浦东中考一对一补习初中数学 1对1 概率压轴题

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2023上海浦东新区中考初三一模数学试题及答案

初三数学期末测试卷（时间100分钟）一、选择题：（本大题共6题）1.下列图形，一定相似的是（）A.两个直角三角形B.两个等腰三角形C.两个等边三角形D.两个菱形2.己知抛物线()2213y x =-+，那么它的顶点坐标是（）A.(1,3)- B.(1,3)C.(2,1)D.(2,3)3.在Rt ABC 中，90B Ð=°，如果A α∠=，BC a =，那么AC 的长是（）A.tan a αB.cot a αC.cos aa D.sin a a4.小杰在一个高为h 的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰角为30︒，旗杆与地面接触点的俯角为60︒，那么该旗杆的高度是（）A.23h B.45h C.43h D.54h 5.已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么点(,)P a b 在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.如图，DF AC ∥，DE BC ∥，下列各式中正确的是（）A.BD ABCE AC= B.AD BFBD FC= C.AD CEDE BD= D.AE BFCE CF=二、填空题：（本大题共12题）7.如果23a b =，那么b aa b -=+__________．8.如果两个相似三角形的面积比是4：9，那么它们对应高的比是________9.已知点P 是线段MN 的黄金分割点，>MP PN ，如果8MN =，那么PM 的长是_____．10.如果在比例尺为1：1000000的地图上，A 、B 两地的图上距离是3.4厘米，那么A 、B 两地的实际距离是_____千米．11.两个相似三角形的对应边上中线之比为2:3，周长之和为20cm ，则较小的三角形的周长为__________．12.将抛物线241y x x =+-向右平移3个单位后，所得抛物线的表达式是_______________．13.如图，已知AD ∥BE ∥CF ．如果 4.8AB =， 3.6DE =， 1.2EF =，那么AC 的长是_____．14.已知一条斜坡的长度是10米，高度是6米，那么坡角的角度约为_______．（备用数据tan31°=cot59°≈0.6，sin37°=cos 53°≈0.6)15.在Rt ABC △中，90A ∠=︒，已知1AB =，2AC =，AD 是BAC ∠的平分线，那么AD 的长是_____．16.如图，点E 、F 分别在边长为1的正方形ABCD 的边AB 、AD 上，2BE AE =、2AF FD =，正方形A B C D ''''的四边分别经过正方形ABCD 的四个顶点，已知A D EF ''∥，那么正方形A B C D ''''的边长是_____．17.在ABC 中，2A B ∠=∠，如果4AC =，5AB =，那么BC 的长是_____．18.如图，正方形ABCD 的边长为5，点E 是边CD 上的一点，将正方形ABCD 沿直线AE 翻折后，点D 的对应点是点D ¢，联结CD '交正方形ABCD 的边AD 于点F ，如果AF CE =，那么AF 的长是______________．三、解答题：（本大题共7题）19.计算：cot 454sin 452tan 30cos30cos 60︒︒-︒︒+︒20.如图，在ABC 中，BE 平分ABC ∠，DE BC ∥，3AD =，2DE =．（1）求:AE AC 的值；（2）设AB a =，BC b = 求向量BE （用向量a b 、表示）．21.如图，在Rt EAC 中，90EAC ∠︒＝，45E ∠︒＝，点B 在边EC 上，BD AC ⊥，垂足为D ，点F 在BD 延长线上，5FAC EAB BF ∠∠＝，＝，tan AFB ∠＝34．求：（1）AD 的长；（2）cot DCF ∠的值．22.某地一段长为50米的混泥土堤坝，堤坝的横断面ABCD 是等腰梯形（如图所示），坝顶AD 宽为8米，坝高为4米，斜坡AB 的坡度为1:1.5．（1）求横断面ABCD 的面积；（2）为了提高堤坝的防洪能力，现需将原堤坝按原堤坝要求和坡度加高1米，求加高堤坝需要多少立方米的混泥土？（堤坝的体积=横断面的面积×堤坝的长度）23.如图，在ABC 中，点D 、F 分别是边BC 、AB 上的点，AD 和CF 交于点E ．（1）如果BF AB BD BC =，求证：EF CE DE AE =；（2）如果2AE BF AF DE =，求证：AD 是ABC 的中线．24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++与x 轴的正、负半轴分别交于点B 、A ，与y 轴交于点C ，已知5AB =，tan 3CAB ∠=，:3:4OC OB =．（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的对称轴分别与x 轴、BC 交于点E 、F ，求EF 的长；（3）在（2）的条件下，联结CE ，如果点P 在该抛物线的对称轴上，当CEP △和CEB 相似时，求点P 的坐标25.如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，10AC =，3tan 4C =，点D 是斜边AC 上的动点，连接BD ，EF 垂直平分BD 交射线BA 于点F ，交边BC 于点E ．（1）如图，当点D 是斜边AC 上的中点时，求EF 的长；（2）连接DE ，如果DEC 和ABC 相似，求CE 的长；（3）当点F 在边BA 的延长线上，且2AF =时，求AD 的长．初三数学期末测试卷（时间100分钟）一、选择题：（本大题共6题）1.下列图形，一定相似的是（）A.两个直角三角形B.两个等腰三角形C.两个等边三角形D.两个菱形【答案】C【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，利用排除法求解．【详解】解：A .两个直角三角形，不一定有锐角相等，故不一定相似；B .两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似；C .两个等边三角形，角都是60°，故相似；D ..任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似；故选C ．【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．2.己知抛物线()2213y x =-+，那么它的顶点坐标是（）A.(1,3)-B.(1,3)C.(2,1)D.(2,3)【答案】B【分析】根据二次函数的顶点式的特点即可得出答案．【详解】解：由抛物线的顶点式()2213y x =-+可得：该抛物线的顶点坐标为(1,3)，故选：B ．【点睛】本题主要考查抛物线的顶点式，关键是要牢记抛物线的顶点式的特点．3.在Rt ABC 中，90B Ð=°，如果A α∠=，BC a =，那么AC 的长是（）A.tan a αB.cot a αC.cos aa D.sin a a【答案】D【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可．【详解】如图：在Rt ABC 中，AC sin BC A =sin aα=．故选：D ．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角之间的关系．4.小杰在一个高为h 的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰角为30︒，旗杆与地面接触点的俯角为60︒，那么该旗杆的高度是（）A.23h B.45h C.43h D.54h 【答案】C【分析】过A 作AE BC ⊥于E ，在Rt ACE △中，已知了CE 的长，可利用俯角CAE ∠的正切函数求出AE 的值；进而在Rt ABE △中，利用仰角BAE ∠的正切函数求出BE 的长；从而可得答案．【详解】解：如图，过A 作AE BC ⊥于E ，则四边形ADCE 是矩形，CE AD h ==．∵在Rt ACE △中，CE h =，60CAE ∠=︒，∴3tan 603CE AE h ==︒，∵在Rt ABE △中，30BAE ∠=︒，∴331tan 30333BE AE h h =︒=⨯=，∴1433BC BE CE h h h =+=+=．即旗杆的高度为43h ．故选C ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，是中考常见题型，解题的关键是作出高线构造直角三角形．5.已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么点(,)P a b 在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【分析】根据对称轴的位置、开口方向、即可判断出a 、b 符号，进而求出(,)P a b 的位置．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，又∵对称轴在y 轴右侧，∴02ba->，∴>0b ，∴(,)P a b 在第二象限故选：B【点睛】本题考查的是二次函数2y ax bx c =++系数符号的确定．根据对称轴的位置、开口方向、与y 轴的交点的位置判断出a 、b 、c 的符号是解题的关键．6.如图，DF AC ∥，DE BC ∥，下列各式中正确的是（）A.BD ABCE AC= B.AD BFBD FC= C.AD CEDE BD= D.AE BFCE CF=【答案】A【分析】由平行线分线段成比例可判断A ，B ，D ，证明四边形DFCE 是平行四边形，ADE DBF ∽，可得AD BDDE BF =，再利用等线段代换也不能证明AD CE DE BD=，可判断C ，从而可得答案．【详解】解：∵DE BC ∥，∴BD CEAB AC=，∴BD ABCE AC=，故A 符合题意；∵DF AC ∥，∴AD CFBD BF=，故B 不符合题意；∵DF AC ∥，DE BC ∥，∴四边形DFCE 是平行四边形，BDF A ∠=∠，ADE B ∠=∠，∴CE DF =，DE CF =，ADE DBF ∽，∴AD BDDE BF=，故C 不符合题意；∵DE BC ∥，DF AC ∥∴AE ADEC BD =，BF BD CF AD=，∴AE BFCE CF≠，故D 不符合题意；故选A ．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，熟练的利用平行线与相似三角形的性质证明成比例的线段是解本题的关键．二、填空题：（本大题共12题）7.如果23a b =，那么b aa b -=+__________．【答案】15【分析】设a=2k ，得到b=3k ，代入b aa b-+化简即可求解．【详解】解：设a=2k ，∵23a b =，∴b=3k ，∴3213255b a k k k a b k k k --===++．故答案为：15【点睛】本题主要考查了比例化简求值，理解比例的意义，用含k 的式子分别表示a 、b 是解题关键．8.如果两个相似三角形的面积比是4：9，那么它们对应高的比是________【答案】2：3##23【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是4：9，两个相似三角形的相似比是2：3，∴它们对应高的比是2：3．故答案为：2：3．9.已知点P 是线段MN 的黄金分割点，>MP PN ，如果8MN =，那么PM 的长是_____．【答案】4##4-+【分析】根据黄金分割点的概念列式求解即可．【详解】解：∵点P 是线段MN 的黄金分割点，>MP PN ，8MN =，∴51518422PM MN --==⨯=-，故答案为：4．【点睛】此题考查了黄金分割点的概念，解题的关键是熟练掌握黄金分割点的概念．把一条线段分成两部分，使其叫做黄金比．10.如果在比例尺为1：1000000的地图上，A 、B 两地的图上距离是3.4厘米，那么A 、B 两地的实际距离是_____千米．【答案】34【分析】根据地图上的距离与实际距离的比等于比例尺，即可求解．【详解】解：设A 、B 两地的实际距离为cm x 则：3.4:1:1000000x =解得3400000cm 34x ==千米A 、B 两地的实际距离为34千米故答案为：34【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例尺=图上距离：实际距离是解题的关键．11.两个相似三角形的对应边上中线之比为2:3，周长之和为20cm ，则较小的三角形的周长为__________．【答案】8cm【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比来解答．【详解】解：因为该相似比为2：3，而周长比也等于相似比，则较小的三角形周长为20×25=8cm ，故答案为：8cm【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解：①相似三角形周长的比等于相似比；②相似三角形面积的比等于相似比的平方；③相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．12.将抛物线241y x x =+-向右平移3个单位后，所得抛物线的表达式是_______________．【答案】224y x x =--【分析】利用二次函数图像的平移规律：左加右减，上加下减，从而可得答案．【详解】解：由题意可知，将抛物线向右平移3个单位后得：()()23435y x x =-+-+2694121x x x -++--=224x x =--，故答案为224y x x =--．【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，掌握函数的平移规律是解题的关键．13.如图，已知AD ∥BE ∥CF ．如果 4.8AB =， 3.6DE =， 1.2EF =，那么AC 的长是_____．【答案】6.4##325【分析】根据三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例，列出比例式解答即可．【详解】解：∵AD BE CF ∥∥，∴AB DEBC EF =，∵AB ＝4.8，DE ＝3.6，EF ＝1.2，∴4.8 3.61.2BC =，解得 1.6BC =，∴ 4.8 1.6 6.4AC AB BC =+=+=．故答案为：6.4．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握定理并灵活运用列出正确的比例式．14.已知一条斜坡的长度是10米，高度是6米，那么坡角的角度约为_______．（备用数据tan31°=cot59°≈0.6，sin37°=cos 53°≈0.6)【答案】37°．【分析】画出图形，设坡角为α，根据sinα=ABAC，可求得α的度数．【详解】由题意，作出图形，设坡角为α，∵sina=AB AC即sina=0.6∴a=37°故答案为:37°.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，解直角三角形.15.在Rt ABC △中，90A ∠=︒，已知1AB =，2AC =，AD 是BAC ∠的平分线，那么AD 的长是_____．【答案】223【分析】过B 作BE AB ⊥交AD 的延长线于E ，先证ABE 是等腰直角三角形，推出1BE AB ==，AE ==，再证ACD EBD ∽，推出AC ADBE DE=，代入数值即可求解．【详解】解：过B 作BE AB ⊥交AD 的延长线于E ，90BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，∴45BAE ∠=︒，∴ABE 是等腰直角三角形，∴1BE AB ==，∴AE ==， 90BAC ∠=︒，BE AB ⊥，∴AC BE ∥，∴BED CAD ∠=∠，又 BDE CDA ∠=∠，∴ACD EBD ∽，∴AC AD BE DE=，∴21=，∴3AD =，故答案为：3．【点睛】本题考查等腰三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是正确添加辅助线，构造相似三角形．16.如图，点E 、F 分别在边长为1的正方形ABCD 的边AB 、AD 上，2BE AE =、2AF FD =，正方形A B C D ''''的四边分别经过正方形ABCD 的四个顶点，已知A D EF ''∥，那么正方形A B C D ''''的边长是_____．【答案】355【分析】根据边长为1的正方形ABCD 中，2BE AE =、2AF FD =，得到23BE AF ==，13AE DF ==，根据勾股定理得到3EF ==，根据A D EF ''∥，得到A AB AEF '∠=，结合90A EAF ∠=∠='︒，推出A AB AEF '∽，得到AA AB AE EF '=，求出55A A '=，同理求出：255AD '=，推出355A D ''=．【详解】解：∵2BE AE =、2AF FD =，1AB AD ==，∴23BE =，13AE =，23AF =，13=DF ，∴EF==3，∵A D EF ''∥，∴A AB AEF ∠=∠'，又∵90A EAF ∠=∠='︒，∴A AB AEF '∽，∴'A A AB AE EF=，∴A A '=1331⨯=同理可求：255AD '=，∴A D ''=355，∴正方形A B C D ''''的边长为355．故答案为：355．【点睛】本题主要考查了正方形，相似三角形，勾股定理等，解决问题的关键是熟练掌握正方形性质，相似三角形判定和性质，勾股定理解直角三角形．17.在ABC 中，2A B ∠=∠，如果4AC =，5AB =，那么BC 的长是_____．【答案】6【分析】过C 作CH AB ⊥，垂足为H ，在AB 上取点D ，连接CD ，使4CD AC ==，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得出AH 的值，最后根据勾股定理即可求解．【详解】过C 作CH AB ⊥，垂足为H ，在AB 上取点D ，连接CD ，使4CD AC ==，∵4CD AC ==，∴2A CDA B ∠=∠=∠，∴B BCD ∠=∠，∴4BD CD ==，∴541AD AB AD =-=-=，∴10.52DH AH AD ===，∴2223154CH AC AH =-=，∵222BC BH CH =+，∴2234.5154BC =+，即6BC =，故答案为：6．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质和勾股定理，画出图形，合理构建辅助线是解题的关键．18.如图，正方形ABCD 的边长为5，点E 是边CD 上的一点，将正方形ABCD 沿直线AE 翻折后，点D 的对应点是点D ¢，联结CD '交正方形ABCD 的边AD 于点F ，如果AF CE =，那么AF 的长是______________．【答案】5-##5-+【分析】连接DD '，由折叠的性质及直角三角形的性质可得D DE DAE '∠=∠，再可证明ADE CDF V V ≌，则可得点D ¢是CF 的中点，设DF x =，则可得DD '，再可证明D DE DCD ''∽，由相似三角形的性质建立关于x 的方程，解方程即可求得x ，从而求得结果．【详解】解：连接DD '，如图，四边形ABCD 是正方形，AD CD ∴=，90ADC ∠=︒，90AED DAE ∴∠+∠=︒，由折叠的性质得：DE D E '=，AE DD '⊥，90D DE AED '∴∠+∠=︒，D DE DAE '∴∠=∠，AF CE = ，AD AF CD CE ∴-=-，即DF DE =，90ADE CDF ∠=∠=︒ ，AD CD =，(SAS)ADE CDF ∴△≌△，DCF DAE ∴∠=∠，D DE DCF '∴∠=∠，CD DD ''∴=，90DCF CFD ∠+∠=︒ ，90D DE D DF ''∠+∠=︒，CFD D DF '∴∠=∠，D D D F CD '''∴==，即点D ¢是CF 的中点，设DF x =，则12DD CF '=，222225CF CD DF x =+=+ ，221(25)4DD x '∴=+，DE D E '= ，CD DD ''=，D DE DCF DD E ''∴∠=∠=∠，D DE DCD ''∴∽，DD DE CD CD '∴='，CD DD ''= ，2DD CD DE '∴=⋅，即21(25)54x x +=解得：110x =-210x =+（舍去），5(105AF AD DF ∴=-=--=故答案为：5-．【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，直角三角形的性质等知识，利用相似三角形的性质建立一元二次方程是本题的关键与难点．三、解答题：（本大题共7题）19.计算：cot 454sin 452tan 30cos30cos 60︒︒-︒︒+︒【答案】【详解】试题分析：将特殊三角函数的值代入，利用实数的混合运算计算即可.解：原式=4×22-2×33×32+112-1+21.20.如图，在ABC 中，BE 平分ABC ∠，DE BC ∥，3AD =，2DE =．（1）求:AE AC 的值；（2）设AB a = ，BC b = 求向量BE （用向量a b 、表示）．【答案】（1）35AE AC =（2）3255BE b a =- 【分析】（1）先证明DEB EBC ∠=∠，ADE ABC △△∽，结合角平分线的定义可得DBE CBE ∠=∠，证明2DB DE ==，结合相似三角形的性质可得答案；（2）先求解AC AB BC a b =+=+ ，结合（1）可得25CE AC =，可得222555EC AC a b ==+ ，再利用BE BC EC =- ，从而可得答案．【小问1详解】解：∵BE 平分ABC ∠，∴DBE CBE ∠=∠，∵DE BC ∥，∴DEB EBC ∠=∠，ADE ABC △△∽，∴DBE DEB ∠=∠，而2DE =，∴2DB DE ==，而3AD =，∴5AB AD BD =+=，∵ADE ABC △△∽，∴35AE AD AC AB ==．【小问2详解】∵AB a = ，BC b =，∴AC AB BC a b =+=+ ，∵35AE AC =，∴25CE AC =，∴222555EC AC a b ==+ ，∴22325555BE BC EC b a b b a =-=--=- ．【点睛】本题考查了平面向量、相似三角形的判定与性质，注意熟练掌握相似三角形判定的方法，难度一般．21.如图，在Rt EAC 中，90EAC ∠︒＝，45E ∠︒＝，点B 在边EC 上，BD AC ⊥，垂足为D ，点F 在BD 延长线上，5FAC EAB BF ∠∠＝，＝，tan AFB ∠＝34．求：（1）AD 的长；（2）cot DCF ∠的值．【答案】（1）125（2）916【分析】（1）由各角之间的关系得出90BAF ∠=︒，再由正切函数及勾股定理求解得出34AB AF ==，，最后利用三角形等面积法求解即可；（2）由等面积法得出95BD =，结合图形得出95DC BD ==，再由余切函数的定义求解即可．【小问1详解】解：∵90EAC ∠=︒，∴90EAB BAC ∠∠+=︒，∵FAC EAB ∠∠=，∴90FAC BAC ∠∠+=︒，∴90BAF ∠=︒，∵3tan 4AB AFB AF ∠==，令3AB x =，则4AF x =，∵222BF AB AF =+，∴()()22234BF x x =+，∴55BF x ==，∴1x =，∴3344AB x AF x ====，，∵··2ABF BF AD AB AF S=＝，∴53412AD =⨯=，∴125AD =；【小问2详解】在Rt ABF 中，AD BF ⊥，∴2·AB BD BF =，∴95BD =，∴95BD =，∴165DF BF BD =-=，∵9045EAC E ∠∠=︒=︒，，∴45BCD ∠=︒，∴45DBC ∠=︒，∴95DC BD ==，∴9cot 16DC DCF DF ∠==．【点睛】本题主要考查三角函数解三角形及勾股定理解三角形，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键．22.某地一段长为50米的混泥土堤坝，堤坝的横断面ABCD 是等腰梯形（如图所示），坝顶AD 宽为8米，坝高为4米，斜坡AB 的坡度为1:1.5．（1）求横断面ABCD 的面积；（2）为了提高堤坝的防洪能力，现需将原堤坝按原堤坝要求和坡度加高1米，求加高堤坝需要多少立方米的混泥土？（堤坝的体积=横断面的面积×堤坝的长度）【答案】（1）横断面ABCD 的面积为256m ．（2）加高堤坝需要的混泥土为：3325m ．【分析】（1）如图，过A 作AE BC ⊥于E ，过D 作DF BC ⊥于F ，再证明8AD EF ==，6BE CF ==，再利用梯形面积公式进行计算即可；（2）先画出图形，如图，过G 作GK AD ⊥于K ，过H 作HL AD ⊥于L ，结合题意可得：1KG HL ==，斜坡AG 的坡度是1:1.5，四边形GADH ，四边形GBCH 都是等腰梯形，同理可得：AK DL =，GH KL =，再求解1.5AK DL ==，5KL GH ==，可得四边形GADH 的面积为：213m 2，从而可得答案．【小问1详解】解：如图，过A 作AE BC ⊥于E ，过D 作DF BC ⊥于F ，由等腰梯形是轴对称图形可得：4AE DF==，BE CF =，四边形AEFD 是矩形，∴8AD EF ==，∵斜坡AB 的坡度为1:1.5，∴11.5AE BE =，∴4 1.56BE CF =⨯==，∴20BC BE EF CF =++=，∴横断面ABCD 的面积为()()21820456m 2+⨯=．【小问2详解】如图，过G 作GK AD ⊥于K ，过H 作HL AD ⊥于L ，结合题意可得：1KG HL ==，斜坡AG 的坡度是1:1.5，四边形GADH ，四边形GBCH 都是等腰梯形，同理可得：AK DL =，GH KL =，由斜坡AG 的坡度是1:1.5，∴11.5GK AK =，∴ 1.5AK DL ==，∴8 1.5 1.55KL AD AK DL GH =--=--==，∴四边形GADH 的面积为：()()21135+81m 22⨯=，∴加高堤坝需要的混泥土为：()31350325m 2⨯=．【点睛】本题考查的是等腰梯形的性质，坡度的应用，堤坝体积的计算，理解题意，作出符合题意的图形，利用数形结合的方法解题是关键．23.如图，在ABC 中，点D 、F 分别是边BC 、AB 上的点，AD 和CF 交于点E ．（1）如果BF AB BD BC =，求证：EF CE DE AE =；（2）如果2AE BF AF DE =，求证：AD 是ABC 的中线．【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）先将等式化为比例式，可得到BF BC BD AB=，再根据角相等，证得ABD CBF ∽△△、∽AEF CED △△，从而能证得EF CE DE AE =；（2）过D 作DG AB ∥交CF 于G ，则DEG FEA △∽△，再根据比例式的代换得到12CD BC =，从而得出结论．【小问1详解】证明：∵BF AB BD BC =，∴BF BC BD AB=，∵B B ∠=∠，∴ABD CBF ∽△△，∴BAD BCF ∠=∠，又∵AEF CED ∠=∠，∴∽AEF CED △△，∴EF AE ED CE=,∴EF CE DE AE =；【小问2详解】过D 作DG AB ∥交CF 于G ，则DEG AEF ∽，∴AE AF ED DG=，∵2AE BF AF DE =，∴2AE AF ED BF =，∴2AF AF DG BF=，即122DG AF FB AF ==，∵CD DG BC FB=，∴12CD BC =，∴D 为BC 的中点，AD 是ABC 的中线．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握其判定定理及性质是解题的关键．24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++与x 轴的正、负半轴分别交于点B 、A ，与y 轴交于点C ，已知5AB =，tan 3CAB ∠=，:3:4OC OB =．（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的对称轴分别与x 轴、BC 交于点E 、F ，求EF 的长；（3）在（2）的条件下，联结CE ，如果点P 在该抛物线的对称轴上，当CEP △和CEB 相似时，求点P 的坐标【答案】（1）239344y x x =-++（2）158EF =（3）P 的坐标为：3,52⎛⎫⎪⎝⎭或39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭．【分析】（1）先利用抛物线的解析式求解C 的坐标，再求解B 的坐标，A 的坐标，设设抛物线为()()14y a x x =+-，把()0,3C 代入即可；（2）先求解抛物线的对称轴为直线14322x -+==，再求解直线BC 为334y x =-+，可得F 的坐标，从而可得答案；（3）如图，过E 作EH BC ⊥于H ，证明32EO EH ==，可得OCE BCE ∠=∠，而OC EF ∥，可得OCE CEF ∠=∠，则BCE CEF ∠=∠，当CEP △和CEB 相似时，显然CO 与对称轴没有交点，P 不在E 的下方，只能在E 的上方，且CEP ∠与BCE ∠是对应角，再分两种情况分别求解即可．【小问1详解】解：∵抛物线23y ax bx =++，当0x =，则3y =，即()0,3C ，∵:3:4OC OB =，∴4OB =，即()4,0B ，∵5AB =，∴1OA =，即()1,0A -，设抛物线为()()14y a x x =+-，把()0,3C 代入得：43a -=，解得：34a =-，∴抛物线的解析式为：()()2339143444y x x x x =-+-=-++．【小问2详解】∵()1,0A -，()4,0B ，∴抛物线的对称轴为直线14322x -+==，∵()4,0B ，()0,3C ，设直线BC 为3y kx =+，∴430k +=，解得：34k =-，∴直线BC 为334y x =-+，当32x =时，33153428y =-⨯+=，即315,28F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴158EF =．【小问3详解】如图，过E 作EH BC ⊥于H ，∵()4,0B ，()0,3C ，3,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴5BC ==，2CE ==，35422BE =-=，3sin 5ABC ∠=，∴35EH BE =，则32EH =，∴32EO EH ==，而90COE CHE ∠=∠=︒，∴OCE BCE ∠=∠，而OC EF ∥，∴OCE CEF ∠=∠，∴BCE CEF ∠=∠，当CEP △和CEB 相似时，显然CO 与对称轴没有交点，∴P 不在E 的下方，只能在E 的上方，且CEP ∠与BCE ∠是对应角，当CEB ECP ∽时，∴1BC CE EP CE==，∴5EP BC ==，∴3,52P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当CEB EPC ∽，∴CE BC EP CE=，∴2352PE =，解得：94PE =，∴39,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．综上：P 的坐标为：3,52⎛⎫ ⎪⎝⎭或39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，求解一次函数的解析式，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，勾股定理的应用，熟练的证明CEP ∠与BCE ∠是对应角是解（3）的关键．25.如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，10AC =，3tan 4C =，点D 是斜边AC 上的动点，连接BD ，EF 垂直平分BD 交射线BA 于点F ，交边BC 于点E．（1）如图，当点D 是斜边AC 上的中点时，求EF 的长；（2）连接DE ，如果DEC 和ABC 相似，求CE 的长；（3）当点F 在边BA 的延长线上，且2AF =时，求AD 的长．【答案】（1）12524EF =（2）327CE =或5CE =（3）16665AD =【分析】（1）如图，记BD ，EF 的交点为K ，证明52BK DK ==，BFK DBC C ∠=∠=∠，再利用锐角三角函数分别求解EK ，FK 即可；（2）先求解AB ，BC ，由DEC 和ABC 相似，分两种情况讨论即可；（3）如图，连接DF ，过F 作FT AD ⊥交DA 的延长线于T ，由4tan tan 3CB FAT CAB AB ∠=∠==，可得43FT AT =，求解85FT =，65AT =，结合垂直平分线的性质可得：8FD FB AF AB ==+=，由勾股定理可得TD ==，从而可得答案．【小问1详解】解：如图，记BD ，EF 的交点为K ，∵10AC =，点D 是斜边AC 上的中点，90ABC ∠=︒，∴152BD CD AC ===，∴∠=∠DBC C ，∵EF 垂直平分BD ∴52BK DK ==，90BKF BKE ABC ∠=∠=︒=∠，∴90BFK BEK BEK EBK ∠+∠=︒=∠+∠，∴BFK DBC C ∠=∠=∠，∵3tan 4C =，∴3tan 4EK EBK BK ∠==，3tan 4BK BFK FK ∠==，∴3515428EK =⨯=，5410233FK =⨯=，∴151********EF EK FK =+=+=．【小问2详解】∵90ABC ∠=︒，10AC =，3tan 4C =，∴3tan 4AB C BC==，设3AB m =，则4BC m =，∴510AC m ==，解得：2m =，∴6AB =，8BC =，∵DEC 和ABC 相似，如图，当DEC ABC △∽△时，∴DE CE AB CB=，由垂直平分线的性质可得：8BE DE CE ==-，∴868CE CE -=，解得：327CE =，如图，当DEC BAC ∽△△时，∴DE CE AB AC=，∴8610CE CE -=，解得：5CE =．【小问3详解】如图，连接DF ，过F 作FT AD ⊥交DA 的延长线于T ，∵4tan tan 3CB FAT CAB AB ∠=∠==，∴43FT AT =，而2AF =，同理可得：85FT =，65AT =，由垂直平分线的性质可得：8FD FB AF AB ==+=，∴TD ==∴6166655AD DT AT -=-==．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论，作出适当的辅助线构建相似三角形与直角三角形都是解本题的关键．。

上海浦东初中数学补习班-中考解答题专题训练二(含答案)

中考解答题专题训练二一、22．（本题满分10分）如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是AD 延长线上一点，DE = BC.（1）求证：∠E =∠DBC ；（2）若等腰梯形ABCD 的中位线长为6，∠E =︒30，求等腰梯形ABCD 的对角线的长。

答案：22．（1）证明：∵AD ∥BC ，DE = BC ，∴四边形BCED 是平行四边形.……………(1分)∴∠E =∠DBC .……………………(1分)（2）∵ 等腰梯形ABCD 的中位线长为6，∴ AD + BC = 2×6 = 12，∴ AE = 12.……………(1分) ∵ 四边形BCED 是平行四边形， ∴ DB = CE . …………………………(1分) ∵DB = AC .∴ AC = CE . …………………………(1分)过点C 作CH ⊥AE ，垂足为H ，…………………………(1分) 则AH = EH =21 AE = 6. …………………………(1分)在Rt △EHC 中，cos ∠E =EC EH ，∴cos ︒30= EC6， ∴EC623=，…………………………(1分)∴34=EC.…………………………(1分)∴ DB = AC = 34.…………………………(1分)∴等腰梯形ABCD 的对角线的长是34.C（第22题图）D ABC（第22题EH二、23．（本题满分12分）某公司急需用车，但暂时无力购买，于是准备与出租车公司签订租车合同：（以每月行驶路程x千米计算）甲出租车公司的月租车费y甲是：每月基本租费为1000元，再加每千米行驶费为0.5元；乙出租车公司的月租车费y乙是：每千米行驶费为1元；（1）写出y甲、y乙与x的函数关系式；（2）每月行驶多少路程时，两家公司的租车费相同？（3）如果每月用车的路程约为3000千米，那么租用哪家的车合算？请说明理由。

答案：23．解：（1）y甲= 0. 5x + 1000 …………………………(2分)y乙= x . …………………………(2分)（2）当y甲= y乙，即0. 5x + 1000 = x……………………(2分)x= 2000…………………………(1分)所以，当每月行驶2000千米路程时，两家公司的租车费相同.…………………………(1分)（3）当x = 3000时，y甲= 0. 5×3000 + 1000= 2500元………………(1分) 当x = 3000时，y乙= 3000元…………………………(1分)此时，y甲＜y乙…………………………(1分)所以，每月用车的路程约为3000千米，租用甲出租车公司的车合算.…………………………(1分)三、24．（本题满分12分）已知O为原点，点A的坐标为（4，3），圆A的半径为2，过A 作直线l平行于x轴，点P在直线l上运动.（1）当点P在圆A上时，请你直接写出它的坐标；（2）在（1）的条件下，过O、P两点作直线，求直线OP与圆A相交所得的弦的长.x第24题图答案：24．解：（1）P （2，3）或（6，3）. …………………………(1分) （2）设直线OP 与圆A 的另一个交点为Q ，作AC ⊥PQ 于C ，则PQ = 2PC . …………………………(1分)设直线l 与y 轴的交点为B ，则B （0，3）. …………………(1分)①当P （2，3）时，PB = 2，OB = 3， ∴PO =133222=+…………(1分)易证△PAC ∽△POB ，POPA PBPC =，…………………(1分)∴1322=PC ，∴13134=PC ，…………………………(1分)∴13138=PQ .…………………………(1分)②当P （6，3）时，PB = 6，OB = 3， ∴PO =536322=+.…………………………(1分)易证△PAC ∽△POB ，∴POPA PBPC =，…………………………(1分)∴5326=PC ，∴554=PC ，…………………………(1分)∴558=PQ .…………………………(1分)答：直线OP 与圆A 相交所得的弦长为13138或558.…………(1分)x四、25．（本题满分14分）已知∠MON = 60°，OT 是∠MON 的平分线，P 是射线OT 上一个动点，射线PB 交射线ON 于点B ，（1）如图甲，若射线PB 绕点P 顺时针旋转120°后与射线OM 交于点A ．①求证：PA = PB ；②若点C 是AB 与OP 的交点 , 且PC =23PB ，求△POB 与△PBC 的面积之比．（2）若OB = 2，射线PB 绕点P 顺时针旋转120°后与直线OM 交于点A （点A 不与点O 重合），直线PA 交射线ON 于点D ，且满足ABO PBD ∠=∠．请直接写出OP 的长．答案：25．（1）证明：如图甲，作PF ⊥OM 于F ，作PG ⊥ON 于G ，………(1分)∵OP 平分∠MON ，∴PF =PG ，…………(1分) ∵∠MON = 60°，∴∠FPG = 360°– 60°– 90°– 90°= 120° 又∵∠APB =120°，∴∠APF = ∠BPG ，…………………………(1分) ∴△PAF ≌△PBG ，…………………………(1分) ∴PA = PB ．…………………………(1分) （2）解：由（1）得：PA = PB ，∠APB =120°，∴∠PAB = ∠PBA = 30°，…………………………(1分) ∵∠MON = 60°，OP 平分∠MON ，∴∠TON = 30°，…………………………(1分) ∴∠POB = ∠PBC ，…………………………(1分) 又∠BPO = ∠OPB ，∴△POB ∽△PBC ，…………………………(1分) ∴34)23()(22===∆∆PBPB PCPB S S PBCPOB ；…………………………(1分)∴△POB 与△PBC 的面积之比为4∶3．MONTPA B甲COMNT（备用图） OMNT（备用图）第25题图OM N TPAB 图甲CFG（3）解：①当点A在射线OM上时（如图乙1），易求得：∠BPD = ∠BOA = 60°，∵ABOPBD∠=∠，而∠PBA = 30°，∴∠OBA = ∠PBD = 75°，作BE⊥OT于E，∵∠NOT = 30°，OB = 2，∴BE =1，OE = 3，∠OBE = 60°，∴∠EBP = ∠EPB = 45°，∴PE = BE =1，∴OP = OE + PE =3+ 1；…………………………(2分)②当点A在射线OM的反向延长线上时（如图乙2），此时∠AOB= ∠DPB= 120°，∵ABOPBD∠=∠，而∠PBA = 30°，∴∠OBA = ∠PBD = 15°，作BE⊥OT于E，∵∠NOT = 30°，OB = 2，∴BE =1，OE = 3，∠OBE = 60°，∴∠EBP = ∠EPB = 45°，∴PE = BE =1，∴OP = 3－1. …………………………(2分)OMNT图乙1APDBEOMNT图乙2PABED五、24．（本题12分）据统计，某小区2007年底拥有家庭小桥车64辆，2009年底家庭小桥车拥有量达到100辆.（1）若该小区2007年底到2010年底家庭小桥车拥有量的年平均增产率都相同，求该小区到2010年底家庭小桥车将达到多少辆？（2）为缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.答案：24．解：(1) 设家庭小桥车拥有量的年平均增产率为x ，则有 100)1(642=+x ……………………………………3分解得 49%,254121-===x x （不合题意，舍去）……1分所以 100（1+25%）=125……………………………………1分答：该小区到2010年底家庭小桥车将达到125辆. ……………1分(2) 设该小区可建室内车位a 个，露天车位b 个，则151.05.0=+b a ，得a b 5150-=……………………………1分又因为a b a 5.22≤≤，……………………………………1分所以有a a a 5.251502≤-≤，解之得715020≤≤a .………1分因为a 为正整数，所以a =20或a =21.当a =20时，b =50; 当a =21时，b =45. …………………………2分答：方案1：建室内车位20个，露天车位50个；方案2：建室内车位21个，露天车位45个. ……………………………………1分六、24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题3分）如图，在△ABC 中，AB =6，BC =4，点D 在边BC 的延长线上，∠ADC =∠BAC ，点E 在边BA 的延长线上，∠E =∠DAC ．（1）找出图中的相似三角形，并证明；（2）设AC=x,DE=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3） △AED 能否与△ABC 相似？如果能够，请求出B cos 的值；如果不能，请说明理由．答案：24．解：（1）△ABC ∽△DBA ，△CAD ∽△AED ．………………………………（2分）证明如下：∵∠B =∠B ，∠ADC =∠BAC ，∴△ABC ∽△DBA ．………（1分）∵∠BAC +∠DAC =∠BAD =∠ADE +∠E ，∠DAC =∠E ，∴∠BAC = ∠ADE =∠ADC ，∴△CAD ∽△AED ．………………………（1分）（2）∵△ABC ∽△DBA ，∴,DAAC BABC BDBA ==∴2346x x BCBA AC DA =⋅=⋅=，（1分）∴.94362===BCBA BD ∴CD =5．…………………………………………（1分）ABCDE(第24题图)∵△CAD ∽△AED ，∴CDDA DADE =．∴2DA CD DE =⋅，………………（1分）∴2)23(5x y =，∴函数解析式为2209x y =，定义域为2<x <10．………（2分）（3）△AED 能与△ABC 相似．∵∠BAC = ∠ADE =∠ADC ，∠BCA >∠ADC =∠ADE ，∠BCA >∠CAD =∠E ， ∴只有∠B =∠E =∠DAC 时，△AED 与△ABC 相似．…………………（1分）这时，由于∠B +∠BAC +∠CAD +∠ADC =180º，∴∠BAC +∠DAC =90º，∴∠ACB =∠BAD =90º．………………………（1分） ∴cos B =3264==ABBC .………………………………………………………（1分）七、24．（本题满分12分，每小题满分各4分）某果农承包果园若干亩，投资7800元种果树2000棵，其成活率为90%，08年首次开始结果，在摘果时，随意摘下10棵果树的水果，称得重量如下（单位：千克）：8，9，12，13，8，9，11，10，12，8（1）根据样本平均数估计该果农在08年水果的总产量是多少？（2）此水果在市场每千克售1.3元，在果园每千克售1.1元，该果农用农用车将水果拉到市场出售，平均每出售1000千克，需8人帮助，每人每天付工资25元.若两种方式都可在一天内售完全部水果，选择哪种方式合理？为什么？（3）根据08年的纯收入（纯收入=总收入-总支出），若该农户计划还用两年时间到2010年度合计纯收入达到57000元，求2009年、2010年平均每年的纯收入增长率是多少？答案：24.解（1）101010010812101198131298==+++++++++ ------2分18000%90200010=⨯⨯（千克）----------2分（2）①果园出售收入：18000×1.1=19800（元）. ----------1分用人工资：18000÷1000×8×25=3600（元）----------1分实际收入：23400-3600=19800（元）. ----------1分故在果园出售合理，因为市场出售，还要支付农用车费用. ----------1分（3）设2009、2010年的平均增产率为x ， 08年纯收入19800-7800=12000（元），----------1分依题意得 12000()[]570001112=++++x x ----------1分整理得 071242=-+x x解之得 5.3,5.021-==x x ----------1分因为 x =-3.5不合题意，舍去，所以x =0.5=50%. 答：2009、2010年的平均增产率为50%.----------1分八、25．（本题满分14分，第（1）小题满分6分，第（2）、（3）小题满分4分）某商场计划用9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元.（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案.（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售获利最多，你选择哪种进货方案？（3）若商场准备用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你设计进货方案.答案：25.解：（1）分三种情况①设购甲种电视机x 台，乙种电视机y 台，则有⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+;25,259000021001500,50y x y x y x ----------2分②设购甲种电视机x 台，丙种电视机z 台，则有⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+;15,359000025001500,50z x z x z x ----------2分③设购乙种电视机y 台，丙种电视机z 台，则有⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=+5.37,5.879000025002100,50z y z y z y (舍去) ----------2分（2）①当购甲种25台，乙种25台时，可获利150×25+200×25=8750（元）. -2分 ②当购甲种35台，丙种15台时，可获利150×35+250×15=9000（元）. -2分（3）设购甲种电视机x 台，乙种电视机y 台，丙种电视机z 台.则有y x z y x z y x 523590000250021001500,50-=⇒⎩⎨⎧=++=++--------2分当y =5时，x =33，z =12; y =10时，x =31，z =9; y =15时，x =29，z =6; y =20时，x =27，z =3.--------1分答：（1）有两种进货方案：购甲种25台和乙种25台或购甲种35台和丙种15台. （2）选购甲种35台，丙种15台时获利最多.（3）有四种方案：甲33台，乙5台，丙12台；甲31台，乙10台，丙9台；甲29台，乙15台，丙6台；甲27台，乙20台，丙3台；--------1分提高题部分：【行程问题】1．难度：★★★两地相距900米，甲、乙二人同时、同地向同一方向行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走100米，当乙到达目标后，立即返回，与甲相遇，从出发到相遇共经过多少分钟？【解答】甲、乙二人开始是同向行走，乙走得快，先到达目标．当乙返回时运动的方向变成了相向而行，把相同方向行走时乙用的时间和返回时相向而行的时间相加，就是共同经过的时间．乙到达目标时所用时间：900100=9(分钟)，甲9分钟走的路程：80*9=720(米)，甲距目标还有：900-720=180(米)，相遇时间：180（100+80）=1(分钟)，共用时间：9+1 =10(分钟)．另解：观察整个行程，相当于乙走了一个全程，又与甲合走了一个全程，所以两个人共走了两个全程，所以从出发到相遇用的时间为：900*2（100+80）=10分钟．2．难度：★★★★李经理的司机每天早上7点30分到他家接他去公司上班，有一天，李经理7点从家出发步行去公司，路上遇到按时来接他的车，乘车去公司，结果早到5分钟．问李经理什么时间遇上汽车？汽车速度是步行速度的___________倍．【分析】汽车比平时少走5分钟，往返各为=2.5分钟，30-2.5=27.5(分钟)，所以相遇时是7点27分30秒．汽车走2.5分钟的路程等于人走27.5分钟的路程．根据路程相等，速度比等于时间的反比，所以车与人的速度比等于人与车的时间比，即27.5:2.5=11:1，所以汽车速度是步行速度的11倍．3．难度：★★★学校组织军训，甲、乙、丙三人步行从学校到军训驻地．甲、乙两人早晨7点一起从学校出发，甲每小时走6千米，乙每小时走5千米，丙上午9点才从学校出发，下午5点甲、丙同时到达军训驻地．问：丙在何时追上乙？10【分析】先看丙和甲的追及问题，追及路程为甲走9-7=2(小时)的路程，为：6*2=12(千米)，追及时间为上午9点到下午5点，共17-9=8(小时)，所以丙的速度为：128+6=7.5(千米/时)．再看丙和乙的追及问题．丙追及乙的追及路程为乙先走9-7=2(小时)的路程，为5*2=10(千米)，两人的速度差为：7.5-5=2.5(千米／时)，追及时间为：10 2.5=4(小时)，此时为下午1点．4．难度：★★★★甲、乙、丙三人依次相距280米，甲、乙、丙每分钟依次走90米、80米、72米．如果甲、乙、丙同时出发，那么经过几分钟，甲第一次与乙、丙的距离相等？【分析】甲与乙、丙的距离相等有两种情况：一种是乙追上丙时；另一种是甲位于乙、丙之间．⑴乙追上丙需：280（80-72）=35(分钟)．⑵甲位于乙、丙之间且与乙、丙等距离，我们可以假设有一个丁，他的速度为乙、丙的速度的平均值，即（80+72）2=76(米/分)，且开始时丁在乙、丙之间的中点的位置，这样开始时丁与乙、丙的距离相等，而且无论经过多长时间，乙比丁多走的路程与丁比丙多走的路程相等，所以丁与乙、丙的距离也还相等，也就是说丁始终在乙、丙的中点．所以当甲遇上丁时甲与乙、丙的距离相等，而甲与丁相遇时间为：（280+2802）（90-76）=30(分钟)．经比较，甲第一次与乙、丙的距离相等需经过30分钟．。

浦东一对一培训机构初中数学 1对1 24题强化训练

浦东一对一培训机构初中数学恒高1对1 24题强化训练
初中用的较多的是用几何问题去解决直角坐标系中的函数问题，对于初中生，尽可能从图形着手去解决，比如求点的坐标，可以通过往坐标轴作垂线，把它转化为求线段的长，再结合基本的相似全等三角比解决，尽可能避免用两点间距离公式列方程组，所以遇到此类题目，切记先用几何方法，实在做不出再用解析法。

5.
6.（2012上海）在平面直角坐标系中，二次函数y =ax 2+6x +c 的图象经过点A (4，0)、B (-1，
0)，与y 轴交于点C ，点D 在线段OC 上，OD =t ，点E 在第二象限，∠ADE =90°，tan ∠DAE =
12
，EF ⊥OD ，垂足为F .（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF 、OF 的长(用含t 的代数式表示)；
（3）当∠ECA =∠OAC 时，求t 的值.
7、。

浦东中考一对一补习初中数学恒高1对1 平行四边形的存在性问题

浦东中考一对一补习初中数学恒高教育平行四边形的存在性问题(一)平行四边形的存在性问题-------已知平行四边形三定点+1动点
【方法：动点坐标错误！未找到引用源。

：相对顶点横坐标之和相等,纵坐标之和相等】(二)平行四边形的存在性问题-------已知平行四边形2定点+2动点
【方法：以固定的一边作为平行四边形的一边或对角线进行分类讨论】
例1、
二、梯形的存在性问题
例2、
已知A(-1，m)与B(2，m+3)是反比例函数图象上的两个点．
(1)求k的值；
(2)若点C(-1，0)，则在反比例函数图象上是否存在点D，使
得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D的
坐标；若不存在，请说明理由．
三、动点产生的面积问题
例4、
例5、
如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=2，M是边AC上一点，过点M的直线交CB的延长线于点N，交边AB于点P，且AM=BN．
（1）求证：MP=NP；
（2）设AM=x，AP=y, 求y与x的函数解析式;
(3) 设AM=x，四边形MCBP的面积为y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；。

上海民办浦东交中初级中学七年级上册数学压轴题期末复习试卷(含答案)

7．（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？
在①135 ，②120 ，③ 75 ，④ 25中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是
_________；（填序号）（2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种.如图，他先用三角板
画出了直线 EF ，然后将一副三角板拼接在一起，其中 45 角（ AOB ）的顶点与 60 角（ COD ）的顶点互相重合，且边 OA 、 OC 都在直线 EF 上.固定三角板 COD 不动，将三角板 AOB 绕点 O 按顺时针方向旋转一个角度，当边 OB 与射线 OF 第一次重合时停
重叠部分经历了 9 秒．若线段 MN＝5，求线段 MN 的运动速度．
3．已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE 平分∠AOC，OF 平分∠BOD．
（1）如图 1，当 OB、OC 重合时，求∠AOE﹣∠BOF 的值；
（2）如图 2，当∠COD 从图 1 所示位置绕点 O 以每秒 3°的速度顺时针旋转 t 秒（0＜t＜
（5）在数1.2.3...2019前添加“ ”，“ ”并依次计算，所得结果可能的最小非负数是
______ （6）早上 8 点钟，甲、乙、丙三人从东往西直行，乙在甲前 400 米，丙在乙前 400 米，甲、乙、丙三人速度分别为 120 米/分钟、100 米/分钟、90 米/分钟，问：______分钟后甲和乙、丙的距离相等.
度？
（2）如图 2，∠1 的度数比∠2 度数的 3 倍还多 30°，求∠2 的度数；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（3）利用图 3，反向延长射线 OA 到 M，OE 平分∠BOM，OF 平分∠COM，请按题意补全
图（3），并求出∠EOF 的度数．
5．综合试一试

【押题】2021年上海市中考数学押题密卷集合版-共10套含解析

∴ OD2 m2 (m 6)2 2m2 12m 36 ， DE m 6 1 m2 ．……（1 分） 3
∵点 C（0，6），∴CO=6．∴ 2m2 12m 36 6(m 6 1 m2 ) ，……（1 分） 3
∴ 4m2
6m
0, m1
0(不符合题意，舍去）, m2
3 2
．………………（1
2021 年上海市中考数学押题密卷（内部独家发布）
目录 2021 年上海市中考数学押题试卷 1 2021 年上海市中考数学押题试卷 2 2021 年上海市中考数学押题试卷 3 2021 年上海市中考数学押题试卷 4 2021 年上海市中考数学押题试卷 5 2021 年上海市中考数学押题试卷 6 2021 年上海市中考数学押题试卷 7 2021 年上海市中考数学押题试卷 8 2021 年上海市中考数学押题试卷 9 2021 年上海市中考数学押题试卷 10
第 22 题
【解析】（1）设乙队在 2 x 6 的时段内 y 与 x 之间的函数关系式为 y kx b ，
由图可知，函数图象过点（2，30）、（6，50），
2k b 30 ∴ 6k b 50
k 5 解得 b 20
∴ y 5x 20 ．
甲乙
6 x(时)
23．已知：如图，在菱形 ABCD 中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点 E 和点 F，AE、AF 分别与 BD 相交于点 M、N．（1）求证：EF∥BD；（2）当 MN：EF=2：3 时，求证：△AMN 是等边三角形．
优网版权【答案】（1）x=2 （2）解析式为 y=x2+4，定义域为 0≤x≤2
（3）
【解析】解：（1）作 EH⊥BC，垂足为点 H，如图 1，由题意，可得 BH=AE=2，CH=4，EH=AB=4， ∴CH=EH， ∴∠CEH=45°， ∵∠CEP=∠AEH=90°，∴∠AEP=∠CEH=45°， ∵∠A=90°，∴∠AEP=∠APE=45°， ∴AP=AE=2，即 x=2；

上海上海外国语大学附属浦东外国语学校九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案

上海上海外国语大学附属浦东外国语学校九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案一、压轴题1．如图，已知点A （3，0），以A 为圆心作⊙A 与Y 轴切于原点，与x 轴的另一个交点为B ，过B 作⊙A 的切线l ．（1）以直线l 为对称轴的抛物线过点A 及点C （0，9），求此抛物线的解析式；（2）抛物线与x 轴的另一个交点为D ，过D 作⊙A 的切线DE ，E 为切点，求此切线长；（3）点F 是切线DE 上的一个动点，当△BFD 与△EAD 相似时，求出BF 的长．2．某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm ，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD 时，求证：四边形ABCD 是菱形．（3）设平移的距离为cm(0662)x x <≤+，两张纸条重叠部分的面积为2cm s ．求s 与x 的函数关系式，并求s 的最大值．3．已知：如图，抛物线2134y x x =--交x 正半轴交于点A ，交y 轴于点B ，点()4,C n -在抛物线上，直线l ：34y x m =-+过点B ，点E 是直线l 上的一个动点，ACE △的外心是P ．（1）求m，n的值．（2）当点E移动到点B时，求ACE△的面积．（3）①是否存在点E，使得点P落在ACE△的边上，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．②过点A作直线AD x轴交直线l于点D，当点E从点D移动到点B时，圆心P移动的路线长为_____．（直接写出答案）4．如图，过原点的抛物线y=﹣12x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），B为抛物线的顶点，连接OB，点P是线段OA上的一个动点，过点P作PC⊥OB，垂足为点C．（1）求抛物线的解析式，并确定顶点B的坐标；（2）设点P的横坐标为m，将△POC绕着点P按顺利针方向旋转90°，得△PO′C′，当点O′和点C′分别落在抛物线上时，求相应的m的值；（3）当（2）中的点C′落在抛物线上时，将抛物线向左或向右平移n（0＜n＜2）个单位，点B、C′平移后对应的点分别记为B′、C″，是否存在n，使得四边形OB′C″A的周长最短？若存在，请直接写出n的值和抛物线平移的方向，若不存在，请说明理由．5．如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：(Ⅰ)将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②；(Ⅱ)在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B′处，如图③，两次折痕交于点O；(Ⅲ)展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图④．（探究）（1）证明：OBC≌OED；（2）若AB ＝8，设BC 为x ，OB 2为y ，是否存在x 使得y 有最小值，若存在求出x 的值并求出y 的最小值，若不存在，请说明理由．6．如图1，抛物线221y x x =-+-的顶点A 在x 轴上，交y 轴于B ，将该抛物线向上平移，平移后的抛物线与x 轴交于,C D ，顶点为()1,4E ．（1）求点B 的坐标和平移后抛物线的解析式；（2）点M 在原抛物线上，平移后的对应点为N ，若OM ON =，求点M 的坐标；（3）如图2，直线CB 与平移后的抛物线交于F ．在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得以,,C F P 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．8．如图，⊙O 经过菱形ABCD 的三个顶点A 、C 、D ，且与AB 相切于点A ．（1）求证：BC 为⊙O 的切线；（2）求∠B 的度数．（3）若⊙O 半径是4，点E 是弧AC 上的一个动点，过点E 作EM ⊥OA 于点M ，作EN ⊥OC 于点N ，连接MN ，问：在点E 从点A 运动到点C 的过程中，MN 的大小是否发生变化？如果不变化，请求出MN 的值；如果变化，请说明理由．9．如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A 在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得9136S =？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒25OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．10．⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，OB AC ⊥，OB 与AC 相交于点H ，21012BC AC CD ===，．（1）求⊙O 的半径；（2）求AD 的长；（3）若E 为弦CD 上的一个动点，过点E 作EF//AC ，EG//AD ． EF 与AD 相交于点F ，EG 与AC 相交于点G ．试问四边形AGEF 的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．11．在平面直角坐标系中，经过点()0,2A 且与33y x =-平行的直线，交x 轴于点B ，如图1所示．（1）试求B 点坐标，并直接写出ABO ∠的度数；（2）过()1,0M 的直线与AB 成45︒夹角，试求该直线与AB 交点的横坐标；（3）如图2，现有点(,)C m n 在线段AB 上运动，点,(320)D m -+在x 轴上，N 为线段CD 的中点．①试求点N 的纵坐标y 关于横坐标x 的函数关系式；②直接写出N 点的运动轨迹长度为．12．在锐角△ABC 中，AB=AC ，AD 为BC 边上的高，E 为AC 中点．（1）如图1，过点C 作CF ⊥AB 于F 点，连接EF ．若∠BAD =20°，求∠AFE 的度数；（2）若M 为线段BD 上的动点（点M 与点D 不重合），过点C 作CN ⊥AM 于N 点，射线EN ，AB 交于P 点．①依题意将图2补全；②小宇通过观察、实验，提出猜想：在点M 运动的过程中，始终有∠APE =2∠MAD ．小宇把这个猜想与同学们进行讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：连接DE ，要证∠APE =2∠MAD ，只需证∠PED =2∠MAD ．想法2：设∠MAD =α，∠DAC =β，只需用α，β表示出∠PEC ，通过角度计算得∠APE =2α．想法3：在NE 上取点Q ，使∠NAQ =2∠MAD ，要证∠APE =2∠MAD ，只需证△NAQ ∽△APQ ．……请你参考上面的想法，帮助小宇证明∠APE =2∠MAD ．（一种方法即可）13．如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y=12x 2+bx+c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 为直线AC 上方抛物线上一动点；①连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1， △BCE 的面积为S 2，求12S S 的最大值； ②过点D 作DF⊥AC，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由14．对于⊙C 与⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线．．AP 与⊙C 交于点Q （点Q 可以与点P 重合），且12PA QA≤≤，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”．已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （-1，0）．（1）若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标________；（2）若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足1tan BAO 2∠=，求点B 的纵坐标t 的取值范围；（3）直线3y x b =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是_____________________________．15．已知在矩形ABCD 中，AB=2，AD=4．P 是对角线BD 上的一个动点（点P 不与点B 、D 重合），过点P 作PF⊥BD，交射线BC 于点F ．联结AP ，画∠FPE=∠BAP，PE 交BF 于点E ．设PD=x ，EF=y ．（1）当点A 、P 、F 在一条直线上时，求△ABF 的面积；（2）如图1，当点F 在边BC 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）联结PC ，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD 的长．16．如图，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为OC 上动点(与点O 不重合)，作AF ⊥BE ，垂足为G ，交BO 于H ．连接OG 、CG ．(1)求证：AH=BE ；(2)试探究：∠AGO 的度数是否为定值？请说明理由；(3)若OG ⊥CG ，BG=32，求△OGC 的面积．17．如图所示，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，43BC =，30C ∠=︒，点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长度的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度向点B 匀速运动，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D 、E 运动的时间是t 秒(0)t >，过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接DE 、EF .（1）求证：AE DF =；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由；（3）当t =________时，DEF ∆为直角三角形.18．如图，在直角坐标系中，点C 在第一象限，CB x ⊥轴于B ，CA y ⊥轴于A ，3CB =，6CA =，有一反比例函数图象刚好过点C ．（1）分别求出过点C 的反比例函数和过A ，B 两点的一次函数的函数表达式；（2）直线l x ⊥轴，并从y 轴出发，以每秒1个单位长度的速度向x 轴正方向运动，交反比例函数图象于点D ，交AC 于点E ，交直线AB 于点F ，当直线l 运动到经过点B 时，停止运动．设运动时间为t （秒）．①问：是否存在t 的值，使四边形DFBC 为平行四边形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由；②若直线l 从y 轴出发的同时，有一动点Q 从点B 出发，沿射线BC 方向，以每秒3个单位长度的速度运动．是否存在t 的值，使以点D ，E ，Q ，C 为顶点的四边形为平行四边形；若存在，求出t 的值，并进一步探究此时的四边形是否为特殊的平行四边形；若不存在，说明理由．19．我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60︒的凸四边形叫做“准筝形”．（1）如图1，在四边形ABCD 中，270A C ∠+∠=︒，30D ∠=︒，AB BC =，求证：四边形ABCD 是“准筝形”；（2）如图2，在“准筝形”ABCD 中，AB AD =，60BAC BCD ∠=∠=︒，4BC =，3CD =，求AC 的长；（3）如图3，在ABC 中，45A ∠=︒，120ABC ∠=︒，33AB =-，设D 是ABC 所在平面内一点，当四边形ABCD 是“准筝形”时，请直接写出四边形ABCD 的面积．20．如图①，在ABC 中，AB AC =，BAC α∠=，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接BE ，点M 、P 、N 分别为DE 、BE 、BC 的中点．（1）观察猜想：图①中，线段PM 与PN 的数量关系是_____________，用含α的代数式表示MPN ∠的度数是________________________；（2）探究证明：把ADE 绕点A 顺时针方向旋转到图②的位置，连接MN ，BD ，CE ，当120α=︒时，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内任意旋转，若90α=︒，3AD =，7AB =，请直接写出线段MN 的最大值和最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）21(6)33y x =--；（2）3）32【解析】试题分析：（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点坐标式，然后将C 点坐标代入求解即可．（2）由于DE 是⊙A 的切线，连接AE ，那么根据切线的性质知AE ⊥DE ，在Rt △AED 中，AE 、AB 是圆的半径，即AE=OA=AB=3，而A 、D 关于抛物线的对称轴对称，即AB=BD=3，由此可得到AD 的长，进而可利用勾股定理求得切线DE 的长．（3）若△BFD 与EAD △相似，则有两种情况需要考虑：①△AED ∽△BFD ，②△AED ∽△FBD ，根据不同的相似三角形所得不同的比例线段即可求得BF 的长．试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=a （x-6）2+k ；∵抛物线经过点A （3，0）和C （0，9）， ∴90{369a k a k +=+=，解得：1 {33a k ==-∴y=13（x-6）2-3．（2）连接AE ；∵DE 是⊙A 的切线，∴∠AED=90°，AE=3，∵直线l 是抛物线的对称轴，点A ，D 是抛物线与x 轴的交点，∴AB=BD=3，∴AD=6；在Rt △ADE 中，DE 2=AD 2-AE 2=62-32=27，∴（3）当BF ⊥ED 时；∵∠AED=∠BFD=90°，∠ADE=∠BDF ，∴△AED ∽△BFD ， ∴AE AD BF BD =，即363BF =， ∴BF=32；当FB ⊥AD 时，∵∠AED=∠FBD=90°，∠ADE=∠FDB ， ∴△AED ∽△FBD ， ∴AE EDBF BD=，即BF=33333⨯=； ∴BF 的长为32或3．考点：二次函数综合题．2．（1）三角形，四边形（梯形、菱形），五边形；（2）见解析；（3）221(06)2618(662)1[(62)]2(6262)22(62)x x x x s x x x ⎧<⎪⎪-<⎪=⎨⎪--++<+⎪⎪=-⎩，s 的最大值为2362cm ．【解析】【分析】（1）根据平移过程中，重叠部分四边形的形状判定即可；（2）分别过点B 、D 作BE CD ⊥于点E 、DF CB ⊥于点F ，再根据纸条的特点证明四边形ABCD 是平行四边形，再证明邻边相等即可证明；（3）分06x <≤、662x <、62<662x <+x=62+s 与x 的函数关系式，然后再求最大值即可．【详解】解：（1）在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，四边形（梯形、菱形），五边形；（2）证明：分别过点B 、D 作BE CD ⊥于点E 、DF CB ⊥于点F ， ∴90BEC DFC ∠=∠=︒ ∵两张纸条等宽，∴6BE DF ==．在BCE 和DCF 中45BCE DCF ∠=∠=︒， ∴2266=62BC DC ==+， ∵两张纸条都是矩形，， ∴//AB CB //BC AD ． ∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵BC DC =， ∴四边形ABCD 是菱形；（3）Ⅰ、如图：当06x <≤时，重叠部分为三角形，如图所示， ∴212S x =， ∴018S <．最大值为218cm ．Ⅱ、如图：当662x <时，重叠部分为梯形，如图所示，梯形的下底为cm x ，上底为(6)cm x -，∴()1666182S x x x =+-⋅=-，当62x =s 取最大值2(36218)cm ．Ⅲ、当62662x <<+时，重叠部分为五边形，2211=626(662)[(662)]36222S S S x x -=⨯-+-=--++五边形菱形三角形．此时36218362S -<<五边形．Ⅳ、当662x =+时，重叠部分为菱形， ∴2362cm S =菱形．∴221(06)2618(662)1[(662)]2(62662)2362(662)x x x x s x x x ⎧<⎪⎪-<⎪=⎨⎪--++<+⎪⎪=-⎩ ∴s 的最大值为2362cm ．【点睛】本题考查了平移变换、等腰直角三角形的性质、菱形的判定以及运用二次函数求最值，考查知识点较多，因此灵活运用所学知识成为解答本题的关键．3．（1）3,5m n =-=；（2）30ACES=；（3）①点E 的坐标为：1653,1122⎛⎫-- ⎪⎝⎭或6415,1111E ⎛⎫- ⎪⎝⎭或3660,1111E ⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②圆心P 移动的路线长【解析】【分析】（1）令2130,4y x x =--=求出点A （6，0），把点C （-4，n ）代入在抛物线方程，解得：n=5，把点B （0，-3）代入34y x m =-+，从而可得答案；（2）记AC 与y 轴的交点为H ，利用()1.2ACEA C SBH x x =••-即可求解；（3）①分当点P 落在CA 上时，点P 落在AE 上时，点P 落在CE 上时三种情况讨论即可； ②分E 在D 和B 点两种情况，求出圆心12,P P 点的坐标，则圆心P 移动的路线长=12PP ，即可求解．【详解】解：（1）令2130,4y x x =--= 24120,x x ∴--=()()260,x x ∴+-= 122,6,x x ∴=-=∴ 点A （6，0），把点C （-4，n ）代入在抛物线方程，解得：()()214435,4n =⨯----= ()4,5C ∴-，把点B （0，-3）代入34y x m =-+，解得：3m =-，则：直线l ：334y x =--，…① 3,5,m n ∴=-=（2）由（1）知：A （6，0）、B （0，-3）、C （-4，5）、 AC 中点为51,,2⎛⎫⎪⎝⎭设AC 为：,y kx b =+6045k b k b +=⎧∴⎨-+=⎩解得：123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩AC ∴所在的直线方程为：132y x =-+，如图，AC 与y 轴交点H 坐标为：（0，3），()1161030.22ACEA C SBH x x ∴=••-=⨯⨯=（3）如下图： ①当点P 落在CA 上时，圆心P 为AC 的中点51,,2⎛⎫⎪⎝⎭其所在的直线与AC 垂直，1,2AC k =-AC ∴的垂直平分线即圆心P 所在的直线方程为：2,y x a =+把51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得：52,2a =+ 1,2a ∴=122y x ∴=+…②，334122y x y x ⎧=--⎪⎪∴⎨⎪=+⎪⎩①②解得：11,5322y ⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩E 的坐标为1653,1122⎛⎫-- ⎪⎝⎭；当点P 落在AE 上时，设点3,3,4E m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭则点P 的坐标633,282m m +⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则PA=PC ，2222633633645282282m m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得：64,11m =- 故点6415,.1111E ⎛⎫-⎪⎝⎭ 当点P 落在CE 上时，则PC=PA ，同理可得：36,11m = 故点3660,1111E ⎛⎫-⎪⎝⎭ 综上，点E 的坐标为：1653,1122⎛⎫-- ⎪⎝⎭或6415,1111E ⎛⎫- ⎪⎝⎭或3660,1111E ⎛⎫- ⎪⎝⎭；②当E 在D 点时，作AD 的垂直平分线交AC 的垂直平分线于1P 点，则156,2D ⎛⎫-⎪⎝⎭，1P 的纵坐标为15,4- 代入②式，解得：11715,,84P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 同理当当E 在B 点时，作AB 的垂直平分线交AC 的垂直平分线于2P 点，()()6,0,0,3,A B -AB ∴的中点为：33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，设AB 为：y ex f =+，603e f f +=⎧∴⎨=-⎩解得：23f ⎨⎪=-⎩∴ AB 直线方程为：132y x =-，设AB 的垂直平分线方程为：12,y x b =-+1323,2b ∴-⨯+=-192b ∴=， ∴ AB 的垂直平分线方程为：92,2y x =-+122922y x y x ⎧=+⎪⎪∴⎨⎪=-+⎪⎩解得：152x y =⎧⎪⎨=⎪⎩251,,2P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭则圆心P 移动的路线长=221217515251 5.8248PP ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：8【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与x 轴的交点坐标，利用待定系数法求解一次函数的解析式，三角形的外心的性质、一次函数的交点问题，勾股定理的应用，综合性很强，是难度较大类题目．4．（1）2122y x x =-+，点B （2，2）；（2）m=2或209m =；（3）存在；n=27时，抛物线向左平移．【解析】【分析】（1）将点A 和点O 的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，然后利用配方法可求得点B 的坐标；（2）由点A 、点B 、点C 的坐标以及旋转的性质可知△△PDC 为等腰直角三角形，从而可得到点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m），然后根据点在抛物线上，列出关于m 的方程，从而可解得m 的值；（3）如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处，以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″，由线段的性质可知当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短，先求得点B′的坐标，根据点B 移动的方向和距离从而可得出点抛物线移动的方向和距离．【详解】解：（1）把原点O （0，0），和点A （4，0）代入y=12-x 2+bx+c ．得040c b b c =⎧⎨-++=⎩，∴02c b =⎧⎨=⎩．∴22112(2)222y x x x =-+=--+． ∴点B 的坐标为（2，2）．（2）∵点B 坐标为（2，2）． ∴∠BOA=45°．∴△PDC 为等腰直角三角形．如图，过C′作C′D ⊥O′P 于D ．∵O′P=OP=m．∴C′D=12O′P=12m．∴点O′坐标为：（m，m），点C′坐标为：（32m，2m）．当点O′在y=12-x2+2x上．则−12m2+2m＝m．解得：12m=，20m=（舍去）．∴m=2．当点C′在y=12-x2+2x上，则12-×(32m)2+2×32m＝12m，解得：120 9m=，20m=（舍去）．∴m=20 9（3）存在n=27，抛物线向左平移．当m=209时，点C′的坐标为（103，109）．如图，将AC′沿C′B平移，使得C′与B重合，点A落在A′处．以过点B的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″．当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A的周长最短．∵BA′∥AC′，且BA′=AC′，点A（4，0），点C′（103，109），点B（2，2）．∴点A′（83，89）．∴点A″的坐标为（83，289）．设直线OA″的解析式为y=kx，将点A″代入得：828 39k=，解得：k=76．∴直线OA″的解析式为y=76 x．将y=2代入得：76x=2，解得：x=127，∴点B′得坐标为（127，2）．∴n=2122 77 -=．∴存在n=27，抛物线向左平移．【点睛】本题主要考查的是二次函数、旋转的性质、平移的性质、路径最短等知识点，由旋转的性质和平移的性质求得点点O′坐标为：（m，m），点C′坐标为：（32m，2m）以及点B′的坐标是解题的关键．5．（1）见解析；（2）x=4，16【解析】【分析】（1）连接EF，根据矩形和正方形的判定与性质以及折叠的性质，运用SAS证明OBC≌OED即可；（2）连接EF、BE，再证明△OBE是直角三角形，然后再根据勾股定理得到y与x的函数关系式，最后根据二次函数的性质求最值即可．【详解】（1）证明：连接EF．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝∠ADE＝∠DAF＝90°由折叠得∠DEF＝∠DAF，AD＝DE∴∠DEF＝90°又∵∠ADE ＝∠DAF ＝90°，∴四边形ADEF 是矩形又∵AD ＝DE ，∴四边形ADEF 是正方形∴AD ＝EF ＝DE ，∠FDE ＝45°∵AD ＝BC ，∴BC ＝DE由折叠得∠BCO ＝∠DCO ＝45°∴∠BCO ＝∠DCO ＝∠FDE ．∴OC ＝OD ．在△OBC 与△OED 中，BC DE BCO FDE OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△OBC ≌△OED （SAS ）；（2）连接EF 、BE ．∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝8．由（1）知，BC ＝DE∵BC ＝x ，∴DE ＝x∴CE ＝8－x由（1）知△OBC ≌△OED∴OB ＝OE ，∠OED ＝∠OBC ．∵∠OED ＋∠OEC ＝180°，∴∠OBC ＋∠OEC ＝180°．在四边形OBCE 中，∠BCE ＝90°，∠BCE ＋∠OBC ＋∠OEC ＋∠BOE ＝360°，∴∠BOE ＝90°．在Rt △OBE 中，OB 2＋OE 2＝BE 2．在Rt △BCE 中，BC 2＋EC 2＝BE 2．∴OB 2＋OE 2＝BC 2＋CE 2．∵OB 2＝y ，∴y ＋y ＝x 2＋(8－x)2．∴y ＝x 2－8x ＋32∴当x=4时，y 有最小值是16．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形和正方形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判定、勾股定理以及运用二次函数求最值等知识点，灵活应用所学知识是解答本题的关键．6．（1）B 点坐标(0，-1)，平移后的抛物线为2y=-x +2x+3；（2）点M 的坐标为(1+2，或(1-2，；（3）存在，1P (1,1)，2P (1,6)-，3P (12)，，4P (1,8)-，详解见解析．【解析】【分析】（1）将x=0代入抛物线公式2y=-x +2x-1求出y 值，即可得到抛物线与y 轴交点B 的坐标，平移后的抛物线的顶点为E(1,4)，可根据顶点式求出平移后抛物线的解析式；（2）因为抛物线向上平移4个单位，所以MN=4，又因为OM=ON ，可知点M 的纵坐标为-2，将y=-2代入原抛物线2y=-x +2x-1，即可求出x 值，点M 的坐标就可以表示出来．（3）要使C 、F 、P 为顶点的三角形为直角三角形，可以画一个以C 、F 为直径的圆（直径对应圆周角为直角），交抛物线对称轴x=-1可得点1P 、2P 的坐标解，另外可以使∠PCF=90°或∠CFP=90°，可分别得出点3P 、4P 的坐标解．【详解】解：（1）抛物线2y=-x +2x-1与y 轴相交于点B ，将x=0代入，求得y=-1，∴B 点坐标(0，-1)．∵设平移后的抛物线为2y=-(x-h)+k ，顶点为E(1,4)，即h=1，k=4，∴2y=-(x-1)+4，即平移后的抛物线为22y=-(x-1)+4=-x +2x+3．（2）如上图所示，∵原坐标顶点A(1，0)，平移后抛物线顶点为E(1,4)，∴抛物线向上平移了4个单位，即MN //y 轴，MN ⊥x 轴，又∵OM=ON ，MN=4，∴点O 在垂直平分线上，点M 、N 关于x 轴对称，∴M 点的纵坐标为–2，将y=-2代入2y=-x +2x-1，得：222-x +2x-1=-2-(x -2x+1)=-2(x-1)=2x=12± 解得：x=12±，∴点M 的坐标为(1+2-2)，或(1-2-2)，．（3）存在，且1P (1,1)，2P (1,6)-，3P (12)，，4P (1,8)-．如图所示，点P 一共有四种结果，∵C 点为平移后的解析式与x 轴的左交点，将y=0代入2y=-x +2x+3，得x=-13或， ∴C(-1，0)，且点B(0，-1)，将点B(0，-1)、C(-1，0)代入直线BC 解析式为：y=kx+b ， ∴-k+b=0b=-1⎧⎨⎩，解得：k=-1b=-1⎧⎨⎩，即直线BC 解析式：y=-x-1，根据题意可知，直线BC 与平移后的解析式相交于点F ，∴2y=-x-1y=-x +2x+3⎧⎨⎩，解得：x=-1（舍）或4，y=-5，即F(4，-5)， ∵要使C 、F 、P 为顶点的三角形为直角三角形，可以画一个以C 、F 为直径的圆，该圆与抛物线对称轴x=-1交点即为点P （因为圆的直径对应的圆周角为90°，即∠CPF=90°）∴以C 、F 为直径的圆，圆心为线段CF 的中点(32，5-2)，直径为线段CF 的长∴圆的方程为：22235x-+y+=22()()，将x=1代入圆的方程，得：y=1或-6，即1P (1,1)，2P (1,6)-， ∵直线CF 解析式：y=-x-1，即斜率k=-1，即直线CF 与x 轴夹角为45°，要使C 、F 、P 为顶点的三角形为直角三角形，则使∠PCF=90°，直线CP 与x 轴夹角也为45°，即直线CP 斜率为1，直线CP 的解析式为：y=x+1，此时该直线与抛物线对称轴x=1的交点为3P (1,2)，又∵直线CF 解析式：y=-x-1，即斜率k=-1，即直线CF 与x 轴夹角为45°，要使C 、F 、P 为顶点的三角形为直角三角形，则使∠CFP=90°，直线FP 与x 轴夹角也为45°，即直线FP 斜率为1，直线FP 的解析式为：y=x-9，此时该直线与抛物线对称轴x=1的交点为4P (1,-8)．【点睛】本题考查了一元二次函数与坐标轴、直线的交点，一元二次函数的平移及应用，圆的直径所对应的圆周角为直角等知识点，该题有一定的难度，所以一定要结合图形进行分析，这样才不会把解遗漏．7．（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492．【解析】【分析】（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．【详解】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，//PN BD ∴，12PN BD =，点P ，M 是CD ，DE 的中点， //PM CE ∴，12PM CE =， AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =，利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =， PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，22AM ∴=，在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，52AN =225272MN ∴=最大222111149(72)22242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大．方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大．【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．8．（1）见解析；（2）60°；（3）不变，MN=23【解析】【分析】（1）连接AO、CO、BO、BD，根据菱形的性质得到AB=CB，然后根据SSS即可证明两三角形全等；（2）首先根据全等的性质得到O、B、D共线，然后根据三角形外角的性质得到∠BOC＝2∠ODC＝2∠OBC，最终根据余角的性质即可求解；（3）延长EM、EN交⊙O于F、G，连接FG、OF、OG，过点O作OH垂直于FG于点H，根据垂径定理和三角形中位线的性质得到MN=12FG，根据（2）问结论结合圆周角定理求得∠FOH＝60°，最后根据含30°的直角三角形的边角关系即可求解．【详解】（1）如图，连接AO、CO、BO、BD．∵AB是⊙O的切线，∴OA⊥AB∴∠BAO＝90°．∵四边形ABCD是菱形∴AB＝CB又∵AO＝CO，BO＝BO∴△BAO≌△BCO（SSS）∴∠BCO＝∠BAO＝90°，即OC⊥BC∴BC为⊙O的切线（2）∵△ABO≌△CBO∴∠ABO＝∠CBO∵四边形ABCD是菱形∴BD平分∠ABC，CB＝CD∴点O在BD上∵∠BOC＝∠ODC＋∠OCD，OD＝OC∴∠ODC＝∠OCD∴∠BOC＝2∠ODC∵CB＝CD∴∠OBC＝∠ODC∴∠BOC＝2∠OBC∵∠BOC＋∠OBC＝90°∴∠OBC＝30°∴∠ABC＝2∠OBC＝60°即∠B=60°；（3）不变延长EM、EN交⊙O于F、G，连接FG、OF、OG．过点O作OH垂直于FG于点H．∵EM⊥OA、EN⊥OC．∴M、N是EF、EG的中点．∴MN是△EFG的中位线∴MN=12 FG．由（2）知∠ABC＝60°∴∠AOC＝120°∴∠FOG＝∠AOC＝120°∴∠MEN＝12∠FOG＝60°，∴∠FOH＝60°，∴OH=2，FH=23∴FG=43∴MN=12FG=23【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，正确的引出辅助线，熟练利用三角形和圆的知识点求解是本题的关键．9．（1）t=1；（2）存在，143t=，理由见解析；（3）可能，3455t≤≤或4533t≤≤或35t≤≤理由见解析【解析】【分析】（1）用待定系数法求出直线AC的解析式，根据题意用t表示出点H的坐标，代入求解即可；（2）根据已知，当点F运动到点O停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t，使重叠面积为9136S=，故t﹥4,用待定系数法求出直线AB的解析式，求出点H 落在BC 边上时的t 值，求出此时重叠面积为169﹤9136，进一步求出重叠面积关于t 的表达式，代入解t 的方程即可解得t 值；（3）由已知求得点D （2，1），AC=结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长．【详解】（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，设直线AC 的函数解析式为y=kx+b ，将点A 、C 坐标代入，得：402k b b +=⎧⎨=⎩，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的函数解析式为122y x =-+，当点H 落在AC 边上时，点E(3-t ，0)，点H （3-t ，1），将点H 代入122y x =-+，得： 11(3)22t =--+，解得：t=1；（2）存在，143t =，使得9136S =．根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4，设直线AB 的函数解析式为y=mx+n ，将点A 、B 坐标代入，得：402m n n -+=⎧⎨=⎩，解得：122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的函数解析式为122y x =+，当t ﹥4时，点E （3-t ，0）点H （3-t ，t-3），G(0，t-3)，当点H 落在AB 边上时，将点H 代入122y x =+，得： 13(3)22t t -=-+，解得：133t =；此时重叠的面积为221316(3)(3)39t -=-=，∵169﹤9136，∴133﹤t ﹤5，如图1，设GH 交AB 于S ，EH 交AB 于T,将y=t-3代入122y x =+得：1322t x -=+，解得：x=2t-10，∴点S(2t-10，t-3)，将x=3-t 代入122y x =+得：11(3)2(7)22y t t =-+=-， ∴点T 1(3,(7))2t t --，∴AG=5-t ，SG=10-2t ，BE=7-t ，ET=1(7)2t -， 211(7)24BET S BE ET t ∆==-, 21(5)2ASG S AG SG t ∆==- 所以重叠面积S=AOB BET ASG S S S ∆∆∆--=4-21(7)4t --2(5)t -=2527133424t t -+-，由2527133424t t -+-=9136得：1143t =，29215t =﹥5(舍去)， ∴143t =；（3）可能，35≤t≤1或t=4． ∵点D 为AC 的中点，且OA=2,OC=4，∴点D （2，1），AC=255易知M 点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动；当0﹤t ﹤12时，M 在线段OD 上，H 未到达D 点，所以M 与正方形不相遇；当12﹤t ﹤1时， 12+12÷（1+4）=35秒，∴t =35时M 与正方形相遇，经过1÷（1+4）=15秒后，M 点不在正方行内部，则3455t ≤≤；当t=1时，由（1）知，点F 运动到原E 点处，M 点到达C 处；当1≤t≤2时，当t=1+1÷（4-1）=43秒时，点M 追上G 点，经过1÷（4-1）=13秒，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），4533t ≤≤ 当t=2时，点M 运动返回到点O 处停止运动，当 t=3时，点E 运动返回到点O 处, 当 t=4时，点F 运动返回到点O 处,当35t ≤≤时，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），综上，当3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤时，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）．【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．10．（1）⊙O 的半径为10，（2）AD 长为19.2，（3）存在，四边形AGEF 的面积的最大值为34.56．【解析】【分析】（1）如图1利用垂径定理构造直角三角形解决问题．（2）如图2在（1）基础上利用圆周角和圆心角的关系证明△OCH∽△DCK，求出Dk，再据垂径定理求得AD．（3）如图3以平行四边形AGEF的面积为函数，以AG边上的高为自变量，列出一个二次函数，利用二次函数的最值求解．【详解】（1）如图1连接OC ，因为OB AC ⊥,根据垂径定理知 HC=1112622AC =⨯= 在RT △BCH 中∵210BC = ∴由勾股定理知：2222BH (210)62BC HC =-=-=∴OH=OB-BH=OB-2又∵OB=OC所以在RT △OCH 中，由勾股定理可得方程：2222)6OC OC -+=（解得OC=10．（2）如图2，在⊙O 中：∵AC=CD ，∴OC ⊥AD （垂径定理）∴AD=2KD ，∠HCK=∠DCK又∵∠DKC=∠OHC=90°∴△OCH ∽△DCK∴KD DC HO OC= ∴DC 1248KD=8105HO OC =⨯==9.6 ∴AD=2KD=19.2．。

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浦东中考一对一补习初中数学恒高1对1 概率压轴题
【概率】
1、在形状、大小、颜色都一样的卡片上，分别画有等边三角形、平行四边形、菱形、矩形、等腰梯形等5个图形，画面朝下随意放在桌面上，小明随机抽取一张卡片. 用123、、P P P 分别表示事件（1）“抽得图形是中心对称图形”（2）“抽得图形是轴对称图形”（3）“抽得图形既是中心对称图形，又是轴对称图形”发生的可能性大小,按可能性从小到大的顺序排列为… ( )
（A ）123<<P P P ；（B ）231<<P P P ；（C ）312<<P P P ；（D ）321<<P P P ．
2、从-1,1中任取一个数作为一次函数b kx y +=的系数k ，从-2,2中任取一个数作为一次函数
b kx y +=的截距b ，则所得一次函数b kx y +=经过第一象限的概率是
3、一个不透明的口袋里装有2个红球和1个白球，它们除颜色外其他都相同．
（1）同时摸出2个球，求摸到2个都是红球的概率。

（2）摸出一个球再放回袋中，搅匀后再摸出一个球.求前后都摸到红球的概率（用列表法或画树状图说明）.
4、有两个不透明的袋子分别装有除红、白两种颜色外其余均相同的小球，甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个红球和3个白球．
（1）如果在甲袋中随机摸出一个小球，那么摸到红球的概率是 ▲ ．
（2）如果在乙袋中随机摸出两个小球，那么摸到两球颜色相同的概率是 ▲ ．
（3）如果在甲、乙两个袋子中分别随机摸出一个小球，那么摸到两球颜色相同的概率
是多少?（请用列表法或树状图法说明）
【坐标系内根据“菱形”求点的坐标】例1、。