线性代数练习册二

一.判断题（正确打√，错误打×）
1. 若s α不能由121,,,-s ααα 线性表示，则s ααα,,,21 线性无关.( )
2. 若321,,ααα可由21,ββ线性表示，则321,,ααα线性相关.( )
3. 如果β可由321,,ααα唯一线性表示,则321,,ααα线性无关.( )
4. 向量组的秩就是它的最大线性无关组的个数.( )
5. 如果向量组γβα,,只有一个最大无关组，则γβα,,一定线性无关. ( ) 二.单项选择题
1.设向量组（1）:321,,ααα与向量组（2）:21,ββ等价，则( ). （A ） 向量组（1）线性相关; （B ）向量组（2）线性无关; （C ） 向量组（1）线性无关; （D ）向量组（2）线性相关.
2. 设n 维向量组m ααα,,,21 线性无关，则( ). （A ）向量组中增加一个向量后仍线性无关;
（B ）向量组中去掉一个向量后仍线性无关;
（C ）向量组中每个向量都去掉第一个分量后仍线性无关;
（D ）向量组中每个向量任意增加一个分量后仍线性无关.
3. 设三阶行列式0==ij a D ，则( ).
（A ）D 中至少有一行向量是其余行向量的线性组合; （B ）D 中每一行向量都是其余行向量的线性组合; （C ）D 中至少有两行向量线性相关； （D ）D 中每一行向量都线性相关.
4. 设A ：4321,,,αααα是一组n 维向量，且321,,ααα线性相关，则( ).
(A)A 的秩等于4; (B) A 的秩等于n ; (C) A 的秩等于1; (D) A 的秩小于等于3.
5. 已知向量组321,,ααα线性无关，则下面线性无关的向量组是( ).
(A)1
3
3
2
2
1
,,αααααα---; (B)1
3
3
2
2
1
,,αααααα-++;
(C)133221,,αααααα+++; (D)2
1
2
1
2
1
8,53,2αααααα+-++.
三.填空题
1. 设n 维向量321,,ααα线性无关，则向量组133221,,αααααα---的秩
=r .
2. 已知),1,1,2(),2,0,1,1(),0,1,2,1(3
2
1
a ==-=ααα.若由3
2
1
,,ααα生成的向
量空间的维数为2,则=a .
3. 若任何非零4维向量β都不能由4维向量321,,ααα线性表示，则
321,,ααα分别等于 .
4. 若向量组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32,212
1
αα与向量组⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k 1,432
1
ββ不等价,则常
数=k .
5. 已知向量组γβα,,线性相关，而向量组,,γβδ线性无关，则向量组
γβα,,的最大无关组为 .
四.判断下列向量组的线性相关性，并说明理由.
1． ),,(1z y x =α, ),,(2y z x =α,)2,2,2(3y z x =α；
2．),,(1z y x =β, ),,(2y z x =β,),,(3x z y =β,),,(4y x z =β；
3．)3,2,1(1=γ, )3,2,0(2=γ, )2,3,1(3=γ；
4．)1,1,,1(1a =δ，)0,1,,1(2b =δ, )0,0,,1(3c =δ.
五．已知2≥s ，β可由s s αααα,,,,121- 线性表示，但不能由121,,,-s ααα 线
性表示.证明s α可由βααα,,,,121-s 线性表示，而不能由121,,,-s ααα 线性表示.
六．已知⎪⎩⎪
⎨⎧++=++=++=3213
32123211322α
ααβαααβαααβ,证明向量组321,,ααα与321,,βββ等价.
七.已知向量组,21αα+,32αα+13αα+线性无关，证明向量组321ααα,, 也线性无关.
八.设n 维向量组（1）:s ααα,,,21 的秩为1r ；（2）：s βββ,,,21 的秩为2
r （3）：s s βαβαβα+++,,,2211 的秩为3r .证明321r r r ≥+.
九．已知2≥s 且s ααα,,,21 线性无关, s αααβ+++= 21.证明向量组
s αβαβαβ---,,,21 线性无关.
十.若向量组s ααα,,,21 线性相关,证明对任意的实数s k k k ,,,21 ,向量组
s s k k k ααα,,,2211 也线性相关.
十一. 证明：n 维向量组n ααα,,,21 线性相关的充分必要条件是至少存在一
个n 维向量α不能由n ααα,,,21 线性表示.
十二.已知,0234321=-+-αααα 证明 ),,(),,(43232,1ααααααL L =.。