合公式，同理：由，推得：，∵是等比数列，∴（2）设，是其前项和，∵∴两式相减得：∴另解：∵，∴【点睛】本小题主要考查已知求得方法，考查错位相减求和法. 已知求得方法是利用来求数列的通项公式.属于中档题.19.已知两个定点，，动点到点的距离是它到点距离的2倍.（1）求点的轨迹；（2）若过点作轨迹的切线，求此切线的方程.【答案】（1）见解析；（2）或【解析】【分析】（1）利用两点间的距离公式列方程，化简后可求得轨迹的方程.（2）由于轨迹是圆，故设切线方程为点斜式，然后利用圆心到直线的距离等于半径列方程，求得切线的斜率.验证斜率不存在时直线也满足题意，由此求得题目所求的切线方程，有两条.【详解】（1）设动点，则，坐标代入得：，化简得：所以动点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆；（2）设是圆的切线，则有：，当不存在时，恰好与圆切于点，综合得：切线方程为：或.【点睛】本小题主要考查利用直接法求动点的轨迹方程，考查圆的切线方程的求法，属于中档题.直接法求动点的轨迹方程，首先设出动点的坐标为，然后代入题目所给的已知条件中，如本题中的长度关系式，然后化简即可得到所求点的轨迹方程，要注意验证特殊位置是否满足.20.已知函数（为常数，）.（1）求函数的单调递增区间；（2）若函数在上单调递减，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）对函数求导后，对分成三类，讨论函数的单调递增区间.（2）根据题目所给区间求得的范围，根据导数求得函数的减区间，题目所给区间是这个区间的子集，由此求得的取值范围.【详解】（1）∵，所以，当时，，递增区间为；当时，或，∴递增区间为和；当时，或，∴递增区间为和；（2）∵，∴，当时，，即的递减区间为，∴.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调递增区间，考查利用导数研究函数在给定区间上递减求参数的问题.导数在研究函数中，主要是一个工具的作用，在导数为正数的区间，函数是单调递增的，在导数为负数的区间，函数是单调递减的.本小题属于中档题.21.一幅标准的三角板如图（1）中，为直角，，为直角，，且，把与拼齐使两块三角板不共面，连结如图（2）.（1）若是的中点，求证：；（2）在《九章算术》中，称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”，若图（2）中，三棱锥的体积为，则图（2）是否为鳖臑？说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）取的中点，连接，通过证明直线平面，证得直线.（2）根据的长度，求得的长度，求得三角形的面积，利用体积公式后求得三棱锥的高为，由此证得平面，进而证得四个三角形都是直角三角形.【详解】（1）证明：设中点为，连结，∵，，∴，∵，，，∴∵，∴平面，故；（2）此时三棱锥时鳖臑∵，又三棱锥的体积高，所以平面，那么，在三棱锥中，显然是直角，∵，，平面也是直角那么，该三棱锥的四个面都是直角三角形，所以它是鳖臑.【点睛】本小题主要考查空间两条直线垂直的证明，考查新定义概念的理解和三棱锥的体积公式，以及线面垂直的证明，属于中档题.22.已知函数.（1）当时，求在处的切线方程；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）当时，求得切点和斜率，由此求出切线方程.（2）求出函数的导数后，对分成三类，讨论函数的单调区间以及最值，由此求得的取值范围.【详解】（1），∵，∴所求切线方程为，即所求切线方程是；（2）若，∵单调递减，∵在上，，不合题意；若，由，∵单调递增，由于，那么，时，，则，那么在上，，单调递减，∵，∴在上，，不合题意；若，单调递增，单调递增，∵，∴，，符合题意.综合上述得：.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数图像的切线方程，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于难题.。