有界函数的极限
单调有界原理及函数极限的定义
xn
a xn
．
证：
lim
n
xn
存在，并求
lim
n
xn
．
例用S1t单e2p调1设 有. 说界a 明原0极理, 限x求1存极 在0限, ；，xn应1st完ep12成2.x求n 出xa极n 限．值
求
lim
n
xn
．
EXE
设 x1 1,
xn
1
xn1 1 xn1
(n
2,
3,L
)
，求
lim
n
xn
．
例 思用考1单3 S调设te设有px1n界.M原说0，理，明使求极且对极限lnim限存n，x在xnn应；1 完 ， srt成e有 p12，. 求则出lnim极 x限n 值 0 ．
An a2 a1 a3 a2 L an an1 M ．
证 (1) An收敛； (2) an收敛．
§3 函数的极限
数列
1 n
，
lim 1 0, n n
f (x) 1 , x
y
f (x) 1 x
ox
x 无限增大时，函数 f ( x) 的值无限地接近于 0 ．
x 记作 x ．
0 x 2且 x 1．于是要使
x1 1 x2 1 2
x1
2(1 x)
x1 ，
2
Proof. 对 0 ，限制 0 x 1 1 ，则
0 x 2且 x 1．于是要使
x1 1 x2 1 2
x1
2(1 x)
x1 2
，
只要 x 1 2 . 因此取 min1, 2 ，
则对 0 ，当 0 x 1 时，恒有
例9
设
an
1
1 22
有界函数_g(x)_替换_中心极限定理_不用特征函数_概述及解释说明
有界函数g(x) 替换中心极限定理不用特征函数概述及解释说明1. 引言1.1 概述中心极限定理是统计学中的一项重要理论，它描述了在特定条件下大量独立随机变量的和或均值的分布会趋近于高斯分布。
该定理在许多实际应用中具有广泛的应用价值，并且被广泛认可为统计分析中不可或缺的基础。
传统上，中心极限定理使用特征函数进行解释和推导，并提供了有效地从原始数据集到正态分布之间进行转换的方法。
然而，这种方法可能需要在某些情况下对数据集进行较复杂的数学处理，并且并不完全适用于所有实际问题。
为了克服传统方法存在的一些局限性，有界函数g(x) 替代中心极限定理成为一种新颖而有潜力的选择。
本文将对有界函数g(x) 替代中心极限定理进行概述和解释说明。
1.2 文章结构本文主要分为五个部分来探讨有界函数g(x) 替代中心极限定理。
首先是引言部分，其中我们将介绍文章内容概述、结构以及目的。
其次是对中心极限定理的简介，包括该定理的定义、应用领域和基本原理。
接下来是对有界函数g(x) 替代中心极限定理的概述，包括引入有界函数g(x)、相关的动机和背景以及使用该方法的优缺点分析。
然后，我们将详细解释说明不用特征函数的方法和原理，并阐述有界函数g(x) 如何替代特征函数进行统计分析。
最后，在结论与展望部分，我们将对使用有界函数g(x) 替代中心极限定理进行总结，并展望未来可能的研究方向和发展前景。
1.3 目的本文的目的是介绍和解释有界函数g(x) 替代中心极限定理这一新颖概念。
通过探讨该方法在统计分析中的应用潜力和优势，希望能够为研究人员提供一个新的思路和方法，以便更好地处理实际问题并推动统计学领域的发展。
同时，本文还旨在引起读者对于中心极限定理及其替代方法的兴趣，并为进一步研究提供启示和参考。
2. 中心极限定理的简介2.1 什么是中心极限定理中心极限定理是概率论中一个重要的定理，它描述了当独立随机变量之和趋近于无穷时，其分布将接近于正态分布。
16种求极限的方法
16种求极限的方法在微积分中，求极限是一项重要的技巧和方法，用于研究函数在其中一点或趋于其中一点时的行为。
求极限的方法有很多种，下面将介绍16种常见的求极限方法。
1.代入法：将待求极限中的变量替换成极限点处的值，如果代入后得到一个有界的数或者可数收敛，则该极限存在。
2.四则运算法则：利用加法、减法、乘法和除法的性质进行极限运算。
例如，如果两个函数的极限都存在，则它们的和、差、积以及商（除数非零）的极限均存在。
3.夹逼定理：如果两个函数在其中一点附近夹住一个函数，并且夹住的函数的极限存在，则被夹住的函数的极限也存在，并且等于夹住的函数的极限。
4.极限的唯一性：如果存在一个数L是函数f在其中一点的极限，那么该极限是唯一的。
5.极限的有界性：如果函数f在其中一点的极限存在，则函数f在该点附近必定有界。
反之，如果函数f在其中一点附近有界，那么该点处的极限必定存在。
6.无穷小量和无穷大量：无穷小量是指当自变量趋于其中一点时，函数值趋近于零的量，无穷大量是指当自变量趋于其中一点时，函数值趋近于无穷的量。
利用无穷小量和无穷大量的性质，可以简化极限的求解过程。
7. 根式求极限：使用L'Hopital法则来解决根式的极限问题，即将根式转化为分式，再求导数。
8.多项式求极限：将多项式的极限转化为无穷小量的极限，利用低阶无穷小量和高阶无穷小量的性质进行极限计算。
9.取对数法：将函数取对数后，利用对数的性质进行极限计算。
10.换元法：通过进行合适的变量替换，将待求极限转化为更容易求解的形式。
11.不等式运算法：通过使用不等式的性质，对函数进行合理的估计，从而求解极限。
12.导数法则：利用导数的性质，对函数进行极限计算。
例如，利用导数的定义和求导法则可以方便地求解一些函数的极限。
13.递推法：对于一些递归定义的数列或函数，可以通过递推法求解其极限。
14.泰勒展开法：利用函数对应点附近的泰勒展开式，将函数的极限转化为级数的极限，进而求解极限。
极限的基本性质
极限的基本性质数列极限的性质1、 极限的不等式性：设；A x n n =∞→lim B y n n =∞→lim ； ①若A>B, 则存在於同一趋势过程中，即∃N ，当n>N 时 存在：>n x n y②若>，则存在於同一趋势过程中，A≥B. n x n y③若<,在存在於同一趋势过程中，A≤B.n x n y2、 极限的唯一性：若；A x n n =∞→lim B x n n =∞→lim 则在n 的同一趋势过程中，A=B3、 收敛数列必有界性:若在n 取定趋势下收敛，则必然有界，即：n x n x函数极限的性质1、 函数极限的不等式性：若；Ax f n x x =→)(lim B x g nx x =→)(lim ； ①若A>B {在x→的趋势运动中，即：0x ∃δ>0 ,在δ<−<00x x 时}f(x)>g(x) ②若f(x)>g(x), {δ<−<0x 0x }A≥B③ 若g(x), {δ<−<0x 0x }A≤B2、 函数极限的保号性：设， A x f nx x =→)(lim ①若f(x)≥0, 则在δ<−<00x x ，A≥0②若A>0, 则在δ<−<00x x ，f(x)>0 3、 函数极限的唯一性：设；A x f n x x =→)(lim B x f nx x =→)(lim 则在δ<−<00x xA=B4、 存在极限的函数具有局部有界性：若，则f(x)在的空心领域A x f n x x =→)(lim 0x ),(00δx U ={x /δ<−<00x x }内有界，即∃5、 两个重要极限公式：1sin lim 0=→x x xe x x x =+∞→)11(lim1)1ln(lim 0=+→x x x。
极限存在准则两个重要极限公式
夹逼准则不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的
方法．下面利用它证明另一个重要的
极限公式： lim sin x 1 x0 x
证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
BD
1x
oC
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
亦故即有
1sin sxinxxxctoa1snxx
1. 单调有界准则
数列 xn : 单调增加 x1 x2 xn xn1 ,
单调减少 x1 x2 xn xn1 ,
准则I 单调有界数列必有极限 单调上升有上界数列必有极限
说 明: 单调下降有下界数列必有极限 (1) 在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定 有界，但有界的数列不一定收敛．
1
1 1 n1 n 1
1 yn1
由于数列 yn 是单调增加的，所以数列 zn 是单调减少的.
又
xn
1
1
n
n
1
1
ห้องสมุดไป่ตู้n1
n
zn
z1
4
则 2 xn 4. 综上，根据极限存在准则Ⅰ可知，数列是
收敛的.
2023年12月9日星期六
4
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通常用字母 e 来表示这个极限，即
lim
n
1
1
n
)
( n 1, 2,
), 且
x1 0,
a0,
求
lim
n
xn
.
利用极限存在准则
2.3极限性质、法则
(2) lim e
x →∞
(3) lim e
x→0
解：（1） ：（ ）
Q lim 2 +
x→0
1 x
1 y = x
y→+∞ →+∞
lim 2 y
= +∞
x→0
lim− 2
1 x
1 y = x
1 x
y→−∞ →−∞
lim 2
y
1 t = − y lim =0 t t →+∞ 2
∴ lim 2 不存在
令δ = min{δ 1 , δ 2 }, 则当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时有
A+ B g( x ) < < f ( x) 2
【2-3-3】
3、推论1： 、推论 ：
若 lim f ( x ) = A > B(或 < B ), 则∃δ > 0, 使得
x → x0
当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时, 有f ( x ) > B(或 < B )
即A − 1 < f ( x ) < A + 1, 所以f ( x )局部有界
【2-3-1】
二、局部保序性 1、定理： lim 、定理： 若
x → x0
f ( x ) = A, lim g( x ) = B , 且A > B , 则∃δ > 0,
x → x0
使得当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时, 有f ( x ) > g( x )
【2-3-5】
2、※证明： 、 证明：
x → x0
对 ∀ε > 0
Q lim g ( x ) = A,∴ ∃δ 1 > 0, 使当x ∈ Oδ 1 ( x0 ) \ { x0 }时,
有界收敛极限的关系
有界收敛极限的关系嘿，朋友们！今天咱们来聊聊数学里那几个超级有趣（虽然有点烧脑）的概念：有界、收敛和极限。
先来说说有界吧。
有界就像是给一群调皮的小数字们划了一个魔法圈。
这个圈呢，就像是孙悟空给唐僧画的保护圈，那些数字不管怎么蹦跶，都跑不出这个圈。
比如说数列｛1， -1， 1， -1，1……｝，它就被牢牢地圈在了 -1到1这个小天地里，就像小动物被圈在一个小小的栅栏里，只能在这个范围内活动，这就是有界数列啦。
那收敛呢？收敛就像是一群旅行者在漫长的旅途中朝着同一个目的地前进。
想象一下，好多好多小蚂蚁，从四面八方出发，但是最后都朝着一块美味的糖块爬去。
数列收敛的时候啊，就像这样，随着项数越来越大，这些数字们就越来越靠近一个固定的点。
就好像那些追星族，不管来自哪里，最后都在偶像的演唱会现场聚集起来，这个固定的点就像是偶像啦。
极限呢，极限就像是收敛这个旅行团的最终目的地。
它就像是一个超级有吸引力的大磁铁，数列里的数字就像一堆小铁钉，被这个磁铁吸引着慢慢靠近。
比如说数列｛1/2， 1/3， 1/4，1/5……｝，它的极限就是0啦，那些数字就像一群小馋猫，一步一步朝着0这个美味的“小鱼干”靠近。
有界和收敛之间的关系啊，就像是房子和家庭的关系。
有界就像是房子，给收敛提供了一个可以存在的空间。
但是有房子不一定就有家庭啊，一个数列有界了，可不一定收敛呢。
就像有个大房子，但是里面的人各干各的，没有朝着一个共同的目标，那就不是一个和谐的家庭（收敛数列）啦。
而收敛和极限呢，收敛是一个过程，极限是这个过程的终点。
就像一场马拉松比赛，收敛就是选手们奔跑的过程，极限就是那根终点线。
选手们（数列的项）拼命朝着终点线（极限）跑去，当他们足够接近终点线的时候，就意味着数列收敛到这个极限啦。
如果一个数列收敛，那它一定是有界的，这就好比一个要去旅行（收敛）的团队，肯定得有个范围（有界），总不能跑到外太空去吧。
但是有界的数列不一定收敛，就像一群小动物在一个大院子（有界）里，但是它们并没有一个共同的聚集点（不收敛）。
证明函数有界的方法
证明函数有界的方法要证明一个函数是有界的，我们需要找到一对常数M和N，使得函数的值永远都在这个区间内。
下面将介绍几种常见的方法来证明函数的有界性：1.利用数列的极限性质：对于序列{an}，如果能证明其极限为L，则可以得出函数的有界性。
具体而言，如果对于任意正实数ε，存在对应的整数N，使得当n>N时，an−L，<ε，那么函数f(x)在定义域上是有界的。
证明思路是找到足够大的N，使得函数在N之后的值都在一个有界的范围内。
2.用导数证明：如果一个函数在定义域上是单调递增（或单调递减）的，并且存在一个实数M，使得在其定义域上的导数，f'(x)，≤M，那么函数f(x)是有界的。
证明思路是通过导数的性质，证明f'(x)≤M，进而得出f(x)在定义域上是有界的。
3.利用中值定理：如果一个函数f(x)在一个闭区间[a,b]上是连续的，并且在开区间(a,b)上可导，如果存在一个实数M，使得，f'(x)，≤M，那么函数f(x)在闭区间[a,b]上是有界的。
证明思路是使用中值定理将函数变形，并结合导数的性质，证明，f(x)，≤M。
4.利用有界闭区间上的连续函数的性质：如果一个函数在一个有界闭区间上是连续的，则它在这个区间上是有界的。
这是因为有界闭区间上的连续函数的值不会无限制地逼近无穷大或无穷小，而是在一定范围内浮动。
5.利用函数的周期性：如果一个函数是周期函数，并且在一个周期内是有界的，那么函数在整个定义域上也是有界的。
证明思路是通过周期性，将函数的定义域分解为多个周期，每个周期内都是有界的。
以上是一些常见的证明函数有界性的方法，具体的证明需要根据具体的函数和题目情况来选择合适的方法。
需要注意，在证明过程中需要合理运用数学定义和性质，严密推理，确保证明的正确性。
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有界函数的极限
在数学中，极限是一个重要的概念，它用于描述函数在接近某个特定点时的行为。
在这里，我们将讨论有界函数的极限，也就是函数在某个特定点附近的行为是否有界。
首先，让我们回顾一下有界函数的定义。
一个函数被称为有界函数，如果存在一个常数M，使得对于函数定义域内的任意x，都有
|f(x)|≤M。
也就是说，函数的取值范围是有限的，它不会无限地增长或减小。
接下来，我们来考虑有界函数的极限。
当一个函数在某个特定点附近的行为有界时，我们称它有界收敛。
也就是说，当x趋近于某个特定值时，函数值的变化是有限的，不会无限地趋近于正无穷或负无穷。
有界函数的极限可以用极限表达式来表示。
如果一个函数f(x)在x=a处有界收敛，那么我们可以写出下面的极限表达式：
lim x→a f(x) = L
其中L是一个有限的实数。
这个表达式的意义是，当x趋近于a 时，f(x)的值趋近于L，但不会超过某个有限的范围。
也就是说，函数在a处的极限是有限的。
让我们来看一个例子。
考虑函数f(x) = sin(x)/x，它在x=0处的极限是1。
换句话说，当x趋近于0时，sin(x)/x的值趋近于1，但不会超过某个有限的范围。
因此，这个函数在x=0处有界收敛。
另一个例子是函数f(x) = 1/x，在x=0处没有定义。
因此，它
在x=0处没有极限。
如果我们尝试计算lim x→0 f(x)，我们会得到无穷大或无穷小的结果，这表明函数在x=0处不是有界收敛的。
有界函数的极限具有一些重要的性质。
首先，如果一个函数在某个特定点附近有界收敛，那么它在该点处必须连续。
也就是说，如果lim x→a f(x)存在，那么f(x)在x=a处必须连续。
其次，如果一个函数在某个特定点附近有界收敛，那么它在该点处必须可导。
也就是说，如果lim x→a f(x)存在，那么f(x)在x=a 处必须可导。
最后，有界函数的极限具有唯一性。
也就是说，如果一个函数在某个特定点附近有界收敛，那么它的极限是唯一的。
换句话说，如果lim x→a f(x)和lim x→a g(x)都存在，且它们的值相等，那么f(x)和g(x)在x=a处必须相等。
综上所述，有界函数的极限是一个重要的数学概念，它描述了函数在某个特定点附近的行为是否有界。
它具有连续性、可导性和唯一性等重要性质，可以应用于各种数学问题中。