高中数学必修二 山东省临沂市-2020学年高一下学期期末考试数学试题(含答案)
山东省临沂市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题解析版【全国市级联考Word】
山东省临沂市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 与角3π-终边相同的角是（ ）A. 53π B.116πC. 56π-D. 23π-2. 某单位有青年职工35人，中年职工25人，老年职工15 人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中青年职工为7人，则样本容量为（ ） A. 7B. 15C. 25D. 353. 若非零向量a ，b 满足||a b |=|，向量2a b +与b 垂直，则a 与b 的夹角为（ ） A. 150︒B. 120︒C. 60︒D. 304. 某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛,他们取得成绩(满分100分)的茎叶如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x y +的值为（ ）A. 7B. 10C. 9D. 8 5. 已知()()sin 3cos 20παπα+--=，则cos2α的值为（ ） A.45B. 45-C.35D.356. 执行如图所示的程序框图，若输出15S =，则框图中①处可以填入（ ）．的A. 2k <B. 3k <C. 4k <D. 5k <7. 下列函数中，周期为π，且在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增的奇函数是（ ）A 3sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. cos 22y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C. cos 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D. sin 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭8. 任取一个自然数，则该数平方的末尾数是4的概率为（ ）A. 15B.310C.14D.129. 若圆222660x y x y ++-+=有且仅有三个点到直线10x ay ++=的距离为1，则实数a 的值为（ ）A. ±1B. 4±C.D. 2±10. 在区间[]0,π上随机取一个数x ，使得1sin 2x ≤的概率为（ ） A.13B.2πC. 12D.2311. 将函数()2cos 13f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象所有的点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则图象()y g x =的一个对称中心为（ ） .A. ,06π⎛⎫-⎪⎝⎭B. ,112π⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. ,16π⎛⎫-⎪⎝⎭D. ,112π⎛⎫-⎪⎝⎭12. ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ，且20,OC CB CA OC CB ++== ，则·AC AB =（ ）A.32B.C. 3D. 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某校高三（1）班共有48人，学号依次为1,2,3,...,48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本.已知学好为3,11,19,35,43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为__________．14. 如表是降耗技术改造后生产某产品过程中记录产量（吨)与相应的生产能耗（吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆ0.70.3yx =+，那么表中m 的值为__________．15. 若圆22:240C x y x y m +--+=与230x y +-=相交于,M N 两点，且MN =，则实数m 的值为__________．16. 若(){}{}(),,0,1,2,2,0,1,1,1AB x y x y a =∈∈-=-，则AB 与a 的夹角为锐角的概率是__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知向量()()2,3,1,2a b ==-. （1）求()()·2a b a b -+；（2）若向量a b λ+与2a b -平行，求λ的值. 18. 已知圆C ：2268210x y x y +--+=.（1）若直线1l 过定点(1,1)A ，且与圆C 相切，求直线1l 的方程；（2）若圆D 的半径为3，圆心在直线2l ：20x y -+=上，且与圆C 外切，求圆D 的方程.19. 某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计．按照，，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）．频率分布直方图 茎叶图 （Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中x 、y 的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，求所抽取的2名同学来自不同组的概率． 20.平面直角坐标系xOy中，已知点122P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，将向量OP 绕原点O 按逆时针方向旋转x 弧度得到向量OQ . （1）若4x π=，求点Q 坐标；（2）已知函数()·f x OP OQ =，且()1·34f f παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，若()0,απ∈，求α的值. 21. 某单位需要从甲、乙2人中选拔一人参加新岗位培训，特别组织了5个专项的考试，成绩统计如下： 第二项（1）根据有关统计知识，回答问题:若从甲、乙2人中选出1人参加新岗位培训，你认为选谁合适，请说明理由；（2）根据有关概率知识，解答以下问题： 从甲、乙2人成绩中各随机抽取一个，设抽到甲的成绩为x ，抽到乙的成绩为y ，用A 表示满足条件2x y -≤的事件，求事件A 的概率.22. 已知向量()()()2cos ,1,3sin cos ,10a x b x x ωωωω==->，函数()·f x a b =，若函数()f x 的图的象与x 轴的两个相邻交点的距离为2π. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若75,126x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()65f x =-，求cos2x 的值. （3）若()1cos ,0,2x x π≥∈，且()2f x m =有且仅有一个实根，求实数m 的值. 山东省临沂市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 与角3π-终边相同的角是（ ）A. 53π B.116πC. 56π-D. 23π-【答案】A 【解析】 依题意有:π5π2π33-+= 【点睛】利用终边相同的角的集合，可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角.对于选择题，还可以直接加上周期的整数倍来得到结果.2. 某单位有青年职工35人，中年职工25人，老年职工15 人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中青年职工为7人，则样本容量为（ ） A. 7 B. 15C. 25D. 35【答案】B 【解析】 比例为71355=，故样本容量为()1352515155++⋅=. 3. 若非零向量a ，b 满足||a b |=|，向量2a b +与b 垂直，则a 与b 夹角为（ ）A. 150︒B. 120︒C. 60︒D. 30【答案】B【解析】∵||||a b =，且2a b +与b 垂直，∴(2)0a b b +⋅=，即220a b b ⋅+=，∴2||2b a b ⋅=-，∴2||12cos ,2b a b a b a b b b-⋅===-⋅⋅，∴a 与b 的夹角为120︒． 故选B ．4. 某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x y +的值为（ ）A. 7B. 10C. 9D. 8【答案】D 【解析】甲班众数为85，故5x =，乙班中位数为83，故3y =，所以8x y +=. 5. 已知()()sin 3cos 20παπα+--=，则cos2α的值为（ ） A45B. 45-C.35D.35【答案】B 【解析】sin(π+α)−3cos(2π−α)=0，即：sin α+3cos α=0，① 又∵sin 2α+cos 2α=1，② 由①②联立解得：cos 2α=110. ∴cos2α=2cos 2α−1=45-. 故选B.6. 执行如图所示的程序框图，若输出15S =，则框图中①处可以填入（ ）．.A. 2k <B. 3k <C. 4k <D. 5k <【答案】C 【解析】1,1k S ==，判断是，2,2Sk ，判断是，6,3S k，判断是，15,4Sk ==，判断是，31,5S k ==，判断否，输出S ，故填5k <.7. 下列函数中，周期为π，且在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增的奇函数是（ ）A. 3sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. sin 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】对于A ，由于cos2x y =-，故为偶函数.对于B ，由于sin 2y x =，故函数在区间上为减函数.对于C ，由于sin 2y x =-，在区间上递增，符合题意.对于D ，cos y x =为偶函数. 8. 任取一个自然数，则该数平方的末尾数是4的概率为（ ） A.15B.310C.14D.12【答案】A【解析】自然数的个位数有09共10种可能，其中平方末尾数为4，则需要个位数为2,8两种情况，故概率为21105=. 9. 若圆222660x y x y ++-+=有且仅有三个点到直线10x ay ++=的距离为1，则实数a 的值为（ ）A. ±1B. 4±C.D. 【答案】B 【解析】圆的圆心为()1,3-，半径2r，由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，故圆心到直线的距离为1，1=，解得a =10. 在区间[]0,π上随机取一个数x ，使得1sin 2x ≤的概率为（ ） A.13B.2πC. 12D.23【答案】A 【解析】1sin 2x ≤则π5π0,,π66x ⎡⎤⎡⎤∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故概率为π216π3⋅=.11. 将函数()2cos 13f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象所有的点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则图象()y g x =的一个对称中心为（ ） A. ,06π⎛⎫-⎪⎝⎭B. ,112π⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. ,16π⎛⎫-⎪⎝⎭D. ,112π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】横坐标缩短为原来一半后函数为π2cos 213y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，再向右平移π6后得到()ππ2π2cos 212cos 21633g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.将选项逐一代入验证可知D 选项符合题意.【点睛】本题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数的对称中心等问题. 横坐标缩短为原来一半这个属于伸缩变化，这里要注意就是缩小为原来的一半，x 的系数变为原来的两倍.左右平移时，要注意x 的系数不为1的情况.余弦函数的对称中心即其零点.12. ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ，且20,OC CB CA OC CB ++== ，则·AC AB =（ ）A.32C. 3D. 【答案】C 【解析】如图所示，由于20OC CB CA ++=，故O 为AB 中点，也即AB 为圆的直径，2AB =.由于12CB OC AB ==，所以π,6A AC ∠==πcos 36AC AB AC AB ⋅=⋅⋅=.【点睛】本题主要考查向量运算的平行四边形法则，考查三角形一边中线的向量表示，由于2CB CA OC +=-，所以O 为AB 中点，也即AB 为圆的直径.这个性质要准确的记忆下来并能数量运用.直径所对的圆周角为直角.在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某校高三（1）班共有48人，学号依次为1,2,3,...,48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本.已知学好为3,11,19,35,43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为__________． 【答案】27 【解析】依题意可知抽样的间隔为8，故还有一个同学学号为19827+=.14. 如表是降耗技术改造后生产某产品过程中记录产量（吨)与相应的生产能耗（吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆ0.70.3yx =+，那么表中m 的值为__________．【答案】2.8 【解析】由题意得，3456911,424m x y ++++=== ，即数据的样本中心911(,)24m+， 代入回归直线方程，得1190.70.3 2.842m m +=⨯+⇒=. 考点：回归直线方程的应用.15. 若圆22:240C x y x y m +--+=与230x y +-=相交于,M N 两点，且5MN =，则实数m 的值为__________． 【答案】4 【解析】圆心为()1,2，圆心到直线的距离d ==，故圆的半径为2221,15r d r ⎛=+== ⎝⎭，根据圆的半径，有51m -=，解得4m =.16. 若(){}{}(),,0,1,2,2,0,1,1,1AB x y x y a =∈∈-=-，则AB 与a 的夹角为锐角的概率是__________． 【答案】59【解析】AB 的基本事件有()()()()()()()()()0,2,0,0,0,1,1,2,1,0,1,1,2,2,2,0,2,1---，其中使得0AB a ⋅>的有()()()()()()0,2,1,2,1,0,2,2,2,0,2,1---，但()2,2-与a 同向，故排除，所以一共有()()()()()0,2,1,2,1,0,2,0,2,1--等5种，故概率为59. 【点睛】本题主要考查了利用列举法求解古典概型，考查向量的坐标运算，还考查了向量共线，包括同向与反向.在例举基本事件时，要做到不重不漏，本题由于,x y 是点的坐标，有顺序，故基本事件有9种，然后计算0AB a ⋅>，由此可得到符合题意的事件的总数，并求得概率.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知向量()()2,3,1,2a b ==-. （1）求()()·2a b a b -+；（2）若向量a b λ+与2a b -平行，求λ的值.【答案】(1) ()()·27a b a b -+=; (2) 12λ=- 【解析】试题分析：（1）先计算()()3,1,20,7a b a b -=+=，由此求得两者的数量积.（2）先计算()()2,32,25,4a b a b λλλ+=-+-=，利用两个向量共线的性质，可以23254λλ-+=， 解得λ的值. 试题解析： (1)向量()()2,3,1,2a b ==-，()()3,1,20,7a b a b ∴-=+=，()()·27a b a b ∴-+=.(2)()()2,32,25,4a b a b λλλ+=-+-=向量a b λ+与2a b -平行，23254λλ-+∴=，解得12λ=-.18. 已知圆C ：2268210x y x y +--+=.（1）若直线1l 过定点(1,1)A ，且与圆C 相切，求直线1l 的方程；（2）若圆D 的半径为3，圆心在直线2l ：20x y -+=上，且与圆C 外切，求圆D 的方程. 【答案】(1) 1x =和51270x y -+=;(2) ()()22689x y -+-=或()()22119x y ++-= 【解析】试题分析：（1）先求出圆心和半径，然后分成直线斜率存在或不存在两种情况，利用圆心到直线的距离等于半径列方程可求得直线的方程.（2）设出圆D 圆心坐标，利用两圆外切，连心线等于两圆半径的和列方程，可求得a 的值，从而求得圆D 的方程. 试题解析：(1)圆22:68210C x y x y +--+=化为标准方程为()()22344x y -+-=，所以圆C 的圆心为()3,4，半径为2，①若直线1l 的斜率不存在，即直线是1x =，符合题意.②若直线1l 的斜率存在,设直线1l 的方程为()11y k x -=-，即10kx y k --+=.由题意知，圆心()3,4到,已知直线1l 的距离等于半径22=2=，解得512k =，所以，直线方程为51270x y -+=，综上，所求1l 的直线方程是1x =和51270x y -+=. (2) 依题意设(),2D a a +，又已知圆C圆心为()3,4，半径为2，由两圆外切，可知5CD =，5=，解得1a =-或6a =，()1,1D ∴-或()6,8D ，∴所求圆D 的方程为()()22689x y -+-=或()()22119x y ++-=.19. 某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计．按照，，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）．频率分布直方图 茎叶图 （Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中x 、y 的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，求所抽取的2名同学来自不同组的概率． 【答案】（Ⅰ）500.030,0.004n x y ===，，; （Ⅱ）1021P = 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据茎叶图易知[)[)506090,100，，组的频数，由频率分布直方图可求[)5060，组的频率，由频率公式mp n=可求样本容量n ，进而求得[]90,100组的频率，从而求得y ，（Ⅱ）在第一问基础上，可求[)8090，组的人数，这样分别用字母表示出[)8090，，[]90,100两组的元素，一一列举出从中任取两两人的所有可能组合，得解．试题解析：（Ⅰ）由题意可知，样本容量8500.01610n ==⨯，20.0045010y ==⨯的（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分别为，分数在[90，100）有2人，分别为，共7人，从中任意抽取2个人共有如下21种不同方法 ：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中至少有一个同学的成绩在有11种，所以至少有一个同学的成绩在的概率为．考点：茎叶图，频率分布直方图及古典概型中的概率问题．【方法点晴】本题把茎叶图和频率分布直方图结合起来考查统计问题，很有创意．茎叶图给出了[)5060，的频数，频率分布直方图给出了样本中[)5060，的频率，二者一联系，便得到样本容量n ，其他量的求解就容易多了；求解“至少”“至多”这类问题的概率，可直接求解，也可以间接求解，本题第二问是“从80分以上的人中任取两人”只有两种情况[)8090，，[]90,100，所以直接求解即可．20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点12P ⎫⎪⎪⎝⎭，将向量OP 绕原点O 按逆时针方向旋转x 弧度得到向量OQ . （1）若4x π=，求点Q 坐标；（2）已知函数()·f x OP OQ =，且()·3f f παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，若()0,απ∈，求α的值.【答案】(1) ,44⎛ ⎪ ⎪⎝⎭；(2) 4πα=或12π【解析】试题分析：（1）依题意可知P 点在单位圆上，且对应的角度为π6，故cos ,sin 66P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，逆时针旋转π4后，角度为ππ64+，根据两角和的余弦和正弦公式，可求得Q 点的坐标.（2）先求得()f x 的表达式为()cos f x x =，由此化简()·3f f παα⎛⎫-=⎪⎝⎭得sin 262πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，进而求得4πα=或12π. 试题解析：(1)由1,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭可得cos ,sin 66P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1cos cos cos sin sin 64646422224ππππππ⎛⎫+=-=-⨯=⎪⎝⎭，1sin sin cos cos sin 646464222ππππππ⎛⎫+=+=⨯-=⎪⎝⎭∴点Q 的坐标为⎝⎭. (2)由31cos ,sin ,,6622OQ x x OP ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得()31·cos sin cos cos 262666f x OP OQ x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()21·cos cos cos cos 3322f f ππααααααα⎛⎫⎛⎫∴-=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos211sin 24426απαα+⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，由11sin 2426πα⎛⎫++= ⎪⎝⎭得sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以22,63k k Z ππαπ+=+∈或222,63k k Z ππαπ+=+∈，因为()0,απ∈，所以4πα=或12π. 21. 某单位需要从甲、乙2人中选拔一人参加新岗位培训，特别组织了5个专项的考试，成绩统计如下：（1）根据有关统计知识，回答问题:若从甲、乙2人中选出1人参加新岗位培训，你认为选谁合适，请说明理由；（2）根据有关概率知识，解答以下问题：从甲、乙2人的成绩中各随机抽取一个，设抽到甲的成绩为x ，抽到乙的成绩为y ，用A 表示满足条件2x y -≤的事件，求事件A 的概率.【答案】(1) 派甲适合；(2) 15【解析】试题分析：（1）计算两者成绩的平均数和方差，平均数相等，故选择方差较小的比较稳定.（2）利用列举法列出所有的可能性有25种，其中符合题意的有5种，由此求得概率为15. 试题解析：(1)甲的平均成绩为8182799687855x ++++==甲，乙的平均成绩为9476809085855x ++++==乙，故甲乙二人的平均水平一样. 甲的成绩方差()521137.25i i S x x ==-=∑甲甲，乙的成绩方差()521142.45i i S x x ==-=∑乙乙，22S S ∴<甲乙，故应派甲适合.(2)从甲乙二人的成绩中各随机抽一个，设甲抽到的成绩为x ，乙抽到的成绩为y ，则所有的(),x y 有()()()()()81,94,81,76,81,80,81,90,81,85, ()()()()()82,94,82,76,82,80,82,90,82,85, ()()()()()79,94,79,76,79,80,79,90,79,85, ()()()()()96,94,96,76,96,80,96,90,96,85, ()()()()()87,94,87,76,87,80,87,90,87,85,共25 个，其中满足条件2x y -≤ 的有，()()()()()81,80,82,80,79,80,96,94,87,85,共有5 个，所求事件的概率为51255= . 【点睛】本题主要考查样本均值和方差.考查了利用列举法求解古典概型的方法和策略.平均数相同的情况下，方差越小表示的就是越稳定.在利用列举法求解古典概型的问题时，列举要做到不重不漏，可以考虑利用属性图等知识辅助列举，然后根据题目所求得到符合题意的方法数，由此求得概率. 22. 已知向量()()()2cos ,1,3sin cos ,10a x b x x ωωωω==->，函数()·f x a b =，若函数()f x 的图象与x 轴的两个相邻交点的距离为2π. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若75,126x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()65f x =-，求cos2x 的值. （3）若()1cos ,0,2x x π≥∈，且()2f x m =有且仅有一个实根，求实数m 的值. 【答案】(1) (),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（3）2m =或1m =-【解析】试题分析：（1）首先化简()2sin 26f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用函数()f x 图象与x 轴的两个相邻交点的距离为2π得到周期为π，由此求得ω的值，即求得函数的表达式，由此求和函数的单调区间.（2）利用（1）的结论的有()62sin 265f x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，即3sin 265x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，由此求得4cos 265x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用cos 2cos 266x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭展开后可求得cos2x 的值.（3）先根据1cos 2≥x 求得0,3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.在同一直角坐标系中作出()2sin 4,6y x g x m π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭两个函数图象，可知2m =或1m =-. 试题解析：(1)函数()2·23sin cos 2cos 1f x a b x x x ωωω==-+ cos22sin 26x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，函数()f x 图象与x 轴的两个相邻交点的距离为2π，2,22T ππωπ∴=∴==，解得1ω=，()2sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，由222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，得2222,33k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.(2)由（1）得()632sin 2,sin 26565f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 753,,2,12662x x πππππ⎛⎫⎛⎫∈∴-∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，4cos 265x π⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，cos2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭431552⎛⎫⎛⎫---⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）()22sin 46y f x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，1cos 2x ≥，且余弦函数在()0,π上是减函数，0,3x π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦，在同一直角坐标系中作出()2sin 4,6y x g x m π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭两个函数图象，可知2m =或1m =-. 【点睛】本题主要考查利用二倍角公式和降次公式以及辅助角公式化简三角恒等式，考查了三角函数图像与性质，其中包括三角函数的对称轴及单调区间.第二问求解某个角的三角函数值，利用角的变换可以使得运算减少.第三问利用数形结合的思想方法，利用两个函数图像的交点可求得所要的m 的值.。
山东省临沂市2019-2020学年高一下期末学业水平测试数学试题含解析
山东省临沂市2019-2020学年高一下期末学业水平测试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线过点，则的最小值等于（ ）A ．3B ．4C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】 将代入直线方程得到，利用均值不等式得到的最小值.【详解】 将代入直线方程得到当时等号成立故答案选C 【点睛】本题考查了直线方程，均值不等式，1的代换是解题的关键. 2．为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像 A ．向左平移4π个长度单位 B ．向右平移4π个长度单位C ．向左平移2π个长度单位D ．向右平移2π个长度单位【答案】B 【解析】试题分析：记函数(2)6y sin x f x π+=＝（），则函数(2)[2()]3464y sin x sin x f x ππππ-=-+=-＝（）∵函数f （x ）图象向右平移4π单位，可得函数4f x π-（）的图象∴把函数(2)6y sin x π+＝的图象右平移4π单位，得到函数(2)3y sin x π-＝的图象,故选B.考点：函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．3．ABC ∆中，30A ∠=︒，3AB =1BC =，则ABC ∆的面积等于（ ）A B ．4C D 4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据余弦定理求AC ，再根据面积公式得结果. 【详解】因为2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，所以22133+2=01AC AC AC AC AC =+--⋅∴=或2，因此ABC ∆的面积等于111sin 1222AB AC A ⋅⋅=⨯=或等于112222⨯=， 选D. 【点睛】本题考查余弦定理与三角形面积公式，考查基本求解能力，属基础题.4．如果圆()()()2210x a y a a -+-=>上总存在点到原点的距离为3，则实数a 的取值范围为( )A ．2⎤⎦B ．C ．⎡⎣D ．⎡⎣【答案】B 【解析】 【分析】将圆上的点到原点的距离转化为圆心到原点的距离加减半径得到答案. 【详解】()()()2210x a y a a -+-=>，圆心为(,)a a 半径为1如果圆()()()2210x a y a a -+-=>上总存在点到原点的距离为3 即圆心到原点的距离[2,4]∈即24a ≤≤⇒≤≤故答案选B 【点睛】本题考查了圆上的点到原点的距离，转化为圆心到原点的距离加减半径是解题的关键. 5．有一个内角为120°的三角形的三边长分别是m ，m+1，m+2，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．52【答案】B 【解析】 【分析】由已知利用余弦定理可得2230m m --=，解方程可得m 的值. 【详解】在三角形中，由余弦定理得：()()()22212cos12021m m m m m ︒++-+=+，化简可得：2230m m --=，解得32m =或1m =-（舍）. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题. 6．在等比数列{}n a 中，546、、a a a 成等差数列，则公比q 等于（ ） A ．1 或 2 B ．−1 或 −2C ．1 或 −2D ．−1 或 2【答案】C 【解析】 【分析】设出基本量，利用等比数列的通项公式，再利用等差数列的中项关系，即可列出相应方程求解 【详解】等比数列{}n a 中，设首项为1a ，公比为q ，546,,a a a 成等差数列，4562a a a ∴=+，即3451112a q a q a q =+， (2)(1)0q q ∴+-=2q ∴=-或1q =答案选C 【点睛】本题考查等差数列和等比数列求基本量的问题，属于基础题7．若圆222210x y ax by +-++=的圆心在第一象限，则直线0ax y b +-=一定不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】由圆心位置确定a ，b 的正负，再结合一次函数图像即可判断出结果.因为圆222210x y ax by +-++=的圆心坐标为()a,b -，由圆心在第一象限可得a 0,b 0><，所以直线0ax y b +-=的斜率a 0-<，y 轴上的截距为0b <，所以直线不过第一象限.【点睛】本题主要考查一次函数的图像，属于基础题型.8．直线l 是圆224x y +=在(1,3)-处的切线，点P 是圆22430x x y -++=上的动点，则点P 到直线l 的距离的最小值等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．2【答案】D 【解析】 【分析】先求得切线方程，然后用点到直线距离减去半径可得所求的最小值． 【详解】圆224x y +=在点(1,3)-处的切线为:34l x y -+=，即:340l x y -+-=， 点P 是圆22(2)1x y -+=上的动点， 圆心(2,0)到直线:340l x y -+=的距离313d ==+，∴点P 到直线l 的距离的最小值等于1312d -=-=．故选D ． 【点睛】圆中的最值问题，往往转化为圆心到几何对象的距离的最值问题．此类问题是基础题.9．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =,点O 为AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且90EOF ∠=︒，则EF 的最大值是( )A 43B 5C 32D 7【答案】A 【解析】把线段最值问题转化为函数问题，建立函数表达式，从而求得最值. 【详解】 设BOE x ∠=，1OB =，BC =[]30,60x ∴∈︒︒，1cos OE x =，()11cos 90sin OF x x ==︒-，12sin cos sin2EF x x x ∴===， 3060x ︒≤≤︒，602120x ∴︒≤≤︒，sin21x ≤≤， EF ∴故选A.【点睛】本题主要考查函数的实际应用，建立合适的函数关系式是解决此题的关键，意在考查学生的分析能力及数学建模能力.10．已知三个互不相等的负数a ，b ，c 满足2b a c =+，设11M a c =+，2N b=，则( ) A ．M N > B ．M N ≥C ．M N <D ．M N ≤【答案】C 【解析】 【分析】作差后利用已知条件变形为()22a c abc-，可知为负数，由此可得答案.【详解】 由题知1122a c M N a cb ac b+-=+-=- 22b ac b=- ()22b ac abc-=()()22242a c a c ac abc abc ⎡⎤+-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.因为a ，b ，c 都是负数且互不相等，所以0M N -<，即M N <. 故选：C 【点睛】本题考查了作差比较大小，属于基础题.11．执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是A ．8B ．5C ．3D ．2【答案】C 【解析】试题分析：k=1，满足条件k ＜4，则执行循环体，p=0+1=1，s=1，t=1 k=2，满足条件k ＜4，则执行循环体，p=1+1=2，s=1，t=2 k=3，满足条件k ＜4，则执行循环体，p=1+2=3，s=2，t=3 k=4，不满足条件k ＜4，则退出执行循环体，此时p=3 考点：程序框图12．已知函数2()2cos 32f x x x =-，在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，内角A 满足()1f A =-，若6a =ABC 的面积的最大值为（ ） A ．33B ．332C ．34D ．3【答案】B 【解析】 【分析】通过将2()2cos 32f x x x =利用合一公式变为2cos 213x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，代入A 求得A 角，从而利用余弦定理得到b,c,的关系，从而利用均值不等式即可得到面积最大值. 【详解】2()2cos 32f x x x ==cos 23212cos 213x x x π⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭()2cos 211cos 2133f A A A ππ⎛⎫⎛⎫=++=-⇒+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 为三角形内角，则3A π=a =222222cos 2abc bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-=，当且仅当b c =时取等号11sin 62222ABCSbc A =≤⨯⨯=【点睛】本题主要考查三角函数恒等变换，余弦定理，面积公式及均值不等式，综合性较强，意在考查学生的转化能力，对学生的基础知识掌握要求较高. 二、填空题：本题共4小题13．数列{}n a 中，11a =，以后各项由公式2123...n a a a a n ⋅⋅⋅⋅=给出，则35a a +等于_____.【答案】6116【解析】 【分析】可以利用前n 项的积与前1n -项的积的关系，分别求得第三项和第五项，即可求解，得到答案. 【详解】由题意知，数列{}n a 中，11a =，且2123...n a a a a n ⋅⋅⋅⋅=， 则当2n =时，21224a a ⋅==； 当3n =时，212339a a a ⋅⋅==，则12331294a a a a a a ⋅⋅==⋅，当4n =时，21234416a a a a ⋅⋅⋅==； 当5n =时，212345525a a a a a ⋅⋅⋅⋅==，则12345512342516a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅，所以359256141616a a +=+=. 【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式的应用，其中解答中熟练的应用递推关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 14．若扇形的周长是16cm ，圆心角是360π度，则扇形的面积（单位2cm ）是__________.【答案】16 【解析】 【分析】根据已知条件可计算出扇形的半径，然后根据面积公式212S r α=即可计算出扇形的面积. 【详解】设扇形的半径为r cm ，圆心角弧度数为3602180παπ=⋅=， 所以216r r α+=即416r =，所以4r =， 所以2112161622S r α==⨯⨯=. 故答案为：16. 【点睛】本题考查角度与弧度的转化以及扇形的弧长和面积公式，难度较易.扇形的弧长公式：l r α=，扇形的面积公式：21122S lr r α==. 15．若x 、y 满足约束条件24326x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为________.【答案】18 【解析】 【分析】先作出不等式组24326x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩所表示的平面区域，再观察图像即可得解.【详解】解：作出不等式组24326x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩所表示的平面区域，如图所示，由图可得：目标函数3z x y =+所在直线过点14(,4)3M 时，z 取最大值， 即max 1434183z =⨯+=， 故答案为：18 .【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，重点考查了作图能力，属基础题.16．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高[)120130,，[)130140,，[]140,150三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取18人参加一项活动，则从身高在[]140,150内的学生中抽取的人数应为________.【答案】3 【解析】 【分析】先由频率之和等于1得出a 的值，计算身高在[)120,130，[)130,140，[]140,150的频率之比，根据比例得出身高在[]140,150内的学生中抽取的人数. 【详解】(0.0050.010.020.035)101a ++++⨯=0.03a ∴=身高在[)120,130，[)130,140，[]140,150的频率之比为0.03:0.02:0.013:2:1= 所以从身高在[]140,150内的学生中抽取的人数应为11836⨯= 故答案为：3【点睛】本题主要考查了根据频率分布直方图求参数的值以及分层抽样计算各层总数，属于中档题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
山东省临沂市第五中学2020年高一数学理下学期期末试卷含解析
山东省临沂市第五中学2020年高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，，则( )A．B．C．D．参考答案：B2. 函数的定义域为（）A．{x|1＜x≤4}B．{x|1＜x≤4，且x≠2}C．{x|1≤x≤4，且x≠2} D．{x|x≥4}参考答案：B【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件，求函数的定义域即可．【解答】解：要使函数有意义，只须，即，解得1＜x≤4且x≠2，∴函数f（x）的定义域为{x|1＜x≤4且x≠2}．故选B【点评】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件．3. 已知椭圆C的方程为为其左、右焦点，e为离心率，P 为椭圆上一动点，则有如下说法：①当0＜e＜时，使△PF1F2为直角三角形的点P有且只有4个；②当e=时，使△PF1F2为直角三角形的点P有且只有6个；③当＜e＜1时，使△PF1F2为直角三角形的点P有且只有8个；以上说法中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：D【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的离心率的取值范围，得出椭圆的短轴的顶点构成的角∠F1BF2的取值范围，分别判断，使△PF1F2为直角三角形的点P个数．【解答】解：如图所示，丨BF1丨=a，丨OF1丨=c，设∠BF1O=θ，则tanθ==e，①中，当椭圆的离心率0＜e＜时，即0＜tanθ＜，∴θ∈（0，），则∠F1BF2＞，若△PF1F2为直角三角形时，只能是∠PF1F2和∠PF2F1为直角时成立，所以这样的直角三角形，只有四个；②中，当椭圆的离心率e=时，即tanθ=，∴θ=，此时∠F1BF2=，此时对应的直角三角形共有六个；③中，当椭圆的离心率＜e＜1时，即tanθ＞，则θ∈（，），∴0＜∠F1BF2＜，此时对应的直角三角形共有八个，故选D．4. 已知函数，为偶函数，且当时，．记．给出下列关于函数的说法：①当时，；②函数为奇函数；③函数在上为增函数；④函数的最小值为，无最大值．其中正确的是A．①②④ B．①③④ C．①③ D．②④参考答案：B5. 在空间四边形各边上分别取四点，如果与能相交于点，那么A、点必在直线上B、点必在直线BD上C、点必在平面内D、点必在平面内参考答案：A略6. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．16 B．4C．48 D．32参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知三视图得到几何体是四棱锥，根据图中数据计算体积．【解答】解：由三视图得到几何体为四棱锥如图：体积为：=16；故选A．7. 设，集合，则（）1 B、C、2 D、参考答案：D略8. 已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()A．B． C．D．参考答案：C9. 直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是（）A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直参考答案：C设直线l1、l2的斜率分别为k1，k2，∵直线l1、l2的斜率是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，∴k1k2=﹣1．∴l1⊥l2．故选：C．10. 不在不等式表示的平面区域内的点是（）A．（0，0） B．（1，1） C．（0，2） D．（2，0）参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （5分）已知函数和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同．若，则f（x）的取值范围是．参考答案：考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；压轴题．分析：先根据函数和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同确定ω的值，再由x的范围确定的范围，最后根据正弦函数的图象和性质可得到答案．解答：由题意知，ω=2，因为，所以，由三角函数图象知：f（x）的最小值为，最大值为，所以f（x）的取值范围是．故答案为：．点评：本题考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想．12. 2010年11月12日广州亚运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B 测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°，且座位A、B的距离为米，则旗杆的高度为米．参考答案：30【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】先画出示意图，根据题意可求得∠NBA和∠BAN，则∠BNA可求，然后利用正弦定理求得AN，最后在Rt△AMN中利用MN=AN?sin∠NAM求得答案．【解答】解：如图所示，依题意可知∠NBA=45°，∠BAN=180°﹣60°﹣15°=105°∴∠BNA=180°﹣45°﹣105°=30°由正弦定理可知CEsin∠EAC=ACsin∠CEA，∴AN==20米∴在Rt△AMN中，MN=AN?sin∠NAM=20×=30米所以：旗杆的高度为30米故答案为：30．13. 设是定义在上的奇函数，当时，，则▲；参考答案：14. 在等式的分母上的三个括号中各填入一个正整数，使得该等式成立，则所填三个正整数的和的最小值是_________参考答案：解析：设依次填入的三个数分别为，则当时，所求最小值为15. 直线l1:与直线l2：的交点在第二象限内，则a的取值范围是。
山东省临沂市罗庄区2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含解析
2019-2020学年下学期高一质量检测数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用中性笔和2B 铅笔分别涂写在答题卡上；2.将所有试题答案及解答过程一律填写在答题卡上.试题不交，只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足25zi i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面上对应的点的坐标为（ ） A. ()2,5 B. ()2,5-C. ()5,2-D. ()5,2-【答案】D 【解析】 【分析】根据题意两边同时除以i 可求出复数z ，然后即可求出z 在复平面上对应的点的坐标. 【详解】解：因为25zi i =+，所以2552iz i i+==-，故z 在复平面上对应的点的坐标为()5,2-.故选：D.【点睛】本题考查复数与复平面上点的坐标一一对应的关系，考查复数除法的四则运算，属于基础题.2. 从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A.110B.15C.310D.25【答案】D 【解析】【分析】先求出基本事件总数25n =，再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率. 【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张， 基本事件总数5525n =⨯=，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有10m =个基本事件， ∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率102255p ==， 故选：D.【点睛】本题主要考查概率的求法，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用，属于基础题.3. 如图所示的直观图中，2O A O B ''''==，则其平面图形的面积是（ ）A. 4B. 2C. 22D. 8【答案】A 【解析】 【分析】由斜二测画法还原出原图，求面积【详解】解：由斜二测画法可知原图如图所示， 则其面积为12442S =⨯⨯=， 故选：A【点睛】此题考查直观图与平面图形的画法，考查计算能力，属于基础题 4. 已知非零向量a ，b ，若||2||a b =，且(2)a a b ⊥-，则a 与b 的夹角为（ ）A.6π B.4π C.3π D.34π 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直可得(2)0a a b ⋅-=，结合数量积的定义表达式可求出2cos ,2aa b a b=，又||2||a b =，从而可求出夹角的余弦值，进而可求夹角的大小.【详解】解：因为(2)a a b ⊥-，所以22(2)22cos ,0a a b a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-=， 因为||2||a b =，所以22cos ,222aa ab a bb===， []a,b 0,,a,b 4ππ∈∴=.故选:B.【点睛】本题考查了向量的数量积，考查了向量垂直的关系，考查了向量夹角的求解.本题的关键是由垂直求出数量积为0.5. 设l 是直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若//l α，//l β，则//αβ B. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥ C. 若αβ⊥，l α⊥，则//l β D. 若//l α，l β⊥，则αβ⊥【答案】D【解析】 【分析】利用空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得到答案. 【详解】A.若//l α，//l β，则α与β可能平行，也可能相交，所以不正确. B.若αβ⊥，//l α，则l 与β可能的位置关系有相交、平行或l β⊆,所以不正确. C.若αβ⊥，l α⊥，则可能l β⊆，所以不正确.D.若//l α，l β⊥，由线面平行的性质过l 的平面与α相交于l '，则l l '，又l β⊥.所以l β'⊥，所以有αβ⊥，所以正确. 故选：D【点睛】本题考查面面平行、垂直的判断，线面平行和垂直的判断,属于基础题.6. 已知圆锥的顶点为P ，母线PA ，PB 所成角的余弦值为34，PA 与圆锥底面所成角为60︒，若PAB △ ）．A. B.C.3D.3【答案】C 【解析】 【分析】设底面半径为OA r =，根据线面角的大小可得母线长为2r ，再根据三角形的面积得到r 的值，最后代入圆锥的体积公式，即可得答案； 【详解】如图所示，设底面半径为OA r =，PA 与圆锥底面所成角为60︒，∴60PAO ︒∠=， ∴2PA PB r ==，母线PA ，PB 所成角的余弦值为34， ∴7sin APB ∠=，∴217(2)722r r == ∴211()32633V S PO r r π=⋅⋅=⋅=，故选：C.【点睛】本题考查线面角的概念、三角形面积公式、圆锥的体积公式，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.7. 已知数据122020,,,x x x ⋅⋅⋅的方差为4，若()()23,1,2,,2020i i y x i =--=⋅⋅⋅，则新数据122020,,,y y y ⋅⋅⋅的方差为（ ）A. 16B. 13C. 8-D. 16-【答案】A 【解析】 分析】根据方差的性质直接计算可得结果.【详解】由方差的性质知：新数据122020,,,y y y ⋅⋅⋅的方差为：()22416=-⨯. 故选：A【点睛】本题考查利用方差的性质求解方差的问题，属于基础题. 8.∆ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，asin AsinB+bcos 22a ，则ba=（ ）A. B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理与同角三角函数的平方关系，化简等式得sinB sinA ，从而得到b a ，可得答案．【详解】∵△ABC 中，asinAsinB+bcos2A a ，∴根据正弦定理，得sin 2AsinB+sinBcos 2A sinA ，可得sinB （sin 2A+cos 2A sinA ，∵sin 2A+cos 2A ＝1，∴sinB sinA ，得b a ，可得ba故选D ．【点睛】本题考查了正弦定理、同角三角函数的基本关系等知识，属于基础题．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分.9. 若干个人站成排，其中不是互斥事件的是（ ） A. “甲站排头”与“乙站排头” B. “甲站排头”与“乙不站排尾” C. “甲站排头”与“乙站排尾” D. “甲不站排头”与“乙不站排尾”【答案】BCD 【解析】 【分析】互斥事件是不能同时发生的事件，因此从这方面来判断即可．【详解】排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而B 、C 、D 中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥． 故选BCD ．【点睛】本题考查互斥事件的概念，判断是否是互斥事件，就是判断它们能否同时发生，能同时发生的就不是互斥事件，不能同时发生的就是互斥事件．10. （多选题）下面是甲、乙两位同学高三上学期的5次联考的数学成绩，现只知其从第1次到第5次分数所在区间段分布的条形图（从左至右依次为第1至第5次），则从图中可以读出一定正确的信息是（ ）A. 甲同学的成绩的平均数大于乙同学的成绩的平均数B. 甲同学的成绩的中位数在115到120之间C. 甲同学的成绩的极差小于乙同学的成绩的极差D. 甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数 【答案】BD 【解析】 【分析】根据频数分布表中的数据，对选项中的命题进行分析，判断正误即可． 【详解】解：对于A ，甲同学的成绩的平均数种()110512021301401235x ≤+⨯++=甲， 乙同学的成绩的平均数()11051151251351451255x ≥++++=乙， 故A 错误；由题图甲知，B 正确；对于C ，由题图知，甲同学的成绩的极差介于()30,40之间，乙同学的成绩的极差介于()35,45之间，所以甲同学的成绩的极差也可能大于乙同学的成绩的极差， 故C 错误；对于D ，甲同学的成绩的中位数在115~120之间，乙同学的成绩的中位数在125~130之间，所以甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数， 故D 正确. 故选:BD.【点睛】本题考查了频数分布与应用问题，是基础题．11. 已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A. ||||||a b a b ⋅≤B. 若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C. 两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D. 已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】AC 【解析】 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断 D.【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误， 对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒=所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC.【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.12. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，截面BDE 与直线PC 平行，与PA 交于点E ，则下列判断正确的是（ ）A. E 为PA 的中点B. BD ⊥平面PACC. PB 与CD 所成的角为3π D. 三棱锥C BDE -与四棱锥P ABCD -的体积之比等于1:4 【答案】ABD 【解析】 【分析】采用排除法，根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理，结合线线角，椎体体积公式的计算，可得结果.【详解】连接AC 交BD 于点M 连接EM ，如图因为四边形ABCD 是正方形，所以M 为AC 的中点 又PC //平面BDE ，PC ⊂平面APC ，且平面APC 平面=BDE EM所以PC //EM ，所以E 为PA 的中点，故A 正确由PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，所以PA BD ⊥， 又AC BD ⊥，AC PA A ⋂=，,AC PA ⊂平面PAC 所以BD ⊥平面PAC ，故B 正确PB 与CD 所成的角即PB 与AB 所成的角，即4ABP π∠=故C 错1.3△BCD --==⋅C BDE E BCD V V S EA ，13-=⋅⋅P ABCD ABCD V S PA又1,22△==BCD ABCD S S PA EA ，所以14--=P ABC C BD DE V V ，故D 正确 故选：ABD【点睛】本题考查立体几何的综合应用，熟练线线、线面、面面之间的位置关系，审清题意，考验分析能力，属基础题.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若复数z 满足方程220z +=，则3z =_____________. 【答案】22± 【解析】 【分析】根据题意可得2z i =，然后根据复数的乘法可得结果. 【详解】由220z +=，则2222=-=z i所以2z i =±，所以3222=⋅=±z z z i故答案为：22i ±【点睛】本题考查复数的计算，把握细节，耐心计算，属基础题.14. 如图，在ABC 中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD 的中点，若2BC CD =，且34AE AB AC λ=+，则λ=___________.【答案】14-【解析】【分析】 利用AB 、AC 表示向量AD ，再由12AE AD =可求得实数λ的值. 【详解】()22BC CD BD BC ==-，所以，32BD BC =， 则()33132222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+， E 为线段AD 的中点，则11332444AE AD AB AC AB AC λ==-+=+，因此，14λ=-. 故答案为：14-. 【点睛】本题考查利用平面向量的基底表示求参数，考查计算能力，属于中等题. 15. 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________.【答案】0.128【解析】【分析】由题意可知，该选手第3、4个题目均回答正确，第2个题目回答错误，第1个题目可以回答正确也可以回答错误，利用概率的乘法公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，该选手第3、4个题目均回答正确，第2个题目回答错误，第1个题目可以回答正确也可以回答错误，由独立事件的概率乘法公式可知，该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为20.20.80.128P =⨯=.故答案为：0.128.【点睛】本题考查利用独立事件的概率乘法公式计算事件的概率，考查计算能力，属于基础题.16. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的最小值_________，最大值_______________.【答案】 (1).6 (2). 1 【解析】【分析】 由题意，直线OP 与平面1A BD 所成的角α的最小值为1AOA ∠和11C OA ∠中的最小者，然后利用正方体的性质和直角三角形的边角关系，求出sin α的取值范围，再确定其最值【详解】解：连接1,AC A O ，11A C ,因为11,,BD AC BD AA AC AA A ⊥⊥⋂=,所以BD ⊥平面11ACC A ，所以平面1A BD ⊥平面11ACC A ，所以直线OP 与平面1A BD 所成的角α的最小值为1AOA ∠和11C OA ∠中的最小者， 不妨设2AB =，在1Rt AOA 中，11216sin 22AA AOA AO∠===+， 1111sin sin(2)sin 2C OA AOA AOA π∠=-∠=∠112sincos AOA AOA =∠⋅∠6322623=⨯⨯=>， 所以sin α的取值范围为6[,1]3， 所以sin α的最小值为6，最大值为1， 故答案为：63；1【点睛】此题考查正方体的性质和直角三角形的边角关系，线面角的求法，考查推理能力，属于中档题四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程. 17. 如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．(1)设PG PQ λ=，将OG 用λ，OP ，OQ 表示；(2)设OP xOA =，OQ yOB =，证明：11x y +是定值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）寻找包含OG 的图形OPG ，利用向量的加法法则知OG OP PG +＝ ，再根据PG PQ λ=和PQ OQ OP -＝ 即可（2）根据（1）结合OP xOA =，OQ yOB =知：()()11OG OP OQ xOA yOB λλλλ-+-+＝＝ ，再根据G 是OAB 的重心知： ()2211133233OG OM OA OB OA OB ⨯++＝＝＝ ，最后根据OA OB 、 不共线得到关于x y λ，， 的方程组即可求解【详解】(1)解 ＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.(2)证明 一方面，由(1)，得＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x ＋λy ；①另一方面，∵G 是△OAB 的重心，∴＝＝× (＋)＝＋.②而，不共线，∴由①②，得解得∴＋＝3(定值)．【点睛】本题考查了向量的加减法，三角形的重心的性质，平面向量的定值问题，属于基础题．18. 已知函数()22cos 23sin cos f x x x x a =++，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为2.（1）求a 的值，并求()f x 的单调递增区间；（2）先将函数()y f x =的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12，再将所得的图象向右平移12π个单位，得到函数()y g x =的图象，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()4g x ≥的x 的集合. 【答案】（1）2a =，,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）124x x ππ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. 【解析】【分析】（1）化简可得()f x 2sin 216x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，由题意可得，112a -++=，解方程可得a 的值，解不等式222262k x k πππππ-≤+≤+可得单调区间. （2）由函数图象变换可得：()2sin 436g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，可得1sin 462x π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，令()5242Z 666k x k k πππππ+≤-≤+∈，解不等式与02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求交集即可.【详解】（1）函数()22cos cos 2sin 216f x x x x a x a π⎛⎫=++=+++ ⎪⎝⎭， ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ()min 112f x a =-++=，得2a =，即()2sin 236πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 令222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈， 得36k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，∴函数()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）由（1）得()2sin 236πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由()y f x =的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12，得2sin 436y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 再将图象向右平移12π个单位，得()2sin 432sin 431266g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 又∵()4g x ≥.即1sin 462x π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭， ∴()5242Z 666k x k k πππππ+≤-≤+∈， 即()Z 21224k k x k ππππ+≤≤+∈. ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴不等式的解集124x x ππ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ 【点睛】本题主要考查了二倍角和辅助角公式,求三角函数的单调区间，三角函数图象变换，解三角不等式等，属于中档题.19. 如图，在三棱锥P ABC -中，90ACB ∠=，PA ⊥底面ABC .（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若1PA AC ==，2BC =，M 是PB 的中点，求AM 与平面PBC 所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）22. 【解析】【分析】（1）证明出BC ⊥平面PAC ，利用面面垂直的判定定理可证得平面PAC ⊥平面PBC ；（2）在平面PAC 内，过点A 作AD PC ⊥，连接DM ，证明出AD ⊥平面PBC ，可得出AM 与平面PBC 所成角为AMD ∠，计算出Rt ADM △的边AD 、DM 的长，由此可计算出AM 与平面PBC 所成角的正切值.【详解】（1）证明：在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，BC ⊂平面ABC ， PA BC ∴⊥，又90ACB ∠=，即BC AC ⊥，PA AC A =，BC ∴⊥平面PAC ，BC ⊂平面PBC ，因此，平面PAC ⊥平面PBC .（2）解：在平面PAC 内，过点A 作AD PC ⊥，连接DM ，BC ⊥平面PAC ，AD ⊂平面PAC ，AD BC ∴⊥，AD PC ⊥，BC PC C ⋂=，AD ∴⊥平面PBC ，AMD ∴∠是直线AM 与平面PBC 所成的角.PA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，PA AC ∴⊥，在Rt PAC △中，1PA AC ==，222PC PA AC ∴=+，AD PC ⊥，D ∴为PC 的中点，且122AD PC ==， 又M 是PB 的中点，在PBC 中，112MD BC ==， AD ⊥平面PBC ，DM ⊂平面PBC ，AD DM ∴⊥，在Rt ADM △中，222tan 1AD AMD MD ∠===. 【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了线面角的正切值的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20. 某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65,75)，第二组[75,85)，…，第八组[135,145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．（1）求第七组的频率；（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．【答案】（1）0.08（2）102（3）2 5【解析】【分析】（1）利用各小矩形的面积和为1即可得到；（2）平均数的估计值为各小矩形的组中值与小矩形面积乘积的和；（3）易得第六组有3人，第八组有2人，从中任取两人他们的分差的绝对值小于10分，则这两人必来自同一组，再按古典概型的概率计算公式计算即可.【详解】（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：1(0.0040.0120.0160.0300.0200.0060.004)100.08-++++++⨯=．（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：700.00410800.01210900.016101000.03010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+1100.020101200.00610130⨯⨯+⨯⨯+0.008101400.00410102⨯⨯+⨯⨯=，（3）样本成绩属于第六组的有0.00610503⨯⨯=人，设为A，B，C，样本成绩属于第八组的有0.00410502⨯⨯=人，设为a ，b ，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中 随机抽取2名，有{,}A B ，{,}A C ，{,}C B ，{,}A a ，{,}A b ，{,}B a ，{,}B b ， {,}C a ，{,}C b ，{,}a b 共10种，他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件有 {,}A B ，{,}A C ，{,}C B ，{,}a b ，共4种，∴他们的分差的绝对值小于10分的概率 42105p ==． 【点睛】本题考查频率分布直方图及其应用，涉及到频率的计算、平均数的估计、古典概型的概率计算等知识，是一道容易题.21. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()cos 3cos c B a b C =-. （1）求sin C 的值；（2）若c =2b a -=，求ABC ∆的面积.【答案】（1（2）【解析】【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形，求出cos C 的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin C 的值；（2）利用余弦定理及已知可求ab 的值，利用三角形的面积公式即可计算得解．【详解】（1）cos (3)cos c B a b C =-， ∴由正弦定理可知，sin cos 3sin cos sin cos C B A C B C =-，即sin cos cos sin 3sin cos C B C B A C +=，sin()3sin cos C B A C ∴+=，A B C π++=，sin 3sin cos A A C ∴=，sin 0A ≠，1cos 3C ∴=， 0C π<<，sin 3C ∴==.（2）26c =，1cos 3C =， ∴由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-，可得：222243a b ab =+-，24()243a b ab ∴-+=， 2b a -=，∴解得：15ab =，1122sin 155222ABC S ab C ∆∴==⨯⨯= 【点睛】此题考查正弦、余弦定理的综合应用，涉及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．22. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B 的中心，122AA =，1C H ⊥平面11AA B B ，且15C H =.（1）求异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值；（2）求二面角111A AC B --的正弦值；（3）设N 为棱11B C 的中点，E 在11A B 上，并且111:1:4B E B A =，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面111A B C ，证明：//ME 平面11AAC C .【答案】（12（235；（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）连接1AC ，由11//AC A C 可知111C A B ∠（或补角）是异面直线AC 与11A B 所成的角，计算出111A B C △各边边长，利用余弦定理可求得111cos C A B ∠的值，进而得解；（2）连接1AC ，过点A 作11AR A C ⊥于点R ，连接1B R ，证明111B R AC ⊥，可得出1ARB ∠为二面角111A AC B --的平面角，计算出1AB R △的三边边长，利用余弦定理可求得1cos ARB ∠，利用同角三角函数的基本关系可求得二面角111A AC B --的正弦值； （3）取1HB 的中点D ，连接ND ，证明出11A B ⊥平面MND ，可得出11A B MD ⊥，进而推导出1//MD AA ，推导出1//DE AA ，可得出M 、D 、E 三点共线，进而得出1//ME AA ，利用线面平行的判定定理可得出//ME 平面11AAC C .【详解】（1）连接1AC ，H 为正方形11AA B B 的中心，122AA =，则1124AB AA ==，11122B H AB ∴==， 在三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC ， 111C A B ∴∠（或补角）是异面直线AC 与11A B 所成的角.1C H ⊥平面11AA B B ，1B H ⊂平面11AA B B ，11C H B H ∴⊥，15C H =，可得221111113AC B C B H C H ==+=， 由余弦定理得22211111111111112cos 23AC A B B C C A B AC A B +-∠==⋅， 因此，异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值为23； （2）连接1AC ，1C H ⊥平面11AA B B ，1AB ⊂平面11AA B B ，11C H AB ∴⊥， H 为1AB 的中点，则111AC B C =，又由于111AA B A =，1111AC AC =，11111AC A B C A ≅∴△△，11111AAC B AC ∴∠=∠，过点A 作11AR A C ⊥于点R ，连接1B R ，111AA B A =，111AA R B A R ∠=∠，11A R A R =，111AA R B A R ∴≅△△，11190B RA ARA ∴∠=∠=，则111B R AC ⊥，且1B R AR =，故1ARB ∠为二面角111A AC B --的平面角.在11Rt A RB △中，2111112214sin22133B R A B RA B ⎛⎫=⋅∠=⋅-= ⎪⎪⎝⎭. 连接1AB ，在1ARB △中，14AB =，1AR B R =， 22211112cos 27AR B R AB ARB AR B R +-∠==-⋅，从而21135sin 1cos 7ARB ARB ∠=-∠=， 因此，二面角111A AC B --的正弦值为357. （3）MN ⊥平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C ，11MN A B ∴⊥.取1HB 的中点D ，则11:1:4B D B A =，连接ND ，由于N 是棱11B C 中点，1//ND C H ∴，又1C H ⊥平面11AA B B ，ND ∴⊥平面11AA B B ，11A B ⊂平面11AA B B ，11ND A B ∴⊥， 又MN ND N =，11A B ∴⊥平面MND ，MD ⊂平面MND ，11A B MD ∴⊥， 四边形11AA B B 是正方形，111AA A B ∴⊥，1//MD AA ∴，连接DE ，由1111114B E B D B A B A ==，得1//DE AA ，M ∴、D 、E 三点共线，1//ME AA ，1AA ⊂平面11AAC C ，ME ⊄平面11AAC C ，//ME ∴平面11AAC C .【点睛】本题考查异面直线所成角、二面角的计算，同时也考查了线面平行的证明，考查推理能力与计算能力，属于中等题.。
【精准解析】山东省临沂市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题
D. 如果 m // n ， / / ，则 m 与 所成的角和 n 与β所成的角不相等
【答案】B 【解析】 【分析】 由空间位置关系的判定与性质及线面角的概念，结合选项逐项判断即可得解.
工人
保底月薪
工人
保底月薪
1
2890
7
2850
2
2860
8
3130
3
3050
9
2880
4
2940
10
3325
5
2755
11
2920
6
2710
12
2950
A. 3050 【答案】A 【解析】 【分析】
B. 2950
C. 3130
D. 3325
首先将表中所给数据从小到大进行排序，之后利用公式 i n p% ，从而得到答案.
可得 2
b
2
cos
b
2
0 ，b 为非零向量，则
b
0 ，可得 cos
1 2
，
Q 0 ，因此， 2 . 3
故选：B.
-3-
【点睛】本题考查利用平面向量模长之间的关系求向量的夹角，考查计算能力，属于基础题. 6. 已知α，β是两个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，下列四个命题中正确的是（ ）
则事件“抽到的两人中有一男一女”所包含的基本事件数为 2 2 2 8 ， 因此，所求事件的概率为 P 8 1 .
16 2
故选：C.
【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，考查计算能力，属于基础题.
2019-2020学年山东省临沂市临沭县第二中学高一数学理下学期期末试题含解析
2019-2020学年山东省临沂市临沭县第二中学高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的部分图象大致是（）参考答案：A略2. 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()参考答案：D3. 若数列{a n}满足（，d为常数）,则称数列{a n}为“调和数列”.已知数列为调和数列，且，则的最大值是（）A. 50B. 100C. 150D. 200参考答案：B【分析】根据调和数列定义知为等差数列，再由前20项的和为200知，最后根据基本不等式可求出的最大值。
【详解】因为数列为调和数列，所以，即为等差数列又，又大于0所以【点睛】本题考查了新定义“调和数列”的性质、等差数列的性质及其前n项公式、基本不等式的性质，属于难题。
4. 已知，则f[f(3)]=（）A．3 B．－3 C．－10 D．10参考答案：D由题意可知：f（3）=f[f（3）]= f（-3）=故选：D5. 函数f(x)= 的零点所在的大致区间是( )．A．(1,2)B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)参考答案：B6. 已知函数，则（）A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数参考答案：A7. 已知如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱CC1上异于其中点的动点，Q为棱AA1的中点，设直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，以下关系中正确的是（）A. B.C. 平面D. 平面参考答案：C【分析】根据正方体性质，以及线面平行、垂直的判定以及性质定理即可判断.【详解】因为在正方体中，，且平面，平面，所以平面，因为平面，且平面平面，所以有，而，则与不平行，故选项不正确；若，则，显然与不垂直，矛盾，故选项不正确；若平面，则平面，显然与正方体的性质矛盾，故不正确；而因为平面，平面，所以有平面，所以选项C正确，.【点睛】本题考查了线线、线面平行与垂直的关系判断，属于中档题.8. 已知数列{a n}是等比数列，其中是函数的两个零点，则( )A．4B．2C．－4D．－2参考答案：B9. 若关于的不等式的解集为(－2,+∞)，则关于的不等式的解集为A．(－∞,－3)∪( －1,+∞) B．(－∞,－1)∪( 3,+∞)C．(－3,1) D．(－1,3)参考答案：D10. ，为非零向量，且|+|=||+||，则（）A． =B．，是共线向量且方向相反C．∥，且与方向相同D．，无论什么关系均可参考答案：C【考点】96：平行向量与共线向量．【分析】由已知条件推导出，从而得到∥，且与方向相同．【解答】解：∵，为非零向量，且|+|=||+||，∴|+|2=（||+||）2，∴=，∴，∴∥，且与方向相同．故选：C．【点评】本题考查两个向量的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量的性质的合理运用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 已知.若,则sin B=________；若该三角形有两个解，则a的取值范围为___________．参考答案：12. 已知向量．若向量，则实数的值是．参考答案：13. 若x，则___________.参考答案：略14. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=60°，b=，则a+c的最大值为_________ ．参考答案：15. 已知等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AC，BC的中点分别是D，E，沿DE把该三角形折成直二面角，此时斜边AC被折成折线ADC，则∠ADC等于（）A．150° B．135° C．120°D．100°参考答案：C略16. 设集合，集合.若，则参考答案：略17. 不等式组表示的平面区域的面积为。
山东省临沂市高一下期末考试数学试卷及答案解析
第 1 页 共 21 页2020-2021学年山东省临沂市高一下数学期末试卷一．单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．若复数z 满足z （2﹣i ）＝1+4i （i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数为（ ）A ．−25+95iB ．−25−95iC ．25+95iD ．25−95i 2．设向量a →=（0，2），b →=（√3，1），则a →，b →的夹角等于（ ）A ．π3B ．π6C ．2π3D ．5π63．设直线a ，b 是空间中两条不同的直线，平面α，β是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥bB ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αC ．若a ∥α，α∥β，则a ∥βD ．若α∥β，a ⊂α，则a ∥β4．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）A ．平均数为3，中位数为2B ．中位数为3，众数为2C ．平均数为2，方差为2.4D ．中位数为3，方差为2.8 5．一商店有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.05，中二等奖的概率为0.16，中鼓励奖的概率为0.40，则不中奖的概率为（ ）A ．0.55B ．0.39C ．0.68D ．0.616．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的）．如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm ），那么该壶的容量约为（ ）A ．100cm 3B ．200cm 3C ．300cm 3D ．400cm 37．在天气预报中，有“降水概率预报”．例如，预报“明天降水概率为85%”，这是指（ ）A ．明天该地区有85%的地区降水，其他15%地区不降水。
临沂市名校2020新高考高一数学下学期期末考试试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线:10l ax by ++=始终平分圆22:4210M x y x y ++++=的周长，则()()2222a b -+-的最小值为（ ） A ．5B ．5C ．25D ．102．已知x ，y ∈R ，且x>y>0，则（ ） A ．11x y x y->- B ．cos cos 0x y -<C ．110x y-> D ．lnx+lny>03．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢？”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果n=( )A ．2B ．3C ．4D ．54．已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =-+，令()1cos2n n n b a π+=，记数列{}n b 的前n 项为n T ，则2019T = （ ）A ．2020B ．2019C ．2018D ．20175．不等式250ax x c ++>的解集为11|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭,则,a c 的值为( ) A ．6,1a c == B ．6,1a c =-=- C ．1,1a c ==D ．1,6a c =-=-6．设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ,且6C π=，12a b +=，面积的最大值为（）A ．6B ．8C ．7D ．97．已知向量()1,2a =-， ()1,b λ=，若a b ⊥，则+2a b 与a 的夹角为（ ）A．2 3πB．34πC．3πD．4π8．设z是复数，从z，z，z，2||z，2||z，2||z，z z⋅中选取若干对象组成集合，则这样的集合最多有（）A．3个元素B．4个元素C．5个元素D．6个元素9．如图所示，在正方体ABCD —A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于（）A．AC B．A1D1C．A1D D．BD10．已知a，b为不同的直线，α为平面，则下列命题中错误的是（）A．若//a b，bα⊥，则aα⊥B．若aα⊥，bα⊥，则//a bC．若aα⊥，bα⊂，则a b⊥D．若a b⊥，aα⊥，则bα⊥11．执行如下的程序框图，则输出的S是（）A．36B．45C．36-D．45-12．数列{}n a中，12a=，且112(2)n nn nna a na a--+=+≥-，则数列()211na⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭前2019项和为（）A．40362019B．20191010C．40372019D．40392020二、填空题：本题共4小题13．已知α是第二象限角，且1sin3α=，且sin2πα⎛⎫-=⎪⎝⎭______.14．用数学归纳法证明不等式“11119 (123310)n n n n ++++>+++（1n >且*n N ∈）”的过程中，第一步：当2n =时，不等式左边应等于__________。
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15.一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为 ，则该圆锥的表面积为________.
【答案】
【解析】
【分析】
先由圆柱的体积公式求得圆柱的高，再利用相似可得圆锥的高，结合勾股定理求得圆锥的母线长，最后利用圆锥的侧面积公式和圆的面积公式，即可求解.
【详解】选项 ，连接 ，由三棱柱的性质可知， ，
即为异面直线 与 ．
， ， ，即 ，
由直三棱柱的性质可知， 平面 ，
平面 ， ，
又 ， 、 平面 ， 平面 ，
，即 ， 选项 正确；
选项 ，连接 ，交 于点 ，连接 ，再取 的中点 ，连接 、 ，则 ， ，
四边形 为平行四边形， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，即选项 正确；
故D正确.
故选：BD.
【点睛】本题考查了三角函数解析式的确定及图象变换的应用，考查了三角函数图象与性质的应用，属于中档题.
12.如图，在直三棱柱 中， ， ， ，点M是棱 的中点，则下列说法正确的是（）
A.异面直线BC与 所成的角为 B.在 上存在点D，使 平面ABC
C.二面角 的大小为 D.
【答案】ABC
选项 ，取 的中点 ，连接 、 ，
平面 ， 即为二面角 的平面角．
在 中， ， ， ， ，即选项 正确；
选项 ，在 中， ， ， ，
显然 ，即 与 不垂直， 选项 错误．
故选： ．
【点睛】本题考查空间中线面的位置关系、角的求法，要求学生熟练掌握空间中线与面平行或垂直的判定定理与性质定理，以及通过平移的思想找出异面直线的平面角，并理解二面角的定义，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知 ，则 的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据 ，利用诱导公式结合商数关系得到 ，然后由 求解.
【详解】因 ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
，
故答案为：
【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式以及同角三角函数基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
高一阶段性教学质量检测数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数 满足 （i为虚数单位），则 （ 为 的共轭复数）在复平面内对应的点位于（）
A.第一限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意 ，根据复数的除法运算可得 ，进而求得共轭复数 ，即可知对应点所在的象限
14.数据5，7，7，8，10，11的平均数是________，标准差是________.
【答案】(1).8(2).2
【解析】
【分析】
直接用平均数、方差，标准方差的计算公式计算即可．
【详解】由题意知，5，7，7，8，10，11的平均数 ，
方差 ，
标准差为方差的算术平方根，标准差为2，
故答案为：8，2．
C. 在区间 上单调递增
D.若 ，则 的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】
由三角函数的图象与性质可得 ，再由三角函数图象变换法则可得 ，再结合三角函数的图象与性质逐项判断即可得解.
【详解】由图象可知函数 的最大值为2，最小正周期满足 即 ，
所以 ， ，
又点 在函数 的图象上，所以 ，
所以 即 ，
又 ，所以 ， ，
9.设i为虚数单位，复数 ，则下列命题正确的是（）
A.若 为纯虚数，则实数a的值为2
B.若 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是
C.实数 是 （ 为 的共轭复数）的充要条件
D.若 ，则实数a的值为2
【答案】ACD
【解析】
【分析】
首先应用复数的乘法得 ，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误
将函数 的图象所有点的横坐标伸长到原来的 ，可得 的图象，
再将所得函数图象向左平移 个单位长度，可得 的图象，
所以 ，
因为 ，
所以点 不是 图象的一个对称中心， 是 图象的一条对称轴，
故A错误，B正确；
当 时， ，
所以 在区间 上不单调，故C错误；
若 ，则 、 分别为函数 最大值、最小值；
由函数 的最小正周期为 可得 的最小值为 ，
故选：B.
【点睛】本题考查利用平面向量模长之间的关系求向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.
6.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列四个命题中正确的是（）
A.如果 ， ，那么
B.如果 ， ，那么
C.如果 ， ， ，那么
D.如果 ， ，则m与 所成的角和n与β所成的角不相等
【答案】B
6
2710
12
2950
A. 3050B. 2950C. 3130D. 3325
【答案】A
【解析】
【分析】
首先将表中所给数据从小到大进行排序，之后利用公式 ，从而得到答案.
【详解】把这组数据从小到大排序：
2710，2755，2850，2860，2880，2890，2920，2940，2950，3050，3130，3325，
故选：B.
【点睛】本题考查了线线、线面、面面位置关系的相关判断，考查了对于线面角概念的理解，属于基础题.
7.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为 ，若“牟合方盖”的体积为18，则正方体的棱长为（）
【详解】由 知：
∴ ，即 对应的点为
故选：C
【点睛】本题考查了复数的除法运算，以及共轭复数的概念，首先由复数四则运算的除法求得复数，进而依据共轭复数的概念得到对应的共轭复数，即可判断所在象限
2. 的值是（）
A. B. C.- D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据诱导公式化简，并结合正弦和角公式即可求解.
【详解】根据题意，作出如下的图形，
设圆锥的底面半径为 ，内接圆柱的底面半径为 ，
因为内接圆柱的体积为 ，所以 ，解得 ，
又由 ，所以 ，解得 ,
所以圆锥的母线长为 ，
所以该圆锥的表面积为 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了圆锥的表面积和圆柱的体积的计算，其中解答中熟记圆锥、圆柱的结构特征是解答的关键，着重考查数形结合法，以及推理与运算能力.
A. 18B. 6C. 3D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得该正方体的内切球的体积，设正方体的棱长为 ，进而可得内切球半径为 ，由球的体积公式列方程，即可得解.
【详解】因为“牟合方盖”的体积为18，所以该正方体的内切球的体积为 ，
设正方体的棱长为 ，则该正方体的内切球半径为 ，
所以 ，解得 .
所以 ，化简可得 ，
由 可得 ，即 ，
所以 的形状为等边三角形.
故选：D.
【点睛】本题考查了利用余弦定理判断三角形形状的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
【点睛】本题考查了平面向量共线、线性运算及数量积运算的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
11.已知函数 的部分图象如图，将函数 的图象所有点的横坐标伸长到原来的 ，再将所得函数图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则下列关于函数 的说法正确的是（）
A.点 是 图象的一个对称中心
B. 是 图象的一条对称轴
16.如图，在四边形ABCD中，已知 ， ， ， ， ，则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】
由余弦定理可得 、 ，由诱导公式可得 ，进而可得 ，由三角恒等变换得 ，再由正弦定理即可得解.
【详解】在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ， ，
所以 ，
所以
，
在 中，由正弦定理得 ，
【解析】
【分析】
由空间位置关系的判定与性质及线面角的概念，结合选项逐项判断即可得解.
【详解】对于A，如果 ， ，则直线 ， 可能平行、相交或异面，故A错误；
对于B，如果 ， ，由线面垂直、线面平行的性质可得 ，故B正确；
对于C，如果 ， ， ，则平面 ， 可能平行，故C错误；
对于D，如果 ， ，由线面角的概念可得：m与 所成的角和n与β所成的角相等，故D错误.
所以 ，
所以第80百分位是3050，
故选：A.
【点睛】该题考查的是有关百分位数的问题，利用公式即可求得结果，属于基础题目.
4.从两名男生和两名女生中任意抽取两人，若采取有放回简单随机抽样，则抽到的两人中有一男一女的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
计算出基本事件的总数以及事件“抽到的两人中有一男一女”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】由诱导公式可知
所以由正弦和角公式可得
，
故选：B.
【点睛】本题考查了诱导公式及正弦和角公式的应用，属于基础题.
3.某工厂12名工人的保底月薪如下表所示，第80百分位是（）
工人
保底月薪
工人
保底月薪
1
2890
7