吉林省吉林市2019届高三第一次摸底考试数学(理)试题Word版含解析

2019-2020学年吉林省吉林一中高三(上)第一次调研数学试卷(理科)试题及答案(解析版)

2019-2020学年吉林省吉林一中高三（上）第一次调研数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1．设全集U R =，集合2{|12}A x og x =…，{|(3)(1)0}B x x x =-+…，则()(U B A =ð )A ．(-∞，1]-B ．(-∞，1](0,3)- C ．[0，3)D ．(0,3)2︒︒的值为( )A B ．12C ．D ．12-3．已知3a e =，33log 5log 2b =-，2c =a 、b 、c 的大小关系为( ) A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>4．已知R α∈，2sin cos αα-=，则tan(2)(4πα-= ) A ．43B ．7-C ．34-D ．175．要得到函数3sin 2y x =的图象，可将函数3cos(2)4y x π=-的图象( )A ．沿x 轴向左平移8πB ．沿x 轴向右平移8πC ．沿x 轴向左平移4πD ．沿x 轴向右平移4π6．已知函数()tan()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+≠<，点(,0)3π和5(,0)6π是其相邻的两个对称中心，且在区间2(,)33ππ内单调递减，则(ϕ= )A ．3πB ．6πC ．3π-D ．6π-7．若1x 是方程4x xe =的解，2x 是方程4xlnx =的解，则12x x 等于( ) A ．4B ．2C ．eD ．18．已知函数2()12sin ()(0)6f x x πωω=-+>在区间[,]62ππ内单调递减，则ω的最大值是( )A ．12B ．35C ．23D ．349．在ABC ∆中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，则sin (A = )A ．310B C D10．已知方程2mx e x =在(0，8]上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为( ) A ．12(,)84lnB ．12[,)164lnC ．322[,)4ln e D ．122[,)4n e11．已知函数2()23f x x alnx =++，若1x ∀，2[4x ∈，12)()x x +∞≠，[2a ∃∈，3]，2112()()2f x f x m x x -<-，则m 的取值范围是( )A ．[2-，)+∞B ．5[,)2-+∞C ．9(,)2-+∞D ．19[,)4-+∞ 12．若函数11()()2x x f x ln e e --=+-与()sin 2xg x π=的图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1(mi i x ==∑ )A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（每题5分，共20分） 13+的值等于 14．已经函数2()(2)sin(1)3f x x x x x =+++-在[4-，2]上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=15．当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =+取得最小值，则sin()3πθ+= ．16．关于函数2()f x lnx x=+，下列说法正确的是（填上所有正确命题序号）（1）2x =是()f x 的极大值点；（2）函数()y f x x =-有且只有1个零点；（3）存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立；（4）对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若12()()f x f x =，则124x x +> 三、解答题（共70分）17．已知函数()2|1|||()f x x x a a R =+--∈．（Ⅰ）当2a =时，求不等式()2f x x +…的解集；（Ⅱ）设函数()()3||g x f x x a =+-，当1a =时，函数()g x 的最小值为t ，且21(0,0)2t m n m n+=>>，求m n +的最小值． 18．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos (2)cos a B c b A =-．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4a =，BC 边上的中线AM =，求ABC ∆的面积．19．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为222((1)(0)x y r r -+-=>，以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，若直线l与曲线C 相切．（Ⅰ）求实数r 的值；（Ⅱ）在圆C 上取两点M ，N ，使得6MON π∠=，点M ，N 与直角坐标原点O 构成OMN ∆，求OMN ∆面积的最大值．20．将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()f x 的图象．（Ⅰ）写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若对任意[,]612x ππ∈-，2()()10f x mf x --…恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）求实数a 和正整数n ，使得()()F x f x a =-在[0，]n π上恰有2019个零点． 21．已知函数(),()lnx af x a R x+=∈，2()2x g x e =-．（1）求()f x 的单调区间；（2）若()()f x g x …在(0,)+∞上成立，求a 的取值范围． 22．已知函数()1()f x xlnx ax a R =-+∈．（1）讨论()f x 在(1,)+∞上的零点个数；（2）当1a >时，若存在(1,)x ∈+∞，使()(1)(3)f x e a <--，求实数a 的取值范围．(e 为自然对数的底数，其值为2.71828)⋯⋯2019-2020学年吉林省吉林一中高三（上）第一次调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．设全集U R =，集合2{|12}A x og x =…，{|(3)(1)0}B x x x =-+…，则()(U B A =ð )A ．(-∞，1]-B ．(-∞，1](0,3)- C ．[0，3)D ．(0,3)【解答】解：集合2{|12}(0A x og x ==…，4]， {|(3)(1)0}(B x x x =-+=-∞…，1][3-，)+∞， (1,3)U B ∴=-ð，()(0U B A ∴=ð，3)，故选：D ．2︒︒的值为( )A B ．12C ．D ．12-【解答】解：cos 45cos15sin 45sin(18015)cos 45cos15sin 45sin15︒︒=︒︒-︒︒+︒=︒︒+︒︒cos(4515)cos30=︒-︒=︒=，故选：A ．3．已知3a e =，33log 5log 2b =-，2c =a 、b 、c 的大小关系为( ) A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>【解答】解：335,,32a log e b log c ln ===，333531,312log log e log ln lne <<=>=， c a b ∴>>．故选：C ．4．已知R α∈，2sin cos αα-=，则tan(2)(4πα-= )A ．43B ．7-C ．34-D ．17【解答】解：已知等式两边平方得2254sin 4sin cos cos 2αααα-+=，即22233sin 4sin cos (sin cos )2ααααα--=+，即23tan 8tan 30αα--=，解得133tan tan αα==-或，所以3tan 24α=-，从而tan(2)74πα-=-．故选：B ．5．要得到函数3sin 2y x =的图象，可将函数3cos(2)4y x π=-的图象( )A ．沿x 轴向左平移8πB ．沿x 轴向右平移8πC ．沿x 轴向左平移4πD ．沿x 轴向右平移4π【解答】解：因为函数3cos(2)3sin(2)44y x x ππ=-=+，所以可将函数3cos(2)4y x π=-的图象，沿x 轴向右平移8π，得到3sin[2()]3sin 284y x x ππ=-+=，得到函数3sin 2y x =的图象，故选：B ．6．已知函数()tan()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+≠<，点(,0)3π和5(,0)6π是其相邻的两个对称中心，且在区间2(,)33ππ内单调递减，则(ϕ= )A ．3πB ．6πC ．3π-D ．6π-【解答】解：根据题意可得5,0,036ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和是其相邻的两个对称中心得52632T πππ=-=，T π∴=；又因为在区间2(,)33ππ内单调递减，1ω∴=-；则()tan()f x x ϕ=-+；当3x π=时，()03f π=，又||23ππϕϕ<⇒=．故选：A ．7．若1x 是方程4x xe =的解，2x 是方程4xlnx =的解，则12x x 等于( ) A ．4B ．2C ．eD ．1【解答】解：由于1x 和2x 是函数x y e =和函数y lnx =与函数4y x=的图象的公共点A 和B 的横坐标，而114(,)A x x ，224(,)B x x 两点关于y x =对称，可得114,x x ，因此124x x =，故选：A ．8．已知函数2()12sin ()(0)6f x x πωω=-+>在区间[,]62ππ内单调递减，则ω的最大值是()A ．12 B ．35C ．23D ．34【解答】解：()cos(2)3f x x πω=+，由2223k x k ππωππ++剟，k Z ∈，得63k k x ππππωωωω-+剟，即函数的单调递减区间为[6k ππωω-，]3k ππωω+，k Z ∈，若()f x 在区间[,]62ππ内单调递减，则满足6632k k πππωωπππωω⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩……得61223k k ωω-⎧⎪⎨+⎪⎩……，同时2263T πππ-=…，则223ππω…，则3ω…当0k =时，203ω<…，当1k =时，不等式无解，故ω的最大值为23，故选：C ． 9．在ABC ∆中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，则sin (A = )A ．310B C D 【解答】解：在ABC ∆中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，AB ∴=，由余弦定理得：AC ===，故111125sin sin 2322BC BC AB AC A BC BC A ==，sin A ∴=，故选：D ．10．已知方程2mx e x =在(0，8]上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为( ) A ．12(,)84lnB ．12[,)164lnC ．322[,)4ln e D ．122[,)4n e【解答】解：当0x >时，由2mx e x =可得2()2mx ln x lnx ==，故2lnxm x=．设2()lnx f x x =，(0x ∈，8]，则22(1)()lnx f x x -'=， ∴当0x e <<时，()0f x '>，当8e x <…时，()0f x '<，()f x ∴在(0,)e 上单调递增，在[e ，8]上单调递减， ()f x ∴的最大值为f （e ）2e=，又f （8）324ln =，当01x <<时，()0f x <，当1x >时，()0f x >，作出()y f x =的大致函数图象如图所示：方程2mx e x =在(0，8]上有两个不等的实数根，∴直线y m =与()y f x =在(0，8]上的函数图象有两个交点， ∴3224ln m e<…．故选：C ．11．已知函数2()23f x x alnx =++，若1x ∀，2[4x ∈，12)()x x +∞≠，[2a ∃∈，3]，2112()()2f x f x m x x -<-，则m 的取值范围是( )A ．[2-，)+∞B ．5[,)2-+∞C ．9(,)2-+∞D ．19[,)4-+∞【解答】解：设12x x >，由2112()()2f x f x m x x -<-，得1122()2()2f x mx f x mx +>+，记()()2g x f x mx =+，则()g x 在[0，)+∞上单调递增，故()0g x '…在[4，)+∞上恒成立，即2220a x m x ++…在[4，)+∞上恒成立，整理得am x x-+…在[4，)+∞上恒成立， [2a ∈，3]，∴函数a y x x =+在[4，)+∞上单调递增，故有44am -+…， [2a ∃∈，3]，∴19(4)44max a m -+=…，即194m -…．故选：D ．12．若函数11()()2x x f x ln e e --=+-与()sin 2xg x π=的图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1(mi i x ==∑ )A ．2B ．4C ．6D ．8【解答】解：函数11()()2x x f x ln e e --=+-关于直线1x =对称（满足()(2))f x f x =-， ()sin2xg x π=也关于直线1x =对称，当1x >时，()f x 单调递增，f （1）22ln =-， f （4）33()21ln e e -=+->，如图，两个函数图象只有两个交点∴12mi i x ==∑，故选：A ．二、填空题（每题5分，共20分） 13+的值等于-【解答】解：原题==-======-14．已经函数2()(2)sin(1)3f x x x x x =+++-在[4-，2]上的最大值为M ，最小值为m ，则M m += 8-【解答】解：设1x t +=，[4x ∈-，2]， [3t ∴∈-，3]，那么1x t =-函数()f x 转化为2()(1)sin 4g t t t t =-+- 令2()(1)sin h t t t t =-+，可得()()h t h t -=-是奇函数， ()()0min max h t h t ∴+=，最大值为()()4max max M g t h t ==-，最小值为()()4min min m g t h t ==-，则8M m +=-，故答案为：8-．15．当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =+取得最小值，则sin()3πθ+=【解答】解：函数()2sin cos )f x x x x α=+=+（其中cosα=，sin α=，当x θ=)θα+=sin()1θα+=-，所以cos()0θα+=，可令2πθα+=-，所以2πθα=--，故sin()sin()sin()sincos cossin 36666πππππθαααα+=--=-+=--==．16．关于函数2()f x lnx x=+，下列说法正确的是（2）（4）（填上所有正确命题序号）（1）2x =是()f x 的极大值点；（2）函数()y f x x =-有且只有1个零点；（3）存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立；（4）对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若12()()f x f x =，则124x x +> 【解答】解：（1）函数的的定义域为(0,)+∞，函数的导数22212()x f x x x x-'=-+=，(0,2)∴上，()0f x '<，函数单调递减，在(2,)+∞上，()0f x '>，函数单调递增， 2x ∴=是()f x 的极小值点，即（1）错误；（2）2()y f x x lnx x x=-=+-，22221210x x y x x x -+-∴'=-+-=<恒成立，函数在(0,)+∞上单调递减，1x =时，1y =；x e =时，210y e e =+-<，∴函数()y f x x =-有且只有1个零点，即（2）正确；（3）若()f x kx >，可得22lnx k x x <+，令22()lnx g x x x =+，则34()x xlnxg x x -+-'=，令()4h x x xlnx =-+-，则()h x lnx '=-，∴在(0,1)x ∈上，函数单调递增，(1,)x ∈+∞上函数单调递减，()h x h ∴…（1）0<，()0g x ∴'<， 22()lnxg x x x∴=+在(0,)+∞上函数单调递减，函数无最小值， ∴不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，即（3）不正确；（4）令(0,2)t ∈，则2(0,2)t -∈，22t +>，令22242()(2)(2)(2)(2)2242t tg t f t f t ln t ln t lnt t t t+=+--=++---=++---，则2222222416248()0(4)2(2)(4)t t t g t t t t t ---'=+=-<-+--，()g t ∴在(0,2)上单调递减，则()(0)0g t g <=，即(2)(2)f t f t +<-，令122x t =+>，由12()()(2)f x f x f t =<-，得22x t >-，则12224x x t t +>-++=，当14x …时，124x x +>显然成立，∴对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若12()()f x f x =，则124x x +>，即（4）正确．故答案为：（2）（4），三、解答题（共70分）17．已知函数()2|1|||()f x x x a a R =+--∈．（Ⅰ）当2a =时，求不等式()2f x x +…的解集；（Ⅱ）设函数()()3||g x f x x a =+-，当1a =时，函数()g x 的最小值为t ，且21(0,0)2t m n m n+=>>，求m n +的最小值．【解答】解：（1）当2a =时，4,1()2|1||2|3,124,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=+--=-⎨⎪+>⎩剟；当1x <-时，由42x x --+…解得3x -…，31x ∴-<-…；当12x -剟时，由32x x +…解得1x …，11x ∴-剟；当2x >时，由42x x ++…可得该方程无解；综上则原不等式的解集为[3-，1]．（2）当1a =时，()2|1|2|1|2|11|4g x x x x x =++-++-=…，当且仅当(1)(1)0x x +-…时，即11x -剟时等号成立， ∴函数()g x 的最小值4t =，∴2142m n+=， ∴11559()()28288888n m m n m n m n m n m n +=++=+++=…，当且仅当1131284,3828m m n n m n m n ⎧⎧+==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩即时等号成立， m n ∴+的最小值为98．18．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos (2)cos a B c b A =-．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4a =，BC 边上的中线AM =，求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）由cos (2)cos a B c b A=-得sin cos (2sin sin )cos 2sin cos sin cos A B C B A C A B A =-=-，即sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，即sin()2sin cos A B C A +=，即sin 2sin cos C C A =，在三角形中sin 0A≠，1cos 2A ∴=，则3A π=．（2）M 是BC 的中点，2BM CM ∴==，由余弦定理得2222228412b θθθ=+-⨯⨯=+-=-， 222222)8412c πθθθ=+-⨯⨯-=++=+，两式相加得2224b c +=，又2222212cos 2242ab c bc Ab c bc bc =+-=+-⨯=-，即1624bc =-，则8bc =，则三角形的面积11sin 822S bc A ==⨯=．19．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为222((1)(0)x y r r -+-=>，以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，若直线l与曲线C 相切．（Ⅰ）求实数r 的值；（Ⅱ）在圆C 上取两点M ，N ，使得6MON π∠=，点M ，N 与直角坐标原点O 构成OMN ∆，求OMN ∆面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，转换为直角坐标方程为20y -+=，若直线l 与曲线C 相切，则圆心20y -+=的距离3312d r -+==，解得2r =，（Ⅱ）由（Ⅰ）得圆的方程为22((1)4x y -+-=．转换为极坐标方程为4sin()3πρθ=+．设1(M ρ，)θ，2(,)6N πρθ+，所以121||||sin 4sin()sin()2sin(2)26323MON S ππππρρθθθ∆==++=+，当12πθ=时，2MON S ∆+…即最大值为2+．20．将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()f x 的图象．（Ⅰ）写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若对任意[,]612x ππ∈-，2()()10f x mf x --…恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）求实数a 和正整数n ，使得()()F x f x a =-在[0，]n π上恰有2019个零点．【解答】解：（Ⅰ）将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），可得sin 2y x =的图象；再将所得的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()sin 2()sin(2)63f x x x ππ=+=+的图象，所以函数()f x 的解析式为()sin(2)3f x x π=+；（Ⅱ）对任意的[6x π∈-，]12π，则2[03x π+∈，]2π，所以()sin(2)[03f x x π=+∈，1]，此时2()()10f x mf x --…恒成立；令()[0t f x =∈，1]，则2()10g t t mt =--…恒成立，所以有(0)10g =-…，且g （1）0m =-…，求得m 的取值范围是0m …；（3）因为()()F x f x a =-在[0，]n π上恰有2019个零点，所以()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上恰有2019个交点；在[0，]π上，2[33x ππ+∈，7]3π； ①当1a >，或1a <-时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上无交点． ②当1a =，或1a =-时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]π仅有一个交点，此时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上恰有2019个交点，则2019n =；③当1a -<<1a <<时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]π上恰有2个交点， ()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上有偶数个交点，不会有2019个交点；④当a =时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]π上恰有3个交点，此时，1009n =，才能使()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上有2019个交点；综上可得，当1a =，或1a =-时，2019n =；当a =1009n =． 21．已知函数(),()lnx af x a R x+=∈，2()2x g x e =-．（1）求()f x 的单调区间；（2）若()()f x g x …在(0,)+∞上成立，求a 的取值范围．【解答】解：（1）21()lnx af x x --'=，当10a x e -<<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1a x e -…时，()0f x '…，()f x 单调递减，故()f x 单调递增区间为1(0,)a e -，单调递减区间为1[a e -，)+∞．（2）法一：由()()f x g x …得22xlnx a e x+-…，即2(2)x a x e lnx --… 令2()(2)x h x x e lnx =--，22121()(21)(21)()x x x h x x e x e x x+'=+-=+-， 21()(0)x F x e x x =->，221()20x F x e x '=+>，()F x 在(0,)+∞单调递增，又1()404F =-<，1()202F e =->，所以()F x 有唯一的零点011(,)42x ∈，且当0(0,)x x ∈时，()0F x <，即()0h x '<，()h x 单调递减，当0(x x ∈，)+∞时，()0F x >，即()0h x '>，()h x 单调递增，所以02000()()(2)x min h x h x x e lnx ==--，又因为0()0F x =所以000002011()(2)()1221x h x x ln x x x e=--=-+=，所以1a …，a 的取值范围是(-∞，1]．法二：由()()f x g x …得22xlnx a e x+-…，即222(2)x lnx x a xe x lnx e x lnx +--=-+…，令()2x x lnx ϕ=+，因为12()10e eϕ=-<，ϕ（1）20=>，所以()x ϕ存在零点1x ；令()x G x e x =-，则()1x G x e '=-，当(,0)x ∈-∞时，()0G x '<，()G x 单调递减，当(0,)x ∈+∞时，()0G x '>，()G x 单调递增．所以()(0)1min G x G ==，所以112211(2)(2)1lnx x lnx x e x lnx e x lnx ++-+-+=…，所以a 的取值范围是(-∞，1]．22．已知函数()1()f x xlnx ax a R =-+∈．（1）讨论()f x 在(1,)+∞上的零点个数；（2）当1a >时，若存在(1,)x ∈+∞，使()(1)(3)f x e a <--，求实数a 的取值范围．(e 为自然对数的底数，其值为2.71828)⋯⋯【解答】解：（1）根据题意，函数()1f x xlnx ax =-+，其定义域为(1,)+∞，则1()10a f x lnx a x e -'=+-=⇒= 分2种情况讨论：①当1a …时，()0f x '>恒成立，此时函数()f x 在(1,)+∞上是增函数；又由f （1）10a =-…，故而()f x f >（1）0…，()f x 在(1,)+∞上无零点； ②当1a >时，1()10a f x lnx a x e -'=+->⇒>；1()01a f x x e -'<⇒<<，则()f x 在1(a e -，)+∞上是增函数；在1(1,)a e -上是减函数；又由f （1）10a =-<；()10a f e =>，且()f x 连续不断，从而在区间(1,)a e 上，()f x 存在唯一零点，综上所述，当1a …时，()f x 在(1,)+∞上无零点；当1a >时，()f x 在(1,)+∞存在一个零点．（2）根据题意，当1a >时，由（1）得11()()1a a min f x f e e --==-，故应有11(1)(3)a e e a --<--成立，即1(1)(3)10a e e a -+--->不等式成立，构造函数1()(1)(3)1x h x e e x -=+---，求导得1()10x h x e e -'=+->在(1,)x ∈+∞上恒成立，故1()(1)(3)1x h x e e x -=+---在(1,)x ∈+∞上单调递增，注意到h （2）0=，所以()02h x x >⇒>．故实数a 的取值范围为(2,)+∞．。

吉林省高中2019届高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

高三数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】由题意，根据复数的乘法运算，化简、运算，即可求解。

【详解】由题意，根据复数的运算，故选A 。

【点睛】本题考查复数的四则运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查运算求解能力. 2.已知集合，，则（） A. B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合，利用一次不等式的解法化简集合，由并集的定义可得结果.【详解】因为集合，，所以，故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合. 3. （）A. B. C.D.【答案】C 【解析】【分析】直接利用二倍角的余弦公式结合诱导公式与特殊角的三角函数求解即可.【详解】,故选C.【点睛】本题主要考查诱导公式、特殊角的三角函数以及二倍角的余弦公式，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题.4.双曲线的左焦点为，且的离心率为，则的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的几何性质，以及，求得的值，即可得到答案。

【详解】由题意，可得，又由，∴，又，故的方程为，故选C。

【点睛】本题考查双曲线的方程及其几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用是解答的关键，着重考查运算求解能力.5.曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】求出导函数，令可得切线斜率，由点斜式可得切线方程，求得切线在坐标轴上的截距，利用三角形面积公式可得结果.【详解】因为，所以，所以在点处的切线斜率，切线的方程为，即，在，轴上的截距分别为和-5，所以与坐标轴围成的三角形面积,故选A.【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.6.设满足约束条件，则的最小值为（）A. 3B. -3C. -6D. 6【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出表示的可行域，如图，由可得，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最小，取得最小值，故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊的函数值，利用排除法，即可求解，得到答案。

吉林省吉林市2019届高三第一次摸底考试数学理试题

吉林市2019届高三第一次摸底考试数学理试题一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1．计算：=（）A．i+1 B．i﹣1 C．﹣i+1 D．﹣i﹣12．已知A⊆B，A⊆C，B={1，2，3，5}，C={0，2，4，8}，则A可以是（）A．{1，2} B．{2，4} C．{2} D．{4}3．已知条件p：x2﹣2ax+a2﹣1＞0，条件q：x＞2，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣3 D．a≤﹣34．某程序图如图所示，该程序运行后输出的结果是（）A．3 B．4C．5D．65．已知某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（）6．将函数f（x）=2sin（+）的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）A．g（x）=2sin（+）﹣1 B．g（x）=2sin（﹣）+1C．g（x）=2sin（﹣）+1 D．g（x）=2sin（﹣）﹣17．已知等差数列{a n}的公差为2，若前17项和为S17=34，则a12的值为（）A．8 B． 6 C． 4 D． 28．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若b2﹣c2=ac，sinA=2sinC，则B=（）A．30°B．60°C．120°D．150°9．在（x﹣）8的二项展开式中，常数项为（）A．1024 B．1324 C．1792 D．﹣108010．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．2B．2C．4D．411．△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上的一点（包括端点），则•的取值范围是（）A．[1，2]B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣5，2]12．对函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为一三角形的三边长，则称f（x）为“三角型函数”，已知函数f（x）=（m＞0）是“三角型函数”，则实数m的取值范围是（）A．[1，4]B．[0，2]C．[2，4]D．[1，2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x，y满足不等式组，则目标函数z=2x+y的最大值为_________．14．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β其中正确命题的序号是_________．15．若动直线x=a与函数f（x）=sinxcosx和g（x）=cos2x的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为_________．16．若数列{a n}满足a1=2，a n+1=（n∈N*），则该数列的前2019项的乘积a1•a2•a3• (2019)_________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，3bcosA=ccosA+acosC．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为2，a=3，求b，c的长．18．（12分）已知数列{a n}是公差大于零的等差数列，数列{b n}为等比数列，且a1=1，b1=2，b2﹣a2=1，a3+b3=13（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式（Ⅱ）设c n=a n b n，求数列{c n}前n项和T n．19．（12分）一企业某次招聘新员工分笔试和面试两部分，人力资源部经理把参加笔试的40名学生的成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100），得到频率分布直方图如图所示（Ⅰ）分别求成绩在第4，5组的人数（Ⅱ）若该经理决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名进入面试，①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲和乙同时进入面试的概率②若经理决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望．20．（12分）一个多面体的直观图（图1）及三视图（图2）如图所示，其中M，N分别是AF、BC 的中点（Ⅰ）求证：MN∥平面CDEF：（Ⅱ）求二面角A﹣CF﹣B的余弦值；21．（12分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，并且经过定点P（，）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）问是否存在直线y=﹣x+m，使直线与椭圆交于A、B两点，满足OA⊥OB，若存在求m值，若不存在说明理由．22．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题：二、填空题：13．6 14. ①③ 15. 1216. - 6 三、解答题：17．解：（Ⅰ）由正弦定理得：B C A A B sin )sin(cos sin 3=+=0sin ≠B1cos 3A ∴=----------------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）由题意得：1sin 2ABC S bc A ∆==6bc = ------------------ 7分由余弦定理得： 222222cos ,9()2,53a b c bc A b c bc bc b c =+-=+--+=联立上述两式,解得：2,3b c ==或3,2b c ==. ---------------------------10分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为(0)d d >，数列{}n b 的公比为q由已知得：22(1)112213q d d q -+=⎧⎨++=⎩，解得：10242d d q q =-=⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩， --------------------3分因为0d >，所以2,2d q ==， 112(1)21,222n nn n a n n b -=+-=-=⨯=即21(*),2(*)nn n a n n N b n N =-∈=∈ ------------------------------------------6分（Ⅱ） 23123252(21)2(1)n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯--------- 23412123252(21)2(2)n n T n +=⨯+⨯+⨯++-⨯-------（2）－（1）得：23112222222(21)2n n n T n +=-⨯-⨯-⨯--⨯+-⨯341131112222(21)22(12)2(21)2126(23)2n n n n n n n n ++-++=-----+-⨯-=--+-⨯-=+-⨯---------------------------------12分 19．（本小题满分12分）解（Ⅰ）第4组学生人数为0.045408⨯⨯= ，第5组人数为0.025404⨯⨯= 所以第4，5组的学生人数分别为8人，4人 -----------------------------------------4分（Ⅱ）①因为第3组学生人数为0.0654012⨯⨯=，所以第3，4，5中抽取的人数分别是3人，2人，1人，则甲，乙同时进入面试的概率为110312122C P C == ---------------------8分②由①知，X 的可能取值为0，1，2所以21124422222666281(0),(1),(2)51515C C C C P X P X P X C C C ========= X 分布列为2812515153EX =⨯+⨯+⨯= --------------------------------------------- 12分20．（本小题满分12分）解（1）证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF,且AB=BC=BF=4,DE=CF=90CBF ∠=︒ ,连结BE, M 在BE 上，连结CEEM=BM,CN=BN, 所以MN ∥,CE CE CDEF ⊂面,所以//MN 平面CDEF ------5分（II ）--------------------------------------9分-------------------------------------------------------12分z（II ）另解：以EA,AB,AD 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系，所以(0,0,0),(0,4,0),(0,4,4),(4,4,0)A B C F - 面CBF 法向量为(0,1,0)n =(0,4,4),(4,0,4)CA CF =--=-- -----------------8分设面ACF 法向量为(,,)m x y z =，(,,)(0,4,4)0440(,,)(4,0,4)0440m CAx y z y z x y z x z m CF⎧⊥--=--=⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨--=--=⊥⎩⎩⎪⎩ 取1z =-，所以1,1,(1,1,1)x y m ===-设二面角A CF B --为θ，3cos ||||m n m n θ===-----------12分 21．（本小题满分12分）解（Ⅰ）由题意：c e a ==且223114a b +=，又222c a b =- 解得：224,1a b ==，即：椭圆E 的方程为2214x y += ------------------5分（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y22222214()40584404x y x m x x mx m y x m⎧+=⎪⇒+--=⇒-+-=⎨⎪=-+⎩ （*）所以21212844,55m m x x x x -+== --------------------------------------------------7分 222212121212844()()()55m y y m x m x m m x x x x m m -=--=-++=-+245m -=-----------------------------------9分由0OA OB OA OB ⊥⇒=得2211221212444(,)(,)0,0,0,55m m x yx y x x y y m --=+=+== ----------11分又方程（*）要有两个不等实根，22(8)45(44)0,m m m ∆=--⨯-><m 的值符合上面条件，所以m = ------------------------------------------12分22．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知1()2(0)f x x x'=+>， (1)213f '=+=，所以斜率3k =，又切点(1,2)，所以切线方程为23(1)y x -=-)，即310x y --=故曲线()y f x =在1x =处切线的切线方程为310x y --=。

吉林省名校2019届高三第一次联合模拟考试数学(理)试题

吉林省名校2019届高三下学期第一次联合模拟考试高三数学考试（理科）第Ⅰ卷一、选择题：1．已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x ∈N ｜lnx ＜x ＜1），则A ∩B ＝ A ．{0，1} B ．{1，2} C ．{0，1，2} D ．{0，1，2，3} 2．设复数z 满足2z ii i-=-，则|z|＝A ．1BC ．3 D3．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为A ．2BC ．3D 4．某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如下表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n ＝A ．12B ．16C ．24D ．325．在△ABC 中，若点D 满足3BD DC =，点E 为AC 的中点，则ED = A ．5163AC AB + B ．1144AB AC + C ．3144AC AB - D ．5163AC AB - 6．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B ＝A ．4B ．13C ．40D ．41 7．将函数f （x ）＝sinx 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数y ＝g （x ）的图象，则函数y ＝f （x ）g （x ）的最大值为A ．24+ B ．24- C ．1 D ．128．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A B C D9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝1，(2sin )cos a B C A ，点D 是边BC 的中点，且AD =△ABC 的面积为A B ．2 C D ．410．函数f （x ）＝xsin2x ＋cosx 的大致图象有可能是A．B．C．D．11．已知四棱锥S—ABCD，SA⊥平面ABCD，AB⊥BC，∠BCD＋∠DAB＝π，SA＝2，BC二面角S—BC—A的大小为π3．若四面体SACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A．B．4πC．8πD．16π12．已知函数f （x ）＝ex －e －x ，若对任意的x ∈（0，＋∞），f （x ）＞mx 恒成立，则m 的取值范围为 A ．（－∞，1） B ．（－∞，1] C ．（－∞，2） D ．（－∞，2]第Ⅱ卷二、填空题：13．二项式51)x的展开式中x －2的系数是________．14．设x ，y 满足约束条件240,10,210,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪++⎩≤≤≥，则23y z x +=+的最大值是________．15．已知sin10°－mcos10°＝2cos140°，则m ＝________．16．已知A ，B 是抛物线y 2＝2px （p ＞0）上任意不同的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P （x 0，0），则x 0的取值范围是________．（用p 表示）三、解答题：（一）必考题：17．已知数列{a n }为等差数列，a 7－a 2＝10，a 1，a 6，a 21依次成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，数列{b n }的前n 项和为S n ，若225n S =，求n 的值．18．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 是底面ABCD 的中心，E 是线段D 1O 的上一点．（1）若E 为D 1O 的中点，求直线OD 1与平面CDE 所成角的正弦值；（2）能否存在点E 使得平面CDE 上平面CD 1O ，若能，请指出点E 的位置关系，并加以证明；若不能，请说明理由．19．随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活．在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式．某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数y i （单位：人）与时间t i （单位：年）的数据，列表如下：（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请计算相关系数r 并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式()()nniii it t y y t y nt yr ---==∑∑75.47≈．（2）某网购专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．方案一：每满600元可减100元；方案二：金额超过600元可抽奖三次，每次中奖的概率都为12，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．①两位顾客都购买了1050元的产品，求至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠的概率； ②如果你打算购买1000元的产品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．20．顺次连接椭圆2222:1x y C a b+=（a ＞b ＞0形．（1）求椭圆C 的方程；（2）A ，B 是椭圆C 上的两个不同点，若直线OA ，OB 的斜率之积为12-（O 为坐标原点），线段OA 上有一点M 满足||2||3OM OA =，连接BM 并延长椭圆C 于点N ，求||||BM BN 的值． 21．已知函数f （x ）＝x 2－2x ＋2alnx ，若函数f （x ）在定义域上有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2．（1）求实数a 的取值范围；（2）证明：123()()ln 202f x f x +++>．（二）选考题：22．在直角坐标系xOy 中，曲线1(1sin ),:cos x a t C y a t=+⎧⎨=⎩（a ＞0，t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2π:6C θ=（ρ∈R ）．（1）说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（2）若直线C 3的方程为y =，设C 2与C 1的交点为O ，M ，C 3与C 1的交点为O ，N ，若△OMN的面积为a 的值．23．已知函数f （x ）＝|4x －1|－|x ＋2|．（1）解不等式f （x ）＜8；（2）若关于x 的不等式f （x ）＋5|x ＋2|＜a 2－8a 的解集不是空集，求a 的取值范围．高三数学考试参考答案（理科）1．B 2．D 3．A 4．C 5．B 6．C 7．A 8．B 9．D10．A 11．C 12．D 13．－10 14．5 15． 16．（p ，＋∞） 17．解：（1）设数列{a n }的公差为d ，因为a 7－a 2＝10，所以5d ＝10，解得d ＝2．因为a 1，a 6，a 21依次成等比数列，所以26121a a a =，即（a 1＋5×2）2＝a 1（a 1＋20×2），解得a 1＝5．所以a n ＝2n ＋3．（2）由（1）知111(23)(25)n n n b a a n n +==++，所以111()22325n b n n =-++，所以1111111[()()()]2577923255(25)n nS n n n =-+-++-=+++，由25(25)25n n =+，得n ＝10． 18．解：不妨设正方体的棱长为2，以DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则D （0，0，0），D 1（0，0，2），C （0，2，0），O （1，1，0）．（1）因为点E 是D 1O 的中点，所以点E 的坐标为11(,,1)22．所以1(1,1,2)OD =--，11(,,1)22DE =，(0,2,0)DC =．设(,,)p x y z =是平面CDE 的法向量，则0,0,p DE p DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即110,2220.x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，取x ＝2，则z ＝－1，所以平面CDE 的一个法向量为(2,0,1)p =-．所以111cos ,||||(OD p OD p OD p ⋅===．所以直线OD 1与平面CDE所成角的正弦值为15．（2）假设存在点E 使得平面CDE ⊥平面CD 1O ，设1D E EO λ=．显然(1,1,0)OC =-，1(1,1,2)OD =--．设(,,)m x y z =是平面CD 1O 的方向量，则10,0,m OC m OD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0,20,x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩．取x ＝1，则y ＝1，z ＝1，所以平面CD 1O 的一个法向量为(1,1,1)m =．因为1D E EO λ=，所以点E 的坐标为2(,,)111λλλλλ+++．所以2(,,)111DE λλλλλ=+++，(0,2,0)DC =．设(,,)n x y z =是平面CDE 的法向量，则0,0,n DE n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,11120.x y z y λλλλλ⎧++=⎪+++⎨⎪=⎩．取x ＝1，则2z λ=-，所以平面CDE 的一个法向量为(1,0,)2n λ=-．因为平面CDE ⊥平面CD 1O ，所以m n ⊥，即0m n ⋅=，102λ-=，解得λ＝2．所以λ的值为2．即当1||2||D E EO =时，平面CDE ⊥平面CD 1O ． 19．解：（1）由题知3t =，47y =，51852i ii t y==∑==，则()()nniii it t y y t y nt yr ---==∑∑1470.970.75150.94==≈≈>．故y 与t 的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合．（2）①选择方案二比方案一更优惠则需要至少中奖一次，设顾客没有中奖为事件A ，则03311()()28P A C ==，故所求概率为631()()64P P A P A =-=． ②若选择方案一，则需付款1000－100＝900（元），若选择方案二，设付款X 元，则X 可能取值为700，800，900，1000．33311(700)()28P X C ===；223113(800)()228P X C ==⨯=；123113(900)()228P X C ==⨯⨯=；03311(1000)()28P X C ===．所以1331()70080090010008508888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元），因为850＜900，所以选择方案二更划算．20．解：（1）由题可知2ab =a 2＋b 2＝3，解得a =b ＝1．所以椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），||||BM BN λ=．N （x 3，y 3）， ∵23OM OA =，∴1122(,)33M x y ， ∴121222(,)33BM x x y y =--，3232(,)BN x x y y =--．又∵BM BN λ=，∴1212323222(,)(,)33x x y y x x y y λ--=--，即312213x x x λλλ-=+，312213y y y λλλ-=+．∵点N （x 3，y 3）在椭圆C 上，∴21221221()213()123x x y y λλλλλλ-+-++=，即22222121212122224(1)4(1)()()()192232x x x x y y y y λλλλλ--+++++=．（*） ∵A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在椭圆C 上，∴221112x y +=，①222212x y +=，② 又直线OA ，OB 斜率之积为12-，∴121212y y x x =-，即121202x x y y +=，③ 将①②③代入（*）得2224(1)19λλλ-+=，解得1318λ=． 21．（1）解：因为函数f （x ）在定义域（0，＋∞）上有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，所以2'()220af x x x=-+=在（0，＋∞）上有两个根x 1，x 2，且x 1＜x 2，即x 2－x ＋a ＝0在（0，＋∞）上有两个不相等的根x 1，x 2．所以140,0,a a ∆=->⎧⎨>⎩解得104a <<．（2）证明：由题可知x 1，x 2（0＜x 1＜x 2）是方程x 2－x ＋a ＝0的两个不等的实根，所以12121,,x x x x a +=⎧⎨=⎩其中104a <<．故2212111222()()22ln 22ln f x f x x x a x x x a x +=-++-+＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2－2（x 1＋x 2）＋2aln （x 1x 2）＝2alna －2a －1，令g （a ）＝2alna －2a －1，其中104a <<．故g'（a ）＝21na ＜0，所以g （a ）在1(0,)4上单调递减，则13()()ln 242g a g >=--，即 123()()ln 202f x f x +++>．22．解：（1）消去参数t得到C1的普通方程：（x－a）2＋y2＝a2．C1是以（a，0）为圆心，a为半径的圆．将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ带入C1的普通方程，得到C1的极坐标方程ρ＝2acosθ．（2）C3的极坐标方程5π3θ=（ρ∈R），将π6θ=，5π3θ=代入ρ＝2cosθ，解得1ρ，ρ2＝a，则△OMN的面积为21ππsin()2632a⨯⨯+==a＝2．23．解：（1）由题意可得33,21 ()51,2,4133,4x xf x x xx x⎧⎪-+-⎪⎪=---<<⎨⎪⎪-⎪⎩≤≥，当x≤－2时，－3x＋3＜8，得53x>-，无解；当124x-<<时，－5x－1＜8，得95x>-，即9154x-<<；当14x≥时，3x－3＜8，得113x<，即11143x<≤．所以不等式的解集为911 {|}53x x-<<．（2）f（x）＋5|x＋2|＝|4x－1|＋|4x＋8|≥9，则由题可得a2－8a＞9，解得a＜－1或a＞9．。

吉林吉林2019高三上开学摸底考试-数学(理)

吉林吉林2019高三上开学摸底考试-数学（理）数学〔理科〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。

第一卷〔选择题共60分〕【一】选择题：本大题共12题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1、设全集{1,2,3,4,5}U =,集合{1,2}A =,{2,3}B =,那么()UA B ð=A 、{4,5}B 、{2,3}C 、{1}D 、{1,2}2、抛物线24y x =的准线方程为 A. 2x =B. 2x =-C. 1x =D. 1x =-3. 复数i 212i-=+A. iB. i -C.43i 55--D.43i 55-+ 4. 在等差数列{}n a 中，351028a a a ++=，那么此数列的前13项的和等于A. 8B. 13C. 16D. 265. 假设m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，那么以下结论正确的选项是A. 假设m 、n 都平行于平面α，那么m 、n 一定不是相交直线；B. 假设m 、n 都垂直于平面α，那么m 、n 一定是平行直线；C. α、β互相垂直，m 、n 互相垂直，假设m ⊥α，那么n ⊥β；D. m 、n 在平面α内的射影互相垂直，那么m 、n 互相垂直. 6. 如图，该程序运行后输出的结果为 A 、15 B 、21 C 、28 D 、36 7. 曲线3y x =在点(1,1)处的切线方程为 A. 320x y --= B. 2C. 320x y --=D. 230x y --=,"1"x R x ∈>则是“2x >”的必要不充分条件;(3)假设,[0,2]a b ∈，那么不等式2214a b +<成立的概率是16π.其中正确命题的个数是A.0B.1C.2D.39.(12)n x +的展开式中3x 的系数等于2x 的系数的4倍，那么n 等于 A 、7 B 、8 C 、9D 、1010.如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为线段BC 1上的动点，那么以下判断错误的选项是．．．．．． A 、DB 1⊥平面ACD 1 B 、BC 1∥平面ACD 1 C 、BC 1⊥DB 1D 、三棱锥P-ACD 1的体积与P 点位置有关11.函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为奇函数，该函数的部分图象如下图，EFG ∆是边长为2的等边三角形，那么(1)f 的值为 A、2-B、2-CD、12.设函数()f x 的定义域为D ，如果对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得12()()2f x f x C+=成立〔其中C 为常数〕，那么称函数()y f x =在D 上的“算术均值”为C ，那么以下函数在其定义域上的“算术均值”可以为2的函数是A 、2y x =B 、4sin y x =C 、ln y x =D 、2x y =第二卷〔非选择题共90分〕【二】填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分、把答案填在答题卡的相应位置、 13、假设一个几何体的三视图如右，那么这个几何体的表面积为14.f(x)是R 上的偶函数，且在(－∞,0]上是减函数，那么不等式f(x)≤f(3)的解集是 15.向量(1,2),(4,),a x b y =-=且,a b ⊥那么93x y+的最小值为16.当对数函数log (01)ay x a a =>≠且的图象至少经过区域(,)80(,)30x y M x y x y x y R y ⎧⎫-≥⎧⎪⎪⎪=+-≤∈⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≥⎩⎩⎭内的一个点时，实数a 的取值范围是【三】解答题：本大题共6小题，共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、17、〔本小题总分值10分〕设锐角△ABC 的三内角A B C 、、的对边长分别为a 、b 、c ，b 是a 、c 的等比中项，且3sin sin 4A C =. (1)求角B 的大小；(2)假设[0,)x π∈，求函数()sin()sin f x x B x =-+的值域. 18、〔本小题总分值12分〕设{}n a 是一个公差为2的等差数列，124,,a a a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)数列{}nb 满足2n n a b n =，设{}n b 的前n 项和为n S ，求n S .19、〔本小题总分值12分〕一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片。

2019-2020学年吉林省吉林一中高三(上)第一次调研数学试卷(理科)试题及答案(解析版)

2019-2020学年吉林省吉林一中高三（上）第一次调研数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1．设全集U R =，集合2{|12}A x og x =…，{|(3)(1)0}B x x x =-+…，则()(U B A =ð )A ．(-∞，1]-B ．(-∞，1](0,3)- C ．[0，3)D ．(0,3)2︒︒的值为( )A B ．12C ．D ．12-3．已知3a e =，33log 5log 2b =-，2c =a 、b 、c 的大小关系为( ) A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>4．已知R α∈，2sin cos αα-=，则tan(2)(4πα-= ) A ．43B ．7-C ．34-D ．175．要得到函数3sin 2y x =的图象，可将函数3cos(2)4y x π=-的图象( )A ．沿x 轴向左平移8πB ．沿x 轴向右平移8πC ．沿x 轴向左平移4πD ．沿x 轴向右平移4π6．已知函数()tan()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+≠<，点(,0)3π和5(,0)6π是其相邻的两个对称中心，且在区间2(,)33ππ内单调递减，则(ϕ= )A ．3πB ．6πC ．3π-D ．6π-7．若1x 是方程4x xe =的解，2x 是方程4xlnx =的解，则12x x 等于( ) A ．4B ．2C ．eD ．18．已知函数2()12sin ()(0)6f x x πωω=-+>在区间[,]62ππ内单调递减，则ω的最大值是( )A ．12B ．35C ．23D ．349．在ABC ∆中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，则sin (A = )A ．310B C D10．已知方程2mx e x =在(0，8]上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为( ) A ．12(,)84lnB ．12[,)164lnC ．322[,)4ln e D ．122[,)4n e11．已知函数2()23f x x alnx =++，若1x ∀，2[4x ∈，12)()x x +∞≠，[2a ∃∈，3]，2112()()2f x f x m x x -<-，则m 的取值范围是( )A ．[2-，)+∞B ．5[,)2-+∞C ．9(,)2-+∞D ．19[,)4-+∞ 12．若函数11()()2x x f x ln e e --=+-与()sin 2xg x π=的图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1(mi i x ==∑ )A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（每题5分，共20分） 13+的值等于 14．已经函数2()(2)sin(1)3f x x x x x =+++-在[4-，2]上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=15．当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =+取得最小值，则sin()3πθ+= ．16．关于函数2()f x lnx x=+，下列说法正确的是（填上所有正确命题序号）（1）2x =是()f x 的极大值点；（2）函数()y f x x =-有且只有1个零点；（3）存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立；（4）对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若12()()f x f x =，则124x x +> 三、解答题（共70分）17．已知函数()2|1|||()f x x x a a R =+--∈．（Ⅰ）当2a =时，求不等式()2f x x +…的解集；（Ⅱ）设函数()()3||g x f x x a =+-，当1a =时，函数()g x 的最小值为t ，且21(0,0)2t m n m n+=>>，求m n +的最小值． 18．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos (2)cos a B c b A =-．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4a =，BC 边上的中线AM =，求ABC ∆的面积．19．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为222((1)(0)x y r r -+-=>，以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，若直线l与曲线C 相切．（Ⅰ）求实数r 的值；（Ⅱ）在圆C 上取两点M ，N ，使得6MON π∠=，点M ，N 与直角坐标原点O 构成OMN ∆，求OMN ∆面积的最大值．20．将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()f x 的图象．（Ⅰ）写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若对任意[,]612x ππ∈-，2()()10f x mf x --…恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）求实数a 和正整数n ，使得()()F x f x a =-在[0，]n π上恰有2019个零点． 21．已知函数(),()lnx af x a R x+=∈，2()2x g x e =-．（1）求()f x 的单调区间；（2）若()()f x g x …在(0,)+∞上成立，求a 的取值范围． 22．已知函数()1()f x xlnx ax a R =-+∈．（1）讨论()f x 在(1,)+∞上的零点个数；（2）当1a >时，若存在(1,)x ∈+∞，使()(1)(3)f x e a <--，求实数a 的取值范围．(e 为自然对数的底数，其值为2.71828)⋯⋯2019-2020学年吉林省吉林一中高三（上）第一次调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．设全集U R =，集合2{|12}A x og x =…，{|(3)(1)0}B x x x =-+…，则()(U B A =ð )A ．(-∞，1]-B ．(-∞，1](0,3)- C ．[0，3)D ．(0,3)【解答】解：集合2{|12}(0A x og x ==…，4]， {|(3)(1)0}(B x x x =-+=-∞…，1][3-，)+∞， (1,3)U B ∴=-ð，()(0U B A ∴=ð，3)，故选：D ．2︒︒的值为( )A B ．12C ．D ．12-【解答】解：cos 45cos15sin 45sin(18015)cos 45cos15sin 45sin15︒︒=︒︒-︒︒+︒=︒︒+︒︒cos(4515)cos30=︒-︒=︒=，故选：A ．3．已知3a e =，33log 5log 2b =-，2c =a 、b 、c 的大小关系为( ) A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>【解答】解：335,,32a log e b log c ln ===，333531,312log log e log ln lne <<=>=， c a b ∴>>．故选：C ．4．已知R α∈，2sin cos αα-=，则tan(2)(4πα-= )A ．43B ．7-C ．34-D ．17【解答】解：已知等式两边平方得2254sin 4sin cos cos 2αααα-+=，即22233sin 4sin cos (sin cos )2ααααα--=+，即23tan 8tan 30αα--=，解得133tan tan αα==-或，所以3tan 24α=-，从而tan(2)74πα-=-．故选：B ．5．要得到函数3sin 2y x =的图象，可将函数3cos(2)4y x π=-的图象( )A ．沿x 轴向左平移8πB ．沿x 轴向右平移8πC ．沿x 轴向左平移4πD ．沿x 轴向右平移4π【解答】解：因为函数3cos(2)3sin(2)44y x x ππ=-=+，所以可将函数3cos(2)4y x π=-的图象，沿x 轴向右平移8π，得到3sin[2()]3sin 284y x x ππ=-+=，得到函数3sin 2y x =的图象，故选：B ．6．已知函数()tan()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+≠<，点(,0)3π和5(,0)6π是其相邻的两个对称中心，且在区间2(,)33ππ内单调递减，则(ϕ= )A ．3πB ．6πC ．3π-D ．6π-【解答】解：根据题意可得5,0,036ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和是其相邻的两个对称中心得52632T πππ=-=，T π∴=；又因为在区间2(,)33ππ内单调递减，1ω∴=-；则()tan()f x x ϕ=-+；当3x π=时，()03f π=，又||23ππϕϕ<⇒=．故选：A ．7．若1x 是方程4x xe =的解，2x 是方程4xlnx =的解，则12x x 等于( ) A ．4B ．2C ．eD ．1【解答】解：由于1x 和2x 是函数x y e =和函数y lnx =与函数4y x=的图象的公共点A 和B 的横坐标，而114(,)A x x ，224(,)B x x 两点关于y x =对称，可得114,x x ，因此124x x =，故选：A ．8．已知函数2()12sin ()(0)6f x x πωω=-+>在区间[,]62ππ内单调递减，则ω的最大值是()A ．12 B ．35C ．23D ．34【解答】解：()cos(2)3f x x πω=+，由2223k x k ππωππ++剟，k Z ∈，得63k k x ππππωωωω-+剟，即函数的单调递减区间为[6k ππωω-，]3k ππωω+，k Z ∈，若()f x 在区间[,]62ππ内单调递减，则满足6632k k πππωωπππωω⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩……得61223k k ωω-⎧⎪⎨+⎪⎩……，同时2263T πππ-=…，则223ππω…，则3ω…当0k =时，203ω<…，当1k =时，不等式无解，故ω的最大值为23，故选：C ． 9．在ABC ∆中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，则sin (A = )A ．310B C D 【解答】解：在ABC ∆中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，AB ∴=，由余弦定理得：AC ===，故111125sin sin 2322BC BC AB AC A BC BC A ==，sin A ∴=，故选：D ．10．已知方程2mx e x =在(0，8]上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为( ) A ．12(,)84lnB ．12[,)164lnC ．322[,)4ln e D ．122[,)4n e【解答】解：当0x >时，由2mx e x =可得2()2mx ln x lnx ==，故2lnxm x=．设2()lnx f x x =，(0x ∈，8]，则22(1)()lnx f x x -'=， ∴当0x e <<时，()0f x '>，当8e x <…时，()0f x '<，()f x ∴在(0,)e 上单调递增，在[e ，8]上单调递减， ()f x ∴的最大值为f （e ）2e=，又f （8）324ln =，当01x <<时，()0f x <，当1x >时，()0f x >，作出()y f x =的大致函数图象如图所示：方程2mx e x =在(0，8]上有两个不等的实数根，∴直线y m =与()y f x =在(0，8]上的函数图象有两个交点， ∴3224ln m e<…．故选：C ．11．已知函数2()23f x x alnx =++，若1x ∀，2[4x ∈，12)()x x +∞≠，[2a ∃∈，3]，2112()()2f x f x m x x -<-，则m 的取值范围是( )A ．[2-，)+∞B ．5[,)2-+∞C ．9(,)2-+∞D ．19[,)4-+∞【解答】解：设12x x >，由2112()()2f x f x m x x -<-，得1122()2()2f x mx f x mx +>+，记()()2g x f x mx =+，则()g x 在[0，)+∞上单调递增，故()0g x '…在[4，)+∞上恒成立，即2220a x m x ++…在[4，)+∞上恒成立，整理得am x x-+…在[4，)+∞上恒成立， [2a ∈，3]，∴函数a y x x =+在[4，)+∞上单调递增，故有44am -+…， [2a ∃∈，3]，∴19(4)44max a m -+=…，即194m -…．故选：D ．12．若函数11()()2x x f x ln e e --=+-与()sin 2xg x π=的图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1(mi i x ==∑ )A ．2B ．4C ．6D ．8【解答】解：函数11()()2x x f x ln e e --=+-关于直线1x =对称（满足()(2))f x f x =-， ()sin2xg x π=也关于直线1x =对称，当1x >时，()f x 单调递增，f （1）22ln =-， f （4）33()21ln e e -=+->，如图，两个函数图象只有两个交点∴12mi i x ==∑，故选：A ．二、填空题（每题5分，共20分） 13+的值等于-【解答】解：原题==-======-14．已经函数2()(2)sin(1)3f x x x x x =+++-在[4-，2]上的最大值为M ，最小值为m ，则M m += 8-【解答】解：设1x t +=，[4x ∈-，2]， [3t ∴∈-，3]，那么1x t =-函数()f x 转化为2()(1)sin 4g t t t t =-+- 令2()(1)sin h t t t t =-+，可得()()h t h t -=-是奇函数， ()()0min max h t h t ∴+=，最大值为()()4max max M g t h t ==-，最小值为()()4min min m g t h t ==-，则8M m +=-，故答案为：8-．15．当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =+取得最小值，则sin()3πθ+=【解答】解：函数()2sin cos )f x x x x α=+=+（其中cosα=，sin α=，当x θ=)θα+=sin()1θα+=-，所以cos()0θα+=，可令2πθα+=-，所以2πθα=--，故sin()sin()sin()sincos cossin 36666πππππθαααα+=--=-+=--==．16．关于函数2()f x lnx x=+，下列说法正确的是（2）（4）（填上所有正确命题序号）（1）2x =是()f x 的极大值点；（2）函数()y f x x =-有且只有1个零点；（3）存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立；（4）对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若12()()f x f x =，则124x x +> 【解答】解：（1）函数的的定义域为(0,)+∞，函数的导数22212()x f x x x x-'=-+=，(0,2)∴上，()0f x '<，函数单调递减，在(2,)+∞上，()0f x '>，函数单调递增， 2x ∴=是()f x 的极小值点，即（1）错误；（2）2()y f x x lnx x x=-=+-，22221210x x y x x x -+-∴'=-+-=<恒成立，函数在(0,)+∞上单调递减，1x =时，1y =；x e =时，210y e e =+-<，∴函数()y f x x =-有且只有1个零点，即（2）正确；（3）若()f x kx >，可得22lnx k x x <+，令22()lnx g x x x =+，则34()x xlnxg x x -+-'=，令()4h x x xlnx =-+-，则()h x lnx '=-，∴在(0,1)x ∈上，函数单调递增，(1,)x ∈+∞上函数单调递减，()h x h ∴…（1）0<，()0g x ∴'<， 22()lnxg x x x∴=+在(0,)+∞上函数单调递减，函数无最小值， ∴不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，即（3）不正确；（4）令(0,2)t ∈，则2(0,2)t -∈，22t +>，令22242()(2)(2)(2)(2)2242t tg t f t f t ln t ln t lnt t t t+=+--=++---=++---，则2222222416248()0(4)2(2)(4)t t t g t t t t t ---'=+=-<-+--，()g t ∴在(0,2)上单调递减，则()(0)0g t g <=，即(2)(2)f t f t +<-，令122x t =+>，由12()()(2)f x f x f t =<-，得22x t >-，则12224x x t t +>-++=，当14x …时，124x x +>显然成立，∴对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若12()()f x f x =，则124x x +>，即（4）正确．故答案为：（2）（4），三、解答题（共70分）17．已知函数()2|1|||()f x x x a a R =+--∈．（Ⅰ）当2a =时，求不等式()2f x x +…的解集；（Ⅱ）设函数()()3||g x f x x a =+-，当1a =时，函数()g x 的最小值为t ，且21(0,0)2t m n m n+=>>，求m n +的最小值．【解答】解：（1）当2a =时，4,1()2|1||2|3,124,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=+--=-⎨⎪+>⎩剟；当1x <-时，由42x x --+…解得3x -…，31x ∴-<-…；当12x -剟时，由32x x +…解得1x …，11x ∴-剟；当2x >时，由42x x ++…可得该方程无解；综上则原不等式的解集为[3-，1]．（2）当1a =时，()2|1|2|1|2|11|4g x x x x x =++-++-=…，当且仅当(1)(1)0x x +-…时，即11x -剟时等号成立， ∴函数()g x 的最小值4t =，∴2142m n+=， ∴11559()()28288888n m m n m n m n m n m n +=++=+++=…，当且仅当1131284,3828m m n n m n m n ⎧⎧+==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩即时等号成立， m n ∴+的最小值为98．18．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos (2)cos a B c b A =-．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4a =，BC 边上的中线AM =，求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）由cos (2)cos a B c b A=-得sin cos (2sin sin )cos 2sin cos sin cos A B C B A C A B A =-=-，即sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，即sin()2sin cos A B C A +=，即sin 2sin cos C C A =，在三角形中sin 0A≠，1cos 2A ∴=，则3A π=．（2）M 是BC 的中点，2BM CM ∴==，由余弦定理得2222228412b θθθ=+-⨯⨯=+-=-， 222222)8412c πθθθ=+-⨯⨯-=++=+，两式相加得2224b c +=，又2222212cos 2242ab c bc Ab c bc bc =+-=+-⨯=-，即1624bc =-，则8bc =，则三角形的面积11sin 822S bc A ==⨯=．19．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为222((1)(0)x y r r -+-=>，以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，若直线l与曲线C 相切．（Ⅰ）求实数r 的值；（Ⅱ）在圆C 上取两点M ，N ，使得6MON π∠=，点M ，N 与直角坐标原点O 构成OMN ∆，求OMN ∆面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，转换为直角坐标方程为20y -+=，若直线l 与曲线C 相切，则圆心20y -+=的距离3312d r -+==，解得2r =，（Ⅱ）由（Ⅰ）得圆的方程为22((1)4x y -+-=．转换为极坐标方程为4sin()3πρθ=+．设1(M ρ，)θ，2(,)6N πρθ+，所以121||||sin 4sin()sin()2sin(2)26323MON S ππππρρθθθ∆==++=+，当12πθ=时，2MON S ∆+…即最大值为2+．20．将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()f x 的图象．（Ⅰ）写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若对任意[,]612x ππ∈-，2()()10f x mf x --…恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）求实数a 和正整数n ，使得()()F x f x a =-在[0，]n π上恰有2019个零点．【解答】解：（Ⅰ）将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），可得sin 2y x =的图象；再将所得的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()sin 2()sin(2)63f x x x ππ=+=+的图象，所以函数()f x 的解析式为()sin(2)3f x x π=+；（Ⅱ）对任意的[6x π∈-，]12π，则2[03x π+∈，]2π，所以()sin(2)[03f x x π=+∈，1]，此时2()()10f x mf x --…恒成立；令()[0t f x =∈，1]，则2()10g t t mt =--…恒成立，所以有(0)10g =-…，且g （1）0m =-…，求得m 的取值范围是0m …；（3）因为()()F x f x a =-在[0，]n π上恰有2019个零点，所以()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上恰有2019个交点；在[0，]π上，2[33x ππ+∈，7]3π； ①当1a >，或1a <-时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上无交点． ②当1a =，或1a =-时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]π仅有一个交点，此时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上恰有2019个交点，则2019n =；③当1a -<<1a <<时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]π上恰有2个交点， ()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上有偶数个交点，不会有2019个交点；④当a =时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]π上恰有3个交点，此时，1009n =，才能使()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上有2019个交点；综上可得，当1a =，或1a =-时，2019n =；当a =1009n =． 21．已知函数(),()lnx af x a R x+=∈，2()2x g x e =-．（1）求()f x 的单调区间；（2）若()()f x g x …在(0,)+∞上成立，求a 的取值范围．【解答】解：（1）21()lnx af x x --'=，当10a x e -<<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1a x e -…时，()0f x '…，()f x 单调递减，故()f x 单调递增区间为1(0,)a e -，单调递减区间为1[a e -，)+∞．（2）法一：由()()f x g x …得22xlnx a e x+-…，即2(2)x a x e lnx --… 令2()(2)x h x x e lnx =--，22121()(21)(21)()x x x h x x e x e x x+'=+-=+-， 21()(0)x F x e x x =->，221()20x F x e x '=+>，()F x 在(0,)+∞单调递增，又1()404F =-<，1()202F e =->，所以()F x 有唯一的零点011(,)42x ∈，且当0(0,)x x ∈时，()0F x <，即()0h x '<，()h x 单调递减，当0(x x ∈，)+∞时，()0F x >，即()0h x '>，()h x 单调递增，所以02000()()(2)x min h x h x x e lnx ==--，又因为0()0F x =所以000002011()(2)()1221x h x x ln x x x e=--=-+=，所以1a …，a 的取值范围是(-∞，1]．法二：由()()f x g x …得22xlnx a e x+-…，即222(2)x lnx x a xe x lnx e x lnx +--=-+…，令()2x x lnx ϕ=+，因为12()10e eϕ=-<，ϕ（1）20=>，所以()x ϕ存在零点1x ；令()x G x e x =-，则()1x G x e '=-，当(,0)x ∈-∞时，()0G x '<，()G x 单调递减，当(0,)x ∈+∞时，()0G x '>，()G x 单调递增．所以()(0)1min G x G ==，所以112211(2)(2)1lnx x lnx x e x lnx e x lnx ++-+-+=…，所以a 的取值范围是(-∞，1]．22．已知函数()1()f x xlnx ax a R =-+∈．（1）讨论()f x 在(1,)+∞上的零点个数；（2）当1a >时，若存在(1,)x ∈+∞，使()(1)(3)f x e a <--，求实数a 的取值范围．(e 为自然对数的底数，其值为2.71828)⋯⋯【解答】解：（1）根据题意，函数()1f x xlnx ax =-+，其定义域为(1,)+∞，则1()10a f x lnx a x e -'=+-=⇒= 分2种情况讨论：①当1a …时，()0f x '>恒成立，此时函数()f x 在(1,)+∞上是增函数；又由f （1）10a =-…，故而()f x f >（1）0…，()f x 在(1,)+∞上无零点； ②当1a >时，1()10a f x lnx a x e -'=+->⇒>；1()01a f x x e -'<⇒<<，则()f x 在1(a e -，)+∞上是增函数；在1(1,)a e -上是减函数；又由f （1）10a =-<；()10a f e =>，且()f x 连续不断，从而在区间(1,)a e 上，()f x 存在唯一零点，综上所述，当1a …时，()f x 在(1,)+∞上无零点；当1a >时，()f x 在(1,)+∞存在一个零点．（2）根据题意，当1a >时，由（1）得11()()1a a min f x f e e --==-，故应有11(1)(3)a e e a --<--成立，即1(1)(3)10a e e a -+--->不等式成立，构造函数1()(1)(3)1x h x e e x -=+---，求导得1()10x h x e e -'=+->在(1,)x ∈+∞上恒成立，故1()(1)(3)1x h x e e x -=+---在(1,)x ∈+∞上单调递增，注意到h （2）0=，所以()02h x x >⇒>．故实数a 的取值范围为(2,)+∞．。

吉林省吉林大学附中2019届高三第一次模拟考试数学(理)试题Word版含答案

吉林省吉林大学附中2019届高三第一次模拟考试数学（理）试题注意事项：1．请考生将姓名、班级、考号与座位号填写在答题纸指定的位置上； 2．客观题的作答：将正确答案填涂在答题纸指定的位置上；3．主观题的作答：必须在答题纸上对应题目的答题区域内作答，在此区域外书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

第Ⅰ卷（客观题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）已知一元二次不等式()0f x <的解集为{|1x x <-或1}3x >，则()0x f e >的解集为（A ）{|1x x <-或ln3}x >- （B ）{|1ln3}x x -<<- （C ）{|ln3}x x >- （D ）{|ln3}x x <- （2）若2i1iz -=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（A ）13i 22+ （B ）13i 22-+ （C ）33i 22+ （D ）33i 22-（3）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（A ）ln y x =（B ）21y x =+（C ）sin y x =（D ）cos y x =（4）两枚均匀的骰子一起投掷，记事件A ={至少有一枚骰子6点向上}，B ={两枚骰子都是6点向上}，则(|)P B A =（A ）16 （B ）136 （C ）112（D ）111（5）执行如图所示的程序框图，输出S 的值是（A （B ）（C ）12（D ）12-（6）下列命题：①“若a b ≤，则a b <”的否命题；②“若1a =，则230ax x -+≥的解集为R ”的逆否命题； ③“周长相同的圆面积相等”的逆命题；为有理数，则x 为无理数”的逆否命题. 其中真命题序号为（A ）②④ （B ）①②③ （C ）②③④ （D ）①②③④ （7）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（A ）（B ）（C ）（D ）直观图（8）已知向量(12)(321)x y =+=-，，，，m n 若m ⊥n ，则8x +16y的最小值为（A （B ）4（C ）（D ）（9）sin()πα-=3()2παπ∈，，则sin()22πα+=（A ）（B ）（C （D （10）三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，侧棱垂直于底面，面积最大的侧面是正方形，且正方形的中心是该三棱柱的外接球的球心，若外接球的表面积为8π，则三棱柱111ABC A B C -的体积的最大值为（A ）2（B ）3（C ）（D ）4（11）设A B 、为抛物线22(0)y px p =>上相异两点，则22||||OA OB AB +-的最小值为（A ）24p - （B ）23p -（C ）22p -（D ）2p -（12）设函数()|lg(1)|f x x =+，满足1()()2b f a f b +=-+，()10(1)6(2)14lg2f a b +++-=，其中 a b a b ∈<R 且，，，则a b +的值为（A ）0 （B ）115（C ）1115- （D ）1-第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．（13）设371152α⎧⎫∈-⎨⎬⎭⎩，，，，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 . （14）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为 .（15）我校有4名青年教师参加说题比赛，共有4道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，则恰有1道题没有被这4位选中的情况有种.（16）已知点0)A 和曲线y x =剟上的点12n P P P ，，，.若12||||P A P A ，||n P A ，，成等差数列且公差1(5d ∈，则n 的最大值为 .三、解答题：本大题共6个小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知点*1()()n n P a a n +∈N ,是函数214y x =在点1(1)4,处的切线上的点，且112a =．（Ⅰ）证明：1{}2n a +是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．（18）（本小题满分12分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖均不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（Ⅰ）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求3X ≤的概率；（Ⅱ）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？（19）（本小题满分12分）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ABCD ⊥底面，90ADC ∠=︒，AB CD ||，122AD CD DD AB ====.（Ⅰ）求证：11AD B C ⊥；（Ⅱ）求二面角11A BD C --的正弦值；（20）（本小题满分12分）椭圆Γ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为12F F ，，右顶点为A ，上顶点为B .已知12|||AB F F =. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）过点(20)M a -，的直线交椭圆Γ于P 、Q （不同于左、右顶点）两点，且11111||||12PF QF +=.当1PQF △面积最大时，求直线PQ 的方程.A 1CD 1DABB 1C 1（21）（本小题满分12分）已知函数211()ln()(22f x ax x ax a =++-为常数，0a >）．（Ⅰ）若12x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值；（Ⅱ）求证：02a <≤时，()f x 在1[)2+∞，上是增函数；（Ⅲ）若对任意的(12)a ∈，，总存在0x 1[1]2∈，，使不等式20()(1)f x m a >-成立，求实数m 的取值范围．请考生在第22、23任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

2019届吉林省长春市普通高中高三质量监测(一)理科数学试题(word版)

2019届吉林省长春市普通高中高三质量监测（一）理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数A. B. C. D.【答案】C2.已知集合，则满足条件的集合的个数为A. B. C. D.【答案】D3.函数的最大值为，A. B. C. D.【答案】A4.下列函数中是偶函数，且在区间上是减函数的是A. B. C. D.【答案】B5.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为A. B. C. D.【答案】C6.已知等差数列中，为其前项的和，，，则A. B. C. D.【答案】C7.在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为A. B. C. D.【答案】D8.要将甲、乙、丙、丁4名同学分到、、三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到班的分法种数为，A. B. C. D.【答案】B9.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为，以下结论中不正确的为A. 15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B. 15名志愿者身高和臂展成正相关关系，C. 可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米，D. 身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米，【答案】D10.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一头五升（注：一斗为十升）.问,米几何？”如图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的(单位:升)，则输入的值为，A. B. C. D.【答案】D11.已知双曲线的两个顶点分别为、，点为双曲线上除、外任意一点，且点与点、连线的斜率分别为、，若，则双曲线的渐进线方程为，A. B. C. D.【答案】C12.已知函数是定义在上的函数，且满足，其中为的导数，设，，，则、、的大小关系是A. B. C. D.【答案】A二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.________.【答案】14.若椭圆的方程为，则其离心率为____________.【答案】15.各项均为正数的等比数列的前项和为，已知，,则_____.【答案】1016.已知所有棱长都相等的三棱锥的各个顶点同在一个半径为的球面上，则该三棱锥的表面积为___________.【答案】三、解答题：共70份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23选考题，考生根据要求作答.17.在中，内角、、的对边分别为、、，已知.(1)求角；(2)若,求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先由正弦定理得到，再由三角形内角和的关系得到角A的正弦值，进而得到角A的大小；（2）由向量点积运算得到，再由余弦定理得到，再由重要不等式得到结果. 【详解】（1）∵△ABC中，b﹣acosC=，∴由正弦定理知，sinB﹣sinAcosC=sinC，∵A+B+C=π，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC﹣sinAcosC=sinC，∴cosAsinC=sinC，∴cosA=，∴A=．（2）由（1）及得，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为.【点睛】解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题;注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等;正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.18.在四棱锥中,平面平面，,四边形是边长为的菱形，,是的中点.(1)求证:平面；(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)连接，根据几何关系得到,由平面平面，可得平面，进而得到,再由三角形ABE的角度及边长关系得到，进而得到结果;(2)建立空间坐标系得到面的法向量为，面的一个法向量为，根据向量夹角运算可得结果【详解】（1）连接，由，是的中点，得，由平面平面，可得平面，，又由于四边形是边长为2的菱形，，所以，从而平面.（2）以为原点，为轴，建立空间直角坐标系，，，有，，令平面的法向量为，由，可得一个，同理可得平面的一个法向量为，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了面面垂直的证法，以及二面角的求法，证明面面垂直经常先证线面垂直，再得面面垂直，或者建立坐标系，求得两个面的法向量，证明法向量公线即可.19.平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线的方程为.(1)过抛物线的焦点且与轴垂直的直线交曲线于、两点，经过曲线上任意一点作轴的垂线，垂足为.求证:；(2)过点的直线与抛物线交于、两点且，.求抛物线的方程.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）设再根据点Q在抛物线上可得到结果；（2）联立直线和抛物线得到，设，有，根据韦达定理得到结果.【详解】（1）设，从而.（2）由条件可知，，联立直线和抛物线，有，有，设，由有，有，由韦达定理可求得，所以抛物线.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．20.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量(单位:瓶)的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位:元)，当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时？的数学期望达到最大值？【答案】（1）见解析；（2）n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.【解析】【分析】（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列；（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，只需考虑200≤n≤500，根据300≤n≤500和200≤n≤300分类讨论经，能得到当n=300时，EY最大值为520元．【详解】（1）由题意知，所有可能取值为200,300,500，由表格数据知，，.因此的分布列为0.2 0.4 0.4（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑.当时，若最高气温不低于25，则；若最高气温位于区间，则；若最高气温低于20，则；因此.当时，若最高气温不低于20，则；若最高气温低于20，则；因此.所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.21.已知函数.（1）当且时，试判断函数的单调性；（2）若且，求证：函数在上的最小值小于；（3）若在单调函数，求的最小值.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）先求导得，再构造函数，再求导，根据函数的最值即可判断;（2）等价于当x∈[1，+∞）时，f（x）min=f（t）=e t（1﹣t）+t2．构造函数h（x）=e x（1﹣x）+x2，x＞1，求出函数的最值即可证明;（3）等价于f′（x）=e x﹣bx+a≥0，构造函数m（x）=e x﹣bx+a，求导，分类讨论，求出函数的最值即可．【详解】（1）由题可得，设，则，所以当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，所以，因为，所以，即，所以函数在上单调递増.（2）由（1）知在上单调递増，因为，所以，所以存在，使得，即，即，所以函数在上单调递减，在上单调递増，所以当时，.令，则恒成立，所以函数在上单调递减，所以，所以，即当时，故函数在上的最小值小于.（3），由为上的单调函数，可知一定为单调增函数因此，令，当时，；当时，，在上为增函数时,与矛盾当时,当时,，令，则当时,,的最小值为.【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）22.已知直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）若直线与圆相交于、两点，且，求的值.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】(1)根据极坐标和直角坐标的互化公式得到结果；（2）联立直线和圆得到，根据弦长公式得到，根据韦达定理得到结果.【详解】（1）圆C的直角坐标方程为.（2）将直线的参数方程代入到圆C的直角坐标方程中，有，由，代入韦达定理得到：得，所以或.【点睛】这个题目考查了极坐标方程化为普通方程的方法，考查了直线参数中t的几何意义，一般t的绝对值表示方程中的定点到动点的距离，故，，均可用t来表示，从而转化为韦达定理来解决.23.已知，，.(1)求证：；(2)求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据重要不等式得到进而得到结果；（2）根据均值不等式得到结果.【详解】（1）根据重要不等式得到：.（2），等号成立的条件为：故.【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.。