重要极限公式推导
几个重要极限公式
几个重要极限公式
1. 欧拉公式：
欧拉公式是数学中的一项重要极限公式，由著名数学家欧拉提出，在数学中具有重要的应用价值。
具体来说，欧拉公式表示为:e^(iπ)+1=0
其中，e是自然对数的底数，i表示虚数单位，π表示圆周率。
2. 格朗沃尔定理：
格朗沃尔定理是微积分中的一项重要极限公式，由法国数学家格
朗沃尔提出。
格朗沃尔定理表示为∫_{a}^{b}f'(x)dx=f(b)-f(a)
其中，∫表示积分符号，f(x)表示被积函数，f'(x)表示其导数，
a和b为积分区间。
3. 斯特林公式：
斯特林公式是组合数学中的一项经典极限公式，由苏格兰数学家
斯特林提出并证明。
斯特林公式表示为:n!=sqrt(2πn)*(n/e)^n
其中，n！表示n的阶乘，e表示自然对数的底数，π表示圆周率。
这三个极限公式都是数学中的重要定理，广泛应用于各个领域。
欧拉公式与电工学有关，格朗沃尔定理与微积分有关，斯特林公式与组合数学和统计学有关。
掌握这些公式的应用方法不仅有助于我们深入了解数学的本质，也能够帮助我们更好地应用数学知识解决实际问题。
两个重要极限公式
两个重要极限公式极限公式在数学中扮演着重要的角色，用于计算和研究函数在特定点处的趋势和性质。
下面将介绍两个重要的极限公式：拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1. 拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它描述了函数在闭区间内特定点的导数与函数在该闭区间两个端点的函数值之间的关系。
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么存在一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
简单来说，这个定理告诉我们在闭区间上，函数在特定点的导数等于该区间两端函数值的斜率。
这个定理的物理含义是：在其中一段时间内，速度瞬时等于平均速度。
例如，假设我们开车从家到办公室，用时1小时，路程50公里。
那么根据拉格朗日中值定理，我们可以得知，肯定存在一些时刻，我们的速度等于50公里/1小时，即我们的瞬时速度等于平均速度。
拉格朗日中值定理在数学和物理中有着广泛的应用，例如在微分方程的研究中，用于证明存在性和连续性定理。
2. 柯西中值定理（Cauchy's Mean Value Theorem）柯西中值定理是微分学中的一条基本定理，与拉格朗日中值定理类似，它描述了两个函数在其中一区间内的导数之间的关系。
设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且g(x)不为零，那么存在一个点c∈(a,b)，使得(f'(c)g(b)-f(b)g'(c))/(g(c))^2=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^2在(a,b)上成立。
柯西中值定理的物理含义是：在其中一段时间内，两个物体在其中一时刻的速度之比等于它们的速度的平均比值。
例如，假设我们有两个自行车手从家到学校，根据柯西中值定理，可以得知，存在其中一时刻，两个自行车手的速度之比等于他们速度的平均比值。
极限存在准则两个重要极限公式
x x0
(x )
(x )
lim f (x) A
x x0 (x )
准则I和准则I′统称为夹逼准则.
注意:利用夹逼准则求极限的关键:构造出 yn 与 zn ,
且 yn与zn的极限是易求的.
2020/6/15
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例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解： 因为 n < 1 + L + 1 < n
单调下降有下界数列必有极限 说 明:
(1) 在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定
有界，但有界的数列不一定收敛．
(2) 利用准则I I来判定数列收敛必须同时满足 数列
单调和有界这两个条件．
2020/6/15
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(3) 准则 I I只能判定数列极限的存在性，而未给出 求极限的方法．
例如，数列 xn (1)n ，虽然有界但不单调； 数列 xn n ，虽然是单调的，但其无界， 易知，这两数列均发散．
sin x
=
1
5
x® 0 x
例2 求
解:
lim
x0
tan x
x
lim x0
sin x
x
1 cos
x
lim
x0
sin x
x
lim 1 x0 cos
x
1
例3 求
解: 令 t arcsin x, 则 x sin t , 因此
原式 lim t t0 sin t
sin t 1
t
注: 利用变量代换，可得更一般的形式 lim sin (x) 1 (x)0 (x)
(4) 对于准则I I函，数极限根据自变量的不同变化过程 (x x0 , x x0 , x , x , x ) 也有类似的 准则， 只是准则形式上略有不同. 例如，
高等数学 第1章 第七节 极限存在准则 两个重要极限
则
lim
n
x n1
lim n
6 xn ,
A
6 A,
解得 A 3或A 2,（舍去）
lim n
xn
3.
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3.两个重要极限的应用
例6： 求 lim tan x 1
x0 x
可作为公式
lim
x
s
in u x ux
1
lim ux 0
x
解： lim tan x lim sin x 1 lim sin x lim 1 11 1 x0 x x0 x cos x x0 x x0 cos x
1 n2 1
n2
1
22
n2
1
n2
n n2 1
,
1
lim 1 0, n 2n
lim n n n2 1
lim n
n
1
1
由夹逼定理知：
n2
0 0, 10
lim n
n
1 2
1
n2
1 22
n2
1 n2
存在, 且
lim n
n
1 2
1
n2
1
22
n2
1
n2
0.
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例2 用夹逼准则证明：
lim sin x 1.
1yn xn zn n 1,2,3,,
2
lim
n
yn
a,
lim
n
z
n
a,
则数列x
n
的
极
限
存
在,
且
lim
n
xn
a.
准则1 若
1当x
U
x
极限存在准则与两个重要极限资料
1
(1
1 )(1
2 )(1
n1 )
2! n
n! n n
n
xn
11
1 2!
1 n!
11
1 2
1 2n1
3
1 2n1
3,
{xn}是有界的; 单调上升有上界必有极限
lim n
xn
存在.
记为 lim(1 1)n e
n
n
(e 2.718281828459045) 无理数
12 23
n1 n
2 1 2, n
{ xn}是有上界的;
因此, 利用单调有界数列必收敛准则即得结论.
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2.5 极限存在准则 两个重要极限
例 证明数列 xn 3 3 3
(n重根式)的极限存在.
证 (1) 显然 xn1 xn ,
{xn}是单调增加的; (2) x1 3 3, 假定 xk 3,
1.
8
2.5 极限存在准则 两个重要极限
0
例 lim x 0 lim
x
lim sin x 1 lim x 1
x0 x
x0 sin x
cos x 1.
x0 tan x x0 sin x
例
sin3 3 lim x0 3x
x
0
0
1 3
lxim0
sin
3
3
x
x
3
n
an
bn
cn ,求 lim n
xn .
解 法一 由于 a xn a n 3
1
以及 lima a, lim a n 3 lim a 3n a 1
高等数学重要极限公式
高等数学重要极限公式高等数学中有许多重要的极限公式，它们在研究函数的性质、计算数列的极限以及求解微分方程等方面起着重要的作用。
下面将介绍一些常见的重要极限公式。
1.基本极限在高等数学中，有几个基本的极限公式是最为重要和基础的，它们分别是：-极限的唯一性：若函数f(x)当x趋近于实数a时有极限L，那么这个极限是唯一确定的。
-无穷小的运算法则：若x趋于0时，x和y的和、差、积都趋于0，则称y为x的一个无穷小，记作y=o(x)。
-乘积的极限法则：若f(x)、g(x)分别当x趋于实数a时有极限L1、L2，那么f(x)g(x)当x趋于实数a时有极限L1L2-分积的极限法则：若f(x)、g(x)分别当x趋于实数a时有极限L1、L2，并且L2≠0，那么f(x)/g(x)当x趋于实数a时有极限L1/L22.三角函数的极限- 当x趋于0时，有sin(x)/x=1- 当x趋于0时，有tan(x)/x=1- 当x趋于正无穷时，有lim{(1+1/x)^x}=e。
- 当x趋于0时，有1-cos(x)/x^2=1/23.自然对数函数的极限- 当x趋于0时，有ln(1+x)/x=1- 当x趋于正无穷时，有lim{(1+1/n)^n}=e。
4.指数函数的极限- 当x趋于正无穷时，有lim{(1+1/x)^x}=e。
- 当x趋于0时，有lim{(1+x)^1/x}=e。
5.常用无穷大函数的极限- 当x趋于正无穷时，有lim{ln(x)/x}=0。
- 当x趋于正无穷时，有lim{x^a/e^x}=0，其中a为常数。
6. 函数的Taylor展开式Taylor展开式为复杂函数在其中一点附近用多项式逼近的展开式。
当x接近a时，函数f(x)的n阶Taylor展开式可表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+o((x-a)^n)其中f'(a)表示f(x)在x=a处的一阶导数，f''(a)表示f(x)在x=a 处的二阶导数，以此类推。
极限存在准则与两个重要极限
100 000 2.718 27 100 000 2.718 30
1 000 000 2.718 28 1 000 000 2.718 28
e e
1.2 准则Ⅱ与第二个重要极限
因此，
lim
x
1
1 x
x
e
．
e 是无理数，它的值是 2.718 28 ．在 1.1 中提到的指数函数 y ex 及自然对数 y ln x 中的
（2） lim g(x) lim h(x) A ，
xx0
xx0
则有 lim f (x) A ． xx0
1.1 准则Ⅰ与第一个重要极限
作为准则Ⅰ及准则Ⅰ'的应用，下面证明一个重要极限： lim sin x 1 ． x0 x
证明 在图所示的单位圆中，设圆心角 BOA x ， AD 切圆 O 于 A ， 且与 OB 延长线相交于 D ，于是有
3 1
x 1
1
lim
x 1
3
x
2x 1
2x
lim
x
2x 2x
3 1
lim
x
1 1
3
x
2x
1 x 2x
1
3
e2
1
e2
e．
1.7 无穷小阶的比较
在 1.4 节中我们已经知道，两个无穷小的和、差及乘积仍是无穷小．但是关于两
个无穷小的商却会出现不同的情况．例如，当 x 0 时，2x ， x2 ，sin x 都是无穷小
an1
1
n
1
n1
1
1
1
21!1
n
1
1
1 3!
1
1 n
1
16个重要极限公式推导
16个重要极限公式推导《16个重要极限公式推导》在数学中，极限是一个重要的概念，它描述了函数在某一点上趋近于某个值的行为。
极限公式是一种常用的工具，可以帮助我们求解各种复杂的极限问题。
以下是16个重要的极限公式以及它们的推导过程。
1. 极限公式：$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1$推导过程：我们从单位圆的几何性质入手。
当$x$接近于0时，我们可以认为边长为$x$的小角度$x$是相似三角形中的等腰三角形。
根据单位圆上的弧长公式，我们有$\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1$。
2. 极限公式：$\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$推导过程：我们将极限转化为自然对数的形式，即$\lim_{x\to\infty}\ln\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right)$. 通过应用泰勒级数展开，我们可以得到$\ln\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right)=1-\frac{1}{2x}+O\left(\frac{1}{x^2}\right)$。
因为$\lim_{x\to \infty}\frac{1}{2x}=0$，所以$\lim_{x\to\infty}\ln\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right)=1$，即$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$。
3. 极限公式：$\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^x=e^a$推导过程：类似于第2个公式的推导，我们可以得到$\lim_{x\to\infty}\ln\left(\left(1+\frac{a}{x}\right)^x\right)=a$。
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重要极限公式推导
在数学中，极限是一种重要的概念，它描述了函数在某一点附近的表现。
而重要极限公式则是用于求解各种极限问题的基本工具。
本文将以重要极限公式推导为主题，介绍其中一些常用的公式。
一、极限的定义
在推导重要极限公式之前，首先需要了解极限的定义。
对于给定的函数f(x)，当自变量x无限接近某一点a时，如果函数值f(x)无限接近某一常数L，那么我们说函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
二、重要极限公式推导
1. 无穷小与无穷大的关系
当x趋于无穷大时，我们常常会遇到无穷小与无穷大的关系。
其中一个重要的极限公式是：
lim(x→∞) [1 + 1/x]^x = e
这个公式表明当x趋于无穷大时，[1 + 1/x]^x的极限为自然常数e。
2. 自然对数的极限
自然对数函数ln(x)与指数函数e^x是互逆函数，它们之间有着紧密的联系。
我们知道，ln(x)的导数为1/x，因此可以得到以下重要的极限公式：
lim(x→0) (ln(1 + x))/x = 1
这个公式表明当x趋于0时，(ln(1 + x))/x的极限为1，也即是ln(1 + x)与x之间的近似关系。
3. 正弦函数的极限
正弦函数sin(x)是数学中的重要函数之一，它在极限计算中也有着重要的应用。
其中一个重要的极限公式是：
lim(x→0) sin(x)/x = 1
这个公式表明当x趋于0时，sin(x)/x的极限为1，也即是sin(x)与x之间的近似关系。
4. 指数函数的极限
指数函数e^x在数学中起着重要的作用，而其极限也有一些重要的性质。
其中一个重要的极限公式是：
lim(x→0) (e^x - 1)/x = 1
这个公式表明当x趋于0时，(e^x - 1)/x的极限为1，也即是e^x 与1 + x之间的近似关系。
5. 对数函数的极限
对数函数log(x)也是数学中的重要函数之一，它在极限计算中也有着重要的应用。
其中一个重要的极限公式是：
lim(x→0) (log(1 + x))/x = 1
这个公式表明当x趋于0时，(log(1 + x))/x的极限为1，也即是log(1 + x)与x之间的近似关系。
三、应用举例
通过以上的重要极限公式，我们可以解决一些常见的极限问题。
比如，计算以下极限：
1. lim(x→∞) (1 + 1/x)^x
根据第一条极限公式，我们可以知道这个极限的值为e。
2. lim(x→0) (ln(1 + x))/x
根据第二条极限公式，我们可以知道这个极限的值为1。
3. lim(x→0) sin(x)/x
根据第三条极限公式，我们可以知道这个极限的值为1。
4. lim(x→0) (e^x - 1)/x
根据第四条极限公式，我们可以知道这个极限的值为1。
5. lim(x→0) (log(1 + x))/x
根据第五条极限公式，我们可以知道这个极限的值为1。
通过以上的例子，我们可以看到重要极限公式在计算极限问题时的重要性和实用性。
这些公式不仅能够简化计算过程，还能够帮助我们更好地理解函数在某一点附近的行为。
总结：
重要极限公式是数学中的基本工具之一，它们帮助我们解决各种极限问题。
本文介绍了几个常用的重要极限公式，并给出了相应的推
导过程和应用举例。
通过学习和应用这些公式，我们能够更好地理解函数的行为并解决相关的数学问题。