2021-2022名校联盟高三11月教学质量检测数学(理)试题全解全析

高三11月教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|20}A x x =-<，2{|20}B x x x =--<，则AB =（ ）A ．()2-∞，B ．()1-∞，C ．(21)-，D ．(12)-， 【答案】D【解析】先求出集合={|12}B x x -<<，再与集合A 求交, 【详解】本题主要考查集合的运算和一元二次不等式的解法． 因为{|20}={|2}A x x x x =-<<，2{|20}B x x x =--<={|12}x x -<<，所以{|12}B x x A -<<⋂=． 故选：D 【点睛】本题考查解二次不等式，考查集合的交集。

属于基础题. 2．复平面内表示复数1212iz i-+＝的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再求出z 的坐标得答案． 【详解】因为212i (12i)34i 12i (12i)(12i)55z --===--++-， 所以复数1212i z i -=+所对应的复平面内的点为34,55Z ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，位于第三象限． 故选：C . 【点睛】本题主要考查复数的几何意义，复数的运算，属于基础题． 3．设两个单位向量a b ，的夹角为23π，则34a b +=（ ）A ．1B CD ．7【答案】B【解析】由222349+24+16a b a a b b +=⋅，然后用数量积的定义，将a b ，的模长和夹角代入即可求解. 【详解】2222349+24+16=9+24cos16133a b a a b b π+=⋅+=， 即3413a b +=. 故选：B 【点睛】本题考查向量的模长，向量的数量积的运算，属于基础题.4．设有不同的直线a ，b 和不同的平面α，β，给出下列四个命题： ①若//a α，//b α，则//a b ； ②若//a α，//a β，则//αβ； ③若a α⊥，b α⊥，则//a b ； ④若a α⊥，a β⊥，则//αβ． 其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断求解即可． 【详解】对于①，若a ∥α，b ∥α，则直线a 和直线b 可以相交也可以异面，故①错误； 对于②，若a ∥α，a ∥β，则平面a 和平面β可以相交，故②错误； 对于③，若a ⊥α，b ⊥α，则根据线面垂直性质定理，a ∥b ，故③正确； 对于④，若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β成立； 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查推理判断能力，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5．如图是某市10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数越小表示空气质量越好，空气质量指数小于100表示空气质量优良，下列叙述中不正确的是（ ）A．这14天中有7天空气质量优良B．这14天中空气质量指数的中位数是103C．从10月11日到10月14日，空气质量越来越好D．连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日【答案】B【解析】根据题目给出的折线图的信息对选项进行逐一判断即可得到答案.【详解】这14天中空气质量指数小于100的有7天，所以这14天中有7天空气质量优良，故选项A正确；这14天中空气质量指数的中位数是86121103.52+=，故选项B不正确；从10月11日到10月14日，空气质量指数越来越小，所以空气质量越来越好，故选项C正确；连续三天中空气质量指数离散程度最大的是10月5日至10月7日，所以连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日，故选项D正确．故选：B【点睛】本题主要考查统计中对折线图的认识，属于基础题.6．已知甲、乙、丙三人中，一位是河南人，一位是湖南人，一位是海南人，丙比海南人年龄大，甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小．由此可以推知：甲、乙、丙三人中（）A．甲不是海南人B．湖南人比甲年龄小 C．湖南人比河南人年龄大D．海南人年龄最小【答案】D【解析】通过分析，排除即可．【详解】由于甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小，可知湖南人不是甲乙，故丙是湖南人；由于丙比海南人年龄大，湖南人比乙年龄小，可知甲是海南人； 故：乙（河南人）的年龄＞丙（湖南人）的年龄＞甲（海南人）的年龄； 所以ABC 错，D 对． 故选：D ． 【点睛】本题考查简单的逻辑推理，属于基础题．7．已知数列{}n a 对于任意正整数m ，n ，有m n m n a a a +=+，若201a =，则2020a =（ ） A ．101 B ．1C ．20D ．2020【答案】A【解析】由m n m n a a a +=+，得11n n a a a +-=，所以数列{}n a 是以1a 为首项，1a 为公差的等差数列，从而得到答案. 【详解】由m n m n a a a +=+，令1m = 得11n n a a a +-=， 所以数列{}n a 是以1a 为首项，1a 为公差的等差数列， 从而1n a na =．因为201a =，所以1120a =，2020101a =． 故选：A 【点睛】本题主要考查等差数列的概念，数列的递推关系，属于基础题.8．函数()3sin 3x f x x =+的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】本题首先可根据()3sin 3x f x x =+得出3sin 3x fxx ，然后即可判断出函数是奇函数并排除B 项，然后利用导数判断函数的单调性，问题得解。

【详解】因为()3sin 3x f x x =+，33sin sin 33x x fxx x ， 所以函数()f x 是奇函数，排除B ，因为函数的解析式为()3sin 3x f x x =+，所以2cos fxx x ，∴2sin f xx x ∴2cos 0f xx ,∴2sin fx x x 在[)0,+∞递增又0sin00f ， 所以2sin 0f xx x在[)0,+∞恒成立所以2cos fxx x 在[)0,+∞递增，又200cos010f所以()0f x '>在[)0,+∞恒成立所以()f x 在[)0,+∞为增函数，排除A 、C ， 综上所述，故选D 。

【点睛】本题考查如何判断函数的大致图像，可通过函数性质来判断，比如说函数的单调性、奇偶性、值域、特殊值的大小，考查推理能力，是中档题。

9．已知1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，P 是C 上一点，满足212PF F F ⊥，Q 是线段1PF 上一点，且12FQ QP =，120F P F Q ⋅=，则C 的离心率为（ ）A ．62B 1C ．2-D ．6【答案】A【解析】根据条件在12PF F ∆，可得1F P =，则2F P =，由椭圆的定义有122F P F P a +=+=，可建立关于离心率的方程，从而解出离心率.【详解】因为在12PF F ∆中，212PF F F ⊥，12PF QF ⊥，所以2211124FQ F P F F c ==，又1123FQ F P =，所以221243F P c =，从而1F P =，进而2F P =．所以122F P F P a +==，椭圆C 的离心率为2c e a -==． 故选：A 【点睛】本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质,考查椭圆的离心率，属于中档题. 10．函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是偶函数，则（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数 C ．(3)f x +是偶函数D ．()(2)f x f x =+【答案】C【解析】首先由偶函数及图象平移的性质求得f （x ）的周期，然后利用所求结论直接判断即可． 【详解】f （x +1）与f （x ﹣1）都是偶函数，根据函数图象的平移可知，f （x ）的图象关于x ＝1，x ＝﹣1对称，可得f （x ）＝f （2﹣x ）＝f （﹣4+x ），即有f （x +4）＝f （x ）， ∴函数的周期T ＝4，∴f （﹣x +3）＝f （﹣x ﹣1）＝f （x +3），则f （x +3）为偶函数， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用与周期性的证明，准确把握定义是解题的关键，属于中档题．11．将6名党员干部分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名党员干部，则不同的分配方案共有（ ） A ．2640种 B ．4800种 C ．1560种 D ．7200种【答案】C【解析】分两类考虑：第一类，其中1个贫困村分配3名党员干部，另外3个贫困村各分配1名党员干部, 第二类，其中2个贫困村各分配2名党员干部，另外2个贫困村各分配1名党员干部. 【详解】将6名党员干部分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名党员干部. 分两类考虑：第一类，其中1个贫困村分配3名党员干部，另外3个贫困村各分配1名党员干部，此类分配方案种数为3464480C A =；第二类，其中2个贫困村各分配2名党员干部，另外2个贫困村各分配1名党员干部，此类分配方案种数为221146421422221080C C C C A A A =． 故不同的分配方案共有1560种． 故选：C 【点睛】本题主要考查排列组合,考查分组分配问题，考查部分平均分组问题，属于中档题. 12．已知函数()sin sin2f x x x =⋅，下列结论中错误的是（ ） A ．()y f x =的图像关于点(,0)2π对称B ．()y f x =的图像关于直线x π=对称C ．()f xD ．()f x 是周期函数【答案】C【解析】根据对称性，周期性最值的概念结合三角函数的运算，逐项判断即可． 【详解】对于A ，因为f （π﹣x ）+f （x ）＝sin （π﹣x ）sin （2π﹣2x ）+sinxsin 2x ＝0，所以A 正确； 对于B ，f （2π﹣x ）＝sin （2π﹣x ）sin （4π﹣2x ）＝sinxsin 2x ＝f （x ），所以()y f x =的图像关于直线x π=对称，所以B 正确；对于C ，f （x ）＝sinx •sin 2x ＝2sin 2xcosx ＝2（1﹣cos 2x ）cosx ＝2cosx ﹣2cos 3x ，令t ＝cosx ，则t ∈[﹣1，1]，f （x ）＝g （t ）＝2t ﹣2t 3，令g ′（t ）＝2﹣6t 2＝0，得，t =，g ⎛= ⎝⎭g =⎝⎭(1)0g -=，(1)0g =，所以()g t 的最大值是，从而()f x ，故C 错误； 对于D ，因为(2)sin(2)sin(24)sin sin2()f x x x x x f x πππ+=+⋅+=⋅=，即f （2π+x ）＝f （x ），故2π为函数f （x ）的一个周期，故D 正确； 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了三角函数的周期性及其求法函数的单调性以及函数的对称性，考查命题的真假的判断与应用，考查分析和解决问题的能力，属于中档题．二、填空题13．若一个棱长为2的正方体的八个顶点在同一个球面上，则该球的体积为__________．【答案】 【解析】棱长为2的正方体的八个顶点在同一个球面上，则球的直径等于正方体的对角线长，即2R =，R =则该球的体积343V R π== 14．已知1F ，2F 分别为双曲线:C 22221x y a b－＝()00a b >>，的左、右焦点，点P 是以12F F 为直径的圆与C 在第一象限内的交点，若线段1PF 的中点Q 在C 的渐近线上，则C 的两条渐近线方程为__________． 【答案】y ＝±2x 【解析】求得双曲线的渐近线方程，由圆的性质可得PF 1⊥PF 2，由三角形的中位线定理可得PF 1⊥OQ ，OQ 的方程设为bx +ay ＝0，运用点到直线的距离公式可得F 1（﹣c ，0）到OQ 的距离，结合双曲线的定义可得b ＝2a ，进而双曲线的渐近线方程． 【详解】双曲线()2222100x y C a b a b-=：＞，＞的渐近线方程为y ＝±b a x ，点P 是以F 1F 2为直径的圆与C 在第一象限内的交点，可得PF 1⊥PF 2， 线段PF 1的中点Q 在C 的渐近线，可得OQ ∥PF 2， 且PF 1⊥OQ ，OQ 的方程设为bx +ay ＝0， 可得F 1（﹣c ，0）到OQ=b ，即有|PF 1|＝2b ，|PF 2|＝2|OQ |＝2a ，由双曲线的定义可得|PF 1|﹣|PF 2|＝2b ﹣2a ＝2a ， 即b ＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ． 故答案为：y ＝±2x ． 【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直径所对的圆周角为直角，三角形的中位线定理和化简整理能力，属于中档题．15．若直线y kx b =+是曲线2x y e -=的切线，也是曲线1x y e =-的切线，则b =__________．【答案】11ln 222- 【解析】分别设出直线y kx b =+与曲线2x y e -=和曲线1xy e =-的切点，然后求导利用切线的几何意义利用斜率相等可得答案. 【详解】设直线y kx b =+与曲线2x y e-=切于点1211(,)x P x e-，与曲线e 1xy =-切于点222(,1)xP x e -，则有21122221(e 1)x x x x e k ee x x ----===-，从而122x x -=，12k =，212xe =，2ln 2x =-． 所以切线方程21111(ln 2)1ln 22222xy x e x =++-=+-，所以11ln 222b =-．故答案为：11ln 222-.【点睛】本题主要考查导数的几何意义,两曲线的公切线问题，属于中档题．16．设等比数列{}n a 满足32a =，10256a =，则数列2{4}n n a 的前n 项和为__________．【答案】21(23)26n n n +-+-【解析】先求出等比数列{}n a 的通项公式为121222n n n a --=⋅=，然后分析求和. 【详解】依题意，有23191012256a a q a a q ⎧==⎨==⎩，，解得11,22.a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以数列{}n a 的通项公式为121222n n n a --=⋅=．设数列2{4}n n a 的前n 项和为n T 则2122212222n n T n =⋅+⋅++，(1) 222321212222n n T n +=⋅+⋅++．(2)用(1)-(2)，得12211232(21)22n n n T n n --=⋅+⋅++--，(3)2312221232(21)22n n n T n n ++-=⋅+⋅++--．(4)用(3)-(4)，得122121*********(221)2(23)26n n n n n T n n n n n +++=⋅+⋅++⋅-+-+=-+-．故答案为：21(23)26n n n +-+-【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和数列求和的方法．考查错位相减法求数列的和.属于中档题.三、解答题17．已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且cos 4a B =，sin 3b A =． (1)求a ；(2)若ABC ∆的面积为9，求ABC ∆的周长． 【答案】（1）5；（2）11.【解析】(1)由cos 4a B =，sin 3b A =，两式相除，再用正弦定理得答案. (2)由（1）可求出3sin 5B =，进一步可求出边c ，然后用余弦定理可计算出边b ，得出答案. 【详解】(1)在ABC ∆中，cos 4a B =，sin 3b A =．由正弦定理得sin sin sin 3tan cos sin cos 4b A B A B a B A B ===．又cos 4a B =，所以cos 0B >，所以cos 45B =．所以5a =．(2)由(1)知，cos 45B =，所以3sin 5B =． 因为ABC ∆的面积1sin 92ABC S ac B ∆==，所以6c =．由余弦定理得2222cos 13b a c ac B =+-=，所以13b =． 所以ABC ∆的周长为1113a b c ++=+． 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式,属于中档题．18．《九章算术》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，13AC AA ==，60ABC ∠=︒．(1)证明：三棱柱111ABC A B C -是堑堵； (2)求二面角1A A C B --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）155. 【解析】(1)根据条件由正弦定理可求30ACB ︒∠=，从而可证明90BAC ︒∠=，可得证.（2）建立空间坐标系，用向量法求解二面角的余弦值即可. 【详解】(1)在ABC ∆中，1AB =，3AC =60ABC ︒∠=，由正弦定理得sin sin AC ABABC ACB=∠∠ ,即312sin 23ACB ∠== ,因为在ABC 中，AB AC <则ABC ACB ∠>∠,30ACB ︒∠=，所以90BAC ︒∠=，即BA AC ⊥．又三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱. 所以三棱柱111ABC A B C -是堑堵．(2)以点A 为坐标原点，以AB ，AC ，1AA 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,3,0)C ，1(0,0,3)A ．于是(1,0,0)AB =，1(0,3,3)AC =-，(1,3,0)BC =-． 设平面1A BC 的一个法向量是(,,)n x y z =，则由10,0,n AC n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩得330,30.y z x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩ 所以可取(3,1,1)n =．又可取(1,0,0)m AB ==为平面1AA C 的一个法向量， 所以15cos ,||||5n m n m n m ⋅〈〉==． 所以二面角1A A C B --15． 【点睛】本题主要考查二面角的求法，同时考查数学文化．本题还可以由二面角的平面角的定义作出平面角直接求解,属于中档题.19．已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点(10)F ，的距离减去它到y 轴距离的差都是1．(1)求曲线C 的方程；(2)过点F 且斜率为k 的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =，求直线l 的方程．【答案】（1）24(0)y x x =>；（2）1y x =-+或1y x =-.【解析】(1)1(0)x x -=>化简得答案.(2)有抛物线过交点的弦长公式有12||+2=8x x AB =+，然后设出直线方程与抛物线方程联立求出12x x +代入12||+2=8x x AB =+，可计算出k ，得到直线方程. 【详解】(1)设点(,)P x y 是曲线C 上任意一点，那么点(,)P x y 1(0)x x =>．化简得曲线C 的方程为24(0)y x x =>．(2)由题意得，直线l 的方程为(1)y k x =-， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 因为216160k ∆=+>，故212224k x x k++=， 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=．由题设知22448k k+=，解得1k =-或1k =． 因此直线l 的方程为1y x =-+或1y x =-． 【点睛】本题主要考查曲线与方程、直线与抛物线的位置关系，属于中档题. 20．已知函数sin2()(n )l 1f x x x =-+，sin )2(g x x x =-． (1)求证：()g x 在区间(0,]4π上无零点；(2)求证：()f x 有且仅有2个零点． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】(1)求出()2cos21g x x '=-，再求出函数()g x 的单调区间，从而分析其图像与x 轴无交点即可.(2)显然0x =是函数()f x 的零点,再分析()f x 在0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦上和在3,4π⎛⎫+∞⎪⎝⎭上无零点,在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点，从而得证. 【详解】(1)sin )2(g x x x =-，()2cos21g x x '=-． 当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当,64x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0g x '<， 所以()g x 在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减． 而(0)0g =，04g π⎛⎫>⎪⎝⎭， 所以当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0>g x ， 所以()g x 在区间0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦上无零点． (2)()f x 的定义域为(1,)-+∞．①当(1,0)x ∈-时，sin 20x <，ln(1)0x +<，所以()sin 2ln(1)0f x x x =++<，从而()f x 在(1,0)-上无零点． ②当0x =时，()0f x =，从而0x =是()f x 的一个零点． ③当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，由(1)知()0>g x ，所以sin2x x >，又ln(1)x x +， 所以()sin 2ln(1)0f x x x =-+>，从而()f x 在0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦上无零点．④当3,44x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，()sin 2ln(1)f x x x =-+，1()2cos201f x x x '=-<+，所以()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减． 而04f π⎛⎫>⎪⎝⎭，304f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，从而()f x 在3,44ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上有唯一零点．⑤当3,4x π⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，ln(1)1x +>，所以()0f x <，从而()f x 在3,4π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上无零点．综上，()f x 有且仅有2个零点． 【点睛】本题主要考查利用导数判断函数单调性的方法和函数零点的概念,属于难题．21．一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n 站的概率为n P ，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)． (1)求0P ，1P ，2P ，并根据棋子跳到第n 站的情况，试用2n P -和1n P -表示n P ；(2)求证：1{}12100()n n P P n --=⋯，，，为等比数列； (3)求玩该游戏获胜的概率． 【答案】（1）01P =，112P =，234P =，211122n n n P P P --=+；（2）证明见解析；（3）10021132⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】(1) 在第0站是必然事件，所以01P =．棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点,可求出1P ，棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子岀现偶数点，②前两次掷骰子出现奇数点，可求出2P .棋子跳到第(299)n n 站，包括两种情形，①棋子先跳到第2n -站，又掷骰子出现偶数点, ②棋子先跳到第1n -站，又掷骰子出现奇数点,进行求解. (2) 由(1)知，211122n n n P P P --=+，所以112(1)2n n n n P P P P ----=--可证.(3) 该游戏获胜的概率,即求99P ，由（2）用累加法可求解. 【详解】(1)棋子开始在第0站是必然事件，所以01P =．棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为12，所以112P =． 棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子岀现偶数点，其概率为12；②前两次掷骰子出现奇数点，其概率为14，所以2113244P =+=．棋子跳到第(299)n n 站，包括两种情形，①棋子先跳到第2n -站，又掷骰子出现偶数点，其概率为212n P -；②棋子先跳到第1n -站，又掷骰子出现奇数点，其概率为112n P -． 故211122n n n P P P --=+．(2)由(1)知，211122n n n P P P --=+，所以112(1)2n n n n P P P P ----=--．又因为1012P P -=-， 所以1{}(1,2,,100)n n P P n --=是首项为12-，公比为12-的等比数列．(3)由(2)知，11111222n nn n P P --⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 所以9999989897100()()()P P P P P P P P =-+-++-+99981111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭99111221112⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+⎛⎫-- ⎪⎝⎭10021132⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 所以玩该游戏获胜的概率为10021132⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查随机事件的概率和等比数列的概念、通项公式及前n 项和公式．考查累加法求和，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221121t x t t y t ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩－＝，＋＝＋(t 为参数)，以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos sin 40ρθθ＋＝．(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最大值．【答案】（1）C 的普通方程为221(1)x y x +=≠-．l的直角坐标方程为40x ++=（2）3【解析】（1）把曲线C 的参数方程平方相加可得普通方程，把x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ代入ρcosθ+4＝0，可得直线l 的直角坐标方程；（2）设出椭圆上动点的坐标（参数形式），再由点到直线的距离公式写出距离，利用三角函数求最值． 【详解】（1）由2221121t x tt y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数），因为221111t t --<+，且22222222()14111t t x y t t ⎛⎫-+=+= ⎪++⎝⎭， 所以C 的普通方程为221(1)x y x +=≠-． 由ρcosθ+4＝0，得x +4＝0． 即直线l 的直角坐标方程为得x +4＝0；（2）由(1)可设C 的参数方程为cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数，παπ-<<)． 则P 到直线得x +4＝0的距离为：C 上的点到l2cos 432πα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=．当3πα=时，2cos 43πα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最大值6，故C 上的点到l 距离的最大值为3．【点睛】本题考查间单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是中档题．23．已知a ，b 为正数，且满足1a b +=．(1)求证：11(1)(1)9a b ++； (2)求证：1125()()4a b a b ++．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）把a +b ＝1代入，用柯西不等式证明；（2）根据基本不等式求出ab 的范围，再化简所求结论，根据对勾函数的最值，求出即可． 【详解】已知a ，b 为正数，且满足a +b ＝1， （1）（11a+）（11b +）＝111a b a b ab ++++=122a b ++，（22a b +）（a +b ）≥2＝8， 故11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）∵a +b ＝1，a ＞0，b ＞0，∴根据基本不等式1＝a +b 0＜ab 14≤， （a 1a +）（b 1b +）222222111a b a b a b a b ab +++++=⋅=≥ab 12ab ++， 令t ＝ab ∈（0，14]，y ＝t 1t +递减， 所以117444min y =+=，故（a 1a+）（b 1b +）≥2172544+=．【点睛】考查基本不等式、柯西不等式的应用，构造函数法证明不等式，属于中档题．。